ĐST 522 ĐSTATĐSTĐKSEL SĐSTEM ANALĐZĐ
|
|
- Nergis Balcı
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 ĐST 5 ĐSTATĐSTĐKSEL SĐSTEM ANALĐZĐ ve KONTROL Kaynalar: Davis, M.H.A. and Winter,R.B. Stochastic Modelling and Control, Chapman and Hall,985. Davis, M.H.A. Linear Estimation and Stochastic Control, Chapman and Hall,977. Chui, C.K. and Chen, G. Kalman Filtering, Springer-Verlag, 99. Brocwell,P.J. and Davis,R.A. Introduction to Time Series and Forecasting, Springer, 996. Temel Kavramlar ve Konuya Giriş Gerçe dünyadai bir olayın, sürecin veya birimlerden oluşan ve birimleri arasındai iç ilişiler yanında çevre ile dış ilişilere göre işleyen bir sistemin belli bir anlatımına model denir. Anlatım sözle, çizimle, belli bir ölçete fizii benzer oluşturma (maet model veya başa bir şeilde yapılmala birlite en geçerli anlatım, bilimin orta dili olan matemati ile yapılmatadır. Sistemler, gere birimleri arasındai ilişiler gerese çevre ile ilişileri baımından genellile ço armaşı yapıdadırlar. Bunlar, bazı basitleştirmeler (ihmaller ve varsayımlar altında modellenmetedir Bir sistemi incelemedei amaç, sistemin davranışını öğrenme, sistemi denetleme, sistemi yenileme, oruma veya başa olabilir. Bazı durumlarda bilinen girdiler için sisteme bağlı olara çıtıların ne olacağı haında veya girdi ve çıtılar gözlenere (bilindiğinde sistemin endisi (sistem parametreleri haında bilgi çıarılması istenebilir Bazı sistemlerde istenilen çıtıları elde etme için çıtılar üzerindei gözlemlere bağlı olara sisteme girdiler verilmetedir. Bu tür denetlemeye geri bildirim (feedbac denmetedir. GĐRDĐ S Đ S T E M ÇIKTI Geri Bildirim Đnsan oğlunun başlıca amacı içinde var olduğu gerçe dünyayı (endi varlığı da dahil olma üzere anlama ve anlatmatır. Duyu organlarımız ve diğer yollardan alımıza atarılan sınırlı bilgiler çerçevesinde gerçe dünyayı anlama ve anlatmaya ısaca modellemeye çalışırız. Gerçe dünyadai bir olgunun modellenmesi sırasında, ilgilenilen özelliler (hız,ivme,... ile anlatımdai (modeldei arşılıları olan avramlar (vetör,türev,... arasındai bağ uruldutan sonra, olgunun ait olduğu bilim dalındai ilelere göre modelin yapısı oluşturulur. Alımızın, gerçe dünyadai olgular ile teması "ölçme" işlemine dayalıdır.
2 Ölçme her bilim dalının endine özgü zorlular içeren ve çözmesi gereen bir problemdir. Örneğin sıcalığın nasıl ve ne ile ölçüleceği fiziğin bir problemidir. Enflasyonun nasıl ve ne ile ölçüleceği eoinin bir problemidir. Zea düzeyinin ölçülmesi psioloji ve pedagojinin bir problemidir. Birço durumlarda ölçmenin nasıl yapılacağının belirlenmesi, ölçü biriminin ve bazı durumlarda da ölçü aletinin (terazi, ölçe, metre, termometre, anet, test,... bulunması araştırmanın en zor aşamalarından birisidir. Bir ölçme sonucu elde edilen değer, ölçülen özelliğin modeldei arşılığı olan değişenin aldığı değer olara ele alınmatadır. Ölçülen özelli rasgeleli içerdiğinde modelde arşılı gelen değişen de doğal olara rasgele değişen (Borel ölçülebilir fonsiyon olara ele alınacatır. Gerçe dünyayı anlama ve anlatmada, yani modellemede insan alının lisandan sonra en güçlü ii aracı matemati ve istatistitir. Đstatisti özellile, rasgeleli içeren olguların modellenmesinde ön plana çımatadır. Sistem analizindei matematisel modeller aşağıdai gibi sınıflandırılabilir: *Lineer ve lineer olmayan modeller. *Süreli-zaman (diferensiyel denlem,... ve esili-zaman (far denlemi,... modeller. *Stoasti (rasgele değişen içeren ve deterministi (rasgele değişen içermeyen matematisel modeller. *Dinami (parametreleri zaman içinde değişen ve stati modeller.
3 Örne: Sindirim sistemine ( ağızdan tablet olara-esili, mideye sıvı aıtara-süreli verilen bir ilâç, mevcut mitarın oranını an dolaşım sistemine ve anda bulunan ilâç mevcut mitarın oranını başa yerlere atarmatadır. u(t (ilaç Gastrointestinal tract x (t: ilaç mitarı Kan dolaşımı x (t: ilaç mitarı Süreli Zaman: Diferansiyel denlem sistemi dx(t = x(t + u(t dt dx (t = x(t x (t dt x (, x ( xɺ xɺ (t = x (t + u(t (t = x (t x (t xɺ ( t x ( t = + u( t xɺ ( t x ( t xɺ ( t = Ax( t + Bu( t xɺ ( t = Ax( t + Bu( t x( = x Kesili zaman: t üçü bir zaman aralığı olma üzere, Far denlemi sistemi x ( t + t = x ( t x ( t t + u( t t x ( t + t = x ( t + x ( t t x ( t t x (, x ( t yerine t= t alınırsa t + t = ( + t olur x ( t + t = x (( + t x ( t + t = x (( + t x ( t x ( t ve x( t = x ( t olup, x = x ( t gösterimi altında, t. t x + = x u t t + yazılır. x = Ax + Bu + x + = Ax + Bu x Böylece metabolizma ii farlı şeilde modellenmiş oldu. Süreli modelde, yani diferensiyel denlemde, > olduğunda, u(t=, t girdisi (ilâç verilmediği durum için çözüm, t x ( (e x(t = t t t x (t x (e + e e
4 rt olara elde edilir. u( t = Re, t olduğunda, x x x(e (t = (t x (e R r t t + t rt ( e e t t ( e e + ( ( ( [( ( ( ] + t t rt r e r e e r r olara elde edilir (N.H.McClamroch State Models of Dinamic Systems,98, Springer- Verlag, G.L.Atins Multicompartment Models for Biological Systems, 969, Willmer Brothers Limited, Great Britain. x ( =, x ( =, =.4, =. ve u(t=, t girdisi (ilâç verilmediği durum için çözümlerin grafileri aşağıdai gibidir. Üst sol öşede zamana arşılı girdi, sağ üst öşede zamana göre midedei ilâç mitarının değişimi, alt sol öşede zamana arşılı andai ilâç mitarının değişimi ve alt sağ öşede ( x ( t, x ( t iililerinin faz eğrisi görünmetedir clear all close all =.4 =. x=[
5 ]; =; for t=.:.:5 =+; xt(:,=[x(*exp(-*t x(*exp(-*t+(/(-*(exp(-*t-exp(-*t]; end t=.:.:5; figure subplot(,, plot(t,,'b' hold on subplot(,,4 plot(xt(,:,xt(,: hold on subplot(,, plot(t,xt(,: hold on subplot(,,3 plot(t,xt(,: rt u t R R r x ( =, x ( =, =.6, =. ve ( = e, ( = 3, =.3, t girdisi için çözümlerin grafileri aşağıdai gibidir. Üst sol öşede zamana arşılı girdi, sağ üst öşede zamana göre midedei ilâç mitarının dedğişimi, alt sol öşede zamana arşılı andai ilâç mitarının değişimi ve alt sağ öşede ( x ( t, x ( t iililerinin faz eğrisi görünmetedir clear all close all
6 =.6 =. x=[ ]; R=3 r=.3 cc=*r/((-*(r-*(r-; =; for t=.:.:5 =+; xtu(:,=[x(*exp(-*t+r/(r-*(exp(-*t-exp(-r*t x(*exp(-*t+(/(-*(exp(-*t-exp(-*t +cc*((r-*exp(-*t-(r-*exp(-*t+(-*exp(-r*t]; end t=.:.:5; u=r.*exp(-r.*t figure subplot(,, plot(t,u,'b' hold on subplot(,,4 plot(xtu(,:,xtu(,: hold on subplot(,, plot(t,xtu(,: hold on subplot(,,3 plot(t,xtu(,: Aşağıdai grafilerde mavi çizgiler x ( =, x ( =, =.6, =. ve u(t=, t girdisi (ilâç verilmediği durum, ırmızı çizgiler x ( =, x ( =, rt =.6, =. ve u( t = R e, ( R = 3, r =.3, t girdisi için sonuçları göstermetedir.
7 Kesili halde model, t. t x + = x + u t t ve t =. olma üzere, aşağıdai grafilerde mavi çizgiler x ( =, x ( =, =.6, =. ve u =, =,,...5 girdisi (ilâç verilmediği durum, ırmızı çizgiler x ( =, x ( =, / =.6, =. ve u = 3e, =,,...,5 girdisi için sonuçları göstermetedir.
8 clear all close all =.6 =. delt=. A=[-*delt *delt -*delt]; B=[ ]; x=[ ]; x=x; for =:5 x=a*x; x(:,=x; u=3*exp(-*delt; u(=u; x=a*x+b*delt*u; xu(:,=x; t(=*delt; end figure hold on subplot(,, plot(t,u,'r' hold on subplot(,, plot(t,,'b'
9 hold on subplot(,,4 plot(x(,:,x(,: hold on subplot(,, plot(t,x(,: hold on subplot(,,3 plot(t,x(,: hold on subplot(,,4 plot(xu(,:,xu(,:,'r' hold on subplot(,, plot(t,xu(,:,'r' hold on subplot(,,3 plot(t,xu(,:,'r' Bu örnetei gibi modellere ompartman modelleri de dendiğini hatırlatalım. Örne: Bir Yayın Ucuna Bağlı Bir Cismin Salınımı Fizi derslerindei bilgilerimizden hatırlayacağımız gibi Hoo anununa göre bir yayın uzunluğundai üçü değişimler için değişme mitarı eti eden uvvetin büyülüğü ile orantılıdır. Orantı atsayısına yay sabiti denmetedir. F F= L L L L Ölçümlerin ms sisteminde yapıldığını varsayalım. m ütleli bir cisim bir ucu sabitleştirilmiş düşey halde olan bir yayın diğer ucuna asılmış olsun (Şeil.33. Tecrübelerimizden bildiğimiz gibi cisim biraz çeilip bıraıldığında salınım (titreşim yapmatadır. Çevredei ortam (hava, su ile sürtünme ve cisme zaman içinde eti eden uvvetler olabilir. t = anında L + l uzunluta olan yay y adar çeilip bıraıldığında salınmaya başlamatadır. Salınım çevre ile sürtünme ve dış uvvetlere bağlı olara devam etmetedir. Sürtünme uvvetinin büyülüğünün hız ile orantılı, yani F = s. v( t olduğu varsayılsın. s
10 Belli r r bir t r anında r cisme r eti eden uvvetler için F = P + Fy + Fs + Fd r r r yazılabilir. P cisme eti eden yerçeimi uvveti, F y yayın cisme eti ettiği uvvet, F s r r r sürtünme uvveti ve F d cisme eti eden dış uvvettir. F y ile F s uvvetlerinin yönünün hareet yönünün ters yönünde olduğu gözönüne alınırsa Şeil.33 dei gibi bir y eseni üzerinde bu uvvetlerin büyülüleri için, my ( t = mg ( l + y( t sy( t + Fd ( t diferensiyel denlemi oluşturulabilir. Fy = P olduğu gözönüne alınırsa my ( t + sy ( t + y( t = F ( t d y( = y, y ( = v modeline ulaşılır. Burada s ortam ile ilgili sürtünme atsayısı, yay sabiti, F r d cisme eti eden dış uvvet, y başlangıç anındai cismin onumu ve v başlangıç anındai cismin hızının büyülüğüdür. Yay y adar uzatılıp bıraıldığında v = olacatır. Şimdi aşağıdai gibi bir devre gözönüne alalım. R E L C Bu devredei elemanların uç notaları arasındai gerilim (voltage için,
11 R( Ω direnç, VR = I. R L (Henry bobin (inductor, VL = L. di dt C (Farad E (Volt ondansatör (apasitor, Vc = q ( V c c t q = I( t dt c = c olma üzere Kirchoff anunundan, VE = VR + Vc + VL yani L di + RI + q = E dt c eletri üreteci, V yazılır. Burada I (amper aımı ve q (coulomb eletri yüü mitarını gösterme üzere dq I = dır. dt Yuarıdai diferensiyel denlem q cinsinden d q dt dq dt c L + R + q = E biçiminde yazılabilir. L, R, C nin sabit E nin zaman içinde değiştiğini düşünere, c ( = q, q ( = I Lq ( t + Rq ( t + q( t = E( t q modeli oluşturulabilir. E = Eletri devresi için yazılan matematisel model ile yaya bağlı cismin salınımı için yazılan matematisel modelin birbirine ço benzediğine diat edin. Diferensiyel denlemlerde eletri devresindei üretecin sağladığı gerilim E( t ye arşılı yaya bağlı cismin salınımında cisme eti eden dış uvvet Fd ( t, direnç R ye arşılı sürtünme atsayısı s, indütans L ye arşılı cismin ütlesi m, ye arşılı yay sabiti, yü mitarı q t c ( ye arşılı cismin onumu y( t yer almatadır. Aşağıdai değişen değiştirme işlemleri yapılara. x (t q(t x(t x (t = ɺ = R x (t q (t x (t = q (t = x (t x(t + E(t = ɺ L LC L E
12 xɺ ( t x ( t E( t x ( t = R x ( t + ɺ LC L L x ( q = x ( I birinci dereceden differensiyel denlem sistemi elde edilir. Yaya bağlı cismin hareetini yeniden gözönüne alalım. ms ölçü sisteminde, m =, a =. 6, =. 5, dış uvvet F ( t =, t ve başlangıç anında cismin onumu d y( = ve hızı y ( t = v = olsun. Cismin hareetini anlatan diferensiyel denlem y ( t +. 6y ( t +. 5y( t = y( =, y ( = olma üzere, arateristi denlem ve öleri, λ +. 6λ +. 5 = λ =, λ = dır. Homogen ısmın genel çözümü t t yh ( t = c e + ce ve bir özel çözüm y( t = 4 olma üzere denlemin genel çözümü t t dır. Başlangıç değerlerden, c + c = 39 c c = 4 y( t = c e + c e + olma üzere, t t y( t = 39 e 95 e c c = 39 / 4 = 95 / 4 4 bulunur. Yuarıdai denlemin her ii tarafına Laplace dönüşümü uygulanırsa, { } { } { } L y ( t +.6 L y '( t +.5 L y( t = L{} ve L y ( t = s Y ( s sy( y ( = s Y ( s s { } { } { } L y '( t = sy ( s y( = sy ( s L y( t = Y( s L{} = s olma üzere,
13 s Y ( s s +.6 sy ( s Y ( s = s s +.6s Y ( s = = + ( s +.( s +.5 s s s +. s +.5 elde edilir. Ters Laplace dönüşümü uygulanırsa,.t.5t y(t = e e bulunur. Örne: Eoi ile ilgili bir örne ele alalım. y( :.yıldai milli gelir (national incom c( :.yıldai tüetici harcamaları (consumer expenditures p( :.yıldai yatırımlar (private investments u( :.yıldai hüümet harcamaları (goverment spending olma üzere, tüetici harcamalarının öncei yılın milli geliri ile orantılı, yatırımların ise, öncei yıldai tüetici harcamalarının bir önceine göre artışı ile orantılı olduğu varsayımı altında, c( = α. y( p( = β. c( c( y( = c( + p( + u( bağıntıları yazılabilir. Buradan, y( + α( + β y( + + α. β y( = u( + y( = c, y( = c far denlemi (indirgeme bağıntısı modeli yazılabilir. Lineer Durum-Uzay Modelleri Deterministi lineer durum-uzay modelleri A: nxn, B: nxm, C: rxn, D: rxm reel sayı elemanlı matrisler olma üzere süreli zaman deterministi lineer durum-uzay modeli xɺ( t = Ax( t + Bu( t (durum denlemi y( t = Cx( t + Du( t (uzay, çıtı denlemi x( t = x biçimindedir. Burada x( t durum vetörünü, u( t sistem girdi vetörünü, y( t sistem çıtı ya da gözlem vetörünü göstermetedir. t anındai x( t = x başlangıç değerine bağlı olara xɺ( t = Ax( t + Bu( t denleminin çözümü A( t t A( t τ x( t = e x + e Bu( τ dτ t t
14 dır. Burada, A. s e I s A s 3 A s 3 = A +...!! 3! ve A matrisinin spetral ayrışımı d d A = PΛP = P P dn olma üzere ds e ds e A. s. s e = Pe P = P e d s n P Λ dır ( Λ ile P matrisleri A nın özdeğer ve özvetörlerinin oluşturduğu matrislerdir. Kesili-zaman deterministi lineer durum-uzay modeli nin genel biçimi x( + = Ax( + Bu( y( = Cx( + Du( x( = x olma üzere, x( = x başlangıç değerine bağlı olara x( + = Ax( + Bu( indirgeme bağıntısının çözümü, ve = için dır. j j= x( + = A x( + A Bu( + j j j= x( = A x + A Bu( j Yuarıda A, B, C, D matrisleri zaman parametresine bağlı olara değiştilerinde dinami modeller sözonusu olduğunu belirtelim. Bu durumda A, B, C, D matrisleri yerine süreli-zaman modellerde, A( t, B( t, C( t, D( t ve esili-zaman modelerde A(, B(, C(, D( gelecetir. Stoasti esili-zaman lineer durum-uzay modelleri { Y : rx,,,... } { X nx ; = }, gözlenemeyen rasgele vetörlerin dizisi, { u mx } :,,,... ; =, gözlenebilen rasgele vetörlerin dizisi, : ; =,,,...,
15 bilinen vetörlerin dizisi, { ε : lx,,,... } ; =, gözlenemeyen hata vetörlerin dizisi ve A: nxn, B: nxm, C: nxl, H: rxn,g: rxl bilinen matrisler olma üzere Y çıtı vetörü, X durum vetörü, u girdi (ontrol vetörü,ε hata vetörü için X + = A X + Bu + Cε Y = H X + Gε denlem sistemine hata vetörü ε ve başlangıç durumu X ile ilgili aşağıdai varsayımlar ile birlite stoasti esili-zaman durum-uzay modeli denir. Hata vetörü ε için varsayımlar; E ( ε =, Cov ( ε = I, =,,,... ε lar ilişisiz, yani j için Cov( ε, ε j = Başlangıç durumu X için varsayımlar; E( X = m, Cov( X = P, m ve P biliniyor. X ile ε lar ilişisiz, yani Cov( X, ε = Lineer Durum-Uzay Modellerine Örneler Örne: Sindirim sistemine ( ağızdan tablet olara-esili, mideye sıvı aıtara-süreli verilen bir ilâç, mevcut mitarın oranını an dolaşım sistemine ve anda bulunan ilâç mevcut mitarın oranını başa yerlere atarmatadır. Kan dolaşımındai ilaç mitarı göslensin. u(t (ilaç Gastrointestinal tract x (t: ilaç mitarı Kan dolaşımı x (t: ilaç mitarı y(t
16 Durum Denlemi: dx(t = x(t + u(t dt dx (t = x(t x (t dt x (, x ( xɺ xɺ (t = x (t + u(t (t = x (t x (t xɺ ( t x ( t = + u( t xɺ ( t x ( t xɺ ( t = Ax( t + Bu( t Gözlem Denlemi y( t = x ( t = [ ] x( t = Hx( t Süreli-Zaman Durum-Uzay Modeli xɺ ( t = Ax( t + Bu( t y( t = Hx( t x( = x Kesili zaman t üçü bir zaman aralığı olma üzere, Durum denlemi x ( t + t = x ( t x ( t t + u( t t x ( t + t = x ( t + x ( t t x ( t t x (, x ( t yerine t= t alınırsa t + t = ( + t olur x ( t + t = x (( + t x ( t + t = x (( + t x ( t x ( t ve x( t = x ( t olup, x = x ( t gösterimi altında, t. t x + = x u t t + x + = Ax + Bu Gözlem Denlemi y = [ ] x = Hx Kesili-Zaman Durum-Uzay Modeli x = Ax + + Bu y = Hx x ve sistem parametreleri olma üzere, çıtıyı gözleyere sistem parametreleri bulunma istenebilir. Belli bir çıtı elde etme (anda ilâç mitarını belli düzeyde tutma için uygun bir girdi verilmesi istenebilir. Sistem parametreleri zaman içinde değişebilir. Çıtıyı gözleyere sistem parametrelerinin izlenmesi istenebili. Diat edilirse, yuarıdai model deterministi bir modeldir. Mide ve andai ilâç mitarları birer rasgele değişen olara görülüp, toplamsal hata terimleri de sözonusu olursa aşağıdai gibi stoasti durum-uzay modelleri yazılabilir. Durum Denlemi Xɺ ( t ( ( X t W t = + u( t + C Xɺ ( t X ( t W ( t Xɺ ( t = AX ( t + Bu( t + CW ( t Gözlem Denlemi Y ( t = Hx( t + GV ( t Süreli-Zaman Durum-Uzay Modeli Xɺ ( t = AX ( t + Bu( t + CW ( t Durum Denlemi t. t W X + = X u + C t t + W X = AX + Bu + CW + Gözlem Denlemi Y = HX + GV Kesili-Zaman Durum-Uzay Modeli X = AX + Bu + CW +
17 Y ( t = Hx( t + GV ( t E( X ( = m Cov( X ( = P Y = HX + GV E( X = m Cov( X = P Örne: modelleri. u(t Đnput (girdi (ontrol Salar girdi-çıtılı sistemlerin süreli zaman deterministi durum-uzay Sistem y(t Output (çıtı t anındai sistem girdisi u( t sayısı ve sistem çıtısı y( t sayısı olma üzere girdi ve çıtı arasındai bağıntı için uygulamalarda ço sı arşılaşılan bir deterministi ifade (model ( n ( n ( n ( n y ( t + any ( t ay ( t + ay( t = bnu ( t + bn u ( t bu ( t + b u( t ( y t c y t c y n ( =, ( =,..., ( t = cn biçiminde olan bir diferensiyel denlemdir. x ( t = y ( t bnu ( t x ( t = xɺ ( t + a y( t b u( t n n x ( t = xɺ ( t + a y( t b u( t 3 n n... x ( t = xɺ ( t + a y( t b u( t n n değişen değiştirmesi sonucu x, x,..., x n nin birinci türevlerini içeren xɺ ( t a x ( t b b a n xɺ ( t an = xɺ n( t a xɺ n ( t a denlem sistemi yazılabilir. x( t xɺ ( t x ( t x( t = xɺ ( t, xɺ( t =, xn ( t xɺ n ( t a n b an b A =, B = a b a b n n n x ( t bn bnan + u( t xn( t b bna xn ( t b bna b a n n n b a n n n b a n b a n
18 vetör gösterimleri altında xɺ( t = Ax( t + Bu( t denlem sistemini içeren xɺ( t = Ax( t + Bu( t y( t =... x( t + bnu( t x( t = x modeli oluşturulabilir. Bu model bir durum-uzay modelidir. b n = b n- = = b = olduğunda sistemi modelleyen denlem, ( n ( n y ( t + an y ( t a y ( t + a y( t = bnu( t olma üzere, aşağıdai gibi bir değişen değiştirmesi de düşünülebilir. x (t = y(t xɺ (t = x (t x (t = y (t x (t = y (t x n (t = y Bu durumda, 3 (n (t xɺ xɺ xɺ n (t = x n (t = x (t = y 3 (n (t n (t (t = a x (t a x (t... a n x n (t + b u(t xɺ (t xɺ (t = x n (t ɺ a a a n x(t x (t + u(t x n (t b y(t x(t = [ ] x(t = x c c = c n gibi bir durum-uzay modeli yazılabilir. Katsayıların sıfır olmadığı durumda, ( n ( n ( n y ( t + a y ( t a y ( t + a y( t = b u ( t b u ( t + b u( t n n y( t = c, y( t = c,..., y ( t = c olma üzere, ( n n
19 x ( t = y( t 3 xɺ ( t = x ( t x ( t = y ( t xɺ ( t = x ( t x ( t = y ( t 3 xɺ ( t = x ( t n n ( n ( n ( n xn ( t = y ( t xɺ n ( t = y ( t = a x ( t a x ( t... an xn ( t + bnu ( t bu ( t + bu( t değişen değiştirmesi sonucunda, xɺ (t xɺ (t = a xɺ n (t a I n a n β x(t β + β n u(t y(t = x( t = x [ ] x(t gibi bir durum-uzay modeline ulaşılır. Bu modelde β, β,..., βn atsayıları ve başlangıç değerleri ayrıca belirlenir. Böylece farlı ii durum-uzay modeli gösterimi ortaya çımış oldu. Đisinin de özdeş olduğu gösterilebilir. Son gösterimdei, I n A= a a a n matrisinin arateristi poliu, n n det A λi = λ + a λ a λ + a olma üzere, dır. [( ] n λ i bir özdeğer ise bu özdeğere arşılı gelen özvetör, λ i vi = λ i n λ i Örne: Yaya bağlı cismin hareetini yeniden gözönüne alalım. ms ölçü sisteminde, m =, a =. 6, =. 5, dış uvvet F ( t =, t ve başlangıç anında cismin onumu d y( = ve hızı y ( t = v = olsun. Cismin hareetini anlatan diferensiyel denlem y ( t +. 6y ( t +. 5y( t = y( =, y ( = olma üzere, çözüm
20 39 4 t 95 4 t 4 y( t = e e + olara bulunmuştu. Şimdi bu çözümü durum-uzay modelinden elde etmeye çalışalım. Durumuzay modeli (yuarıdai örneten xɺ ( t. 6 x( t xɺ ( t =. 5 x ( t + y( t = x ( t x( x ( =. 6 olma üzere,. xɺ( t = 6 x( t. + 5 x( =. 6 denleminin çözümü, A( t A( tτ x( t = e x + e Bu( τ dτ dır. Burada, A =. 6 5, B =. dır. A matrisinin özdeğerleri det( A λi = λ +. 6λ +. 5 =, λ = λ özvetörleri, ( A λ I v = t. = = v v ( A λ I v =. 5 = = v v ve spetral ayrışımı, A = = olma üzere,
21 . t e x( t = 5. t.. e t. 5( t τ dτ + e t ( tτ dτ e =. 5t. 5t. 5e + e 5. t. t e e 5 =. 5t. 5t. t e 9. 75e e + 4. t =. 5t. t e. 975e. 375e + 4 elde edilir. Buradan, t y( t = x( t = 9. 75e e + 4 bulunur. t Örne: modelleri. Salar girdi-çıtılı sistemlerin esili zaman deterministi durum-uzay u( sistem y( =,,,... anlarında gözlem yapılan bir sistem için girdi ile çıtı arasındai bağıntının bir far denlemi (indirgeme bağıntısı olduğu durumlarla ço sı arşılaşılır. y( + n + a y( + n a y( + + a y( = b u( + n + b u( + n b u( + + b u( n n n y( = c, y( = c,..., y( n = c n Far denlemi şelinde olan bir modelden, x ( = y ( bnu ( x ( = x ( + + a y( b u( n n... x ( = x ( + + a y( b u( n n değişen değiştirmesi sonucu bir adımlı farları içeren,
22 x ( + an x ( bn bn an x ( an I n x ( bn bn a + n = + u( xn ( + a xn ( b bn a x( = x [ ] y( = x( + b u( n durum-uzay modeli oluşturulur. Örne: (Zaman Serileri Örne: Eoi ile ilgili öncei ısımdai modeli yeniden ele alalım. Varsayımlar: Yıllı tüetim harcamaları bir yıl öncei milli gelir ile orantılıdır. Özel yatırımlar öncei yıla göre tüetim harcamaları artışı (farı ile orantılıdır. y(: -ıncı yılda milli gelir (national income c(: -ıncı yıldai tüetim harcamaları (consumer expenditure p(: -ıncı yıldai yatırımlar (private investment u(: -ıncı yıldai hüümet harcamaları (goverment spending. Model (far denlem sistemi: c( = αy( p( = β(c( c( y( = c( + p( + u(. Model (far denlemi: y( + α( + β y( + + α. β y( = u( + y( = c, y( = c 3. Model (durum-uzay modeli : c( = αc( + αp( + αu( p( = ( αβ β c( + αp( + αu( c( α p( = αβ β α c( α + u( α p( α y( = c( p( [ ] + u(
23 Bir başa durum-uzay modeli, x ( = y( u( x ( = x ( + α ( + β y( x ( + = x x = x ( + α ( + α ( + = x ( + ( + β[ x( + u( ] ( + β x( + α( + β α( + β y( = αβx ( αβu( u( x x ( + = ( + y( = [ ] α ( + β x ( α( + β αβ x( + u( x + ( αβ u( c x( = c u( c u( u( dır. Kontrol Edilebilme, Gözlemlenebilme, Kararlı Olabilme, Teşhis Edilebilme Kavramları Bazı sistemlerde istenilen çıtıları elde etme için çıtılar üzerindei gözlemlere bağlı olara sisteme girdiler verilmetedir. Bu tür denetlemeye (ontrole geri bildirim (feedbac denmetedir. GĐRDĐ S Đ S T E M ÇIKTI Geri Bildirim Deterministi esili-zaman bir durum-uzay modeli, olma üzere, x = Ax + Bu ( x, A, B, u, H, y y x + n n n n m m l n l = H x = x
24 ve = için j j= x( + = A x( + A Bu( + j j j= x( = A x + A Bu( j dır. ( x( ile x gösterimlerinin birlite ullanıldığını belirtelim Başlangıçta x = xa durumunda olan sistemi uygun girdiler (ontrol verere j adım sonunda x b durumuna getirme arzu edilebilir. Bu özelliğe ontrol edilebilme denir. Kontrol Edilebilme (Controllability Tanım: Herhangi xa, x b vetörleri için bir i pozitif tamsayısı ve u, u, u,..., ui girdileri için durum denlemi, x = Ax + Bu, x = + xa olan sistem i. adımda xi = xb durumuna gelebiliyorsa sisteme ontrol edilebilir denir. Sistemin ontrol edilebilir olması sadece A, B matrislerine bağlıdır. Bu sebepten dolayı sistem ontrol edilebilir yerine A, B ontrol edilebilir denir. Teorem: (Kalman ran oşulu n A, B ontrol edilebilir ran[ B AB A B A B] = n dır. n mn Teorem: (Hautus Teoremi A, B ontrol edilebilir ran[ si A B] = n, A nın her s özdeğeri için dır. Tanım: n = [ ] matrisine ontrol edilebilirli matrisi denir. W B AB A B A B Belli bir adımda x a durumunda olan ontrol edilebilir bir sistemin x b durumuna u u u u olma geçmesi için en ço n adım atılır ve uygulanaca ontrol (girdi dizisi,,,..., n üzere, dır. u u = W '( W ' W ( xb Axa u n Gözlemlenebilme (Observability
25 x = Ax + Bu ( x, A, B, u, H, y y x + n n n n m m l n l = H x = x ve j y = H A x + A Bu j j= olma üzere, y değeri x ile u, u, u,..., u lerin bir fonsiyonudur. Girdiler (ontrol sıfır olursa veya alınırsa, y sadece x ın bir fonsiyonudur y ( x. Tanım: y ( x, =,,,... x başlangıç değeri ve sıfır ontrol için sistem denlemlerinin çözümü olsun. Đstesel x vetörü için bir adımı vardır, öyle i y ( x, y ( x,..., y ( x çıtı değerlerinden x belirlenebiliyorsa sisteme gözlemlenebilir denir. Sistemin gözlemlenebilir olması sadece A, H matrislerine bağlıdır. Bu sebepten dolayı sistem gözlemlenebilir yerine A, H gözlemlenebilir denir. Teorem: (Kalman ran oşulu dır. A, H gözlemlenebilir H HA n HA ran HA = n Teorem: (Hautus Teoremi A, H gözlemlenebilir si A ran = n, A nın her s özdeğeri için H dır. Tanım: M H HA = HA n HA Gözlemlenebilir olan bir x + = Ax + Bu y = H x matrisine gözlemlenebilirli matrisi denir. sistemi için çıtılar y, y, y,..., yn olma üzere,
26 dır. y y y ( ' ' x = M M M n Kararlı Olabilme Eğer u = f (x gibi x nın bir fonsiyonu ise durum geri-beslemesi söz onusudur. Durum geri-beslemesi u = Kx biçiminde ise durum denlemi, x + = (A + BK x biçimindedir. Durum değerlerinin x, x, x,, x, dizisinin birço özelliği A+BK matrisinin özdeğerleri (eigen values, poles-utuplar ile ifade edilir. Buradai mesele K geri besleme matrisinin uygun bir seçimiyle A+BK matrisinin özdeğerlerinin istesel değerlere (omples sayı olduğu için istesel onumlara getirilebilir olup olmamasıdır. Bu özelliğe sahip sistemlere veya (A,B matrislerine özdeğer atanabilir (pole-assignable denir. (A,B özdeğer atanabilir olması deme, her reel atsayılı n n n p ( λ = λ + a λ + a λ a λ + a n n poliu için, arateristi poliu p( λ (bulunabilir demetir. olaca şeilde A+BK matrisi, yani K matrisi vardır Tanım: A+BK ya apalı-döngü sistem matrisi (closed-loop system matrix denir. Teorem: (A,B özdeğer-atanabilir (pole assignable (A,B ontrol edilebilir. Birço modelde, x durum vetöründei bileşenler, sistemin arzu edilen durum değerlerinden sapmalarını ifade etmetedir. Bu sistem modellerinde, x, x,. sapmalarının uygun ontrol (girdi seçere zaman içinde azalması amaçlanmatedır. Böyle sistemlere veya (A,B matrislerine ararlı olabilen (stabilizable denir. Bu durum A+BK matrisinin ararlı matris olması durumunda söz onusudur (bir matrisin ararlı olması özdeğerlerin sıfırın omşuluğu olan açı birim dis içinde olması demetir. Bu durumda, x = (A + BK x dır. Tanım: A+BK matrisinin özdeğerleri açı birim disin içinde, yani A+BK matrisi ararlı olaca şeilde K matrisi varsa (A,B ye ararlı olabilen (veya sisteme aralı olabilen denir. Teorem: (A,B ararlı olabilen ran ( özdeğeri için. (A,B ontrol edilebilir (A,B ararlı olabilen. si A B = n, A nın birim dis dışında olan her s
27 Eğer A ararlı ise sıfır girdi için x = A x olduğunda (A,B ararlı olabilendir. Eğer A nın bütün özdeğerleri açı birim disin dışında ise ontrol edilebilme ile ararlı olabilme eşdeğerdir. %x(+=ax(+bu( %y(=hx( clc clear all close all A=[.8..9] B=[ ] H=[ ] %ontroledilebilme W=[B A*B] ranw=ran(w xa=[ ] xb=[ ] u=w'*(w*w'^(-*(xb-a^*xa x=xa x=a*x+b*u( x=a*x+b*u( %Gözlemlenebilme M=[H H*A] ranm=ran(m y=[x( x(] xsifir=(m'*m^(-*m'*y %ararlı olabilme ozdeger=eig(a syms a b K=[a b] KM=A+B*K ozdkm=eig(km K=[-.5] KM=A+B*K ozdkm=eig(km Ortaya Çıarılabilme, Teşhis Edilebilme (Detectability Tanım: A+LH matrisinin özdeğerleri açı birim disin içinde olaca şeilde L matrisi varsa (H,A ya ortaya çıarılabilir (detectable denir. si A Teorem: (H,A ortaya çıarılabilir ran =n, A nın birim dis dışında olan her s H özdeğeri için.
28 Ortaya çıarılabilme (detectability avramını açılamaya çalışalım. Sıfır girdili, x = Ax y + = Hx sistemi için x başlangıç değeri bilinmesin. Uygun seçilen bir K matrisi için durum vetörünün estirimleri olan, xˆ xˆ + = Axˆ = + K(y Hxˆ ları göz önüne alalım. x durum vetörlerinin estirimleri olan xˆ lara gözlemci (observer denir. Gerçe x durumu yerine xˆ alındığında ortaya çıan hata, ê = x xˆ ve eˆ = x xˆ = Ax Axˆ K( y H xˆ = Ax Axˆ K( Hx H xˆ olma üzere, eˆ ( ˆ + = A KH e eˆ = x, ( xˆ = indirgeme bağıntısı yazılabilir. Đstesel x başlangıç değeri için hatanın sıfıra gitmesi, A-KH matrisi ararlı olaca şeilde K matrisinin seçilmesi demetir. Bu ise (H,A nın ortaya çıarılabilir olması demetir. Ortaya çıarılabilme, durum vetörünün ( x, hatası sıfıra giden uygun düzenlenmiş bir gözlemci nin çıtısı olara ortaya çıarılabilmesidir (Hatası sıfıra giden gözlemci bulunabiliyorsa. clear all close all %x(+=ax( %y(=hx( =.6 =. delt=. A=[-*delt *delt -*delt]; H=[ ]; %ortaya çıarılabilme KK=[ ]; ozda_kh=eig(a-kk*h; x=[ ]; xgozlemci=[ ]; for =:5 x=a*x; x(:,=x; xgozlemci=a*xgozlemci+kk*(x(-h*xgozlemci; gozlemci(:,=xgozlemci end t=:5;
29 t=t*delt; subplot(,,4 plot(x(,:,x(,: hold on subplot(,, plot(t,x(,: hold on subplot(,,3 plot(t,x(,: hold on subplot(,,4 plot(gozlemci(,:,gozlemci(,:,'r' hold on subplot(,, plot(t,gozlemci(,:,'r' hold on subplot(,,3 plot(t,gozlemci(,:,'r' Lineer Kestirim (Lineer Tahmin
30 Lineer Kestirim onusuna geçmeden önce bazı hatırlatmalar yapalım. Hilbert Uzayı: ( H,( R, +,,, vetör uzayı ve ( H, < > bir iç çarpım uzayı olsun. : H R / u ( < u, u > fonsiyonu bir norm ve d : H H R ( u, v d( u, v = u v fonsiyonu bir metritir. ( H, d metri uzayı tam uzay olduğunda, ( H, < > iç çarpım (pre- Hilbert uzayına Hilbert uzayı denir. Hatırlatma: ( H, d de her Couchy dizisi yaınsa, başa bir ifade ile, n m ( v n, ( H, d de bir dizi ve d( v, v v H için lim v n n m n = v oluyorsa, ( H, d tam uzaydır. Örne: Q R, Q : rasyonel sayılar ümesi olma üzere ( Q,( R, +,, +, bir vetör uzayıdır. ( Q, <.,. >, < u, v >= u v ve olsun. d( u v u v ( u v, u v / = = < > (( / v = + n + + +!! n! = u v = u v olma üzere ( vn, Q da bir Couchy dizisidir. Bu dizi hiçbir rasyonel sayıya yaınsamamatadır. Limiti Q da değildir. Dolayısı ile Q bir iç çarpım uzayıdır ama Hilbert uzayı değildir. ( Q, < u, v >= u v Hilbert uzayı değildir. ( R, < u, v >= u. v Hilbert uzayı. R Hilbert uzayı. n (, < u, v >= u ' v Örne: olma üzere, [, ] = { : : süreli fonsiyon} C f R f < f, g >= f ( x g( x dx olara tanımlanırsa (bu bir iç çarpım,
31 d( f, g f g f g, f g = = < > = ( f ( x g( x dx bir metritir. n ( x, x / fn ( x =, / x olma üzere, ( f n bir Cauchy dizisidir. Gerçeten, d( fn, f m = ( fn( x fm( x dx = olup, m > n için, ve / dır. Dolayısı ile ( n C ( ( ( olmadığından ( [, ],<. > fn x fm x dx / / ( ( ( fn x fm x dx / / / < ( fn ( x dx / / / / / n+ ( x fn x dx ( n + (n + x= ( ( = = n m f bir Couchy dizisidir. Anca (, iç çarpım uzayı tam uzay değildir. n / / d f f olaca şeilde bir f C[,] f(x L [, ] = f :[, ] : f ( x dx < uzayıdır. Di Đzdüşüm: R olma üzere ( L [, ],. < > bir Hilbert H bir Hilbert uzayı, M H apalı bir alt uzay olma üzere, u H elamanı bir te biçimde, u = uˆ + u~, uˆ M, u ~ M olara yazılabilir ve x
32 u uˆ = min u v v M dir. Bu û vetörüne, u 'nun M üzerine di izdüşümü denir ve uˆ = Ρ biçiminde gösterilir. M u Tanım: ξ, ξ,... H ve ξi = < ξi, ξ j >=, i j olma üzere, H = L ( ξ, ξ,... = v : v = aiξi, ai i= ξ, ξ ümesine ortonormal baz denir. ise { } u H için, u, v H için, dir. u = < u ξ > ξ i=, i i < u, v >= < u, ξ >< v, ξ > u i i= = < u, ξi > i= i = span ξ, ξ,... R { } Karesi Đntegrallenebilir Rasgele Değişenlerin Uzayı: ( Ω, U, P bir olasılı uzayı, X : Ω R Borel ölçülebilir fonsiyon (rasgele değişen ve E( X = X ( ω P( ω < olsun. Ω P( X = V = ise X ile V ' ye den rasgele değişenler denir. X rasgele değişenlerine den olan rasgele değişenlerin sınıfı da X ile gösterilsin, { : E( X < } Η = X denli sınıfların ümesi, < X, Y >= E( XY ile bir iç çarpım uzayıdır. d( X, Y = X Y = E( X Y
33 olma üzere, ( L ( Ω, U, P, <> uzayının bir Hilbert uzayı olduğu gösterilebilir. Bu ders apsamında ullanılaca olan uzay budur. da bir Hilbert uzayıdır. { } H = X H : E( X = ( L ( Ω, U, P, <> Lineer Kestirim Stoasti Süreçler için Lineer Kestirim Problemi + { t } Y : t R, E( Y =, t ( t E Y + <, t R için H Y t olma üzere, { : t } ümesi H da bir eğri ( H da notaların bir parametreli ailesi olara ele alınabilir. Eğer, { Y t : t } aresel ortalamada süreli, yani E ( Y t Y s olduğunda eğri sürelidir. { s : } Y Ht = L Y s t H alt uzayı (belli bir aralıtai sürecin gerdiği alt uzay aiyt lineer ombinasyonları ve bunların (aresel ortalama limitlerinden oluşmatadır. i ti t Tanım: Y Y Y < için, H H H L{ Y : s } t t = olur. t t s Y H t, H da bir alt uzay olup, X H için, ~ X = Xˆ + X, ˆ, Y X = P X H, ~ Y Ht X Xˆ = min Y X V V H t X Xˆ = E( X Xˆ t Y X H t olma üzere, Xˆ rasgele değişenine{ Y s : s t} verildiğinde (gözlendiğinde X 'in lineer en üçü areler estiricisi denir. { : s t}, ( Y =, E( < Y s s Y s s t E gözlendiğinde t < t için, E ( X P X E ( X P X Y Ht Y Ht ' olur, yani süreç ne adar uzun gözlenirse, hata daha az olur. Y t Sonlu Boyutlu Uzaylarda Lineer Kestirim Problemi V, V,..., V m sıfır ortalamalı ve sonlu varyanslı rasgele değişenler,
34 ve U, W H için, < U, W >= E ( UW olma üzere, ( H, <> bir Hilbert uzayıdır. H = b V b b b = b V b m { } m j j :,,, m R ' : R j= Y, Y,..., Y H ve L( Y, Y,..., Y = bjyj : b, b,..., b R H j= olma üzere; Zi =, i =,,..., m L( Y, Y,..., Y = L( Z, Z,..., Zm, < Zi, Z j >=, i j olaca şeilde, Z, Z,..., Z m ortonormal bazı vardır. X Η için, X ˆ L ( Y,,..., Y Y X Xˆ L( Y, Y,..., Y E ( X Xˆ Y =, i =,,..., ( i özellilerini sağlayan Xˆ rasgele değişenine X in L( Y, Y,..., Y üzerine di izdüşümü denir. X = Xˆ + Xɶ, Xˆ L( Y, Y,..., Y, Xɶ L( Y, Y,..., Y biçiminde yazılabilir. min E( X α Y minimizasyon problemini göz önüne alalım. α α,..., i= i i αi i ( αi ( i ( αi i i= i= i= E X Y = E X E XY + E Y olma üzere, α lara göre türev alınıp sıfıra eşitlenirse, E( X Y α i i i = α j i= =, j =,,..., αi E( Yi, Yj = E( XYj, j =,...,
35 E( YY E( YY... E( YY E( YY E( YY... E( YY E( YY E( Y Y... E( YY α E( XY α E( XY = α E( XY elde edilir. Y = ( Y, Y..., Y ', α = ( α, α..., α ' gösterimleri ile, Cov( Y α = E( X Y yazılır. Buradan, ˆ = ( Cov( Y E( X Y α ve ˆ ˆ α ' ( '( ( bulunur. Burada, X = Y = E XY COV Y Y α E( Y, Y = E( XY, j =,..., E[( X α Y Y ] =, j =,..., i i j j i i j i= i= olduğu göz önüne alınırsa, Xˆ = P X L( Y olduğu görülür. Özetlerse, min E( X α ( ˆ ( ˆ iyi = E X αiyi = E X X α,..., α i= i= ˆ = ( Cov( Y E( X Y α Xˆ = P X L( Y dir. Đndirgemeli Kestirim Y, Y,..., Y,... gözlemleri ardışı olara ( ara araya alınsın. Y n Y Y = Y gözlemine dayalı en iyi (gözlemlerin lineer fonsiyonu olaca ve E X αiyi belenen değerini en üçü yapaca estirici Xˆ olsun. i= Xˆ = P X L( Y dır. Y + gözlemi geldiğinde X ˆ + 'i ii yoldan hesaplayabiliriz. αiyi şelinde i=
36 X ˆ + = P L( Y, Y,..., Y + + gereir ve her adımda ( X olara hesaplanırsa, tüm geçmiş gözlemlerin aydının elimizde olması Cov( Y hesaplanması gereir. X ˆ ve Y + ullanılara hesaplama yapılabilir. Yani Xˆ ˆ + = f ( X, Y + olur. Buna indirgemeli estirim denir. Ayrıca, Xˆ ˆ + = a X + by + biçiminde olduğunda lineer indirgemeli estirim söz onusudur. Genel olara bu şeilde hesaplama mümün olmamala birlite X, Y, Y,..., Y n,... rasgele değişenleri arasındai bağıntı yapısının bazı durumları için mümün olmatadır. Đnnovasyon Dizisi (Innovation Sequence Y, Y,..., Y,... ler ardışı gözlemler, ve Y n Y Y =, =,,3,... Y Y = P Y + ( I P Y = Y ˆ + Yɶ L( Y L( Y / / Y = P Y + ( I P Y = Y ˆ + Yɶ 3 3 L( Y L( Y 3 3/ 3/ Y = P Y + ( I P Y = Y ˆ + Yɶ... olma üzere, Yɶ = Y L( Y L( Y 4 4 / 3 4 / 3 Y = Y ɶ / Y 3 = Y ɶ 3/ Y 4 = Y ɶ 4 / 3... dizisine innovasyon dizisi (innovation sequence, güncellenmiş dizi denir. Bu dizidei terimler, bir gözlemin öncei gözlemlerin gerdiği uzayın di tümleyeni olan uzay üzerine di izdüşümleridir, yani Y = Y ɶ = ( I P Y = P Y dır. Buradan hareetle, ve / ( L Y L( Y + L( Y = L( Y L( Y ɶ +, L( Y L( Y ɶ + olma üzere, P = P + P ɶ + L( Y L( Y L( Y +
37 X ˆ = P X = P X + P X + + L( Y L( Y L ( Y ɶ + ˆ ˆ < X, Yɶ + > ˆ < X, Yɶ + > X ( ( + = P + X = X ( + Y + = X + Y P Y L Y + L Y + < Yɶ +, Yɶ + > < Yɶ +, Yɶ + > yazılabilir. Örne: X, V, V,... sıfır ortalamalı, rasgele değişenler olsun. Y = X + V, =,,... E X = σ E V = a i = varyanslı bağımsız (, ( i,,,... olma üzere Y, Y,..., Y,... 'lar gözlenebilsin. Bu gözlemlere dayalı olara X rasgele değişenini estirme isteyelim. X rasgele değişeninin, + min E( X Y = E( X Xˆ α α + i= Đ i + olaca şeildei lineer estiricisi, ˆ ˆ < X, Yɶ + > ˆ < X, Yɶ + > X ( ( + = P + X = X ( + Y + = X + Y P Y L Y + L Y + < Yɶ +, Yɶ + > < Yɶ +, Yɶ + > dir. olma üzere, P ˆ Y ( ( L( Y + = P X + V L( Y + = P X = X L( Y Y ɶ = Y P Y = X + V P Y ( ( ( ( L Y + + L Y = X + V ˆ + X = X + V + < X, Yɶ > = < X, Xɶ > = < Xɶ, Xɶ > = Xɶ = X Xˆ + < Yɶ, Yɶ > = < Xɶ + V, Xɶ + V > < ɶ ɶ > + < > = X X + a = X, X V +, V + X Xˆ Xˆ = Xˆ + ( Y Xˆ + + ˆ X X + a elde edilir. Buradan, ˆ = X + + ˆ X X + a X Xˆ Xˆ = Xˆ + ( Y Xˆ, =,,,... indirgeme bağıntısı yazılabilir, anca burada P( = X Xˆ ˆ X X ˆ değeri bilinmemetedir.
38 gösterimi altında, ˆ P( = X X = X =< X, X >= E( X = σ ˆ ˆ P( P( + = X X ˆ = X ( X + ( Y X + P( + a + = = a a ˆ P( + X X V P( + a P( + a P( + a a ˆ P( ( X X + V P( + a P( + a ( + a P = σ + a P( + a P( + a olup, aşağıdai gibi bir indirgemeli algoritma oluşturulabilir. ˆ X =, P( = σ + ˆ ˆ P( X ˆ = X + ( Y X, =,,,... + P( + a + ( P ( ( a σ a P + = + P ( + a P + a Hatırlatma: X, Y rasgele değişenleri için E( X =, E( Y =, E( X = σ X <, E( Y = σ Y <, Cov( X, V = σ XY olsun. Y = y olara gözlendiğinde X in alacağı değeri estirme (tahmin etmeisteyelim. X için ˆX estierim değeri, E( X Xˆ = min( X αy α olaca şeilde istenirse (arzu edilirse, ˆ < X, Y > σ XY σ X X = PL ( Y X = Y = Y = ρ Y < Y, Y > σ Y σ Y olur. Bu durumda, ˆ ˆ ˆ E( X X = E( X E( XX + E( X σ σ = σ ρ ρσ σ + ρ σ X X X X Y Y σ Y σ Y X ( ρ = σ ve yapılan hata, ˆ X Xɶ σ = X X = X ρ Y σ Y olup, E( X ɶ = ve Var( Xɶ = σ ( ρ dır. Ayrıca, X
39 dır. Cov Xɶ Y Cov X Y Cov Xˆ Y σ ρσ σ ρ σ X (, = (, (, = X Y Y = σy X Y Y,,,..., Y n ler sıfır ortalamalı, sonlu varyanslı, aralarındai ovaryanslar bilinen rasgele değişenler olsun. Y = y, Y = y,..., Yn = yn olara gözlendiğinde X rasgele değişeninin alacağı değeri, n ( ˆ = min ( j αi i α, α,, α n i= E X X X Y olaca şeilde ˆX gibi bir estirici ile estirme istediğimizde, Xˆ = P X dır. L( Y ˆ = ( Cov( Y E( X Y α ˆ X = ˆ α ' Y = E( XY '( COV ( Y Y 3 X p ve Y, Y,..., Y n ler r boyutlu, aralarındai ovaryanslar belli rasgele vetörler olsun. Y = y, Y = y,..., Yn = yn olara gözlendiğinde X rasgele vetörünün alacağı değeri, X vetörünün herbir X j bileşeni için, n ˆ j j = j α ji i α j, α j,, α jn i= E( X X min ( X Y, j=,,...,p olaca şeilde X ˆ j gibi bir estirici ile estirme istediğimizde, Y X Y X n Y =, X = Y n X nr p p olma üzere, ˆ n n n X = P X = E( X Y '( COV ( Y Y, j=,,...,p j n L( Y j j Xˆ = P X = E( X ( Y ( COV ( Y Y n L( Y n n n dır. Đndirgemeli olara, + L( Y = L( Y L( Y ɶ +, L( Y L( Yɶ ˆ + = Y + Y + / ve P P P + = + ɶ olma üzere, L( Y L( Y L( Y + X ˆ = P X = P X + P X + ɶ + L( Y L( Y L ( Y + olara estirilebilir.
40 KALMAN FĐLTRESĐ Kesili Zaman Stoasti Durum-Uzay Modeli Bir sistemin durumu (sistemin içi ile ilgili rasgele değişenler bir X rasgele vetörünün bileşenleri ve sistem çıtısı Y olma üzere zaman indisine bağlı olara, X = A( X + + C( W, =,,,... Y = H ( X + G( W gibi bir modele esili zaman lineer durum-uzay modeli denir. Birinci denleme durum denlemi ve iinci denleme çıtı ve ya onum denlemi denir. Bu durum-uzay modelinde: ( X dizisi n boyutlu gözlenemeyen rasgele vetörlerin dizisi, ( Y dizisi r boyutlu gözlenebilen rasgele vetörlerin dizisi, ( W dizisi l boyutlu gözlenemeyen rasgele hata vetörlerinin dizisi ve A( : n n, H ( : r n, C( : n l, G( : r l ( l r model parametrelerin matrisleri olma üzere, bu matrisler zamana bağlı olduğunda modele dinami model, asi halde stati model denir. *Karışılığa yol açmadığı tatirde dinami modeller için bu matrislerdei zaman indisi yazılmayacatır. Model varsayımları: X için E( X = m =, Cov( X = P, Cov( X, W =, =,,... ' Il, = m E( W =, Cov( W, W m = E( W W m = yani, ( W dizisi bir, m beyaz gürültü süreci, W ~ WN (, I. Sistem girdisi bulunmayan, X A( X + C( W, =,,,... Y = H ( X + G( W l durum-uzay modelini göz önüne alalım. Amaç, çıtının Y, Y,..., Y gözlemlerine dayanara sistemin X durumunu estirme olsun. Belli bir ana adari gözlemlere dayalı olara bir adım ilerisi için durum vetörünün alacağı değer estirilme istensin. Kestirim, Y Y Y = Y gözlemlerinin ˆ ( X = P X = α Y lineer birleşimi olara yapılsın. Bu estirim, / L( Y E X ˆ ˆ X / '( X X / nın minimum olması anlamında en iyi estirimdir. Kalman Filresi Xˆ / 'in estirimi için geliştirilmiş indirgemeli bir algoritmadır.
41 Xˆ / = P ( X L( Y Xɶ = X Xˆ / Yˆ = P ( Y = H Xˆ / L( Y / Yɶ = Y Yˆ = Y H Xˆ = H Xɶ + GW / / / / P ( H X GW HP ( ( ( X, W L( Y + = L Y L Y olduğunu göz önünde tutara, Xˆ / = P ( ( X ( ( = P X P X + L Y L( Y L( Y ˆ ( ( ( ( = X + E X Yɶ Cov Yɶ Yɶ / / / / indirgeme bağıntısının sağ tarafındai terimler için, E X ( Y ɶ = E X ( H X ɶ + GW ' = E XX ɶ / H + X W G, ( W X = E ( Xˆ / + X / X / H ɶ ɶ, ( X ˆ / X ɶ / = Cov( Xɶ / H P( = Cov( Xɶ / gösterimi altında E X ( Y ɶ / ' = P( H olur. a / / Cov( Yɶ = E( Yɶ Yɶ ' = E ( H X ɶ / + GW ( H X ɶ / + GW, ( W X = HCov( Xɶ / H + GCov( W G = HP( H + GG olma üzere, ˆ ˆ X = X + P( H HP( H + GG ( Y H X ˆ b / / / [ ] / / / yazılır. Şimdi X ˆ + / ile Xˆ / arasında bir bağıntı urmaya çalışalım. Durum denleminin her ii tarafına P di izdüşüm operatörü uygulansın. Bunun sonucunda, L( Y Xˆ AXˆ CWˆ + = + olup, burada / Wˆ = P ( W = P ( W + P ( W ɶ, ( W L( Y / ( ( L Y / L Y L( Y = E( W ( Y ɶ / ' Cov( Y ɶ / Y ɶ /, ( Yɶ = HXɶ + GW
42 = G [ HP( H + GG ] Yɶ dır. Böylece, Xˆ = A Xˆ + P( H '( HP( H + GG Y + CG [ HP( H + GG ] Y + / / / / elde edilir. ( ( ( = AX + AP( H ' + CG ' HP( H ' + GG ' Y H X ( ( K( = AP( H ' + CG ' HP( H ' + GG ' gösterimi ile, X ˆ ˆ ˆ + / = AX / + K( ( Y H X / şelinde yazılabilir. Buradai, K( matrisi, Kalman Kazanç Matrisi olara adlandırılır. Bu matrisin içinde bilinmeyen P( = Cov( Xɶ / matrisi bulunmatadır. Şimdi bu matrisin hesaplanması üzerinde durulsun. ve olma üzere, X + = AX + CW + ( Xˆ ˆ ˆ + / = AX / + K( ( Y HX / X Xˆ = A( X Xˆ + CW K( ( Y HXˆ + + / / / Y HXˆ = HX + G( W HXˆ = HXɶ + GW / / olup, X ɶ ˆ + / = X + X + / = A K( H X ɶ / + ( C K( G W Cov( Xɶ = A K( H P( A K( H + ( C K( G( C K( G' + / [ ] [ ] elde edilir, yani P( + = Cov( X ɶ + / için indirgeme bağıntısı elde edilmiş oldu. Gerçeten K( yerine değerinin yazılmasıyla, P( + = AP( A AP( H K ( K ( HP( A' + K ( HP( H K ( + CC CG K ( K( GC ' + K( GG K ( AP( A + CC + K( HP( H + GG K ( = [ ] K( [ HP( A + GC] [ AP( H + CG ] K ( = AP( A + CC [ AP( H + CG ][ HP( H + GG ] [ AP( H + CG ] indirgeme bağıntısı elde edilir. P( + = AP( A + CC AP( H + CG HP( H + GG AP( H + CG indirgeme bağıntısına Riccati Denlemi denir. Kalman Filtresi Xˆ = / E( X = m =, P ( = P [ ][ ] [ ]
43 ( ( K( = AP( H ' + CG ' HP( H ' + GG ', =,,... ˆ ˆ ( ( ˆ X + / = AX / + K Y H X / [ ][ ] [ ] P( + = AP( A + CC AP( H + CG HP( H + GG AP( K H + CG Durum-uzay modeli, X + = AX + W Y = H X + V ( = m, Cov ( X = P, E ( V =, Cov ( V = R, E ( W =, Cov( W E X X, W, W,..., V, V,... lar ilişisiz, olsun. Kalman Filtresini elde edelim. P X AP X P W ( ( ( ( ( ( L Y L Y L Y + = +, W L( Y = A P ( ( X P ( ( X L Y + L Y / + ' ( ( X = A X + E X Y Cov Y Y olacatır. Burada, Y = Y Y = Y P Y + / / / / / ( ( / / L Y = Y P H X + V, V L( Y ( ( L Y = Y H X = H X + V H X = H ( X X / + V Y = H X + V / / / / = Q ve Cov( Y / = Cov H X / + V ( = HCov ( X / H ' Cov( V + ( / = ( ' + Cov Y HP H R ' E ( X Y / = E ( X ( H X / + V ' ' ' = E ( X X / H ' + X V = E ( X / + X / X / H ' + E X V ' ( (
44 = Cov ( X H ' E ( X Y / = P ( H ' Böylece, / ' X = A X + P( H '( HP ( H ' + R Y = AX ( ( ( / + AP H ' HP H ' + R H X / + V + / / / elde edilir. ( K Matrisi ( ( = ( ( + matrisinde bulunan ( K AP H ' HP H ' R için aşağıdai eşitlileri taraf tarafa toplayara, X = AX + W ( X = AX K H X + V + / / / ( ( ( X = A X X + W K H X K V + / / / ( ( / ( = A K H X + W K V elde edilir. Heve ii tarafa Cov operatörünün uygulanmasıyla, P + = A K H P A K H ' + Q + K R K ' olara elde edilir. onara, ( ( ( ( ( ( ( ( P ları elde edebilme Bu indirgemeli denlemde K ( matrisi yerine AP( H '( HP( H ' + R ( + = + [ + ] P AP( A' Q AP( H ' HP( H ' R HP( A' ( P ve M simetri matrisler Bunlara göre Kalman Filtresi, X = m P ( = P ( X + / = AX / + K Y H X / K ( = AP( H '( HP ( H ' + R P( + = AP( A' + Q AP( H '[ HP( H ' + R ] HP( A' Filtreleme (Filtering Kavramı:
45 Bir sistem aşağıdai gibi bir stoasti esili-zaman durum-uzay modeli ile modellenmiş olsun. X + = AX + Bu + CW (durum denlemi Y = H X + GW (onum(çıtıdenlemi Amaç: Sistem belirleme (parametre tahmini Durum ( X estirimi 3 Optimal ontrol olabilir. Kalman Filtresi, Y, Y,..., Y gözlemlerine dayalı olara X durum vetörünün bir adım sonrasını estirme için ullanılan indirgemeli bir algoritmadır. Filtreleme nedir? Bir sistemle ilgili bir S niceleğini (sinyalini gözleme isteyelim. t S( t, t (süreli zaman j S( j, j=:,: (esili zaman gibi çıtılar elde edilebilir. S( j yerine gürültü arışmış bir Z( j = S( j + V ( j, j=:,: gözlenmiş olsun.
46 gibi çıtılar elde edilebilir (yuarıdai sinyale V N(,/ 4 rasgele değişeninin dağılımından üretilen sayılar elenmiş. Zaman serisi grafilerinde olduğu gibi ardışı notalar düz çizgi ile birleştirilere aşağıdai gibi bir çıtı elde edilmiştir Filtreleme (Filtering: t anında S( t için bilgi edinme istemete, t anına adari gözlemler ullanılmata, 3 S( t için bilgi t anında hazır olmata. Örne: Bozu bir dille dite edilen bir yazıyı anında anlamlandırara aleme alma. Y, Y,..., Y gözlemlerine dayalı olara X durum vetörünün estirimi, Xˆ = P ( X / L( Y = Xˆ [ ] ˆ / + P( H HP( H + GG Y H X / olma üzere, Y ˆ,,,,... = H X / = estirimlerinin elde edilmesi işlemi bir nevi Y, Y,..., Y gözlemlerinin filtrelenmesidir.
47 Düzgünleştirme (Smoothing: t anındai S( t için bilgi edinme istenmete, t anına adari ve sonrai gözlemler ullanabilmete, 3 S( t için bilgi t anında bilgi hazır olmayabilmete. Örne: Kötü yazılmış bir metubu (telgrafı ouyup yeniden anlamlandırma. Öngörme (Forecasting: t anında S( t + a için bilgi edinme istenmete a > (yani ilerisi için, t anına adari gözlemler ullanılmata, 3 S( t + a için bilgi t anında hazır olmata. Örne: Zıplayan bir topu yaalama için beynin yaptığı iş. Durum-Uzay Modellerinde Bazı Kovaryans Hesaplamaları X + = AX + CW, =,,,... Y = H X + GW ve varsayımlar: W WN(, I E( X = m, Cov( X = P 3 Cov( X, W =, =,,,... olsun. Durum denleminden indirgemeli olara, X = AX + CW = A( AX + CW + CW elde edilir. = A ( AX 3 + CW 3 + ACW + CW... j = A X j + A CW j + A CW ACW + CW, j=,,..., j j ( j a b X = A X + A CW + A CW + A CW ACW + CW olup, 3 Cov( X, W =, =,,.. Cov( X, W + j =, j =,,.. Cov X W Cov A CW W A C j j j (, j = ( j, j =, =,,.., X E X = A X E X + A CW + + ACW + CW olup, j j ( [ j ( j ] j... { } j Cov( X, X j = E [ X E( X ][ X j E( X j ]' = A Cov( X j, j =,,.., Cov X = P c ( Cov( X + = Cov( AX + CW = ACov( X A'+CC'
48 olma üzere, L( = Cov( X gösterimi altında, L( + = AL( A' + CC ' L( = P indirgeme bağıntısı (Lyapunov (Lâpunov denlemi elde edilir. A matrisi ararlı matrisi olduğunda, L( L olma üzere, L matrisi Lâpunov denleminin çözümü olup tetir. L = ALA' + CC ' Bu durumda, Cov( X L dır. d Cov( Y = Cov( H X + GW = HCov( X H ' + GG' j j (, j ( j ' ',,,..., Cov Y Y = HA Cov X H + HA CG j = dır. Kalman Filtresi ile Đlgili Bazı Örneler Örne: Aşağıdai MATLAB programını işletiniz. clear all close all clc A=[ ]; H=[ ]; xdurum=[ ]; for =: xdurum=a*xdurum+randn(3,*.5; gx(:,=xdurum; gy(:,=h*gx(:,+randn(,*.5; % gy gözlenen y end P=.*eye(3; X=[ ];
49 Q=eye(3*.; R=eye(*.; for =: K=A*P*H'*inv(H*P*H'+R; Y=gy(:,; X=A*X+K*(Y-H*X; P=A*P*A'+Q-A*P*H'*inv(H*P*H'+R+.*eye(*H*P*A'; x(:,=x; end figure plot(gx(,: hold on plot(x(,:,'r' figure plot(gx(,: hold on plot(x(,:,'r' figure plot(gx(3,: hold on plot(x(3,:,'r' Bu programın bir çıtısı aşağıdai gibidir:
50 Örne: X + = ax + W Y = X + V Varsayımlar: E( X = m, Var( X = P E( W =, E( V =, Var( W =, Var( V =, Cov( W, V =, =,,,... Cov( X, W =, =,,,... Amaç: Y, Y,..., Y,... gözlemlerine dayalı oara X + durum değişenini estirme. Kalman Filtresi: ˆX = / m X ˆ = ax ˆ + K( ( Y X ˆ + / / /
51 P( = P ap( K( = P( + ( ap( ( + a P( + P( + = a P( + = P( + P( + olup, a = için, dır. P( = P P( P(= P(=3 P(=4 P(3=4. P(4=4.3 P(5=4.3 P(6=4.3 ( + a P( + P( + = P( + indirgeme bağıntısı için denge durumu, * * ( + a P + P = * P + denleminin çözümü olma üzere, * * P a P = P * a + a + 4 = olup, a = için, dır. * P = = K( K(= K(=.5 K(=.6 K(3=.6 K(4=.6 K(5=.6 K(6=.6 6 P(
52 P( P * * * ap K + * K( = =.68 P + Bu yaınsama a >, yani X + = ax + W ararlı olmadığı (unstable durum için de geçerli. a > için, Var( X ˆ * P( = Var( X X / = P Genelde, Xɶ ˆ + / = X + X + / = AX ˆ ˆ + CW AX / K( [ Y HX / ] = [ A K( H ] Xɶ / + [ C K( G] W ve örneğimiz için, Xɶ + / = [ a K( ] Xɶ / + W K( V dır. a = (unstable ve >> (yeterince büyü için, Xɶ + /.38Xɶ / + W.88V olup, ararlı bir otoregresyon durumu sözonusudur ( hatalar aslında durağan. a > için { X } serisi ararlı olmasa bile X durum değişeni başarılı bir biçimde izlenebilir. Zamandan Bağımsız Riccati Denlemi Zamandan bağımsız Riccati Denlemi, P = APA' + CC ' ( APH ' + CG '( HPH ' + GG ' ( APH ' + CG ' olma üzere, P başlangıç ovaryans matrisi Riccati Denlemini sağlarsa, her için P( = P olur ve bu durumda K( Kalman azanç matrisi zamandan bağımsız olur. Bu durum, {,,,,.. } {,,,,.. } X = sürecinin ( u = durumunda durağan olmasını geretirmez. X = sürecinin durağan olması durumu: Cov( X + = Cov( AX + CW = ACov( X A'+CC', Cov( X = P olma üzere, A ararlı ve P = AP A' + CC ' ise Cov( X = P, =,,,... dır. Riccati denlemi ii arşıt eti arasında bir uzlaşmadır. Bir taraftan gözlemler geldiçe ve biritiçe X haında bilgi artmata, diğer taraftan ise başlangıçtan uzalaştıça X durumunun onumu (değeri daha belirsiz olmatadır, yani [ ][ ] [ ] P( + = AP( A + CC AP( H + CG HP( H + GG AP( K H + CG indirgeme bağıntısı ile hesaplanan P( + ler ırasayabilir. Riccati denlemini sağlayan başlangıç ovaryansı bu ii belirsizliğin dengelendiği bir değerdir. Riccati denleminin çözümünün varlığı ve teliği, durum-uzay modelindei ararlılı ve ortaya çıarılabilme özellilerine bağlıdır.
53 A = A CG '( GG ' H C = C[ I G '( GG ' G] G olma üzere: a ( H, A ortaya çıarılabilir ise Riccati denleminin negatif olmayan en az bir çözümü vardır. b ( A, C ararlı ise çözüm tetir ve P( P dır. P( eyfi bir P başlangıç değeri ile üretilmiştir. Ayrıca, K Kalman azancı, K = ( APH ' + CG '( HPH ' + CG ' olma üzere, A KH ararlıdır. c Eğer sistem ortaya çıarılabilme ve ararlılı özellilerini sağlıyorsa, başlangıç ovaryans matrisi pozitif tanımlı ve P Riccati denleminin çözümü olma üzere, P( P dır. d Eğer sistem gözlemlenebilme özelliğini sağlıyorsa ve başlangıç ovaryans matrisi P pozitif tanımlı ise P( P dır. Lineer Olmayan Durum-Uzay Modeli ve Genişletilmiş Kalman Filtresi Konuya geçmeden önce lineer durum-uzay modelleri ile ilgili bazı hatırlatmalar yapalım. X + = AX + CW Y = H X + V X N( m, P, W N(, Q, V N(, R ve X, W, W,..., V, V,... lar ilişisiz. ˆ X / = P ( X = E( X / Y L( Y X ˆ / ( ( = P X L Y, Xɶ ˆ / = X X / ˆ ˆ P / = E[( X X / ( X X / '/ Y ] ˆ ˆ P( = P / E[( X X / ( X X / '/ Y = ] Xˆ AXˆ Xɶ = X Xˆ = A( X Xˆ + CW / / =, / / / P = AP A' + CQ C ' Kalman Filtresi: / /
Stokastik Süreçler. Bir stokastik Süreç ya da rastgele süreç şöyle tanımlanabilir.
Stoasti Süreçler Bir stoasti Süreç ya da rastgele süreç şöyle tanımlanabilir. Zamanla değişen bir rastgele değişendir. Rastgele değişenin alacağı değer zamanla değişmetedir. Deney çıtılarına atanan rastgele
Detaylı) ile algoritma başlatılır.
GRADYANT YÖNTEMLER Bütün ısıtsız optimizasyon problemlerinde olduğu gibi, bir başlangıç notasından başlayara ardışı bir şeilde en iyi çözüme ulaşılır. Kısıtsız problemlerin çözümü aşağıdai algoritma izlenere
DetaylıDers 2 : MATLAB ile Matris İşlemleri
Ders : MATLAB ile Matris İşlemleri Kapsam Vetörlerin ve matrislerin tanıtılması Vetör ve matris operasyonları Lineer denlem taımlarının çözümü Vetörler Vetörler te boyutlu sayı dizileridir. Elemanlarının
DetaylıDENEY 3. HOOKE YASASI. Amaç:
DENEY 3. HOOKE YASASI Amaç: ) Herhangi bir uvvet altındai yayın nasıl davrandığını araştırma ve bu davranışın Hooe Yasası ile tam olara açılandığını ispatlama. ) Kütle yay sisteminin salınım hareeti için
DetaylıMIXED REGRESYON TAHMİN EDİCİLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI. The Comparisions of Mixed Regression Estimators *
MIXED EGESYON TAHMİN EDİCİLEİNİN KAŞILAŞTIILMASI The Comparisions o Mixed egression Estimators * Sevgi AKGÜNEŞ KESTİ Ç.Ü.Fen Bilimleri Enstitüsü Matemati Anabilim Dalı Selahattin KAÇIANLA Ç.Ü.Fen Edebiyat
DetaylıSİMGELER DİZİNİ. ( t Φ Γ. E xz. xxz. j j j
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ HEDEF TAKİBİNDE UYARLI KALMAN FİLTRESİNİN KULLANIMI ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA Emine ÇERÇİOĞLU İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006 Her haı salıdır
DetaylıCahit Arf Liseler Arası Matematik Yarışması 2008
Cahit Arf Liseler Arası Matemati Yarışması 2008 İinci Aşama 11 Mayıs 2008 Notlar: Birnci tasla. 1. Tamsayılardan gerçel sayılara tanımlı fonsiyonlar ümesi üzerinde şöyle bir operatörü tanımlayalım: f(x)
DetaylıRASGELE SÜREÇLER. Bir X rasgele değişkenin, a ve b arasında tekdüze dağılımlı olabilmesi için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olmalıdır.
RASGELE SÜREÇLER Eğer bir büyülüğün her t anında alacağı değeri te bir şeilde belirleyen matematisel bir ifade verilebilirse bu büyülüğün deterministi bir büyülü olduğu söylenebilir. Haberleşmeden habere
Detaylı9. İZOMORFİZMA TEOREMLERİ VE EŞLENİK ELEMANLAR. Aşağıdaki teorem Homomorfizma teoremi olarak da bilinir.
9. İZOMORFİZMA TEOREMLERİ VE EŞLENİK ELEMANLAR Aşağıdai teorem Homomorfizma teoremi olara da bilinir. Teoremi 9.. (.İzomorfizma Teoremi) f : G H bir grup homomorfizması olsun. Şu halde ( ) dir. Özel olara,
DetaylıTEK SERBESTLİK DERECELİ TİTREŞİM SİSTEMİNİN LAGUERRE POLİNOMLARI İLE MATRİS ÇÖZÜMÜ
EK SERBESLİK DERECELİ İREŞİM SİSEMİNİN LAGUERRE POLİNOMLARI İLE MARİS ÇÖZÜMÜ Mehmet ÇEVİK a, Nurcan BAYKUŞ b a Celal Bayar Üniversitesi Maine Mühendisliği Bölümü, Muradiye 454, Manisa. b Douz Eylül Üniversitesi,
DetaylıSAÜ Fen Edebiyat Dergisi (2009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK
SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI L DE TIMELIKE MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK Saarya Üniversitesi, Fen-Edebiyat Faültesi Matemati Bölümü, 5487, SAKARYA apirdal@saarya.edu.tr
DetaylıKÜÇÜK TİTREŞİMLER U x U x U x x x x x x x...
36 KÜÇÜK TİTREŞİMLER A) HARMONİK OSİLATÖRLER B) LAGRANGE FONKSİYONU C) MATRİS GÖSTERİMİ D) TİTREŞİM FREKANSLARI E) ÖRNEKLER F) SONLU GRUPLAR VE TEMSİLLERİ G) METOT H) ÖRNEKLER - - - - - - - - - - - - -
Detaylık olarak veriliyor. Her iki durum icin sistemin lineer olup olmadigini arastirin.
LINEER SISTEMLER Muhendislite herhangibir sistem seil(ref: xqs402) dei gibi didortgen blo icinde gosterilir. Sisteme disaridan eti eden fatorler giris, sistemin bu girislere arsi gosterdigi tepi ciis olara
Detaylı2. TRANSFORMATÖRLER. 2.1 Temel Bilgiler
. TRANSFORMATÖRLER. Temel Bilgiler Transformatörlerde hareet olmadığından dolayı sürtünme ve rüzgar ayıpları mevcut değildir. Dolayısıyla transformatörler, verimi en yüse (%99 - %99.5) olan eletri maineleridir.
DetaylıBİR FONKSİYONUN FOURİER SERİSİNE AÇILIMI:
FOURIER SERİERİ GİRİŞ Elastisite probleminin çözümünde en büyü zorlu sınır şartlarının sağlatılmasındadır. Bu zorluğu gidermenin yollarından biride sınır yülerini Fourier serilerine açmatır. Fourier serilerinin
DetaylıTremalarla Oluşum: Kenar uzunluğu 1 olan bir eşkenar üçgenle başlayalım. Bu üçgene S 0
SİERPİNSKİ ÜÇGENİ Polonyalı matematiçi Waclaw Sierpinsi (1882-1969) yılında Sierpinsi üçgeni veya Sierpinsi şapası denilen bir fratal tanıttı. Sierpinsi üçgeni fratalların il örneğidir ve tremalarla oluşturulur.
Detaylı7. Ders Genel Lineer Modeller Singüler Modeller, Yanlış veya Bilinmeyen Kovaryanslar, Đlişkili Hatalar
7. Ders Genel Lineer Modeller Singüler Modeller, Yanlış veya Bilinmeyen Kovaryanslar, Đlişkili Hatalar Y = X β + ε Lineer Modeli pekçok özel hallere sahiptir. Bunlar, ε nun dağılımına, Cov( ε ) kovaryans
DetaylıMatris Unutma Faktörü İle Uyarlanmış Kalman Filtresinin Başarım Değerlendirmesi
Fırat Üniv. Fen Bilimleri Dergisi Fırat Unv. Journal of Science 25(), 7-76, 23 25(), 7-76, 23 Matris Unutma Fatörü İle Uyarlanmış Kalman Filtresinin Başarım Değerlendirmesi Özet Cener BİÇER * Esin KÖKSAL
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer
Detaylıile plakalarda biriken yük Q arasındaki ilişkiyi bulmak, bu ilişkiyi kullanarak boşluğun elektrik geçirgenlik sabiti ε
Farlı Malzemelerin Dieletri Sabiti maç Bu deneyde, ondansatörün plaalarına uygulanan gerilim U ile plaalarda birien yü Q arasındai ilişiyi bulma, bu ilişiyi ullanara luğun eletri geçirgenli sabiti ı belirleme,
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ 13. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI
1. x,y,z pozitif tam sayılardır. 1 11 x + = 8 y + z olduğuna göre, x.y.z açtır? 3 B) 4 C) 6 D)1 3 1 4. {,1,1,1,...,1 } 1 ümesinin en büyü elemanının diğer 1 elemanın toplamına oranı, hangi tam sayıya en
DetaylıElastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1
Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Düzlem Gerilme durumu için: Bilinmeyenler: Düzlem Şekil değiştirme durumu için: Bilinmeyenler: 3 gerilme bileşeni : 3 gerilme bileşeni : 3 şekil değiştirme
DetaylıRentech. Yaylar ve Makaralar Deney Seti. Yaylar ve Makaralar Deney Seti. (Yay Sabiti, Salınım Periyodu, Kuvvet ve Yol Ölçümleri) Öğrenci Deney Föyü
(Yay Sabiti, Salınım Periyodu, Kuvvet ve Yol Ölçümleri) Öğrenci Deney Föyü 1 Anara-2015 Paetleme Listesi 1. Yaylar ve Maaralar Deney Düzeneği 1.1. Farlı Yay Sabitine Sahip Yaylar 1.2. Maaralar (Teli, İili
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi
DetaylıEÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3-2 Yıl: 2010 199-206
99 EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3- Yıl: 99-6 İKİNCİ MERTEBEDEN BİR DİFERENSİYEL DENKLEM SINIFI İÇİN BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMİNİN DİFERENSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ İLE TAM ÇÖZÜMLERİ THE
Detaylık tane bağımsız değişgene bağımlı bir Y değişgeni ile bu bağımsız X X X X
3.1 Genel Doğrusal Bağlanım tane bağımsı değişgene bağımlı bir Y değişgeni ile bu bağımsı X X X X,,, değişgenleri arasındai ilişiyi bulma isteyelim. Bu ilişi modelinde yer alaca bağımsı değişgenler yalnıca
DetaylıKollektif Risk Modellemesinde Panjér Yöntemi
Douz Eylül Üniversitesi İtisadi ve İdari Bilimler Faültesi Dergisi, Cilt:6, Sayı:, Yıl:, ss.39-49. olletif Ris Modellemesinde anér Yöntemi ervin BAYAN İRVEN Güçan YAAR Özet Hayat dışı sigortalarda, olletif
DetaylıKuvvet kavramı TEMAS KUVVETLERİ KUVVET KAVRAMI. Fiziksel temas sonucu ortaya çıkarlar BÖLÜM 5 HAREKET KANUNLARI
BÖLÜM 5 HAREKET KANUNLARI 1. Kuvvet avramı. Newton un 1. yasası ve eylemsiz sistemler 3. Kütle 4. Newton un. yasası 5. Kütle-çeim uvveti ve ağırlı 6. Newton un 3. yasası 7. Newton yasalarının bazı uygulamaları
DetaylıBir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.
ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
Detaylı8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye
DetaylıFonksiyonel Analize Giriş I Ara S nav Sorular 29 Kas m Bir metrik uzayda her kapal yuvar kapal bir kümedir. Ispatlay n z.
Fonksiyonel Analize Giriş I Ara S nav Sorular 29 Kas m 2010 1 Bir metrik uzayda her kapal yuvar kapal bir kümedir. Ispatlay n z. 2 (a) d (x; y) = Z 1 0 jx (t) y (t)j 1 + jx (t) y (t)j dt fonksiyonunun
Detaylı1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
DetaylıEZ ONAYI Haydar ANKIŞHAN tarafından hazırlanan Gürültülü Ses Sinyali İyileştirilmesine İili Kalman Filtre Yalaşımı adlı tez çalışması aşağıdai jüri ta
ANKARA ÜNİVERSİESİ FEN BİLİMLERİ ENSİÜSÜ YÜKSEK LİSANS EZİ GÜRÜLÜLÜ SES SİNYALİ İYİLEŞİRİLMESİNE İKİLİ KALMAN FİLRE YAKLAŞIMI HAYDAR ANKIŞHAN ELEKRONİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ANKARA 2007 i EZ ONAYI
DetaylıDoğrusal Olmayan Devreler, Sistemler ve Kaos
Dğrusal Olmayan Devreler Sistemler ve Kas Neslihan Serap Şengör da n:07 tel n:0 85 360 sengrn@itu.edu.tr Özan Karabaca da n:7 tel n:0 85 3506 zan97@yah.cm Dğrusal Olmayan Devreler Sistemler ve Kas 6 Şubat
Detaylıab H bulunur. Şu halde önceki önermenin i) koşulu da sağlanır ve H G bulunur.
3.ALT GRUPLAR HG, Tanım 3.. (G, ) bir grup ve nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer (H, ) bir grup ise H ye G nin bir alt grubu denir ve H G ile gösterilir. Not 3.. a)(h, ), (G, ) grubunun alt grubu
Detaylı3.Ders Rasgele Değişkenler
3.Ders Rasgele Değişkenler Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X : R X olmak üzere, a R için, : X a U oluyorsa X fonksiyonuna bir rasgele değişken denir. a R için X, a : X a U özelliğine sahip bir X rasgele
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Matemat Deneme Sınavı. ii basamalı doğal saıdır. 6 en büü saısı ile en üçü saısının toplamı açtır? 8 89 8 6. için, 9 ( ) ifadesinin sonucu aşağıdailerden hangisidir? 6. ile saıları arasındai çift saıların
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
DetaylıBahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 2011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI. y = c n x n+r. (n + r) c n x n+r 1 +
DÜZCE ÜN_IVERS_ITES_I FEN-EDEB_IYAT FAKÜLTES_I MATEMAT_IK BÖLÜMÜ 010-011 Bahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI 1. 0p x d y + dy + xy = 0 diferansiyel
DetaylıTemel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b
Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Binom Katsayıları ve Pascal Üçgeni 3. Bölüm Emrah Ayar Anadolu Üniversitesi Fen Faültesi Matemati Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Binom Teoremi Binom Teoremi ( ) n 1. Derste
DetaylıBu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz.
Bölüm 3 Gruplar Bu bölümde ilk olarak bir küme üzerinde tanımlı işlem kavramını ele alıp işlemlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Daha sonra kümeler ve üzerinde tanımlı işlemlerden oluşan cebirsel
DetaylıBÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ
BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini
DetaylıMatris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli
Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β
DetaylıÖzdeğer ve Özvektörler
Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin
DetaylıDiferensiyel denklemler sürekli sistemlerin hareketlerinin ifade edilmesinde kullanılan denklemlerdir.
.. Diferensiyel Denklemler y f (x) de F ( x, y, y, y,...) 0 veya y f ( x, y, y,...) x ve y değişkenlerinin kendileri ve türevlerini içinde bulunduran denklemlerdir. (Türevler; "Bağımlı değişkenin değişiminin
Detaylı7.Ders Bazı Ekonometrik Modeller. Đktisat (ekonomi) biliminin bir kavramı: gayrisafi milli hasıla.
7.Ders Bazı Ekonometrik Modeller Đktisat (ekonomi) biliminin bir kavramı: gayrisafi milli hasıla. Kaynak: TÜĐK dönemler gayri safi yurt içi hasıla düzeyi 1987-1 8680793 1987-2 9929354 1987-3 13560135 1987-4
DetaylıBasitleştirilmiş Kalman Filtresi ile Titreşimli Ortamda Sıvı Seviyesinin Ölçülmesi
Basitleştirilmiş Kalman Filtresi ile Titreşimli Ortamda Sıvı Seviyesinin Ölçülmesi M. Ozan AKI Yrd.Doç Dr. Erdem UÇAR ABSTRACT: Bu çalışmada, sıvıların seviye ölçümünde dalgalanmalardan aynalı meydana
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 7- SAYISAL TÜREV Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ İntegral işlemi gibi türev işlemi de mühendislikte çok fazla kullanılan bir işlemdir. Basit olarak bir fonksiyonun bir noktadaki
DetaylıKUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu
KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.
DetaylıKaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
DetaylıTitreşim Hareketi Periyodik hareket
05.01.01 Titreşi Hareeti Periyodi hareet Belirli bir zaan sonra, verilen/belirlenen bir durua düzenli olara geri dönen bir cisin yaptığı hareet. Periyodi hareetin özel bir çeşidi eani sistelerde olur.
Detaylı5. Elektriksel Büyüklüklerin Ölçülebilen Değerleri
Elektrik devrelerinde ölçülebilen büyüklükler olan; 5. Elektriksel Büyüklüklerin Ölçülebilen Değerleri Akım Gerilim Devrede bulunan kaynakların tiplerine göre değişik şekillerde olabilir. Zamana bağlı
Detaylı(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve
nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)
DetaylıANALİZ CEBİR. 1. x 4 + 2x 3 23x 2 + px + q denkleminin kökleri (a, a, b, b) olacak şekilde. ikişer kökü aynı ise ise p ve q kaçtır?
ANALİZ CEBİR. x + x x + px + q denleminin öleri a, a, b, b) olaca şeilde iişer öü aynı ise ise p ve q açtır? x + x x + px + q = x - a) x - b) = x ax + a )x bx + b ) = x a+b)x +a +ab+b )x aba+b)x +a b a
DetaylıFizik 101: Ders 24 Gündem
Terar Fizi 101: Ders 4 Günde Başlangıç oşullarını ullanara BHH denlelerinin çözüü. Genel fizisel saraç Burulalı saraç BHHte enerji Atoi titreşiler Proble: Düşey yay Proble: taşıa tuneli BHH terar BHH &
Detaylı1991 ÖYS. )0, 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 123 B) 432 C) 741 D) 864 E) 987
99 ÖYS.,8 (, ), işleminin sonucu açtır? A) B) C) D) E) 7. Raamları sıfırdan ve birbirinden farlı, üç basamalı en büyü sayı ile raamları sıfırdan ve birbirinden farlı, üç basamalı en üçü sayının farı açtır?
DetaylıA İSTATİSTİK KPSS-AB-PÖ/2007. 1. X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu. 4. X sürekli raslantı değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu,
. X rasgele değişeninin olasılı fonsiyonu f( x) = c(x + 5), x =,, 0, diğer hâllerde olduğuna göre, c nin değeri açtır? A İSTATİSTİK KPSS-AB-PÖ/007. X süreli raslantı değişeninin biriimli dağılım fonsiyonu,
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
DetaylıKPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1
SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
DetaylıEle Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI)
5..5 Ele Alıaca Aa Koular Ayrı-zama işaretleri impuls dizisi ciside ifade edilmesi Ayrı-zama LTI sistemleri ovolüsyo toplamı gösterilimi Hafta 3: Doğrusal ve Zamala Değişmeye Sistemler (Liear Time Ivariat
DetaylıMAK341 MAKİNA ELEMANLARI I 2. Yarıyıl içi imtihanı 24/04/2012 Müddet: 90 dakika Ögretim Üyesi: Prof.Dr. Hikmet Kocabas, Doç.Dr.
MAK3 MAKİNA EEMANARI I. Yarıyıl içi imtihanı /0/0 Müddet: 90 daia Ögretim Üyesi: Prof.Dr. Himet Kocabas, Doç.Dr. Cemal Bayara. (0 puan) Sıı geçmelerde sürtünme orozyonu nasıl ve neden meydana gelir? Geçmeye
DetaylıMath 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012
1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler
DetaylıAyrık Fourier Dönüşümü
Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =
DetaylıKİNETİK MODELLERDE OPTİMUM PARAMETRE BELİRLEME İÇİN BİR YAZILIM: PARES
KİNETİK MODELLERDE OPTİMUM PARAMETRE BELİRLEME İÇİN BİR YAZILIM: PARES Mehmet YÜCEER, İlnur ATASOY, Rıdvan BERBER Anara Üniversitesi Mühendisli Faültesi Kimya Mühendisliği Bölümü Tandoğan- 0600 Anara (berber@eng.anara.edu.tr)
DetaylıÇoklu Unutma Faktörleri ile Uyarlı Kalman Filtresi İçin İyileştirme
Erciyes Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt 33, Sayı, 7 Erciyes University Journal of Natural and Applied Sciences Volume 33, Issue, 7 Çolu Unutma Fatörleri ile Uyarlı Kalman Filtresi İçin
DetaylıTİTREŞİM VE DALGALAR BÖLÜM PERİYODİK HAREKET
TİTREŞİM VE DALGALAR Periyodik Hareketler: Belirli aralıklarla tekrarlanan harekete periyodik hareket denir. Sabit bir nokta etrafında periyodik hareket yapan cismin hareketine titreşim hareketi denir.
DetaylıELKE315-ELKH315 Introduction to Control Systems FINAL January 2, 2016 Time required: 1.5 Hours
SORU. Yanda serbest uyarmalı bir DA motorunun elektromekanik şeması verilmiştir. Bu doğru akım motoru, hızı kontrol edilmek üzere modellenecektir. Hız kontrolü hem endüvi devresi hem de uyarma devresi
DetaylıKONTROL SİSTEMLERİ YIL İÇİ UYGULAMA. Problem No
KONTRO SİSTEMERİ YI İÇİ UYGUAMA Problem No AD SOYAD 10 haneli öğrenci NO Şeil 1 Şeil 1 dei sistem için transfer fonsiyonunu bulalım. Sistem ii serbestli derecesine sahiptir.her bir ütle diğerinin sabit
DetaylıRasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları
4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor
DetaylıBölüm 1. Elektriksel Büyüklükler ve Elektrik Devre Elemanları
Bölüm Elektriksel Büyüklükler ve Elektrik Devre Elemanları. Temel Elektriksel Büyüklükler: Akım, Gerilim, Güç, Enerji. Güç Polaritesi.3 Akım ve Gerilim Kaynakları F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G. .. Temel
Detaylı, t anındaki birey sayısı (popülâsyon büyüklüğü) olmak üzere,
Kaosu Kaosan Kuraralım ve Rasgeleliğin Haını Verelim Kaos sözcüğü ile ilgili Tür Dil Kurumu web sayfasındai Güncel Türçe Sözlü e yazılı olanlar: aos (isim, a os, Fransızca). Evrenin düzene girmeden öncei
Detaylı13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
Detaylı4.2. SBM nin Beşeri Sermaye Değişkeni İle Genişletilmesi: MRW nin Beşeri Sermaye Modeli
112 4.2. SBM nin Beşeri Sermaye Değişeni İle Genişletilmesi: MRW nin Beşeri Sermaye Modeli MRW, Solow un büyüme modelini, beşeri sermaye olgusunu da atara genişletmetedir. Bu yeni biçimiyle model, genişletilmiş
DetaylıDeneysel Metotlara Giriş Temel Kavramlar, Analiz Yöntemleri
Gebze Teni Üniversitesi Fizi Bölümü Deneysel Metotlara Giriş Temel Kavramlar, Analiz Yöntemleri Doğan Erbahar 2015, Gebze Bu itapçı son biraç yıldır Gebze Teni Üniversitesi Fizi Bölümü nde lisans laboratuarları
DetaylıEME 3117 SISTEM SIMÜLASYONU. Üçgensel Dağılım. Sürekli Düzgün Dağılım. Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar
0..07 EME 37 SISTEM SIMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller-II Ders 5 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım Normal Dağılım Üstel (Exponential)
DetaylıAyrık-Zaman Sistemler
Ayrık-Zaman Sistemler Bir ayrık-zaman sistemi, bir giriş dizisi x[n] yi işleyerek daha iyi özelliklere sahip bir çıkış dizisi y[n] oluşturur. Çoğu uygulamalarda ayrık-zaman sistemi bir giriş ve bir çıkıştan
DetaylıÖABT LİSE MATEMATİK KPSS 2016 ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER. Eğitimde
ÖABT LİSE KPSS 2016 Pegem Aademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 40'ın üzerinde soruyu olaylıla çözebildiğini açıladı. MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER Eğitimde
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal
DetaylıCebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
DetaylıİŞ : Şekilde yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine kuvveti görülmektedir. Parçacık A noktasından
İŞ : Şekilde yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine etkiyen F kuvveti görülmektedir. Parçacık A noktasından r geçerken konum vektörü uygun bir O orijininden ölçülmektedir ve A dan A ne diferansiyel
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
Detaylı28/5/2009 TARİHLİ VE 2108/30 SAYILI KURUL KARARI 11 HAZİRAN 2009 TARİHLİ VE 27255 SAYILI RESMİ GAZETEDE YAYIMLANMIŞTIR.
28/5/2009 TARİHLİ VE 2108/30 SAYILI KURUL KARARI 11 HAZİRAN 2009 TARİHLİ VE 27255 SAYILI RESMİ GAZETEDE YAYIMLANMIŞTIR. Enerji Piyasası Düzenleme Kurumundan: ELEKTRĠK PĠYASASI DENGELEME VE UZLAġTIRMA YÖNETMELĠĞĠ
DetaylıÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler
DetaylıBu deneyin amacı Ayrık Fourier Dönüşümü (DFT) ve Hızlu Fourier Dönüşümünün (FFT) tanıtılmasıdır.
Deney : Ayrı Fourier Dönüşümü (DFT) & Hızlı Fourier Dönüşümü (FFT) Amaç Bu deneyin amacı Ayrı Fourier Dönüşümü (DFT) ve Hızlu Fourier Dönüşümünün (FFT) tanıtılmasıdır. Giriş Bir öncei deneyde ayrı-zamanlı
Detaylıİkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem
DetaylıELECO '2012 Elektrik - Elektronik ve Bilgisayar Mühendisliği Sempozyumu, 29 Kasım - 01 Aralık 2012, Bursa
ELECO '2012 Eletri - Eletroni ve Bilgisayar Mühendisliği Sempozyumu, 29 Kasım - 01 ralı 2012, Bursa Lineer Olmayan Dinami Sistemlerin Yapay Sinir ğları ile Modellenmesinde MLP ve RBF Yapılarının Karşılaştırılması
Detaylıh h P h h Şekil 2.1. Bir kapta bulunan sıvının yüksekliği ile tabana yaptığı basınç arasındaki ilişki
11. DENKLEMLER Değişenlerin arşılılı ilişilerini ifade eden matematisel denlemler ii gruba arılabilir: Cebirsel denlemler ve diferensiel denlemler. Cebirsel bir denlem türev olara ifade edilen bir değişen
DetaylıPI KONTROLÖR TASARIMI ÖDEVİ
PI ONTROLÖR TASARIMI ÖDEVİ ONTROLÖR İLE TASARIM ontrolör Taarım riterleri Taarım riterleri genellile itemine yapmaı geretiğini belirtme ve naıl yaptığını değerlendirme için ullanılır. Bu riterler her bir
DetaylıProje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması.
Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Projenin Amacı: Aritmetik bir dizinin ilk n-teriminin belirli tam sayı kuvvetleri toplamının
DetaylıÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KPSS 2016 ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER. Eğitimde
ÖABT İLKÖĞRETİM KPSS 206 Pegem Aademi Sınav Komisyonu; 205 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 40'ın üzerinde soruyu olaylıla çözebildiğini açıladı. MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER
Detaylıİstatistikçiler Dergisi
www.istatisticiler.org İstatistiçiler Dergisi (008) 68-79 İstatistiçiler Dergisi BAĞIMLI RİSKLER İÇİ TOPLAM HASAR MİKTARII DAĞILIMI Mehmet PIRILDAK Hacettepe Üniversitesi Fen Faültesi, Atüerya Bilimleri
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıDİFERANSİYEL DENKLEMLER-2
DİFERANSİYEL DENKLEMLER- SINIR DEĞER ve ÖZDEĞER PROBLEMLERİ Bu bölümde adi diferansiyel denklemlerde sınır ve özdeğer problemleri ( n) ( n1) incelenecektir. F( y, y,..., y, x) 0 şeklinde verilen bir diferansiyel
Detaylı3. Ders Parametre Tahmini Lineer Tahmin Edilebilme Yeniden Parametrelendirme Lineer Parametrik Kısıtlamalar
3. Ders Parametre Tahmini Lineer Tahmin Edilebilme eniden Parametrelendirme Lineer Parametrik Kısıtlamalar Bir Deney Tasarımı Modeli, X matrisi (veya bir kısmı) özel yapılandırılmış, = X β + biçiminde
DetaylıELEKTRİK GÜÇ SİSTEMLERİNDE SALINIM DİNAMİKLERİNİN KAOTİK OLAYLARININ İNCELENMESİ
ELEKTRİK GÜÇ SİSTEMLERİNDE SALINIM DİNAMİKLERİNİN KAOTİK OLAYLARININ İNCELENMESİ Yılmaz Uyaroğlu M. Ali Yalçın Saarya Üniversitesi, Mühendisli Faültesi, Eletri Eletroni Mühendisliği Bölümü, Esentepe Kampüsü,
DetaylıSOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.
SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan
DetaylıSONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER
SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER Bir elastik ortamın gerilme probleminin Airy gerilme fonksiyonu ile formüle edilebilen halini göz önüne alalım. Problem matematiksel olarak bölgede biharmonik denklemi sağlayan
Detaylı