ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ DURAĞAN OLMAYAN ZAMAN SERİLERİNDE KOİNTEGRASYON VEKTÖRÜNÜN TAHMİNİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA Yudum BALKAYA İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 006 Her hakkı saklıdır
Doç. Dr. Yılmaz AKDİ daışmalığıda, Yudum BALKAYA arafıda hazırlaa Durağa Olmaya Zama Serileride Koiegrasyo Vekörüü Tahmii Üzerie Bir Çalışma adlı ez çalışması 7//006 arihide aşağıdaki jüri arafıda oybirliği ile Akara Üiversiesi Fe Bilimleri Esiüsü İsaisik Aabilim Dalı da YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmişir. Başka : Prof. Dr. Reşa KASAP Gazi Üiversiesi, Fe Edebiya Fakülesi, İsaisik Bölümü Üye : Doç. Dr. Yılmaz AKDİ Akara Üiversiesi, Fe Fakülesi, İsaisik Bölümü Üye : Yrd. Doç. Dr. İhsa KARABULUT Akara Üiversiesi, Fe Fakülesi, İsaisik Bölümü Yukarıdaki soucu oaylarım Prof. Dr. Ülkü MEHMETOĞLU Esiü Müdürü
ÖZET Yüksek Lisas Tezi DURAĞAN OLMAYAN ZAMAN SERİLERİNDE KOİNTEGRASYON VEKTÖRÜNÜN TAHMİNİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA Yudum BALKAYA Akara Üiversiesi Fe Bilimleri Esiüsü İsaisik Aabilim Dalı Daışma: Doç. Dr. Yılmaz AKDİ serisii kedisi durağa değil, faka % marisi) varsa, β % % durağa olacak şekilde bir β % vekörü (veya % zama serisie koiegre bir seridir deir. β % vekörüe ise koiegrasyo vekörü deir. Durağa olmaya bir seriyi, durağa hale geirmek içi fark alma yöemi kullaılmakadır. Faka β durağa olacak şekilde bir β vekörüü % % % buluması durumuda, fark alma işlemie gerek kalmamakadır. Dolayısıyla β vekörüü % e iyi şekilde ahmi edilmesi öem kazamakadır. Burada amaç β % paramere vekörüü ahmii ile ilgili öerile yöemleri gösermekir. 006, 6 sayfa Aahar Kelimeler: Zama Serisi, Çok Değişkeli, Birim Kök, Koiegre, Koiegrasyo Vekörü i
ABSTRACT Maser Thesis A STUDY ON THE ESTIMATION OF COINTEGRATION VECTOR ON NONSTATIONARY TIME SERIES Yudum BALKAYA Akara Uiversiy Graduae School of Naural ad Applied Scieces Deparme of Saisics Supervisor: Assoc. Doç. Dr. Yılmaz AKDİ Mos of he saisical iferece of ime series is based o he saioariy assumpio. The mos pracical way o achieve saioariy for a o-saioary series is o compue heir differeces. However, if a mulivariae ime series, is osaioary, someimes i is % possible o fid a vecor (or marix) β such ha β saioary. Such a sysem is called % % % coiegraed ad he vecor β is called he coiegraig vecor. Exisece of β elimiaes % % he eed o compuaio of differeces. Cosequely, a good esimaio of β % is very impora. This maser hesis is a sudy o he esimaio of β % wih various mehods. 006, 6 pages Key Words: Time Series, Mulivariae, Ui Roo, Coiegraio, Coiegraio Vecor ii
TEŞEKKÜR Baa araşırma olaağı sağlaya ve çalışmamı her safhasıda yakı ilgi ve öerileri ile bei yöledire daışma hocam, Sayı Doç. Dr. Yılmaz AKDİ (Akara Üiversiesi Fe Fakülesi İsaisik Bölümü) ye eşekkürlerimi suuyorum. Ayrıca akademik çalışmalarım boyuca baa karşı göserdikleri alayış ve sabırda dolayı, aileme özellikle aem Saı BALKAYA ya ve maddi ve maevi deseğii hiçbir zama bede esirgemeye ablam İçim KÖSE ye sosuz eşekkürler. Yudum BALKAYA Akara, Aralık 006 iii
İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii SİMGELER DİZİNİ... vi ŞEKİL DİZİNİ... vii ÇİZELGELER DİZİNİ... viii. GİRİŞ.... ZAMAN SERİLERİNE İLİŞKİN TEMEL KAVRAMLAR... 3. Zama Serileri... 3. Durağalık Kavramı... 5.3 Harekeli Oralama Serisi (MA)... 9.4 Ooregresif Seri (AR)....5 Ooregresif Harekeli Oralama Zama Serileri (ARMA)... 3.6 Mevsimsel Zama Serileri... 3 3. BİRİM KÖK ANALİZİ VE TESTLERİ... 5 3. Birim Kök Kavramı... 5 3. Dickey-Fuller Tesi... 5 3.3 Gelişirilmiş Dickey-Fuller Tesi... 3.4 Phillips-Perro Tesi (PP)... 3 3.5 DHF ve HEGY Tesi... 5 4. KOİNTEGRASYON ANALİZİ... 8 4. Koiegrasyo Kavramıa Geel Bakış... 8 4. Koiegrasyo Taımı... 9 4.3 Koiegrasyo Aalizide Kullaıla Tesler... 9 4.4 Koiegrasyo Vekörüü Tahmii ve Egle-Grager Tesi... 30 4.5 Johase Yöemi ve Tesi... 34 5. UYGULAMALAR... 38 5. Amaç... 38 iv
6. SONUÇ... 57 KAYNAKLAR... 58 ÖZGEÇMİŞ... 6 v
SİMGELER DİZİNİ AIC ADF Tesi AR ARMA DHF Tesi HEGY Tesi MA WN(Whie oise) PP Tesi SBC VAR Fark operaörü Akaike Bilgi Krieri Gelişirilmiş Dickey Fuller Tesi Ooregresif Seri Ooregresif Harekeli Oralama Zama Serisi Dickey, Hazsa ve Fuller Tesi Hylleberg, Egle, Grager, Yoo Tesi Harekeli Oralama Serisi Beyaz Gürülü serisi Phillips- Perro Tesi Schwarz Bayesia Krieri Vekör Ooregresif Zama Serisi vi
ŞEKİL DİZİNİ Şekil 5. (994:0-005: döemleri) Logariması alımış serileri düzey ve birici derece fark grafikleri... 40 vii
ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 5. Borsa bileşik edeksi serisii gecikme sayılarıa göre Eviews programıda hesaplaa AIC ve SBC Değerleri... 4 Çizelge 5. Alı fiyaları serisii gecikme sayılarıa göre Eviews programıda hesaplaa AIC ve SBC Değerleri... 43 Çizelge 5.3 Döviz kuru serisii gecikme sayılarıa göre Eviews programıda hesaplaa AIC ve SBC Değerleri... 44 Çizelge 5.4 Üç serii (Borsa, Alı, Döviz Kuru) gecikme sayılarıa göre Eviews programıda hesaplaa AIC ve SBC Değerleri... 45 Çizelge 5.5 Eviews Programıda VAR() Modelii Çıkısı... 46 Çizelge 5.6 ADF birim kök esi souçları... 47 Çizelge 5.7 PP birim kök esi souçları... 49 Çizelge 5.8 Eviews Programıda Johase Koiegrasyo Tesi Çıkısı... 5 Çizelge 5.9 Johase Koiegrasyo Tesi souçları... 53 Çizelge 5.0 Arıklar serisii Egle ve Grager Tesi souçları... 54 Çizelge 5. Arıklar serisii Egle ve Grager Tesi souçları... 55 viii
. GİRİŞ Zama serileri aalizi, icelee bir değişkei şimdiki ve geçmiş döemdeki gözlem değerlerii kullaarak soraki döemlerde alacağı değerleri hagi güve sıırları arasıda gerçekleşebileceğii oraya koymak içi yapıla çalışmalardır. Zama serileri ise, isaisiki verileri oluş zamaları esas alıarak sıralamasıyla elde edile serilerdir. Zama serileri aalizii öemli amaçlarıda biri, birde fazla değişke içi oluşurula zama serileride biride meydaa gele değişmeleri kullaılarak diğer serilerdeki değişmeleri açıklaabilmesidir. Ayrıca geleceğe ilişki ögörüleri yapılabilmesi de zama serileri aalizii amaçlarıda biridir. Zama serileri, basi şekli ile bir regresyo modelie bezemesie rağme emel varsayımlarda birbirleride ayrılmakadır. Bir regresyo modelide bağımsız değişke koumudaki değişkeler zama serileride bağımlı değişke olarak karşımıza çıkabilmekedir. Zama serileride öemli kavramlarda biri değişkeler arasıda uzu döemli bir ilişkii olup olmadığı, yai koiegrasyo (eşbüüleşme) kousudur. Lieraürde, koiegrasyo aalizi hakkıda, çok sayıda çalışma bulumakadır. Bularda e emelleri Egle ve Grager (987) da öerile koiegrasyo esi bezer şekilde ilk defa Hylleberg, Egle, Grager ve Yoo (990) arafıda İgilere verilerie (gelir ve ükeim) uygulaarak gelişirilmişir. Daha sora, Egle, Grager, Hylleberg ve Lee (993) Japoya verilerie ayı meodu uygulamışlar ve Japoya ı gelir ve ükeim verileride mevsimsel birim kök olduğu soucua ulaşmışlardır. Bu çalışmada birici bölüm Giriş meide oluşmakadır. İkici bölümde, zama serilerie ilişki emel kavramlar, özellikleri, durağa zama serileri ve bu serileri özellikleri hakkıda bazı emel kavramlar özelemişir. Üçücü bölümde ise; birim köklü seriler ve uygulamada yaygı olarak kullaıla bazı birim kök esleri kısaca özelemişir. Dördücü bölümde, serii bileşeleri arasıdaki lieer durağa ilişkii yai
koiegrasyou aımı, ahmii ve esler ayrıılı bir şekilde özelemişir. Bu bölümde sadar yöemler halie gelmiş Egle ve Grager ile Johase (988) i öerdiği e çok olabilirlik es yöemleri açıklamışır. Beşici bölümde ise Türkiye verileri kullaılarak Borsa Bileşik Edeksi, Alı Fiyaları ve Döviz Kuru serileri arasıda 994:0 005: döemi içi bir koiegrasyo ilişkisii olup olmadığı araşırılmışır.
. ZAMAN SERİLERİNE İLİŞKİN TEMEL KAVRAMLAR. Zama Serileri Belirli zama aralıklarıda bir değişke üzeride alıa ardışık gözlemleri kümesi zama serisi olarak aımlaır. Zama serisi özel bir sokasik süreçir. (Ω, F, P) bir olasılık uzayı, T de bir idis kümesi olmak üzere, bir zama serisi Ω x T çarpım uzayıda reel sayılara gide ( ), : Ω T ( ω ) ( ω ) = ( ω),, (.) bir foksiyodur. Bu aıma göre, bir zama serisi, her sabi içi bir rasgele değişkedir, ω sabi uulduğuda ise i reel değerli bir foksiyoudur. Bu reel değerli foksiyoa zama serisii bir realizasyou (veya yörügesi) adı verilir. Bu yörüge gazeelerde, dergilerde veya kiaplarda gördüğümüz zama serisi grafikleridir (Fuller 976). Bir zama seriside aşağıdaki dör usurda birkaçı veya hepsi ayı ada ekili olabilir. i) Tred (Uzu süreli eğilim) ii) iii) iv) Mevsimlik dalgalamalar Kojekürel dalgalamalar Düzesiz harekeler Tred; zama serisii uzu döem içideki eğilimlerii gösermekedir. Mevsimlik dalgalamalar; ele alıa ikisadi değişkee ai hafalık, aylık, üç aylık, dör aylık, verilerde kedii gösermeke ve mevsimleri ekisi alıda kala serilerde oraya çıkmakadır. Kojekürel dalgalamalar; bir red doğrusu veya eğrisii erafıdaki uzu döemli dalgalamalardır (Öreği; ekoomide, belli bir süre ekoomik gelişme 3
görüldüke sora yükseliş maksimum okasıda bir kriz palak verdiğide bir düşüş başlar. İzleye aşamada bir süre harekesizlik gözleir. Daha sora yeide bir kımıldama ve calama başlar. Bu aşamalar ekrarlaıp devam eder.). Düzesiz harekeler ise, rasgele sebeplerle veya geçici olarak oraya çıkarlar. Buları e zama, asıl bir şidde derecesi ile oraya çıkacakları öcede kesirilemez. Tred, mevsimlik dalgalamalar ve kojekürel dalgalamalar, zamaı bir foksiyou olarak ifade edilebilmekedirler. Bua karşılık düzesiz harekeler acak kedi geçmiş değerleri ve haa erimii bir foksiyou olarak göserilirler. Tred: T = β+ β Mevsimsel: si S β π = Düzesiz: I = I + e β T, döemdeki, red usuruu değeri; S, döemdeki mevsimsel usuruu değeri; I, döemdeki düzesiz harekeler usuru ve e de döemdeki haa erimidir (Kular 000). Bir ekoomik uygulamaı yapılabilmesi içi ilk olarak uygulama alaıı, kousuu ve modelii belirlemesi gerekmekedir. İkici olarak ekoomik gerçekler eoride, varsayımlara ve hipoezlere bağlı olarak maemaiksel bir kalıp çerçeveside ifade edilirler. Bir soraki aşama ise, eorik modeli uygulamaya akarılmasıdır. Burada uygulama alaı ile ilgili veriler ve ekoomik gerçekleri sayısal ölçülerle ifadesi öemlidir. Bu aşamada model, gözlee veriler ve çeşili ekikler yardımıyla belirleir. So aşamada ise elde edile souçlar alamlıysa, model ekoomi poliikası değerledirme aalizleride kullaılmakadır. Zama serileri aalizii gelişmesiyle, verileri sokasik ilişkilerii icelemesi öem kazamışır. Herhagi bir değişkee ai gözlemlee zama serisii, eorik olarak var 4
olduğu düşüüle bir veri üreme süreci (daa geeraig process) arafıda öceki döemlere ai değerlerii yardımıyla belirlediği varsayılır. 980 yılıda bu yaa pek çok yöemi (durağalık, birim kök, koiegrasyo, edesellik, haa düzelme modeli vb.) gelişmesiyle zama serileri aalizii öemi armışır. Bu yöemleri orak özelliği verileri yapısıı yai, veri üreme sürecii dikkae alarak model oluşurmalarıdır (Kadılar 000). Zama serileri çeşili amaçlarla aaliz edilirler. Bular içide e öemlisi serii belli başlı özelliklerii oraya çıkarabilmekir. Böylece icelee döemde redi buluup bulumadığı, mevsimlik dalgalamaları olup olmadığı sapaabilir. Aalizi başka bir amacı ise açıklamadır. Farklı zama serileride serii biride meydaa gele değişmeler açıklaabilir. Böyle bir aaliz, zama serilerii oluşura sisem hakkıda bazı öemli bilgiler oraya koymakadır, diğer bir amaç ise sisemi korolüdür. Seriyi oluşura olayı işleyiş mekaizmasıı oraya koymak veya geçmiş olaylarda elde edile bilgileri kullaarak sisemi plalaa yöde gelişmesii sağlamak ve sisemi korol emek mümküdür.. Durağalık Kavramı Zama serileride e öemli kavramlarda biri durağalıkır. Durağalık, seride hakim ola olasılık koumlarıı zama ile değişmemesi emel fikrie dayalı isaisiksel bir degeyi ifade eder. Zama serileri ile ilgili aalizleri yaparke e öemli varsayımlarda biri, serii durağalığıdır. Birçok isaisiki souç çıkarımıda serii durağa olduğu varsayılır. Eğer seri durağa değil ise çeşili ekikler kullaılarak durağa hale geirilir (Fark alma gibi). Geel olarak zayıf ve güçlü durağalık gibi iki çeşi durağalıka bahsedilebilir (Kayım 985). Herhagi bir rasgele değişkeler dizisii orak olasılık dağılımı rasgele değişkeleri yapıldığı zamaı ileriye veya geriye doğru kaydırılması ile herhagi bir değişikliğe uğramıyorsa bu serilere güçlü durağadır deir. Kısaca ile + h i orak dağılımı ye 5
değil h ye bağlıdır. Başka bir ifade ile bir zama serisii,,..., alarıdaki,,..., rasgele değişkelerii orak olasılık dağılımı ile,,..., + h + h + h zamalarıdaki +, +,..., +, h, +h Τ, rasgele değişkelerii orak olasılık h h h dağılım şekli değişmiyorsa bu seriye güçlü durağa seri bu duruma da güçlü durağalık deir. Başka bir deyişle, her ( x, x,..., x ) ve her,,..., Τ,,,..., içi = oluyorsa { : } F ( x, x,..., x ) F ( x, x,..., x ),,..., + h, + h,..., + h güçlü durağadır deir. Burada,,..., Τ + h + h + h Τ zama serisie F ( x, x,..., x ),,,..., rasgele değişkelerii orak olasılık dağılım foksiyoudur. Eğer { : } Τ zama serisi güçlü durağa ise bu i Τ, içi (,,..., ) D (,,..., ) + + + şeklide h h h göserilmekedir. Ayrıca,,,..., rasgele değişkelerii oralaması E( ) = µ olmak üzere, { : } Τ zama serisi içi i üm değerleri içi i) E( ) = µ (solu ve de bağımsız) ii) Cov(, ) E[ ( µ )( µ )] = h=0,,, 3 + h + h koşulları sağlaıyorsa { : } kovaryas durağa veya kısaca durağadır deir. Τ zama serisie zayıf durağa, ikici derecede durağa, Bir serii durağa olması güçlü durağa olmasıı ve güçlü durağa olması da durağa olmasıı gerekirmez. Faka a) { : } Τ zama serisi durağa ve ayı zamada ormal dağılım varsayımıı sağlıyorsa bu seri ayı zamada güçlü durağadır. b) { : } Τ zama serisi güçlü durağa ve ( ) E < koşuluu sağlıyorsa bu seri ayı zamada durağadır (Brockwell ad Davis 987). 6
Yukarıdaki aımda, (ii) koşulua göre Cov(, + ) kovaryasıı sadece h i bir foksiyou olması gerekir. Bu foksiyoa { : T} h zama serisii ookovaryas foksiyou deir ve γ ( h) ile göserilir. Yai serii ookovaryas foksiyou ( h) = Cov(, ) dir. Bu foksiyo zama serileride çok kullaışlı özelliklere γ + h sahipir. Özellikle uygulamalarda, zama serilerii modellemeside sezgisel olarak modeli ürü ve model derecesii belirlemeside kullaıldığı gibi serii durağa olup olmaması hakkıda da bilgi verir. Ookovaryas foksiyou yardımı ile aımlaa ookorelasyo foksiyou ve bua bağlı olarak elde edile kısmi ookorelasyo foksiyou serileri modellemeside ve serii durağa olup olmadığıa karar verilmeside de kullaılmakadırlar. Ookorelasyo foksiyou ayı değişkei değerleri ile çeşili gecikme değerleri arasıdaki ilişkileri iceler ve değeri ± değerleri arasıdadır. Serii ookovaryas foksiyou γ ( h) olmak üzere ile + h arasıdaki korelasyo serii ookorelasyou olarak biliir ve Cov(, + h) γ ( h) ρ( h) = = (.) Var( ) Var( ) γ (0) + h ile göserilmekedir. Yukarıda (.) ile verile ρ ( h) serii eorik ookorelasyoları olup, verile herhagi bir öreklem içi öreklem ookovaryasları h ˆ( γ h) = ( )( + h ) (.3) h = şeklide hesaplaır. Öreklem ookovaryasları, Yule-Walker, e çok olabilirlik ve e küçük kareler yöemleri ile değişik olarak hesaplaabilir. Öreklem ookovaryasları yardımı ile öreklem ookorelasyoları ˆ( γ h) ˆ( ρ h) = (.4) ˆ(0) γ 7
olarak hesaplaır ve burada ˆ(0) γ serii öreklem varyasıdır. Yai ˆ(0) γ = ( ) (.5) = dir. Herhagi bir zama serisi içi kısmi ookorelasyolar i,,..., h üzerie regresyou yapıldığıda h i regresyo kasayısı h ici kısmi ookorelasyodur ve φ ( h) ile göserilir. Yai, h ae kısmi ookorelasyo bulabilmek içi h defa regresyo modeli oluşurmak gerekir. Eğer kısmi ookorelasyolar belli bir okada sora sıfır oluyorsa (veya alamlı olarak sıfıra yakısa) bu ür seriler ooregresif serilerdir. Verile herhagi bir serii kısmi ookorelasyolarıı hesaplamak içi regresyo ekiklerii kullaılması uzu işlem gerekirmekedir. Ayrıca kısmi ookorelasyoları bazılarıı sıfır olup olmadığıı sıaması gerekebilir. Dolayısıyla regresyo paramerelerii ahmi edicilerii asimpoik dağılımlarıa ihiyaç duyulur. Faka ayı kısmi ookorelasyolar daha öce elde eiğimiz ookorelasyolar yardımı ile de buluabilir. Kısmi ookorelasyolar, P h marisi P h ρ ρ L ρ ρ ρ L ρ M M M M M ρh ρh ρh 3 L h h = şeklide olmak üzere P h marisii so süu vekörü c ρh ρh = (,,...,) yerie = (,,..., ) yazılarak P h marisi elde edilir. a ρ ρ ρ h P ρ ρ L ρh ρ ρ ρ ρ ρ L M ρh ρh ρh 3 L ρ ρh h 3 h = Burada da verile bir zama serisii h ici kısmi ookorelasyou 8
de( Ph ) φ( h) = (.6) de( P ) h formülü ile de hesaplaabilir. Burada, de( P h), P h marisii deermiaıı gösermekedir (Wei 990). Durağalık zama serisi aalizleri içi oldukça öemli olmasıa rağme, ikisadi zama serileri geellikle durağa değildir ve red, kojekürel dalgalamalar, mevsimsel dalgalamalar ve değişe harekeler gibi zama serilerii ekileye birakım fakörler içerir (Nelso ad Plosser 99). Bularda uygulamada daha çok üzeride durula fakörler red ve mevsimsel dalgalamalardır. Öreği ikisadi bir zama serisi red usuruda dolayı durağa değilse, bu durumda durağa olmama durumuu deermiisik redde mi, yoksa sokasik redde mi kayakladığıı belirlemesi gerekmekedir. Serilerde deermiisik bir red varsa, seriyi redde arıdırmak içi, zama usuru modele dahil edilmeli ve bu işlem soucuda rede arıdırılmış serilere koiegrasyo aalizi uygulamalıdır. Tred sokasik ise, bu serileri durağa hale geirmek içi fark alma işlemi uygulamakadır. Durağa olmaya bir ikisadi serisii d defa farkı alıır ve bu işlem soucu seri durağa hale gelirse, bu seriye I(d), d ici sırada farkı alımış seri deir. Durağa hale geirilmiş bir seri I(0) dır. Fark alma yöemii kullaımı oldukça basi olmakla birlike, fark alma işlemii kaç kez yieleeceğii belirlemesi bir soru oluşurmakadır. Geellikle birici ya da ikici derecede ardışık farklar, durağalığı sağlaması içi yeerlidir (Mei 993)..3 Harekeli Oralama Serisi (MA) Durağa zama serilerie e basi örek harekeli oralama serileridir Eğer bir { : } e Τ zama serisi E( e ) = 0 ve ookovaryas foksiyou 9
σ, h= 0 γ e( h) = 0, d. d. (.7) şeklide ise { e : T} serisie beyaz gürülü süreci (whie oise) deir (Fuller 976). Praike, bağımsız ayı dağılıma sahip rasgele değişkeleri bir dizisi beyaz gürülü serisi olarak alımakadır. Faka bazı isaisiki souç çıkarımlar sırasıda ormallik varsayımı da yapılmakadır. Taımda da görüleceği gibi beyaz gürülü süreci { e } durağa bir süreçir. Bu süreci ookorelasyo foksiyou, h= 0 ρ ( h) = 0, h 0 ve kısmi ookorelasyo foksiyou ise, h= 0 φ( h) = 0, h 0 şeklidedir. Buda sora aksi söylemedikçe edilecek ve e WN( 0, σ ) ( 0, ) göserimi kullaılacakır. e ler beyaz gürülü serisi olarak kabul e WN σ, µ serii oralaması, q solu bir doğal sayı ve β 0 olmak üzere q cu derecede harekeli oralama serisi, q q µ = β e + e =,,..., (.8) j j j= şeklidedir ve MA( q) ookovaryas foksiyou, şeklide göserilir. MA(q) harekeli oralama serisii 0
γ ( h) x q h σ β jβ j+ h 0 h q = j= 0 (.9) 0 d. d. şeklide yazılır. Burada ookorelasyo foksiyou, ρ 0 h q = (.0) 0 d. d. q h q β jβ j+ h β j x( h) j= 0 j= 0 şeklide olacakır. Herhagi bir harekeli oralama { : T} zama serisii varyası, ookovaryas ve ookorelasyo foksiyou de bağımsızdır. Dolayısıyla harekeli oralama serileri her solu q içi durağadır. MA serileride ookorelasyolar belli bir gecikmede sora sıfır olur, kısmi ookorelasyolar ise mulak değer içide üsel olarak azalır. Ookorelasyolar ile hesaplaabile kısmi ookorelasyoları grafikleri çizilerek serii modeli hakkıda sezgisel olarak bir fikir ediilebilir.
.4 Ooregresif Seri (AR) Bir zama serisi kedi gecikmeli değerlerii bir foksiyou şeklide ifade ediliyorsa, ooregresif seri (AR, Auoregresive process) olarak aımlaır. Yai bu modelde serii şimdiki değerleri geçmiş değerleride ekileir. AR(p) serileride p serii derecesii göserir, p ici derecede bir ooregresif zama serisi modeli; p ( ) =,,..., (.) µ = α µ + e i i i= şeklide aımlaır. Burada ( k k) serii beklee değeri ve e WN( 0, σ ) dir. Ooregresif sürecii ookovaryas ve ookorelasyo foksiyoları Yule-Walker deklemleride γ ( h) = αγ ( h ) + α γ ( h ) +... + α γ ( h p) ρ( h) = α ρ( h ) + α ρ( h ) +... + α ρ( h p) p p şeklide elde edilir. Bu serileri ookorelasyoları üsel olarak azalmaka ve kısmi ookorelasyolarda belli bir yerde sora sıfır olmakadır. Bu serileri durağa olup olmadığıı araşırılması içi beklee değer ve kovaryası zamaa bağlı olup olmadığıı araşırılması gerekir. Ooregresif zama serileride durağalık, m p p p i αim = 0 (.) i= deklemi ile verile serii karakerisik deklemii köklerie bağlıdır. Serii durağa olabilmesi içi (.) de verile karakerisik deklemi büü köklerii mulak değerce de küçük olması gerekir. Yai serii karakerisik deklemii kökleride e az bir aesi mulak değerce veya de büyükse seri durağa değildir.
.5 Ooregresif Harekeli Oralama Zama Serileri (ARMA) ARMA modeli, ooregresif ve harekeli oralama modellerii karışımı olup bir ARMA (p, q) serisii θq 0 ve φp 0 olmak üzere, p q ( ) (.3) µ = φ µ + e + θ e j j i i j= i= şeklide ifade edilir. Bu modelde p serii AR kısmıı model derecesii, q da serii MA kısmıı model derecesii gösermekedir. ARMA serisii ookovaryas foksiyou γ ( h) = φγ ( h ) + φ γ ( h ) +... + φ γ ( h p) (.4) p şeklide hesaplaır. Ookorelasyo foksiyou ise γ ( h) ρ( h) = eşiliğide yararlaarak γ (0) ρ( h) = φρ( h ) + φ ρ( h ) +... + φ ρ( h p) (.5) p şeklide buluur. ARMA(p,q) modelii ookorelasyo foksiyou q gecikmesie kadar hem ooregresif hem de harekeli oralama paramerelerie bağlı olarak değer alırke q gecikmeside sora sadece ooregresif serii paramerelerie bağlı olarak sıfıra yaklaşır (Wei 990)..6 Mevsimsel Zama Serileri Birçok icari ve ekoomik zama serisi mevsimsel davraışlar sergilemekedir. Mevsimsel harekeler zamaı belirli periyolarıda kediliğide gerçekleşmekedir. Daha açık bir ifadeyle mevsimsellik, zama serisii zamaı belirli aralıklarıda belirli sayıda epe ve dip değerleri içermesidir. Mevsimselliği oluşmasıdaki ekeler üç sııf içeriside oplaabilir. 3
i) Hava durumu; yai, sıcaklık, yağış, güeş ışığıda faydalama saai vb. ii) iii) Takvimsel olaylar, dii veya milli bayramlar vb. Karar verme zamaları; yai okul ailleri, iş sekörü ailleri, vergi yılları, hesap döemleri, kar payı veya maaş ödeme döemleri Bu ekelerde bazıları uzu döemde değişim göserirke bazıları da kesikli zama aralıklarıda değişim gösermekedirler (ailler, vergi yılları gibi). Bu ekilerde bazılarıı e zama olacakları ahmi edilebilmeke, bazıları ise ahmi edilememekedir (hava durumu gibi) (Hylleberg 99). 4
3. BİRİM KÖK ANALİZİ VE TESTLERİ 3. Birim Kök Kavramı Zama serileri aalizlerii gelişmesi ile ekoomi ve fias eorileride meydaa gele değişmeler yei kavramları oraya çıkmasıa sebep olmuşur. Birim Kök kavramı da bularda biridir. MA serileri her zama durağadır. Faka AR zama serileride durağalık serii (.) deki karakerisik deklemi köklerie bağlıdır. Karakerisik deklemi büü kökleri mulak değerce de küçük ise seri durağadır. Eğer köklerde e az bir aesi mulak değerce veya de büyük ise seri durağa değildir. Kökleri de büyük olması sıkça karşılaşıla bir durum değildir, ama kökleri mulak değerce olması durumu ile çok karşılaşılmakadır. Bu ür seriler birim köklü seriler olarak adladırılmakadır. Bu kouda çok değişik meolar avsiye edilmesie rağme Dickey ve Fuller (979) i öerdiği paramereleri e küçük kareler ahmi edicisii dağılımıa dayaa es meodu oldukça yoğu kullaılmaka ve eredeyse sadar birim kök es yöemi halie gelmişir (Akdi 003). 3. Dickey-Fuller Tesi Zama serileride birim kökü veya durağalığı es emeke değişik meolar vardır. Bularda uygulamada e çok kullaılaı paramereleri e küçük kareler ahmi edicisii birim kök varsayımı alıdaki dağılımıa dayaa Dickey-Fuller yöemidir. Dickey-Fuller birim kök esleri zama serilerii birim kök içerip içermediğii sıamak içi gelişirile ilk biçimsel esir. Dickey-Fuller esleri seri birim köke sahipse ve bu durum fark alma işlemiyle orada kaldırılabiliyorsa uygudur. Birici derecede bir ooregresif zama serisi modeli, (0, ) olmak üzere e WN σ = + e =,,3,..., (3.) ρ şeklide verilmiş olsu. Burada ρ u e küçük kareler ahmi edicisi, 5
ˆ ρ = = = (3.) şeklidedir. Burada 0 = 0 başlagıç koşulu alıda (3.) deklemi (3.) deklemide yerie yazılırsa ˆ ρ = = ( ˆ ρ ρ) = ( ρ + e ) = = = e (3.3) olmakadır, ˆ ρ e küçük kareler ahmi edicisii uarlı bir ahmi edicisi olması ve asimpoik dağılımı elde edilebilmesi içi, e ve hızlarıı belirlemesi gerekir (Box 994). = = isaisiklerii yakısama Serii durağa olması durumuda yai ρ < ise ( ˆ ρ ρ) i limi dağılımı ormaldir (Dickey ad Fuller 979). Çükü = e = O ( ) P ve = = O ( ) P dir. 6
D e N(0, p ) (3.4) = olmakadır. Yukarıdaki (3.3) deklemi pay ve paydası ile çarpılır ve gerekli düzeleme yapılırsa Burada, içi, ˆ ρ = ρ+ ˆ ρ ρ = = = = = e e (3.5) dir. Yai bu ifade O p () dir. Dolayısıyla ( ˆ ρ ρ) isaisiğii asimoik dağılımı oralaması sıfır, varyası ρ ola ormal dağılımdır. Yai asimoik dağılım ˆ N şeklidedir. Eğer (3.) serisi durağa değilse ( ρ = ) (3.5) D ( ρ ρ) (0, ρ ) deki deklemi pay ve paydası e = O ( ) e = O () p p = = ve ( ) () = Op = Op = = (3.6) şeklide olmakadır. Yie (3.5) değerii pay ve paydası bu defa düzeleme yapılırsa ile çarpılır ve gerekli 7
8 ˆ e e ρ ρ = = = = = = (3.7) halie döüşmekedir ve e = = (3.8) ifadesi sıırlıdır. Dolayısyla ρ = olması durumuda ˆ ( ) () p e O ρ = = = = (3.9) isaisiği elde edilmekedir. Dickey ve Fuller (979) da yukarıdaki isaisiği limi dağılımı 0, 5( ) ˆ ( ) D T ρ Γ (3.0) şeklide vermişlerdir. Ayrıca bu dağılım içi ablolar oluşurulmuş ve bu ablolar serii birim köklü olup olmadığıı es edilmeside kullaılmakadır. Eğer ρ > ise ˆ ( ) ( ) ρ ρ ρ ρ ρ i limi dağılımı Cauchy dir (Dickey ad Fuller 979).
Durağa olmaya zama serileri içi H : 0 ρ = hipoezii eside kullaıla isaisiğii dağılımı egaif olarak sola çarpıkır. Buu soucu olarak sol uçaki kriik değerler, geleeksel sude dağılımıda daha küçük olabilmekedir. Buu dağılımı sadar dağılımı olmadığıda limi dağılımı aşağıdaki üç ayrı model içi ) ρ e = + modeli içi ( ˆ ) e ) ( µ ) ρ ( µ ) ρ veya ˆ τ = + modeli içi ( ˆµ ) ρ veya τ ˆµ 3) ( α α ) ρ( α α ) = + e 0 0 modeli içi ( ˆ ) ρτ veya τ ˆτ sırasıyla τ, τµ, τ τ olmakadır (Eders 995). Oralaması sıfır olarak alıa = ρ + e modelide kullaıla τ isaisiği ( ˆ ρ )( ) = ˆ τ = S S = = e e / ( ˆ ρ ) ( ) (3.) olarak verilmekedir (Dickey ad Fuller 979). Serii oralaması sıfırda farklı olduğu durumda yai seri sabi erim içeriyorsa ( µ ) = ρ ( µ ) + e modelie göre ρ u e küçük kareler ahmi edicisi ˆ ρ µ = = ( )( ) () (0) = ( ) () (3.) 9
olarak hesaplamakadır. Burada i=0, içi ( i) ( ) = = şeklidedir. Bezer şekilde τ ˆµ isaisiği ˆ τ µ ( ˆ () ) ( ρ ) = (3.3) = S e olmakadır (Fuller ad Dickey 979). Buları da limi dağılımları sırasıyla ρ µ ve τ µ olmak üzere ablolar Fuller (976) da verilmekedir (Dickey ad Fuller 979). Tablolar icelediğide ττ < τµ < τ ilişkisi görülmekedir. Burada < daha güçlü alamıda kullaılmakadır. Yai τ, τ µ ye göre ve τ µ de τ τ ya göre daha güçlüdür (Dickey e al. 986). Serii durağa olup olmadığıı es emek içi yai H : 0 ρ = hipoezii es edilmesi isediğide hesaplaa ˆ τ veya yokluk hipoezi reddedilmekedir. Yai ( ˆ ρ ) isaisiğii değeri kriik değerlerde küçük ise τ serisi durağa olmakadır. AR () seriler içi kısaca özelemek gerekirse, = + e A) Model : ( µ ) ρ ( µ ) B) H : 0 ρ = hipoezii es edilmesi i) ρ = ise µ modelde düşer ve ögörüler oralamaya yaklaşmaz. ii) Tes isaisiğii aldığı değeri hesaplayabilmek içi, her iki arafa da çıkarılır. Yai model ( ρ ) = + e şeklide yazılır. Burada D = birici derecede farklar hesaplaır. 0
iii) D leri ve üzerie regresyou yapılır ve bu regresyo modelide i kasayısıı 0 olduğuu es emek içi duruma göre ( ρ ˆ ) isaisiğii kriik değeri ile karşılaşırılır. iv) Durum yüksek derecede modeller içide geçerlidir. C) Tredde arıdırma i) D = değişkeii üzerie regresyou yapılır. ( α 0 yok) ii) D = değişkeii üzerie regresyou yapılır. ( α 0 dahil) karşılaşırılır. iii) D = değişkeii, ve üzerie regresyou yapılır. Her üç regresyo modeli içide duruma göre ( ρ ˆ ) isaisiğii kriik değeri ile D) Yüksek Derecede Modeller i) Model: ( µ ) = α ( µ ) + α ( µ ) + L + α p ( p µ ) + e ii) Karakerisik deklem: m m m = p p p α α L α p 0 iii) Eğer m= ise α α L α p = 0 dır ve µ modelde çıkar. iv) Birim kök esi yapmak içi D = ve D, D,..., D p hesaplaır. v) D değişkei,, D, D,..., D p i kasayısıı ( α α α p ) üzerie regresyou yapılır ve L sıfır olup olmadığı ( ˆ ) (veya ˆ τ ), ürü dağılımları kriik değerleri ile karşılaşırılır. ρ,
3.3 Gelişirilmiş Dickey-Fuller Tesi Verile herhagi bir AR( p ) serisii AR () olarak modellemesi haa erimleride ookorelasyolara sebep olacakır. Dolayısıyla, verile herhagi bir serii durağalığıı araşırmak içi DF esii kullaılması başlagıça geçersiz olacakır. Çükü e leri beyaz gürülü süreci olması varsayımı bozulmakadır. Faka verile bir birim köklü herhagi bir AR( p) serisi içi de DF esi uygulamakadır. Bu durumda da verile bir serisii, p = α + β + e (3.4) j j j= şeklide yazılması durumuda H :{ 0 serisi birim köklüdür} yokluk hipoezi H0 : α = 0 hipoezii es edilmesi ile ayı olacakır. Buu içi i,,..., p üzerie regresyouu yapılması durumuda i kasayısıı e küçük kareler ahmi edicisii aldığı değer hesaplaır ve ˆ ˆ α τ = (3.5) S ˆ α es isaisiği (veya τ µ, τ ) kullaılır. Kısaca özelemek gerekirse, zama serisii gecikmeli değerlerii kullaarak arıklar arasıdaki ookorelasyou orada kaldıra bir es ola Gelişirilmiş Dickey-Fuller esii uygulaması Dickey-Fuller esiyle ayıdır. Bu esi uygularke dikka edilmesi gereke e öemli oka uygu gecikme kasayısıı belirlemesidir. Uygu gecikme kasayısı belirleirke Akaike Bilgi Krieri (AIC) veya Schwarz Bayesia Krieri (SBC) krierleride yararlaılmakadır. AIC veya SBC isaisikleride biri içi e küçük AIC (veya SBC) değeri e uygu model olarak kullaılmakadır (Fuller 976).
3.4 Phillips-Perro Tesi (PP) Dickey-Fuller es yöemie bir seçeek yaklaşım da Phillips ve Perro (988) da gelmişir. Gelişirilmiş Dickey-Fuller isaisiği, haa erimi e i ayı ve bağımsız dağılması varsayımıa dayalıdır faka Phillips ve Perro (988) bu isaisiği, e erimi bağımlı ve değişe varyaslı ike icelemişlerdir. Böylesie geel koşullar alıda e içi veri üreme süreci solu derecede ARIMA ( p, d, q ) modelleri gibi geiş kapsamlı seçeeklere sahip olabilmekedir. Phillips ve Perro (988), aşağıda göserile iki regresyo modelii ele almışlardır. x ˆ ˆ = µ + α x + u x = % µ + % β ( (/ ) ) + % α x + u% (3.6) (3.6) umaralı deklemlerdeki ( ˆ, ˆ) µ α ve ( µ, % β, % α) kareler ahmi edicileridir.. Burada ( k k) isaisikleri, % paramereleri bilie e küçük { } ( ) ( ) ( ˆ α α) /( S% C3) / / ˆ x x / Sˆ µ = α α = (3.7) şeklide bulumakadır. Burada Ŝ, redi bulumaya regresyo modelii; S% ise red erimi içere regresyo modelie ilişki sadar haa olmakadır. Ayrıca C 3, ( ) marisii üçücü aa köşege öğesi olmakadır. sürecide üreildiği düşüüldüğüde α = olmakadır. zama serisi, rasgele yürüyüş Öe yada, öreklem büyüklüğü olmak üzere = dir. Dolayısıyla Phillips-Perro Tesi i işlemi, Dickey-Fuller isaisiklerii hesaplamayı ve sora haa erimlerii akibe ARIMA( p, d, q ) sürecide gele ek paramereler (addiioal uisace parameers) üzerideki limi dağılımıı bağımlılığıı yok emek içi τ µ ve τ 3
isaisiklerii bazı paramerik olmaya düzelmeleri kullamayı içerir. Bu düzelmelere karşılık gele göserimler sırasıyla Z ( µ ) τ ve ( ) Z τ şeklidedir. β = ile = β0+ β+ γ + e eegrasyo modeli içi, Phillips ve Perro (988), 0 ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ Z τ µ = ( S / STm ) µ 0.5( S m S ) S m ( ) (3.8) deklemii aımlamakadır. Burada, öreklem geişliği ve m ahmi edile ookorelasyo sayısı olmakadır. Ayrıca, / = ( ) S, arıkları öreklem varyası, τ µ, = β0+ β+ γ + e regresyo modelideki γ ile ilgili isaisiği ve ˆ S ise, m m ˆ ˆ m = + sm s = s= = s+ (3.9) Sˆ e W e e şeklide ahmi edile olarak aımlamakadır. Newey ve Wes (987), ˆ S erimii özelliklerii ve (3.9) umaralı eşiliği asıl elde edildiğii ayrıılı bir şekilde m gösermişlerdir. Bu edele, ˆ S erimie Newey ve Wes düzelmesi de demekedir. m (3.9) umaralı deklemdeki e erimi = β0+ β+ γ + e modelideki arıklardır ve W sm, ( ) Wsm = s / m+ s=,,...,m (3.0) olmakadır ve S m varyasıı ahmii poziif olmasıı sağlar. = β0+ β+ γ + e deklemide β 0 ike, bua karşılık gele isaisik, 4
3 / ( τ ) ( / ) ( ) { 4 [3 ] } Z = S S S S S D (3.) m m m xx olmakadır. Burada S ve S m yukarıdaki aımlarla ayıdır, faka ek fark, = β0+ β+ γ + e deklemide β 0 olmasıdır. değişkeleri çapraz çarpım marisii deermiaıdır ve D xx modeldeki bağımsız D = [ ( ) /] ( ) ( + ) xx [ ( + )(+ ) / 6]( ) (3.) dır. Phillips-Perro isaisikleri Dickey-Fuller ve Gelişirilmiş Dickey-Fuller isaisikleriyle ayı limi dağılımıa sahip olmaka ve Dickey-Fuller abloları Phillips- Perro isaisikleri içi de kullaılabilmekedir (Kadılar 000). 3.5 DHF ve HEGY Tesi Mevsimsel serilerde birim kökü varlığı birçok ikisadi probleme sebep olmakadır. Bu sebeple, seride mevsimsel birim kökü varlığıı sıaması öemlidir. Bu kouda praike çok kullaıla iki yöem DHF (Dickey, Hazsa ve Fuller) ve HEGY (Hylleberg, Egle, Grager ve Yoo) yöemleridir. DHF esii kısaca açıklamaya çalışalım. d mevsimsellik derecesii gösermek üzere, mevsimsel ooregresif zama serisi modeli kısaca, = + e =,,... (3.3) αd d şeklide yazılabilir. Burada, H : 0 α = ise seri mevsimsel birim köklüdür. Bu yokluk d hipoezii es içi, Dickey e al. (984) koşullu e küçük kareler ahmi edicileri öermişlerdir. α d i koşullu e küçük kareler ahmi edicisi, d = % d = (3.4) ( + d ) = α 5
olarak öerilmişir. Bu hipoezi es emek içi, sadar birim kök eside olduğu gibi aşağıda verile -ürü isaisik kullaılmakadır. Bu es isaisiğii ablo değerleri Dickey e al. (984) de verilmişir. Burada, / / ˆ d d S αd = ˆ τ = ( + ) ( ) (3.5) olup = ( ) ( ˆ ) ( ˆ αd d + d αd ) = S (3.6) dir (Dickey e al. 984). Diğer bir meo ise Hylleberg e al. (990) u öerdiği ve uygulamada HEGY esi olarak bilie yöemdir. Bu yöem = ( B ) = π + π + π + π + e (3.7) 4 4,, 3 3, 3 3, şeklide bir yardımcı regresyo çözümlemesie ihiyaç duymakadır (Hylleberg e al. 990). Burada; = + B+ B + B, θ = / 4,/,3/ 4 frekaslarıdaki birim 3 ( ) köklerde arıdırılmış bileşe; = B+ B B, θ = 0,/ 4,3/ 4 frekaslarıdaki 3 ( ) birim köklerde arıdırılmış bileşe; = B de θ = 0,/ frekaslarıdaki 3 ( ) birim köklerde arıdırılmış bileşelerdir (Hylleberg e al. 990). Regresyo deklemie açıklayıcı değişke olarak kaıla bu bileşeler, birim kökü frekasıı belirlemesie yardımcı olmakadır. Yai, regresyo deklemideki değişkeii kasayısı içi H0 : π = 0 hipoezii H a : π < 0 aleraifie karşı red edilememesi serii 0 frekasa birim köklü olduğu alamıa gelmekedir. Bezer şekilde, H0 : π = 0 hipoezi H a : π < 0 aleraifie karşı red edilemez ise seri / frekasa birim köke sahipir. Kompleks kökler içi, π 3 ve π 4 paramerelerii her ikisii de sıfıra 6
eşi olup olmadığı es edilmelidir. H0 : π = 0 ve H0 : π 3 = π 4 = 0 hipoezlerii red edilememesi serii mevsimsel birim köklü olduğuu gösermekedir (Hylleberg e al. 990). Regresyo deklemie, bağımlı değişke B 4 ( ) i gecikmeli değerlerii kaılması, dağılım üzeride herhagi bir eki yaramamakadır. Ayrıca, regresyo deklemie sabi erim (iercep), mevsimsel kukla (seasoal dummy) değişke ve red gibi deermiisik erimler de ekleebilmekedir. Regresyo deklemi red, sabi erim ve kukla değişke içerdiğide dağılımı kriik değerleri değişmekedir (Hylleberg e al. 990). Mevsimsel zama serileride öcelik, uygu fark almaı ve uygu döüşümü belirlemesidir. Ookorelasyo ve kısmi ookorelasyo grafikleride model derecesi belirleebilir. Ookorelasyo foksiyou bazı durumlarda periyodik olarak ara yada azala bir davraış göserir. 7
4. KOİNTEGRASYON ANALİZİ 4. Koiegrasyo Kavramıa Geel Bakış Ekoomii çeşili alalarıdaki uygulamalarda durağa olmaya zama serileri arasıdaki ilişkileri çözümlemek içi kullaıla koiegrasyo aalizi bir yöem olarak lieraürde yer almakadır. Koiegrasyo meodu zama serilerii durağa olmamaları durumuda regresyo souçlarıı haalı olabileceği düşücesiyle bir çözüm geirmek amacıyla gelişirilmişir. Bu gibi durumlarda zae oraları ve diğer isaisiklerle regresyo modelii değerledirmei haalı souçlar doğuracağı görüşü oldukça yaygıdır (Köse 998). Zama serisi verileri kullaılarak yapıla ekoomerik aalizlerde karşılaşıla öemli sorularda biri de durağa olmaya değişkeleri modelde sahe regresyoa sebep olmalarıdır. Durağalığı sağlamak içi yapıla fark alma işlemi seride geçmiş döemlere ai şokları ekisii yaıda, uzu döemli ilişkileride orada kalkmasıa ede olmakadır. Koiegrasyo aalizi, ikisadi değişkelere ai serileri durağa olmadığı durumlarda bu serileri doğrusal birleşimii durağa olabileceği ve buu ekoomerik olarak belirleebileceğii gösermekedir. Ekoomide uzu döem dege ilişkisii varlığıı sapamasıda ve es edilmeside kullaılır (Erek 996). Bu kavramla ilgili olarak üç öemli oka karşımıza çıkmakadır. Bular;. Koiegrasyo durağa olmaya değişkeleri doğrusal kombiasyou ile ilgilemekedir.. Büü değişkeler ayı derecede büüleşik olmalıdır. Bu koşul ayı derecede büüleşik ola büü değişkeleri koiegre olacağı alamıa gelmemekedir. 3. Koiegrasyou gerçekleşire vekör sayısı modelde yer ala değişkeleri sayısıı e fazla bir eksiği (-) ile belirlemekedir. 8
Değişkeler arasıdaki koiegrasyo ilişkisii varlığıı sapaabilmesi içi birçok yöem ve es gelişirilmişir. Bu çalışmada Egle-Grager ve Johase eslerie yer verilecekir. Souç olarak, koiegrasyo kısaca ekoomi ile ilgili seriler arasıdaki uzu döemli ilişkii varlığıı isaisiksel olarak göserimidir. 4. Koiegrasyo Taımı Koiegrasyo aalizi, ayı sırada büüleşik zama serileri arasıda uzu döemli bir ilişki olup olmadığıı oraya çıkarmak içi gelişirilmiş bir yöemdir. Bu yöem, düzey değerleride durağa olmaya, acak ayı derece farkları alıdığıda durağa hale gele serileri, orjial değerlerii aalizde kullaılmasıa imka vermekedir. Fark alma işlemi sadece serii aşıdığı kısa döemli ilişkileride orada kalkmasıa ede olmakadır. Dolayısıyla fark alma işlemiyle durağalaşırılmış seriler arasıdaki regresyo aalizleri, uzu döeme ai bilgileri fark alma işlemi sırasıda kaybolması edeiyle herhagi bir uzu döem ilişkisi vermeyecekir. Bu edele koiegrasyo yöemi fark alma yoluyla değişkeler arasıda kısa ve uzu döemli bilgileri kaybolmaması açısıda avaaj sağlaya bir yöemdir. Ayrıca, her bir eşbüüleşik serii haa düzelme modelii kurulabilmesi, uzu ve kısa döem ilişkileri ayır eme imkaı sağlamakadır. Zama serisi değişkelerii koiegrasyo özellikleri, modeli aımlama aşamasıda uygulamalı çalışmaları yapılmasıı ve bazı ekoomik hipoezleri es edilmesii sağlar. Zama serileride koiegrasyou isaiksel göserimi, uzu döem dege ilişkilerii eorik göserimie karşılık gelir. İhala, ihraca, eflasyo, faiz oraı, fiya, ücre ve kamu harcamaları gibi değişkeler, uzu döem dege ilişkilerii araşırılabileceği ekoomik değişkelerde birkaçıdır. 4.3 Koiegrasyo Aalizide Kullaıla Tesler Ekoomik değişkeler arasıdaki ilişkileri icelemek amacıyla, durağa olmaya zama serileri kullaılarak yapıla çalışmalarda koiegrasyo aalizi bir çözüm yöemi olarak 9
karşımıza çıkmakadır. Lieraürde koiegrasyo aalizie ilişki çeşili esler ve bu esleri dayadığı çeşili ahmi yöemleri bulumakadır. Buları iki grupa icelemek mümküdür. Birici grupa yer alalar, ek deklemli modele, ikici grupakiler ise bir deklemler sisemie dayamakadır. Tek deklemli modelde koiegrasyo ilişkisii ahmii, e küçük kareler yöemie dayamakadır. Burada koiegrasyou varlığıı espi edilebilmesi içi kullaıla çok sayıda es bulumakadır. Eğer koiegrasyou gerçekleşire birde fazla vekör mevcu ise bu durumda çok değişkeli yöemler geçerli olmakadır. Tek dekleme dayalı koiegrasyo aalizi, yöem olarak Egle Grager arafıda gelişirilmiş, daha sorada Johase arafıda çoklu koiegre vekörleri ahmi emek amacıyla (VAR modelde) e çok olabilirlik yöemie dayaa bir yöem gelişirilmişir. 4.4 Koiegrasyo Vekörüü Tahmii ve Egle-Grager Tesi Tek değişkeli zama serileri kedi geçmiş değerlerii bir foksiyou olarak karşımıza çıkmakadır. Faka herhagi bir zama serisi kedi geçmiş değerleri ile birlike başka değişkeler ve geçmiş değerlerie de bağlıdır. Bu ip zama serileri çok değişkeli zama serileri olarak adladırılır. Çok değişkeli zama serileride emel amaçlarda biri o serii bileşeleri arasıdaki ilişkii belirlemesidir. Tek değişkeli zama serileride olduğu gibi durağalık e emel kavramlarda biridir. Bazı durumlarda çok değişkeli bir seri durağa olmamasıa rağme, herhagi bir lieer döüşüm ile durağa hale gelebilir. O zama, bu seriye koiegrasyoludur demekedir. Çok değişkeli serilere e iyi örek Vekör Ooregresif Seriler (VAR) verilebilir. Birici derecede bir vekör ooregresif zama serisi e WN(0, V ) olmak üzere % = A + e % % =,,..., (4.) şeklide verilmekedir. Burada V beyaz gürülü serisii varyas-kovaryas marisii, A da modeli paramere marisii gösermekedir. 30
Durağa olmaya herhagi bir = (,,..., ) serisi içi öyle bir β vekörü varsa, % % öyle ki β durağa oluyorsa, serisie koiegrasyoludur deir ve β vekörüe % % % % (veya marisie) de koiegrasyo vekörü deir. Koiegrasyo vekörü bir paramere vekörüdür ve bu paramere vekörüü ahmi edilmesi gerekir. Acak koiegrasyo vekörü ek değildir. Ou içi birbirleride lieer bağımsız koiegrasyo vekörlerii sayısı (varsa) öemlidir. Öreği bir VAR() modeli; = A + e % % =,,..., (4.) verilmiş olsu. Eğer bu seri durağa değilse, durağa hale geirmek içi ilk akla gele birici derecede fark almakır. Yai her iki arafa da % çıkarılırsa modelimiz = = ( A I ) + e % % % olarak elde edilir. Eğer π = ( A I) deirse model = e % % π şeklide yazılır. Buradaki π marisi ( k k) boyuuda rakı r ola bir marisir. Yai rak( π ) = r olsu. Bua göre; i) Eğer r= k ise seri durağadır. ii) Eğer r= 0 ise seri durağa değildir. Ayrıca serii hiçbir lieer birleşimi de durağa değildir. Yai sisem koiegrasyolu değildir. iii) Eğer 0< r< k ise öyle α ve β vekörleri vardır ki, π = αβ % % % % şeklide yazılır. 3
Öyle ki, Z =β durağadır. Diğer arafa α vekörüe dik herhagi bir vekör α % % % % % olmak üzere W =α birim köklüdür. Dolayısıyla durağa olmaya herhagi bir seri, % % durağa ve durağa olmaya serileri bir birleşimi şeklide yazılabilmekedir. İki boyulu birici derecede durağa olmaya bir vekör ooregresif zama serisi, olmaya (birim köklü) bir seriyi ve S de durağa bir seriyi gösermek üzere; U durağa = a U + a S %, = a U + a S %, a şeklide yazılabilir. Verile eşilikler göz öüe alıdığıda, yi % a eşiliğide çıkarığımızda; (4.3) ile çarpıp,, % a a = a a S % %, a a (4.4) olup, S durağa olduğuda dolayı herhagi bir sabi reel sayı ile çarpılması durağalığı a ekilemez. Dolayısı ile % a % a ahmi emek içi a,, serisi durağadır. Burada koiegrasyo vekörüü oraıı ahmi edilmesi yeerlidir., serisii, üzerie % % regresyou yapıldığıda elde edile arıklar serisie bezemekedir. Yai,, = β, + e, % % =,,3,..., regresyo deklemide elde edile arıkları serisi durağa ise seri koiegrasyoludur. Bu ahmi edicii, asimpoik özellikleri Egle ve Grager (987) ve Sock ve Waso (993) arafıda icelemişir. Bu meod lieraürde Egle ve Grager meodu olarak bilimekedir., serisii, üzerie regresyouda β ı e küçük % % kareler ahmi edicisi, 3
ˆ = = β % % =,, %, olmak üzere,,, = + P = % % = a a U O (/ ) ve, = + P = % = a U O (/ ) dir. Burada da, ˆ a = = + O (/ ),, = % % β a, = % P elde edilir. Eğer O (/ ) erimi ihmal edilirse, P Z = ˆ β = ( a U + a S ) a ( a U + a S ) = CS,, % a (4.5) durağa serisi elde edilmekedir (Akdi 003). Yai regresyo, koiegrasyo vekörüü bulmakadır ve bu vekör, ( ˆ β,) dir. Diğer arafa Egel ve Grager, verile herhagi bir serii koiegrasyolu olup olmadığıı sıamak içi Durbi-Waso es isaisiğie dayalı bir es de gelişirmişlerdir. Faka bu es Geişleilmiş Dickey-Fuller (Augmeed Dickey Fuller) esie yakı souçlar vermekedir. Verile herhagi iki serii kaoik formu, 33
Z Z = Z + η,,, = ρz + η,,, (4.6) şeklide olmak üzere, ρ = ise seri iki birim köklü bir zama serisi olup hiçbir koiegrasyo ilişkisi yokur. Dolayısı ile elde edile arıklar serisii birim köklü olup olmadığıı Geişleilmiş Dickey Fuller meodu ile sıadığıda eğer arıklar serisi birim köklü ise seri koiegrasyolu değildir. Birim kök hipoezi red edilirse seri koiegrasyoludur ve koiegrasyo vekörü ( ˆ β,) dir. 4.5 Johase Yöemi ve Tesi Koiegrasyo vekörüü ahmi edilmesi ve serii koiegrasyolu olup olmadığıı sıaması kousudaki çalışmalarda biride Johase (988) ı öerdiği koşullu e çok olabilirlik yöemidir. Johase (988), arafıda öerile yaklaşımı kullaılmasıı iki ae edei vardır. i) İlgileile değişkeler içi koiegrasyo vekörlerii sayısıı belirlemek. ii) Koiegrasyo vekörüü ve ilgili paramerelerii e çok olabilirlik ahmilerii elde emek. Johase meoduda, serii koiegrasyolu olup olmadığıı sıaması içi paramere marisii özdeğerleride yararlaılır. Birici derecede bir vekör ooregresif zama serisi, = A + e =,,3,..., (4.7) olarak verilmiş olsu. Burada A marisi k boyulu paramere marisi olmak üzere, e ler varyas kovaryas marisi V ola beyaz gürülü sürecii gösermekedir. Yai, E( e ) = 0, E( ee ) = V ve E( ee + h) = 0 % % % % % % 34
dır. Modeli her iki arafıda çıkarılırsa, π = A I olmak üzere, = π + e % % % % modelie ulaşılır. Yukarıda bahsedildiği gibi, π marisii rakı sıfır ise, seri koiegrasyolu değildir. π αβ = % % deklemi içi B siguler olmaya herhagi bir maris olmak üzere, π = α BB β % % şeklide de yazılabileceğide dolayı sosuz çokluka α % veya β % vekör veya marisleri buluur. Dolayısıyla, Johase meoduda β % vekörüü ahmii yerie π marisii rakı üzerie esler oluşurulmakadır. Kısaca, A veya π paramere marisii ahmi edilmesi gerekir. 0 = 0 % % çok olabilirlik ahmi edicisii aldığı değer buluur. Buu içi varsayımı alıda, π paramere marisii e e leri ormal % dağıldığıı varsayarsak, V, V marisii deermiaıı gösermek üzere, olabilirlik foksiyou, l= exp k / / Π ( π ) V = % % % % ( ) V ( ) (4.8) olarak yazılır. π i e çok olabilirlik ahmi edicisi, S0S = % % = % % ˆ π = = (4.9) olarak buluur. V marisii e çok olabilirlik ahmi edicisi ise, ˆ V = ˆ ˆ = S ˆS ˆ ( π )( π ) 00 π π (4.0) % % % % = dir. Diğer arafa, H : π = αβ 0 %% yokluk hipoezi es edilmek isemekedir. Burada Π marisi k k boyuuda rakı r ola bir maris olmak üzere α ve β marisleri k r % % boyuuda marislerdir. Burada H 0 yokluk hipoezi alıda, olabilirlik foksiyou, 35
( ) V ( ) l( α, β ) = exp k / / αβ αβ % % ( π ) V = % %% % % %% % (4.) Burada ise maksimizasyo işlemi iki adımda yapılır. Öce β sabi uularak α ı e çok % % olabilirlik ahmi edicisi buluur. Buu içi, = αβ + e regresyo deklemide % %% % % faydalaılır; = β Sβ β S0 ˆ α = β β β ( ) % = % % % % = % % % % % % (4.) buluur ki burada da olabilirlik foksiyou β % ve V i bir foksiyoudur. Bu değeri olabilirlik foksiyouda yerie koulması ile β % ı e çok olabilirlik ahmi edicisi buluur. Buu içi ise, Y = αβ % %% % olmak üzere, k = exp exp race( ( ) ) = exp race(( ) ) olduğu haırlaırsa olabilirlik foksiyou, k l= exp / k / ( π ) Vˆ ( β ) % şeklie döüşür. Dolayısı ile, olabilirlik foksiyouu maksimize edilmesi, (4.3) ˆ( ) / V β % miimize edilmesie döüşür. Yai, problem, mi Vˆ ( β ) = mi S S β ( β S β ) β S β β % % % % % % % 00 0 0 (4.4) 36
halie döüşür. π marisii rakıı r olması demek, r ae birbiride lieer bağımsız koiegrasyo ilişkisi var demekir (geriye kala k r ae de birim köklü lieer birleşim vardır). Dolayısı ile H0 : r r0 hipoezi, e fazla r 0 ae birbiride lieer bağımsız koiegrasyo ilişkisi vardır yokluk hipoezii H a : r> r0 aleraif hipoezie karşı es edilmesi gerekir. Buu içi olabilirlik oraı es isaisiği, özdeğerlerii gösermek üzere, λ i ler π marisii max l ( α, β ) Vˆ H a 0 LR= % % = mi l ( α, β ) ˆ H0 H V a % 0 % / / / k ( ˆ λ ) = = / i k i= 0 ( ˆ ) r λi 0 ˆ i= r0+ ( λi ) i= 0 (4.5) şeklidedir. Dolayısı ile, λ race k = l( λ ) (4.6) ˆ i i= r0+ es isaisiğii aldığı değer kriik değerde büyük ise H0 : r r0 veya H0 : r= r0 yokluk hipoezi reddedilir. Burada, λ > λ >... > λ r0+ r0+ p olacak şekilde k r0 ae kaoik korelasyo kullaılmakadır (Johase 988). 37
5. UYGULAMALAR 5. Amaç Ekoomi, geel olarak sosuz ola ihiyaçlarla kı ola kayaklar arasıda e uygu degeyi kurma bilimidir (Özelmas 98). Borsa Bileşik Edeksi, Alı Fiyaları ve Döviz Kuru ekoomii fias ve yaırım araçlarıdır. Bir ülkei poliik ve siyasi isikrarı, ülkedeki üreim hacmi (mal ve hizme oplamı), sekörlerdeki verimlilik oraı, ülkedeki eflasyo ve faiz oraları, Döviz ve Alı fiyaları, uluslararası ekileşimler, Amerika Federal Merkez Bakasıı (FED) kararları, Uluslararası Para Fou (IMF), Düya Bakasıı uumu ve kararları, uluslararası çapaki diğer ülke borsalarıı redi, perol fiyaları Borsa Bileşik Edeksii ekileye emel hususlardır. Borsa Bileşik Edeksi, Alı Fiyaları ve Döviz Kuru değişkeleri arasıdaki ilişki; Döviz kuru emel olarak bir ülkei üreimi ve ihracaı ile ilgilidir. Talep arıkça fiya yükselir. İhraca arıkça döviz kuru azalır. Döviz kurları arış redide ise borsa düşüşe geçer. Yaırım ve saklama aracı olarak parasal sisemde öemli bir rol oyaya Alı içi de alep arıkça fiyalar yükselir. Bir ülkei poliik ve siyasi isikrarı alı fiyaları üzeride ekilidir. Ülke poliik ve siyasi açıda güçlü, güveilir ve problemsiz bir yapıda ise alı fiyalarıı dip-epe farklılığı çok yüksek değildir. Eğer ülke poliik ve siyasi açıda isikrarsız bir yapıda ise alı güveilir ve kolay saklaabilir bir yaırım olarak görülür ve alıa ola alep arar. Alıa ola alebi arması alı fiyalarıı yükselir. Alı fiyaları yükseldiğide de borsa olumsuz yöde ekileir. Yaırım aracı olarak döviz ve alı ikame malı gibidir. (İkame: birii diğerii yerie geçmesi, kullaılması) Geellikle döviz ve alı birlike yükselir. Bu yükseliş borsaya düşüş olarak yasır şeklide geel bir aı vardır. Bu aımları ışığı alıda borsa bileşik edeksi, alı fiyaları ve döviz kuru değişkeleri arasıda uzu döem bir ilişki olup olmadığı araşırılacakır. 38
Bu çalışmada, borsa bileşik edeksi, alı fiyaları ve döviz kuru serileri 994:0 005: döemleri içi ele alıacakır. Aalizlere geçmede öce verileri logarimaları alımış olup bu seriler arasıda uzu döem bir ilişki (koiegrasyo) olup olmadığı araşırılacakır. Logariması alımış serileri düzey ve birici derecede fark grafikleri Şekil de verilmekedir. Grafiklerde LBORSA ( ) borsa bileşik edeksi serisii, LDKUR ( Z ) döviz kuru serisii, LALTIN ( Y ) alı fiyaları serisii logarimalarıı, DLBORSA ( ), DLDKUR ( ) ve DLALTIN ( ) serileri ise sırasıyla borsa bileşik edeksi, Z döviz kuru ve alı fiyaları serilerii birici derecede farklarıı emsil emekedir. Y Serileri zama serisi grafikleri Şekil 5. de göserilmişir. Serileri birici farkıı grafiği icelediğide bu değişkeleri zama içide arma eğilimi gösermediği görülmekedir. Bu edele birim kök esi yapılırke sabi içere ve redi olmadığı deklem ürü daha uygu olabilir. 39
Şekil 5. (994:0-005: döemleri) Logariması alımış serileri düzey ve birici derece fark grafikleri 40
Seriler arasıda uzu döem bir ilişkii araşırılabilmesi içi öce serileri ayı derecede büüleşik (birim kök içerip içermediği) olup olmadığıa bakılması gerekmekedir. Acak birim kök esi yapılmada öce her bir seri içi uygu bir modeli belirlemesi gerekmekedir. Buu içi verileri aylık olması sebebiyle maksimum gecikme sayısı olmak üzere birici gecikmede başlayarak ye kadar, her bir gecikme içi Akaike Bilgi Krieri (AIC) ve Schwarz Bayesia Krieri (SBC) isaisiğii aldığı değerler hesaplamışır. Hesaplaa değerler içide e küçük AIC isaisik değeri e uygu model derecesii seçimide kullaılmışır. 4
Çizelge 5. Borsa bileşik edeksi serisii gecikme sayılarıa göre Eviews programıda hesaplaa AIC ve SBC Değerleri Gecikme sayıları AIC SBC 0,97765,949605 0,943546* 0,9875* 0,95763,034 3 0,97735,060093 4 0,985065,0946 5,0003,366 6,0583,68059 7,0756,077 8,04563,398 9,05773,7607 0,0757,339,08346,345489,09854,38453 Borsa bileşik edeksi serisi ( ) içi Çizelge 5. deki değerlere bakıldığıda AIC isaisiği e küçük değerii AR() de almakadır. Dolayısı ile bu modeli uygu model olarak seçebiliriz. Yai modeli, = α0+ α + e şeklide yazabiliriz. Burada ) ) paramereleri ahmi değerleri Eviews programıda; α 0 = 0,73, α = 0, 934 olarak hesaplamışır. 4