ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÜKSEK LİSANS TEZİ ZAMAN SERİLERİNDE BİRİM KÖKLERİN İNCELENMESİ eliz ALÇIN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA Her akkı saklıdır
rd. Doç. Dr. ılmaz AKDİ daışmalığıda, eliz ALÇIN arafıda azırlaa bu çalışma.../.../... ariide aşağıdaki üri arafıda İsaisik Aabilim Dalı da yüksek lisas ezi olarak kabul edilmişir. Başka : Doç.Dr. Kıvılcım METİN rd.doç.dr. ılmaz AKDİ rd.doç.dr. İsa KARABULUT ukarıdaki soucu oaylarım Prof. Dr. Esma KILIÇ Esiü Müdürü
ÖZET üksek Lisas Tezi ZAMAN SERİLERİNDE BİRİM KÖKLERİN İNCELENMESİ eliz ALÇIN Akara Üiversiesi Fe Bilimleri Esiüsü İsaisik Aabilim Dalı Daışma: rd.doç.dr. ılmaz AKDİ İkisadi zama serilerii çoğuu durağa olmaya birim köklü zama serileri olduğu bilimekedir. Bu serileri durağalığıı sıamak içi ADF (Augmeed Dickey- Fuller) esleri uygulamakadır. Faka bazı ikisadi seriler iki veya daa fazla birim kök de içermekedir. Bu durumda seriyi durağa ale geirebilmek içi farkı alımış seriye ekrar ADF esi uygulamakadır. ADF es meodu sadece bir birim kökü varlığı durumuda gelişirilmiş olduğuda, farkı alımış serilere ekrar ADF esii uygulaması bazı isaisiki problemlere sebep olmakadır. Buu içi Dickey ve Paula (987), seride birde fazla birim kökü varlığıı sıamak içi ardışık bir es meodu öermişlerdir. Bu çalışmada birde fazla birim kök içere durağa olmaya zama serileri gözde geçirilmiş ve ardışık es meodu 95-999 yılları arasıdaki yıllık para arzı verilerie uygulamış ve para arzıı iki birim köke saip olduğu gözlemişir., 95 sayfa ANAHTAR KELĠMELER : Zama serileri, birim kökler, birde fazla birim kökler i
ABSTRACT Maser Tesis A STUD OF UNIT ROOTS IN TIME SERIES eliz ALÇIN Akara Uiversiy Graduae Scool of Naural ad Applied Scieces Deparme of Saisic Supervisor: Ass.Prof.Dr. ılmaz AKDİ I is kow a may ecoomic series are osaioary ui roo ime series. ADF (Augmeed Dickey- Fuller) es meods are applied o ceck weer a ui roo is prese i daa or o. I some ecoomic ime series may iclude a secod ui roo (or more). I order o ge e saioariy, ADF es is applied o e differeced series. Bu ADF es is obaied uder e assumpio of a sigle ui roo. Tus, applyig e ADF es o e differeced series may cause some saisical problems. Dickey ad Paula (987) propose a sequeial ui roo es meod o ceck weer e series may iclude more a oe ui roo. I is sudy, e muliple ui roos ave bee reviewed ad e es meod is applied o e aually observed Turkis Moey Supply daa begiig from 95 o 999 ad a secod ui roo is observed i e daa., 95 pages Key words: Time series, ui roo, muliple ui roos ii
TEŞEKKÜR Bu ezi başlagıcıda soua kadar, yakı ilgi ve öerileri ile bei yöledire daışma ocam rd.doç.dr.ılmaz Akdi ye çok eşekkür ederim. Birlike çalışma olaağı bulduğum içi çok şaslıyım. Ayrıca Gazi Üiversiesi İ.İ.B.F. Öğreim Üyeleride rd. Doç.Dr. Nezir Köse ' ye değerli kakılarıda dolayı çok eşekkür ederim. Gazi Üiversiesi Ekoomeri Bölümü Öğreim Üyelerie gösermiş oldukları alayış içi ve yie ep yaımda ola aileme eşekkürlerimi suarım. eliz ALÇIN Akara, Temmuz iii
İÇİNDEKİLER ÖZET....i ABSTRACT..ii ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR.... iii SİMGELER DİZİNİ.....iv ŞEKİLLER DİZİNİ v ÇİZELGELER DİZİNİ.vi GĠRĠġ..... ZAMAN SERĠLERĠ ve TEMEL KAVRAMLAR.....5..Zama Serisi..5.. Durağalık 6.3. Ookorelasyo Foksiyou....4. Kısmi Ookorelasyo Foksiyou.. BAZI DURAĞAN ZAMAN SERĠLERĠ...9.. Harekeli Oralama Serileri.9... Birici derecede arekeli oralama serisi, MA()... İkici derecede arekeli oralama serisi, MA().. 3..3. q- ucu derecede arekeli oralama serisi, MA(q)...6.. Ooregresif Zama Serileri 3... Birici derecede ooregresif zama serisi, AR().3... İkici derecede ooregresif zama serisi, AR()...35..3. p- ici derecede ooregresif zama serisi, AR(p)..38.3. Ooregresif Harekeli Oralama Zama Serileri, ARMA (p,q)..4.3.. ARMA (,) serisi...44 3. DURAĞAN OLMAAN ZAMAN SERĠLERĠ 49 3.. Dickey- Fuller Birim Kök Tesi..56 3.. Geişleilmiş Dickey- Fuller Birim Kök Tesi...69 iv
3.3. Birde Çok Birim Köklü Seriler.....7 4. PARA ARZI SERĠSĠNE ARDIġIK TESTĠN UGULANMASI 83 5. TARTIġMA ve SONUÇ..9 KANAKLAR....93 v
SİMGELER DİZİNİ ADF AR ARMA DF MA WN Augmeed ( Geişleilmiş ) Dickey- Fuller Ooregresif Zama Serisi(Auoregressive Series) Harekeli Oralama Ooregresif Zama Serileri (Auoregressive- Movig Average Series) Dickey- Fuller Harekeli Oralama Serisi (Movig Average Series) Beyaz Gürülü Süreci (Wie Noise) vi
ŞEKİLLER DİZİNİ ġekil.. Durağa zama serisii ookovaryas foksiyou grafiği ġekil.. AR () serisii ookorelasyo foksiyou ġekil. 3. AR() serisii kısmi ookorelasyo foksiyou ġekil.. MA() serisii ookorelasyo foksiyou ġekil.. MA() serisii kısmi ookorelasyo foksiyou ġekil. 3. MA() serisii kokorelasyo foksiyou ġekil. 4. MA() serisii kısmi ookorelasyo foksiyou ġekil. 5. AR() serisii ookorelasyo foksiyou ġekil. 6. AR() serisii kısmi ookorelasyo foksiyou ġekil. 7. ARMA (,) serisii ookorelasyo foksiyou ġekil. 8. ARMA (,) serisii ookorelasyo foksiyou ġekil. 9. ARMA (,) serisii ookorelasyo foksiyou ġekil 3.. Bir birim köklü AR() modelie uygu farkı alımamış seri ve bu serii ookorelasyo ve kısmi ookorelasyo foksiyou ġekil 3.. Bir birim köklü AR(3) modelie uygu birici derecede farkı alımış seri ve bu serii ookorelasyo ve kısmi ookorelasyo foksiyou ġekil 3. 3. İki birim köklü AR(3) modelie uygu farkı alımamış seri ve bu serii ookorelasyo ve kısmi ookorelasyo foksiyou ġekil 3. 4. İki birim köklü AR(3) modelie uygu birici derecede farkı alımış seri ve bu serii ookorelasyo ve kısmi ookorelasyo foksiyou ġekil 3. 5. İki birim köklü AR(3) modelie uygu ikici derecede farkı alımış seri ve bu serii ookorelasyo ve kısmi ookorelasyo foksiyou ġekil 4.. Logariması alımış para arzı verilerii ookorelasyo ve kısmi ookorelasyoları grafiği ġekil 4.. Birici derecede farkı alımış para arzı verilerii ookorelasyo ve kısmi ookorelasyoları grafiği ġekil 4. 3. İkicici derecede farkı alımış para arzı verilerii ookorelasyo ve kısmi ookorelasyoları grafiği vii
ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 4.. serisi içi çeşili modeller ve AIC, SBC isaisiklerii aldığı Çizelge 4.. değerler serisi içi çeşili modeller ve AIC, SBC isaisiklerii aldığı değerler Çizelge 4. 3. ˆ 3 e küçük kareler ami edicisi, sadar aası ve pseudo değeri Çizelge 4. 4. ˆ ve ˆ 3 e küçük kareler ami edicileri, sadar aaları ve ˆ içi pseudo değeri Viii
GĠRĠġ 98 li yılları oralarıda iibare zama serisi ekoomeriside geiş bir uygulama alaı bula eş- büüleşme aalizi ve sadar Grager edesellik esi içi ilgili değişkeleri zama serisi özellikleri icelemelidir. Buu edei, orak büüleşme aalizide sisemde yer ala değişkeleri durağa olmayıp ayı derecede büüleşmiş olması koşulu, Grager edesellik içi durağa olması zorululuğudur. Bu bağlamda, gerek orak büüleşme aalizi gerek Grager edesellik alamıda değişkeler arasıdaki karşılıklı ilişkileri iceleye çalışmalarda, birim kök esleri bir ö es olarak öemli bir role saipir. Ekoomeride modellemei ilk aşaması, üzeride çalışılacak verileri yakıda aımakır. Bu veriler arisel veriler ise oları zama serisi özelliklerii icelemek ve bu bulgular çerçeveside model kurmak gerekir. Ekoomerik araşırmalar gösermişir ki, ikisadi serileri büyük bir çoğuluğuda birim kök mevcuur ( Mei 995). Zama serisi modellerii kesirimii yaparke modeldeki değişkeleri birim kök içermesi birakım problemleri de beraberide geirmekedir. Birim kökü varlığıı gözardı emek yai durağa olmaya değişkeleri içere regresyo modelii kesirmek isaisiksel olarak güveilir olmaya souçları oraya çıkaracakır. Bua karşı, fark alma yoluyla yapıla durağalık döüşümleri değişkeler arasıdaki uzu döemli ilişkileri yok emesi edeiyle bilgi kaybıa yol açacakır. Ayrıca, so yıllarda ekoomerik çalışmalarda birim kök eslerii oldukça popüler ale gelmesii e öemli edei, bu esler vasıasıyla bazı ekoomik
çıkarımlara ulaşılmasıdır. Öreği, araşırma kapsamıdaki makro ekoomik değişkeleri birim kök içermesi, belirli dışsal şokları (exogeous socks) ekoomi üzeride sürekli bir eki meydaa geireceğie ilişki bir kaı olarak değerledirilir (Köse 998). Birim kök üzerie asimpoik eoriler ilk kez Fuller (976) arafıda oraya koulmuş ve bu çalışmayı Dickey - Fuller (979), Pillips (987), Pillips Perro (988) ve diğer çalışmalar izlemişir. Uygulamalı ekoomerik çalışmalarda, Dickey - Fuller veya Geişleilmiş Dickey - Fuller birim kök esi erci edilmekedir. Buu edei esi uygulamadaki kolaylığı ve birçok ekoomerik pake programıda yer almasıdır. İkisadi zama serileri geellikle bir birim kök içermesie karşı adire de olsa bazı zama serileri iki birim kök içerebilmekedir. Böyle bir durumda izlee birim kök esi sürecide farkı alımış seriler içi ekrar ADF birim kök araşırmasıa gidilmekedir. Acak ADF birim kök esi sadece bir birim kök içere zama serileri içi geçerlidir. Durağa olmaya eragi bir zama serisii farkı alıdıka sora ala durağa değilse ikici sıra farkı alıarak durağa ale geirilmekedir. Faka fazla fark almak DF değerii egaif veya poziif yöde çok büyüüğü içi serii büüleşme derecesi akkıda yalış kararlar verilebilir. Ayrıca, mevcu birim kökleri, sıfır ipoezi alıda ifade edilede daa fazla olduğu durumlarda, esi öem düzeyi seçile öem düzeyide büyük olacakır (Dickey ad Paula 987). Zama serisii doğru büüleşme derecesii belirlemek içi ardışık bir es Dickey ve Paula (987) arafıda öerilmişir. Dickey ve Paula
yaklaşımıda ilgili zama serisideki birim kökler ardışık bir isaisiksel es prosedürü ile araşırılmakadır. Bu çalışmada bir çok ekoomerik yöemde öemli bir role saip ola, birim kök esleri icelemişir. Ayrıca, birde fazla birim köke saip zama serisi içi ADF eside oraya çıkacak sorulara değiilmiş ve bu durum içi daa güveilir ola Dickey ve Paula (987) birim kök esi eorik ve uygulamalı olarak ele alımışır. İki birim köke saip bir zama serisi Moe Carlo yolu ile üreilmiş ve bu seriye ADF uyguladığıda durağa buluabileceği göserilmişir. Uygulama aşamasıda büüleşme derecesi, birim kök esi ile araşırıla değişke, bakalar dışıdaki para, vadesiz mevdua ve vadeli mevdualarda oluşa geiş para arzı (M) olarak seçilmişir. Buu edei Türkiye ekoomisi üzerie yapıla birçok ekoomerik araşırmada ADF esi vasıasıyla gerçekleşirile birim kök eside para arzı değişkeii iki birim köke saip olduğuu belirlemesidir. Acak, iki birim köke saip değişkeler içi geçerli olmaya ADF esii uygulaması bu araşırmaları bulgularıı güveilir olmaka uzaklaşırmakadır. Bu durum edeiyle, ezi uygulama aşamasıda para arzı değişkei içi birim kökü varlığı Dickey ve Paula yaklaşımı ile ekrar ele alımışır. Bu çalışmaı giriş bölümüde sora ele alıa birici bölümde, zama serisi aalizleride karşılaşıla bazı emel kavramlar akkıda bilgiler verilmişir. İkici bölümde, durağa zama serileri ve bu serileri özellikleri ile zama serisi içi durağalık şarları ve birim kök kavramı icelemişir. Üçücü bölümde ise, durağalık içi birim kök esleri ayrıılı bir şekilde ele alımışır. Bu bölümde, iki birim köklü zama serileri içi daa güveilir bir es ola Dickey ve Paula yaklaşımı eorik olarak açıklamış ve SAS pake programıda üreile bir veri üzerie bir uygulama yapılmışır.
Çalışmaı so bölümüde ise, Dickey ve Paula (987) arafıda gelişirile ardışık es meodu ile para arzıı büüleşme derecesi belirlemişir.
. ZAMAN SERĠLERĠ ve TEMEL KAVRAMLAR.. Zama Serisi Olasılık uzayı Ω,,P ve T de bir ideks kümesi olmak üzere bir zama serisi Ω T çarpım uzayıda, reel sayılara gide X.,. : Ω T w, X w, X ( w) X bir foksiyodur öyle ki, erbir sabi içi X (w) zama serisi bir rasgele değişke ve er bir sabi w içi X (w), i reel değerli bir foksiyoudur. Bu foksiyoa bir realizasyo deir. Gerçek ayaa görüle zama serilerie ilişki grafikler aslıda ilgili zama serisii bir realizasyoudur (Fuller 976). Bir zarı aılması deeyi gözöüe alısı. X rasgele değişkei zarı üzerideki okaları sayısıı gösermek üzere örek uzay,,3,4,5, 6 şeklide olacakır. Örek uzay üzerideki -cebir ise ı büü al kümelerii sııfı (kuvve kümesi) olsu. P olasılık ölçüsü ise A içi P(A)= A ı elema sayısı / 6 olarak aımlası. Burada,,P üçlüsü bir olasılık uzayı oluşurur. T ideks kümesi doğal sayılar kümesi, T,,3,..., olarak alıdığıda X (w) zama serisii X (w)= w + olarak aımlayalım. Eğer = 4 olarak sabi alıırsa X (w) 5,6,7,8,9, değerlerii ayı /6 olasılıkla ala rasgele bir değişke olur. ai = 4 içi X (w) bir rasgele değişkedir. Faka w = 3 olarak sabi uulursa, foksiyoudur. X (w ) = 3 + şeklide i reel değerli bir
.. Durağalık Zama serileride e öemli kavramlarda biri durağalıkır. Durağalık, süreçe akim ola olasılık koumlarıı zama ile değişmemesi emel fikrie dayalı isaisiksel bir degeyi ifade eder. Zama serileri ile ilgili aalizleri yaparke e öemli varsayımlarda biri serii durağalığıdır. Birçok isaisiki souç çıkarımlarda serii durağa olduğu varsayılır. Eğer seri durağa değil ise çeşili ekikler kullaılarak durağa ale geirilir (fark alma gibi). Geel olarak zayıf ve güçlü durağalık gibi iki çeşi durağalıka basedilebilir. Heragi bir rasgele değişkeler dizisii orak olasılık dağılımı rasgele değişkeleri yapıldığı zamaları ileriye veya geriye doğru kaydırılması ile eragi bir değişikliğe uğramıyorsa bu serilere güçlü durağadır deir. ai kısaca X ile X + i orak dağılımı ye değil ye bağlıdır. Başka bir ifade ile bir zama serisii,, alarıdaki X, X,., X rasgele değişkelerii orak olasılık dağılımı ile +, +,, + zamalarıdaki X +, X +,,X +,, + T, rasgele değişkelerii orak olasılık dağılım şekli değişmiyorsa bu seriye güçlü durağa seri bu duruma da güçlü durağalık deir. ai, er (,,, ) ve er,,, T, +, +, +. T içi F X,... x, X X (,,, )= FX, X,..., X (,,, ) (.) ise T X F X,... : zama serisie güçlü durağadır deir. Burada x, X X (,,, ), X, X,.,X rasgele değişkelerii orak olasılık dağılım foksiyoudur. Eğer X : T zama serisi güçlü durağa ise bu i T, içi X X,..., X D X X,..., X şeklide göserilmekedir.,,
Ayrıca, X, X,. X rasgele değişkelerii oralaması E(X ) μ olmak üzere, X : T zama serisi içi i üm değerleri içi i) E(X ) = (solu ve de bağımsız) ii) Cov(X,X ) EX μx μ,,, 3,... (.) koşulları sağlaırsa X : T zama serisie zayıf durağa, ikici derecede durağa, kovaryas durağa veya kısaca durağadır deir. Ayrıca, (..) de verile X ile X + arasıdaki kovaryas X : T zama serisii ookovaryas foksiyou olarak biliir ve γ () ile göserilir. Öreği, e, e ler bağımsız ve oralaması sıfır ve varyası ola ayı dağılıma saip rasgele değişkeler olmak üzere, X = e cos( ) + e si( ) zama serisii ele alısı. Oralaması E(X ) = ve varyası Var(X ) = olup er ikisi de de bağımsızdır. Bu serii ookovaryas foksiyou ise γ() =Cov(X,X + ) = Cov(e cos( ) + e si( ), e cos( (+)) + e si( (+))) = = ( cos( ) cos( (+)) + si( ) si( (+))) ( cos( (+-))) = cos( ) şeklide olup X zama serisi durağadır. Öreği = π değeride serii ookovaryas foksiyou grafiği Şekil.. deki gibi cos( ) = cos( π ) grafiği ile ayı olacakır. γ () ġekil.. Durağa zama serisii ookovaryas foksiyou grafiği
Faka bu serii güçlü durağa olup olmadığıı bilemiyoruz. Çükü e, e rasgele değişkelerii oralamasıı ve varyasıı bilimesie rağme agi dağılımda geldikleri akkıda veya orak dağılım foksiyoları akkıda bir bilgimiz yokur. Dolayısıyla serii güçlü durağa olup olmadığıı söylemek güçür. Ayrıca serii ikici derecede momeleri dağılım akkıda bir bilgi vermez. Eğer e, e rasgele değişkelerii ormal dağılıma saip olduğu kabul edilirse, X ve X + rasgele değişkelerii oralama, varyas ve kovaryasları yukarıda görüldüğü gibi ye bağlı değildir ve dolayısıyla dağılımları da de bağımsız olacağıda X zama serisi güçlü durağa olacakır. ai, X : T zama serisii zayıf durağa olması içi oralamasıı, varyasıı ve kovaryasıı zamaa bağlı olmaya sabi değerler alması gerekiyor. Bir serii durağa olması güçlü durağa olmasıı ve güçlü durağa bir serii durağa olmasıı gerekirmez. Faka, i) : T X zama serisi durağa ve ayı zamada ormal dağılımlılık varsayımı sağlaıyorsa bu seri ayı zamada güçlü durağadır. X zama serisi güçlü durağa ve E( X ) sağlaıyorsa bu ii) : T seri ayı zamada durağadır (Brockwell ad Davis 987). Zama serilerideki öemli kavramlarda biri de serii ookovaryas foksiyoudur. Ookovaryas foksiyou yardımı ile aımlaa ookorelasyo foksiyou ve bua bağlı olarak elde edilebile kısmi ookorelasyo foksiyou serileri modellemeside öemli olduğu gibi bu foksiyo yardımı ile serii durağa olup olmadığıa karar verilmeside kullaılmakadır. Daa ileride alaılacağı üzere, durağa zama serileride ookorelasyolar ızla (üsel olarak) azalmasıa rağme, durağa olmaya zama serileride bu azalma yavaş olabilmekedir. ai, serii durağa olup olmadığıa sezgisel olarak karar vermek içi ookorelasyoları azalma ızlarıa bakılmakadır.
Heragi bir X : T zama serisii ookovaryas foksiyou, yai X ile X + arasıdaki kovaryas ) Cov(X,X ) (.3) ( şeklide aımlamışı. Kolayca göserilebilir ki bu foksiyo aşağıdaki özellikleri sağlar. Çükü i) () simerikir. () = () + = s deilirse ( ) Cov(X,X ) = Cov(X s-,x s ) = Cov(X s,x s- ) = () olduğu kolayca görülür ii) ( ) () Caucy-Scward eşisizliği kullaılırsa, elde edilir. () = Cov(X,X ) Var(X )Var(X ) () () () iii) () egaif olmaya aımlıdır.buu içi, a i T,i=,,3,.., olmak üzere ( )a a i olmalıdır. Bu da kolayca görüleceği gibi olacağıda ( i ) E( i ) i i i i ( i )a a i
i = E E( i i i a i )a a i a = E a Eğer seri durağa ise gözlee değerler sabi bir oralama erafıda değişecekir. Bu serii varyası da sabi olacakır. Faka durağalığı oraya çıkarmak içi serisii ookorelasyo foksiyouu icelemesi gerekir.. 3. Ookorelasyo Foksiyou Ookorelasyo foksiyou, muemel uygu modelleri belirlemeside kullaıla ve ookovaryas foksiyou yardımı ile aımlaa bir foksiyodur. Bu foksiyo ayı değişkei değerleriyle çeşili gecikme değerleri arasıdaki ilişkileri iceler ve değeri değerleri arsıdadır. Serii ookovaryas foksiyou () olmak üzere X ile X + arasıdaki korelasyo serii ookorelasyou olarak biliir ve geel olarak () ile göserilmekedir. () Cov(X Var(X,X )Var(X ) ) () () (.4) ukarıda (.4) de verile () serii eorik ookorelasyoları olup, verile eragi bir öreklem içi, {X, X,. X }, X serii öreklem oralamasıı gösermek üzere, öreklem ookovaryasları
ˆ () (X X)(X X) (.5) şeklide esaplaır. Öreklem ookovaryasları, ule- Walker, e çok olabilirlik ve e küçük kareler yöemleri ile değişik olarak esaplaabilir. Faka öreklem acmi büyük olduğuda bu ami ediciler birbirlerie çok yakı olmakadır. ai, bu üç ami edici de asimpoik olarak ayıdır deilebilir. Ayrıca, bu üç ami edicide () içi uarlı ami edicilerdir yai, P içi γˆ () γ() dir. γˆ () öreklem ookovaryasları yardımı ile öreklem ookorelasyoları ˆ() ˆ() (.6) ˆ() olarak esaplaır ve burada γˆ () serisii öreklem varyasıdır. Bu isaisiklerii aldıkları değerler esaplaarak ˆ () leri grafikleri çizilir. Ayrıca ˆ () ler ile esaplaabile ˆ () kısmi ookorelasyoları grafikleri çizilerek serii modeli akkıda sezgisel olarak bir fikir ediilebilir. Heragi bir X,X,..., veya X i : i,,..., zama serisi verildiğide bu serii X agi zama serisi modelie uygu olduğuu söyleyebilmek içi sezgisel olarak elde edile modele göre aalizler yapılır. Kesi olarak karar verilemiyorsa bazı isaisikler kullaılarak e uygu model bulumaya çalışılır. Burada da serisii durağa olup olmaması öemlidir. Çükü paramereler üzeride esler yapılırke serii durağa olduğu varsayılır. Serileri modellemeside öreği AIC (Akaike Iformaio Crier) ve SBC (Scwarz Bayesia Crier) gibi başka krierler de kullaılmakadır. Ayrıca ˆ () ve ˆ () isaisiklerii bazı asimpoik özellikleri Fuller (976) ve Borockwell ve Davis (987) de icelemişir.
ukarıda () ookovaryas foksiyou içi gerekli ola özellikler, ookorelasyo foksiyou içi de geçerli olduğu kolayca görülebilir. ai, () foksiyou simerik ve egaif olmaya aımlı olmakla birlike er içi ( ) dir. ai, eragi bir X : T durağa zama serisii ookorelasyo foksiyou () olmak üzere i) () = () ii) ( ) iii) () foksiyou egaif olmaya aımlı olduğu kolayca görülür (Wei 99). Zama serisi süreçlerii eorik ookorelasyo foksiyou, gecikmelerie karşılık gele () leri grafiksel veya liselemesi ile elde edilebilir. Heragi bir X,X,.X rasgele değişkeleri içi öreklemi ookovaryas foksiyou (.5) de verildiği gibi esaplaır.burada da öreklem ookovaryas foksiyou yardımıyla öreklem ookorelasyo foksiyou da (.6.) da verildiği gibidir.. 4. Kısmi Ookorelasyo Foksiyou Zama serisi aalizleride özellikle ooregresif zama serileride serii model derecesii belirlemeside ookorelasyo foksiyou pek aydılaıcı değildir. Bu edele kısmi ookorelasyolar ooregresif zama serilerii model derecelerii belirlemeside öemli bir araç olarak kullaılır. Heragi bir X zama serisi içi kısmi ookorelasyolar X i X -,X -,,X - üzerie regresyou yapıldığıda X - i regresyo kasayısı -ici kısmi ookorelasyoudur ve () ile göserilir. ai, ae kısmi ookorelasyo
bulabilmek içi defa regresyo modeli oluşurmak gerekir. Eğer kısmi ookorelasyolar belli bir okada sora sıfır oluyorsa (veya alamlı olarak sıfıra yakısa) bu ür seriler ooregresif serilerdir. Verile eragi bir serii kısmi ookorelasyolarıı esaplamak içi regresyo ekiklerii kullaılması uzu işlem gerekirmekedir. Ayrıca kısmi ookorelasyoları bazılarıı sıfır olup olmadığıı sıaması gerekebilir. Dolayısıyla regresyo paramerelerii ami edicilerii asimpoik dağılımlarıa iiyaç duyulur. Faka ayı kısmi ookorelasyolar daa öce elde eiğimiz ookorelasyolar yardımı ile de buluabilir. Kısmi ookorelasyolar, P marisi ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ P 3 - (.7) şeklide olmak üzere P marisii so kolou ola c ),..., ( vekörü yerie a= ),..., ( yazılarak P marisi elde edilir. Burada da verile bir zama serisii - ıci kısmi ookorelasyou 3 3 P
() de(p de(p ) ) formülü ile de esaplaabilir (Wei 99). Burada, de(p ), P marisii deermiaıdır. Şimdi buu bir örek ile açıklayalım. Aşağıda verile ikici derecede ooregresif zama serisii birici ookorelasyou (), yai birici ookorelasyo ve ikici kısmi ookorelasyo da X - i kasayısı, olacakır ve diğer kısmi ookorelasyolar sıfır olarak aımlaır. Heragi bir X zama sersi, e oralaması ve varyası süreci olmak üzere ikici dereced bir ooregresif zama serisi veya veya ( X ) (X ) (X ) e X X μ( α α X α ) α X α X e α X e ola beyaz gürülü şeklide verilsi. Kısmi ookorelasyo aımıda dolayı, ikici kısmi ookorelasyo, () = değerie eşi olmaka ve durumları içi ()= olmakadır. Şimdi regresyo ekikleri kullamada yukarıdaki P ve P marislerii kullaarak buları gösermeye çalışalım. Bu modele göre ookovaryaslar aşağıdaki gibi esaplaır. İlk iki ookovaryas ( ) ) ( ) ( ) ( ) () () = ( )
). () ( ( ) ( = ( ) ( ) olarak elde dilir ve burada da diğer ookovaryaslar γ() α γ( ) αγ( eşiliğide faydalaarak ardışık olarak buluur. Burada da () = () ve ) () () özellikleride yararlaarak () ve bezer şekilde () () () () () () ( ) () () () () elde edilir. Burada da ilk iki kısmi ookorelasyo P P dep dep = P P dep dep =
olarak elde edilir. Bezer şekilde üçücü kısmi ookorelasyo da P 3 3 3 P = 3 3 33 dep dep P 3 de = de = 3 3 33 dep dep dep 3 = 3 k dep dep k k kk olarak buluur. İkici derecede ooregresif zama serisi içi ilk iki kısmi ookorelasyo paramerelere bağlı olarak esaplaır ve diğer (>) kısmi ookorelasyolar ise sıfır olacakır. Faka ookorelasyolar durağa bir zama
serisi içi üsel olarak azalacakır. Buu içi e bir beyaz gürülü süreci olmak üzere X μ αx μ αx μ e şeklide verile ikici derecede bir ooregresif zama serisi içi ookorelasyolar ve kısmi ookorelasyolar aşağıdaki öreke verilmişir. Örek.. İkici derecede bir ooregresif zama serisi içi.7.7 olarak alıırsa ookorelasyo değerleri 3 4 5 6 7 8 9 ρ ().988.96.9.875.84.77.76.663.6.57 olarak esaplamışır ve ookorelasyo foksiyou grafiği Şekil.. de verilmişir. ρ ( ) -.5 - ġekil.. AR () serisii ookorelasyo foksiyou
Bezer şekilde kısmi ookorelasyo değerleri 3 4 5 ().988 -.7 olarak bulumuş ve grafiği Şekil.3. de verilmişir. ().988 - -.7 - ġekil. 3. AR() serisii kısmi ookorelasyo foksiyou ukarıda görüldüğü gibi ookorelasyolar ızlı (üsel olarak) azalmaka ve kısmi ookorelasyolarda ikici gecikmede sora sıfır olmakadır. Bezer özellik yüksek derecede ooregresif zama serileri modelleri içi de geelleşirilebilir.
. BAZI DURAĞAN ZAMAN SERĠLERĠ Bu kısımda bazı durağa zama serileri üzeride durulacakır. Bularda bazıları: arekeli oralama ( Movig Average, MA(q)), ooregresif (Auoregressive, AR(p)) ve ikisii birleşimi ola ooregresif- arekeli oralama (Auoregressive- Movig Average ARMA(p,q)) zama serileri modelleri olarak adladırıla serileri bazı özellikleri iceleecekir... Harekeli Oralama Serileri (Movig Average Series) Durağa zama serilerie e basi örek arekeli oralama serileridir. İleride görüleceği gibi bu seriler er zama durağadır. Bu kısımda praike e çok kullaıla arekeli oralama serileride basedilecek ve özellikleri iceleecekir. Bular serii ookorelasyoları ve kısmi ookorelasyoları ile serii ersiirlik özellikleridir. Heragi bir X serisii oralaması olmak üzere, q- ucu derecede bir arekeli oralama serisi X q e e (.) şeklide göserilir. Burada e oralaması sıfır varyası serisidir. ola bir beyaz gürülü Bu seride değişkei döemideki değeri ayı döeme ai sayıda geri döem e a e aa erimi ve q aa erimii doğrusal bir bileşei olarak ifade edilir. Eğer bir e : T zama serisi eğer E(e )= ve ookovaryas foksiyou σ, γ e () (.),d.d.
şeklide ise : T e serisie beyaz gürülü süreci (wie oise) deir (Fuller 976). Praike, bağımsız ayı dağılıma saip rasgele değişkeleri bir dizisi beyaz gürülü serisi olarak alımakadır. Faka bazı isaisiki souç çıkarımlar arasıda ormallik varsayımı da yapılmakadır. Taımda da görüleceği gibi beyaz gürülü süreci e durağa bir süreçir. Bu süreci ookorelasyo foksiyou, ρ X () (.3) ve kısmi ookorelasyo foksiyou ise () (.4) şeklidedir. Buda sora aksi söylemedikçe e ler beyaz gürülü serisi olarak kabul edilecek ve e ~WN (, ) göserimi kullaılacakır.... Birici derecede arekeli oralama serisi, MA() Birici derecede bir X arekeli oralama zama serisi, e ~WN (, ) olmak üzere X e e (.5) biçimide verilir. Bu serii oralaması ve varyası Var(X ) ( ) (.6) olduğu kolayca görülür. Ayrıca, X ~MA() serisii ookovaryas foksiyou
( ), X (), (.7), ve ookorelasyo foksiyou, X ( ), (.8), olduğu kolayca görülür. Kısmi ookorelasyo foksiyou da içi ( ) ( ) ( ) (.9) () formülü ile esaplaır (Box ad Jekis 976). Burada da ( () 4 ) ( ) ( )( () ) (.) olduğuda birici kısmi ookorelasyo değeri, birici ookorelasyo değerie eşi olacakır. MA() modelii ookorelasyo foksiyou = ve daa fazla gecikmeler içi sıfır olmakadır. Örek olarak Şekil. de olduğu gibidir. Kısmi ookorelasyo
() foksiyou ise parameresii işareie bağlı olarak üsel azalma göserir ve gecikme değerleri arıkça sıfıra yaklaşır. MA() sürecii kısmi ookorelasyo foksiyou ya poziif bir değerle başlayıp işarei egaif- poziif-egaif şeklide devam ede ya da daima egaif değerler ala bir eğilimle üsel olarak azalma göserecekir. Bu değişmeler örek olarak Şekil.. de olduğu gibidir. Birici derecede bir MA serisi X e e e ~WN (, ) = =.8 olacak şekilde ookorelasyo ve kısmi ookorelasyolarıı değerleri ( ),8 ( ),4878,8 ( ) şeklide olacakır. Buları grafikleri Şekil. de verilmişir. () -.4878 ġekil.. MA() serisii ookorelasyo foksiyou Kısmi ookorelasyo değerleri ve grafiği ise, 3 4 5 6 7 8 9,4878 -,3,4 -,65,66 -,987,776 -,65,448 -,389
().4878 -.66 -.448 - -.389 - -,987 - -,3 - ġekil.. MA() serisii kısmi ookorelasyo foksiyou şeklidedir.... Ġkici derecede arekeli oralama serisi, MA() İkici derecede bir X arekeli oralama zama serisi, e oralaması, varyası ola beyaz gürülü süreci olmak üzere X e e e (.) biçimidedir. Bu serii oralaması foksiyoları sırasıyla, ookovaryas ve ookorelasyo ( ), X () ( ), (.),,
,, X () (.3),, olacakır. Kısmi ookorelasyo foksiyoları ise ule-walker deklem sisemii kullaarak ve > olduğuda x ()= bilgisi de dikkae alıarak, aşağıdaki gibi buluacakır (Fuller 976). ( ) () () () ( ) () 3 () () ()( ()) ( 3) () ()( ()) Harekeli oralama ve ileride alaılacak ola ARMA serileri içi kısmi ookorelasyo foksiyolarıı doğruda elde emek kolay değildir. Faka ookorelasyolar esapladıka sora kısmi ookorelasyolar da eragi bir seri içi olduğu gibi ardışık olarak esaplaır. Ayrıca () ve () yukarıda verildiği gibi esaplaırsa diğer kısmi ookorelasyolar s s, sss,s olmak üzere, ( (.4) ), formülü ile esaplaır (Wei 99).
Örek.. İkici derecede bir MA serisi X e e e = = e ~WN (, ) = -.7 ve =.7 olacak şekilde, ookorelasyo ve kısmi ookorelasyolarıı değerleri ( ) (.7) (.7)(.7) ( ) (.7) (.7).7 ) (.7) (.7) ( ( 3),663.633 olarak buluur ve buları grafikleri Şekil.3 de verilmişir. () -.633 - -.663 - ġekil.3. MA() serisii kokorelasyo foksiyou Kısmi ookorelasyo değerleri 3 4 5 6 7 8 9 () -,663 -,493 -,39 -,93 -,3 -,35 -,88 -,56 -,36 -,4
olarak esaplamış ve buları grafikleri ise Şekil.4 de verilmişir. () -,56 - -.9 - -,398 - -.663 - ġekil.4. MA() serisii kısmi ookorelasyo foksiyou..3. q-ucu derecede arekeli oralama serisi, MA(q) Daa yüksek derecede arekeli oralama serileri içi q- ucu derecede arekeli oralama sersi MA(q), q ve e ~WN (, q ) olmak üzere X μ β e (.5) şeklide verilir ve oralaması ve varyası q Var( X ) β (.6) olduğu görülür. Ayrıca MA(q) serisii ookovaryas foksiyou, > içi γ X q () Cov(X,X ) β β, q,d.d. (.7) olarak esaplaır. Çükü, ( ) Cov(X,X ) Cov( e, e ) q q i i
q q q i i i q i i ),e Cov(e ) e, e ( Cov olduğuda ve e sersii bir beyaz gürülü serisi olduğuda,d.d.,i ),e Cov(e i olup q i q q i i ),e (e Cov oplam üzerideki üs sıır q- dir. Çükü + acak q ya kadar gider. MA(q) modelii kısmi ookorelasyo foksiyou ise MA() ve MA() süreçlerie bezer bir eğilime saipir. Burada da ookorelasyo foksiyou, ) ( ookorelasyo foksiyou yardımı ile q, q, β β β, ),X Cov(X ) ( q- q X (.8) ile esaplaır (Wei 99).
Heragi bir arekeli oralama : T X zama serisii varyası, ookovaryas ve ookorelasyo foksiyou de bağımsızdır. Dolayısıyla arekeli oralama serileri er solu q içi durağadır. Heragi bir X zama serisi eğer (X ) e şeklide yazılabilirse X sersie ersiirdir deir (Box ad Jekis 976). Ayrıca, q X μ β e zama serisi, (X - )= e e... qeq şeklide de yazılabilir. B gerileme operaörü kullaarak B X =X - olmak üzere ( X ) ( B B... q q B ) e şeklide de yazabiliriz. Ayrıca kısalılabilir.burada ( X ) (B) e göserimi kullaılarak θ(z) β q z βz...βqz dir ve θ(z) deklemide q- ucu derecede arekeli oralama zama serisii karakerisik deklemi olarak biliir. Eğer θ(z) deklemii büü kökleri de büyük ise seri ersiir dir. ukarıda er solu q içi q X β e zama serisii durağa olduğuu gördük. Faka q = içi q X β e şeklide MA(+ ) serisii ele alalım. Bu durumda E(X ) i ve ookovaryas foksiyouu esaplaabilmesi içi sıırlı yakısaklık eoremii koşullarıı sağlaması gerekir. ai, içi
sıırlı yakısaklık eoremii koşulları sağlaır ve beklee değer operaörü ile sosuz oplam yer değişirebilir. Burada da e ~WN (, ) olmak üzere X q β e şeklide verile zama serisi içi E(X )= ve Var(X )= ( ) olduğu kolayca görülür. Şimdi olmak üzere şeklide yazılabildiğii varsayalım. ai olduğuu ve X sersii X μ β e 3 4 ( X ) e e e e3 e4... Ayrıca, 3 4 ( X ) e e e3 e4 e5... olacakır. İkici eşiliği er iki arafı ile çarpılır ve araf arafa çıkarılırsa 3 4 ( X ) e e e e3 e4... 3 4 X ) e e e e... ( 3 4
eşilikleride ( X ) - ( X ) e soucua ulaşılacakır. ai, ( X ) ( X ) +e (.9) serisi veya ( ) ve olmak üzere X = X e zama serisi modelie ulaşılır. Bu seri aşağıda iceleeceği gibi birici derecede ooregersif zama serisi modeli olarak biliir. Bu serii durağa olduğu içi bilimekedir. ( içi q, X β e şeklide bir seride yola çıkarak ulaşık). Burada veya X E(X ) E( X )= (X ) e X X X ) X ( E buluur. Oysa ( ) kullaılırsa X olduğu görülür. Ayrıca serii μ varyası ve ookovaryasları da bezer şekilde esaplaır... Ooregresif Zama Serileri (Auoregressive Series) Ooregresif modellerde değişkei döemideki değeri belirli sayıdaki geri döem değerleri ile e aa değişkelerii doğrusal bir foksiyou olarak ifade edilir. Birçok ekoomik veri ooregresif zama serisi olarak modellemekedir.
p- ici derecede bir ooregresif zama serisi, e ~WN (, ) süreci ve p olmak üzere veya p ( X ) (X ) e (.) e (.) p olarak aımlaır ve AR(p) kısalması kullaılır.... Birici derecede ooregresif zama serisi, AR() Birici derecede ooregresif zama serisi, e ~WN (, ) olmak üzere ( X ) (X ) e =,,3,.. (.) biçimide verilsi. Seri durağa olduğuda olduğuda X şeklide yazılır ve burada E(X )=μ ( ) Var(X )= e Var(X )= () (.3) Ayrıca, ) Cov(X,X ) Cov( X ( e, X e ) = i i Cov (e,e i )
yazılabilir. = = () (.4) Burada dikka edilirse değeri mulak değerce bire yaklaşıkça azalma çok yavaşlar ve bir olması durumuda seri arık durağa olmayacakır. Buu göserecek olursak = ike X = X - + e biçimidedir. Bu seri X = X - + e = X - + e - + e =.... =X +e +e +...e = X + e olur ve X = olduğu varsayılırsa ve dir. Burada da E(X ) = Cov(X, X + ) = mi (, +) Var (X ) = olur ki serii varyası ve kovaryası zamaa bağlı olarak değişmekedir ; seri durağa değildir. Dolayısıyla buradaki değerii mulak değerce bire e kadar yakı olduğu öemlidir. ai serii durağa olup olmamasıı es edilmesi bir yerde değerii olup olmamasıı es edilmesidir. Daa ileride görüleceği gibi parameresii e küçük kareler ami edicisi ola ˆ X X X isaisiği parameresi içi uarlı bir isaisik olup, ike ˆ isaisiğii asimpoik dağılımı ormaldir. Faka, = ike asimpoik dağılım ormal değildir. i i ukarıda da görüleceği gibi
(.5) şeklidedir. Ookorelasyo foksiyou parameresii işareie bağlı olarak üsel azalarak sıfıra doğru yaklaşır. Bu azalmaı oraı öemli olmakla birlike ooregresif zama serilerii derecelerii belirlemeside ookorelasyolar kullaılmaz. Buu içi ooregresif zama serilerii derecelerii belirlemek içi kısmi ookorelasyo foksiyoua iiyaç duyulur. Bu foksiyoa daa sora değiilecekir. Birici derecde ooregresif zama serisii varyası ve ookovaryas foksiyou γ γ x x () Var(X () Cov(X ) α,x γ x () σ ) αγ x ( ) (.6) olarak kolayca elde edilebilir. ukarıdaki (.6) deklemleri birici derecede ooregresif zama serisii ule-walker deklemleri olarak biliir. ookorelsyolar ise içi Kısmi (), ( ) (.7), biçimidedir. AR() i kısmi ookorelasyo foksiyou = içi sıfırda farklı egaif veya poziif değerler alırke diğer gecikmeler sıfır olacakır. Örek.3. Birici derecede bir AR serisi X αx e, =.8 olacak şekilde X =.8X - + e durağa zama serisi içi ookorelasyolar
ρ().8 ρ() α ρ().8 ρ().8.8.64 olarak esaplaır ve bulara ai grafik Şekil.5 de verilmişir. ρ() - ġekil.5. AR() serisii ookorelasyo foksiyou Serii ookorelasyoları üsel olarak azalmakadır. Faka α değeri bire yaklaşıkça bu azalma yavaş olmakadır. Kısmi ookorelasyo değerleri ve grafiği, () () α () -.8 ġekil.6. AR() serisii kısmi ookorelasyo foksiyou şeklidedir. Burada grafikler icelediğide ookorelasyolar üsel olarak azalmaka ve kısmi ookorelasyolar ise birici gecikmede sora sıfır
olmakadır. Böyle bir grafike yola çıkarak verile eragi bir zama serisii birici derecede ooregresif modelie uygu olabileceğisöyleebilir.... Ġkici derecede ooregresif zama serisi, AR() İkici derecede bir ooregresif zama serisi, e ~WN (, ) olmak üzere veya X μ αx μ αx μ e α α e (.8) biçimide verilsi. Bu modele ai ule-walker deklem sisemleri () () () () ( ) ( ) (.9) şeklidedir. Bu deklem sisemii çözümüde paramere değerleri () () () () () () () ve (.3) () () () () olarak buluur. İkici derecede ooregresif bir zama serisii durağa olup olmadığıı ve paramereleri üzerideki koşullara bakılarak da söyleebilir. ai α α e zama serisii durağa olması içi gerek ve yeer koşul i) + < ii) - <
() ( ) ( ) ( α ) α ))( )) ( i) (Brockwell ad Davis 987). Burada (.6) de verile deklem sisemi ekrar ele alıdığıda (), () ve () aşağıdaki gibi buluur. ( ) () (.3) ( ) () () (.3) ( ) () (.33) (Fuller 976).
Durağa bir AR() modelii ookorelasyo foksiyou ) ( ) ( ) (.34) ( şeklide olup ilk iki ookorelasyo ρ () ve ρ () değerlere paramerelere bağlı olarak () () () (.35) () ( ) (.36) () şeklide esaplaabilir. AR() modelii ookorelasyo foksiyou ve paramerelerii işareie bağlı olarak üsel azalma veya siüs dalgalamaları göserir. Kısmi korelasyo foksiyoları ise dep ρ () dep ρ dep ρ ρ () dep α ρ (.37) (.38) (3) dep 3 dep 3 (.39) dep () 3 (.4) dep olup = ve = gecikmeleri içi yie ve paramerelerii işareie bağlı olarak sıfırda farklı egaif veya poziif değer alır ve 3 içi de sıfır olur.
..3. p- ici derecede ooregresif zama serisi, AR(p) p- ici derecede bir ooregresif zama serisi, e ~WN (, ) ve p olmak üzere (X μ) p α (X μ) e veya X μ deirse p α e olarak aımlaır. Ookovaryas ve ookorelasyo foksiyoları ule Walker deklemleride γ() αγ( ) αγ( ) αpγ( p) ρ() αρ( ) αρ( ) αpρ( p) şeklide elde edilir. AR(p) sürecii ookorelasyo değerleri p p p m m (.4) deklemii karakerisik köklerie göre üsel ya da siüs dalgalamaları veya ikisii karışımı şeklide azala bir eğilime saipir. Kısmi ookorelasyo değerleri p gecikmeleride sıfırda farklı ike >p içi sıfır olmakadır. ukarıdaki (.9) da görüldüğü gibi MA( ) seriside birici derecede bir ooregresif zama serisii er zama durağa olmadığıı ve bazı koşullar alıda durağa olduğuu görmüşük. ai arekeli oralama zama serisii
er zama durağa olmasıa karşılık ooregresif zama serileri er zama durağa değildir. AR serilerii durağalığı (.4) deklemii karakerisik köklerie bağlıdır. Eğer (.4) de verile deklemi büü kökleri mulak değerce de küçük ise seri durağadır. Aksi alde yai deklemi kökleride e az bir aesi mulak değerce e eşi veya de büyük ise seri durağa değildir. Burada serii karakerisik deklemii kökleride e az bir aesi mulak değerce olması praike çok karşılaşıla durumlarda biridir. Bu ür serilere birim köklü seriler adı verilmekedir. Baze bu seriler lieraürde Rasgele ürüyüş (Radom Walk) serileri olarak da karşımıza çıkmakadır. Öreği (.4) deklemii kökleri ve.7 ise, (X - )=.4(X - - )-.48(X - - )+e zama sersii karakerisik deklemidir. Burada (.4) deklemi m.4m +.48 = şeklidedir. Bu seri köklerde bir aesi mulak değerce olduğuda durağa değildir. Ayrıca, bu seri X = (-.4+.48) + X - -.48X - + e yai X =.4X - -.48X - + e şeklide yazılabileceğide, serii beklee değeri, orada kaybolmakadır. Bu durum ögörülerde soru yaramakadır. İleride ögörü problemi icelediğide göserilecekir ki durağa zama serileri içi ögörüler serii oralamasıa doğru yaklaşmakadır. Birim köklü serilerde ise ögörüler sabileşmekle birlike ögörü aalarıı varyasları zama bağlı olarak ara bir eğilim gösermekedir. Bu seri X w e şeklide yazılabilmekedir.
ukarıda, olarak birici derecede ooregresif serisie MA(+ ) serisii kullaarak ulaşmışık. Şimdi X zama serisi X w e şeklide yazıldığıı kabul edelim. Öyle ki w varsayımıı da sıırlı yakısaklık eoremii koşullarıı sağlaabilmek içi kullaalım. İkici derecede bir ooregresif zama serisi içi m ve m karakerisik deklemi köklerii gösermek üzere w kasayıları w (m m ) m (m m ) m olarak esaplaabilir. Buradaki w değerleri ise w 4(.8) 3(.6) ardışık olarak esaplaabilir. Ayrıca w olduğu da kolayca görülür. Serii X w e şeklide yazıldığı varsayıldığıda ise( yai w ler yukarıdaki gibi verilmiş olsaydı) X 4.8 3.6 e olacakır. Eşiliğii er iki arafı.6 değeri ile çarpılıp kediside çıkarıldığıda, X 4.8 3.6 e.6 4(.8) 3(.6) e.6x - = X -.6X - = elde edilir. ( 4(.8) 3(.6) ) e - Z = X -.6X - ve +=i deirse (.4(.8) 3(.6) ) e
Z =X -.6X - = e + i i ( 4(.8) 3(.6) ) e i - i i = e + i i 4(.8) i ei - i 3(.6) i e i - i i i = e + 4 (.8).4(.8) i e i i = e + i 4 (.8)(.8).4(.8) i i = e + i 3.(.8).4(.8) i = e +.8 i e i e (.4(.8) i i i 3(.6) ) e i.4(.8) ei + i e i i 3 (.6) i e i Z =.8 e elde edilir ve bu eşilik Z =.8Z - +e şeklide yazılabilir. Z i aımı gereği ifade X -.6X - =.8(X - -.6 X - )+e X =.4 X -.48X - +e olur ki bu da ikici derecede ooregresif zama serisidir. Buu ersi de doğrudur. ai, X =.4X - -.48X - +e serisi verildiğide bu seri durağa olduğuda X w e şeklide er zama yazılır. Bu özellik büü durağa zama serileri içi geçerlidir. Eğer serii karakerisik deklemii kökleride bir aesi mulak değerce ise bu ür serilere Birim köklü zama serileri adı verildiği daa öce
söylemişi. Birim köklü zama seriler durağa olmaya seriler olup praike sıkça raslamakadır. İleriki bölümlerde birim köklü serileri deaylı olarak iceleecekir. Ayrıca, karakerisik deklemi kökleride e az bir aesi mulak değerce de büyük olması durumuda da seri durağa değildir. Faka bu durumla praike pek karşılaşılmadığıda bu ür serilere burada değiilmeyecekir..3. Ooregresif Harekeli Oralama Zama Serileri (Auoregressive Movig Average Series), ARMA (p,q) Daa öceki kısımlarda arekeli oralama MA(q) ve ooregresif AR(p) zama serilerii ve bu serileri bazı özelliklerii iceledi. Bu kısımda ise bu iki serii karışımı ola ooregresif arekeli oralama serilerie kısaca değiilecekir. ARMA modeli, ooregresif ve arekeli oralama modellerii karışımı olup bir ARMA(p,q) serisii θ ve. olmak üzere q p i p q (X μ) (X μ) e θ e (.4) i şeklide yazmak mümküdür. Başka bir ifade ile p i q e θ e (.43) şeklide de yazılabilmekedir. Ayı zamada B gerileme operaörleri yardımı B X X k ( k ) ile ve (B) B p B pb θ(b) θb θ q B θqb
olacak şekilde (B) θ(b)e (.44) biçimide yazılabilir. ARMA(p,q) serisii durağa olması içi AR(p) kısmıı durağa olması yeerlidir ve ersiir olması içi MA(q) kısmıı ersiir olması yeerlidir. ARMA modelide (.43) deklemii er iki arafı -k ile çarpılıp beklee değeri alıırsa ookovaryas foksiyou elde edilir. γ() γ( ) γ( ) γ( p) (.45) p γ() Ookorelasyo foksiyou ise () eşiliğide yararlaarak γ() buluur. () ( ) ( ) ( p) (.46) p ARMA(p,q) modelii ookorelasyo foksiyou q gecikmesie kadar em ooregresif em de arekeli oralama paramerelerie bağlı olarak değer alırke q gecikmeside sora sadece ooregresif serii paramerelerie bağlı olarak sıfıra yaklaşır. Kısmi ookorelasyolar ise ookorelasyolar yardımı ile buluur. Kısmi ookorelasyo foksiyou (B) ve θ(b) eşiliklerii köklerie bağlı olarak üsel azalma ve siüs dalgalamaları şeklide azalarak sıfıra doğru yaklaşır ( Wei 99).
.. ARMA(.) Serisi ARMA(.) modelii şeklide verilsi. θ e (.47) Bu eşiliği er iki arafı -k ile çarpılıp beklee değeri alıırsa ookovaryas foksiyou θ θ σ ( θ)( θ) γ() σ,,, (.48) olarak esaplaır (Box ad Jekis 976). Ookorelasyo foksiyou ise γ() ρ() eşiliğide yararlaarak γ(), ( θ)( θ) ρ(), (.49) θ θ ρ(), şeklide olur (Box ad Jekis 976). Bu modeli ookorelasyo foksiyou = gecikmede sora i işareie bağlı olarak üsel azalma veya siüs dalgalamaları şeklide sıfıra doğru yaklaşır.
Örek.4. ARMA(,) i kısmi ookorelasyo foksiyou da ve θ paramerelerii işarelerie bağlı olarak üsel azalma veya siüs dalgalamaları şeklide sıfıra yaklaşır. Özel olarak =.5 ve θ =.9 olduğuda.5.9e +e ARMA(,) sürecii ookorelasyo değerleri 3 4 5 6 () -,4 -, -,3 -,7 -, -,4 olarak esaplamış ve buları grafikleri Şekil.7 de verilmişir. () ġekil.7. ARMA (,) serisii ookorelasyo foksiyou
Örek.5. Ayı örek θ değerii işarei değişirildiğide, yai model =.5 ve θ =-.9 içi.5.9e +e verildiğide ARMA(,) sürecii ookorelasyo değerleri ve grafiği 3 4 5 6 7 8 9 (),75,375,875,93,46,,,5,, olarak buluur ve buları grafikleri Şekil.8 de verilmişir. () ġekil.8. ARMA (,) serisii ookorelasyo foksiyou Şekil.7 ve Şekil.8 de görüldüğü gibi ARMA modelleride serii ookorelasyo değerleri ve θ paramerelerii işarelerie bağlı olarak üsel azalma şeklide sıfıra yaklaşmakadır. ukarıda ARMA(.) modelie ai ookorelasyoları grafikleri iceledi. Şimdi ARMA(.) modeli göz öüe alısı ve.8.5 ve ola ARMA(.) modeli
X.8X.5X e e (.5) olarak verilsi. Bu modeli AR kısmıı karakerisik deklemi ve karakerisik kökleri m m.8m.5.5 m.3 olur ki kökler birde küçük olduğu içi (.5) durağa bir seridir. Bu serii ookorelasyo değerlerii ( ) (.5) formülü ile esaplaır. Burada değerlerii buluması gerekir. Buu içi X e e e 3e 3....8X.8 e.8 e.8 e3.8 3e4....5X.5e.5e 3.5e4.53e 5... değerleri araf arafa çıkarılırsa elde edilir ve diğer.8 değerleri 5 3 (.5) (.3) şeklidedir.burada ookorelasyo foksiyou ( ) 5 (.5) olup ookorelasyo değerleri 3 (.3) 5 (.5) 3 (.3)
3 4 5 6 7 8 9 γ() σ 6.7 5.55 3.4.9..5.6.35.68.34.7 ().85.5.84.5.78.39...5. olarak esaplamışır. Buları grafikleri ise Şekil.9 da verildiği gibidir. () ġekil.9. ARMA (,) serisii ookorelasyo foksiyou
3. DURAĞAN OLMAAN ZAMAN SERĠLERĠ Özellikle gelişe ekoomide ve çalışma alalarıda durağa olmaya zama serilerie çok raslaılmakadır. Daa öceki bölümlerde basedildiği gibi, arekeli oralama (MA) serileri er zama durağadır. Faka ooregresif (AR) zama serileride durağalık serii karakerisik deklemii köklerie bağlıdır. Bezer şekilde ooregresif arekeli oralama (ARMA) serilerii durağa olup olmaması ise serii AR kısmıı karakerisik deklemii köklerie bağlıdır. Dolayısıyla durağa olmaya zama serileri iceleirke AR serileri üzeride durulacakır. Bölüm de basedildiği gibi AR serileride karakerisik deklemi büü kökleri mulak değerce birde küçük ise seri durağa aksi akirde seri durağa değildi. Durağa olmaya zama serileri sııfı içeriside karakerisik deklemii köklerii mulak değerce bir olması yai Birim Köklü Zama Serileri (Ui Roo Time Series ) oldukça geiş bir yer umakadır. Bu bölümde de birim köklü zama serileri iceleecekir. Uzu döemde eragi bir ekoomik zama serisi bir red ile deermiisik süreci lieer bileşimi olarak yazılabilir. Deermiisik red, ilgili zama serisii zama içide sürekli arması (veya azalması) şeklideki bir eğilim olarak düşüülür Durağa olmaya süreçleri oralama foksiyoları zamaı bir deermiisik redi olabilir. Burada rasgele olmaya bir erim olmak üzere X = X + ( 3.) modelideki {} serisie deermiisik red adı verilir. Ayrıca e ~WN (, ) olmak üzere e s s X = X + X + v ( 3.)
modelideki v es serisie sokasik red deir. Sokasik red, s serideki zamala ara (veya azala) eğilimi sürekli olmaması, geellikle arış (veya azalış) içeriside ola bir seride düşüşleride (veya arışlarıda) gözlediği durumu ifade emekedir. Deermiisik redi gözlediği zama serisi içi veri üreim sürecii zama değişkeii içerdiği varsayılır. Bua karşı, sokasik rede saip zama serisi içi uygu veri üreim süreci, zama serisii gecikmeli değerlerii açıklayıcı değişke olarak kullaıldığı ooregressif model olarak düşüülmelidir. Ayrıca v durağa olmaya bir süreçir ve rasgele yürüyüş süreci (Radom Walk Process) olarak biliir (Haaaka 996). ukarıdaki (3.) ve (3.) modelleri birleşirildiğide e s s X = X + + X + + v ( 3.3) modeli elde edilir. Bu modeldeki + v erimi ise deermiisik ve sokasik redleri birleşimidir. ie yukarıda ( 3. ) ve ( 3.3 ) deki X sokasik bir rasgele değişke olarak göz öüe alıabildiği gibi sokasik olmaya bir sabi olarak da göz öüe alıabilir ve praike X α veya özellikle birim köklü zama serileri iceleirke X = alıır. ai, bu değer başlagıç koşulu olarak alımakadır. Öreği, P zamaıdaki fiyalar, I -, - zamaıdaki bilgiyi gösermek üzere, - zamaıda P i koşullu beklee değeri P - = E (P I - ) (3.4) biçimidedir. I - bilgisii sadece (P -, P -, ) (3.4) ifadesi P - = E (P P -, P -, ) olduğu kabul edildiğide
biçimide olmakadır Burada P serisi Marigale Süreci olduğuda P i içbir kısmı ( P -, P -, ) bilgisi ile ögörülemez (Haaaka 996). ukarıdaki (3.) eşiliğide başlagıç okası X = olarak alıdığıda X e i ve =,e, e i e olmak üzere E(X + ) = E (X + e ) = E (X ) + E ( e ) burada e değerleri e,e, e değerleride bağımsız olduğuda E( e )= olacakır. Dolayısıyla, E(X + ) = E (X ) = X buluur ki (X, ) ikilisie Marigale Süreci adı verilmekedir (Billigsley 986). Bir serii beklee değeri ve ookovaryasları zamaa bağlı değil ise bu ür seriler durağa zama serileri olarak adladırılmışı. Eğer ookovaryaslar zamaa bağlı değil, faka beklee değeri zamaa bağlı ise serisii deermiisik bir red içerdiğii söyleyebiliriz. (3.3) de verile seride eğer v durağa ise μ deermiisik bir reddir. Faka, (3.3) de verile seride v i ookovaryasları zamaa bağlıdır. Bu ür seriler içi ise (yai, seri (3.3) deki gibi v gibi durağa olmaya bir bileşe içeriyorsa) sokasik bir red içeriyor deir. Kısaca, sadece beklee değer zamaa bağlı ise deermiisik bir red, sadece ookovaryaslar( dolayısıyla varyas) zamaa bağlı ise seri sokasik red
içeriyor deir. Bazı seriler em deermiisik, em de sokasik bir red içerebilir. Aalizleri yapılabilmesi içi serii durağalaşırılması gerekiğide, eğer seri sadece deermiisik bir red içeriyorsa ( (3.3) deki gibi) serii oralamasıı çıkarılması ile durağa ale geirilebilir ( X X gibi). Burada fark almak gerekmez. Faka seri sokasik bir red içeriyorsa, serii durağa ale geirilmesi içi mulaka fark almak gerekir. Durağa olmaya zama serileride paramereleri ami edicilerie ai asimpoik özellikler durağa zama serilerii asimpoik özellikleride farklıdır. Dolayısıyla durağa olmaya zama serisi üzeride zama serileri aalizleri yapılırke serii durağa olup olmadığı korol edilmeli ve seri durağa değil ise durağalaşırıldıka sora aalizler yapılmalıdır. Durağalaşırma deildiğide ise ilk akla gele serii farkıı alımasıdır. Durağa olmaya eragi bir zama seriside d, serisii durağalık içi kaç kez fark alma işlemie uulduğuu göserir ve büüleşme derecesi (iegraed order) olarak biliir. Gerileme operaörü B olmak üzere Z = (-B) d X serisi durağa ise X serisie d- ici derecede büüleşme serisi deir ve X ~ I(d) oasyou kullaılır. Eğer X zama serisi, Z ~ARMA (p,q) serisie döüşüyorsa büüleşme derecesi d ola ARIMA serisi olarak adladırılır ve X ~ARIMA(p,d,q) göserimi kullaılır. Öreği, e ~WN (, ) olmak üzere birici derecede durağa bir ooregresif zama serisi veya ( - ) = ( - -) + e (3.5) = μ( α e α)
= α α e (3.6) verilmiş olsu. Buradaki serisi durağa değildir. Çükü sabi bir red içermekedir. Faka böyle bir durumda fark almak gerekmez. Çükü serii oralaması (3.5) de verildiği gibi er iki arafa çıkarıldığıda durağa olmakadır.ai (3.6) da verile seri deermiisik bir red içermeke faka (3.5) de verile seri deermiisik bir red içermemekedir. Bu serii oralaması ve ookovaryas foksiyou ve ookorelasyo foksiyou daa öceki bölümde basedildiği gibi () = () ρ() α şeklidedir. ukarıdaki (3.6) seriside < içi ookorelasyolar sıfıra doğru üsel olarak azalmakadır. Bu azalma büü durağa zama serileri içi geçerli olmakadır. Faka = ise ookorelasyolar sabi kalmakadır. Dolayısıyla serii durağalığıı sıaması içi H : = yokluk ipoezii H A : < aleraif ipoezie karşı es edilmesi gerekmekedir. Ooregresif zama serileri gerçeke doğru olmasa bile regresyo modelie bezemekedir. Ou içi α parameresii e küçük kareler ami edicisi i - üzerie regresyou yapılarak veya er iki arafa - çıkarılarak model veya - - = - - - + e (3.7) = (-) - + e (3.8) şeklide yazılır. Eğer (-) = olarak alıırsa model = - + e şeklie döüşür. Burada yie i - üzerie regresyou yapılması ile H : = yokluk ipoezi H A : < ipoezie karşı es edilebilir.
Eğer = ise aşağıda (3.9) da verile = - + e (3.9) zama serisi durağa değildir ve serii birici farkı, = - yai e birici fark serisi durağadır. Bu serisii durağa olmadığı da aşikardır. Çükü serisi = + olarak elde edilir. Başlagıç koşulu = alıırsa E( ) = e Var ( ) = Cov (, + ) = E (, + ) = mi, + olmakadır. Beklee değer de bağımsız olmasıa rağme Cov (, + ) foksiyou ye bağlıdır. Ayrıca Var ( ) ve Cov (, + ) sabi kalmamakla birlike bu değer içi sosuza gimekedir. ai seri durağa değildir. Durağa zama serileri içi yapıla isaisiki souçlar durağa olmaya zama serileri içi geçerli değildir. Bularda biri, durağa zama serileride ögörüler serii oralamasıa doğru yaklaşmakla birlike durağa olmaya (birim köklü ) serilerde serii oralaması orada kaybolmakadır. Öreği, (3.6) daki model göz öüe alıırsa = alıması durumuda serii oralaması ola modelde kaybolmakadır. Ögörüleri oralamaya yaklaşması mümkü değildir. Ayrıca göserilebilir ki, (3.6) modeli içi,,... gözlediğide s adım ilerideki ögörüleri E ( +s,... ) koşullu beklee değeri ile esaplayabiliriz. Birici derecede μ ρ μ e ooregresif zama serisi göz öüe alıırsa s adım ilerideki ögörüleri esaplamak iseyelim. Öce X μ olsu. Serii durağa ve durağa olmaması durumuda ögörüleri ayrı ayrı iceleyelim.