3.1 Genel Doğrusal Bağlanım tane bağımsı değişgene bağımlı bir Y değişgeni ile bu bağımsı X X X X,,, değişgenleri arasındai ilişiyi bulma isteyelim. Bu ilişi modelinde yer alaca bağımsı değişgenler yalnıca aman diini 1,,, nin : 11 bi : i 1 1 lar bilinmeyen ölçümöteler ve a i i 1 X f i işlevleri olsun. a) a 0 b) a a a a a a a c) 0 (0.0.1) oşullarını sağlayan rassal model hatası olma üere te bir göleme ilişin model,, 1(1) (0.0.) y b f a i i i1 veya tane gölem içeren dieysel biçimdei model olma üere y b y1, y,, y b1, b,, b ' ' f1(1) f (1) F ( ) 1( ), ( ),, ( ) f f f f f ( ) f 1( ) f () a ( a, a,, a ) 1 i y Fb a (0.0.3) olara yaılabilir. Kestirim amaçlı bir bağlanım modelinde çoğu e bağımlı değişgen x bir aman diisi olduğu gibi açılayıcı değişgenler de birer aman diisidir. Örneğin Anara dai onutların aylı doğal ga tüetim mitarı y, ortalama aylı sıcalı x ile açılayan çeim modeli, y b b x a (0.0.4) 1
biçiminde yaılabilir. Bu modelde hem y hem dex birer aman diisidir.(0.0.4) de f1 1ve f x olara alınırsa, (0.0.4) ün(0.0.) dei genel doğrusal bağlanım modelinin öel bir biçimi olduğugörülür. Ölçümöte tahmin yöneyi b b ˆ bˆ bˆ ' tahmin modeli ˆ,,, 1 olma üere gölemsel aman diisine uyan yˆ Fb ˆ (0.0.5) ve gerçe gölem değerleri ile (0.0.5)'e göre elde edilen tahmin değerleri arasındai artı değerler yöneyi, ya da başa bir deyişle model hatası a nın tahmin yöneyi aˆ y y ˆ (0.0.6) olur. 3.1.1 Ağırlılı En Küçü Kareler Yöntemi Bir aman diisi estiriminin ua geçmiştei gölem değerlerinden ço ağırlılı olara yaın geçmiştei gölem değerlerinden etileneceği açıtır. Bu nedenle(0.0.) dei model ölçümötelerinin tahmininde olağan en üçü are (OEKK) tahminedicisi yerine, (0.0.) dei modelde inci hatanın ağırlığı A olma üere, AHKT A a (0.0.7) 1 biçiminde tanımlanan ağırlılı hata areler toplamı(ahkt)nıen üçü yapan model ölçümöteleri b nın tahmin edicisi ullanılır. (0.0.7) te tanımlanan AHKT, A11 0 0 0 0 A 0 0 A 0 0 A 1, 1 0 0 0 0 A olma üere, dieysel gösterimle
AHKT Aa Aa aaaa a A a (y - Fb) A (y - Fb) (y - b F )A (y - Fb) = y A y - b F A y - y FA b + b F FA b = y A y - b F A y + b F FA b biçiminde yaılabilir. Dolayısı ile genel doğrusal bağlanım modeli ölçümöte yöneyi b nin dönemi sonundai ağırlılı en üçü are(aekk) tahmin edicisi, AHKT b b=bˆ ( ) -F A y + F FA b( ) 0 1 bˆ( ) FA F FA y ˆ (0.0.8) olur. G( ) dieyi ve g( ) G( ) i ( ) i () (), 1 yöneyinin bireyleri, sırasıyla f 1 f A 0 f 1 f 1 f f f f 1 1 11 1 FA F 1 0 A 1 G A f f i, 1(1) (0.0.9) ve g 1 ( ) = F A y i ( ) i(), 1 1 f1 f1 A11 0 y1 f 1 f 0 A y g A y f i 1(1) (0.0.10) olma üere(0.0.8) dei tahmin edici 1 ˆ( ) ( ) ( ) olara da yaılabilir. b G g (0.0.11)
Bir aman diisinin estirim amaçlı modellenmesinde ullanılan tane göleme dayalı olara AEKK yöntemi ile elde edilen b ˆ( ) nin diiye elenen her yeni gölem için doğrudan (0.0.11) ye göre güncellenmesihesaplama açısından etin bir yol değildir.(0.0.11) ye göre b ˆ( ) 1 nin +1 için güncellenmesi G ( 1) nın hesaplanmasını geretirir ve bu uun diilerin çöümlenmesi sö onusu olduğunda çöümleyiciyi yorar. Genel doğrusal bağlanım modelinin bağımsı : 11 i i X f i değişgenleri nin polinomiyal, üstel ve trigonometri işlevleri olduğu durumlarda, diiye elenen her yeni gölem için G ( 1) 1 nin yeniden hesaplanmasını geretirmeyen Brown(1963) nıngenel üstel dügünleştirme yöntemi bu açıdan büyü olaylı sağlar. 3.1. Genel Üstel Dügünleştirme Şimdi, (0.0.) dei modelin nin matematisel işlevleri olan bağımsı değişgenlerin 1 anındai değerlerinin, bir öncei dönemdei değerlerinin, f ( 1) L f ( ), i 1(1) (0.0.1) i i 1 biçiminde doğrusal bir bileşeni olduğunu varsayalım. L11 L1 L1 f1( ) L1 L L f( ) L ve f ( ) L L L f ( ) 1 olma üere, (0.0.1) dai ilişi f( 1) Lf ( ) (0.0.13) biçiminde de yaılabilir. Ayrıca, belli L ve f(0) için, f( ) L f (0) (0.0.14) olacağı açıtır. L dieyi, modeldei terimlere baılara yaılabilir. Örneğin,sabit süreç modeli y b a için f ( ) 1 1 olduğundan, 1 1 L ; ve doğrusal eğilim modeli
y b b a 1 f ( ) 1 ve f ( ) olduğundan, için 1 1 0 L 1 1 olacağı olayca görülebilir. Buraya adar gölemlerin sıralanmasında sabit başlangıçlı 1,,, aman diini ullanıldı.gölemlerin aman boyutundai doğal sıralanışı boulmadan,gölemlere dönüşümüne göre de sıra numarası verilebilir. diinine göre en son y gölemi diinine göre her aman y 0 olur, yani diinin başlangıcı en son göleme ilişin aman notasına aydırılmış olur ve aman diisi ayan başlangıçlı olara nitelenir. (0.0.9), başlangıçlı olara, A A,, 0< 1, 0,1,, 1olma üere ayan 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) G f f G f f (0.0.15) 0 biçiminde de yaılabilir. Eğer i() değilse, o aman G ( ) dieyinin i f işlevleri f ( ), i olaca biçimde çabu sönümlü G erey G( ) f ( ) f ( ) (0.0.16) 0 biçiminde tanımlanan bir erimi olduğu gösterilebilir.dolayısı ile her yeni gölem için G( ) i yeniden hesaplama yerine, her model için 1 G i bir e hesaplama yeterlidir. Modeldei terimlere ve seçilen α değerine bağlı dei sonsu dii toplamları Çielge 3.1 dei denlemlere göre hesaplanabileceği gibi bir yaınsatma algoritması ile de hesaplanabilir. 1
Çielge 3.1 Sonsu dii toplamları. 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 1 1,, 1 1 1 1 sin sin sin, sin 1 cos 1 cos cos cos cos 1cos, 1 cos sin cos sin sin 0 1 1 1 1 cos 1 1cos 1 1 cos 1 1 1sin 1 1 cos 1 1 1cos 1 cos Kayan başlangıçlı olara (0.0.10) da, cos cos 1 g( ) y f( ) 0 T 1 f T 1 y (0) y f( ) 1 1 1 f (0) T L f ( 1) 1 y y 1 T 1 0 y f (0) L y f ( ) y f 1 (0) L g( 1) (0.0.17) biçiminde yaılabilir.(0.0.17), g ( ) nin doğrudan g ( 1) den elde edilebileceğini gösterir. (0.0.11) da G ( ) yerine (0.0.16) dai sabit değeri onursa, genel doğrusal bağlanım modelinin ölçümöte yöneyinin AEKK ıstasına göre tahmin edicisi uyumsal dügünleştirme ile ˆ( ) 1 ( ) 1 (0) 1 y ( 1) b G g G f L g (0.0.18) biçiminde elde edilir. ˆ( 1) 1 ( 1) b G g olduğu görülür ve h G 1 f (0) (0.0.19) ve H 1 1 G L G (0.0.0)
olara tanımlanırsa,(0.0.18) in bˆ( ) hy Hbˆ( 1) (0.0.1) olacağı açıtır. Eğer(0.0.0) 1 1 L L ile çarpılır ve G nin (0.0.16)dei açı biçimi yerine onursa, H 1 1 G L G 1 1 1 G L G L L G L G 1 1 1 1 1 1 G L ( ) L f ( ) L 0 1 0 0 1 G f ( ) f ( ) L 1 f( ) f( ) f( 1) f( 1) L 1 1 0 G f ( ) f ( ) f (0) 0 1 G G f(0) f(0) L L L f, 1 1 1 1 G f (0) f(0) L, h G f(0) L h f (0) L L hlf (0) L hf(1) f (0) L (0.0.) olur.(0.0.), (0.0.1) de yerine onursa, -1 anından anına bir adım ileri estirim değeri yˆ ( 1) f( 1) b ˆ( 1) (0.0.3) ve bir adım ileri estirim hatası, ( ) y y ( 1) (0.0.4) ˆ 1 olma üere, (0.0.1)
bˆ( ) hy L hf( 1) bˆ( 1) hy Lbˆ( 1) hf( 1) bˆ( 1) Lbˆ( 1) h y ( ) ˆ ( 1) f 1 b Lbˆ ( 1) h y yˆ ( 1) Lbˆ( 1) h ( ) 1 (0.0.5) biçiminde yaılabilir. Genel doğrusal bağlanım modelinin ayan başlangıçlı ağırlılı en üçü areler ıstasına göre elde edilen gelece her hangi bir dönemine ilişin dönemi sonundai estirim, ˆ ˆ i i i1 yˆ ( ) fb ( ) b ( ) f ( ) (0.0.6) olur. (0.0.5) dei yordamı başlatma için bir b ˆ (0) başlangıç değeri gereir. b ˆ (0) önel olara, ya da OEKK yöntemiyle belirlenebilir. 3.1.3 Güven Aralığı ve Kestirim Aralığı (0.0.11) dai tahmin edicinin belenen değerinin, b ˆ( ) b (0.0.7) olduğu gösterilebilir. Dolayısı ile, genel doğrusal bağlanım modeli ölçümötelerinin AEKK tahmin edicisi sapmasıdır. Genel doğrusal bağlanım modeli ölçümötelerinin sapması tahmin edicilerinin değişesi ise, 1 4 1 D b ˆ ( ) b ˆ ( ) b b ˆ ( ) b G FA FG a (0.0.8) biçiminde tanımlanabilir. D dieyinin ana öşegen bireyleri varsayımı altında, model ölçümöteleri için 100(1 α) lı güvenaralığı, olur. ˆ ˆ1/ ˆ ˆ1/ i 1, ii i i, ii D olma üere, a N( 0, ˆ a 1) b t D b b t D (0.0.9) ii
adım ileri e y yˆ ( ) estirim hatasının değişesi, 1 e ˆa e ˆ 1 f' G f (0.0.30) ile gösterilece olursa, N ˆ a y ( Fb, 1) varsayımı altında100(1 α) lı estirim aralığı,, e, e y ˆ t. ˆ y y ˆ t. ˆ 1 (0.0.31) biçiminde tanımlanır. Örne 3. Doğrusal eğilimle tümleşi mevsimsel süreç. Son on bir yıla ilişin aylı Sanayi Üretim İndes(SÜİ) verilerinin Şeil 3.3. dei aman-eiminden, itisadi ri yaşanan 008-010 dönemi dışında, gölemsel diiyi üreten sürecin doğrusal eğilimle tümleşi mevsimsel bileşenli bir belirti içerdiği görülebilir ve amana bağlı bu belirti matematisel olara ( ) b1 b b3sin b4cos (0.0.3) 1 1 biçiminde ifade edilebilir. SÜİ diisini üreten süreç modelinin, y b1 b b3sin b4cos a, a ~ N(0, a ) (0.0.33) 1 1 olduğu varsayımı altında, 1,,3 adım ileri SÜİ estirim değerlerini elde etme isteyelim. (0.0.33) tei süreç modeline göre ζ adım ileri estirim denlemi, ˆ ˆ ˆ ˆ yˆ b b b sin b cos 1 1 1 3 4 (0.0.34)
olur. Kestirim denlemindei ölçümöte tahminlerini GÜD yöntemine göre ile elde edebilme için önce bu model için geçiş dieyi L ve dügünleştirme yöneyi h nin belirlenmesi gereir. (0.0.13) dei ilişiden, ve ödeşlilerinden, f1(1) L11 L1 L13 L14 f1() f( 1) L1 L L3 L 4 f() f3( 1) L31 L3 L33 L34 f3() f4(1) L41 L4 L43 L4 f4() 1 L.1 L. L.sin L.cos L 1, L 0, L 0, L 0; 11 1 13 14 11 1 13 14 1 L.1 L. L.sin L.cos L 1, L 1, L 0, L 0; 1 3 4 1 3 4 sin( u v) sin u cos v cosu sin v cos( u v) cosu cos v sin u sin v sin ( 1) L.1 L. L.sin L.cos L 0, L 0, L cos, L sin ; 31 3 33 34 31 3 33 34 cos ( 1) L.1 L. L.sin L.cos L 0, L 0, L sin, L cos. ve dolayısı ile geçiş dieyi, 41 4 43 44 41 4 43 44 1 0 0 0 1 1 0 0 L 0 0 cos sin 0 0 sin cos biçiminde elde edilir. Dügünleştirme yöneyinin (0.0.19) dai tanımdan elde edilebilmesi için gereli olan (3.3.33) tei model için ararlı-durum dieyi,
G 1 1 1 1 3 1 4 0 0 0 0 0 f f f f f f f f 0 f f ( ) 3 4 0 0 f f f f 3 3 3 4 0 0 f f f f 3 4 4 4 0 0 f f f f sin cos 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 cos sin sin sin sin sin 0 0 0 0 cos cos sin cos cos cos 0 0 0 1 sin 1cos 1 1 1 cos 1 cos 1 1 sin 1 cos 3 1 1 cos 1 cos 1 1cos 1 1 1sin 1 1 cs o 1 1 cos 1 1 1cos 1 1 cos 1 biçiminde tanımlandıtan sonra, ve α=0.9 için 1 10 90 1.79 0.884 1740 1.368 3.3486 G 4.758 0.484 5.30 biçiminde; ve dügünleştirme yöneyi 0
h G f 0 0.14401 0.019870 0.755450 0.064 1 0.19 0.019870 0.001138 0.003737 0.00081 0 0.01 0.001138 0.003737 0.38595 0.009066 0 0.85 0.064 0.00081 0.009066 0.19591 1 0.17 1 biçiminde sayısal olara elde edilir. Bulmuş olduğumu geçiş dieyi L ve dügünleştirme yöneyi h,(0.0.5) te yerine onursa, b1( ) 1 1 0 0 b1( 1) 0.19 b( ) 0 1 0 0 b( 1) 0.01 y ˆ y 1 b3( ) 0 0 0.866 0. 5 b3( 1) 0.85 b ( ) 0 0 0.5 0.866 b ( 1) 0. 17 4 4 (0.0.35) biçimindemodel ölçümöte tahminlerini GÜD yöntemi ile güncelleyen denlemler elde edilmiş olur. Buraya adar, SÜİ verilerinin grafiği incelenere diiyi üreten sürecin matematisel modeli (0.0.3) de verilen doğrusal eğilimle tümleşi mevsimsel bir süreç olduğu savı öne sürüldü ve bu model için ölçümöte tahminlerini GÜD yöntemine göre güncelleyece denlemler bulundu. Ölçümöte tahminlerinin bir öncei döneme ilişin değerlerinden bir sonrai değerlerini veren bu denlemlerin işletilebilmesi için gölemsel verilerden lasi EKK yöntemiyle ya da segisel yoldan elde edilebilece ölçümöte tahmin yöneyinin başlangıç değeri gereir. Bu değerleri elde etme için segisel yola başvuracağı. SÜİ diisini üreten sürecin 010 dan sonra nitelisel bir değişim içermediği görülüyor. Bu nedenle çöümlemede 011-016 dönemini ullanacağı. Doğrusal eğilim bileşenine ilişin ölçümötelerin başlangıç tahminleri b ˆ 1(0) ve b ˆ (0), 011 Oca-016Aralı dönemi verilerinin ortasından gö ararı geçirilece bir doğru üerinden ounabilir. Başlangıç notası 010 Aralı değeri diyelim i 110 ve 7 ay sonrai bitiş notası 016 Aralı değeri 130 olara ounmuşsa, bˆ (0) 110 1 ˆ 130 110 0 b (0) 0.8 7 7 olara alınabilir. b ˆ 3(0) ve b ˆ 4(0) değerleri ise, mevsimsel bileşenin genliği 011 Oca - 016 Aralı dönemindei 1 şer aylı 6 mevsimin en üçü ve en büyü değerleri arasındai farların ortalamasının yarısı ile tahmin edilere, A b b 3 4 ilişisinden öngörülebilir. 011 Oca - 016 Aralı dönemi SÜİ verilerine ilişin bu değerler aşağıdai çielgede olduğu gibi öetlenere mevsimsel bileşenin genliğini yalaşı 1 olara öngörebiliri. 011 01013 014 015 016 Ortalama Enb 10,1 11,4 17,0 130,3 136, 137,9 18,8
En 97,7 10,9 10,1 109,7 108,9 108,9 105,0 Far,4 18,5 4,9 0,6 7,3 9,0 3,8 Genli 11, 9, 1,5 10,3 13,6 14,5 11,9 Mevsimsel bileşene ilişin bağlanım atsayıları ile genli arasındai ilişiden 1 bˆ (0) bˆ (0) 3 4 denlemi elde edilir. Bu denlemi sağlayan ço sayıdai çöüm arasından, sin ve cos işlevlerine yalaşı olara genliği en dengeli paylaştıran bˆ (0) 8 3 bˆ (0) 9 4 değerleri de mevsimsel bileşen atsayıları için başlangıç değerleri olara seçilebilir. Bu girdiler ve başlangıç değerleri ile 011-016 dönemi SÜİ diisinin bulunduğu İstLab ın GÜD08 adlı çalışma sayfasında (0.0.35) dei algoritmaya göre yaılan GÜD8 marosu çalıştırılara aşağıdai çielgedei adım adım güncellenen ölçümöte tahminleri, bir adım ileri estirimler, ve bir adım ileri estirim hataları elde edilir. y 0-110 0,8 8 9 - - 1 101,9 106,4 0,1-14,7 8,4 1,1-0, 97,7 104,9 0,0-4,3-1,6 106,4-8,7 3 111,7 108,7 0, -3,0-10,1 91,3 0,4 4 107,1 110,5 0,3 9,6-8,8 98,7 8,4 5 111,6 111,5 0,3 15,8 -, 108,0 3,5 6 114,1 111,1 0,3 11,7 5,4 117,8-3,6 7 11,4 109,6 0, -0,6 8,9 11,8-9,4 8 106, 107,7 0,1-14,3 5,5 117,1-10,9 9 111,0 108,8 0,1-10,4-1,4 105,4 5,6 10 119,9 11, 0,3 6,4-3,5 10,5 17,3........................ 63 133, 17,3 0,4 0,6-7,3 11,6 0,6 64 16,4 18,6 0,4 8,3-5, 11,7 4,8 65 131,9 19,7 0,4 1,6 0, 18,6 3,3 66 131,8 19, 0,4 6,8 5,6 136,5-4,7 67 108,9 14,1 0,1-1,5 3,3 137,9-8,9 68 18,0 16,4 0, -10,4-5,9 116,4 11,7 69 114,3 16,3 0, -7,8-10,7 116,4 -,1 70 134,3 130,5 0,4 16,4-9,6 113,3 1,0 71 136, 131,9 0,5 3,6 0,8 130,8 5,4
7 137,9 131,1 0,4 14,1 11,3 144,9-7,0 73 11,3 16,3 0,1-16,4 1, 148,3-7,0 74 118, 14,4 0,0-9,4 0,6 18,9-10,7 Alıştırmalar 1. SÜİ diisinin (3.3.34) ile modellenen ve GÜD yöntemiyle tahmin edilen doğrusal eğilimle tümleşi mevsimsel bir bileşen biçimindei belirtiden arındırılmış = y y 1 diisini üreten süreci tanımlayını.. VeriTabanı ndai y = b 1 + b + b 3 sin(π/1) + b 4 sin(π/1) + b 5 cos(π/1) + b 6 cos(π/1) + a, a ~N(0,36) süreci tarafından üretildiği bilinen M09 diisi için y +3 değerini GÜD yöntemi ile elde edini ve bir adım ileri estirim hatalarının bir a armaş süreci tarafından üretildiği savını sınayını.