Analiz III Ara S nav Sorular 24 Kas m 2010 1 Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) R n uzay n n aç k olmayan her alt kümesi kapal d r. (b) A = fx 2 [0; 1] : x 2 Qg ise A = A olur. (c) A = fx 2 [0; 1] : x 2 Qg kümesi kompaktt r. (d) R n uzay n n kapal her alt kümesi kompakt r. (e) R n uzay n n herhangi say da kapal alt kümesinin birleşimi kapal bir kümedir. 2 (x k ) R n ve ( k ) R birer dizi, x 2 R n ve 2 R olsun. E¼ger x k! x ve k! ise k x k! x olur. Ispatlay n z. 3 (a) f( 2; 1=n) : n 2 Ng ailesinin ( 1; 0) aral ¼g n n bir aç k örtüsü oldu¼gunu gösteriniz. (b) Bu aç k örtünün sonlu bir alt örtüsünün bulunmad ¼g n ispatlay n z. 4 f : A R n! R m bir fonksiyon olsun. f fonksiyonu A üzerinde sürekli ise her G R m aç k kümesi için f 1 (G) kümesi aç kt r. Ispatlay n z. Her soru 25 puan ve süre 80 dakikad r.
Analiz III Ara S nav Sorular (2. ö¼gretim) 24 Kas m 2010 1 Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) Reel say lar n her dizisinin yak nsak bir alt dizisi vard r. (b) R n uzay n n s n rl her alt kümesi ba¼glant l d r. (c) A = fx 2 [0; 1] : x 2 Qg ise A = A olur. (d) A = fx 2 [0; 1] : x 2 Qg kümesi ba¼glant l d r. (e) (F k ) R n uzay n n boş olmayan, kapal ve F k+1 F k ; k = 1; 2; ::: biçimindeki alt kümelerinin bir dizisi ise 1 \ k=1 F k 6= ; olur. 2 A R n ve x 2 R n olsun. x k! x koşulunu sa¼glayan ve bütün terimleri birbirinden farkl bir (x k ) A dizisi varsa x 2 e A olur. Ispatlay n z. 3 (a) f( n; 0) : n 2 Ng ailesinin ( 1; 0) aral ¼g n n bir aç k örtüsü oldu¼gunu gösteriniz. (b) Bu aç k örtünün sonlu bir alt örtüsünün bulunmad ¼g n ispatlay n z. 4 f : A R n! R m bir fonksiyon olsun. Her G R m aç k kümesi için f 1 (G) kümesi aç k ise f fonksiyonu A üzerinde süreklidir. Ispatlay n z. Her soru 25 puan ve süre 80 dakikad r.
Analiz III Final S nav Sorular 11 Ocak 2011 1 Yak nsak bir alt dizisi bulunan s n rs z bir (x n ) R dizisi bulunuz. 2 Kompakt olmayan bir A R n kapal kümesi bulunuz. 3 S n rl olmayan bir A R n kompakt kümesi bulunuz. 4 Sürekli ve örten bir f : [0; 1]! (0; 1) 5 Sürekli her f : A R n! R m fonksiyonu s n rl m d r? Nedenleriyle aç klay n z. 6 üzgün sürekli olmayan bir f : [0; 1]! R sürekli 7 f n türevlenebilir, f n! f (Noktasal) ve f türevlenebilir olmayacak biçimde bir f n : [0; 1]! R; n = 1; 2; ::: fonksiyon dizisi ve bir f : [0; 1]! R 8 f : ( 1; 1)! R; y = f (x) = fonksiyonunun her x 2 ( 1; 1) için y 0 = 2xy 2 denklemini sa¼glad ¼g n gösteriniz. 9 f : R! R; f (x) = cos x 2 fonksiyonunun Maclaurin aç l m n yaz n z. 10 (C; 1) anlam nda yak nsak olan her seri yak nsak m d r? nedenleriyle aç klay n z. 1X k=0 x 2k Her soru 10 puan ve süre 60 dakikad r.
Analiz III Final S nav Sorular (2. Ö¼gretim) 11 Ocak 2011 1 Yak nsak olmayan üstten s n rl bir (x n ) R dizisi bulunuz. 2 Kompakt olmayan s n rl bir A R n kümesi bulunuz. 3 Kapal olmayan bir A R n kompakt kümesi bulunuz. 4 Sürekli ve örten bir f : [0; 1]! 0; 1 [ f1g 2 5 S n rl olmayan bir f : [0; 1]! R sürekli 6 Sürekli her f : A R n! R m düzgün sürekli midir? Nedenleriyle aç klay n z. 7 f n sürekli, f n! f (Noktasal) ve f sürekli olmayacak biçimde bir f n : [0; 1]! R; n = 1; 2; ::: fonksiyon dizisi ve bir f : [0; 1]! R 8 1X f : ( 1; 1)! R; y = f (x) = ( 1) k x 2k fonksiyonunun her x 2 ( 1; 1) için y 0 = 2xy 2 denklemini sa¼glad ¼g n gösteriniz. 9 f : R! R; f (x) = sin x 2 fonksiyonunun Maclaurin aç l m n yaz n z. 10 Abel anlam nda yak nsak olan her seri yak nsak m d r? Nedenleriyle aç klay n z. k=0 Her soru 10 puan ve süre 60 dakikad r.
Analiz III Bütünleme S nav Sorular 2 Şubat 2011 1 Yak nsak olmayan s n rl bir (x n ) R dizisi bulunuz. 2 Ne aç k ne de kapal olan bir A R n kümesi bulunuz. 3 f 1 (A) kompakt olmayacak şekilde bir A R m kompakt kümesi ve bir f : R n! R m sürekli 4 f 1 (A) aç k olmayacak şekilde bir A R m aç k kümesi ve bir f : R n! R m sürekli fonksiyonu bulunuz. 5 f (A) ba¼glant l olmayacak şekilde bir A R n ba¼glant l kümesi ve bir f : R n! R m sürekli 6 Sürekli her f : A R n! R m düzgün sürekli midir? Nedenleriyle aç klay n z. 7 f n sürekli, f n! f (üzgün) ve f sürekli olmayacak biçimde bir f n : [0; 1]! R; n = 1; 2; ::: fonksiyon dizisi ve bir f : [0; 1]! R 8 f : R! R; y = f (x) = 1X ( 1) k x 2k fonksiyonunun her x 2 R için y 0 = 2xy denklemini sa¼glad ¼g n gösteriniz. 9 f : R! R; f (x) = e 2x2 fonksiyonunun Maclaurin aç l m n yaz n z. 10 Bir serinin Cesaro anlam nda yak nsak olmas ne demektir? k=0 k! Her soru 10 puan ve süre 60 dakikad r.
Analiz IV Aras nav Sorular 5 Nisan 2011 1 Bir f : A R n! R m fonksiyonu bir x 0 2 A noktas nda türevlenebiliyorsa bu noktadaki türevi tek olmak zorunda m d r? Hangi durumda tektir? 2 Bir f : A R n! R fonksiyonunun bir x 0 2 A noktas ndaki k smi türevlerini tan mlay n z. 3 Bir f : A R 2! R fonksiyonunun her kritik noktas bir yerel extremum noktas m d r? Nedenleriyle aç klay n z. 4 f : R! R türevlenebilen bir fonksiyon ve x + y z = f x y ise x @z @x + y @z @y =? 5 Bir f : A R n! R fonksiyonu için Ortalama e¼ger Teoreminin ifadesini yaz n z. 6 A R n aç k bir küme ve f : A! R m türevlenebilen bir fonksiyon olsun. f fonksiyonunun bir x 0 2 A noktas ndaki türev matrisini yaz n z. 7 x 2 z + yz 2 + 2xy 2 z 3 = 0 ve z = f (x; y) ise @z @x =? 8 f (x; y) = e x2 y 2 fonksiyonunu (0; 0) noktas nda Taylor serisine aç n z ve bu aç l m n geçerli oldu¼gu kümeyi belirtiniz. 9 f (x; y) = log (x 2 + y 2 + 1) fonksiyonunun kritik noktalar n bulunuz ve bu kritik noktalar n türlerini belirleyiniz. 10 Bir f 1 (x 1 ; :::; x n ) = y 1 f n (x 1 ; :::; x n ) = y n denklem sisteminde, x 1 ; :::; x n hangi durumda y 1 ; :::; y n cinsinden çözülebilir? Her soru 10 puan ve süre 60 dakikad r.
Analiz IV Aras nav Sorular ( Ikinci Ö¼gretim) 5 Nisan 2011 1 Bir f : A R n! R m fonksiyonunun bir x 0 2 A noktas nda türevlenebilir olmas ne demektir? 2 Bir f : A R n! R fonksiyonunun bir x 0 2 A noktas nda bir e 2 R n birim vektörü yönündeki türevini tan mlay n z. 3 f : A R 2 @f! R bir fonksiyon ve (x 0 ; y 0 ) 2 A olsun. (x @x 0; y 0 ) ve @f (x @y 0; y 0 ) k smi türevleri varsa f fonksiyonu bu noktada türevlenebilir olmak zorunda m d r? Nedenleriyle aç klay n z. 4 f : R! R türevlenebilen bir fonksiyon ve ise z = 1 f (x y) y y @z @x + y @z @y =? 5 Bir f : A R n! R m fonksiyonu için Ortalama e¼ger Teoreminin ifadesini yaz n z. 6 A R n aç k bir küme ve f 2 C 2 (A) olsun. f fonksiyonunun bir x 0 2 A noktas ndaki Hesse matrisini yaz n z. 7 x 2 z + yz 2 + 2xy 2 z 3 = 0 ve z = f (x; y) ise @z @y =? 8 f (x; y) = (x 2 + y 2 + 1) 1 fonksiyonunu (0; 0) noktas nda Taylor serisine aç n z ve bu aç l m n geçerli oldu¼gu kümeyi belirtiniz. 9 f (x; y) = x 2 y 2 + xy fonksiyonunun kritik noktalar n bulunuz ve bu kritik noktalar n türlerini belirleyiniz. 10 Bir F 1 (x 1 ; :::; x n ; y 1 ; :::; y m ) = 0 F m (x 1 ; :::; x n ; y 1 ; :::; y m ) = 0 denklem sisteminde, y 1 ; :::; y m hangi durumda x 1 ; :::; x n cinsinden çözülebilir? Her soru 10 puan ve süre 60 dakikad r.
Analiz IV Final S nav Sorular 17 Haziran 2011 1 Hacimli küme ne demektir? Tan mlay n z ve bir örnek veriniz. 2 Lebesgue teoreminin ifadesini yaz n z. 3 A = [0; 1] [0; 1] olsun. 1; x = y f : A! R; f (x; y) = 0; x 6= y fonksiyonu integrallenebilir midir? Nedenleriyle aç klay n z. 4 = f(x; y) 2 R 2 : 0 x 1; y = xg ise (x + y) dxdy =? 5 0 < a < b olmak üzere = f(x; y) 2 R 2 : a 2 x 2 + y 2 b 2 ; 0 x yg olsun. f (x; y) dxdy integralinde kutupsal koordinat dönüşümü yap ld ¼g nda elde edilecek integrali yaz n z. 6 R R 3 ; a > 0 olmak üzere üstten x 2 + y 2 + z 2 = az küresi ve alttan z = p Z x 2 + y 2 konisi taraf ndan s n rlanan bölge olsun. f (x; y; z) dxdydz integralinde küresel koordinat dönüşümü yap ld ¼g nda elde edilecek integrali yaz n z. R 7 8 1R 0 1R =2 R 0 x 2 x 3 sin (y 3 ) dydx =? cos 7 d =? 7: ve 8: sorular 20 şer puan, di¼ger sorular 10 ar puand r. Süre 60 dakikad r.
Analiz IV Final S nav Sorular ( Ikinci Ö¼gretim) 17 Haziran 2011 1 S f r ölçülü küme ne demektir? Tan mlay n z ve bir örnek veriniz. 2 Integraller için ortalama de¼ger teoreminin ifadesini yaz n z (f : A R n! R fonksiyonlar için). 3 A = [0; 1] [0; 1] olsun. 1; x 6= y f : A! R; f (x; y) = 0; x = y fonksiyonu integrallenebilir midir? Nedenleriyle aç klay n z. 4 = f(x; y) 2 R 2 : 0 y 1; x = 0g ise (x + y) dxdy =? 5 0 < a < b olmak üzere = f(x; y) 2 R 2 : a 2 x 2 + y 2 b 2 ; 0 y xg olsun. f (x; y) dxdy integralinde kutupsal koordinat dönüşümü yap ld ¼g nda elde edilecek integrali yaz n z. 6 R R 3 ; a > 0 olmak üzere alttan x 2 + y 2 + z 2 = az küresi ve üstten z = p Z x 2 + y 2 konisi taraf ndan s n rlanan bölge olsun. f (x; y; z) dxdydz integralinde küresel koordinat dönüşümü yap ld ¼g nda elde edilecek integrali yaz n z. R 7 8 1R 0 1R =2 R 0 p y p x3 + 1dxdy =? sin 7 d =? 7: ve 8: sorular 20 şer puan, di¼ger sorular 10 ar puand r. Süre 60 dakikad r.
Analiz IV Bütünleme S nav Sorular 29 Haziran 2011 1 S f r hacimli küme ne demektir? Tan mlay n z ve bir örnek veriniz. 2 A = [0; 1] [0; 1] olsun. f : A! R; f (x; y) = 1; x 1 2 0; x > 1 2 fonksiyonu integrallenebilir midir? Nedenleriyle aç klay n z. p 3 = f(x; y) 2 R 2 : x 2 + y 2 = 1g ise x2 + y 2 dxdy =? 4 1R 1R 0 p y p x3 + 1 dxdy =? 5 = f(x; y) 2 R 2 : 1 x 2 + y 2 4; 0 y xg olsun. f (x; y) dxdy integralinde kutupsal koordinat dönüşümü yap ld ¼g nda elde edilecek integrali yaz n z. Her soru 20 puan ve süre 60 dakikad r.