ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ FARKLI GEOMETRİLERDE MOBİUS TRANSFORMASYONLARI VE HAREKETLER.

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİİMERİ ENSTİTÜSÜ OKTORA TEZİ FARKI GEOMETRİERE MOBİUS TRANSFORMASYONARI VE HAREKETER Semra KAYA NURKAN MATEMATİK ANABİİM AI ANKARA 0 Her hakkı saklıdır

IÇ INEK IER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii S IMGEER IZ IN I... v ŞEK IER IZ IN I... vi. G IR IŞ.... TEME KAVRAMAR... 3. MÖB IUS TRANSFORMASYONARI IE E ¼GR IER... ARASINAK I I IŞK I... 0 3. E 3 de Involüt-Evolüt E¼gri Çifti. 0 3. E 3 de Involüt-Evolüt E¼gri Çifti... 5 3.3 E 3 de Bertrand E¼gri Çifti... 9 3.4 E 3 de Bertrand E¼gri Çifti... 4 4. MÖB IUS TRANSFORMASYONARI IÇ IN PO INCARE... GEN IŞEMES I... 9 4. E 4 de Poincare Genişlemesi... 9 4. E 4 de Möbius Transformasyonlar ile Involüt-Evolüt... Olma Aras ndaki Ilişki... 3 4.3 E 4 de Poincare Genişlemesi... 36 4.4 E 4 de Möbius Transformasyonlar ile Involüt-Evolüt... Olma Aras ndaki Ilişki... 38 5. MÖB IUS TRANSFORMASYONARI VE KÜRE... ÜZER INE HAREKETER... 43 6. MÖB IUS TRANSFORMASYONARI IÇ IN B IR... GENEEŞT IRME... 47 6. Inversiyonun Analitik Ifadesi... 49 6. E n de Möbius Transformasyonlar ile Involüt-Evolüt... Olma Aras ndaki Ilişki... 5 KAYNAKAR... 54 ÖZGEÇM IŞ... 55 iv

S IMGEER IZ IN I E 3 E 3 E 4 E 4 bc kk kk S0 H0 S0 3 H0 3 Öklid 3-uzay Minkowski 3-uzay Öklid 4-uzay Minkowski 4-uzay Genişletilmiş kompleks düzlem Öklid normu Minkowski uzay nda norm E 3 de birim küre E 3 de hiperbolik küre E 4 de birim küre E 4 de hiperbolik küre Inversiyon Stereogra k izdüşüm v

ŞEK IER IZ IN I Şekil. Küresel e¼gri : : : : : : : : : : : : : : : : : : :::: : : : : : : : : : : : : :::: : : : : : : ::: : : : ::::::: 8 Şekil 3. E 3 de Involüt-Evolüt e¼gri çifti : : : : : : : : : : : : : : : : : : ::::::: : : : : : : :::::: 3 Şekil 3. E 3 de Bertrand e¼gri çifti :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : Şekil 6. Stereogra k izdüşüm :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: 45 Şekil 6. Inversiyonu : : : : : : ::::: : : : : : : ::::: : : : : : : ::::: : : : : : : ::::: : : : ::::: 50 vi

. G IR IŞ Kesirli dönüşümler olarak da bilinen Möbius transformasyonlar genişletilmiş kompleks düzlemde tan mlanm şt r.bu dönüşümlerin en önemli karakteristik özeli¼gi çemberleri çemberlere dönüştürmesidir. Bu düşünceyi 3-boyutlu Öklid uzay ndaki başka e¼grilere uygulayabilmek amac yla Beardon quaterniyonlar kullanarak Poincare Genişlemesi ni tan mlam şt r. Bu tezde Poincare genişlemesi sayesinde bir e¼grisinin Möbius dönüşümü alt ndaki görüntü e¼grisi elde edilmiştir.e 3 de Involut-Evolüt ve Bertrand e¼gri çiftlerinin görüntü e¼grileri bulunmuş ve bunlar n da ayn özeli¼gi taş mas için gerekli şart n küresellik oldu¼gu gösterilmiştir.ayn yaklaş m üç boyutlu Minkowski uzay na taş yabilmek amac yla split quaterniyonlar kullan larak Poincare genişlemesi elde edilmiş ve E 3 de de küresel Involüt-Evolüt ve Bertrand çifti olma özeli¼ginin Möbius dönüşümleri alt nda invaryant kald ¼g ifade edilmiştir. Quaterniyonlar ve split quaterniyonlar yard m yla Poincare Genişlemesi yeniden tan mlanm ş ve böylece kompleks düzleme izomorf olan E Öklid düzleminde tan mlanan Möbius transformasyonlar, E 4 4-boyutlu Öklid uzay na ve E 4 4-boyutlu Minkowski uzay na genişletilmiştir.bir di¼ger bölümde ise stereogra k izdüşümün Möbius transformasyonlar yla ilgisi kurulmuş ve küre üzerinde dönmeler bu yolla elde edilmiştir. Son bölümde ise Möbius transformasyonlar için bir genelleştirme elde edilmiş,böylece farkl bir bak ş aç s ile yüksek boyutta Möbius dönüşümleri incelenmiştir.

. TEME KAVRAMAR Tan m. M : ^C! ^C a b, M (z) az+b a b c d C, cz+d c d 6 0, ^C C [ fg olarak tan mlanan dönüşüme Möbius Transformasyonu ad verilir. Tan m. c 0 için M dönüşümü S (z) Az + B A 6 0 halini al r.bu Möbius Transformasyonuna Benzerlik önüşümü ad verilir(brannon 999). Tan m.3 a b 0 c 0 d için M dönüşümü J (z) z halini al r.bu Möbius Transformasyonuna Inversiyon önüşümü ad verilir(brannon 999). Teorem. Möbius Transformasyonlar benzerlik ve inversiyon dönüşümlerinin bileşkesi şeklinde yaz labilir(brannon 999). Tan m.4 C kompleks say lar cümlesi ile R boyutlu reel uzay birebir eşleyebiliriz.yani z x + iy kompleks say s ile z (x y) s ral ikilisi düzlemde ayn noktay belirtir.(x y t) R 3 s ral üçlüsünü (x + yi + tj) reel quaterniyonu ile ifade ederek z x + iy olmak üzere z + tj nin M dönüşümü alt ndaki görüntüsü M (z + tj) (az + b) cz + d + act + jad bcj tj jcz + dj + jcj (.) t ile verilir.bu ifadeye Poincare Genişlemesi ad verilir(beardon 995). S (z) Az + B,A 6 0 benzerlik dönüşümü için bu genişleme, S (z + tj) Az + B + jaj tj (.) şeklinde

J (z) inversiyon dönüşümü için, z şeklindedir. J (z + tj) z + tj jzj + t (.3) Bu genişleme sayesinde : I! E 3, (s) ( (s) (s) 3 (s)) e¼grisini + i + 3 j şeklinde düşünerek, benzerlik ve inversiyon dönüşümleri alt nda görüntülerini elde edebiliriz. Bu görüntüler şu şekilde olur: S (z) Az + B A 6 0 A (a a ) B (b b ) olmak üzere, S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 ) (.4) J (z) z olmak üzere, J ( (s)) kk kk 3 kk (.5) d r. Tan m.5 (x y t) E 3 ederek s ral üçlüsünü (x + yi + tj) split quaterniyonu ile ifade z x + iy olmak üzere z + tj nin M dönüşümü alt ndaki görüntüsü M (z + tj) (az + b) cz + d act + jad bcj tj jcz + dj jcj t (.6) şeklinde elde edilir..bu ifadeye split quaterniyonlarda Poincare genişlemesi ad verilir.burada i j dir. S (z) Az + B,A 6 0 benzerlik dönüşümü için bu genişleme, S (z + tj) Az + B + jaj tj (.7) 3

şeklinde J (z) z inversiyon dönüşümü için, J (z + tj) z + tj jzj t (.8) şeklindedir. Bu genişleme sayesinde : I! E 3, (s) ( (s) (s) 3 (s)) e¼grisini + i + 3 j şeklinde düşünerek, benzerlik ve inversiyon dönüşümleri alt nda görüntülerini elde edebiliriz. Bu görüntüler S (z) Az + B A 6 0 A (a a ) B (b b ) olmak üzere, S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 ) (.9) J (z) z J ( (s)) kk 3 kk kk! olmak üzere,şeklinde elde edilir. Tan m.6 E 3 x (x x x 3 ) burada bir vektör olmak üzere g(x x) hx xi x + x x 3 (.0) standart metri¼gi ile verilen Minkowski 3-uzay d r. g inde nite metrik oldu¼gundan E 3 deki her v vektörü için, g(v v)i0 veya v 0 ise spacelike, g(v v)h0 4

ise timelike g(v v) 0 ve v 6 0 ise null olarak tan mlan r. v E 3 vektörünün normu kvk p jg(v v)j ve v w E 3 vektörleri için g(v w) 0 ise v ve w ortogonaldir.,e 3 de regüler e¼gri olsun. E¼ger e¼grisinin her noktas ndaki h z vektörleri spacelike, timelike ve null ise e¼grisi de,s ras yla, spacelike, timelike ve null e¼gri olarak tan mlan r. Tan m.7 E 4 x (x x x 3 x 4 ) bir vektör olmak üzere, g(x x) hx xi x + x x 3 x 4 (.) standart metri¼gi ile verilen Minkowski uzay d r. E 4 deki her v vektörü için, g inde nite metrik oldu¼gundan g(v v)i0 veya v 0 ise spacelike ise timelike g(v v)h0 g(v v) 0 ve v 6 0 ise null olarak tan mlan r. v E 4 vektörünün normu kvk p jg(v v)j ve v w E 4 vektörleri için g(v w) 0 ise v ve w ortogonaldir.,e 4 de regüler e¼gri olsun. E¼ger e¼grisinin her noktas ndaki h z vektörleri spacelike, timelike ve null ise e¼grisi de,s ras yla, spacelike, timelike ve null e¼gri olarak tan mlan r. 5

Tan m.8 E 3 iki e¼gri olsun. (s) ve (s) noktalar nda ve n n Frenet 3- ayakl lar,s ras yla, fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g olmak üzere hv (s) V (s)i 0 (.) ise ya n n involütü, ya da n n evolütü denir. fv (s) V (s)g lineer ba¼g ml (hv (s) V (s)i 0) ise ( ) e¼gri -lisine Bertrand e¼gri çifti denir(hacisaliho¼glu 998). Tan m.9 E 3 asli normal vektörleri spacelike olan spacelike iki e¼gri olsun. (s) ve (s) noktalar nda ve n n Frenet 3- ayakl lar,s ras yla, fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g olmak üzere hv (s) V (s)i 0 (.3) ise ya n n involütü, ya da n n evolütü denir. fv (s) V (s)g lineer ba¼g ml (hv (s) V (s)i 0) ise ( ) e¼gri -lisine Bertrand e¼gri çifti denir. Tan m.0 E 4 iki e¼gri olsun. (s) ve (s) noktalar nda ve n n Frenet 3- ayakl lar,s ras yla, fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g olmak üzere hv (s) V (s)i 0 (.4) ise ya n n involütü, ya da n n evolütü denir fv (s) V (s)g lineer ba¼g ml (hv (s) V (s)i 0) ise ( ) e¼gri -lisine Bertrand e¼gri çifti denir(hacisaliho¼glu 998). 6

Tan m. E 3 de merkezi 0 0 ve yar çap olan S küresini düşünelim.bu kürenin denklemi x + x + x 3 (x 3 ) 0 (.5) olur.burada B (0 0 ) noktas kürenin kutup noktas d r. Şimdi stereogra k izdüşümü tan mlayal m. : S n fbg! C, (X) X, X (x x x 3 ) şeklinde tan mlad ¼g m z dönüşüme Stereogra k izdüşüm denir. 8 X (x x x 3 ) S n fbg için X B + t (X B) (0 0 ) + t ((x x x 3 ) (0 0 )) (tx tx + tx 3 t) : Burada X C oldu¼gundan + tx 3 t 0 t x 3 olur.böylece (X) X x x 0 x 3 x 3 x x x 3 x 3 elde edilir.i¼ger taraftan stereogra k izdüşümü birebir ve örten oldu¼gundan tersi vard r. 7

O halde ters fonksiyonunun ifadesini verelim: : C! S n fbg, X X, X (x x 0) (.6) X ve B noktalar ndan geçen do¼gru denklemi l (0 0 ) + t ((x x 0) (0 0 )) (tx tx t) d r. l do¼grusu ile S n fbg nin arakesit noktas aşa¼gidaki denklemi sa¼glar. (tx ) + (tx ) + ( t) ( t ) 0 t 0 veya t d r. t 0 için bu nokta kutup noktas olur. x + x + i¼ger durumu gözönüne al rsak X x x + x + x x + x + x + x x + x + (.7) biçimde ifade ederiz. 8

Teorem. Möbius Transformasyonlar küresel e¼grileri küresel e¼grilere dönüştüren dönüşümlerdir(beardon 995). Şekil.Küresel e¼gri 9

3. MÖB IUS TRANSFORMASYONARI IE E ¼GR IER ARASINAK I I IŞK I 3. E 3 de Involüt-Evolüt E¼gri Çifti Teorem 3... E 3 de S 0 fx (x x x 3 ) IR 3 : x + x + x 3 g birim küresinde yatan iki e¼gri olsun. J (z) z e¼grisidir. e¼grisinin küresel involütü e¼grisi olsun. inversiyon dönüşümü alt nda J () e¼grisinin küresel involütü de J () Ispat: s yay parametresi olmak üzere (s) ve (s) noktalar nda ve nin Frenet 3- ayakl lar,s ras yla, fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g n n involütü olsun. Yani şeklindedir. hv (s) V (s)i 0 (3.) V (s) 0 (s) ve V (s) 0 (s) ifadelerini (3:) de yerlerine yaz l rsa, E 0 (s) 0 (s) 0 (3.) elde edilir. (s) ve (s) in J dönüşümü alt ndaki görüntüleri, şeklindedir. J ( (s)) J ( (s)) kk kk 3 kk kk kk 3 kk 0

Görüntü e¼grilerinin birinci Frenet vektörleri hesaplan rsa J ( (s)) 0 0 kk kk 0 kk 3 0 kk + kk 0 kk 3 0 3 kk 3 kk 0 kk 3 J ( (s)) 0 0 kk kk 0 kk 3 V J ( (s)) 0! 0 kk + kk 0 kk 3 0 3 kk 3 kk 0 kk 3 V J ( (s))0 bulunur. Şimdi ise görüntü e¼grilerinin involüt-evolüt olma özeli¼gi araşt r l rsa, V V J ( (s)) 0 J ( (s)) 0E V V 0 olmas için, J ( (s)) 0 J ( (s)) 0E 0 eşitli¼ginin sa¼glanmas gerekti¼gi görülür.bu eşitlik hesaplan rsa ve J ( (s)) 0 J ( (s)) 0E * 0 kk kk 0 kk 3 0 kk kk0 kk 3 kk 3 kk 3 0 kk+ kk 0 0 kk 3 3 kk 3kk 0 kk 3 0 kk+ kk0 0 kk 3 3 kk 3 kk0 kk 3 4 kk kk h0 0 i + 4 kk 0 kk 0 h i kk kk 0 h 0 i kk 0 kk h 0 i + 3 5 (3:) denkleminden h 0 0 i 0 yerine yaz l rsa, J ( (s)) 0 J ( (s)) 0E bulunur. 4 4 kk0 kk 0 h i kk kk 0 h 0 i kk 3 kk 3 kk 0 kk h 0 i 3 5 (3.3)

, S 0 oldu¼gundan, kk ) kk 0 0 kk ) kk 0 0 d r. Bu ifadeler (3:3) denkleminde yerlerine yaz l rsa, J ( (s)) 0 J ( (s)) 0E 0 bulunur. O halde J () n n küresel involütü J () olur. Teorem 3.. E 3 de S0 fx (x x x 3 ) IR 3 : x + x + x 3 g birim küresinde yatan iki e¼gri olsun. n n küresel involütü olsun. S (z) Az + B A 6 0 benzerlik dönüşümü alt nda S () n n küresel involütü de S () d r. Ispat: (s) ve (s) noktalar nda ve nin Frenet 3- ayakl lar,s ras yla, fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g olmak üzere n n involütü olsun. Yani, hv (s) V (s)i 0 (3.4) d r. V (s) 0 (s) ve V (s) 0 (s) ifadelerini (3:4) de yerlerine yaz l rsa, E 0 (s) 0 (s) 0 (3.5) elde edilir.

(s) ve (s) in S dönüşümü alt ndaki görüntüleri, S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 ) S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 ) şeklindedir. Görüntü e¼grilerinin birinci Frenet vektör alanlar hesaplan rsa S ( (s)) 0 (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) V S ( (s))0 S ( (s)) 0 S ( (s)) 0 (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) V S ( (s))0 S ( (s)) 0 bulunur. Şimdi ise görüntü e¼grilerinin Involüt-Evolüt olma özeli¼gi araşt r l rsa, * + V V S ( (s)) 0 S ( (s)) 0 S ( (s)) 0 S ( (s)) 0 S ( (s)) 0 S 0 S ( (s)) 0 S ( (s)) 0E ( (s)) V V 0 olmas için, S ( (s)) 0 S ( (s)) 0E 0 eşitli¼ginin sa¼glanmas gerekti¼gi görülür.bu eşitlik hesaplan rsa, S ( (s)) 0 S ( (s)) 0E * (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) a h 0 0 i + a h 0 0 i + a + a h 0 0 i 3

ve (3:5) denkleminden h 0 0 i 0 yerine yaz l rsa, S ( (s)) 0 S ( (s)) 0E 0 bulunur. O halde S () n n küresel involütü S () olur. Teorem 3.. ve 3.. gözönüne al n rsa aşa¼g daki sonuca ulaş l r. Sonuç 3. E 3 de Möbius Transformasyonlar n n Poincare genişlemesi küresel involüt-evolüt olmay korur. Şekil 3. E 3 de Involüt-Evolüt E¼gri Çifti 4

3. E 3 de Involüt-Evolüt E¼gri Çifti Teorem 3.. E 3 de H0 fx (x x x 3 ) IR 3 : x + x x 3 g küresinde yatan asli normal vektörleri spacelike olan spacelike iki e¼gri, olsun. n n küresel involütü olsun. J (z) inversiyon dönüşümü alt nda J () n n küresel involütü z de J () d r. Ispat: s yay parametresi olmak üzere (s) ve (s) noktalar nda ve nin Frenet 3- ayakl lar s ras yla fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g, n n involütü olsun. Yani hv (s) V (s)i 0 (3.6) şeklindedir. V (s) 0 (s) ve V (s) 0 (s) ifadeleri (3:6) de yerlerine yaz l rsa, elde edilir. (s) ve (s) in J dönüşümü alt ndaki görüntüleri, J ( (s)) E 0 (s) 0 (s) 0 (3.7) kk 3 kk kk! J ( (s)) kk 3 kk kk! biçimindedir.bu görüntü e¼grileri de spacelike e¼grilerdir. Görüntü e¼grilerinin birinci Frenet vektör alanlar hesaplan rsa J ( (s)) 0 0 kk kk 0 kk 3 0 kk + kk 0 kk 3 0 3 kk 3 kk 0 kk 3! 5

V J ( (s)) 0 0 kk kk 0 kk 3 bulunur. V J ( (s))0 J ( (s)) 0 0 kk + kk 0 kk 3 0 3 kk 3 kk 0 kk 3 J ( (s))0 J ( (s)) 0! Şimdi ise görüntü e¼grilerinin involüt-evolüt olma özeli¼gi araşt r l rsa, V V * + J ( (s)) 0 J ( (s)) 0 J ( (s)) 0 J ( (s)) 0 J ( (s)) 0 J 0 ( (s)) J ( (s)) 0 J ( (s)) 0E V V 0 olmas için, J ( (s)) 0 J ( (s)) 0E 0 eşitli¼ginin sa¼glanmas gerek- ti¼gi görülür. Bu eşitlik hesaplan rsa, J ( (s)) 0 J ( (s)) 0E * 0 kk kk 0 0 kk kk 3 kk3 kk 3 kk 3 kk0 0 kk + kk 0 kk 3 0 3 kk 3kk 0 + kk 3 0 kk + kk0 0 kk 3 3 kk 3 kk0 kk 3 4 kk kk h0 0 i + 4 kk 0 kk0 h i kk kk 0 h0 i kk 0 kk h 0 i 3 5 (3:7) denkleminden h 0 0 i 0 yerine yaz l rsa, J ( (s)) 0 J ( (s)) 0E bulunur. 4 4 kk0 kk0 h i kk kk 0 h0 i 3 5 kk 3 kk3 kk 0 kk h 0 i (3.8) 6

H 0 oldu¼gundan, kk ) kk 0 0 kk ) kk 0 0 d r.bu ifadeler (3:8) denkleminde yaz l rsa, J ( (s)) 0 J ( (s)) 0E 0 bulunur. O halde J () n n küresel involütü J () olur. Teorem 3.. E 3 de H0 fx (x x x 3 ) IR 3 : x + x x 3 g küresinde yatan asli normal vektörleri spacelike olan spacelike iki e¼gri, olsun. n n küresel involütü olsun. S (z) Az + B A 6 0 benzerlik dönüşümü alt nda S () n n küresel involütü de S () d r. Ispat: s yay parametresi olmak üzere (s) ve (s) noktalar nda ve nin Frenet 3- ayakl lar s ras yla fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g, n n involütü olsun. Yani, hv (s) V (s)i 0 (3.9) şeklindedir. V (s) 0 (s) ve V (s) 0 (s) ifadeleri (3:9) da yerlerine yaz l rsa, elde edilir. E 0 (s) 0 (s) 0 (3.0) 7

(s) ve (s) in J dönüşümü alt ndaki görüntüleri, S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 ) ve S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 ) şeklindedir.bu görüntü e¼grileri de spacelike e¼grilerdir. Görüntü e¼grilerinin birinci Frenet vektörleri hesaplan rsa S ( (s)) 0 (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) bulunur V S ( (s))0 S ( (s)) 0 S ( (s)) 0 (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) V S ( (s))0 S ( (s)) 0.Şimdi ise görüntü e¼grilerinin involüt-evolüt olma özeli¼gi araşt r l rsa, V V * + S ( (s)) 0 S ( (s)) 0 S ( (s)) 0 S ( (s)) 0 S ( (s)) 0 S 0 ( (s)) S ( (s)) 0 S ( (s)) 0E V V 0 olmas için, S ( (s)) 0 S ( (s)) 0E 0 eşitli¼ginin sa¼glanmas gerek- 8

ti¼gi görülür.bu eşitlik hesaplan rsa, S ( (s)) 0 S ( (s)) 0E * (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) a h 0 0 i + a h 0 0 i + a + a h 0 0 i (3:0) denkleminden h 0 0 i 0 yerine yaz l rsa, S ( (s)) 0 S ( (s)) 0E 0 bulunur.o halde S () n n küresel involütü S () olur. Teorem 3.. ve 3.. gözönüne al n rsa aşa¼g daki sonuca ulaş l r. Sonuç 3. E 3 de Möbius Transformasyonlar n n Poincare genişlemesi küresel involüt-evolüt olmay korur. 3.3 E 3 de Bertrand E¼gri Çifti Teorem 3.3. E 3 de S 0 fx (x x x 3 ) IR 3 : x + x + x 3 g birim küresinde yatan iki e¼gri olsun. ve küresel Bertrand çifti olsun.j (z) z inversiyon dönüşümü alt nda J (), J () da küresel Bertrand çifti oluştururlar. Ispat: s yay parametresi olmak üzere (s) ve (s) noktalar nda ve nin Frenet 3- ayakl lar,s ras yla, fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g Bertrand çifti olsun. Yani, hv (s) V (s)i 0 (3.) şeklindedir. 9

V (s) 0 (s) ve V (s) 00 (s) k 00 (s)k ifadeleri (3:) da yerlerine yaz l rsa, h 00 (s) 0 (s)i 0 (3.) elde edilir. (s) ve (s) in J dönüşümü alt ndaki görüntüleri, şeklindedir. J ( (s)) J ( (s)) kk kk 3 kk kk kk 3 kk, S 0 oldu¼gundan, kk ) kk 0 0 (3.3) kk ) kk 0 0 d r. Görüntü e¼grileri için (3:3) denklemi gözönüne al narak V ve V hesaplan rsa, J ( (s)) 0 0 kk kk 0 kk 3 J ( (s)) 0 V 0 kk + kk 0 kk 3 0 3 kk 3 kk 0 kk 3 0 kk 0 kk 0 3 kk J ( (s))0 J ( (s)) 0 0 J ( (s)) 0 kk 0 kk 0 3 kk 00 J ( (s)) 00 kk 00 kk 00 3 kk 0

J ( (s))00 V J ( (s)) 00 bulunur. Şimdi ise görüntü e¼grilerinin Bertrand çifti olma özeli¼gi araşt r l rsa, * + V J ( (s)) 0 J ( (s)) 00 V J ( (s)) 0 J ( (s)) 00 J ( (s)) 0 J 00 J ( (s)) 0 J ( (s)) 00E ( (s)) V V 0 olmas için J ( (s)) 0 J ( (s)) 00E 0 eşitli¼ginin sa¼glanmas gerekti¼gi görülür.bu eşitlik hesaplan rsa, J ( (s)) 0 J ( (s)) 00E 0 kk 0 kk 0 3 kk kk kk ( 0 0 0 3) kk kk h0 00 i 00 kk 00 00 00 kk 00 3 kk E 00 3 (3:) denkleminden h 00 (s) 0 (s)i 0 yerine yaz l rsa, J ( (s)) 0 J ( (s)) 00E 0 elde edilir. O halde J () ve J () küresel Bertrand çifti olurlar. Teorem 3.3. E 3 de S 0 fx (x x x 3 ) IR 3 : x + x + x 3 g birim küresinde yatan iki e¼gri olsun. ve küresel Bertrand çifti olsun.s (z) Az + B A 6 0 benzerlik dönüşümü alt nda S (), S () da küresel Bertrand çifti oluştururlar. Ispat: s yay parametresi olmak üzere (s) ve (s) noktalar nda ve nin Frenet 3- ayakl lar,s ras yla,

fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g, Bertrand çifti olsun. Yani, hv (s) V (s)i 0 (3.4) d r. V (s) 0 (s) ve V (s) 00 (s) k 00 (s)k ifadeleri (3:4) da yerlerine yaz l rsa, h 00 (s) 0 (s)i 0 (3.5) elde edilir. (s) ve (s) in S dönüşümü alt ndaki görüntüleri, S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 ) ve şeklindedir. S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 ) Görüntü e¼grileri için V ve V hesaplan rsa, S ( (s)) 0 (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) S ( (s)) 00 (a 00 a 00 a 00 + a 00 jaj 00 3) V S ( (s))00 S ( (s)) 00 S ( (s)) 0 (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) V S ( (s))0 S ( (s)) 0 bulunur.

Şimdi ise görüntü e¼grilerinin Bertrand çifti olma özeli¼gi araşt r l rsa, * + V S ( (s)) 0 S ( (s)) 00 V S ( (s)) 0 S ( (s)) 00 S ( (s)) 0 S 00 S ( (s)) 0 S ( (s)) 00E ( (s)) V V 0 olmas için S ( (s)) 0 S ( (s)) 00E 0 olmas gerekti¼gi görülür.bu eşitlik hesaplan rsa, S ( (s)) 0 S ( (s)) 00E * (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) (a 00 a 00 a 00 + a 00 jaj 00 3) a h 0 00 i + a h 0 00 i a + a h 0 00 i + (3:5) denkleminden, h 00 (s) 0 (s)i 0 yerine yaz l rsa, S ( (s)) 0 S ( (s)) 00E 0 elde edilir. O halde S () ve S () da küresel Bertrand çifti oluştururlar. Teorem 3.3. ve 3.3. gözönüne al n rsa aşa¼g daki sonuca ulaş l r. 3

Sonuç 3.3 E 3 de Möbius Transformasyonlar n n Poincare genişlemesi küresel Bertrand çifti olmay korur. Şekil 3. E 3 de Bertrand Çifti 3.4 E 3 de Bertrand E¼gri Çifti Teorem 3.4. E 3 de H 0 fx (x x x 3 ) IR 3 : x + x x 3 g küresinde yatan asli normal vektörleri spacelike olan spacelike iki e¼gri, olsun., küresel Bertrand çifti ise J (z) z Bertrand çifti oluştururlar. inversiyon dönüşümü alt nda J (), J () da küresel Ispat: s yay parametresi olmak üzere (s) ve (s) noktalar nda ve nin Frenet 3- ayakl lar,s ras yla, fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g Bertrand çifti olsun. Yani, şeklindedir. hv (s) V (s)i 0 (3.6) 4

V (s) 0 (s) ve V (s) 00 (s) k 00 (s)k ifadelerini (3:6) da yerlerine yaz l rsa, h 00 (s) 0 (s)i 0 (3.7) elde edilir. (s) ve (s) in J dönüşümü alt ndaki görüntüleri,! J ( (s)) kk 3 kk kk ve! J ( (s)) kk 3 kk kk şeklindedir. H 0 oldu¼gundan, kk ) kk 0 0 (3.8) kk ) kk 0 0 d r. Görüntü e¼grileri için (3:8) denklemi gözönüne al narak V ve V hesaplan rsa, J ( (s)) 0 0 kk kk 0 kk 3 0 kk + kk 0 kk 3 0 3 kk 3 kk 0 kk 3! J ( (s)) 0 0 kk 0 0 3 kk kk! J ( (s)) 0 V J ( (s)) 0 0 0 0 3 kk kk kk! 5

J ( (s)) 00 V 00 00 00 3 kk kk kk J ( (s))00 J ( (s)) 00! bulunur. Şimdi ise görüntü e¼grilerinin Bertrand çifti olma özeli¼gi araşt r l rsa, V V * + J ( (s)) 0 J ( (s)) 00 J ( (s)) 00 J ( (s)) 00 J ( (s)) 0 J ( (s)) 00E V V 0 olmas için J ( (s)) 0 J ( (s)) 00E 0 eşitli¼ginin sa¼glanmas gerekti¼gi görülür.bu eşitlik hesaplan rsa, J ( (s)) 0 J ( (s)) 00E * 0 0 0 3! kk kk kk kk ( 0 0 0 3) kk kk h 0 00 i kk (3:7) denkleminden h 00 (s) 0 (s)i 0 yerine yaz l rsa, J ( (s)) 0 J ( (s)) 00E 0 00 00 00 3 kk kk kk E 00 3 00 00!+ elde edilir. O halde J () ve J () küresel Bertrand çifti olurlar. Teorem 3.4. E 3 de H0 fx (x x x 3 ) IR 3 : x + x x 3 g küresinde yatan asli normal vektörleri spacelike olan spacelike iki e¼gri, olsun., küresel Bertrand çifti ise S (z) Az + B A 6 0 benzerlik dönüşümü alt nda S (), S () da küresel Bertrand çifti oluştururlar. 6

Ispat: s yay parametresi olmak üzere (s) ve (s) noktalar nda ve nin Frenet 3- ayakl lar,s ras yla, fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g Bertrand çifti olsun. Yani, hv (s) V (s)i 0 (3.9) d r. V (s) 0 (s) ve V (s) 00 (s) k 00 (s)k ifadeleri (3:9) da yerlerine yaz l rsa, h 00 (s) 0 (s)i 0 (3.0) elde edilir. (s) ve (s) in S dönüşümü alt ndaki görüntüleri, S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 ) S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 ) şeklindedir. Görüntü e¼grileri için V ve V hesaplan rsa, S ( (s)) 0 (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) S ( (s)) 00 (a 00 a 00 a 00 + a 00 jaj 00 3) V S ( (s))00 S ( (s)) 00 S ( (s)) 0 (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) V S ( (s)) 0 bulunur. 7

Şimdi ise görüntü e¼grilerinin Bertrand çifti olma özeli¼gi araşt r l rsa, V V * + S ( (s)) 0 S ( (s)) 00 S ( (s)) 00 S ( (s)) 00 S ( (s)) 0 S ( (s)) 00E V V 0 olmas için S ( (s)) 0 S ( (s)) 00E 0 olmas gerekti¼gi görülür.bu eşitlik hesaplan rsa, S ( (s)) 0 S ( (s)) 00E * (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) (a 00 a 00 a 00 + a 00 jaj 00 3) + a h 0 00 i + a h 0 00 i a + a h 0 00 i (3:0) denkleminden, h 00 (s) 0 (s)i 0 yerine yaz l rsa, S ( (s)) 0 S ( (s)) 00E 0 elde edilir. O halde S () ve S () da küresel Bertrand çifti oluştururlar. Teorem 3.4. ve 3.4. gözönüne al n rsa aşa¼g daki sonuca ulaş l r. Sonuç 3.4 E 3 de Möbius Transformasyonlar n n Poincare genişlemesi küresel Bertrand çifti olmay korur. 8

4. MÖB IUS TRANSFORMASYONARI IÇ IN PO INCARE GEN IŞEMES I 4. E 4 de Poincare Genişlemesi C kompleks say lar cümlesi ile R -boyutlu reel uzay birebir eşleyebiliriz.yani z x + iy kompleks say s ile z (x y) s ral ikilisi düzlemde ayn noktay belirtir. (x y u v) R 4 s ral dörtlüsünü de q x + yi + uj + vk kuaterniyonu ile ifade edersek, q x + yi + uj + vk q x + yi + (u + vi) {z } {z } j q z + wj şeklinde bir gösterim elde ederiz.burada, i j k dir. Bir q kuaterniyonu q z + wj z w C olarak gösterilmek üzere q z + w j ve q z + w j kuaterniyonlar için çarpma işlemi q q (z + w j) (z + w j) (z z w w ) + (z w + w z ) j şeklindedir. Bunun yan nda z w C olmak üzere, (z + wj) (z wj) jzj + jwj ve jz zj 9

oldu¼gu görülür. Bu bilgileri gözönüne alarak, q z + wj kuaterniyonunun Möbius dönüşümü alt ndaki görüntüsü M (q) aq + b cq + d M ( z + wj) a ( z + wj) + b c ( z + wj) + d M ( z + wj) az + b + awj cz + d + cwj cz + d cwj M ( z + wj) (az + b + awj) cz + d cwj jcz + dj + jcwj M ( z + wj) (az + b) cz + d + ac jwj + jad bcj wj jcz + dj + jcwj şeklinde elde edilir.bu ifadeye Möbius dönüşümü için Poincare genişlemesi ad verilir. S (z) Az + B,A 6 0 benzerlik dönüşümü için bu genişleme S (z + wj) Az + B + jaj wj şeklindedir. Benzer şekilde J (z) z inversiyon dönüşümü için bu genişleme J (z + wj) z + wj jzj + jwj olur. Bu genişleme sayesinde : I! E 4, (s) ( (s) (s) 3 (s) 4 (s)) e¼grisini + i + 3 j + 4 k şeklinde düşünerek, benzerlik ve inversiyon dönüşümleri 30

alt nda görüntülerini elde edebiliriz.bu görüntüler şu şekilde olur: S (z) Az + B A 6 0 A (a a ) B (b b ) olmak üzere, S ( (s)) S ( + i + ( 3 + 4 i) j) S (z + wj) A ( + i) + B + jaj ( 3 + 4 i) j A + B + A i + jaj 3 j + jaj 4 k (a a + b a + a + b jaj 3 jaj 4 ) J (z) z olmak üzere, J ( (s)) J ( + i + ( 3 + 4 i) j) J (z + wj) i + ( 3 + 4 i) j + + 3 + 4 J ( (s)) kk kk 3 kk 4 kk d r. 4. E 4 de Möbius Transformasyonlar Ile Involüt-Evolüt Olma Aras ndaki Ilişki Teorem 4.. E 4 de S0 3 fx (x x x 3 x 4 ) IR 4 : x + x + x 3 + x 4 g birim küresinde yatan iki e¼gri, olsun. e¼grisinin küresel involütü e¼grisi olsun. J (z) inversiyon dönüşümü alt nda J () e¼grisinin küresel involütü de J () z e¼grisidir. Ispat: s yay parametresi olmak üzere (s) ve (s) noktalar nda ve nin Frenet 3- ayakl lar,s ras yla, fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g n n involütü olsun. 3

Yani hv (s) V (s)i 0 (4.) şeklindedir. V (s) 0 (s) ve V (s) 0 (s) ifadeleri (4:) de yerlerine yaz l rsa, E 0 (s) 0 (s) 0 (4.) elde edilir. (s) ve (s) in J dönüşümü alt ndaki görüntüleri, J ( (s)) kk kk 3 kk 4 kk ve şeklindedir. J ( (s)) kk kk 3 kk 4 kk Görüntü e¼grilerinin birinci Frenet vektörleri hesaplan rsa 0 0 kk kk 0 kk 3 0 kk + kk 0 kk 3 0 3 kk 3 kk 0 kk 3 0 4 kk 4 kk 0 kk 3 0 0 kk kk 0 kk 3 V 0 0! 0 kk + kk 0 kk 3 0 3 kk 3 kk 0 kk 3 0 4 kk 4 kk 0 kk 3 0 V 0 bulunur. 3

Şimdi ise görüntü e¼grilerinin involüt-evolüt olma özeli¼gi araşt r l rsa, V V E V V 0 olmas için, 0 0 eşitlik hesaplan rsa, * 0 0 + 0 0 0 E 0 0 0 0 eşitli¼ginin sa¼glanmas gerekti¼gi görülür.bu 0 0 E * 0 kk kk 0 kk 3 0 kk kk0 kk 3 kk 3 kk 3 0 kk+ kk 0 0 kk 3 3 kk 3kk 0 0 kk 3 4 kk 4kk 0 kk 3 0 kk+ kk0 0 kk 3 3 kk 3 kk0 0 kk 3 4 kk 4 kk0 kk 3 3 4 kk kk h0 0 i + 4 kk 0 kk 0 h i kk kk 0 h 0 i kk 0 kk h 0 i 5 + (4:) denkleminden h 0 0 i 0 yerine yaz l rsa, E 0 0 4 4 kk0 kk 0 h i kk kk 0 h 0 i kk 3 kk 3 kk 0 kk h 0 i 3 5 (4.3) bulunur., S 3 0 oldu¼gundan, kk ) kk 0 0 kk ) kk 0 0 d r.bu ifadeler (4:3) denkleminde yaz l rsa, E 0 0 0 bulunur. 33

O halde J () n n küresel involütü J () olur. Teorem 4.. E 4 de S 3 0 fx (x x x 3 x 4 ) IR 4 : x + x + x 3 + x 4 g birim küresinde yatan iki e¼gri olsun. n n küresel involütü olsun.s (z) Az + B A 6 0 benzerlik dönüşümü alt nda S () n n küresel involütü de S () d r. Ispat: (s) ve (s) noktalar nda ve nin Frenet 3- ayakl lar,s ras yla, fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g olmak üzere n n involütü olsun. Yani, hv (s) V (s)i 0 (4.4) d r. V (s) 0 (s) ve V (s) 0 (s) ifadelerini (4:4) de yerine yaz l rsa, E 0 (s) 0 (s) 0 (4.5) elde edilir. (s) ve (s) in J dönüşümü alt ndaki görüntüleri, S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 jaj 4 ) ve S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 jaj 4 ) biçimindedir. Görüntü e¼grilerinin birinci Frenet vektör alanlar hesaplan rsa 0 (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3 jaj 0 4) 34

V 0 0 S ( (s)) 0 (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3 jaj 0 4) 0 V 0 bulunur. Şimdi ise görüntü e¼grilerinin Involüt-Evolüt olma özeli¼gi araşt r l rsa, V V E V V 0 olmas için, 0 0 eşitlik hesaplan rsa, * 0 0 + 0 0 0 E 0 0 0 0 eşitli¼ginin sa¼glanmas gerekti¼gi görülür.bu 0 0 E * (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3 jaj 0 4) (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3 jaj 0 4) jaj h 0 0 i + (4:5) denkleminden h 0 0 i 0 yerine yaz l rsa, E 0 0 0 bulunur. O halde S () n n küresel involütü S () olur. Teorem 4.. ve 4.. gözönüne al n rsa aşa¼g daki sonuca ulaş l r. 35

Sonuç 4. E 4 de Möbius Transformasyonlar n n Poincare genişlemesi küresel involüt-evolüt olmay korur. 4.3 E 4 de Poincare Genişlemesi C kompleks say lar cümlesi ile R -boyutlu reel uzay birebir eşleyebiliriz.yani z x + iy kompleks say s ile z (x y) s ral ikilisi düzlemde ayn noktay belirtir. (x y u v) R 4 s ral dörtlüsünü de q x + yi + uj + vk split kuaterniyonu ile ifade edersek, q x + yi + uj + vk q x + yi + (u + vi) {z } {z } j q z + wj şeklinde bir gösterim elde ederiz.burada, i j k dir. Bir q split kuaterniyonu q z + wj z w C olarak gösterilmek üzere q z + w j ve q z + w j split kuaterniyonlar için çarpma işlemi q q (z + w j) (z + w j) (z z + w w ) + (z w + w z ) j biçimdedir.bunun yan nda z w C olmak üzere, (z + wj) (z wj) jzj jwj ve jz zj oldu¼gu görülür. 36

Bu bilgileri gözönüne alarak, q alt ndaki görüntüsü z + wj split kuaterniyonunun Möbius dönüşümü M (q) aq + b cq + d M ( z + wj) a ( z + wj) + b c ( z + wj) + d M ( z + wj) az + b + awj cz + d + cwj cz + d cwj M ( z + wj) (az + b + awj) cz + d cwj jcz + dj jcwj M ( z + wj) (az + b) cz + d ac jwj + jad bcj wj jcz + dj jcwj biçiminde elde edilir. Bu ifadeye split quaterniyonlarda Poincare genişlemesi ad verilir. S (z) Az + B,A 6 0 benzerlik dönüşümü için bu genişleme S (z + wj) Az + B + jaj wj biçimindedir.benzer olarak J (z) z inversiyon dönüşümü için bu genişleme J (z + wj) z + wj jzj jwj olur.bu genişleme sayesinde : I! E 4, (s) ( (s) (s) 3 (s) 4 (s)) e¼grisini + i + 3 j + 4 k şeklinde düşünerek, benzerlik ve inversiyon dönüşümleri alt nda görüntülerini elde edebiliriz.bu görüntüler şöyledir: 37

S (z) Az + B A 6 0 A (a a ) B (b b ) olmak üzere, S ( (s)) S ( + i + ( 3 + 4 i) j) S (z + wj) A ( + i) + B + jaj ( 3 + 4 i) j A + B + A i + jaj 3 j + jaj 4 k (a a + b a + a + b jaj 3 jaj 4 ) J (z) z olmak üzere, J ( (s)) J ( + i + ( 3 + 4 i) j) J (z + wj) i + ( 3 + 4 i) j + 3 4 kk 3 4 kk kk kk! d r. 4.4 E 4 de Möbius Transformasyonlar Ile Involüt-Evolüt Olma Aras ndaki Ilişki Teorem 4.4. E 4 de H0 3 fx (x x x 3 x 4 ) IR 4 : x + x x 3 x 4 g birim küresinde yatan spacelike asli normalli spacelike iki e¼gri, ve e¼grisinin küresel involütü e¼grisi olsun. J (z) inversiyon dönüşümü alt nda J () z e¼grisinin küresel involütü de J () e¼grisidir. Ispat: s yay parametresi olmak üzere (s) ve (s) noktalar nda ve nin Frenet 3- ayakl lar s ras yla fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g, n n involütü olsun. 38

Yani hv (s) V (s)i 0 (4.6) d r. V (s) 0 (s) ve V (s) 0 (s) ifadelerini (4:6) de yerine yaz l rsa, elde edilir. E 0 (s) 0 (s) 0 (4.7) (s) ve (s) in J dönüşümü alt ndaki görüntüleri, J ( (s)) J ( (s)) kk kk 3 4! kk kk kk! kk 3 kk 4 kk biçimindedir. Görüntü e¼grilerinin birinci Frenet vektörleri hesaplan rsa 0 0 @ 0 kk kk 0 kk 3 0 3 kk 3kk 0 kk 3 0 kk + kk 0 kk 3 0 4 kk 4kk 0 kk 3 A 0 0 @ V 0 kk kk0 kk 3 0 3 kk 3 kk0 kk 3 0 0 0 kk + kk0 kk 3 0 4 kk 4 kk0 kk 3 A 0 V 0 bulunur. 39

Şimdi ise görüntü e¼grilerinin involüt-evolüt olma özeli¼gi araşt r l rsa, V V * 0 0 + 0 0 0 E 0 0 0 E V V 0 olmas için, 0 0 0 eşitli¼ginin sa¼glanmas gerekti¼gi görülür.bu eşitlik hesaplan rsa, 0 0 E * 0 kk kk 0 0 kk kk 3 kk3 kk 3 kk 3 kk0 0 kk + kk 0 kk 3 0 kk + kk0 kk 3 0 3 kk 3kk 0 kk 3 0 3 kk 3 kk0 kk 3 0 4 kk 4kk 0 kk 3 0 4 kk 4 kk0 kk 3 4 kk kk h0 0 i + 4 kk 0 kk0 h i kk kk 0 h0 i kk 0 kk h 0 i 3 5 + ve (4:7) denkleminden h 0 0 i 0 yerine yaz l rsa, 0 0 E kk 3 kk3 4 4 kk0 kk0 h i kk kk 0 h0 i kk 0 kk h 0 i 3 5 (4.8) bulunur., H 3 0 oldu¼gundan, kk ) kk 0 0 kk ) kk 0 0 d r.bu ifadeler (4:8) denkleminde yaz l rsa, E 0 0 bulunur. 0 40

O halde J () n n küresel involütü J () olur. Teorem 4.4. E 4 de H0 3 fx (x x x 3 x 4 ) IR 4 : x + x x 3 x 4 g birim küresinde yatan spacelike asli normalli spacelike iki e¼gri ve n n küresel involütü olsun. S (z) Az + B A 6 0 benzerlik dönüşümü alt nda S () n n küresel involütü de S () d r. Ispat: (s) ve (s) noktalar nda ve nin Frenet 3- ayakl lar s ras yla fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g olmak üzere n n involütü olsun. Yani, hv (s) V (s)i 0 (4.9) d r.v (s) 0 (s) ve V (s) 0 (s) ifadelerini (4:9) de yerlerine yaz l rsa, elde edilir E 0 (s) 0 (s) 0 (4.0). (s) ve (s) in J dönüşümü alt ndaki görüntüleri, S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 jaj 4 ) S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 jaj 4 ) d r. Görüntü e¼grilerinin birinci Frenet vektör alanlar hesaplan rsa 0 (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3 jaj 0 4) V 0 0 4

S ( (s)) 0 (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3 jaj 0 4) 0 V 0 bulunur. Şimdi ise görüntü e¼grilerinin Involüt-Evolüt olma özeli¼gi araşt r l rsa, V V * 0 0 + 0 0 0 E 0 0 0 E V V 0 olmas için, 0 0 0 eşitli¼ginin sa¼glanmas gerekti¼gi görülür.bu eşitlik hesaplan rsa, 0 0 E * (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3 jaj 0 4) (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3 jaj 0 4) jaj h 0 0 i + ve (4:0) denkleminden h 0 0 i 0 yerine yaz l rsa, bulunur. 0 0 E 0 O halde S () n n küresel involütü S () olur. Teorem 4.4. ve 4.4. gözönüne al n rsa aşa¼g daki sonuca ulaş l r. Sonuç 4. E 4 de Möbius Transformasyonlar n n Poincare genişlemesi küresel involüt-evolüt olmay korur. 4

5. MÖB IUS TRANSFORMASYONARI ve KÜRE ÜZER INE HAREKETER Bu bölümde stereogra k izdüşüm ve Möbius transformasyonlar yard m yla küre üzerinde bir dönme elde edece¼giz. Teorem 5. M : C! C M (z) az + b bz + a a b C jaj + jbj formundaki her Möbius dönüşümü küre üzerinde bir dönmesine karş l k gelir. Ispat : S n fbg! C M! C! S n fbg : S n fbg! S n fbg M d r.8 X (x x x 3 ) S n fbg için (X) ( M) (X) eşitli¼gini kullanarak dönüşümünün uzakl klar korudu¼gunu gösterelim.yani k (X) (Y )k kx Y k oldu¼gunu gösterelim. Bunun için öncelikle (M (z)) (M (w)) (z) (w) (5.) oldu¼gunu gösterece¼giz.burada M (z) az + b bz + a ve M (w) aw + b bw + a z x + iy 43

w u + iv jaj + jbj olmak üzere (z)! x jzj + y jzj + jzj jzj + z x + iy yazabiliriz. Ilk olarak (5:) eşitli¼ginin sa¼g taraf olan (z) (w) ifadesini hesaplayal m. (z) (w)! x jzj + y jzj + jzj jzj + x jzj + u jwj + y jzj + v jwj + u jwj + jzj jzj + v jwj + jwj jwj + jwj jwj+! (z) (w) v u t x (jzj +) + y (jzj +) xu (jzj +)(jwj +) + u (jwj +) + v (jwj +) + jzj jwj (jzj +)(jwj +) + q jzj + jwj xu yv q + jzj q + jwj jz wj q q + jzj + jwj yv (jzj +)(jwj +) jzj 4 (jzj +) jwj4 (jwj +) (z) (w) jz wj q + jzj q + jwj (5.) 44

dir.şimdi de (5:) denkleminde z! M (z) ve w! M (w) yazal m: (M (z)) (M (w)) jm (z) M (w)j q + jm (z)j q + jm (w)j (5.3) elde edilir.bu ifadenin öncelikle pay k sm n hesaplayal m: M (z) M (w) az + b aw + b bz + a bw + a jaj + jbj (z w) bz + a bw + a (z w) bz + a bw + a jm (z) M (w)j jz wj bz + a bw + a (5.4) Şimdi de (5:3) denkleminin paydas n hesaplayal m: ve d r. q + jm (z)j q + jm (w)j s + az + b bz + a v u t bz + a + jaz + bj bz + a q + jzj bz + a s + aw + b bw + a v u t bw + a + jaw + bj bw + a q + jwj bw + a 45

Buldu¼gumuz bu ifadeleri (5:3) denkleminde yerlerine yazd ¼g m z takdirde (M (z)) (M (w)) (z) (w) elde edilir.8 P Q S n fbg için (P ) z, (Q) w k (P ) (Q)k M (P ) M (Q) (M (z)) (M (w)) (z) (w) kp Qk dir. Bu da gösteriyor ki küreden küreye bir dönüşüm olan uzakl klar korur.yani bir izometridir. IR 3 uzay nda g : S! S g (tx) tg (X), X S olacak şekildeki her g dönüşümü bir izometridir ve dolay s yla X S için g (0) g (0X) 0g (X) 0 d r. olay s yla dönüşümü IR 3 de bir izometridir ve (0) 0 d r.böylelikle dönüşümü A ortogonal matrisi ile verilen bir harekettir.yani orjinden geçen düzlemde bir dönmedir.fakat bir yans ma olamaz.çünkü yans ma olsayd birçok sabit noktas olurdu.sonuç olarak dönüşümü küre üzerinde sadece bir dönmedir. 46

6. MÖB IUS TRANSFORMASYONARI IÇ IN B IR GENEEŞT IRME Bu bölümde stereogra k izdüşüm yard m yla Möbius dönüşümünün n boyutlu Öklid uzay na genelleştirilmesi amaçlanm şt r. Tan m 6. E n+ de merkezi C 0 0 ::: r ve yar çap r olan Sn küresini düşünelim.bu kürenin denklemi x + x + :::x n + x n+ (x n+ r) 0 d r.burada B (0 0 ::: r) S n noktas na kutup noktas denir.8x (x x ::: x n+ ) S n n fbg için : S n n fbg! E n X! (X) X olarak tan mlanan dönüşüme Stereogra k Izdüşüm denir. Şekil 6. Stereogra k Izdüşüm Şekil (6:) den görüldü¼gü üzere B noktas ndan geçen! BX vektörüne paralel olan 47

do¼grunun denklemi X B + t (X B) (6.) (0 0 ::: r) + t ((x x ::: x n+ ) (0 0 ::: r)) (tx tx ::: t (x n+ r)) dir.burada BOX BX üçgen benzerli¼ginden jbj jboj jbxj BX r x n+ r kx Bk X B (6.) yaz labilir.(6:) ve (6:) denklemleri gözönüne al n rsa, t r r x n+ elde edilir.böylece (X) B + (X) rx x n+b r x n+ r r x n+ (X B) biçiminde bulunan dönüşüm arad ¼g m z S n in E n üzerine Stereogra k izdüşümüdür.bu dönüşüm bir izomor zmdir.olay s yla tersi vard r ve d r. X X B + r X r + X (6.3) 48

6. Inversiyonunun Analitik Ifadesi : S n n fbg! E n stereogra k izdüşümü, (X) B + r r x n+ (X B) : E n! S n n fbg n n tersi, X X B + r X r + X : E n+! E n+ stereogra k izdüşümünün tersi ve (x x ::: x n x n+ ) (x x ::: x n r x n+ ) izometri dönüşümünü ele alal m.bu üç dönüşümün bileşkesi al narak elde edilen : E n! E n dönüşümü bir inversiyon dönüşümüdür.şimdi bu dönüşümün analitik ifadesini bulal m: 49

8 X E n X (x x ::: x n ) için X X () X! X B + r X r + X X! r + X (0 0 ::: r) + r (x x ::: x n 0) r + X B + r r x r + X r x r + X ::: r x n r + X r x r + X r x r + X ::: r r rkxk r +kxk (0 0 ::: r) + r + X X (X B) r x X r x X ::: r x n X 0 r X X r x n r + X r r X! r + X r X r + X! r x r + X ::: r X r + X!! olarak bulunur.böylece X r X X dönüşümü ifade edilmiş olur.bu inversiyon, bir anlamda E de tan ml J(z) z Möbius transformasyonunun E n deki karş l ¼g d r.gerçekten de 8 X E X (x x ) için : S n fbg! E (X) B + r r x 3 (X B) 50

stereogra k izdüşümü, : E! S n fbg X X B + r X r + X stereogra k izdüşümün tersi, : E 3! E 3 (x x x 3 ) (x x r x 3 ) izometri dönüşümü olmak üzere bu üç dönüşümün bileşkesi hesaplan rsa, X r X X r (x x ) x + x inversiyonu elde edilir ve X (x x )! z x + ix olmak üzere (z) r kzk z r zz z r z dir.bu da inversiyonu için J Möbius transformasyonuna ait bir genelleştirmedir. 5

Şekil 6. Inversiyonu 6. E n de Möbius Transformasyonlar ile Involüt-Evolüt Olma Aras ndaki Ilişki E n de (s)ve (s) iki e¼gri, (V (s) V (s) ::: V r (s)) ve (V (s) V (s) ::: V r (s)) de,s ras yla, ve e¼grilerinin Frenet ayakl lar olsun. ve involüt-evolüt çifti olsun.yani hv (s) V (s)i 0 olsun. ve e¼grilerinin inversiyonu alt ndaki görüntüleri,s ras yla, (s) ( (s) (s) ::: n (s)) ( (s)) r kk biçimindedir. (s) ( (s) (s) ::: n (s)) ( (s)) r kk 5

Şimdi de bu görüntü e¼grilerinin involüt-evolüt e¼gri çifti olup olmad ¼g n araşt ral m.bunun için ve görüntü e¼grilerinin birinci Frenet vektörlerini hesaplayal m.! 0 r 0 kk kk kk 0 kk 4 ::: 0n kk n kk kk 0 kk 4 r kk 4 kk 0 0 ::: 0 n kk kk 0 ( ::: n ) r kk 3 kk 0 kk 0 V 0 0 (6.4) ve benzer şekilde 0 r kk 3 kk 0 kk 0 (6.5) 0 V 0 bulunur.(6:4) ve (6:5) denklemleri gözönüne al n rsa, V V * 0 0 + 0 0 E 0 0 0 0 r 4 0 0 kk 3 kk 3 6 4 kk kk h 0 0 i + 4 kk 0 kk 0 h i kk kk 0 h 0 i kk 0 kk h 0 i 3 7 5 (6.6) elde edilir. Buradan görülüyor ki (6:6) denkleminin sa¼g taraf n n s f ra eşit olmas için kk 0 0 ve kk 0 0 olmas gerekmektedir.bu ise ancak ve e¼grilerinin S n 0 fx (x x ::: x n ) IR n : x + x + ::: + x n g küresi üzerinde bulunmalar ile sa¼glan r. Sonuç 6. E n de Möbius transformasyonu küresel involüt-evolüt olmay korur. 53

KAYNAKAR Beardon, A.983.The Geometry of iscrete Groups.Springer-Verlag,9-8 p.,berlin. Brannon, A.. Esplen, M.F. and Gray, J.J.999.Geometry.Cambridge University Press.Australia. Hac saliho¼glu, H.H. 998. iferensiyel Geometri. Cilt I. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Ankara. Hac saliho¼glu, H.H. 998. iferensiyel Geometri. Cilt II. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Ankara. Hac saliho¼glu, H.H. 983. Hareket Geometrisi ve Kuaterniyonlar Teorisi. Gazi Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Yay nlar, No:, Ankara. Hac saliho¼glu, H.H. 980. Yüksek Boyutlu Uzaylarda önüşümler ve Geometriler. Inönü Üniv.Yay nlar Mat., Malatya, Türkiye Haruki, H. and Rassias, T.M. 000. A new characterization of Möbius Transfor mations by use of apollonius Hexagons. American Mathematical Society, 8(7), 05-09. Karger, A. and Novak, J. 985. Space Kinematics and ie Groups. Gordon and Breach Science Publishers, Montreux. Özgür, N.Y. 009. On some mapping properties of Möbius Transformations.The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, 6(), -8. Özgür, N.Y. 00. Ellipses and Harmonic Möbius Transformations.An. Stiint. Univ. Ovidius Constanta Ser. Mat., 8(), 0-08. 54

ÖZGEÇM IŞ Ad Soyad : Semra KAYA NURKAN o¼gum Yeri : Ankara o¼gum Tarihi : 8.04.98 Medeni Hali : Evli Yabanc ili : Ingilizce E¼gitim urumu (Kurum ve Y l) ise : Ankara Incirli isesi (999) isans : Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü (003) Yüksek isans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim al (Eylül 003 A¼gustos 006) oktora : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim al (Eylül 006 ) Çal şt ¼g Kurum/Kurumlar ve Y l Uşak Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Araşt rma Görevlisi (009 00) Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Araşt rma Görevlisi (00 0) 55

Yay nlar (SCI ve di¼ger) Kaya, S.,Güven, I,and Hac saliho¼glu, H.H. 0. On Möbius Transformations and Their Spherical Invariants. Advances and Applications in Math.,8(), -7 56