LKÖ RET M 8 MATEMAT K DERS K TAI Mehmet ÇE Ömer AYAR Hakk ÇE u kitap, Millî E itim akanl Talim ve Terbiye Kurulu aflkanl - n n 8..009 tarih ve 7 say l karar yla 00-0 ö retim y l ndan itibaren 5 (befl) y l süre ile ders kitab olarak kabul edilmifltir. DÖRTEL Yay nc l k E itim Sanayi ve Ticaret Ltd. fi. U ur Mumcu Mah. 7. Cad. Nu.: Ostim/ANKARA tel.: (0.) 85 54 0 (4 hat)
Editör Abdullah Tansel GEZM fi Dil Uzman Nihat ERDAL Görsel Tasar mc An l ERTOK ATMACA Program Gelifltirme Uzman Sanem GEZM fi Ölçme ve De erlendirme Uzman Ömer GÜLÖZ Rehberlik / Geliflim Uzman Gülsema UYGUN ask ADA Matbaac l k Ltd. fiti. Ankara - 04 ISN 978-975-705-90-6
MUSTAFA KEMAL ATATÜRK
Ç NDEK LER Organizasyon fiemas............................................................. 8. ÜN TE Üslü Say lar................................................................. Üslü Say lar Ö renelim........................................................ Tam Say lar n Pozitif Kuvvetleri.................................................. 4 Tam Say lar n Negatif Kuvvetlerini ulal m......................................... 5 Negatif ir Tam Say n n Negatif Kuvvetini ulal m................................... 6 Ondal k Kesirlerin Kuvvetini ulal m............................................... 7 Rasyonel Say lar n Kuvvetini ulal m.............................................. 7 Üslü Say larla Toplama ve Ç karma fllemleri Yapal m................................ 9 Üslü Say larla Çarpma fllemleri Yapal m........................................... 0 Üslü Say larla ölme fllemleri Yapal m............................................ Çok üyük ve Çok Küçük Say lar Ö renelim....................................... 5 KONU DE ERLEND RMES.................................................... 8 Kareköklü Say lar............................................................ 9 Kareköklü Say lar Ö renelim.................................................... 9 ir Say n n Karesi ve Karekökü.................................................. 9 Tam Kare Olmayan Say lar n Kareköklerini Tahmin Edelim............................ Kareköklü ir Say y a b fieklinde Yazal m ve a b fadesindeki Kat Say y Kök çine Alal m. Karekök Almay Ö renelim...................................................... 4 Kareköklü Say larla Toplama ve Ç karma fllemleri Yapal m............................ 5 Kareköklü Say larla Çarpma ve ölme fllemleri Yapal m.............................. 8 Ondal k Kesirlerin Kareköklerini ulal m............................................ 4 Gerçek Say lar............................................................... 44 Rasyonel Say larla rrasyonel Say lar n Fark n Ö renelim............................. 44 Rasyonel Say m, rrasyonel Say m?............................................ 45 Gerçek Say lar Kümesini Oluflturan Say Kümelerini Ö renelim......................... 46 ÜN TE DE ERLEND RMES.................................................... 47. ÜN TE Üçgenler.................................................................... 5 Atatürk...................................................................... 5 Üçgenlerin Kenar Uzunluklar Aras ndaki liflkileri Ö renelim........................... 5 6
Ç NDEK LER Üçgenlerin Kenar Uzunluklar ile Aç lar n n Ölçüleri Aras ndaki liflkileri Ö renelim.......... 5 Üçgen Çizelim................................................................ 54 Üçgenin Yard mc Elemanlar n Tan yal m.......................................... 57 Efllik....................................................................... 6 enzerlik Kurallar n Ö renelim.................................................. 66 Üçgenlerde Ölçme........................................................... 70 enzerlikle lgili Problem Çözelim................................................. 70 Üçgenler.................................................................... 7 Pythagoras (Pisagor) a nt s n Ö renelim.........................................7 Üçgenlerde Ölçme........................................................... 75 Problemlerde Pisagor a nt s n Uygulayal m.......................................75 Üçgenler.................................................................... 78 Dik Üçgende Dar Aç lar n Trigonometrik Oranlar n Ö renelim..........................78 Üçgenlerde Ölçme............................................................8 Trigonometrik Oranlar ulma ile lgili Problemler Çözelim..............................8 ÜN TE DE ERLEND RMES....................................................85. ÜN TE Geometrik Cisimler........................................................... 89 Üçgen Prizmay Ö renelim...................................................... 89 Geometrik Cisimlerin Yüzey Alanlar............................................ 90 Prizmalar n Yüzey Alan a nt lar n Hat rlayal m.................................... 90 Geometrik Cisimlerin Hacimleri................................................ 9 Üçgen Prizman n Hacim a nt s n ulal m........................................ 9 Geometrik Cisimler.......................................................... 95 Piramitleri Ö renelim.......................................................... 95 Dik ve E ik Piramidi Ö renelim.................................................. 96 Geometrik Cisimlerin Yüzey Alanlar............................................ 97 Dik Piramidin Yüzey Alan...................................................... 97 Geometrik Cisimlerin Hacimleri................................................ 99 Dik Piramidin Hacim a nt s................................................... 99 Geometrik Cisimler......................................................... 0 Koniyi Ö renelim............................................................. 0 Geometrik Cisimlerin Yüzey Alanlar........................................... 0 7
Ç NDEK LER Dik Dairesel Koninin Yüzey Alan................................................ 0 Geometrik Cisimlerin Hacimleri............................................... 05 Dik Dairesel Koninin Hacim a nt s.............................................05 Geometrik Cisimler.......................................................... 07 Küreyi Ö renelim............................................................ 07 Geometrik Cisimlerin Yüzey Alanlar........................................... 08 Kürenin Yüzey Alan.......................................................... 08 Geometrik Cisimlerin Hacimleri............................................... 09 Kürenin Hacim a nt s.......................................................09 Geometrik Cisimler......................................................... Kürenin Hacim a nt s....................................................... Çok Yüzlüleri Ö renelim....................................................... Yap Olufltural m, Görünümlerini Çizelim...........................................6 Geometrik Cisimlerin Yüzey Alanlar ve Hacimleri................................ 8 Tahmin Edelim, Problem Çözelim................................................8 ÜN TE DE ERLEND RMES...................................................6 4.. ÜN TE Örüntü ve Süslemeler........................................................ 0 Fraktallar Ö renelim.......................................................... 0 Dönüflüm Geometrisi......................................................... 5 Çokgenlerin Görüntüleri........................................................ 5 Geometrik Cisimlerin Simetrileri.................................................. 7 Ötelemeli Yans ma............................................................ 40 z Düflümü.................................................................. 4 Kaybolunan Do ru, Kaybolunan Nokta............................................ 4 Olas Durumlar elirleme..................................................... 47 Kombinasyonu Ö renelim...................................................... 47 Permütasyon ile Kombinasyon Aras ndaki Fark Ö renelim............................ 5 Olay Çeflitleri............................................................... 54 a ml ve a ms z Olaylar Ö renelim........................................... 54 Olas l k Çeflitlerini Ö renelim.................................................... 6 ÜN TE DE ERLEND RMES...................................................6 8
Ç NDEK LER 5. ÜN TE Örüntüler ve liflkiler......................................................... 68 Say lar Aras ndaki liflkileri Ö renelim............................................. 68 Cebirsel fadeler............................................................. 7 Özdefllik ve Denklemi Ö renelim................................................. 7 Ortak Çarpan Parantezine Alma................................................. 76 Denklemler................................................................. 8 Do runun E imini Ö renelim.................................................... 8 ir ilinmeyenli Rasyonel Denklemleri Çözelim..................................... 89 Do rusal Denklem Sistemlerini Cebirsel Yöntemlerle Çözelim.......................... 9 Do rusal Denklem Sistemlerini Grafik Kullanarak Çözelim............................. 9 ÜN TE DE ERLEND RMES................................................... 95 6.. ÜN TE Eflitsizlikler................................................................. 99 Eflitlik ve Eflitsizli i Ö renelim................................................... 99 ki ilinmeyenli Do rusal Eflitsizliklerin Grafi i...................................... 04 Tablo ve Grafikler............................................................ 07 Verileri Tablo ve Grafikle Gösterelim.............................................. 07 Merkezî E ilim ve Yay lma Ölçüleri............................................. 09 Standart Sapmay Ö renelim.................................................... 09 ÜN TE DE ERLEND RMES................................................... Sözlük..................................................................... 5 Kaynakça.................................................................. 7 9
ORGAN ZASYON fiemasi Ünitenin numaras Ünite rengi Uyar niteli indeki bilgiler Alt konu bafll klar SAYILAR Ö renme alan Üslü Say lar Kareköklü Say lar Alt ö renme alan Üslü say lar n negatif kuvvetleri Ondal k kesir ve rasyonel say lar n üslü yaz m Üslü say larla ifllemler Çok büyük ve çok küçük say lar n bilimsel gösterimi Tam kare say lar Tam kare olmayan say lar Karekök tahmin etme Kök içine alma, kök d fl na ç karma Kareköklü say larla dört ifllem Ondal k kesirlerin kareköklerini alma Alt ö renme alan na ait kazan mlar Ünite projesi Gerçek Say lar Rasyonel say lar ile irrasyonel say lar aras ndaki fark Gerçek say lar kümesini oluflturan say lar kümesi ÜN TE PROJES Projenin Ad : Nüfus Say m Projenin Amac : Nüfus say mlar n n nas l yap ld n ve de erlendirildi ini araflt rma, yeni yöntemler gelifltirme Projenin Aflamalar Haz rl k Aflamas. Proje sürecinin belirlenmesi. Proje grubunun belirlenmesi. Grup içi görev da l m n n yap lmas 4. Araç ve gereçlerin belirlenmesi 5. Yararlan lacak kifli, kurum ve kurulufllar n belirlenmesi Konu ile verilen örnekler Uygulama Aflamas. Ülkemizde nüfus say m n n hangi kurum taraf ndan yap ld n n araflt r lmas. Ülkemizde nüfus say m n n hangi yöntemle yap ld n n araflt r lmas. Nüfus say m sonuçlar n n nas l de erlendirildi inin araflt r lmas 4. Nüfus say m ile hangi bilgilere ulafl ld n n ve bu bilgilerin hangi alanlarda kullan ld n n araflt r lmas 5. Nüfus say m için farkl bir yöntem gelifltirilmesi (Sizce nüfus say m nas l yap lmal d r? Nedenlerini belirtiniz.) 6. Proje süresince yap lan çal flmalar n raporlaflt r lmas Projenin Sunumu. Proje sürecinin ve proje grubunun tan t m yap l r.. Uygulama çal flma yönteminin tan t m yap l r.. Uygulamada karfl lafl lan güçlüklerin nas l afl ld anlat l r. 4. Proje çal flmas n n sonunda ulafl lan sonuç hakk nda s n fta sunum yap l r. Hat rlatma niteli indeki bilgiler Üniteye ait performans ödevi Projeniz; haz rlama süreci, projenin uygulanabilirli i, rapor yazma ve sunumunuz dikkate al narak de erlendirilecektir. PERFORMANS ÖDEV Konu Süre eceriler Araç - Gereç ve Kaynaklar De erlendirme liflkilendirme Hesap makinesi Dereceli puanlama Say lar hafta letiflim Türkiye istatistik y ll anahtar Karar verme lgili web siteleri STENEN ÇALIfiMALAR. Nüfus say mlar ile ilgili say sal veriler toplama. Nüfus hareketlili i (göç alma - göç verme) ile ilgili say sal veriler toplama. Verileri üslü say larla, negatif ve pozitif tam say larla gösterme Rasyonel Say lar n Kuvvetini ulal m Etkinlik Rasyonel Say lar n Kendileriyle Tekrarl Çarp m n Üslü Olarak Yazma Araç ve gereçler: defter, kalem, hesap makinesi.. çarp m n üslü olarak yazal m. ile yi çarparak sonucu bulal m. fllemimizi bir de hesap makinesi ile yaparak sonuçlar karfl laflt ral m. ' in ' i ' in ' i 4 4 ' in ' i ' nin ' si. = = c m c m = = 4. = = c m 4 4 4 4 c m = = 4 4 6 7. = = c m c m = = 9. = = c m c m 4 = = 9 ÇK 0 - - Ders Kitab ndan Ö renci Çal flma Kitab na yap lan yönlendirme 0
SAYILAR Üslü Say lar Üslü say lar n negatif kuvvetleri Ondal k kesir ve rasyonel say lar n üslü yaz m Üslü say larla ifllemler Çok büyük ve çok küçük say lar n bilimsel gösterimi Kareköklü Say lar Tam kare say lar Tam kare olmayan say lar Karekök tahmin etme Kök içine alma, kök d fl na ç karma Kareköklü say larla dört ifllem Ondal k kesirlerin kareköklerini alma Gerçek Say lar Rasyonel say lar ile irrasyonel say lar aras ndaki fark Gerçek say lar kümesini oluflturan say lar kümesi
. ÜN TE Proje Projenin Ad : Nüfus Say m Projenin Amac : Nüfus say mlar n n nas l yap ld n ve de erlendirildi ini araflt rma, yeni yöntemler gelifltirme Projenin Aflamalar Haz rl k Aflamas. Proje sürecinin belirlenmesi. Proje grubunun belirlenmesi. Grup içi görev da l m n n yap lmas 4. Araç ve gereçlerin belirlenmesi ÜN TE PROJES 5. Yararlan lacak kifli, kurum ve kurulufllar n belirlenmesi Uygulama Aflamas. Ülkemizde nüfus say m n n hangi kurum taraf ndan yap ld n n araflt r lmas. Ülkemizde nüfus say m n n hangi yöntemle yap ld n n araflt r lmas. Nüfus say m sonuçlar n n nas l de erlendirildi inin araflt r lmas 4. Nüfus say m ile hangi bilgilere ulafl ld n n ve bu bilgilerin hangi alanlarda kullan ld n n araflt r lmas 5. Nüfus say m için farkl bir yöntem gelifltirilmesi (Sizce nüfus say m nas l yap lmal d r? Nedenlerini belirtiniz.) 6. Proje süresince yap lan çal flmalar n raporlaflt r lmas Projenin Sunumu. Proje sürecinin ve proje grubunun tan t m yap l r.. Uygulama çal flma yönteminin tan t m yap l r.. Uygulamada karfl lafl lan güçlüklerin nas l afl ld anlat l r. 4. Proje çal flmas n n sonunda ulafl lan sonuç hakk nda s n fta sunum yap l r. Projeniz; haz rlama süreci, projenin uygulanabilirli i, rapor yazma ve sunumunuz dikkate al narak de erlendirilecektir. PERFORMANS ÖDEV Konu Süre eceriler Araç - Gereç ve Kaynaklar De erlendirme Say lar hafta liflkilendirme letiflim Karar verme Hesap makinesi Türkiye istatistik y ll lgili web siteleri STENEN ÇALIfiMALAR. Nüfus say mlar ile ilgili say sal veriler toplama. Nüfus hareketlili i (göç alma - göç verme) ile ilgili say sal veriler toplama. Verileri üslü say larla, negatif ve pozitif tam say larla gösterme Dereceli puanlama anahtar
DO AL Üslü Say lar SAYILAR SAYILAR Üslü Say lar Ö renelim Paketler Nas l Olmal? Çikolata üretimi yapan bir firma sahibi, bayileri ile toplant yaparak yeni ürünlerini sat fla sunabilmek için strateji gelifltirmelerini istedi. Uzun süren tart flmalar sonunda;. bayi yeni ürünün,, 4, 8, 6, ve 64 lü,. bayi yeni ürünün,, 9, 7, 8 li,. bayi yeni ürünün, 4, 6, 64 lü, 4. bayi yeni ürünün, 5, 5 ve 5 li paketler hâlinde sat lmas n önerdi. Firma sahibi, ve. bayinin önerileri örtüfltü ü için. bayinin önerisini dikkate almad. Di erlerini de de erlendirmek için örnek paketlemeler yapt rd. Müflterilerin tercih edece i say da çikolatalar paketlemenin uygun olaca düflünüldü.. örnek grup. örnek grup. örnek grup 4 4 5 6 5 5 5 0 0 5 0 Sat c ben olsam?......... Hangi paketleme daha uygun? n, n ya da 5 n Al c ben olsam?......... Firma çal flanlar, paketlerdeki çikolata say lar n üslü flekilde yazd lar. u durumun, hem yanl fll hem de kar fl kl önleyerek daha kolay anlafl ld n ve her zaman bu yolu tercih ettiklerini belirttiler. Üslü Say lar K saca Hat rlayal m x = x = 5 x 5 = 5 x x = x x = 5 x 5 x 5 = 5 0 = 0 = 5 0 = = = 5 = 5 a n ifadesinde a ya taban, n ye üs ya da kuvvet denir. n tane a birbiri ile çarp l r.
SAYILAR Üslü Say lar 4 5 üs (kuvvet) taban 4 5 = 4. 4. 4. 4. 4 (5 tane 4 ün yan yana çarp m ) Tam Say lar n Pozitif Kuvvetleri ( ) = ( ). ( ) = (+9) ( ) = ( ). ( ). ( ) = ( 7) Negatif tam say lar n çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatif bir tam say d r. (+) = (+). (+) = (+9) (+) = (+). (+). (+) = (+7) Pozitif tam say lar n tek kuvvetleri de çift kuvvetleri de pozitif bir tam say d r. Al flt rma Yapal m. Afla daki tabloda. sütundaki say lar taban,. sat rdaki say lar üs olarak al n z. Sat r ile sütunun kesiflti i bölüme ifllem sonucunu yaz n z. 0 4 5 ( ) (+) ( ) (+) ( ) a n ile a. n ifadeleri kar flt r lmamal d r. a = 5 ve n = ise 5 = 5. 5. 5 = 5 tir. 5. = 5 tir. (+) ( 4) (+4). Afla daki örüntülerin kural n bularak bu örüntüleri tamamlay n z. a.,, 9, 7, 8, 4,... b., ( ), 9, ( 7), 8,... c.,, 5, 9, 7,, 65,... ç., 8, 6, 80, 4, 78,... d. c m, c m,,, 4, 8, 6,... 4 9 7 8 e. c m, c- m, c m, c- m, c m,.... fadelerdeki say sal verileri üslü flekilde yaz n z. a. Sabahleyin 8 C olan hava s - cakl ö leyin 5 C, ö leden sonra ise 6 C oldu. b. Ali, denizde 8 m derine dalabiliyor. c. Manav karpuzlardan 5 TL, kavunlardan 64 TL ve di er meyvelerden 6 TL zarar etti. 4
Üslü Say lar SAYILAR Etkinlik Tam Say lar n Negatif Kuvvetlerini ulal m Tam Say lar n Negatif Kuvvetlerini ulma Araç ve gereçler: say kartlar, defter, kalem. Ayn ölçülerde 0 tane say kart haz rlayal m. Kartlar n her iki yüzüne de den 9 a kadar say lar yazal m. Ön yüzdeki say lar n önüne +, arka yüzdeki say lar n önüne iflaretlerini yazal m. 0 uncu kart n her iki yüzüne de 0 (s f r) yazal m. tam say s n seçelim. tam say s na kartlardaki say lar s ras ile üs olarak yaz p bir örüntü olufltural m. 0 4 5 6... 9.................. Pozitif bir tam say n n üssü (kuvveti) pozitif bir tam say ise örüntüyü oluflturan say lar da pozitif say lardan oluflur. tam say s n n (+4) ve ( 4) üncü kuvvetleri aras ndaki say lar s ras ile yazarak bir örüntü olufltural m. 4 0 4 6 6 Üssü negatif olan say lar örnekteki gibi bulal m. (Paya, paydaya yaz ld.) =...... 4... enzer çal flmay tam say s ile yaparak örüntüyü oluflturan say lar aras ndaki iliflkiyi inceleyelim. 5
SAYILAR Üslü Say lar ir üslü ifadede üssün iflareti ne zaman de iflir?..., 4, 4, 4, 4 0, 4, 4, 4, 4 4,... örüntüsünü inceleyelim: 4-4 (Üssü olan 4 tam say s, paydas na yaz larak rasyonel say hâline getirilir.) (4 paydaya yaz l rken üssün iflareti de ifltirilir.) ir üslü ifade, paydan paydaya veya paydadan paya al nd nda üssün iflareti de iflir. 4-4- = = = 4 4 - Afla daki üslü ifadelerin yerlerini örnekteki gibi de ifltiriniz. 4 7 4 5 7 5 8 7 6 9 5 4 8 - Negatif ir Tam Say n n Negatif Kuvvetini ulal m ( ) tam say s n n kuvvetini bulal m: - = - - - ] g ] g = = = - ] g ] - g. ] - g 4 Negatif kuvveti al nan tam say paydaya yaz l rken üssün iflareti de iflir, tam say n n iflareti ayn kal r. ( ) tam say s n n kuvvetini bulal m: - = - - - ] g ] g = = = =- - ] g ] - g. ] - g. ] - g - 8 8 Negatif say lar n üssü çift say ise çarp m n iflareti pozitif, tek say ise negatif olur. -4 ] - g = = = - 4 4 ] g 8-5 ] - g = = = - 5-5 ] g ] g - 4 a 0 olmak üzere n do al say iken a n = a n oldu una dikkat ediniz. 6
Üslü Say lar SAYILAR Etkinlik abam Kaç Çit oyayacak? Hasan, Ayfle, Orhan, Ömer ve Zeynep bahçelerinin çevresindeki çiti boyamaya karar verdiler. 00 tane çit vard. Hasan 0, sinin 0, sini, Ayfle 0, ünün 0, ünü, Orhan 0,4 ünün 0,4 ünü, Ömer 0,5 inin 0,5 ini, Zeynep 0,6 s n n 0,6 s n ve kalanlar da babalar boyayacakt. Hepsinin de merak, babalar n n kaç çit boyayacak olmas yd. Ondal k Kesirlerin Kuvvetini ulal m Ondal k Kesirlerin Kendileriyle Tekrarl Çarp m n Üslü Olarak Yazma Araç ve gereçler: defter, kalem, hesap makinesi. (0,). (0,) çarp m n üslü olarak yazal m. 0, ile 0, yi çarparak sonucu bulal m. fllemimizi bir de hesap makinesiyle yaparak sonuçlar karfl laflt ral m. abalar, 00 (4 + 9 + 6 + 5 + 6) = 0 tane boyayacakt. Her birinin boyayaca çit say s n bulal m: Hasan: (0,). (0,) = (0,) = 0,04 00. (0,04) = 4 tane Ayfle: (0,). (0,) = (0,) = 0,09 00. (0,09) = 9 tane Orhan: (0,4). (0,4) = (0,4) = 0,6 00. (0,6) = 6 tane Ömer: (0,5). (0,5) = (0,5) = 0,5 00. (0,5) = 5 tane Zeynep: (0,6). (0,6) = (0,6) = 0,6 00. (0,6) = 6 tane (0,5). (0,5). (0,5) = (0,5) = 0,5 (0,). (0,). (0,). (0,) = (0,) 4 = 0,008 44444444 444444444444 tane 0,5 4 tane 0, Ondal k kesirlerin kendileri ile tekrarl çarp m üslü flekilde yaz labilir. Etkinlik Rasyonel Say lar n Kuvvetini ulal m Rasyonel Say lar n Kendileriyle Tekrarl Çarp m n Üslü Olarak Yazma Araç ve gereçler: defter, kalem, hesap makinesi.. çarp m n üslü olarak yazal m. ile yi çarparak sonucu bulal m. fllemimizi bir de hesap makinesi ile yaparak sonuçlar karfl laflt ral m. ' in ' i ' in 4 ' i 4 ' in ' i ' nin ' si. = = c m c m = = 4. = = c m 4 4 4 4 c m = = 4 4 6. c m = = c m = = 9. c m = = c m 4 = = 9 7 ÇK 0 - -
SAYILAR Üslü Say lar 5.. 5 5 = =c m 5 5 4... 4 4 4 = =c m 4 4 4 4 4 c.. - m c- m c- m= c- m c 4. 4 - m c- m= c- m 5 5 5 4 c m 5 = = 5 8 5 4 c m 4 4 = = 4 4 8 56 8 c- m =- =- 7 4 4 6 c- m = = 5 5 5 Rasyonel say lar n kendileri ile tekrarl çarp m üslü flekilde yaz labilir. Al flt rma Yapal m. Afla daki ifllemleri yap n z. a. (0,) + (0,4) b. (0,5) + (0,) c. (0,6) + (0,8) ç. ( ) (0,5) d. ( ) (0,7) e. (0,4) ( ) f. c m - c m g. c m + c m h. 4 ]- g + ]-g ^08, h + ^06, h. i. j. 4 ^04, h + ^0, h c m 5 -c- m ^05, h -^04, h ^0, h. 00 TL sinin inin ini harcayan bir kiflinin kaç TL si kal r? 4 4. 540 km yolun c m ünü giden bir kifli, kalan yolu saatte (5 + 7 ) km h zla giderse 5. saatin sonunda kaç km yolu kal r? 4. Hasan ve Kemal adlar ndaki iki köylü kardeflin ellifler dönüm tarlalar vard r. Hasan, tarlas n n 5 sine arpa, ine bu day ekti. Kemal ise üne nohut, sine bu day ekti. a. Kim tarlas n n daha büyük bir k sm na bu day ekti? b. Nohut ekilen k s m arpa ekilen k s mdan kaç metre kare büyüktür? c. Kimin tarlas n n daha büyük bir k sm ekilmedi? 5. Afla daki tabloda sütunda verilen say lar taban, sat rda verilen say lar üstür. Sütunda verilen say lar n kuvvetlerini örnekteki gibi sat rda verilen say larla kesifltikleri karelere yaz n z. 0, 0, 0,4 0,5 4 4 5 0, 0,04 8
Üslü Say lar SAYILAR Üslü Say larla Toplama ve Ç karma fllemleri Yapal m + ifllemini yapal m: + = 4 + 8 = ( ) + ( ) ifllemini yapal m: ( ) + ( ) = 4 + ( 7) = + ( ) ifllemini yapal m: + ( ) = 9 + 9 = 8 ( ) + () ifllemini yapal m: + ( ) ifllemini yapal m: + ( ) = 8 + = 4 4 - - + - ] g ] g = - + = 4 + 9 = ] g 6 ( 4) + ( ) 5 ifllemini yapal m: - - 4 + - -5 ] g ] g = - 5 4 + - = c - m 64 + c - m = c - m ] g ] g 64 ( ) ( 4) ifllemini yapal m: - - - - - ] g ] 4 4g = - - - 4 = 4-6 = 6-6 = ] g ] g 6 Hat rlayal m Üslü say larla toplama ya da ç karma ifllemi yaparken önce üs alma ifllemlerini, sonra toplama ya da ç karma ifllemlerini yapar z. 5 + =? 5 + 9 = 4 ( ) ( 4) ifllemini yapal m: - - ] -g -]- 4g = - = c- m-c- m - - ] g ] 4g 8 64 8 7 = c- m + c+ m= c- m 64 64 64 Al flt rma Yapal m. Verilen ifadeleri üslü biçimde yaz n z. a. b. c. ç. 4 6 7 64. 8, 7, 9,..., örüntüsünde verilmeyen say lar bularak örüntüyü üslü biçimde yaz n z. 8. 4 n,..., 4 4, 4, 4, 4, 4 0, 4, 4, 4, 4 4,..., 4 n örüntüsünü tam say larla yaz n z. 4. Afla daki toplama ve ç karma ifllemlerini yap n z. a. + 4 b. + 4 c. 4 + 4 ç. 5 + 5 d. 4 e. f. 4 4 g. 5 5 h. ( ) + ( 4). ( ) ( ) i. ( 4) ( 4) j. ( ) 5 ( 4) k. 5 + 4 l. + m. 4 + 4 n. 5 + 5 9 ÇK - 4
SAYILAR Üslü Say lar Üslü Say larla Çarpma fllemleri Yapal m Etkinlik Üslü Say larla Çarpma fllemi Yapma Araç ve gereçler: defter, kalem, hesap makinesi. 4, 4 4 ün de erlerini ve 6. 56 çarpma iflleminin sonucunu bulal m. 4 6 n n de erini bularak yapt m z son iki ifllemin sonucunu karfl laflt ral m. fllemlerimizi bir de hesap makinesi ile yaparak sonuçlar karfl laflt ral m. 4. 4 4 = 4 6 eflitli inden hareket ederek iki üslü say n n çarpma ifllemiyle ilgili bir kural bulal m. Tabanlar ayn olan üslü say larla çarpma ifllemi nas l yap l r?. ifllemini yapal m: =.. =. ( 8. 4 = = 8 = 4 =..... = + = 5 = 5 Tabanlar ayn olan üslü say larla çarpma ifllemi yap l rken üsler toplam, ortak tabana üs olarak yaz l r. a m. a n = a m+n 5. 5 4 ifllemini yapal m. Çözüm 5 = 5. 5. 5 = 5 & 54 = 5. 5. 5. 5 = 65 5. 5 4 = 5 + 4 = 5 7 = 5. 5. 5. 5. 5. 5. 5 = 785 Etkinlik Çarpma fllemi Çarp m Çarp m n Üslü Gösterimi 0. 0 00 0 0. 0 000 0 0. 0 0. 0 4 0. 0 5. 4 5 5 = 5. 65 = 785 0 un Üsleriyle lgili Çarpma fllemi Yapma Araç ve gereçler: defter, kalem, hesap makinesi. 0 un üsleriyle ilgili çarpma ifllemi içeren afla daki gibi bir tablo haz rlay n z. Tablodaki Çarp m sütununa yaz lacak sonuçlar hesap makinesi yard m yla bulunuz. Çarpma sütunu ile Çarp m n Üslü Gösterimi sütunundaki iliflkiyi aç klayarak tabloyu tamamlay n z. Üslü iki say n n çarpma ifllemiyle ilgili kural tablo yard m yla elde ediniz. 0
Üslü Say lar SAYILAR 0 4. 0 5 ifllemini yapal m. Çözüm 04 = 0. 0. 0. 0 = 0 000 4. 5 & 0 0 = 0 000. 00 000 = 000 000 000 05 = 0. 0. 0. 0. 0 = 00 000 0 4. 0 5 = 0 4 + 5 = 0 9 = 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 = 000 000 000 Al flt rma Yapal m. Afla daki çarpma ifllemlerini yap n z. a.. b. 4. 4 c. 6. 6 ç. 5. 4 d... e. 4.. f. 5. 5 4. 5 g. 4 5. 4 4. 4 h. 7. 7. 7 0. 5 4. 5. 5 i. 4.. 0 j. 6.. k. 4 4. 4 0. 4 l. 8. 8. 8 0 m. 0 4. 0. 0 n. 6. 6 0. 6 Tabanlar farkl olan üslü say lar n çarpma ifllemi nas l yap l r?. ifllemini yapal m: =.. = 8 =.. = 7, ( 8. 7 = 6. = (. ) = 6 ( 6 = 6. 6. 6 = 6 4. 5 ifllemini yapal m: 4 = 4. 4 = 6 5 = 5. 5 = 5, 6. 5 = 400 4. 5 = (4. 5) = 0 ( 0 = 0. 0 = 400. 4 4 + 5. 4 ifllemini yapal m:. 4 4 + 5. 4 = ( + 5). 4 = 6. 4 = 4. 4 = 4 0 = Tabanlar farkl, üsleri ayn olan say - larla çarpma ifllemi yap l rken ortak üs, tabanlar çarp m na üs olarak yaz l r. a n. c n = (a. c) n Al flt rma Yapal m. Afla daki tabloyu hesap makinesi kullanarak tamamlay n z. Çarpma fllemi Çarp m Çarp m n Üslü Gösterimi 0. 0 0. = (0. ) = 0 0. 0. 0 4. 4 0 5. 5
SAYILAR Üslü Say lar. Afla daki çarpma ifllemlerini yap n z. a. 4. b.. 5 c. 6. 4 ç. 4. 4 4 d. 8 0. 9 0 e. 7. 8 f. 5. 4 g. 7. 8 h. 4. 5 4. 4.. 4. 5 i. 6.. 5 j. 8. 4. k. 5 5. 5. 5 l. 7.. m. 0. 4. n. 6 4. 4. 4 4. 5. 6. 6 +. 6 iflleminin sonucunu bulunuz. 4. Afla daki ifllemleri yap n z. a.. 7 5 +. 7 4. 7 6 + 6. 7 b.. 5 +. 5 6. 5 4 c. 4.. 7 ç. c m + c m - c m + ] g 4 5. 4. 4. 8 iflleminin sonucunu bulunuz. 6. +,. 5,4. 5,8. 5 + 6. 5 iflleminde sonuç afla dakilerden hangisi de ildir? A). 5 ) C) D) 0, 5 5 5 7. ( ) 4. ( ). ( ) ifllemini yap n z. 8. c m + - - - ifllemini yap n z. 9. c - m + - + c- m ifllemini yap n z. 0. ^- h + ^0, h + c m ifllemini yap n z... 0, 5. ^ h c m ifllemini yap n z... (0,4). ( 5) ifllemini yap n z.. 4.. 5. ifllemini yap n z. 4.. (0,5). 4. ifllemini yap n z.
Üslü Say lar SAYILAR Üslü Say larla ölme fllemleri Yapal m Etkinlik Üslü Say larla ölme fllemi Yapma Araç ve gereçler: defter, kalem, hesap makinesi. 0 un üsleriyle ilgili bölme ifllemi içeren afla daki gibi bir tablo haz rlayal m. Tablodaki ölüm sütununa yaz lacak sonuçlar hesap makinesi yard m yla bulal m. ölme sütunu ile ölümün Üslü Gösterimi sütunundaki iliflkiyi aç klayarak tabloyu tamamlayal m. ölme ölüm ölümün Üslü Gösterimi 0 : 0 0 0 0 : 0 00 0 0 4 : 0 0 5 : 0 0 6 : 0 Üslü iki say n n bölme ifllemiyle ilgili kural tablo yard m yla elde edelim. 0 6 : 0 4 ifllemini yapal m. Çözüm 6 0 = 0. 0. 0. 0. 0. 0 = 000 000 6 4 & 0 : 0 = 000 000 : 0 000 = 00 4 0 = 0. 0. 0. 0 = 0 000 0 6 : 0 4 = 0 4 = 0 = 0. 0 = 00 Tabanlar ayn olan üslü say lar n bölme iflleminde üsler fark ortak tabana üs olarak yaz l r. a m : a n = a m n Al flt rma Yapal m Afla daki bölme ifllemlerini yap n z. 46 a. b. 7 : 7 4 c. : 5 ç. 45 5 5 4 5-5 d. e. 6 : 6 f. ( 9) 4 : 9 7 g. 4 : 4 5 -
SAYILAR Üslü Say lar Tabanlar farkl, üsleri ayn olan say lar n bölme ifllemi nas l yap l r? : ifllemini yapal m: : :.. = c m = = 8 = = c m = 7 8 7 4 : ifllemini yapal m: 4 : 4 = c m = ] g = 4 0 : 5 ifllemini yapal m: 0 : 5 - - - 0 = c m = - = = 5 4. - 4. +. 5. + -5. ifllemini yapal m:. - 4. +. 5. + -5. ] - 4+ g. = ] 5 + - 5g. 9. = =- - 9. Tabanlar farkl, üsleri ayn olan say lar n bölme iflleminde tabanlar bölünür, bölüme üs aynen yaz l r. a m : b m ise a m c m b olur. Al flt rma Yapal m. Afla daki bölme ifllemlerini yap n z. a. : 5 b. 4 7 : 7 c. 5 : 4 5 ç. 6 : d. ( 4) 6 : ( 6) 6 e. (0,) : (0,0) f. ( ) : ( ) g. 4 5 : 4 7 h. 6 : 6. 4 4 : 4 i. 5 : 5 5 j. 8 8 : 8 7. Afla daki bölme ifllemlerini yap n z. 5.. 4 a. b. 5. 4 4. c. 4 7: 7 4 : ç. d. 65: 6 8 e. 6-: 6-4. f. g. 8: 8. 40 h. 5+ 5: 54. : 4. i. 4 8: 4 0-0 j. 5. +. - 4. -. -7.. 5 +. 5 54: 5. ^5-4h 4 ^ + h: 9 5 - ÇK 5-6 - 7-8 4
Üslü Say lar SAYILAR Çok üyük ve Çok Küçük Say lar Ö renelim Etkinlik Çok üyük ve Çok Küçük Pozitif Say lar ilimsel Olarak Gösterme Araç ve gereçler: defter, kalem. Çok büyük ve çok küçük pozitif say lar n bilimsel gösterimlerinin nerelerde ve hangi amaçla kullan ld n araflt rarak bir sunum haz rlayal m. Haz rlad n z sunumu s n fta arkadafllar m za sunal m. Afla daki tabloda bofl b rak lan yerleri doldural m. Say Say n n ilimsel Gösterimi Say Say n n ilimsel Gösterimi 0,00000 0 6 60 000 6,0. 0 5 8 000 000 000 8. 0 9 0,00000009 0,000005 56 000 000 7 000 000 0,0000 0,00049 70 000 000 Çok büyük ve çok küçük pozitif say lar n bilimsel gösterimi ile ilgili kural tablo yard m yla elde edelim. Afla daki say lar bilimsel olarak gösterelim. a. 0,0000 b. 6 000 c. 0,000 475 ç. 90 000 d. 0,00000086 e. 8 000 000 000 Çözüm a.. 0 5 b.,6. 0 4 c. 4,75. 0 4 ç.,9. 0 5 d. 8,6. 0 7 e.,8. 0 0 a bir gerçek say, a < 0 ve n Z olmak üzere a. 0 n fleklindeki gösterimler bilimsel gösterimdir. Al flt rma Yapal m. Afla daki say lar bilimsel olarak gösteriniz. a. 0,000 b. 0,00077 c. 0,00000684 ç. 80 000 d. 6 780 000 e. 0,00000045 f. 7 000 g. 498 700 h. 00 000 000 000. nternetten yaflad n z ilin, ilinize komflu olan illerin yan s ra Çin, Hindistan, Pakistan, Almanya, ngiltere, Amerika irleflik Devletleri ile rezilya n n nüfuslar n araflt r n z ve bilimsel gösterimle yaz n z. 5
SAYILAR Üslü Say lar üyük say lar, ister ülke giderlerini kurufl cinsinden, isterse y ld z uzakl klar n santimetre cinsinden göstermek için bir rakam n sa na yeteri kadar s f r koyarak yazabilece imizi biliyoruz. Elimiz yoruluncaya kadar s f r koymay sürdürebilir ve bilmeden evrendeki atomlar n say s ndan da büyük 00 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 gibi bir say elde edebiliriz. u büyük say y k saca.0 77 biçiminde yazabiliriz. urada, 0 un sa üstünde bulunan küçük 77 say s, ün sa na bu kadar s f r yaz laca n ya da ün 77 kez 0 ile çarp laca n gösterir. u aritmetik kolayl k, yüzy llar önce bilinmiyordu. Gerçekten bu yöntem, iki bin y l kadar önce, ad bilinmeyen Hintli bir matematikçi taraf ndan bulundu. u bulufltan önce say lar flimdi ondal k birim dedi imiz, her bir basamak için ayr bir iflaret kullanarak ve bu basamaktaki birimleri bildirmek için o basamak iflaretini gerekti i kadar yineleyerek yaz l rd. Örne in 87 say s n eski M s rl lar flöyle yazarlard : Oysa Sezar n saray nda bir sayman ayn say y M M M M M M M M D C C X X X I I biçiminde yazacakt. Eski bir Romal, Romen rakamlar yla bir milyon yazmaya çal fl yor. Duvar tablosuna ancak yüz bin yazabilir. 6
Üslü Say lar SAYILAR Afla daki verileri bilimsel gösterimle yaz n z. Dünya da yaklafl k 6 000 000 000 insan yaflamaktad r. ir insan n bir günde yaklafl k litre su tüketti ini kabul ederek dünyadaki bir y ll k su tüketimini bilimsel gösterimle yaz n z. Dünya n n Günefl e olan uzakl yaklafl k 50 000 000 km, Merkür ün 60 000 000 ve Jüpiter in 780 000 000 km dir. Uzayla ilgili güncel say sal veriler toplay p bir tablo ile gösteriniz. Tablodaki verileri bilimsel olarak ifade ediniz. Ülkemizde, ortalama 65 y l kabul edilen bir insan ömrü saniye cinsinden bilimsel gösterimle... fleklinde yaz l r. Satrançta ilk 0 aç l fl hamlesi için 70 000 000 000 000 000 000 000 000 olanak vard r. Hamle say s bilimsel gösterimle... fleklinde yaz l r. ir kafl, ortalama 450 tüyden oluflur. 6 milyar insan n kafllar nda toplam... tüy vard r. 7 ÇK 8
SAYILAR Üslü Say lar KONU DE ERLEND RMES. 5 ifadesinde ye..., 5 e... denir.. ir say n n kendisi ile tekrarl çarp m k sa yoldan...... yaz l r..,, 4, 8, 6,... örüntüsünün kural n bularak 0. basama a kadar devam ettiriniz. 4. Çi dem, her gün bir önceki gün toplad n n kat ndan eksik deniz kabu u topluyor. Çi dem, ilk gün tane deniz kabu u toplad na göre 5. gün kaç tane toplar? 5. Afla daki üslü ifadeleri, taban say ise rasyonel say, taban rasyonel say ise tam say olarak yaz n z. a. b. 4 c. 5 ç. 0 d. e. f. g. 7 5 64 6. Afla daki ard fl k toplama ve ç karma ifllemlerini yap n z. ( ) 7 ( ) 6 ( ) 5 ( ) 4 ( ) + ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 5 ( ) 6 ( ) 7 ( ) 7. Afla daki çarpma ifllemlerini yap n z. a. 6 5. 6. 6 b. 5. 5. 5 4 c. 0 7. 0 6. 0 ç. 7. 5. d. 8. 4. e. 4 6. 6. 5 6 f. (0,). (0,). (0,4) g. (). (). (4) 8. Afla daki bölme ifllemlerini yap n z. a. 6 5 : 6 b. 8 7 : 8 c. 5 : 9 ç. 7 : 7 7 d. : e. 4 : f. 5 : 5 5 g. 6 : 4 8
Kareköklü Say lar SAYILAR Kareköklü Say lar Ö renelim Kare fieklindeki ahçemizin ir Kenar n n Uzunlu unu Nas l uluruz? Kare fleklindeki bahçemizin alan 8 m dir. ahçemizin bir kenar n n uzunlu u kaç metredir? Kendisi ile çarp m 8 olan say y bulal m: 9 = 9. 9 = 8 ( 9) = ( 9). ( 9) = 8 ahçemizin alan 80 m olsayd bir kenar kaç m olurdu? Düflününüz. ahçenin bir kenar n n uzunlu u ( 9) m olmayaca na göre 9 m dir. unu 8 in karekökünü alarak bulal m: 8 = 9 = 9. 9 = 9 m Karekök bulma ifllemini hesap makinesinin tuflunu kullanarak da yapabiliriz. Önce aç tufluna basar ve say y yazar z. Karekök tufluna basarak yazd m z say n n karekökünü buluruz. ir Say n n Karesi ve Karekökü Etkinlik Kenar Uzunluklar Farkl irimlerde Olan Karelerin Alanlar n ulma Araç ve gereçler: cetvel, defter, kalem. Defterimize kenar uzunlu u birimden 6 birime kadar olan kareler çizelim. Afla daki gibi çizdi imiz karelerin alanlar n birim kare cinsinden bulal m. birim birim birim 4 birim 5 birim 6 birim A =. = br A =... =... A =... =... A =... =... A =... =... A =... =... 9
SAYILAR Kareköklü Say lar Alan br olan bir karenin bir kenar n n nas l bulundu unu aç klayal m. =. = Çarpanlardan birini kök d fl na ç karal m. Say y, karekök sembolü içine yazal m. Say y kendisiyle çarp m fleklinde yazal m. Karekök bulunurken sembolü kullan l r. a. Alan 4 br olan karenin bir kenar n n uzunlu u, 4 =. = birimdir. b. Alan 9 br olan karenin bir kenar n n uzunlu u, 9 =. = birimdir. Karekök içindeki say y kök d fl na ç karmak için bu say, eflit iki say n n çarp m fleklinde yaz l r. Say lardan biri kök d fl na ç kar l r. Alan 6 birim, 5 birim ve 6 birim olan karelerin birer kenar uzunluklar n bulunuz. Alan 64 birim kare olan karenin bir kenar uzunlu u kaç birim karedir? Kendisi ile çarp ld nda çarp m 64 olan say lar bulal m. Kendisi ile çarp m 64 olan say ( 8) ve 8 dir. 8. 8 = 64, ( 8). ( 8) = 64 tür. Karenin bir kenar n n uzunlu u hangisi olabilir?? +8? 8 Karekökleri tam say olan say lara tam kare say lar denir., 4, 9, 5, 6,... say lar n n karekökleri birer tam say d r. u say lar tam kare olan say lard r. Tam kare olan say lar, eflit iki say n n çarp m fleklinde yazarak kareköklerini bulabiliriz. Tam kare olmayan, eflit iki say n n çarp m fleklinde yaz lamayan say lar n kareköklerini nas l buluruz? 0
Kareköklü Say lar SAYILAR Tam Kare Olmayan Say lar n Kareköklerini Tahmin Edelim Etkinlik Tam Kare Olmayan Say lar n Kareköklerini ulma Araç ve gereçler: defter, kalem, hesap makinesi. Tam kare olmayan 0 say s n n karekökünün yaklafl k de erini bulal m. 0 say s na en yak n olan tam kare say lar bulal m. 9, 0 ve 6 say lar n s ralayal m. 9, 0 ve 6 say lar n n kareköklerini s ralayal m. 0 un karekökünün hangi say lar aras nda oldu unu tahmin edelim. 0 un karekökünü en yak n onda birli e kadar tahmin edelim. Hesap makinesi ile 0 un karekökünü bularak tahminimizle karfl laflt ral m. 5 say s n n karekökünü yaklafl k olarak tahmin edelim. Çözüm 5 e en yak n tam kare say lar 4 ve 9 dur. 5, 4 ve 9 un küçükten büyü e do ru s ralan fl, 4 < 5 < 9 dur. S ralamay bu say lar n karekökü için yaparsak 4 < 5 < 9 & < 5 < 4 < 5 < 9 olur. O hâlde, 5 say s ile aras ndad r. 5 say s 4 e 9 dan daha yak n oldu undan 5 in de erini, veya,4 olarak tahmin edebiliriz. Siz de 5 de erini hesap makinesi ile bularak bulmufl oldu unuz tahmin ile karfl laflt r n z. say s n n karekökünün yaklafl k de erini bulal m. Çözüm say s na en yak n tam kare say lar 5 ve 6 d r. 5 < < 6 & 5 < < 6 & 5 < < 6 5 = 8 ve 6 = tür. say s 6 ya, 5 ten daha yak n oldu undan, 5,6 veya 5,7 olabilir. Hesap makinesi ile = 5, 74 456... d r.. 5, 7
SAYILAR Kareköklü Say lar Kareköklü ir Say y a b fieklinde Yazal m ve fadesindeki Kat Say y Kök çine Alal m a b Etkinlik Kareköklü ir Say y a b fieklinde Yazma ve a b fadesindeki Kat Say y Kök çine Alma Araç ve gereçler: defter, kalem, hesap makinesi. Alan cm olan bir karenin kenar uzunlu unu bulal m. say s n, tam kare bir say ile tam kare olmayan bir say n n çarp m fleklinde yazal m. = 4 eflitli inin do rulu unu bir de hesap makinesi ile yaparak karfl laflt ral m. 4 ifadesindeki kat say y kök içerisine alal m. 75 say s n n karekökünü bulal m: 75 5. 5 = =. = 5 75 say s, iki say n n çarp m fleklinde yaz ld. Tam kare olan çarpan 5 fleklinde yaz ld. 5, kök d fl na ç kar ld. Tam kare olmayan say lar çarpanlar na ayr l r. Çarpanlardan, tam kare olan say kök d - fl na ç kar l r. Di er say lar kök içinde kal r. ifadesindeki ü kök içine alal m: =. " ü kök içine yazarken tekrar kök d fl na ç kacak flekilde olarak yazal m. = 9. " = 9 dur. = 8 " 9 ile çarp larak 8 bulundu. 7 ifadesinde 7 yi kök içine alal m: 7 = 7. " (7, kök d fl na 7 olarak ç kt ndan) = = 49. 98 Kök d fl ndaki bir say kök içine, karesi al narak kök içindeki say ile çarp m fleklinde yaz l r.
Kareköklü Say lar SAYILAR. 8. s n fta olan Ayfle ile Orhan ayn sokakta karfl l kl binalarda oturuyorlard. O gün matematik dersinde bir say n n karekökünü almay ö renmifllerdi. Okuldan ç k p evlerine dönerken kap numaralar dikkatlerini çekti. Orhan, Ayfle, sen soldaki kap numaralar n n ben de sa daki kap numaralar n n kareköklerini bulal m, bakal m hangimiz daha do ru yapaca z. dedi. Ayfle de kabul etti. Siz de bu say lar n kareköklerini bulabilir misiniz? Al flt rma Yapal m. Annem, etiketlere say lar yazarak evdeki eflyalar n üzerlerine yap flt rd. Etiketlerdeki say lar n kareköklerini alarak eflyalar n kaç y l önce al nd n bulmam z istedi. u say lar n kareköklerini alarak eflyalar n kaç y l önce al nd n bulunuz. 7 96 80 75 08 48 98 7 50 00. Afla daki say lar n kök d fl nda olan k s mlar n kök içine al n z. a. b. c. 5 ç. d. e. f. 5 g. h. 4. 4 5 i. 5 j. k. 5 6 l. 7 m. 6 n. 6 6 5 8 o. 6 6 p. 7 5 r. 8 s. 9
SAYILAR Kareköklü Say lar Karekök Almay Ö renelim Etkinlik ir Say n n Karekökünü ulma Araç ve gereçler: defter, kalem, hesap makinesi. 59 say s n n karekökünü bulal m.!! 59!! 59 x = 4 4 5 in karekökü 59 say s n kök içine yazarak sa dan sola do ru ikiflerli gruplayal m. En solda bir say da kalabilir. 59 say s n n sa na, yukar dan afla ya do ru ifllem çizgisi çizelim. En soldaki 5 in karekökünü yaklafl k olarak tahmin edelim. 5 in karekökü yaklafl k olarak dir. yi kök çizgisinin üstüne yazal m. Sonra ifllem çizgisinin sa na yazal m ve kendisiyle çarp p çarp m 5 ten ç karal m.!! 59 4 9 9 000 x = 4 4 x 9 Kalan in sa na ikinci grup olan 9 u yazal m. yi ifllem çizgisinin ikinci bölümüne yaz p ile çarpal m. 4 ün sa na öyle bir say yazal m ki bu say ile oluflan say y çarpt m zda çarp m 9 olsun. ve olmayaca ndan ü deneyelim. 4 ün sa na yaz l rsa say 4 olur. 4 ile ün çarp m 9 dur. Öyleyse arad m z say tür. fllem çizgisinin üstündeki nin sa na yazal m. Say m z 4 olur. 4 ile ün çarp m 9 dur. 9 dan 9 u ç karal m. 59 = = yazal m. fllemimizi bir de hesap makinesi ile yaparak sonuçlar karfl laflt ral m. Al flt rma Yapal m. 6 say s n n karekökünü bulunuz.. Afla daki karekök bulma ifllemini aflama aflama anlat n z.!!! 565-056 44 5 5 0000 5 x = x = x 44 x = 4 45 x 5 5 ÇK 9-0 4
Kareköklü Say lar SAYILAR Kareköklü Say larla Toplama ve Ç karma fllemleri Yapal m Yandaki modelde karesel, bölge fleklinde iki bahçe oldu unu düflünelim. Küçük bahçenin A noktas ndan büyük bahçenin E noktas na kadar, C ve D noktalar n takip edecek flekilde dikenli tel çekmek için kaç metre tele ihtiyaç oldu unu nas l hesaplayabilirsiniz? Etkinlik Kareköklü Say larla Toplama ve Ç karma fllemleri Yapma C 60 m A 640 m E D Araç ve gereçler: defter, kalem, hesap makinesi. Dikdörtgen fleklindeki spor salonumuzda, basketbol, voleybol, yakantop oynar; yer, minder ve kasa hareketleri yapar z. Kenarlar nda, çal flmalar ve spor karfl laflmalar n izlemek isteyenler için yeterli say da koltuk vard r. Spor salonumuzun boyu 5 m, 5 0 m eni 0 m dir. Spor salonumuzun çevresinin uzunlu unu bulal m. Spor salonumuzun uzun kenar ile k sa kenar aras ndaki fark bulal m. fllemlerinizi bir de hesap makinesi ile yaparak sonuçlar karfl laflt ral m. Yandaki hal n n uzun kenar sa kenar m dir. 5 m, k - 5 m a. Hal n n uzun kenar, k sa kenar ndan kaç metre uzundur? b. Hal n n çevresinin uzunlu u kaç metredir? Çözüm m a. 5 - = ] 5-g b. Ç = 5 + 5 + + = m = ] 5+ 5+ + g = 4 m Kök içleri ayn olan kareköklü say larla toplama ve ç karma ifllemleri yap l rken kat say - lar toplan r ya da ç kar l r, sonuç kareköke kat say olarak yaz l r. 5 5 + 5-5 ifllemini yapal m: 5 5 + 5-5 = ] 5+ -g 5 = 4 5 5
SAYILAR Kareköklü Say lar Kök içindeki say lar ayn de ilse toplama ve ç karma ifllemi nas l yap l r? + 75 ifllemini yapal m. - 8 ifllemini yapal m. Çözüm + 75 = 4. + 5. =. + 5. = + 5 = ] + 5g = 7 Çözüm - 8 = 6. - 4. = 4. -. = 4 - = ] 4-g = 0-45 + 5 ifllemini yapal m. Çözüm 0-45 + 5 = 4. 5-9. 5 + 5. 5 =. 5 -. 5 + 5. 5 = 5-5 + 5 5 = ] - + 5g 5 = 4 5 Kareköklü say larda toplama veya ç karma iflleminin yap labilmesi için kök içindeki say lar n eflit olmas gerekir. u eflitlik varsa kareköklü say lar n kat say lar toplan r veya ç kart l r. a b " c b = ] a" cg b gibi. Al flt rma Yapal m. Annem, ölçüleri yanda verilen hal m z n kenarlar na kumafl flerit çekecek. u fleridin uzunlu u kaç metre olur? 7 m. Afla daki ifllemleri yap n z. 48 m a. b. + + 7-5 5 - + 4 - c. 4 5 + 5-6 5 + 5 5 6
Kareköklü Say lar SAYILAR. Kenar uzunluklar verilen çokgenlerin çevre uzunluklar n toplama ifllemi yaparak bulunuz. a. b. c. 8 8 0 48 ç. d. 8 50 5 0 45 7 5 80 4. Afla dakilerden hangisi 7 e eflittir? A) ) 49 C) 98 D) 47 5. Tabloda verilen say lar n kareköklerini en yak n onda birliklerine kadar tahmin ediniz. Say 9 50 6 80 95 0 5 50 Tahmin + 50 +7 8-8 -4 6. Kaplumba a, dostlar n tek tek ziyaret etti. Sonra bir araya toplanarak sohbet ettiler. Her iki durumda da kareköklü say lar toplayarak toplamlar n yaz n z. 7 ÇK -
SAYILAR Kareköklü Say lar Kareköklü Say larla Çarpma ve ölme fllemleri Yapal m Etkinlik Kareköklü Say larla Çarpma ve ölme fllemleri Yapma Araç ve gereçler: defter, kalem, hesap makinesi. Kenar uzunluklar 5 cm ve cm olan bir dikdörtgenin alan n bulal m: Alan: 5. = 5. = 0 cm Alan cm ve bir kenar uzunlu u 7 cm olan bir dikdörtgenin di er kenar n n uzunlu unu bulal m: ilinmeyen kenar uzunlu u x olsun. 7. = x & x = = = cm 7 7 fllemlerimizi bir de hesap makinesi ile yaparak sonuçlar karfl laflt ral m.. =.. =. = = = = 5. 5. 5 = 5. 5. 5 = 5. 5 = 5 5... =... = 6 = 4 = 4 Kareköklü say lar ikiden fazla da olsa ayn ifllemler yap l r.. 5 =. 5 7. = 7. = 5 = 4 50. = 50.. =. = 00 = 64 = 0 = 0 = 8 = 8 Kareköklü say lar n çarpma iflleminde say lar bir kök içine çarp m fleklinde yaz l r. Çarpma ifllemi yap l r. Çarp m, kök d fl na ç kar labilirse ç kar l r. 8. 6 +. = 8. 6 +. = 08 + 6 = 6. + 6 = 6 + 6 = 6^ + h 9. 8-50 = 9. 8-50 = 7-50 = 6. - 5. = 6. - 5. = 6-5 = ] 6-5g = 8
Kareköklü Say lar SAYILAR 80. 0-4 8 = 6. 5. 4. 5-4 4. = 4. 5.. 5-4. = ]. 4g 5.]. g 5 -] 4. g = 8 5. 6 5-8 = ] 8. 6g 5. 5-8 = ] 48. 5g -8 = 40-8 Ali nin dikdörtgen fleklindeki çal flma masas n n uzun kenar 70 cm, k sa kenar 45 cm dir. Ali nin çal flma masas n n yüzey alan kaç santimetre karedir? Çözüm Dikdörtgenin alan A = a. b dir. Masan n yüzeyi dikdörtgen fleklinde oldu undan alan A = 70. 45 = ] 70. 45g. = 50 = 50. = 9450 cm A = 70. 45 olur. ir paralelkenar n taban uzunlu u 8 cm, tabana ait yüksekli i 5 6 cm dir. u paralelkenar n alan kaç santimetre karedir? Çözüm Paralelkenar n alan A = a. h dir. una göre A = 8. 5 6 olur. D 5 6 C A = 8. 5 6 = ] 8. 5g. 6 = 40 = 40 = 40 4.. = ] 40. g A 8 = 80 cm Taban uzunlu u 7 cm ve tabana ait yüksekli i 4 6 cm olan paralelkenar n alan n bulunuz. 9 ÇK - 4
SAYILAR Kareköklü Say lar Alan 6 45 cm olan bir dikdörtgenin k sa kenar n n uzunlu u 0 cm ise uzun kenar kaç santimetredir? Çözüm A = a. b oldu undan b A = a olur. una göre uzun kenar 6 45 0 ifllemi yap larak bulunur. 6 45 0. 6 9 5 6. 5 ] 6. g 5 8 5 = = = = = 9 cm 4. 5. 5 5 5 Dikdörtgenin uzun kenar 9 cm olarak bulunur. 9 9 6 ifllemini yapal m: 8 ifllemini yapal m: 9 6 9 6. = = 6 8 4. 4. = = 4. 4 = = = 4 8 = = = = 8 4 Kareköklü say larla bölme ifllemi yap l rken say lar ortak kök içine rasyonel say olarak yaz l p pay ve paydan n ayr ayr karekökü al n r. 5 8 + + 7 98 ifllemini yapal m: 5 8 + + 7 5 4. + 6. +. 6 5. + 4. + 6. = = 98 49. 7. 5.. 4 6 0 6 = ] g + ] g + = ] + + g ]. 7g 4 8 = = 4 6. 8. 450. 00 6. 8. 450. 00 ifllemini yapal m: 7..... b 9 8 5 9. 8. 5l.. 70 = = = = 7 4.. 0. 4. 0. 0 b l 40
Kareköklü Say lar SAYILAR. 8. 4. 8. 4 ifllemini yapal m: 4. 8 6 4 = = = = =. 4 u ifllemde payday karekökten kurtaral m. ir rasyonel say n n pay n ve paydas n ayn say ile çarparsak rasyonel say n n de eri de iflmez. = = = = =.. ^ h = eflitli i bulunur. ir rasyonel say n n paydas n karekökten kurtarmak, ifllem yaparken bize kolayl k sa lar. + - 4+ 4 ifllemini yapal m: u tür ifadelerde sondan bafllanarak bafla do ru gidilir. + - 4+ 4 = + - 4+ = + - 4+ = + - 4 = + - 4 = + 9 = + = + = 4 = = Al flt rma Yapal m. Afla daki ifllemlerin sonuçlar n, çarpma iflleminin toplama ve ç karma ifllemi üzerine da lma özelli ini uygulayarak yap n z. a.. ^ + 48-7h b.. ^ 8 + 8 - + 50h c. 5. ^ 5-45 + 0h ç. 6. ^ + 7 + 08h. Karekökü kendisini veren say lar bulunuz.. Tablolardaki çarpma ifllemlerini yap n z. x 5 x 6 7 8 6 7 5 8 4
SAYILAR Kareköklü Say lar 4. Afla daki ifllemleri yap n z. a. ^ 0 + 45-80h. 5 b. c. ç. ^ ^ 7 + 8-50h. 8 7 + 75 - h. 45.. 8. 5 5. + - 5 + ifllemini yap n z. 6. + ifllemini yap n z. 576 64 98 + 50-7. ifllemini yap n z. 7 + 8 8. - 6. 7 iflleminin sonucu afla dakilerden hangisidir? A) ) 5 7 C) 7 D) 7 70 + 5 9. iflleminin sonucu afla dakilerden hangisidir? 00 A) ) C) D) 0. Afla daki ifllemleri yap n z. a. 5 5 4 8 b. c. ç. 5 8 48 7 5+ 6 7+ 8 d. e. f. 4+ 5 4 + 4 7+ 9-9 44 4
Kareköklü Say lar SAYILAR Ondal k Kesirlerin Kareköklerini ulal m Etkinlik Ondal k Kesirlerin Kareköklerini ulma Araç ve gereçler: defter, kalem, hesap makinesi. Ondal k kesirlerin kareköklerini bulmadan önce tam kare olan say larla ilgili bilgilerimizi hat rlayal m. Rasyonel say olarak yaz ld nda pay ve paydas tam kare olan 0,5 ; 0,09 ve 0,49 gibi ondal k kesirler belirleyelim. Ondal k kesirleri kök içine yazarak kareköklerini alal m. a. 5 5 5 05, = = = = 05, 00 0 0 b. 009=,... c. 049=,... Yap lan ifllemleri s ras ile anlatal m. fllemlerimizi bir de hesap makinesi ile yaparak sonuçlar karfl laflt ral m. Al flt rma Yapal m. Afla daki ondal k kesirlerin kareköklerini bulunuz. a. 0,04 b. 0,6 c. 0,8 ç. 0,6 d. 0,64 e. 0,0 f. 0,069 g. 0,065. Afla daki ifllemleri yap n z. a. 06, : 08, b. 004, : 064, c. 004, + 009, + 08, ç. d. 064, - 009, 08,. 0, +, e. f. 7. 7 4 9 5, - 05, g. h. 0, 09 + 064, + 00, 06, : 06, 0, 0 + 0, 006 08, - 05, 08, - 0, 48 075, 06, - 44, + 0, 0009 08, 4 ÇK 5
SAYILAR Gerçek Say lar Rasyonel Say larla rrasyonel Say lar n Fark n Ö renelim rrasyonel Say lar Her rasyonel say n n bir devirli ondal k aç l m oldu unu biliyoruz. unu; 7 = 050,, = 0750, ve = 0850, 4 0 fleklinde örneklerle gösterebiliriz. rasyonel say s n, efliti olan 0,5 ile say larda da bu oranlamay yapabiliriz. = 5 0 fleklinde oranlayarak da yazabiliriz. Di er rasyonel Her devirli ondal k aç l m da rasyonel say olarak yazabiliriz. 0, devirli ondal k aç l m n rasyonel say olarak yazal m. Rasyonel say ya x diyelim ve x = 0, eflitli ini yazal m. x = 0, (Eflitli in her iki taraf n 0 ile çarpal m.) 0x =,... x = 0,... 9x =,0... x = = 9 (0 ile geniflletti imiz eflitli in alt na, eflitli in ilk durumunu yaz p taraf tarafa ç karal m.) olur. O hâlde 0, = dir. 0, devirli ondal k aç l m n rasyonel say olarak fleklinde yazabiliriz. 7 6 4 07, =, 054, =, 04, = 9 9 gibi say s z örnekler verebiliriz. Her ondal k aç l m n bir rasyonel say olarak yaz l p yaz lamayaca n düflünelim. Her rasyonel say n n bir devirli ondal k aç l m vard r. Rasyonel say lar, paydas s f rdan farkl olacak flekilde iki tam say n n oran fleklinde yaz labilir. π say s gibi ondal k aç l mlar da iki tam say n n oran biçiminde yaz labilir mi? 0,857... ve 0,000000... fleklindeki ondal k aç l mlar da devirli ondal k aç l mlar de ildir. unlar ve benzerlerini rasyonel say lar gibi iki tam say n n oran fleklinde yazamay z. Rasyonel say olarak karfl l olmayan say lara irrasyonel say lar denir. 44
Gerçek Say lar SAYILAR 7 7 ve 06, 06, 7 9 7 9 rasyonel say lar n inceleyelim. rasyonel say s n n ondal k aç l m 00x = 06, devirli ondal k aç l m n veren rasyonel say, 6, 6 x = 06, 99x = 6 6 7 x = = olur. 99 fleklinde devreden bir say d r. devirli ondal k aç l m 7 nin e oran fleklinde yaz labilir. rasyonel say s n n ondal k aç l m ise 0,684... fleklinde devreden bir say d r. 0,684... ondal k aç l m iki tam say n n oran fleklinde yani bir rasyonel say fleklinde yaz lamaz. Çünkü hangi ondal k basamakta hangi rakam n gelece i ya da hangi basamaktan sonra devirli bir ondal k aç l ma dönüflece i belli de ildir. 6, say s n rasyonel say olarak yazal m. x = 6, & 0x = 6, & 00x = 6, 6 00x = 6, 6, 6 0x =, 6 95 90x = 95 & x = = 90 say s n n rasyonel say olarak yaz l fl tür. Rasyonel Say m, rrasyonel Say m? ir do al say n n rasyonel say olmas için iki tam say n n oran fleklinde yaz lmas gerekti ini ö rendik. a a n! N iç in n = ise n = olur. b b uradan, n nin bir rasyonel say olabilmesi için bir do al say n n karesi olmas gerekti i sonucunu ç karabiliriz. n ye say sal de erler vererek bu say sal de erlerin rasyonel say olup olmad n inceleyelim: n = = = =, n = 4 ise 4 = =, n = 9 ise 9 = = olur. u say lar, iki tam say n n oran fleklinde yaz labilen rasyonel say lard r. n = için say s n n, =, 44... fleklinde devirli bir ondal k aç l m vard r., bir do al say n n karesi olmad ve iki tam say n n oran fleklinde yaz lamad için irrasyonel say d r. Ayn flekilde, 5, 7,, gibi say lar da bir do al say n n karesi de ildir. say lar, irrasyonel say lard r., 5, 7,, 45