ANALİTİK GEOMETRİ. Matrisler - Determinant Lineer Denklem Sistemleri - Vektörler Uzayda Doğru Denklemi - Uzayda Düzlem Denklemi

ANALİTİK GEOMETRİ Matrisler - Determinant Lineer Denklem Sistemleri - Vektörler Uzayda Doğru Denklemi - Uzayda Düzlem Denklemi Kutupsal Koordinat Sistemi - Konikler Koordinat Dönüşümleri - Koniklerin Genel Denklemi Eğri ve Yüzey Denklemleri Uzayda Farklı Koordinat Sistemleri Mustafa Özdemir ALTIN NOKTA YAYINEVİ İZMİR - 016

Copyright Altın Nokta Basım Yayın Dağıtım Bilişim ISBN 978-605-555-39-8 ANALİTİK GEOMETRİ Mustafa Özdemir mozdemir07@gmail.com Bu kitabın her hakkı saklıdır. Tüm hakları yazarına aittir. Kısmen de olsa alıntı yapılamaz. Metin ve sorular, kitabı yayımlayan kurumun önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılamaz, yayımlanamaz. Genel Yayın Yönetmeni Halil İ. AKÇETİN Kapak-Dizgi Altın Nokta Dizgi-Grafik Baskı SON ÇAG MATBAACILIK 0 31 341 36 67 Yayın - Dağıtım Altın Nokta Basım Yayın Dağıtım 859 Sk. No:1/Z-4 Konak / İZMİR Tel- Faks : 0 (3) 441 5 95 www.nokta000.com www.altinnokta.com.tr www.kitapana.com nokta@nokta000.com altinnokta@altinnokta.com.tr kitapana@kitapana.com EKİM - 015. Basım

Önsöz Bu kitap üniversitelerimizin Matematik ve Matematik Eğitimi alanındaki lisans programlarında okutulan Analitik Geometri dersi için, yardımcı bir kaynak olması amacıyla hazırlanmıştır. Analitik Geometri nin temeli olan ve ihtiyaç duyulan, Matrisler, Determinant ve Vektörler gibi bazı Lineer Cebir konularına da, kitabın başında detaylı olarak yer verilmiştir. Her konudaki en önemli noktalar vurgulanmış ve her konu çeşitli örneklerle zenginleştirilmiştir. Ayrıca, örneklere benzer sorular, örneklerden hemen sonra yanıtlarıyla birlikte alıştırma olarak verilerek, konunun pekiştirilmesi amaçlanmıştır. Her konunun sonuna, konunun tekrar edilmesi amaçlanarak bir test sınavı eklenmiştir. Bu test sınavlarının, özellikle (ÖABT) Öğretmenlik Alan Sınavı na girecek öğretmen adaylarına da faydalı olacağına inanıyorum. Kitabın tashihinde bana yardımcı olan Yüksek Lisans öğrencisi Hasan Çakır aveeşim Burcu Özdemir e teşekkür ederim. Kitabın, tüm öğrencilerimize faydalı olmasını diliyorum. Mustafa Özdemir Antalya - 015

İçindekiler BİRİNCİBÖLÜM Matrisler Martislerde İşlemler 1 Bir Matrisin Transpozesi 18 Bir Matrisin Tersi 1 Elemanter Satır Operasyonları 7 Bir Matrisin Tersinin Bulunması 31 Bölüm Sonu Tekrar Testi (Matrisler) 37 İKİNCİBÖLÜM Determinant Determinant 41 Determinantın Özellikleri 48 Kofaktör Yardımıyla Determinant Hesabı 56 Ek Matris 71 Bölüm Sonu Tekrar Testi (Determinant) 75 ÜÇÜNCÜ BÖLÜM Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri 81 Lineer Homojen Denklem Sistemi 85 Matrisinin Tersi Kullanılarak Denklem Sistemlerinin Çözülmesi 88 Cramer Kuralı 90 Bölüm Sonu Tekrar Testi (Lineer Denklem Sistemleri) 93 DÖRDÜNCÜ BÖLÜM Vektörler Vektörlerde İşlemler 98 Dik Koordinat Sistemi 10 Dik Koordinat Sisteminde İki Nokta Arasındaki Uzaklık 104 Vektörlerin Dik Koordinat Sisteminde Gösterilmesi 107 Birim Vektör 111 Vektörlerin Düzlem Geometride Uygulamaları 11 Lineer BağımsızlıkveTaban 117 İç Çarpım 17

Öklid İç Çarpımının Geometrik Uygulamaları 130 Doğrultman Kosinüsleri 144 Vektörel Çarpım ve Geometrik Uygulamaları 149 Karma Çarpım ve Geometrik Uygulamaları 156 R n Uzayında Vektörel Çarpım 16 Bölüm Sonu Tekrar Testi (Vektörler) 167 BEŞİNCİBÖLÜM Uzayda Doğru Denklemi Bir Noktası ve Doğrultusu Verilen Doğrunun Denklemi 175 İki Noktası Verilen Doğrunun Denklemi 178 Bir Noktası Bilinen ve İki Vektöre Dik Olan Doğrunun Denklemi 180 R 3 Uzayında İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları 18 Bir NoktanınBirDoğruya Uzaklığı 187 Aykırı İki Doğru Arasındaki Uzaklık 191 Bölüm Sonu Tekrar Testi (Uzayda Doğru Denklemi) 195 ALTINCI BÖLÜM Uzayda Düzlem Denklemi Düzlem Denklemi 197 Üç Noktası Verilen Düzlem Denklemi 00 İki Doğruya Paralel, Bir Noktası Bilinen Düzlemin Denklemi 0 İki Düzlemin Birbirine Göre Durumları 03 Bir Doğru ile Bir Düzlemin Birbirine Göre Durumları 06 İçindeki İki Doğrusu Bilinen Düzlemin Denklemi 10 Bir Doğrunun Bir Düzlem Üzerindeki Dik İzdüşümünün Denklemi 11 Bir Noktanın Bir Düzleme Uzaklığı 1 Paralel İki Düzlem Arasındaki Uzaklık 14 Eksenleri Kestiği Koordinatları Verilen Düzlem Denklemi 15 Düzlem Demeti 16 İzdüşüm Noktasının Bulunması 17 Simetri - Yansıma 19 Bölüm Sonu Tekrar Testi (Uzayda Düzlem Denklemi) 5 YEDİNCİBÖLÜM Kutupsal Koordinat Sistemi Kutupsal ve Dik Koordinatların Birbirine Çevrilmesi 9 Kutupsal Koordinatlarda İki Nokta Arasındaki Uzaklık 3 Kutupsal Koordinatlarda Üçgenin Alanı 3

Kutupsal Koordinatlarda Bir Eğrinin Grafiğinin Çizilmesi 33 Bölüm Sonu Tekrar Testi (Kutupsal Koordinat Sistemi) 39 SEKİZİNCİBÖLÜM Konikler Çemberin Analitik İncelemesi 44 Bir Doğru İle Bir Çemberin Birbirine Göre Durumları 47 Üç Noktası Bilinen Çember Denklemi 49 Bir Çember Üzerindeki Bir Noktadan Çizilen Teğetin Denklemi 51 Bir Çembere Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetlerin Denklemi 53 Değme Kirişinin Denkleminin Bulunması 55 Bir Noktanın Bir Çembere Göre Kuvveti 56 Çemberlerin Birbirine Göre Durumu 58 İki Çemberin Dik Kesişmesi 60 Kuvvet Ekseni 61 Çember Demeti 63 Elips 65 Merkezil Elips ile Bir Doğrunun Birbirine Göre Durumları 70 Elipsin Doğrultmanları 73 Hiperbol 78 Hiperbolün Asimptotları 80 Merkezil Hiperbol ile Bir Doğrunun Birbirine Göre Durumları 83 Hiperbolün Doğrultmanları 85 Parabol 88 Koniklerin Parametrik Denklemleri 90 Koniklerin Kutupsal Denklemleri 9 Bölüm Sonu Tekrar Testi (Konikler) 95 DOKUZUNCU BÖLÜM Koordinat Dönüşümleri Noktanın Ötelenmesi 301 Eksenlerin Ötelenmesi 303 Noktanın Döndürülmesi 307 Eksenlerin Döndürülmesi 313 AfinDönüşüm 316 Bölüm Sonu Tekrar Testi (Koordinat dönüşümleri) 319 ONUNCU BÖLÜM Koniklerin Genel Denklemi

Öteleme Yapılarak x ve y li terimlerin yok edilmesi 3 Dönme Yapılarak xy li terimin yok edilmesi 36 Bölüm Sonu Tekrar Testi (Koniklerin Genel Denklemi) 333 ONBİRİNCİ BÖLÜM Eğri ve Yüzey Denklemleri Eğrilerin ve Yüzeylerin Denklemleri 335 Küre Yüzeyi 338 Kürenin Parametrik Denklemi 341 Küre ve Doğru 34 Küre ve Düzlem 344 Bir Kürenin Teğet Düzleminin Bulunması 348 Silindir Yüzeyi 35 Koni Yüzeyi 354 Kuadratik Yüzeyler 356 Elipsoid 356 Eliptik Silindir 357 Eliptik Dik Koni 358 Tek Kanatlı Hiperboloid 359 Çift Kanatlı Hiperboloid 361 Eliptik Paraboloid 36 Hiperbolik Paraboloid 364 Parabolik Silindir 365 Hiperbolik Silindir 366 Dönel Yüzeyler 367 Bölüm Sonu Tekrar Testi (Eğri ve Yüzey Denklemleri) 371 ONİKİNCİBÖLÜM Uzayda Farklı Koordinat Sistemleri Silindirik Koordinatlar 379 Küresel Koordinatlar 380 Kutupsal Koordinatlar 381 Kaynaklar 38

130 Analitik Geometri - Mustafa Özdemir 4.35 Alıştırma R 4 uzayında verilen ~x =(1,, 3, 4), ~y =(0, 3, 1, ) ve ~z =(1, 0,, 1) vektörleri için aşağıdakileri hesaplayınız. a) h~x, ~yi =? b) h~x, ~zi =? c) h~x, ~y + ~zi =? d) h~x +3~z, ~x ~yi =? Yanıt:a) 17 b) 3 c) 0 d) 19. Örnek 4.40 ~x + ~y + ~z = ~0, h~x, ~xi = h~y, ~yi = h~z,~zi = 1ise h~x, ~yi değerini hesaplayınız. Çözüm : ~x + ~y + ~z = 0 eşitliğini sırasıyla ~x, ~y ve ~z vektörleriyle çarpalım. Buna göre, h~x, ~xi + h~x, ~yi + h~x, ~zi = 0 h~x, ~yi + h~x, ~zi = 1 h~y, ~xi + h~y, ~yi + h~y, ~zi = 0 h~y, ~xi + h~y, ~zi = 1 h~z, ~xi + h~z, ~yi + h~z, ~zi = 0 h~z, ~xi + h~z, ~yi = 1 eşitliklerinden, üçüncüsü 1 ile çarpılıp taraf tarafa toplanırsa, h~x, ~yi = 1 elde edilir. Öklid İç Çarpımının Geometrik Uygulamaları Bu bölümde, Öklid İç çarpımının, geometride ne gibi kolaylıklar sağladığını, Öklid iç çarpımını geometrik olarak nasıl yorumlayabileceğimizi göreceğiz. Öklid iç çarpımını kullanarak, R n uzayında açı ve uzunluğu içeren birçok problemi çözmemiz mümkündür. Aşağıda, bunlardan örnekler vereceğiz. Öklid İç çarpımı ile bir vektörün uzunluğu arasındaki ilişki. Daha önce R n uzayında bir ~u =(u 1,u,..., u n ) vektörünün uzunluğunu k~uk = p u 1 + u + + u n ile ifade etmiştik. Diğer taraftan, ~u vektörünün kendisiyle iç çarpımı da, olduğundan, sonucuna ulaşırız. h~u, ~ui = u 1 + u + + u n k~uk = p h~u, ~ui Örnek 4.41 ~x =~u+~v ise k~xk değerini, ~u ve ~v vektörlerinin normuna ve iç çarpımına bağlı olarak yazınız. Çözüm : İç çarpımın özellikleri kullanılarak, k~xk = p h~x, ~xi = p h~u + ~v, ~u + ~vi = p 4 h~u, ~ui +h~u, ~vi +h~v, ~ui + h~v, ~vi q = 4 k~vk +4h~u, ~vi + k~vk bulunur.

VEKTÖRLER 131 Örnek 4.4 k~x + ~yk = 5, k~xk = 1ve k~x ~yk = 3olduğuna göre, ~y vektörünün uzunluğunu bulunuz. Çözüm : k~uk = h~u, ~ui bağıntısını ve iç çarpımın özelliklerini kullanacağız. k~x + ~yk = h~x + ~y, ~x + ~yi = h~x, ~xi + h~x, ~yi + h~y, ~xi + h~y, ~yi = k~xk +h~x, ~yi + k~yk 5 = 1 + h~x, ~yi + k~yk (*) elde edilir. Diğer yandan, k~x ~yk = h~x ~y, ~x ~yi = h~x, ~xi h~x, ~yi h~y, ~xi + h~y, ~yi = k~xk h~x, ~yi + k~yk 9 = 1 h~x, ~yi + k~yk (**) olduğundan, ( ) ve ( ) eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa, 34 = + k~yk eşitliğinden, k~yk =4elde edilir. Yani, ~y vektörünün uzunluğu 4 br dir. 4.36 Alıştırma k~x + ~yk = 6, k~yk = ve k~x ~yk = 4olduğuna göre, ~x vektörünün uzunluğunu bulunuz. Yanıt:. 4.37 Alıştırma h~x, ~yi = k~x + ~yk k~x ~yk 4 olduğunu kanıtlayınız. Öklid iç çarpımını kullanarak iki vektörün arasındaki açının bulunması. 4.7 Teorem ~x ve ~y, R n uzayında iki vektör olsun. ~x ve ~y arasındaki açı θ ise, h~x, ~yi cos θ = k~xkk~yk dir. Kanıt : R n uzayında, aralarındaki açı θ olan ~x ve ~y vektörlerini alalım. ~x, ~y ve ~x ~y vektörleri şekildeki gibi bir üçgen oluştururlar ve bu üçgenin kenarları k~xk, k~yk ve k~x ~yk uzunluğuna sahiptir. Şimdi, Kosinüs teoremini uygulayacağız. k~x ~yk = k~xk + k~yk k~xkk~yk cos θ eşitliğinde, sol taraftaki k~x ~yk normunu, k~x ~yk = h~x ~y, ~x ~yi = h~x, ~xi h~x, ~yi h~y, ~xi + h~y, ~yi = k~xk h~x, ~yi + k~yk θ y x x y

13 Analitik Geometri - Mustafa Özdemir şeklinde yazarsak, k~xk h~x, ~yi + k~yk = k~xk + k~yk k~xkk~yk cos θ eşitliğinde, sadeleştirmeler yapılarak, h~x, ~yi = k~xkk~yk cos θ elde edilir. Böylece, h~x, ~yi cos θ = k~xkk~yk bulunur. Not : Öklid iç çarpımının en önemli geometrik yorumu, iki vektör arasındaki açıyı bulabilmemizi sağlamasıdır. Örnek 4.43 Sıfırdan farklı iki vektörün dik olmasıyla, iç çarpımları arasında nasıl bir bağıntı vardır? Çözüm : Aralarındaki açı 90 olan ~x ve ~y vektörlerini alalım. cos 90 =0olduğundan, h~x, ~yi cos θ = k~xkk~yk =0 eşitliğinden, h~x, ~yi =0elde edilir. Sonuç olarak, iki vektörün iç çarpımı 0ise, buiki vektör birbirine dik olacaktır. Örnek 4.44 ~x = (1,, 3, 4, 5) vektörüyle ~y = (, 3, 5, 1,k) vektörü birbirine dik ise k nedir? Çözüm : ~x ~y ise h~x, ~yi =0olmalıdır. Buna göre, h~x, ~yi =1 + ( 3) + 3 5+4 1+5 k =5k +15=0 eşitliğinden, k = 3 bulunur. Örnek 4.45 Çözüm : cos θ = elde edilir. ~x = (1, 3, 0, ) ve ~y = (1, 0,, 3) vektörleri arasındaki açıyı bulunuz. h~x, ~yi k~xkk~yk = 1 1+3 0+0 4+ 3 1+9+4 1+4+9 = 1 olduğundan, θ =60 4.38 Alıştırma ~x =(1,, 3,, 1) ve ~y =(3, 1,, 1, ) vektörleri arasındaki açının kosinüsünü bulunuz. Yanıt:cos θ = 15 19.

VEKTÖRLER 133 4.39 Alıştırma ~x =(1,, 3,, 1) ve ~y =(3,k,, 1, ) vektörleri birbirine dik ise k =? Yanıt:k =3/. 4.40 Alıştırma R 3 uzayında ~x =(1,, 3) vektörüne dik olan 5 vektör yazınız. 4.41 Alıştırma R 3 uzayında ~x =(1,k,), ~y =(3, 1,m) ve ~z =(n,, ) vektörleri ikişer olarak birbirlerine dik olduklarına göre, m, n ve k değerlerini bulunuz. Yanıt:k = 17 5 14,m= 16,n= 5 5. 4.4 Alıştırma R 3 uzayında ~x = (1,k,), ~y = (, 1,m) ve ~z = (n,, 1) vektörleri ikişer olarak birbirlerine dik olduklarına göre, m, n ve k değerlerini bulunuz. det (~x, ~y, ~z) =?Bu vektörler doğrultusundaki birim vektörlerin oluşturduğu matrisin bir ortogonal matris olacağını gösteriniz. Yanıt:k =,m=,n=. Not! Ortogonal bir matriste, tüm satır ve tüm sütun vektörleri birbirine diktir. Tüm satır ve sütun vektörlerinin uzunluğu 1 dir. Örnek 4.46 A = 1 a =?, b =?, c =? 1 1 1 1 1 1 1 c 1 b 1 1 1 1 a 1 = matrisi bir ortogonal matris ise, Çözüm : hs 1,S i =0eşitliğinden, c =1, hs 1,S 3 i =0eşitliğinden, b =1ve son olarak, hs 1,S 4 i =0eşitliğinden, a = 1 elde edilir. Bu a, b, c değerleri için AA T = I olduğunu görebilirsiniz. 4.43 Alıştırma A = 1 1 4 a 4 b 4 matrisi ortogonal olduğuna göre, a, b, c değerlerini bulunuz. 9 8 4 c Yanıt:a =8,b= 7,c=1. 4.44 Alıştırma A = 1 1 1 matrisi ortogonal olduğuna göre, a, b, c değerlerini bulunuz. 3 a b c Yanıt:a =, b=,c= 1 veya a =,b=,c=1.

134 Analitik Geometri - Mustafa Özdemir Örnek 4.47 Eşkenar dörtgenin köşegenlerinin birbirine dik olduğunu vektörleri kullanarak kanıtlayınız. Çözüm : Eşkenar dörtgenin aynı köşeden çıkan iki kenarını ~x ve ~y vektörleriyle gösterirsek, köşegenlerden biri ~x ~y, diğeri ise ~x + ~y vektörü olacaktır. Buna göre, k~xk = k~yk olduğuda göz önüne alınırsa, h~x + ~y, ~x ~yi = k~xk h~x, ~yi + h~y, ~xi k~yk = 0 elde edilir. Bu köşegenlerin birbirine dik olduğunu gösterir. x+ y y x x y Örnek 4.48 bulunuz. ~x = (1,, 3) vektörüyle aynı düzlemde bulunan birbirine dik iki vektör Çözüm : ~x vektörünün bulunduğu düzlemde bulunan birbirine dik iki vektör ~y ve ~z olsun. Buna göre, h~y, ~zi =0olmalı ve ~x, ~y, ~z aynı düzlemde olmalıdır. Aynı düzlemde olan üç vektör lineer bağımlı olacağından, bu üç vektörün determinantı 0olmalıdır. ~y vektörünü rastgele bir vektör alabiliriz. ~y =(1, 1, 1) olsun. ~z =(a, b, c) diyelim. Buna göre, 1) h~y, ~zi =0ise a + b + c =0 ( ) olmalıdır. ) det (~x, ~y, ~z) = 0ise 1 3 1 1 1 a b c =b a c =0 ( ) olmalıdır. Buna göre, ( ) ve ( ) eşitliklerinden, b =0ve a = c bulunur. O halde, ~z =(1, 0, 1) alınabilir. R n uzayında herhangi iki vektörle oluşturulan paralelkenarınalanını, iç çarpımyardımıyla nasıl hesaplayabileceğimizi aşağıdaki teoremle verelim. Öklid iç çarpımını kullanarak alan hesaplamalarının yapılabilmesi. 4.8 Teorem ~x ve ~y, R n uzayında iki vektör olsun. ~x ve ~y arasındaki açı θ olmak üzere, ~x ve ~y ile oluşturulan paralelkenarınalanı q Alan (~x, ~y) = h~x, ~xih~y, ~yi h~x, ~yi dir.

VEKTÖRLER 135 Kanıt:Aralarındaki açı θ olan, ~x ve ~y vektörleriyle oluşturulan paralelkenarınalanını Alan (~x, ~y) =k~xkk~yk sin θ ile bulabiliriz. sin θ = 1 cos θ yazalım. Diğer yandan, cos θ = da kullanırsak, s Alan (~x, ~y) = h~x, ~yi k~xkk~yk 1 k~xk k~yk q = k~xk k~yk h~x, ~yi q = h~x, ~xih~y, ~yi h~x, ~yi h~x, ~yi k~xkk~yk olduğunu elde edilir. Üçgenin alanı için bu değer ye bölünür. Örnek 4.49 ~x = (1, 1,, 3) ve ~y = (, 3, 1, 1) vektörleriyle oluşturulan paralelkenarınalanını bulunuz. q Çözüm : Alan (~x, ~y) = h~x, ~xih~y, ~yi h~x, ~yi eşitliğinden, elde edilir. Alan (~x, ~y) = 15 15 10 =5 5 Örnek 4.50 Köşelerinin koordinatları A (1, 1, 1, 0, 1), B (1,, 3, 4, 3) ve C (1,, 1, 1, 1) olan üçgenin alanını bulunuz. Çözüm : Önce noktadan vektöre geçelim. ~x = AB = B A =(0, 1,, 4, ) ve ~y = AC = C A =(0, 1, 0, 1, 0) denilirse, üçgenin alanı : bulunur. Alan (ABC) = 1 q h~x, ~xih~y, ~yi h~x, ~yi = 1 5 5 = 5 Örnek 4.51 bulunuz. Çözüm : Alan (~x, ~y) = ~x = (1, 1) ve ~y = (3, 4) vektörleriyle oluşturulan paralelkenarın alanını q h~x, ~xih~y, ~yi h~x, ~yi = 5 7 =1 dir.

136 Analitik Geometri - Mustafa Özdemir 4.45 Alıştırma ~x =(0, 1, 0,, ) ve ~y =(, 0, 0,, 1) vektörleriyle oluşturulan paralelkenarınalanını bulunuz. Yanıt:3 5. 4.46 Alıştırma Köşelerinin koordinatları A(1,1,1,0,1), B(1,,3,4,3) ve C(1,,1,1,1) olan üçgenin alanını bulunuz. Yanıt:5/. 4.47 Alıştırma ~x = (1, ) ve ~y = (, 1) vektörleriyle oluşturulan paralelkenarın alanını bulunuz. Yanıt:3. 4.9 Teorem Düzlemde köşelerinin koordinatları A (x 1,y 1 ), B(x,y ) ve C (x 3,y 3 ) olan üçgenin alanı Alan (ABC) = 1 değerinin mutlak değeridir. 1 x 1 y 1 1 x y 1 x 3 y 3 1. Kanıt: BA = ~y =(x1 x,y 1 y ) ve BC = ~x =(x 3 x,y 3 y ) ile gösterelim ve Alan (ABC) = 1 q h~x, ~xih~y, ~yi h~x, ~yi y A formülünü uygulayalım. Buna göre, uzun ve sıkıcı işlemler sonucunda, B x θ C h~x, ~xih~y, ~yi h~x, ~yi = ³(x ³ 1 x ) +(y 1 y ) (x 3 x ) +(y 3 y ) bulunur. Buradan, ((x 1 x )(x 3 x )+(y 1 y )(y 3 y )) = (x 1 y x y 1 x 1 y 3 + x 3 y 1 + x y 3 x 3 y ) Alan (ABC) = 1 (x 1y x y 1 x 1 y 3 + x 3 y 1 + x y 3 x 3 y ) = 1 1 x 1 y 1 1 x y 1 x 3 y 3 elde edilir.

VEKTÖRLER 137. Kanıt(KlasikYöntem) Yamuklarınalanlarını kullanarak, A (ABC) = A (BMNA) +A (ANKC) A (BMKC) eşitliğinden sonuca ulaşabiliriz. µ y1 + y A (BMNA) =(x 1 x ) µ y1 + y 3 A (ANKC) =(x 3 x 1 ) µ y3 + y A (BMKC) =(x 3 x ) olduğu kullanılırsa, y 1 y 3 y B A C x x 1 x 3 M N K Alan (ABC) = 1 (x 1y x y 1 x 1 y 3 + x 3 y 1 + x y 3 x 3 y ) = 1 1 x 1 y 1 1 x y 1 x 3 y 3 elde edilir. Örnek 4.5 Düzlemde köşelerinin koordinatları A, B ve C olan üçgenin alanının 1 det( AB, AC) değerine eşit olduğunu gösteriniz. Çözüm : Üçgenin köşelerinin koordinatları A (x 1,y 1 ),B(x,y ) ve C (x 3,y 3 ) olsun. AB =(x x 1,y y 1 ) ve AC =(x 3 x 1,y 3 y 1 ) olduğundan, 1 det( 1 AB, AC) = x x 1 y y 1 x 3 x 1 y 3 y 1 elde edilir. = 1 (x 1y x y 1 x 1 y 3 + x 3 y 1 + x y 3 x 3 y ) = 1 1 x 1 y 1 1 x y 1 x 3 y 3 = Alan (ABC)

138 Analitik Geometri - Mustafa Özdemir Örnek 4.53 Köşelerinin koordinatları A (1, 1), B (, 3) ve C (3, 6) olan üçgenin alanını hesaplayınız. Çözüm : 3farklı şekilde çözelim. 1. Yol (R n de geçerli genel formül) (Alan (ABC)= 1 q h~x, ~xih~y, ~yi h~x, ~yi ) ~x = AB ve ~y = AC alabiliriz. Buna göre, ~x =(1, ) ve ~y =(, 5) olduğundan, Alan (ABC) = 1 5 9 1 = 1 elde edilir.. Yol (Klasik Yöntem) (Alan (ABC) = 1 Alan (ABC) = 1 1 x 1 y 1 1 x y 1 x 3 y 3 1 1 1 1 3 1 3 6 ) = 1 bulunur. 3. Yol (Determinant) (Alan (ABC) = 1 det( AB, AC) ) Alan (ABC) = 1 1 5 = 1 olduğu görülür. 4.48 Alıştırma Köşelerinin koordinatları A (1, ), B(, 3) ve C (3, 1) olan üçgenin alanını 3 farklı yöntemi kullanarak hesaplayınız. Yanıt: 3. 4.49 Alıştırma Köşelerinin koordinatları A (0, 1),B(6, 3), C (7, 6) ve D (1, 4) olan paralelkenarınalanını hesaplayınız. Yanıt:16.

VEKTÖRLER 139 Örnek 4.54 Köşelerinin koordinatları A (1, 1, 1), B (,, 1) ve C (1, 3, 3) olan üçgenin çevrel çemberinin alanını hesaplayınız. Çözüm : Öncelikle, sin A = sin B = sin C = 1 a b c R formülünü kullanarak, çevrel çemberin yarıçapını bulalım. Bunun için üçgenin açılarından birinin sinüsünü bulmak yeterli olacaktır. ~x = AB =(1, 1, 0) ve ~y = AC =0 olduğundan, h~x, ~yi cos A = k~xkk~yk = = 1 3 8 sin A = q bulunur. Buradan, a = BC = ( 1) +1 + = 6 olduğundan, R = a 6 sina = = 3 bulunur ki, çevrel çemberin alanı : Alan = πr =π elde edilir. 4.50 Alıştırma R 4 uzayında köşelerinin koordinatları A (1, 0, 1, ),B(1,, 3, 4) ve C (4,, 3, 1) olan üçgenin çevrel çemberinin alanını hesaplayınız. Yanıt: 7 5 π. 4.10 Teorem (Schwarz Eşitsizliği) ~x, ~y R n vektörleri için, k~xkk~yk h~x, ~yi eşitsizliği sağlanır. Kanıt:h~x, ~yi = k~xk k~yk cos θ olduğunu biliyoruz. cos θ 1 olduğundan, k~xkk~yk h~x, ~yi elde edilir.

140 Analitik Geometri - Mustafa Özdemir Not : Teorem 4.10 un kanıtında, Öklid iç çarpımı söz konusu olduğu için, h~x, ~yi = k~xk k~yk cos θ eşitliğini kullanarak, Schwarz eşitsizliğinin doğruluğu hemen görülebilmektedir. Fakat, Öklid iç çarpımı dışındaki, herhangi bir iç çarpım için de, bu eşitsizlik daima doğrudur. Herhangi bir iç çarpım için bu eşitsizliğin doğruluğunun kanıtını Lineer Cebir derslerine bırakıyoruz. 3 4.11 Teorem (Üçgen Eşitsizliği) Bir üçgende, herhangi bir kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkından büyüktür. Çözüm : Yandaki şekile göre, k~xk k~yk < k~x ~yk < k~xk + k~yk y x y olduğunu göstereceğiz. θ i) k~x ~yk < k~xk + k~yk olduğunu görelim. x k~x ~yk = h~x ~y, ~x ~yi = h~x, ~xi h~x, ~yi h~y, ~xi + h~y, ~yi = k~xk h~x, ~yi + k~yk k~xk + h~x, ~yi + k~yk (Schwarz Eşitsizliğinden) < k~xk +k~xkk~yk + k~yk = (k~xk + k~yk) eşitsizliğinden, k~x ~yk < k~xk + k~yk olduğu görülür. 3 Genel İspat : x veya y vektörlerinin herhangi birinin sıfır olması durumunda eşitlik olur ve teorem doğrudur. x ve y sıfırdan farklı herhangi iki vektör olsunlar. Şimdi, ~z = ~x ~x ~y ~y ~y ~y vektörünü gözönüne alalım. Bu vektör, y vektörüne dik sıfırdan farklı bir vektör belirtir. İç çarpımın pozitif tanımlılık özelliğine göre, olmalıdır. Buna göre, x x eşitsizliğinden istenen elde edilir. ~z ~z 0 x y z z = x y y y x y x y y y ( x y)( x y) y y ( x y)( y x) y y ( x x) + ( x y) y y 0 0 ( x y)( y x) y y 0 ( x x)( y y) ( x y) k xk k yk ( x y)

VEKTÖRLER 141 ii) k~xk k~yk < k~x ~yk olduğunu görelim. k~x ~yk = h~x ~y, ~x ~yi = h~x, ~xi h~x, ~yi h~y, ~xi + h~y, ~yi = k~xk h~x, ~yi + k~yk k~xk h~x, ~yi + k~yk > k~xk k~xkk~yk + k~yk = (k~xk k~yk) eşitsizliğinden istenen elde edilir. Örnek 4.55 Herhangi bir üçgenin yüksekliklerinin bir noktada kesiştiğini kanıtlayınız. Çözüm : Köşeleri A, B, C olan üçgeni alalım. B ve C köşelerinden, CD BA ve BE AC olacak şekilde, BE ve CD vektörlerini alalım. Bu iki vektörün kesişme noktası K olsun. A ve K noktasından geçen AF vektörünün BC vektörüne dik olduğunu gösterirsek kanıt biter. Ya da, KA BC olduğunu göstermek yeterlidir. Gösterimi basitleştirmek için, KA = ~x, KB = ~y ve KC = ~z diyelim. B D y A x K F E z C Verilenlere göre, AB = ~y ~x ve AC = ~z ~x şeklinde yazılabilir. Ayrıca, AB ~z olduğundan, h~z, ~y ~xi =0 veya h z, yi h~z, ~xi =0 ( ) AC ~y olduğundan, h~y, ~z ~xi =0 veya h y, zi h~y, ~xi =0 ( ) eşitlikleri vardır. ( ) ve ( ) eşitliklerini taraf tarafa çıkarırsak, h~y, ~xi h~z, ~xi =0 veya h~y ~z, ~xi =0 elde edilir. ~y ~z = BC olduğundan,d E BC,~x =0 bulunur ki, bu BC ~x olması demektir. Böylece, AF BC olduğunu buluruz ki, bu tüm yüksekliklerin K noktasında kesiştiğini gösterir. 4.51 Alıştırma Herhangi bir üçgenin kenarlarının orta dikmelerinin bir noktada kesiştiğini kanıtlayınız.

14 Analitik Geometri - Mustafa Özdemir R n uzayında, verilen herhangi bir ~x vektörünün, başka bir ~y vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörünü de, Öklid iç çarpımı yardımıyla bulabiliriz. Öklid iç çarpımını kullanarak İzdüşüm Vektörünün bulunması 4.1 Teorem x, y R n sıfırdan farklı vektörleri verilsin. ~x vektörünün, ~y vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü ile bulunur. θ e x x izd y ~x izd = h~x, ~yi h~y, ~yi ~y Kanıt:~e, ~y doğrultusundaki birim vektör olsun. Buna göre, ~e = ~y k~yk = ~x izd k~x izd k yazılabilir. Bu eşitlikten, ~x izd = k~x izdk ~y elde edilir. Diğer k~yk yandan, k~x izd k = k~xk cos θ = k~xk h~x, ~yi h~x, ~yi = k~xkk~yk k~yk olduğu kullanılırsa, h~x, ~yi h~x, ~yi ~x izd = ~y = k~yk h~y, ~yi ~y bulunur. Örnek 4.56 ~x = (1, 1, 3, 4) vektörünün ~y = (, 3, 1, 1) vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörünü bulunuz. Çözüm : Formül uygulanarak h~x, ~yi 1 ~x izd = ~y = h~y, ~yi 15 ~y = 4 (, 3, 1, 1) 5 elde edilir. Siz, formül uygulamak yerine, kanıtta kullandığımız yöntemle bulmaya çalışınız. 4.5 Alıştırma ~x =(0, 1, 1, 0, 1) vektörünün ~y =(1, 1, 1, 1, 1) vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörünü bulunuz. Yanıt: ~x izd = 3 (1, 1, 1, 1, 1). 5 θ x x izd y 4.53 Alıştırma ~x =(, 1, 1) vektörünün ~y =(1, 1, 3) vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörünü bulunuz. Yanıt: ~x izd = 6 (1, 1, 3). 11

VEKTÖRLER 143 Uzayında Düzlemin Denkleminin İfade N= ( ABC,, ) P(x 0,y 0,z 0 ) Öklid İç Çarpımını Kullanarak R 3 Edilmesi Bu konuyu daha sonra daha detaylı inceleyeceğiz. Fakat, bir düzlemin denklemini iç çarpımı kullanarak nasıl ifade edebileceğimizi kısaca görelim. Bunun için düzleme dik olan bir vektörü kullanacağız. Düzleme dik olan bir vektör, düzlem üzerindeki tüm vektörlere diktir. Buna göre, düzlemin P gibi bir noktasını ve düzlemin dik olduğu N gibi bir vektörü biliyorsak düzlem denklemini kolayca bulabiliriz. X (x, y, z) düzlemin değişken noktasını göstermek üzere, PX vektörü daima, N vektörüne diktir. O halde, < PX, N >= 0 eşitliği sağlanmalıdır. P (x 0,y 0,z 0 ) ve N =(A, B, C) olmak üzere, h(x x 0,y y 0,z z 0 ), (A, B, C)i =0 eşitliğinden, A (x x 0 )+B (y y 0 )+C (z z 0 )=0 elde edilir. Düzlem denklemi, 6 ncı bölümde detaylı incelenecektir. X Öklid İç Çarpımını Kullanarak Çemberin ve Kürenin İfade Edilmesi R uzayında, yani düzlemde P (x, y) değişken nokta, M (a, b) ve yarıçap r olmak üzere, çember denklemini, R 3 uzayında P (x, y, z) değişken nokta, M (a, b, c) ve yarıçap r olmak üzere, kürenin denklemini ve R n uzayında P (x 1,x,...,x n ) değişken nokta, M (a 1,a,..., a n ) ve yarıçap r olmak üzere, hiperkürenin denklemini, iç çarpımı kullanarak, MP D E = MP, MP = r biçiminde ifade edebiliriz. r P(x,y) r P(x,y,z) M(a,b,c) Çember ve küre denklemi 11 inci bölümde detalı incelenecektir.

144 Analitik Geometri - Mustafa Özdemir Vektörlerin Doğrultu Açıları ve Doğrultman Kosinüsleri Tanım :R n uzayında herhangi bir vektörün doğrultusu, koordinat eksenlerinin pozitif yönde yağtığı açıların kosinüsleri verilerek belirlenebilir. Bir ~u vektörünün koordinat eksenleriyle yaptıkları açılara doğrultu açıları, buaçıların kosinüslerine de doğrultman kosinüsleri denir. Örneğin, R 3 uzayında, ~u = (u 1,u,u 3 ) koordinat eksenleriyle pozitif yönde yaptığı açılar sırasıyla α, β,γ olsun. ~u vektörünün doğrultman kosinüslerini aşağıdaki gibi belirleyebiliriz. x, y ve z koordinatlarının doğrultu vektörlerini sırasıyla ~e 1 = (1, 0, 0), ~e =(0, 1, 0) ve ~e 3 =(0, 0, 1) ile veririz. Buna göre, < ~u, ~e 1 >= k~ukk~e 1 k cos α u 1 = k~uk cos α cos α = u 1 k~uk < ~u, ~e >= k~ukk~e k cos β u = k~uk cos β cos β = u k~uk < ~u, ~e 3 >= k~ukk~e k cos γ u 3 = k~uk cos γ cos γ = u 3 k~uk elde edilir. 4.13 Teorem R n uzayında verilen bir ~u =(u 1,u,..., u n ) vektörünün, R n in dik koordinat sistemindeki koordinat eksenleriyle yaptıkları açılar sırasıyla θ 1,θ,..., θ n olsun. Buna göre, eşitliği sağlanır. cos θ 1 +cos θ +cos θ 3 + +cos θ n =1 Kanıt:R n uzayında koordinat eksenlerinin doğrultu vektörleri olarak, ~e 1 =(1, 0, 0,..., 0), ~e =(0, 1, 0,..., 0),..., ~e n =(0, 0, 0..., 1) alınabilir. Buna göre, elde edilir. cos θ i = h~u, ~e ii k~ukk~e i k = u i k~uk

VEKTÖRLER 145 Buradan, cos θ 1 +cos θ + +cos θ n = u 1 k~uk + u k~uk + + u n k~uk = u 1 + u + + u n k~uk = k~uk k~uk =1 bulunur. Teorem 4.13. kullanılarak, R n boyutta, bir vektörün koordinat eksenleriyle yaptığı n açıdan, n 1 tanesi verilirse, n inci açı hakkında yorum yapılabilir. Örnek 4.57 R 3 uzayında bir ~u vektörünün x ekseniyle 60, y ekseniyle 150 yaptığı biliniyor. Buna göre, z ekseniyle kaç derecelik açı yapabilir? Çözüm : cos 60 +cos (150 )+cos (θ 3 )=1olduğunu kullanacağız. Buna göre, cos (θ 3 )=1 1 4 3 4 =0 olduğundan, cos θ 3 =0olabilir. Yani, θ 3 =90 veya 70 olabilir. 4.54 Alıştırma R 3 uzayında bir ~u vektörünün x ekseniyle 60,yekseniyle 60 yaptığı biliniyor. Buna göre, z ekseniyle kaç derecelik açı yapabilir? Yanıt:45 veya 135. Örnek 4.58 R 3 uzayında bir doğru z ekseniye 45 lik, x ekseniyle 60 lik açı yapmaktadır. Buna göre, bu doğrunun y ekseniyle yaptığı açının tanjantını bulunuz. Bu doğrunun birim doğrultu vektörü ne olabilir? Çözüm : cos 60 +cos θ +cos (45 )=1eşitliğinden, cos θ = 1 4 olur. Buradan, cos θ = 1 θ =60, 300 veya cos θ = 1 θ = 10, 40 olur. Doğrunun doğrultu vektörü ~u =(u 1,u,u 3 ) olsun. k~uk =1olduğundan, cos 60 = u 1 k~uk u 1 k~uk = 1 u 1 = 1, cos θ = u k~uk u = +1 cos 45 = u 3 k~uk u 3 = olacağından, ~u =( 1, ±1, ) bulunur.

146 Analitik Geometri - Mustafa Özdemir Sonuç : R n uzayında, bir ~u vektörünün doğrultu kosinüsleri cos θ 1, cos θ,...,cos θ n ise, ~u = k~uk (cos θ 1, cos θ,..., cos θ n ) ile belirlidir. R 4 uzayında, ~u = (1, 4,, 3) vektörünün doğrultman kosinüslerini bu- Örnek 4.59 lunuz. Çözüm : ~u vektörünün eksenlerle yaptığı açılar θ 1,θ,θ 3 ve θ 4 olmak üzere, cos θ i = h~u, ~e ii k~ukk~e i k = u i k~uk olduğu kullanılırsa, cos θ 1 = 1, cos θ = 4, cos θ 3 =, cos θ 4 = 3 30 30 30 30 bulunur. Örnek 4.60 kanıtlayınız. cos (θ α) =cosα cos θ +sinθ sin α olduğunu vektörleri kullanarak Çözüm : ~x ve ~y birim vektörlerinin x ekseniyle yaptıkları açılar sırasıyla θ ve α olsun. Bu durumda bu vektörleri ³ ³ π θ ~x = cos θ, cos x =(cosθ, sin θ) ³ ³ π α ~y = cos α, cos =(cosα, sin α) y θ α biçiminde yazabiliriz. Diğer yandan ~x ve ~y vektörleri birim ve aralarındaki açı θ α olduğundan, O cos (θ α) =h x, yi yazılabilir. Buradan, cos (θ α) = h(cos θ, sin θ), (cos α, sin α)i cos (θ α) = cosα cos θ +sinθ sin α elde edilir. A B O A x θ α y B Not : cos (θ + α) =cosα cos θ sin θ sin α olduğunu da, yandaki şekili kullanarak elde edebiliriz. Burada, ~x =(cosθ, sin θ) ve ~y =(cosα, sin α) olduğu kullanılır.

VEKTÖRLER 147 O θ x α A y B Not : sin (θ + α) =sinθ cos α +sinα cos θ olduğunu da, yandaki şekili kullanarak elde edebiliriz. Burada, ~x =(sinθ, cos θ) ve ~y =(cosα, sin α) olduğu kullanılır. O θ x α y A B Not : sin (θ α) = sinθ cos α sin α cos θ olduğunu da, yandaki şekili kullanarak elde edebiliriz. Burada, ~x =(sinθ, cos θ) ve ~y =(cosα, sin α) olduğu kullanılır. Örnek 4.61 Saat 04.10 da, uzunluğu 1 br olan akrep ile uzunluğu br olan yelkovanınuçları arasındaki uzaklık kaç br olur? b) Saatin merkezi orjin kabul edilirse, 4.10 da akrep (~u) ve yelkovanı (~n) vektörel olarak nasıl ifade edebiliriz. ~n ~u vektörünü bulunuz ve uzunluğunu hesaplayınız. Çözüm : Saat 04.00 da akrep ile yelkovan arasındaki açı 10 dir. Buna göre, 1 10 akrebin ve yelkovanın 10 dakikada kaçar br derece hareket ettiğini bulmalıyız. Yelkovan, 60 dakikada 360 hareket ettiğinden, 1 br 10 dakikada 60 4 4 hareket eder. Akrep ise, 60 dakikada 30 hareket ettiğinden, 10 04.00 04.10 dakikada 5 hareket edecektir. Buna göre, 04.10 da akrep ile yelkovan arasındaki açı, 10 + 5 60 = 65 olur. Böylece, Kosinüs teoreminden, akrep ve yelkovanın uçları arasındaki uzaklık: x = 4+1 1 cos 65 eşitliğinden, x =1, 819 olarak bulunur. b) Şimdi vektörel olarak çözelim. 04.10 da yelkovan ile y ekseni arasındaki açı 60 olduğundan, yelkovanı vektörel olarak, ~n =(sin60, cos 60 ) şeklinde, akrep ile x ekseni arasındaki açı ise, 30 +5 =35 olduğundan, akrebi de

148 Analitik Geometri - Mustafa Özdemir ~u = (1 cos 35, 1sin35 ) şeklinde ifade edebiliriz. Böylece, ~n ~u = (sin60, cos 60 ) (1 cos 35, 1sin35 ) = (sin60 cos 35, cos 60 +sin35 ) olacaktır. Buradan da, q k~n ~uk = ( sin 60 cos 35 ) + ( cos 60 +sin35 ) =1, 819 olduğu bulunabilir. 4.55 Alıştırma Saat 05.10 da uzunluğu k olan akrep ile, uzunluğu m olan yelkovanın uçları arasındaki uzaklığı vektörel yöntemle hesaplayınız. Örnek 4.6 Bir ABC üçgeninin [BC] kenarı, CD = BC olacak biçimde C noktasınınötesindekibird noktasına uzatılıyor. [CA] kenarı ise, AE = CA olacak biçimde A noktasının ötesindeki bir E noktasına uzatılıyor. AD = BE ise, ABC nin bir dik üçgen olduğunu kanıtlayınız. (European Girls Mathematical Olympiad - 013) Çözüm : CA = ~x ve CB = ~y diyelim. Bu durumda, AE =~x ve DC = ~y olur. Buna göre, BE =3~x ~y ve DA = ~x + ~y olacaktır. Buradan, DA = BE eşitliğine göre, < DA, DA > = < BE, BE > h~x + ~y, ~x + ~yi = h3~x ~y, 3~x ~yi olmalıdır. İç çarpımın lineerliğinden, E B x y A x C y D h~x, ~xi h~x, ~yi + h~y, ~yi =9h~x, ~xi +6h~x, ~yi + h~y, ~yi yazılarak düzenlenirse, h~x, ~xi h~x, ~yi =0 h~x, ~x ~yi =0 < CA, CA CB >=0 elde edilir ki, bu ise AC AB olduğunu gösterir. < CA, BA >= 0

VEKTÖRLER 149 Vektörel Çarpım ve Geometrik Uygulamaları Skaler çarpımın sonucu bir skaler değerdir. İki vektörün vektörel çarpımı ise bir vektördür. Uzayda ~x =(x 1,x,x 3 ) ve ~y =(y 1,y,y 3 ) gibi iki vektörün vektörel çarpımı; ~ i ~ j ~ k ~x ~y = x 1 x x 3 y 1 y y 3 ~x ~y = (x y 3 x 3 y, x 1 y 3 + x 3 y 1,x 1 y x y 1 ) şeklinde tanımlanır. Bu tanıma göre, iki vektörün vektörel çarpımının sonucunda yeni bir vektör elde edilir. ~x = (1,, 3) ve ~y = (0,, 1) olduğuna göre, ~x ~y vektörünü bu- Örnek 4.63 lunuz. Çözüm : ~x ~y =det ~ i ~ j ~ k 1 3 0 1 =( 4, 1, ) olur. Bu vektörün hem ~x hem de ~y vektörüyle iç çarpımının sıfır olduğunu ve dolayısıyla ~x ve ~y vektörlerine dik olduğunu görünüz. ~i ~j ~k Not : ~x ~y = 1 3 µ 0 1 = 3 1, 1 3 0 1, 3 1 şeklinde hesaplanabilir. + + 4.56 Alıştırma ~x =(1, 1, ) ve ~y =(1,, 1) olduğuna göre, ~x ~y vektörünü bulunuz. Yanıt: ( 3, 1, 1). 4.57 Alıştırma ~x =( 1,, 3) ve ~y =(3,, 1) olduğuna göre, ~x ~y vektörünü bulunuz. Yanıt: (8, 10, 4).

150 Analitik Geometri - Mustafa Özdemir Vektörel ÇarpımınBazı Özellikleri ~x ~y vektörel çarpımını, determinant yardımıyla tanımlamıştık. Determinantın özelliklerini kullanarak, vektörel çarpımınaşağıdaki özelliklerini kolayca yazabiliriz. 1. ~x ~y = ~y ~x (Vektörel çarpımındeğişme özelliği yok) Kanıt :Vektörel çarpımın determinantlı tanımının doğrudan sonucudur. Determinantta iki satırınyerideğişirse, determinant işaret değiştirir.. ~x ~x = ~0 (Bir vektörün kendisiyle vektörel çarpımı 0 vektörüdür.) Kanıt:Herhangi iki satırı aynı olan matrisin determinantının0olmasının sonucudur. 3. λ R için, (λ~x) ~y = λ (~x ~y) 4. ~0 ~x = ~x ~0 = ~0 5. ~x ~y = ~0 λ R için ~x = λ~y.(yani,~x k~y ise vektörel çarpım 0 vektörüdür.) 6. ~x (~y + ~z) =(~x ~y)+(~x ~z). Örnek 4.64 ~x = (1,, 3) ve ~y = (, 4, 6) ise ~x ~y =? Çözüm : ~y = ~x olduğundan, ~x k~y olur ki, ~x ~y = ~0 olur. 4.58 Alıştırma Vektörel çarpımı 0 olan iki vektör yazınız. Örnek 4.65 R 3 uzayının~i,~j, ~ k standart vektörleri için,~i ~j = ~ k, ~j ~ k = ~i, ~j ~i = ~k olduğunu gösteriniz. Çözüm : ~ i =(1, 0, 0), ~ j =(0, 1, 0) ve ~ k =(0, 0, 1) olduğunu kullanacağız. ~i ~j ~k ~i ~j = 1 0 0 0 1 0 = ~ k, ~j ~ ~i ~j ~k k = 0 1 0 0 0 1 =~i, ~i ~j ~k ~j ~i = 0 1 0 1 0 0 = ~ k biçiminde kolayca görülebilir. _ j + k i Not : Standart birim vektörlerin vektörel çarpımında yandaki şekil kullanılabilir. ~i ~j = ~ k ~j ~i = ~ k ~j ~k =~i ~k ~j = i ~ k ~i = ~j ~i ~ k = ~j Örnek 4.66 Vektörel çarpımişleminin birleşme özelliği var mıdır? Çözüm : Vektörel çarpım işleminin birleşme özelliğinin olmadığını bir ters örnekle gösterebiliriz. ~x =(1, 0, 1), ~y =(0, 1, 1) ve ~z =(1, 1, 0) vektörlerini alalımve(~x ~y) ~z 6= ~x (~y ~z) olduğunu görelim.

VEKTÖRLER 151 ~x ~y = olduğundan, ~ i ~ j ~ k 1 0 1 0 1 1 =( 1, 1, 1) ve ~y ~z = (~x ~y) ~z = ~x (~y ~z) = ~i ~j ~k 1 1 1 1 1 0 ~i ~j ~ k 1 0 1 1 1 1 ~ i ~ j ~ k 0 1 1 1 1 0 =( 1, 1, 0) =( 1, 0, 1) =( 1, 1, 1) elde edilir ki, (~x ~y) ~z 6= ~x (~y ~z) olduğundan, vektörel çarpımda birleşme özelliği yoktur. Vektörel Çarpımın En Önemli Geometrik Yorumu 4.14 Teorem Uzayda verilen iki vektörün vektörel çarpımı, çarpılan her iki vektöre de dik olan yeni bir vektör verir. Kanıt:~x ~y ~x ve ~x ~y ~y olduğunu göstermek için, h~x ~y, ~xi = h~x ~y, ~yi =0 olduğunu göstermek yeterlidir. ~x =(x 1,x,x 3 ) ve ~y =(y 1,y,y 3 ) vektörleri için, ~x ~y =(x y 3 x 3 y, x 1 y 3 + x 3 y 1,x 1 y x y 1 ) olduğundan, h~x ~y, ~xi = x y 3 x 1 x 3 y x 1 x 1 y 3 x + x 3 y 1 x + x 1 y x 3 x y 1 x 3 =0 h~x ~y, ~yi = x y 3 y 1 x 3 y y 1 x 1 y 3 y + x 3 y 1 y + x 1 y y 3 x y 1 y 3 =0 olduğu görülebilir. x y Örnek 4.67 R 3 uzayında ~x = (, 3, 11) ve ~y = (, 7, 5) vektörlerinin her ikisine de dik olan bir vektör bulunuz. Çözüm : Bu iki vektörün vektörel çarpımları, her ikisine de dik olan istenen vektörü verecektir. ~ i ~ j ~ k ~x ~y = 3 11 = 6i 3j +0k 7 5 olduğundan, ~z =( 6, 3, 0) vektörü, hem ~x hem de ~y vektörüne dik bir vektördür. y x

15 Analitik Geometri - Mustafa Özdemir Not! Bir V vektör uzayının tabanındaki tüm vektörler birbirine dik ise, bu tabana V uzayının ortogonal tabanı denir. Bu vektörlerin herbiri ayrıca birim vektör ise bu tabana ortonormal taban denir. Örneğin, {~u 1 =(, 1, ), ~u =(, 1, ), ~u 3 =(,, 1)} tabanı bir ortogonal taban, ½~u 1 = 13 (, 1, ), ~u = 13 (, 1, ), ~u 3 = 13 ¾ (,, 1) tabanı ise bir ortonormal tabandır. Örnek 4.68 R 3 uzayının ~x = (1,, 3) vektörünü içeren bir ortogonal tabanını bulunuz. Çözüm : Önce, ~x =(1,, 3) vektörüne dik herhangi bir vektör alalım. h~x, ~yi =0olacak şekilde, ~y =(3, 3, 1) vektörü alınabilir. Şimdi, ise, hem ~x hem de ~y vektörüne dik bir vektör bulalım. Bu kez, ~x ~y = ~z alınabilir. Buradan, ~ i ~ j ~ k ~z = 1 3 =(11, 8, 9) 3 3 1 olur. Böylece, {~x =(1,, 3), ~y =(3, 3, 1), ~z =(11, 8, 9)} R 3 ün ortogonal bir tabanı olur. Ayrıca, ortonormal tabanını da her vektörü normuna bölerek elde edebiliriz. Buna göre, ½ ¾ 1 1 1 (1,, 3), (3, 3, 1), (11, 8, 9) 14 19 66 ise ortonormal tabandır. Siz de, kendi belirleyeceğiniz bir ~y vektörüyle başka bir ortogonal taban bulunuz. Örnek 4.69 ~x = (1, 1, ) olmak üzere, ~x vektörüne dik ve birbirine dik olan, br uzunluğunda iki vektör bulunuz. Çözüm : ~x ~y olacak şekilde, ~y =(1, 1, 1) alınabilir. Hem ~x hem de ~y vektörüne dik vektörü de, ~i ~j ~ k ~z = 1 1 =( 3, 0, 3) 1 1 1 alınabilir. Fakat, uzunluklarının br olmasını istiyoruz. Buna göre, y 0 = ~y k~yk = (1, 1, 1) ve z 0 = ~z 3 k~zk = ( 1, 0, 1) alınabilir.

VEKTÖRLER 153 4.59 Alıştırma ~x =(1,, ) olmak üzere, R 3 uzayının ~x vektörünü içeren bir ortogonal tabanını bulunuz. 4.60 Alıştırma ~x = 1 (1, 0, 1) olmak üzere, R 3 uzayının ~x vektörünü içeren bir ortonormal tabanını bulunuz. 4.15 Teorem ~x, ~y, ~z R 3 vektörleri için (~x ~y) ~z = h~x, ~zi ~y h~y, ~zi ~x eşitliği sağlanır. Kanıt:~x =(x 1,x,x 3 ), ~y =(y 1,y,y 3 ) ve ~z =(z 1,z,z 3 ) olsun. ~x ~y =(x y 3 x 3 y, x 1 y 3 + x 3 y 1,x 1 y x y 1 ) olduğunu biliyoruz. ~i ~j ~k (~x ~y) ~z = x y 3 x 3 y x 1 y 3 + x 3 y 1 x 1 y x y 1 z 1 z z 3 = (x y 1 z x 1 y z x 1 y 3 z 3 + x 3 y 1 z 3 + x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1, x 1 y z 1 x y 1 z 1 x y 3 z 3 + x 3 y z 3 + x y z x y z, x 1 y 3 z 1 x 3 y 1 z 1 + x y 3 z x 3 y z + x 3 y 3 z 3 x 3 y 3 z 3 ) şeklinde yazabiliriz (Burada altı çizili olan terimler ekleyip çıkardığımız terimlerdir.) Buradan, (~x ~y) ~z = (y 1 (x 1 z 1 + x z + x 3 z 3 ) x 1 (y 1 z 1 + y z + y 3 z 3 ), y (x 1 z 1 + x z + x 3 z 3 ) x (y 1 z 1 + y z + y 3 z 3 ), y 3 (x 1 z 1 + x z + x 3 z 3 ) x 3 (y 1 z 1 + y z + y 3 z 3 )) = ((y 1,y,y 3 ) h~x, ~zi (x 1,x,x 3 ) h~y, ~zi = h~x, ~zi ~y h~y, ~zi ~x elde edilir. 4.61 Alıştırma ~x =(1, 3, 4), ~y =(, 1, 3) ve ~z =(1, 1, 1) vektörleri için, eşitliğinin sağlandığını görünüz. (~x ~y) ~z = h~x, ~zi y h~y, ~zi ~x 4.16 Teorem R 3 uzayında h~x ~y, ~zi =det(~x, ~y, ~z) şeklindedir. Kanıt:~x =(x 1,x,x 3 ), ~y =(y 1,y,y 3 ) ve ~z =(z 1,z,z 3 ) olsun. Buna göre, h~x ~y, ~zi = h(x y 3 x 3 y, x 1 y 3 + x 3 y 1,x 1 y x y 1 ), (z 1,z,z 3 )i = x y 3 z 1 + x 3 y 1 z + x 1 y z 3 x 3 y z 1 x 1 y 3 z x y 1 z 3 x 1 x x 3 = y 1 y y 3 z 1 z z 3 eşitliğinden, h~x ~y, ~zi =det( x, ~y, ~z) elde edilir.

154 Analitik Geometri - Mustafa Özdemir 4.6 Alıştırma ~x =(1, 3, 4), ~y =(, 1, 3) ve ~z =(1, 1, 1) vektörleri için h~x ~y, ~zi = det (~x, ~y, ~z) eşitliğinin sağlandığını görünüz. 4.17 Teorem R 3 uzayında h~x ~y, ~zi = h~x, ~y ~zi eşitliği sağlanır. Kanıt:Önceki teoremden, h~x ~y, ~zi =det(~x, ~y, ~z) olduğunu görmüştük. Determinant özelliklerini kullanarak, h~x ~y, ~zi =det(~x, ~y, ~z) = det (~y, ~x, ~z) = det(~y, ~z, ~x) = h~y ~z, ~xi = h~x, ~y ~zi olduğu görülür. Örnek 4.70 R 3 uzayında, h~x ~y, ~zi = h~z ~x, ~yi olduğunu kanıtlayınız. Çözüm : olduğu görülür. h~x ~y, ~zi =det(~x, ~y, ~z) = det (~z, ~y, ~x) = det(~z, ~x, ~y) = h~z ~x, ~yi 4.18 Teorem R 3 uzayında, h~x ~y, ~z ~wi = sağlanır. (Lagrange Özdeşliği) h~x, ~zi h~y, ~zi h~x, ~wi h~y, ~wi eşitliği Kanıt:Bir önceki teoremi kullanırsak, h~x ~y, ~z ~wi = h(~x ~y) ~z, ~wi yazılabilir. Şimdi de, (~x ~y) ~z = h~x, ~zi ~y h~y, ~zi ~x eşitliğini kullanıp, iç çarpımın lineerliğini kulanırsak, h~x ~y, ~z ~wi = h(~x ~y) ~z, ~wi = hh~x, ~zi ~y h~y, ~zi ~x, ~wi = h~x, ~zih~y, ~wi h~y, ~zih~x, ~wi = h~x, ~zi h~x, ~wi h~y, ~zi h~y, ~wi elde edilir. 4.63 Alıştırma R 3 uzayında Lagrange özdeşliğini kullanarak k~x ~yk ifadesini iç çarpıma bağlı olarak bulunuz.

VEKTÖRLER 155 Vektörel Çarpımın Normunun Geometrik Anlamı 4.19 Teorem R 3 uzayında verilen ~x ve ~y vektörleri arasındaki açı θ olmak üzere, ~x ve ~y vektörleriyle oluşturulan paralelkenarınalanı Alan (~x, ~y) ise, eşitliği sağlanır. k~x ~yk = k~xkk~yk sin θ = Alan (~x, ~y) Kanıt:k~x ~yk =h~x ~y, ~x ~yi şeklinde yazıp, Lagrange özdeşliği kullanılırsa, k~x ~yk = h~x, ~xi h~x, ~yi h~y, ~xi h~y, ~yi = h~x, ~xih~y, ~yi h~x, ~yi = k~xk k~yk k~xk k~yk cos θ = k~xk k~yk 1 cos θ = k~xk k~yk sin θ elde edilir. Diğer yandan, ~x ve ~y vektörleriyle oluşturulan paralelkenarınalanı : y Alan (~x, ~y) = k~xk k~yk sin θ olduğundan, θ k~x ~yk = k~xkk~yk sin θ = Alan (~x, ~y) x bulunur. Sonuç olarak, R 3 uzayında verilen iki vektörün vektörel çarpımının normu, bu iki vektörler oluşturulan paralelkenarın alanını verir. (Bunun sadece R 3 de geçerli olduğunu unutmayınız!) Örnek 4.71 R 3 de verilen ~x = (1,, 3) ve ~y = (3,, 1) vektörleriyle oluşturulan paralelkenarınalanını bulunuz. Çözüm : Yukarıdaki özellik kullanılarak, ~i ~j ~k Alan (~x, ~y) =k~x ~yk = 1 3 3 1 = k( 4, 8, 4)k =4 6 bulunur. Örnek 4.7 R 4 de verilen ~x = (0, 1,, 3) ve ~y = (3,, 1, 0) vektörleriyle oluşturulan paralelkenarınalanını bulunuz. Çözüm : Uzayımız R 4 olduğu için, vektörel çarpımlı alan formülü kullanılamaz. Bu kez, q Alan (~x, ~y) = h~x, ~xih~y, ~yi h~x, ~yi olduğunu kullanacağız. Buna göre, Alan (~x, ~y) = 14 14 16 = 6 5 bulunur.

156 Analitik Geometri - Mustafa Özdemir Örnek 4.73 Verilen iki ~x ve ~y vektörü için, ~u ~x = ~y ve h~u, ~xi = k~xk eşitlikleri sağlandığına göre, k~uk değerini, k~xk ve k~yk cinsinden belirleyiniz. Çözüm : ~u ~x = ~y eşitliği, ~y vektörünün ~x vektörüne dik olduğunu gösterir. ~x ve ~y birbirine dik değilse, ~u vektörü için bir çözüm yoktur. O halde, ~x ~y için denklemin çözümünü yapalım. ~x ile ~u arasındaki açı θ olsun. Buna göre, k~u ~xk = k~ukk~xk sin θ k~yk = k~ukk~xk sin θ h~u, ~xi = k~ukk~xk cos θ k~xk = k~ukk~xk cos θ eşitliklerinin kareleri toplamından, k~xk + k~yk = k~uk k~xk sin θ +cos θ s olur. Buradan, k~uk = 1+ k~yk elde edilir. k~xk Karma Çarpım ve Geometrik Uygulamaları Tanım : R 3 uzayında, ~x ~y vektörel çarpımıyla, ~z vektörünün iç çarpımına, ~x, ~y, ~z vektörlerinin karma çarpımı denir. Yani, h~x ~y, ~zi değerine ~x, ~y, ~z vektörlerinin karma çarpımı denir ve [~x, ~y, ~z] ile gösterilir. Yukarıda, h~x ~y, ~zi =det(~x, ~y, ~z) olduğu göstermiştik. O halde, ~x, ~y, ~z vektörlerinin karma çarpımı, [~x, ~y, ~z] =det(~x, ~y, ~z) şeklinde tanımlanır. Ayrıca, h~x ~y, ~zi = h~x, ~y ~zi eşitliğine göre, bir karma çarpımda önemli olan vektörlerin sırasıdır. Vektörel çarpım işlemi, ilk iki veya son iki vektör arasında olabilir ve her iki değer de bu üç vektörün karma çarpımını verir. Örnek 4.74 ~x = (1,, 3), ~y = (3,, 4) ve ~z = (1, 1, 0) olduğuna göre [~x, ~y, ~z] =? Çözüm : [~x, ~y, ~z] =det(~x, ~y, ~z) tanımı kullanılarak 1 3 [~x, ~y, ~z] = 3 4 1 1 0 =7 elde edilir. 4.64 Alıştırma ~x =(1, 0, 3), ~y =(0,, 1) ve ~z =(1,, 0) olduğuna göre [~x, ~y, ~z] =? Yanıt: 8. 4.65 Alıştırma ~x = (1,k,3), ~y = (3,, 1) ve ~z = (1,, 0) vektörlerinin karma çarpımı 0isek =? Yanıt: k = 10.

VEKTÖRLER 157 Karma Çarpımın Özellikleri Aşağıdaki özellikler determinantın özelliklerinden kolayca görülebilir. 1. Vektörlerden ikisi eşit olan üç vektörün karma çarpımı 0 dır. [~x, ~y, ~x] =0, [~x, ~x, ~y] =0, [~x, ~y, ~y] =0. λ, k, m R için, [λ~x,k~y,m~z] =λkm [~x, ~y, ~z] 3. λ R için, [~x, ~y, ~z + λ ~w] =[~x, ~y, ~z]+λ [~x, ~y, ~w] Örnek 4.75 [~x, ~y,~z] = 3olduğuna göre, [~x + ~y,~z + ~y,3~x + 4~z] karma çarpımını hesaplayınız. Çözüm : Karma çarpımın özellikleri kullanılarak, [~x +~y, ~z + ~y, 3~x +4~z] = 3[~x +~y, ~z + ~y, ~x]+4[~x +~y, ~z + ~y, ~z] = 3([~x +~y, ~z, ~x]+[~x +~y, ~y, ~x]) +4( [~x +~y, ~z, ~z] +[~x +~y, ~y, ~z] {z } ) =0 = 3([~x, ~z, ~x] +[~y, ~z, ~x]+[~x, ~y, ~x] +[~y, ~y, ~x] ) {z } {z } {z } =0 =0 =0 +4( [~x, ~y, ~z]+[~y, ~y, ~z] ) {z } =0 = 6[~y, ~z, ~x]+4[~x, ~y, ~z] = 6[~x, ~y, ~z]+4[~x, ~y, ~z] = 10[~x, ~y, ~z] eşitliğinden, [~x +~y, ~z + ~y, 3~x +4~z] = 10 3 = 30bulunur. 4.66 Alıştırma [~x, ~y, ~z] = 3olduğuna göre, [3~x + ~z, ~z ~y, ~x + 3~z] =? Yanıt: 4. Karma ÇarpımınGeometrikAnlamı 4.0 Teorem R 3 uzayında, ~x, ~y, ~z vektörlerinin karma çarpımı, ~x, ~y ve ~z vektörleriyle oluşturulan paralelyüzlünün hacmini verir. Kanıt :~x, ~y ve ~z vektörleriyle oluşturulan paralelyüzlüyü şekildeki gibi çizelim. Kanıtımızda vektörlerdeki üç önemli özelliğini kullanacağız. i) ~x ~y, hem ~x hem ~y ye diktir. O halde, ~x ~y paralelyüzlünün yüksekliği doğrultusundadır. ii) ~x ve ~y ile oluşturulan taban alanı k~x ~yk dir. iii) ~x ~y ile ~z arasındaki açı θ ise, h~x ~y, zi = k~x ~ykk~zk cos θ dır.

158 Analitik Geometri - Mustafa Özdemir Buna göre, V hacimi göstermek üzere, kanıtımızı x y V = TabanAlanı Y ükseklik = k~x ~yk h = k~x ~ykk~zk cos θ = h~x ~y, ~zi = [~x, ~y, ~z] biçiminde yapabiliriz. θ θ h y x x y Örnek 4.76 ~x = (1,, 1), ~y = (1, 3, 4) ve ~z = (, 3, 1) vektörleriyle oluşturulan paralelyüzlünün hacmini bulunuz. Çözüm : Karma çarpımın geometrik yorumu kullanılırsa, 1 1 Hacim(~x, ~y, ~z) = [~x, ~y, ~z] = 1 3 4 3 1 = olur. 4.67 Alıştırma ~x =(0,, 1), ~y =(5, 3, 4) ve ~z =(1, 3, 1) vektörleriyle oluşturulan paralelyüzlünün hacmini bulunuz. Yanıt:10. Karma Çarpımın Geometrik Yorumunun Bazı Sonuçları 1. Üç vektörün karma çarpımının sıfır olması demek, hacim oluşmaması demektir. Yani, üç vektörün aynı düzlemde olması demektir.. Üç vektörün karma çarpımının sıfır olması demek, bu üç vektörün lineer bağımlı olması demektir. 3. Üç vektörün karma çarpımı sıfır ise,bu üç vektörün gerdiği uzayın boyutu 3 den kesinlikle küçüktür. 4. Üç vektörün karma çarpımı sıfırise,buüçvektörünoluşturduğu matrisin rankı 3 den kesinlikle küçüktür. 5. Üç vektörün karma çarpımı sıfırdan farklı ise, bu vektörler lineer bağımsızdır. 6. Karma çarpımı sıfırdan farklı olan üç vektör, R 3 uzayını gererler. 7. Karma çarpımı sıfırdan farklı olan üç vektör, R 3 uzayı için bir tabandır. Örnek 4.77 ~x = (1, 1, ), ~y = (1,, 3) ve ~z = (, 3,k) vektörleri lineer bağımlı ise k =? Çözüm : ~x, ~y, ~z vektörleri lineer bağımlı ise, [~x, ~y, ~z] =0olmalıdır. 1 1 1 3 3 k = k 5=0 eşitliğinden, k =5bulunur.

VEKTÖRLER 159 Örnek 4.78 ~x = (1, 1, ), ~y = (0, 1, 3) ve ~z = (, 1, 3) vektörlerinin lineer bağımsızolduğunu gösteriniz. Çözüm : [~x, ~y, ~z] 6= 0ise ~x, ~y, ~z lineer bağımsız olur. 1 1 0 1 3 1 3 =6= 0 olduğundan, ~x, ~y, ~z vektörleri lineer bağımsızdırlar. 4.68 Alıştırma ~x =(k, 1, ), ~y =(1, 0, 3) ve ~z =(, 1,k) vektörleri lineer bağımlı ise k =? Yanıt:k =. Örnek 4.79 ~x = (1,,k), ~y = (, 3, 1) ve ~z = (, 1, 3) vektörleri aynı düzlemde ise k =? Çözüm : ~x, ~y, ~z aynı düzlemde ise, [~x, ~y, ~z] =0olmalıdır. 1 k 3 1 = 4k =0 1 3 eşitliğinden, k =0olur. Örnek 4.80 A (1, 1, 1),B(1,, 3), C (, 3, 4), D (1, 4,k) noktaları aynı düzlemde ise k =? Çözüm : Önce noktadan vektöre geçelim. ~x = AB, ~y = AC, ~z = AD denilirse, ~x = (0, 1, ), ~y =(1,, 3) ve ~z =(0, 3,k 1) olur. ~x, ~y, ~z aynı düzlemde ise, [~x, ~y, ~z] =0 olmalıdır. 0 1 1 3 =7 k =0 0 3 k 1 eşitliğinden, k =7bulunur. 4.69 Alıştırma ~x =(1, 1,k), ~y =(1, 3, 1) ve ~z =(k, 1, 3) vektörleri aynı düzlemde ise k =? Yanıt:k { 1, 3/5}. 4.70 Alıştırma A (k, 1, ),B(1, 0, 3), C (, 1,k) ve D (1, 1, 1) noktaları aynı düzlemde ise k =? Yanıt:k {0, }.

160 Analitik Geometri - Mustafa Özdemir Örnek 4.81 ~x = (1, 1, ), ~y = (0,k,3) ve ~z = (, 1, 3) vektörleri R 3 uzayının bir tabanı ise k =? Çözüm : [~x, ~y, ~z] =0ise, ~x, ~y, ~z lineer bağımlı olur. 1 1 0 k 3 =3 k =0 1 3 olursa, ~x, ~y, ~z lineer bağımlı olur ve R 3 için taban olamazlar. Yani, k 6= 3için taban olurlar. Karma Çarpımla Üçgensel Piramidin Hacminin Bulunması Bir ABCD piramidinin hacmi, AB, AC ve AD vektörleriyle oluşturulan paralelyüzlünün hacminin 1/6 sıdır. Bunu şekilden de görebilirsiniz. ABCD nin hacmi V ise, ADC = ECD ve ABC = FCBolduğundan, ECDB nin ve FCBE nin hacmi de V dir. Böylece, ABF CDE nin hacmi 3V olur. ABF CDE nin hacmi ise, tüm paralelyüzlünün hacminin yarısı olduğundan, tüm paralelyüzlünün hacmi 6V olur. Buna göre, V = Hacim(ABCD) = 1 h i AB, AC, AD 6 karma çarpımıyla hesaplanabilir. D D E G F C C F A B A B Örnek 4.8 Köşelerinin koordinatları A (1, 1, 1),B (1,, 3),C (, 3, 4),D (1, 4, ) olan üçgensel piramidin hacmini bulunuz. Çözüm : AB =(0, 1, ), AC =(1,, 3), AD =(0, 3, 1) olduğundan, elde edilir. V = Hacim(ABCD) = 1 6 0 1 1 3 0 3 1 = 5 6 4.71 Alıştırma Köşelerinin koordinatları A (0, 0, 0),B(1,, 3),C(3, 0, 0),D(0, 0, 5) olan üçgensel piramidin hacmini bulunuz. Yanıt:5.

VEKTÖRLER 161 Karma Çarpımla Dörtgensel Piramidin Hacminin Bulunması Tabanının koordinatları A, B, C, D konveks dörtgeni ve tepe noktası E olan ABCDE piramidinin hacmini bulalım. Bunun için, dörtgensel piramitin hacmini, iki üçgensel piramidin hacminin toplamı olarak yazıp sonuca ulaşacağız. Buna göre, V (ABCDE) = V (ABDE)+V (BCDE) = 1 h i AB, AD, AE + 1 6 6 = 1 6 değeri bize istenen hacmi vecektir. h i BC, BD, BE ³ det( AB, AD, AE)+det( BC, BD, BE) E D C A B Eğer özel olarak, piramidimiz düzgün piramit ise, iki üçgensel piramidin hacimleri aynı olacağından, V (ABCDE) = 1 ³ det( AB, AD, AE) 3 olur. Örnek 4.83 Tepe noktası E (3, 4, 5) olan ve tabanının koordinatları A (1, 1, 1), B (1,, 3), C(, 4, 1), D(3,, k) olan dörtgensel piramidin hacmini bulunuz. Çözüm : Öncelikle, A, B, C ve D noktalarının aynı düzlemde olması için k nın değerini bulalım. Bunun için, det( AB, AC, AD) =0 olması gerektiğini kullanabiliriz. Buradan, 0 1 1 3 0 = k 9=0 1 k 1 eşitliğinden, k = 9 olur. Buna göre, dörtgensel piramidin hacmi: V = 1 ³ det( AB, AD, AE)+det( BC, BD, BE) 6 = 1 6 0 1 0 14 3 4 + eşitliğinden, V = 1 (0 + 40) = 10 elde edilir. 6 1 0 1

16 Analitik Geometri - Mustafa Özdemir R n Uzayında Vektörel Çarpım R n uzayında, vektörel çarpımı n n türünden bir determinant yardımıyla, R 3 de olduğu gibi tanımlayabiliriz. R 3 de determinantın ilksatırına ~ i, ~ j, ~ k yazıldığı gibi, R n uzayında da determinantınilksatırına R n in standart birim vektörleri yazılır. Geriye n 1 satırkalır. O halde, R n uzayında sadece n 1 tane vektörün vektörel çarpımını tanımlamak mümkündür. Ayrıca, bu n 1 vektörün vektörel çarpım işlemini ifade ederken herhangi bir parantez kullanmayacağız. Örneğin, R 4 uzayında 3 vektörün, R 5 uzayında ise 4 vektörün vektörel çarpımı tanımlıdır. Bunları da, sırasıyla ~x ~y ~z ve ~x ~y ~z ~w gibi hiçbir parantez kullanmadan ifade edeceğiz. Tanım:R n uzayında verilen n 1 tane ~x 1 =(x 11,x 1,...,x 1n ), ~x =(x 1,x,..., x n ),..., ~x n 1 = x (n 1)1,x (n 1),..., x (n 1)n vektörü için, ~e 1 =(1, 0, 0,...,0), ~e =(0, 1, 0,..., 0) ve ~e n =(0, 0, 0,..., 1) n boyutlu standart birim vektörler ve V n : R n R n R n R n R n olmak üzere, ~e 1 ~e ~e n x 11 x 1 x 1n V n (~x 1, ~x,..., ~x n 1 )=... x (n 1)1 x (n 1) x (n 1)n n n şeklinde tanımlanan determinant, bize n boyutlu yeni bir vektör verir. Bu vektöre, ~x 1, ~x,..., ~x n 1 vektörlerinin vektörel çarpımı denir. V n (~x 1, ~x,..., ~x n 1 ), V n (~x 1 ~x ~x n 1 ) veya kısaca ~x 1 ~x ~x n 1 ile gösterilir. Not! R n Uzayında Vektörel Çarpımın Geometrik Yorumu R 3 uzayında olduğu gibi, vektörel çarpım sonucunda elde edilen yeni vektör, çarpılan tüm vektörlere dik bir vektördür. Bu özelliği kullanarak, R 4 uzayında verilen herhangi 3 vektöre dik bir vektörü, R 4 uzayındaki vektörel çarpımı kullanarak kolayca bulabiliriz. Bu kullanışlı özelliği daha büyük boyutlarda da kullanabiliriz. 4.1 Teorem R n uzayındaki, ~x 1, ~x,..., ~x n 1 vektörlerinin vektörel çarpımıyla elde edilen V n (~x 1, ~x,..., ~x n ) vektörü, ~x 1, ~x,..., ~x n 1 vektörlerinin herbirine dik olan bir vektördür.