ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI

ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI Doç. Dr. Cihat ARSLANTÜRK Doç. Dr. Yusuf Ali KARA ERZURUM

BÖLÜM MATEMATİKSEL TEMELLER ve HATA ANALİZİ.. GİRİŞ Saısal ötemler, matematik problemlerii, aritmetik işlemlerle çözülebilmelerii sağlaacak şekilde formüle edildiği tekiklerdir. Çeşitli saısal ötemler olmasıa karşı, hepsii ortak bir özelliği vardır: hepsi, değişmez bir şekilde çok saıda zahmetli aritmetik işlem içerir. Bu edele, hızlı ve verimli saısal bilgisaarları gelişmesile so ıllarda mühedislik problemlerii çözümüde saısal ötemleri öemli bir rol alması hiç de şaşırtıcı değildir. Saısal ötemleri öğrememizi gerektire birçok ede saılabilir.. Mühedislik ugulamalarıda hiç de adir olmaa ve aalitik ollarda çözülmesi çoğu zama olaaksız ola büük saıda deklem sistemlerii, doğrusallıkta sapmaları ve karmaşık geometrileri çözmei başarabilirler.. Mühedislikte, çoğu zama ticari olarak suula ve saısal ötemleri içere paket bilgisaar programlarıı kullamak zorululuğu ortaa çıkar. Bu programları akılcı bir şekilde kullaılması geellikle ötemleri arkasıdaki temel kuramı bilmekle mümküdür.. Eğer saısal ötemlerde alıorsaız ve bilgisaar programlamada ustasaız, pahalı azılımlara para ödemee gerek kalmada problemleriizi çözebilirsiiz. 4. Saısal ötemlerle uğraşırke, bilgisaar programcılığıız da bua paralel olarak gelişecektir. 5. Saısal ötemler matematik alaışıızı güçledirecek araçlardır. Saısal ötemleri bir işlevi de üksek matematiği basit aritmetik işlemlere idirgemek olduğuda, başka zama belirsiz kala bazı kouları arıtılarıa girer. Bu alteratif bakış açısıla daha derilemesie bir kavraış ve açıklaıcı bilgi ediilebilir... MATEMATİK MODELLEME ve MÜHENDİSLİK PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Matematik bir model, e geel alamıla, fiziksel bir sistemi vea bir süreci aa özelliklerii matematik terimlerle ifade ede bir eşitlik vea formül olarak taımlaabilir. E geel halde matematik model aşağıdaki biçimde bir foksioel ilişki olarak gösterilebilir. Bağımlı değişke=f (bağımsız değişkeler, parametreler, zorlaıcı foksiolar (. Burada bağımlı değişke sistemi davraışıı vea koumuu belirte bir özelliktir, bağımsız değişkeler geellikle zama vea koum gibi sistemi davraışıı

belirlee bouttur, parametreler sistemi özelliklerii ve apısıı asıtırlar, zorlaıcı foksiolar ise sistemi etkilee dış etkelerdir. (. eşitliği ile verile foksiou gerçek matematiksel ifadesi, basit bir cebirsel bağıtı olabileceği gibi çok uzu karmaşık diferasiel deklem takımları da olabilir. Tablo. bu foksioları ve bulara ait örekleri içermektedir. Tablo. Bazı Mühedislik Problemleri ve bulara ait örekler Cebrik Deklemler F = ma; σ = Eε Algebraic Equatios Adi Diferasiel Deklemler, ADD dv d (Ordiar Differetial Equatio, ODE F = m = m dt dt Kısmi Diferasiel Deklemler, KDD (Partial Differetial Equatio, PDE T T + = q (. eşitliği ile verile matematiksel modele, bir cismi mometumudaki zamaa göre değişimii cisme etki ede bileşke kuvvetle oratılıdır ifadesi ile verile Newto u ikici asası örek olarak verilebilir. Bu ifade matematiksel olarak aşağıdaki şekilde azılabilir. F = m.a (. Burada F, cisme etkie et kuvvet (N, m, cismi kütlesi (kg ve a, cismi ivmesidir (m/s. İkici asa, her iki taraf m e bölüerek Eşitlik (. e bezer şekilde aşağıdaki gibi eide azılabilir. a = F m (. Burada a, sistemi davraışıı asıta bağımlı değişke; F, zorlaıcı foksio ve m, sistemi bir özelliğidir. Bu basit durum içi bağımsız değişke oktur, çükü heüz ivmei kouma a da zamaa göre asıl değiştiğii belirlemedik. Eşitlik (. basit bir cebirsel ifadedir ve kolalıkla çözülebilir. Acak, diğer fiziksel olaları matematik modelleri çok daha karmaşık olabilir. Bular a tam olarak çözülemez, a da daha karmaşık matematiksel çözüm tekikleri gerektirirler. Yerüzüe akı bir ükseklikte serbest düşe bir cismi so hızıı elde etmek içi Newto u ikici asasıı kullaalım. Burada düşe cisim üksek bir erde atlaa bugee jumper (Şekil.a vea bir paraşütçü Şekil (.b olsu. İvme, hızı zamaa göre değişimi olarak ifade edilir ve (. eşitliğide erie azılırsa dv F = (.4 dt m Cisme etkie et kuvvet, ağırlık ve ters ödeki hava direcii bileşkesidir.

Şekil. Serbest düşe cisimlere etki ede kuvvetler F = F D + F U (.5 Eğer aşağı ö pozitif kabul edilirse, F D = mg (.6 azılabilir. Hava direcii hızla doğru oratılı olarak değiştiği kabul edilebilir. F U = cv (.7 Burada c (kg/s, direç katsaısı olarak isimledirilir. Gerekli basitleştirmeler apılarak aşağıdaki ADD elde edilir. dv dt c = g v (.8 m Eğer başlagıçta paraşütçü hareketsiz ise, (t= ike v= diferasiel deklemi çözümü aşağıdaki şekilde elde edilir. mt [ e ] (c / mg v(t = (.9 c

Eşitlik (.9 ile (. karşılaştırılırsa; v(t, bağımlı değişke; t, bağımsız değişke, c ve m, parametreler ve g, zorlaıcı foksio olarak karşımıza çıkar. Örek. Kütlesi 68. kg ola bir paraşütçü, dura bir hava balouda atlamaktadır. Paraşütçüü hızıı zamala değişimii buluuz. Çözüm: Saısal değerler (.9 eşitliğide erlerie azılırsa, hızı zamaa göre değişimii vere ifade elde edilir..855 t [ e ] v(t = 5.9 (. Dikkat edilirse bu foksiou alacağı maksimum değer v=5.9 m/s kadardır. 6 So hız 5 4 v, m/s 5 5 5 t,s Şekil. Düşe paraşütçü problemii aalitik çözümü. Paraşütçüü hızı zamala artmakta ve asimptotik olarak bir so hız değerie ulaşmaktadır. Eşitlik (.9 orijial diferasiel deklemi tamame sağladığıda aalitik vea tam çözüm olarak adladırılır. Acak e azık ki birçok matematik model tam olarak çözülemez. Birçok durumda tam çözüme aklaşmak içi tek seçeek, saısal bir çözüm geliştirmektir. Daha öce aıldığı gibi saısal ötemler, matematiksel problemleri cebirsel işlemlerle çözülebilmesi içi eide ifade edildiği problemlerdir. Bu ise Newto u ikici asasıda hızı zamaa göre türevii aklaşık olarak Şekil. te görüldüğü gibi ifade edilmesile gösterilebilir. 4

Şekil. v i t e göre birici türevi içi solu fark aklaşımıı kullaılması dv dt v t = v(t t v(t t i+ i (. i+ i Bu ifade türevi aklaşık olarak hesaplamasıı sağlar. Burada, v(ti, ti başlagıç aıdaki hız, v(ti+ ise soraki ti+ aıdaki hızı göstermektedir. Türevi bu değeri (.8 deklemide erie azılır ve ifade eide düzeleirse, v(t c v(t i + g + = v(t i (t i t i m + (. i Örek. Örek. deki hesaplamaı saısal olarak apı. Çözüm: (. eşitliği kullaılarak istee hesaplama apılır. Başlagıçta t= ve v(t= olarak bilimektedir. Zama adımı saie olarak alıırsa,.5 v(t = + 9.8 ( ( = 9.6 m / s 68..5 v(t = 9.6 + 9.8 (9.6 ( =. m / s 68. Zama ilerletilerek diğer zamalara ait çözümler elde edilir. Saısal çözüm, tam çözüm ile birlikte Şekil.4 te gösterilmiştir. Saısal çözümü de tam çözümü asıl karakteristiğii akaladığıı sölemek mümküdür. Acak sürekli eğrisel bir foksio içi doğrusal parçalı bir aklaşım kullaıldığıda, tam ve saısal 5

çözümler arasıda bir fark vardır. Bu farkı küçültmei olu daha küçük bir zama adımı kullamaktır. Adımı küçültmei daha fazla doğruluk sağladığı, acak, hesaplama zamaıı da artırdığıı farkıda olmak gerekir. Şekil.4 Düşe paraşütçü problemide aalitik ve saısal çözümleri karşılaştırılması.. YAKLAŞTIRMA ve YUVARLATMA HATALARI Her e kadar, saısal tekikler aalitik çözüme akı souçlar verse de, saısal ötem bir aklaştırma içerdiğide tam çözümle arada bir fark (hata ortaa çıkmaktadır. Saısal ötemleri iki aa hata türü uvarlatma ve kesme hatalarıdır. Yuvarlatma hatası, bilgisaarları büüklükleri sadece belirli saıda haele gösterebilmeleride kaaklaır (makiee bağlı. Kesme hatası, saısal ötemleri, gerçek matematik işlem ve büüklükleri ifade edebilmek içi aklaştırma kullaabilmesi soucuda oluşa farklılıklardır (öteme bağlı.... Alamlı Basamaklar Bir hesapta saıla çalışıorsak buu güvele kullaabileceğimize dair garatimiz olmalıdır. Öreği Şekil. de verildiği gibi bir otomobili hız ve kilometre göstergelerii düşüelim. Hız göstergeside otomobili 49 ile 5 km/saat hızla gittiği alaşılabilir. 6

4 6 4 6 8 874 5 4 Şekil.5 Alamlı basamak kavramıı göstermek içi bir otomobili hız ve kilometre göstergeleri İbre gösterge üzerideki işaretleri orta oktasıda daha uzu olduğu içi, aracı aklaşık olarak 5 km/saat hızla hareket ettiğii güvele söleebiliriz. Bu okumaa güveiriz, çükü bu göstergei okuacak iki vea daha fazla kişi de aı souca ulaşacaklardır. Acak hızı okumasıda oktada sora bir odalık basamak daha olmasıda ısrar edilecek olursa, bir kişi 49.8, bir başkası 49.9 km/saat diebilecektir. Dolaısı ile bu aleti sıırları edeile okumaı sadece ilk iki basamağı güvele kullaılabilir. Öte ada kilometre göstergesi altı kesi basamak göstermektedir. Bir saıı alamlı basamakları güvele kullaılabilecek ola basamaklardır. Kesi bilie basamak saısıa ek olarak bir de tahmi edile basamağı ifade ederler. Bua göre hız göstergesi alamlı basamak, kilometre göstergesi ise 7 alamlı basamak göstermektedir. Geellikle bir saıı alamlı basamaklarıı bulmak kola olsa da, bazı karışık durumlar olabilmektedir. Öreği, sıfırlar her zama alamlı basamak değildir, çükü sadece odalık oktaı erii belirler..845,.845 ve.845 saılarıı hepside dört alamlı basamak vardır. Bezer biçimde büük saılarda, sağ taraftaki sıfırları kaç taesii alamlı olduğu açık değildir. Öreği, 45 saısıı sıfırlarıı güvele biliip bilimemesie bağlı olarak üç, dört vea beş alamlı basamağı olabilir. Bu tür belirsizlikler bilimsel otaso kullaılarak giderilebilir. 4.5 4, 4.5 4, 4.5 4 saıları sırasıla üç, dört ve beş alamlı basamağa kadar bilimektedir.... Doğruluk ve Hassaslık Doğruluk, hesaplaa a da ölçüle değeri gerçek değere e kadar uduğuu ifade eder. Hassaslık ise, hesaplaa a da ölçüle değerleri kedi aralarıda e kadar 7

uumlu olduklarıı ifade eder. Şekil. deki hedef tahtasıdaki her bir mermi deliği, saısal bir tekiği tahmileri olarak, hedefi ortası da gerçek olarak düşüülebilir. Şekil.6 Doğruluk ve hassaslık kavramlarıı açıklamak içi hazırlamış hedefe atış öreği (a alış ve belirsiz (b doğru ve belirsiz (c alış ve hassas (d doğru ve hassas... Hata Taımları Saısal hatalar gerçek matematik işlemleri ve büüklükleri aklaştırmalarla ifade edilmeleride doğar. Bular kesme ve uvarlatma hatalarıdır. Gerçek ve aklaşık souç arasıdaki ilişki, Gerçek değer = aklaştırma + hata (. Şeklide ifade edilebilir. Bu durumda gerçek saısal hata, Et, aşağıdaki şekilde ifade edilir. Et = gerçek değer aklaştırma (.4 Bu taımı eksikliği, icelemekte ola değeri mertebesii hiç dikkate almamasıdır. Öreği bir satimetrelik bir hata, iki şehir arasıdaki mesafe içi alamlı değilke, bir kalemi bouu ölçümü içi alamlıdır. Büüklükleri mertebelerii de dikkate almaı bir olu haı gerçek değere göre ormalize edilmesidir. Gerçek orasal bağıl hata = gerçek hata / gerçek değer Gerçek bağıl üzde hata aşağıdaki şekilde taımlaır. εt = (gerçek hata/ gerçek değer % (.5 Burada t idisi hataı gerçek değerle ormalize edildiğii göstermektedir. Acak saısal ötem ugulamalarıda gerçek değer bilimediğide bu hata 8

hesaplaamaz. Bu durumda hata, gerçeği e ii bilie tahmiie göre ormalize edilir. εa = (aklaşık hata/ aklaştırma % (.6 Burada a idisi hataı bir aklaştırma ile ormalize edildiğii göstermektedir. Saısal ötemlerdeki zor işlerde biri de gerçek değer hakkıda bilgi sahibi olmada hata tahmileri apmaktır. Öreği belirli saısal ötemler, aıtı hesaplamak içi iteratif aklaşım kullaır. Bularda mevcut aklaştırma, bir öceki aklaşım esas alıarak apılır. Bu tip durumlarda hata, geellikle o adaki aklaştırma ile bir öceki aklaştırma arasıdaki fark olarak tahmi edilir. Dolaısıla, bağıl üzde hata aşağıdaki ifadele buluur: εa = (mevcut aklaştırma-öceki aklaştırma /(mevcut aklaştırma % Çoğu zama hesap aparke hataı işareti ile ilgilemeebiliriz, acak üzdei mutlak değerii öcede verile bir εs toleras değeride daha küçük olup olmadığı bizi ilgiledirir. Bu durumda aşağıdaki şart sağlaıcaa kadar hesaba devam edilir. ε a < ε s (.7 Bu bağıtı sağlaırsa, soucu daha öce belirlemiş, kabul edilebilir hata sıırları içide kaldığı kabul edilir. Hataları alamlı basamak saısıla da ilişkiledirmek ararlı olacaktır. Aşağıdaki ölçüt gerçekleştiği takdirde soucu e az alamlı basamak içi kesilikle doğru olduğu literatürde ispatlamıştır...4. Yuvarlatma Hataları ε = %(.5 (.8 s Daha öce belirtildiği gibi, uvarlatma hataları bilgisaarları hesaplar sırasıda sadece belirli saıda alamlı basamağı saklamalarıda kaaklaır. π, e, 7 gibi saılar sabit saıda alamlı basamakla azılamaz. Bu edele bilgisaarda tam olarak ifade edilemezler. Arıca bilgisaarlar -tabalı gösterim kulladıklarıda bazı -tabalı tamsaıları da hassas olarak ifade edemezler. Alamlı basamakları bu şekilde ihmal edilmeleride doğa farka uvarlatma hataları deir...4. Saıları bilgisaarda gösterimi Saısal uvarlatma hataları doğruda saıları bilgisaarda saklama şeklile ilgilidir. Bilgii gösterildiği e temel birim kelime olarak biliir. Bu büüklük bir dizi iki tabaıa göre azılmış saı vea bit te medaa gelir. Saılar tipik olarak bir vea daha fazla kelime şeklide saklaır. Buu asıl apıldığıı alamak içi, öce saı sistemlerile ilgili bazı bilgileri gözde geçirmek gerekir. 9

Saı sistemleri. E bilie saı sistemi -tabalı saı sistemidir. O tabalı sistem saıları göstermek içi o adet rakam kullaır. Bilgisaarlar ise -tabalı sistem kullaır. Buu durum, saısal bilgisaarları matık birimlerii açık/kapalı koumlu elektroik elemalar olmasıla ilgilidir. Şekil.7 sistemleri ve tabalarıa göre asıl çalıştığı görülmektedir. Şekil.7 (a Odalık ( tabalı (b İkili (-tabalı sistemler Tamsaıları gösterimi. İşaretli büüklük ötemi adı verile e doğruda aklaştırmada, kelimei ilk biti işareti gösterir, pozitif egatif alamıa gelir. Geri kala bit ler saıı saklamakta kullaılır. Öreği -7 saısıı tamsaı değeri 6-bitli bir bilgisaarda Şekil.8 deki görüldüğü gibi saklaır. Şekil.8-7 odalık tamsaısıı 6-bitli bir bilgisaarda işaretli büüklük ötemile gösterimi Örek. 6-bitli bir bilgisaarda gösterilebilecek -tabalı tamsaıları aralığıı buluuz. Çözüm: 6 bitte ilki işareti gösterir. Geri kala 5 bit sıfırda e kadar ikili saıları içerir. Üst sıır odalık bir saıa aşağıdaki şekilde

döüştürülebilir. 4 ( + ( + + ( + ( = 767 O halde 6-bitli bir bilgisaar kelimesi -767 de 767 e kadar bir aralıktaki saıları saklaabilir. Dahası sıfır zate olarak taımladığıda eksi sıfırı taımlamak içi saısıı kullamak gereksizdir. Bu edele saı, ek bir egatif saıı, -768 i göstermek içi kullaılabilir. Bu durumda aralık [-768, 767] şeklidedir. Bu örek, saısal bilgisaarları tamsaıları göstermekteki sıırlı eteeklerii ii bir biçimde alatır. İşaretli üs Matis İşaret İşaret Saı Şekil.9 Kaa oktalı bir saıı bir kelimede saklama olu Kaa oktalı saı gösterimi. Kesirli icelikler, bilgisaarda tipik olarak kaa okta apısıda gösterilir. Bu aklaşımda saı matis dee kesirli kısım ile üs dee bir tamsaı kısım şeklide gösterilir (m.b e. Burada m=matis, b=kullaıla saı sistemii tabaı ve e=üs tür. Öreği 56.78 saısı, -tabalı kaa okta sistemide,.5678 şeklide gösterilebilir. Şekil.9, kaa oktalı bir saıı bir kelime olarak saklaabileceği ollarda birii göstermektedir. İlk bit işaret içi, sorakiler işaretli üs içi, geri kala bitler de matis içi arılır. Saıı başıda sıfırlar olması halide geellikle matisi ormalize edildiğie dikkat edi. Öreği, /4=.94765... iceliğii sadece dört odalık basamağıı saklamasıa izi vere -tabalı kaa okta sistemide sakladığıı varsaalım. Bu durumda saı.94 şeklide saklaacaktır. Osa bu işlemi aparke, odalık oktaı sağıdaki gereksiz sıfırı azılması bizi, beşici odalık basamaktaki rakamıı atmak zoruda bırakır. Saı baştaki sıfırı kaldıracak şekilde matisi ile çarparak ve üssü bir azaltarak ormalize edilebilir..94 Bölece saı saklarke ek bir alamlı basamak daha bırakılabilir. Normalizasou bir soucu m i mutlak değerii sıırlı olmasıdır. Yai, m < b (.9

Burada b tabadır. Öreği -tabalı sistemde m,. ile aralığıda; -tabalı sistemde.5 ile aralığıda değişecektir. Kaa okta gösterimi, hem kesirleri hem de çok büük saıları bilgisaarlarda gösterilmesie olaak taır. Acak bazı sakıcaları vardır. Öreği, kaa oktalı saılar tamsaılara göre daha fazla er tutar ve işlemler daha uzu sürer. Daha da öemlisi, matis sadece solu saıda alamlı basamak tutabildiğide, bir hata kaağı oluşturur. Bölece uvarlatma hataları ortaa çıkar. Örek.4 7-bitli kelimeler kullaarak bilgi saklaa bir makie içi saal kaa oktalı saılar grubu oluşturu. İlk biti saıı işareti içi aırı, soraki üç biti üssü işareti ve büüklüğü, so üçüü de matis içi kullaı. Çözüm: Şekil. Örek.4 içi mümkü ola e küçük pozitif kaa oktalı saı Mümkü ola e küçük pozitif saı Şekil. da gösterilmiştir. İlk, saıı pozitif olduğuu gösterir. İkici basamaktaki, üssü egatif olduğuu belirtir. Üçücü ve dördücü basamaktaki ler ise üsse maksimum değerii verir. + = Yai üs olacaktır. So olarak da matis so üç basamaktaki ile verilmiştir ve, + + =.5 soucuu verir. Daha küçük bir matis kullamak mümküse de (,, gibi, ormalizasola getirile sıırlama edeile kullaılmıştır (Eşitlik.9. Dolaısıla bu sistemde mümkü ola e küçük saı +.5 -, vea -tabalı sistemde.65 tir. Bir soraki e büük saı ise matisi artırarak aşağıdaki gibi buluur. = ( + + = (.785 = ( + + = (.975

= ( + + = (.975 -tabalı eşdeğerleri.565 büüklüğüdeki aralıklarla sıraladığıa dikkat edi. Bu oktada artırmaa devam edebilmek içi üssü değerie azaltmalıız. Bu da, + değerie eşittir. Matis eide e küçük değeri ola e getirilir. Bölece bir soraki saı = ( + + = (.5 olur. Bu durumda aralık hala.5-.975=.565 değerie eşittir. Acak şimdi matis artırılarak daha büük saılar oluşturuldukça aralık.5 değerie erişmiştir. = ( + + = (.565 = ( + + = (.875 = ( + + = (.875 Bu düze daha büük her değere ulaştıkça aşağıdaki maksimum saı elde edilicee kadar tekrarlaır. = ( + + = (7 Elde edile so saı grubu Şekil. de gösterilmiştir. Şekil. Örek.4 e geliştirile saal saı sistemi. Her bir değer bir çetikle gösterilmiştir. Sadece mümkü ola saılar gösterilmiştir. Tümüle eşdeğer bir grup ta egatif öde uzaacaktır.

Şekil. kaa okta gösterimii bilgisaar uvarlama hataları açısıda öemli ola birçok öüü ifade eder.. Gösterilebilecek büüklükleri aralığı sıırlıdır. Tamsaı durumuda olduğu gibi, gösterilemee büük pozitif ve egatif saılar vardır. Kabul edile aralığı dışıdaki saıları kullaılmasıa kalkışıldığıda, üstte taım sıırıı aşma deile hata oluşur. Kaa okta gösterimii büük saıları aıda küçük saıları da gösterememe gibi ek bir sıırlaması daha vardır. Bu durum Şekil. de sıfırla ilk pozitif saı arasıda kala altta taım sıırıı aşma deliği ile gösterilmiştir.. Aralık içide gösterilebile sadece solu saıda büüklük vardır. Dolaısıla, hassaslığı derecesi sıırlıdır. Elbette ki irrasoel saılar tam olarak gösterilemez. Dahası gruptaki değerlerde birile tam olarak örtüşmee rasoel saılar da hassas olarak gösterilemezler. Her iki durumu da aklaşık olarak göstermemiz soucu oluşa hatalara iceleme hataları deir. Gerçek aklaştırma iki şekilde apılır: budaarak vea uvarlaarak. Öreği π=.4596558 değerii - tabalı saı sistemide edi alamlı basamakla saklaacağıı varsaalım. Eğer budama apılacaksa π=.459, uvarlatma apılacaksa π=.459 şeklide saklaır. Geişletilmiş hassaslık: Şekil. deki saal saı sistemi, kouu açıklaabilmek içi kullaıla abartılmış bir durumdu. Ticari bilgisaarlar çok daha büük kelimeler kullaırlar, dolaısıla saıları gerekede daha fazla hassaslıkla temsil edilmelerii sağlarlar. Öreği IEEE formatıı kullaa bilgisaarlar matis içi 4 bit kullaılmasıa izi verirler, bu da -8 ile 9 aralığıda -tabalı edi alamlı basamaklı hassaslık alamıa gelir. Buula birlikte, uvarlatma hatalarıı kritik olabileceği durumlar da vardır. Bu durumlarda kullaıla kelimeleri saısı iki katıa çıkarılarak çift katlı hassaslık sağlaır. 6 odalık basamak hassaslık -8 ile 8 arasıda bir aralık sağlar...4. Bilgisaar saılarıı aritmetik işlemleri Bilgisaar saı sistemlerii sıırlamaları bir aa, bu saılarla apıla gerçek aritmetik işlemler de uvarlatma hatalarıa ol açabilir. Basit toplama, çıkarma, çarpma ve bölmee uvarlatma hatalarıı etkisii göstermek içi ormalize edilmiş -tabalı saıları kullaacağız. Diğer sa tabalı sistemler de bezer şekilde davraacaklardır. Tartışmaı basitleştirmek içi 4-basamaklı matis ve -basamaklı üs kullaa saal bir odalıklı bilgisaar ele alacağız. Arıca budama kullaılacaktır. İki kaa oktalı saı topladığıda, üssü küçük ola saıı matisi üsler aı olacak şekilde değiştirilir. Bu işlem odalık oktaı aı hizaa gelmesii sağlar. Öreği,.557 ile.48 - saılarıı toplamak isteelim. İkici saıı matisideki okta üsleri farkıa eşit saıda basamak kadar sola kadırılır. Şimdi saılar toplaabilir. 4

.557..48..68. Souç.6. saısıa budaır. İkici saıı sağa doğru kadırtıla iki basamağı işlem souda kabedilmiş olur. 4-basamak matis ve -basamak üs kullaa saal bir bilgisaarda, küçük bir saı, öreği. ile büük bir saıı, öreği 4 i toplamak isteelim. Küçük saıı üssü büük olaa uacak şekilde değiştirelim:.4... 4 4 4.4. Şimdi saıı budaırsa.4. 4 buluur. Bu durumda bir uvarlama hatası ortaa çıkar...5. Kesme Hataları ve Talor Serisi Eğer f foksiou ve ilk + türevi ve i içere bir aralıkta sürekli ise f foksiouu teki değeri f ( = f ( = k= f ( +! f (k ( k! ( ( f ( +! + R şeklide ifade edilir. Burada R kala olup, ( f + + ( (! ( + R (. R = ( t! f (+ (t dt (. ifadesile verilir ve t boş vea alacı değişkedir (dumm variable. (. eşitliği Talor serisi olarak biliir. Eğer kala ihmal edilirse eşitliği sağ tarafı f foksiouu Talor poliom aklaştırmasıdır. Talor serisi, herhagi bir düzgü foksiou aklaşık olarak bir poliom olarak ifade edilmesii sağlar. (. eşitliği kalaı ifade etme şekilleride biridir ve itegral formu adı verilir. Alteratif bir ifade ortalama değer teoremi ardımıla üretilir ve kalaı türev vea Lagrage formu olarak biliir. 5

R (+ f ( ξ + = ( ( +! (. Burada idisi kalaı ici derece aklaştırma içi azıldığıı gösterir. ξ, ile arasıda değer ala bir saıdır. Talor seri açılımıı pratikteki değeri şudur; sadece birkaç terim kullaılsa bile aklaştırma birçok durumda, bizi ilgilediği kadarıla gerçek değere çok akı souçlar verecektir. Yeteri kadar doğruu kaç terimle sağlaacağı, açılımı kala terimi esas alıarak buluur. Çoğu zama Talor serisii h=i+-i ile taımlaa bir adımla basitleştirerek aşağıdaki şekilde azmak kolalık sağlar: f ( +!!! ( f ( i f ( i f ( i i+ = f ( i + h + h + + h R (. Kala terimi ise bu durumda şöle azılır. R (+ f ( ξ = h ( +! + (.4 Bu bağıtıı iki öemli soruu vardır. İlki ξ tam olarak bilimemekte, sadece i ile i+ arasıda er almaktadır. İkicisi, (.4 eşitliğii hesaplamak içi foksiou (+. türevii bulmalıız. Buu apabilmek içi f( i bilmeliiz. Acak f( i bilsedik zate Talor seri açılımıa ihtiacımız olmazdı. Bu ikileme rağme (.4 eşitliği ie de kesme hatalarıı alamamız açısıda ararlıdır. Buu edei eşitlikte er ala h terimi üzeride kotrolümüz olmasıdır. Başka bir deişle f( i te e kadar uzakta hesaplamak istediğimizi seçebiliriz ve açılımda kaç terim olacağıı kotrol edebiliriz. Dolaısıla (.4 eşitliği geellikle R + = O(h (.5 şeklide azılır. O(h + sembolü kesme hatasıı h + mertebeside olduğuu gösterir. Öreği hata O(h ise adımı arıa idirmek hataı da arıa idirecektir. Öte ada hata O(h ise adımı arıa idirmek hataı dörtte bire idirecektir. Örek.5 f(=cos( foksiouu =π/4 civarıdaki Talor serisi açılımıı = da 6 a kadar ola terimlerii kullaarak, =π/ oktasıda f foksiouu ve türevii değerlerii buluuz. Çözüm: Gerçek foksio bilidiğide, f(π/=.5 gerçek değer olarak buluur. 6

f ( f ( f ( f ( = cos( = si( = cos( = si( (.8 deklemide. derece aklaştırma f ( ( = f ( + ( ( = π / 4! f π π π π π π π π f ( = cos( si( ( f ( = cos( si( ( =. 5986659 4 4 4 4 4 4 ε t.5.5986659 = % = %4.4.5 (.8 deklemide. derece aklaştırma f ( π f ( ε = f ( = f (! f (! + ( + ( π cos( 4 π si( ( 4 π 4.5.49775449 = %.5 t = devam edilirse aşağıdaki tablo oluşturulur. cos( %.449 π ( 4 π π 4 =.49775449 Mertebe, f(π/ ε t (%.5986659-4.4.49775449.449.49986947.6-4.5755 -.5-5.54-6.8-5 6.499999988.4-6 7

Talor serisi vs. gerçek foksio.9. mert 6. mert gerçek fok.8.7.6.5.4....5.5 Şekil. Cos( foksiou ve Talor serisi açılımları 8

BÖLÜM CEBİRSEL DENKLEMLERİN KÖKLERİ.. GİRİŞ f(=a +b+c ikici derece deklemii köklerii bulmaı bilioruz. Bu deklemi köklerii f(= şartıı sağlaa değerleri olarak taımlaabiliriz. Bu edele deklemi köklerie baze deklemi sıfırları adı verilir. Bir ikici derecede poliom gibi kökleri doğruda bulua deklemler olmasıa karşı, f(=e - - gibi basit görüe bir foksio bile aalitik olarak çözülemeebilir. Bu tip durumlarda tek seçeek aklaşık çözüm tekikleridir. Yaklaşık çözüm elde etmek içi kullaılacak ötemlerde biri, foksiou çizerek ekseii kestiği oktaı belirlemektir. Acak bu ötem kökleri kaba bir tahmiii içerdiğide her zama kullaılması ugu değildir. Alteratif bir ötem deeme-aılma ötemidir. Bu ötemde içi bir değer tahmi edilir ve f( foksiouu sıfır olup olmadığıa bakılır. Eğer değilse ei bir değer tahmi edilir. Bu süreç f( i sıfıra akı bir değer almasıa kadar tekrarlaır. Bu tip rastgele ötemler elbette mühedislik gereksiimleri içi verimsizdir ve ugu değildir. Bu aşamada aklaşık souç vere, acak sistematik olarak doğru köke aklaşa ötemler iceleecektir. Bu sistematik ötemler ile bilgisaarları bileşimi kök bulma problemii basit ve verimli bir hale sokar... KAPALI YÖNTEMLER Foksioları kökleri civarıda işaret değiştirmeleri gerçeğide ararlaa ötemler, kökü ilk tahmii içi kökü arasıda olduğu iki değer gerektirir. Bu üzde bu ötemler, kapalı ötemler olarak biliir. Adıda da alaşılacağı gibi, ilk tahmi değerleri kökü farklı alarıda olmalıdır. Şekil (. de verile bir foksiou ele alalım. f( i sıfır apa bir değeri f( i köküdür (root. Yai f(r = ise r değerie f( foksiouu köküdür deir. Şekil. de, verile foksiou =4 civarıda bir kökü olduğu görülmektedir. Kökü sağ ve soluda foksiou değerii işaret değiştirdiği grafikte açıkça görülmektedir. 9

6 5 4 f( - 4 6 8 4 6 8 Şekil. Bir f( foksiouu eğrisi a kökü soluda (alt değer ü kökü sağıda (üst değer olmak üzere öreği f ( = > ike f ( = 6 > dır. Şekil (. kökleri alt sıır ve üst sıırla a ü belirlee aralıkta alabileceği vea (olamaacağı birkaç durumu göstermektedir. Şekil. Bir kökü alt ve üst sıırla belirlee aralıkta birkaç değişik şekilde geel olarak gösterilmesi Şekil., kökleri belirlee bir aralıkta alabileceği birkaç şekli gösterir. Geel olarak eğer f(a ve f(ü farklı işarete sahip iseler aralıkta tek saıda kök vardır. Şekil 5. (a ve 5. (c de olduğu gibi f(a ve f(ü aı işarete sahip iseler, aralıkta a hiç kök oktur vea çift saıda kök vardır. Bu geellemeler çoğulukla doğru olsa da, doğru olmadığı bazı durumlar vardır. Öreği ekseie teğet geçe foksiolar ve süreksiz foksiolar bu kuralı bozarlar (Şekil.a ve.b.

Şekil. Geel durumlara umaa istisalar (a katlı kök (b süreksiz foksio... Aralığı İkie Bölme Yötemi Eğer bir foksio bir aralıkta işaret değiştiriorsa, foksiou orta oktadaki değeri hesaplaır. Daha sora kökü eri, işareti değiştiği aralığı ortasıda kabul edilir. Daha akı tahmiler elde etmek içi bu süreç tekrarlaır. Yöteme ilişki algoritma aşağıda verilmiştir. Adım : Adım : Adım : Tablo.. Aralığı ikie bölme ötemie ait algoritma f(a f(ü< şartıı sağlaa a ve ü değerlerii tahmi et. Aşağıdaki eşitliği kullaarak kök içi tahmii bir değer hesapla r=(a+ü/ Eğer f(a f(r< ise kök soldaki alt aralıktadır. ü=r azarak Adım e dö. Eğer f(a f(r> ise kök sağdaki alt aralıktadır. a=r azarak Adım e dö. Eğer f(a f(r= ise kök r e eşittir. Hesaplamada çıkı. Bu aşamada ötemi e zama durdurulacağıa karar verilmesi gerekir. Daha öce taımladığı gibi bağıl üzde hata aşağıdaki şekilde hesaplaabilir. ei eski r r ei r εa = ε s (. Yaklaşık hata, εs gibi belirlemiş bir toleras üzde hatada küçük olduğuda hesap durdurulabilir. Yukarıdaki kriter, durdurma kriteri olarak isimledirilir. Yaklaşık olarak hesaplaacak ola kökü e az alamlı basamak içi kesilikle doğru olması isteiorsa εs aşağıdaki gibi hesaplamalıdır. ( εs = %.5 (.

Örek.. Şekil (. ile grafiği verile aşağıdaki foksiou köküü buluuz. 667.8 f ( = ( e.4684 4 (. Çözüm: Tablo (. ile verile algoritma ugulaırsa, ilk üç iteraso aşağıdaki şekilde elde edilir..iter Adım : a= ü=6 f( = 6.6695 f(6 = -.6875 f(.f(6< Adım : r=(+6/ =4 f(4 =.5687 Adım : f( f(4> olduğuda kök sağ alt aralıktadır. a=4. İter Adım : a=4 ü=6 r=(4+6/ =5 f(5 =-.448 Adım : f(4 f(5< olduğuda kök sol alt aralıktadır. ü=5. İter Adım : a=4 ü=5 r=(4+5/ =4.5 f(4.5 =.558 Adım : f(4 f(4.5> olduğuda kök sağ alt aralıktadır. a=4.5 Ardışık iki iteraso içi toleras εs=%. olarak alıırsa ve Tablo. ile verile MATLAB kodu ardımıla çözüm Tablo. de görüldüğü gibi elde edilir. Tablo.. Aralığı ikie bölme algoritmasıa göre azılmış MATLAB programı fuctio [,] = eample (fok format short %programı çalıştırmak içi komut satırıa [,]=eample ('fok ' azıız. a=; %a = iput ('alt sıırı gir a='; u=6; %u = iput ('alt sıırı gir a='; es=.; %es = iput ('istee toleras değerii gir es='; mait=; %mait = iput ('maksimum iteraso saısıı gir mait= '; a( = a; b( = u; a( = feval('fok ',a(; b( = feval('fok ',b(; if a(*b( >. error (' Foksio uç oktalarda aı işarete sahip'; ed for i= : mait (i=(a(i+b(i/; (i=feval('fok ',(i; if (abs(-(i/a(i*<es disp('aralığı ikie bölme ötemi akısadı';break; ed if (i==. disp('kökü tam değeri elde edildi';break; elseif (i*a(i<

a(i+=a(i;a(i+=a(i; b(i+=(i;b(i+=(i; else a(i+=(i;a(i+=(i; b(i+=b(i;b(i+=b(i; ed; iter=i; if (iter>=mait disp('arzu edile toleras içi kök buluamadı'; ed ed =legth(;k=:; out=[k' a(:' b(:' ' ']; disp (' step a u r f(r'; disp(out fuctio f=fok ( f=667.8/*(-ep(-.4684*-4; Tablo.. Örek.. içi iterasolar İter o. a ü r f( a f( ü f( r ε a % 6 4 6.6695 -.6875.5687 4 6 5.5687 -.6875 -.448 7.4857 4 5 4.5.5687 -.448.558.5749 4 4.5 5 4.75.558 -.448.5896.748 5 4.75 5 4.875.5896 -.448 -.84.847458 6 4.75 4.875 4.85.5896 -.84 -.687.479 7 4.75 4.85 4.785.5896 -.687 -..864 8 4.75 4.785 4.7656.5896 -..8448.59 9 4.7656 4.785 4.7744.8448 -..4.59 4.7744 4.785 4.7774.4 -..5586.644 4.7774 4.785 4.779.5586 -..778.7 4.779 4.785 4.787.778 -. -..668 4.779 4.787 4.77979.778 -..86.4 4 4.77979 4.787 4.78.86 -..5.65 5 4.78 4.787 4.785.5 -...86 Örek.. Aralığı ikie bölme ötemii kullaarak ü değerii εs= -4 olacak şekilde hesaplaıız. [Hatırlatma: f(= - deklemii pozitif kökü tür.]

Çözüm:.5 -.5 Kök Kök - -.5 - -.5 - - -.5 - -.5.5.5 Şekil.4 f(= - foksiouu kökleri Şekil.4 te görüldüğü gibi, deklemi pozitif kökü [.5, ] aralığıdadır. a=.5 ve ü= başlagıç aralığı olarak belirleir ve iterasoa başlaır. Tablo (. ile verile algoritma ugulaırsa, ilk üç iteraso aşağıdaki şekilde elde edilir..iter. İter. İter Adım : a=.5 ü= f(.5 = -.75 f( = f(.5.f(< Adım : r=(.5+/ =.75 f(.75 =.65 Adım : f(.5 f(.75< olduğuda kök sol alt aralıktadır. ü=.75 Adım : a=.5 ü=.75 r=(.5+.75/ =.65 f(.65 =-.598 Adım : f(.5 f(.65> olduğuda kök sağ alt aralıktadır. a=.655 Adım : a=.65 ü=.75 r=(.65+.75/ =.6875 f(.6875 =-.54 Adım : f(.65 f(.6875> olduğuda kök sağ alt aralıktadır. a=.6875 Tablo.4. Örek.. içi iterasolar İter o. a ü r f( a f( ü f( r ε a %.5.75 -.75.65 6.66667.5.75.65 -.75.65 -.598 8..65.75.6875 -.598.65 -.54.84654 4.6875.75.7875 -.54.65 -.459.8585 5.7875.75.7475 -.459.65.857.999 6.7875.7475.7656 -.459.857 -.898.454545 7.7656.7475.7469 -.898.857 -.548.644.................794.756.7995 -.4.68E-5 -.9.54 4.7995.756.75 -.9.68E-5-8.9E-5.76 5.75.756.74-8.9E-5.68E-5 -.6E-5.88 4