Şartlı Olasılık Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr
Şartlı Olasılık ir olayın olasılığından söz edebilmek için bir alt kümeyle temsil edilen bu olayın içinde bulunduğu örnek uzayının belirtilmesi şarttır. Söz konusu örnek uzay her zaman açık olarak anlaşılamaz. u sebeple, veri örnek uzay S içindeki bir olayın A ihtimali sorulduğunda A S yazılarak veri örnek uzayı belirlenmiş olur. urada A S sembolü S örnek uzayına göre A olayının şartlı olasılığını gösterir. Ancak, eğer örnek uzay S açıkça belli ise A olayının olasılığı A şeklinde kısaltılmaktadır. Örnek: Aşağıdaki tabloda 00 tükenmez kalem iki değişik marka A ve ve iki renge kırmızı ve yeşil göre sınıflandırılmıştır. Markalar Kırmızı K Renkler Yeşil Y Toplam A 0 0 0 40 0 70 Toplam 60 40 00
Kırmızı renk K, yeşil renk Y ile gösterilecek olursa rassal olarak seçilen bir kalemin kırmızı olması olasılığı herhangi bir şart dile getirilmediğinden bütün kütle dikkate alınarak hesaplanır. 60 6 K 00 0 0,6 enzer şekilde Yeşil bir kalem seçme, markası A olan, markası olan kalem seçme olasılıkları da benzer şekilde şartsız olasılık şeklinde hesaplanır. 40 Y 0,4 veya Y K 0,6 00 0,4 0 A 00 0, 70 0,7 veya A 0, 00 0,7
Eğer markası A olan bir kalem seçildiğinde bunun kırmızı bir kalem olması olasılığı sorulursa örnek uzay daraltılmış olur. Yani markası A olan kalem sayısı veri örnek uzayı olur ve bu örnek uzay içindeki kırmızı bir kalemin seçilmesi olasılığı: 0 K A 0 0 olur. Markası A olan bir kalem seçildiğinde bunun Yeşil bir kalem olma olasılığı: 0 Y A veya K' A K A 0 olur. Markası olan bir kalem seçildiğinde bunun kırmızı bir kalem olma olasılığı: 40 4 K 70 7 Diğer şartlı olasılıklar: 0 0 40 0 Y A K K A Y 70 7 60 60 40 4
S örnek uzayın A ve olaylarını göz önüne alalım. Eğer A>0 ise, A olayının gerçekleşmesi şartıyla olayının gerçekleşme olasılığı, A A A şeklinde yazılır. u olasılığa şartlı olasılık adı verilir. urada şartlı örnek uzayı indirgenmiş olay A dır. enzer şekilde olayı gerçekleşmek şartıyla A olayının gerçekleşme olasılığı da >0 olmak üzere: A A Şeklinde yazılır.
Örnek: ir işletmede belli bir siparişin vaktinde sevke hazır hale getirilme olasılığı %90 sevke hazır olan siparişin yerine zamanında teslim edilme olasılığı 0,75 dir. una göre; Zamanında sevke hazır hale getirilen siparişin zamanında teslim edilme olasılığı nedir? Çözüm: A: zamanında sevke hazır hale gelme olayı, : zamanında yerine teslim edilme olayı. Zamanında sevke hazır hale getirilmek şartıyla, siparişin zamanında teslim edilme olasılığı: A 0,75 A A 0,9 0,8 Örnek: Yapılan araştırmalara göre 0 yaşına gelen 00000 çocuktan 40 yaşında hayatta kalanların sayısı 87 ve 70 yaşında hayatta kalanların sayısı 7877 dir. una göre 40 yaşına ulaşmış bir kişinin 70 yaşına kadar hayatta kalma olasılığı ne olur? Cevap = 0,46
Teorem: A ve olayları bağımlı olaylar ise, bu iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı genel çarpım kuralı olarak adlandırılan aşağıdaki kurala göre belirlenir. A=. A burada >0 A=A. A burada A >0 u teoreme göre, A ve olaylarının her ikisinin birden meydana gelme olasılığı, bunlardan birinin meydana gelme olasılığı ile, biri meydana geldikten sonra diğerinin meydana gelme olasılığının çarpımına eşittir. Mesela, yukarıdaki kalem örneğinde bir tükenmez kalem seçildiğinde bunun markasının A ve renginin kırmızı olması olasılığı, markasının A olması olasılığı ile markası A olarak seçilen bir kalemin kırmızı olması olasılığının çarpımına eşittir. A K 0 0 0,0
Eğer iki olaydan birinin meydana gelme olasılığı diğerinin meydana gelip gelmemesinden etkilenmiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denir. Teorem: İki olay bağımsızsa bu iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı özel çarpım kuralı olarak adlandırılan aşağıdaki kurala göre bulunur. A=A. yazılır. İspat: A ve bağımsız ve 0 ise A=A olur. Diğer taraftan teorem e göre A=.A olduğundan A. =. A olur. bu eşitliğin her iki tarafı ye bölünürse, A=A elde edilir. Mesela: İki para birlikte atıldığında, ikisinin de yazı gelmesi olasılığı bağımsız olaylardır. Y Y Y Y 4 0,5
Genel çarpım kuralını A,, C gibi üç olay için şöyle yazabiliriz. AC = A. CA = A. A. CA Dört olay için şöyle yazabiliriz. ACD = AC. DAC = A. A. CA. DAC Örnek: 5 i siyah, 0 u mavi toplam 5 kalem bulunan bir kutu olsun. Kutudan iadesiz olarak peş peşe siyah kalem çekme olasılığı nedir? 5 4. Çekilişte siyah kalem çıkma olasılığı: S S 5 4.de siyah çekildiğinde. de de siyah çekme olasılığı : ve.de siyah çekildiğinde.de de siyah kalem çekme olasılığı: u üç olasılığın çarpımları, ard arda siyah kalem çekme olasılığını verecektir. 5 4 S S S 5 4 9 olur. S
Örnek: ir kutuda den 9 a kadar numaralanmış biletler vardır. Kutudan artarda bilet çekildiğinde; a tek, çift, tek veya çift, tek, çift çekilme olasılığını bulunuz. b çekilen biletlerden en az tanesinin çift olma olasılığını bulunuz. Çözüm: 5 4 4 4 5 80 60 40 5 a TÇT ÇTÇ 9 8 7 9 8 7 504 504 504 8 0.78 b Ç 5 9 4 8 Ç 7 4 9 5 8 7 Ç 4 9 8 5 7 TÇÇ ÇTÇ 4 9 8 7 ÇÇT 60 60 60 504 ÇÇÇ 4 504 04 504 0,405
Teorem: A ve bağımsız olaylar ise, A = A. A = A. A = A. olur. Tanım: Eğer A, A,...A r olaylarından,,...,r tanesinin kesişiminin olasılığı kombinasyonlarının olasılığı bunların tek tek olasılıkları çarpımına eşit ise, bu olaylar bağımsızdır. Mesela A,, C gibi üç olay için A = A., AC=A. C, C=. C, AC=A..C ise A,, C olayları bağımsız olaylardır. Söz konusu olayın bağımsız olabilmesi için yukarıdaki şartların tamamının gerçekleşmesi gerekir.
Örnek: den 8 e kadar sayılar arasında tesadüfi olarak bir sayı çekiliyor, her sayının çekilme şansı eşit ve ihtimali 8 dir. A olayı: ye tam olarak bölünebilen sayılar olayı: 4 ten büyük sayılar C olayı: en küçük tek sayı ve en büyük çift sayı ise bu olay bağımsız mıdır? A={,4,6,8} ={5,6,7,8} C={,,6,8} A=48= = 48= C= 48= A =8=4 A.=.=4.şart sağlandı A C=8=4 A.C=.=4.şart sağlandı C=8=4.C=.=4.şart sağlandı A C=8=4 A..C=..=8 4.şart sağlanmadı Sonuç: olay bağımsız değildir, bağımlıdır.
Örnek: ir torbada 6 beyaz 4 siyah top vardır. top iadesiz ve tesadüfi olarak çekiliyor. a İkisinin de beyaz b İkisinin de siyah c irinin beyaz, diğerinin siyah olma olasılığı nedir? Çözüm: a. 6 5 x 0 9 b S S S. S S 4 x 0 9 5 c 7 S S 5 5 8 5
Olasılıkların Çarpımının Toplanması Kuralı ve ayes Teoremi Çoğu zaman son meydana gelen olay, daha önce bazı olayların meydana gelip gelmemesine dayanır. Mesela bir hastanın iyileşmesi olayı, hastalığın doğru teşhisi olayı ve uygun tedavinin tatbiki olayına dayanır. ir cihazın güvenilir olarak çalışabilir olması, cihazın dizaynından, mamul hale gelene kadar geçirdiği safhaların başarılı bir şekilde neticelendirilmiş olmasına bağlıdır. u ve benzeri konularda kullanılabilecek genel bir teknik geliştirmek için aşağıdaki problemi inceleyelim. Örnek: İçerisinde çeşitli sayılarda top bulunan üç kutu veriliyor. u kutulardan. sinde 4 ü siyah 0 top,.sinde si siyah 8 top,.sünde 5 i siyah 5 top mevcuttur. u kutulardan birisi tesadüfi olarak seçiliyor. u kutudan rassal olarak çekilen topun siyah olma olasılığı ne olur?
Çözüm: urada önce bir kutu seçimi söz konusu,.. ve. kutulardan birini seçme olasılığı eşit olup tür. Seçilen kutulara göre siyah top çekme olasılıkları:. Kutudan siyah top çekme olasılığı:. Kutudan siyah top çekme olasılığı:. Kutudan siyah top çekme olasılığı: 4 0 8 5 5 Ağaç diyagramı ile problem şöyle gösterilebilir. 5 4
Genel çarpım kuralına göre,. Kutunun çekilmesi ve çekilen topun siyah olması olasılığı: S K x 5 5. Kutunun çekilmesi ve çekilen topun siyah olması i olasılığı:. Kutunun çekilmesi ve çekilen topun siyah olması olasılığı: S K x 9 S K x 4 Yukarıdaki üç olasılık birbirlerini karşılıklı olarak engelleyen olayların olasılığı olduğundan 59 S S KUS K US K 5 9 80 Yukarıdakine benzer problemleri çözmek için olasılıkların çarpımlarının toplamı kuralı olarak adlandırılan aşağıdaki teoremi kullanmak gerekmektedir.
Teorem: Olasılıkların çarpımlarının toplamı irbirlerini karşılıklı olarak engelleyen,,., n olaylarının birleşimi S örnek uzayını teşkil ediyorsa ve bu olaylardan biri mutlaka meydana geliyorsa bu durumda bu olaylar vasıtasıyla meydana gelen herhangi bir A olayının olasılığı şöyle yazılır. Eğer bir olayın gerçekleşmesi, birbirinin alternatifi olan iki olaya bağlı ise eliminasyon kuralının özel bir durumu söz konusu olur. Eğer ve iki alternatif olay ise yukarıdaki kural aşağıdaki şekilde yazılabilir........ i n i i n n A A A A A A ' '.. A A A
roblem: ir fabrikada yapılan üretimin; %55 i A %0 u, %5 i C makinesinde gerçekleştirilmektedir. u makinelerin kusurlu oranları sırasıyla %, %, %8 şeklindedir. u fabrikadaki üretimin kusurlu oranı ne olur? Çözüm: A = 0,55 KA = 0,0 = 0,0 K = 0,0 C = 0,5 KC = 0,08 K = A. KA +. K + C. KC K = 0,55 x 0,0+0, x0,0 + 0,5x0,08 K= 0,0 Örnek: ir hastalığın tedavisinde iki ilaç geliştirilmiştir. u ilaçların hastalığı tedavi etme olasılıkları: A İlacı için 0,7 İlacı için 0,5 olarak ölçülmüştür. Herhangi bir doktorun hastasına bu ilaçları tatbik ettiğinde hastaların iyileşme olasılıkları A ilacı için 0,6 ilacı için 0,4 olduğu görülmüştür. u hastalığa yakalanan bir hastanın tedavi sonucu iyileşme olasılığı ne olur? T: Tedavi olma durumu Çözüm: T A. T T 0.6x0.7 0.4x0.5 T 0.4 0. A. T T 0,6 olur.
ayes Teoremi:,,,.., k olayları birbirini karşılıklı engelleyen olaylar olmak üzere bu olaylar vasıtasıyla ulaşılan bir olay A olayı olsun. A olayı meydana geldiği takdirde bu durumun r olayından kaynaklanmış olma olasılığı ayes teoremi ile şöyle ifade edilir. A>0 Veya kısaca şöyle yazılır........ k k r r r A A A A A k i i i r r r A A A..
roblem: İki ayrı fabrika tarafından imal edilen elektronik cihazların %70 i A, %0 u fabrikası tarafından üretilmektedir. A fabrikalarında üretilen cihazların %4 ü, fabrikasında üretilen cihazların %7 si kusurludur. u cihazlardan biri rasgele seçildiğinde kusurlu olduğu görülüyor. a u cihazın fabrikasında üretilmiş olma olasılığını, b u cihazın A fabrikasında üretilmiş olma olasılığını bulunuz. Çözüm: K: Cihazın kusurlu olma olasılığı A: Cihazın A fabrikasının ürünü olma durumu : Cihazın A fabrikasının ürünü olma durumu a A 0.7 0. K A 0.04 K 0.x0.07 0.0 K 0.7x0.04 0.x0.07 0.049 0.07. K 0.485 K A. K A. K 0.7x0.04 0.08 b A K 0.7x0.04 0.x0.07 0.049 0.575
roblem: ir mamul, ve gibi makine tarafından üretilmektedir Üretilen mamullerin %60 ı de %0 u de %0 u makinesinde gerçekleşmektedir. u makinelerin hatalı üretim oranları ise sırası ile %,%4,%6 dır. u makineler tarafından üretilen mamul yığınından rastgele seçilen bir mamulün a Hatalı olma olasılığı b Sağlam olma olasılığı c Hatalı olarak seçilen bu mamulün tezgahında üretilme olasılığı ne olur?
Çözüm: K olayı mamulün kusurlu, S olayı sağlam olma olasılığı olmak üzere: a K:0.6x0.0 0.x0.04 0.x0.06 0.0 0.06 0.006 0.00 b S K 0.00 0.97 c K. K. K. K. K 0.x0.06 0.006 K 0.6x0.0 0.x0.04 0.x0.06 0.0 0.
roblem: ir doktor hastasının H, H ve H hastalıklarından birine yakalandığını eşit olasılıklarla tahmin etmektedir. u hastalığı belirlemek için bir test işlemi yapmaktadır. u test ile hastalığın H olması halinde pozitif sonuç vermesi olasılığı 0.8, H için 0.6, H için 0.4 olduğu bilinmektedir. Test pozitif sonuç verdiğine göre doktorun a H teşhisi koyma olasılığı b H teşhisi koyma olasılığı c H teşhisi koyma olasılığını bulunuz. Çözüm: H H H H 0.8 H 0.6 H 0.4
a b c.... H H H H H H H H H 9 4 9 5 5 4 5 5 5 4 5 4 5 5 5 4 5 4 x x x x x 9 5 5 5 9 5 x x H 9 9 5 5 5 9 5 x x H
roblem: ir bölgede hava durumu ve havanın durumuna göre soğuk olma olasılıkları verilmiştir. una göre; a Herhangi bir günde havanın soğuk olma olasılığını bulunuz. b Havanın soğuk olduğu bilindiğine göre güneşli olma olasılığı ne olur? Hava durumu Olasılığı Soğuk olma olasılığı Güneşli 0,4 0, ulutlu 0, 0,4 Yağmurlu 0, 0,6 Karlı 0, 0,9