1. TÜREV 1.1. Tanım Bir y = f(x) fonksiyonu verilsin. x de x bağımsız değişkenine verilen bir artmayı (yada azalmayı) göstersin. f (x+ x) - f(x) Eğer Lim Limiti varsa, bu limite y = f (x) fonksiyonunun x e göre x x türevi denir. dy y=f(x) fonksiyonunun bu türevi, y ', f ' ( x ), sembollerinden herhangi biri ile gösterilir[1]. dx Örnek 1.1: y = 3x fonksiyonunun türevini tanım yardımıyla elde ediniz. Açıklama [M1]: dy d 3(x+ x) - 3x 3x+ 3. x - 3x 3. x y ' = = ( 3x) = Lim = Lim = Lim = 3 dx dx x x x x x x Örnek 1. y = 4x² + 1 ise y ' türevini tanım yardımıyla elde ediniz. Çözüm:için türev tanım formülünü uygulayalım. dy d (4x² + 1 ) 4 ( x + x ) ² +1 - (4x² + 1 ) = = Lim dx dx x x 4 ( x² +x. x + x² ) + 1-4x² - 1 = Lim x x 4x² +8x. x + 4 x² + 1-4x² - 1 = Lim x x 4 x ² + 8x. x = Lim x x = Lim ( 4 x + 8x ) = 4. Lim x + Lim 8x x x x = 4.0 + 8x = 8x y ' = 8x elde edilir. Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 1
Örnek 1.3: X + 1 y = ise y ' yü türev tanımdan elde ediniz. Fonksiyonda x e artma vererek türev tanım formülünü uygulayalım. ( x+ x ) +1 x+1 dy d x +1 y ' = = ( ) = Lim dx dx x x x +.x + 1- x - 1 = Lim x x x = Lim x x = Lim 1 = 1 x y ' = 1 elde edilir. UYGULAMA Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini tanım formülü kullanarak yapınız. a ) y = 3x ² + 5x + 1 y ' =? x ² b ) y = y ' =? 3 x+1 c ) y = 5 ( ) y ' =? x+ d ) y = + 3x y ' =? 1 e) y = y ' =? x+ x f) y = y ' =? x ²+1 Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa
1.. Türev Alma Kuralları 1..1. Sabit fonksiyonun türevi y = f ( x ) = c ( c sabıt bir değer )olmak üzere bu sabit y = c fonksıyonunu türev tanımına göre yazılırsa dy d f (x+ x) - f ( x ) c - c (c ) = Lim = Lim dx dx x x x x = 0 = Lim = 0 Bulunur. Buna göre türevin, x x d y ' = ( c ) = 0 olduğu görülür. dx Bir sabitin türevi sıfıra eşittir[]. Örnek.1. 4: Örnek.1.5: dy d y = f ( x ) = 100 ise = ( 100 ) = 0 elde edilir. dx dx dy d y = f ( x ) = 700 ise = ( 700 ) = 0 elde edilir. dx dx 1... Bir Değişkenin Kendine Göre Türevi d y = f ( x ) fonksiyonu f ( x ) = x olarak verilmiş olsun. Bu x fonksiyonunun türevine bu x dx değişkeninin kendine göre türevi denir. Türev tanımı bu x değişkeni için uygulanırsa. dy d f ( x + x ) - f ( x ) x + x - x = ( x ) = Lim = Lim dx dx x x x x x Lim = 1 elde edilir. x x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 3
Bir değişkenin kendine göre türevi daima 1 dir. Örnek 1.6: dy d y = f ( x ) = y ise = (y) = 1 dy dy Örnek 1.7: dy d y = f ( x ) = t ise = ( t ) = 1 dt dt Örnek 1.8: dy y = f ( x ) = k ise dk d = ( k ) = 1 elde edilir. dk 1..3. İki fonksiyonun toplamının türevi F ( x ) = f ( x ) + g ( x ) olarak tariflemmiş bir fonksiyon olmak üzere bu fonksiyonun türevi, F ( x + x F ( x ) f ( x+ x g ( x + x ) - f ( x) - g ( x) Lim = Lim x x x x f ( x + x ) - f ( x ) + g( x + x g ( x ) Lim x x Bu yazılımda pay ve payda x değeri ile bölünürse f ( x + x ) - f ( x ) + g( x + x g ( x ) x = Lim x x f ( x + x ) - f ( x ) g( x + x g ( x ) = Lim + x x x x F ' = f ' + g ' formülü elde edilir. Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 4
Sonlu sayıda fonksiyonların toplamının türevi, bu fonksiyonların türevleri toplamına eşittir. Y=u(x)+v(x)+w(x)+... ise, y ' = u '(x)+v '(x)+w '(x)+... dir[]. enzer olarak fonksiyon iki fonksiyonun farkı şeklinde ise bu iki fark fonksiyonunun türevi türevleri farkına eşittir. F (x) = f ( x) - g (x) ise F ' = f ' - g ' Biçiminde ifade edilebilinir. 1.. 4. n. Dereceden değişkenin türevi n N olmak üzere y = f ( x ) = x n ' = n. x n - 1 formülü yardımı ile elde edilir. olarak verilmiş bir fonksiyon ise, fonkiyonunun türevi y Türev tanımından hareket edilirse, dy d (x+ x) n -x n y ' = = ( x n ) = Lim yazılabilinir. dx dx x x x + x ) n =C 0 n x n + C 1 n.x n - 1 x + C n x n - x +...+ C n n x n Uygulanan Binom açılımında C 0 n, C 1 n,..., C n n değerleri Binom katsayılarıdır. Bu katsayılar Kombinezon hesap değerine bağlı olarak, C k n n! = formülü ile hesaplanır. k! ( n - k )! Bu katsayılar aynı zamanda Pascal üçgninden elde edilebilinir. Pascal üçgenine göre bu değerler n=0 için 1 n=1 için 1 1 n= için 1 1 n=3 için 1 3 3 1 biçiminde yazılabilinir. Türev tanımından hareket edilerek, n n ( n - 1) x n + x n-1. x+ x n- x +...+ x n -x n ( x + x n - x n 1!! Lim = Lim x x x x n ( n - 1 ) x n. x n-1 +. x n-. x+...+ x n-1 Lim x x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 5
n ( n - 1) Lim n. x n - 1 + x n -. x +... + x n - 1 x Burada n. x n - 1 terimi dışında bütün terimlerin limit işlemi sırasında sıfır değerini aldığı görülür. Buna göre fonksiyonun türevi bu limit yardımıyla y ' = Lim n. x n - 1 = n. x n - 1 x formülü elde edilir[3]. Örnek 1.9: y = x 4 kuvvet fonksiyonunun türevini y ' yü tanımdan elde ediniz. d y ' ( x ) = ( x 4 ) buna tanım formülünü uygularsak, dx dy d ( x + x ) 4 - x 4 = ( x 4 ) = Lim ( I ) dx dx x x ( x + x ) 4 = x 4 + 4x 3. x + 6x. x + 4x. x 3 + x 4 Binim açılımı ( I ) de yazılırsa, x 4 + 4 x 3. x + 6 x x + 4x x 3 + x 4 - x 4 = Lim x x x 4 x 3 + 6 x x + 4x x + x 3 Lim x x Lim 4 x 3 + 6 x x + 4x x + x 3 x Lim 4 x 3 + Lim 6 x. x + Lim 4 x. x + L im x 3 x x x x = 4 x 3 elde edilir. UYGULAMALAR Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini tanım yardımı ile elde ediniz. a ) y = x ise y ' ( x ) =? b ) y = x 6 ise y ' ( x ) =? c ) y = x 8 ise ise y ' ( x ) =? Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 6
d ) y = x 9 ise ise y ' ( x ) =? 1..5. Fonksiyonların çarpımlarının türevi x R için f ( x ) ve g ( x ) fonksiyonları türevlenebilir fonksiyonlar olsun bu iki fonksiyonun çarpımı F ( x ) = f ( x ). g ( x ) de türevlenebilir bir fonksiyondur ve bu fonksiyonun türevi, F ( x ) = f ' ( x ). g ( x ) + f ( x ). g ' ( x ) şeklinde elde edilir. dy f ( x + x ) - g ( x + x ) - f ( x ). g ( x ) F( x ) = Lim olacaktır. dx x x bu yazılımda paytla f(x+ x ).g(x) değerini bir ekleyip bir çıkarırsak d f ( x + x ). g ( x + x ) - f ( x ). g ( x ) + f ( x + x ).g ( x ) - f (x + x). g (x) F( x ) = Lim dx x x g ( x + x ) - g ( x ) f ( x + x ) - f(x) = Lim f ( x + x ) Lim + Lim g ( x ). Lim x x x x x x d f ( x ). g ' ( x ) + g ( x ). f ' ( x ) veya F(x) = f ' (x) g (x) + g ' (x). f(x) olarak elde edilir. dx Örnek 1.10: Örnek 1.11: F ( x ) = ( x - 1 ) ( 3x + ) ise f ' =? f ( x ) = x - 1 ve g ( x ) = 3x + dersek f ' ( x ) = x ve g ' ( x ) = 3 elde edilir. F ' ( x ) = f ' ( x ). g ( x) + f ( x ). g ' ( x ) förmülünden F ' ( x ) = x ( 3x + ) + 3 (x - 1 ) F ' ( x ) = 6 x + 4x + 3x - 3 = 9x + 4x - 3 elde edilir. F ( x ) = ( x - 1 ) ( x - ) ( x - 3 ) ise F ' ( x ) =? dy d f ( x ) = ( x -1 ) f ' ( x ) = ( x- 1 ) = 1 dx dx dy d Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 7
g ( x ) = ( x - ) = ( x- ) = 1 dx dx d h ( x ) = ( x - 3 ) ( x- 3 ) = 1 dx F ' ( x ) = f ' ( x ). g ( x ). h ( x ) + g ' ( x ) f ( x ).h ( x ) + h ' ( x ) f ( x ). g ( x ) = 1. x ( x - 3 ). x ( x - 3 ). x ( x - ) = x ( x - 3 ) x ( x - 3 ). x ( x - ) x - 3 x - x + 6 + x - 3 x - x + x - x - x + = 3x - 1 x + 8 = F ' ( x ) = 3x - 1 x + 8 elde edilir. 1..6. Fonksiyonların bölümünün türevi f ve g diferansiyellenebilen iki fonksiyon tanım cümlesindeki her x için f (x) F ( x ) = fonksiyonunnda g ( x )=0 olmamak şartı ile, bu bölüm fonksiyonunun türevi g( x ) f ' ( x ). g ( x ) - f ( x ). g ' ( x ) F ' ( x ) = g ( x ) dir[4]. Tanım gereği nce, F ' f ( x + x ) g ( x + x ) = Lim x x f(x) g(x) = Lim x f ( x + x ). g ( x ) - f ( x ). g ( x + x) g ( x ). g ( x + x ) x Yazılımda fonksiyonun payına f ( x ). g ( x ) ifadesini bir ekleyip bir çıkarırsak f ( x + x ). g ( x ) - f ( x ). g ( x + x ) + f ( x ).g( x) -f(x).g ( x) Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 8
g ( x ).g(x+ x ) = Lim x x f ( x+ x )- f( x) g(x + x )-g ( x ) g ( x ) f ( x) g (x). (x+ x) g ( x + x ).g ( x ) Lim x x f ( x+ x )- f( x) g(x + x )-g ( x ) g ( x ) f( x) x x = Lim x g (x). g (x + x ) g ( x ). f ' ( x ) - f ( x ). g ' ( x ) = = F ' (x) Bulunur. g ( x ) Örnek 1.1: x x f ( x ) = x- Bölüm fonksiyonunun türevini bulunuz. (X x) '. (x-)-(x-) ' (x - x) F ' ( x ) = (x x - ) (x-)-(x x) (x x x -x + 4 - x x x x x + 4 = x - ) x - ) Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 9
= x - ) = 1 elde edilir. Örnek 1.13: 3 x - 1 F ( x ) = ise F ' ( x ) =? x+1 F ' ( x ) = 6x ( x + 1 ) -1 ( 3x - 1 ) ( x + 1 ) 6x + 6x - 3x + 1 3x + 6x +1 = = ( x + 1 ) ( x + 1 ) Örnek 1.14: x -3 F ( x ) = ( ). ( x - 3 ) ise F ' ( x ) =? x x -3 x -3 F ' ( x ) = ( ) '. ( x - 3 ) + ( x - 3 ) '. ( ) x x x x x x -3 = ( x x ) ( ) x 4 x x -4x + 6x 8x -1 = (x -3) + x 4 x 6x +x 8x 4-1x 3 = ) ( x x 4 x 3 1 x 3-18 x - 4. x 4 x x 4 x 3 = x 4 x x 4 x 4x 3 6x x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 10
= = bulunur. x 4 x 3 1..7. Kuvvet fonksiyonunun türevi F ( x ) = f ( x ) n şeklinde ise F ' ( x ) = n. f ( x ) n - 1. f ' ( x ) formülü ile elde edilir. Genel çözüm uygulanırsa, F ( x ) = f ( x ) n ifadesini F ( x ) = f ( x ). f ( x )...f ( x ) olarak yazarsak ; Bu türevi n çarpan lı bir çarpımın türevine göre hesap edersek; F ' ( x ) = f ' ( x ). f ( x ) n - 1 + f ' ( x ). f ( x ) n - 1 +...+f ' ( x ). f ( x ) n - 1 = f ' ( x ). f ( x ) n - 1.f ( x ) n - 1.... + f ( x ) n - 1 = f ' ( x ). n. f ( x ) n - 1 = n. f ( x ) n - 1. f ' ( x ) olarak elde edilir. Örnek 1.15: F ( x ) = ( x + 4 ) 4 ise F ' ( x ) =? F ' ( x ) = 4 ( x + 4 ) 3.( 4x ) = 16x (x 3 + 4 ) 3 olarak elde edilir. Örnek 1.16: F ( x ) = ( x - 3x ).( 8x -1 ) ise F ' ( x ) =? F ' ( x ) = (( x - 3x ) ) '.( 8x -1 ) + ( 8x -1 ) '. ( x - 3x ) 4 = ( 4 (x - 3x ) 3.( 4x - 3 ).( 8x - 1 ) + 8 (x - 3x ) 4 = ( x - 3x ) 3 '.( 16x -1 ). ( 8x - 1 ) + 8 ( x - 3x ) 4 = ( x - 3x ) 3 ( 18x - 16x - 96 x + 1 ) + 8 ( x - 3x ) 4 = (x - 3x) 3 (18 x -11 x +1 +16x -4x) = ( x - 3x ) 3 ( 144x - 136x + 1 ) bulunur. 1..8. Köklü fonksiyonların türevi Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 11
f ' ( x ) F ( x ) = f (x) ise F ' ( x ) = eşitliği ile elde edilir. f (x) Türev tanımı yardımı ile hareket edersek ; f (x x) - f (x) F ' ( x ) = Lim pay ve payda payın eşleniği ile çarpılırsa ; x x ( f (x) x) - f (x) ) ( f ( x + x ) + f (x) ) F ' ( x ) = Lim x ( f ( x + x ) + f (x) ) f ( x + x ) - f ( x ) = Lim Pay ve payda x e bölünürse x x ( f (x x) + f (x) f ( x ) + x) - f ( x ) ) x = Lim x f (x) x) + f (x) f ' ( x ) = Lim x f (x x) + f (x) f ' ( x ) f ' ( x ) = = bulunacaktır. f (x) + f (x) f (x) Örnek 1.17: Örnek 1.18: 3 F ( x ) = x 3x 1 ise F ' ( x ) =? f ( x ) = x 3-3x + 1 = f ' ( x ) = 3 x - 6x 3 x - 6x F ' ( x ) = 3 x 3x 1 Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 1
F ( x ) = x 1 (3 x + ) ise F ' ( x ) =? F ' ( x ) = ( x 1 ) ' (3 x + ) + ( 3 x + ) ' ( x 1 ) 1 =.( 3 x + ) + 6x. x 1 x 1 3 x + 3 x + + 1x ( x - 1 ) = + 6x. x - 1 = x 1 x 1 3 x + + 1x - 1x 3 x + + 1x - 1x = = x 1 x 1 1..9. Kapaılı fonksiyonların türevi F(x,y)=0 şeklinde verilen bir ifadeye kapalı fonksiyon adı verilir. Böyle bir fonksiyonun türevini bulmak için F(x,y)=0 eşitliğinde her tarafın x e göre türevi alınr, bulunan eşitlikte y ' hesaplanır[5]. xy + x + y = 0 ve x y - xy - 1 = 0 fonksiyonları birer kapalı fonksiyondur. Örnek 1.19: xy + x - y - 1 = 0 ise f ' ( x, y ) =? d d xy + x - y - 1 = ( 0 ) dx dx y + y ' x + 1 - y ' = 0 y ' x - y ' + y + 1 = 0 y ' ( x - ) + y + 1 = 0 y +1 y ' = = f ' ( xy ) elde edilir. x - Örnek 1.0: Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 13
x 3 + y 3 - x y = 7 ise f ' ( x, y ) =? d d (x 3 + y 3 - x y ) = ( 7 ) dx dx 3 x +3 y y - xy - y ' x = 0 3 y y - 3 y 1 x + 3x -xy = 0 y ' ( 3y - x ) + (3x - xy ) = 0 3x - xy y ' = - 3y - x elde edilir. 1..10. Bir fonksiyon fonksiyonunun ( Bileşke fonksiyonun) türevi Eğer y = f ( u ) ve u = g ( x ) ise y=f{g(x)} x in bir fonksiyonudur. Eğer y u' nun türetilebilir bir fonksiyonu ve eğer u da x' in türetilebilir bir fonksiyonu ise y=f{g(x)} x' in türetilebilir bir fonksiyonudur ve dy/dx türevi aşağıdaki işlemlerden biri ile elde edilebilinir. a- y fonksiyonunu x cinsinden açık olarak ifade ediniz ve türevini alınız. b- Her bir fonksiyonun bağımsız değişkenine göre türevini alınız ve zincir kuralını uygulayınız[6]. Yani f fonksiyonu u ya u fonksiyonuda x e bağlı bir fonksiyon ise bu bir bileşke fonksiyonu belirler. y = f g ( x ) yazilabilir ve bir fonksiyon bir fonksiyonu belirler. Bu tür fonksiyonların türevi zincir kuralı denilen bir metodla çözümlenebilir. Zincir Kuralı : dy dy du dy du =. y ' nin u ' ya göre türevi, u ' nun x ' e göre türevi denir. dx du dx dx dx Örnek 1.1: dy y = u 3 u = u 3-5x ise =? dx dy d = ( u 3 ) = 3 u du du dy d = ( u - 5x ) = x - 5 du du dy dy du =. dx du dx 3 u ( x - 5 ) = 6 ( x -5x). x -15(x -5x ) Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 14
= (x -5x) 6x - 15 elde edilir. 1..11. Yüksek mertebeden türevler y = f ( x ) fonksiyonunun birinci türevinin türevi, fonksiyonun ikinci türevi ismini alır ve d y/ dx f ' ' veya y ' ' sembollerinden biri ile gösterilir. Fonksiyonun ikinci türevinin türevi üçüncü türev ismini alır ve f ' ' ' veya y ' ' ' biçiminde gösterilir. Daha yüksek türevler içinde benzer şeyler söylenebilir[7]. Bu ifade matematiksel olarak ; y = f ( x ) dy y ' = = f ' ( x ) dx d y y ' ' = = f ' '(x) dx : d n y y n = = f n (x) bu şekilde yazılabilir dx n Örnek 1.: d y =? d x x - 1 y = fonksıyonunun ikinci dereceden türevini elde ediniz. x + 3 ( x + 3 ) - ( x - 1 ) x +6 -x +1 7 y ' = = = ( x + 3 ) ( x + 3 ) ( x + 3 ) (x +3 ). 7 14(x + 3) y ' ' = - = (x + 3) 4 ( x +3 ) 4 elde edilir. Örnek 1.3: d 3 x y = ( 4x + x ) ( - x 3 ) ise y ' ' ' = =? dx 3 dy y ' = = ( 4 + x ) ( - x 3 ) + ( -3x ) ( 4x + x ) Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 15
dx = 8-4 x 3 + 4x - x 4-1 x 3-3 x 4 = -5 x 3-16 x 3 + 4x + 8 d y y ' ' = = -0 x 3-48x + 4 dx d 3 x y ( 3 ) = = - 60 x - 96x dx 3 elde edilir. UYGULAMALAR Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz. 1 ) y = x 3-4x + 8 ) y = 3x 4 - x +3x - 4 3 ) y = (x - 1) ( x + 3 ) 4 ) y = 8x (x + 1 ) (3x 3 - ) 5 ) y = x ( x + 1 ) + 3x (x + ) 6 ) y = (3x 3 + 5x - 1 ) (3x + ) 7 ) y = x 10 (4x - x ) + (3x + x ) x 3 8 ) y = - x + 3 x + x +1 9 ) y = x 3 - x + x +1 10 ) y = ( x + 3 ) 11 ) y = ( 4x - 1 ) 3x 8x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 16
1 ) y = 4x x 1 13 ) y = (8x -) x 4 14 ) y = x 1 x 1 15 ) 3x y + y - 1 = 0 16 ) x 3 + y 3 - x y = 4x 17 ) 3x y + (x-y) = 3 18 ) y = 4 u 3 - u + 1 u = 8x - 19 ) y = u u = 5x 4 0 ) y = u 1 x 1 u = 5x + x + 1 d y 1 ) y = ise =? 4x - dx d y ) 3 x x -1 (x 3 + ) ise =? dx 5x + x + 1 d + y 3 ) y = ise =? 4x - dx d 4 y 4 ) y = x 4 + ise =? dx 4 5 ) y = ( x 3 + ) 3 ise d 5 y =? Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 17
dx 5 x ( 3x + ) d 3 y 6 ) y = ise 5x - 1 dx 3 =? x+3 7) y = ise y ' ' ' =? x- x 3 + x+3 8) y = ise y ' ' ' =? x- 1.3. Trigonometrik Fonksiyonların Türevi 1.3.1. y = Sınx fonksiyonunun türevi x 'e x artmasını verelim. y de y artmasını alır. y + y = Sin(x + x ) den y = Sin(x + x )- Sınx x x y =Sin. Cos ( x + ) Her iki taraf x değeri ile bölünürse, x x sin. cos (x + ) y = x x Burada pay ve payda iki ile bölünürse, x x sin. cos (x + ) y = x x x i sıfıra götürerek Lim işlemi gerçekleştirilirse, x x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 18
Sin. Cos (x + ) y Lim = Lim x x x x x Sin y x Lim = Lim Cos (x + ) x x x x y x Lim = Lim cos (x + ) x x x y ' = Cosx olarak elde edilir[8]. 1. 3.. y = Cos x fonksiyonunun türevi y = Cosx fonksiyonuna türev tanımını uygularsak ; dy Cos ( x + x ) - Cosx y ' = ( Cos x ) = Lim dx x 0 x ( I ) yazılabilir. A + B.A - B CosA -CosB = - Sin. Sin Trigonometrik dönüşüm formülünden Cos ( x + x ) - Cos ( x ) = x+ x+x x + x - x - Sin. Sin x + x x = - Sin. Sin ( I de yazılırsa ) - Sin x+ x Sin x. = Lim Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 19
x 0 x x x + x - Sin. Sin = Lim x 0 x x - Sin x = Lim. Lim Sin ( x + ) x 0 x x 0 x = - 1. lim Sin( x + ) = - Sin x elde edileceği görülecektir. x 0 d y = Cos x ise y ' y = Cos x = - Sin x dir[8]. dx 1.3.3. y = tg x Fonksiyonun türevi Sinx y = tg x fonksiyonunun trigonometrik özelliğinden y = tg x = Cosx türevi özelliği uygulanırsa; yazılarak bölümün dy d Sin x y = = ( ) dx dx Cos ( Sinx ) '. Cos x - ( Cosx ) '. ( Sinx ) = Cosx Cosx. Cos x + Sinx.( Sinx ) Cos x + Sin x = = Cosx Cos x 1 = = 1 + tg x Cos x d 1 y ' = ( tg x ) = = 1 + tg x elde edilr. dx Cos x 1. 3.4. y = cotg x Fonksıyonunun türevi Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 0
Cosx y = Cotgx Fonksiyonunun trigonometrik özelliğinden y = Cotg x = Sinx yazılarak bölümün türevi özelliği uygulanırsa; dy d Cos x ( Cosx ) '. Sinx - ( Sinx ) '. Cosx y = = ( ) = dx dx Sin x Sinx -Sin x. Sin x - Cos x. Cos x - Cos x - Sin x - (Sin x + Cos x -1 y = = = = Sinx Sinx Sin x Sin x - (Cos x + Sin x ) -1 = = Sin x Sin x d 1 = y ' = ( Cotgx ) = - = - Sec x = - ( 1 + Cotg x ) elde edilir. dx Sin x 1. 3..5. y= Sin u şeklindeki foksiyonun türevi y = Sın u nun türevi, u x in bir fonksiyonu olmak üzere y=sinu nun x e göre türevini almak için, fonksiyon fonksiyonunun türev alma kaidesi tatbik edilerek, dy dy du =. ( Zincir kuralı ) dx du dx d d dy ( Sinu ) = ( Sinu ). dx dy dx du = Cos u. elde edilir[8]. dx Örnek 1.4: y = Sin x ise y ' =? x = U ise y = Sin U olur. dy dy du =. ( I ) dx du dx Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 1
dy du d = Sin U = Cos U du du d 1 = ( x ) =, dx dx x dy 1 1 = Cos x. = Cos x elde edilir. dx x x Örnek 1.5: x - 1 y = Sin ise y ' türevini buluruz. x - 1 = U ise y = Sin U olur. d ( Sin U ) = Cos U elde edilir. du d x - 1 ( ) = x dx ( 1 ) ve ( ) zincir kuralı formülü yazılırsa, dy dy du x - 1 =. = Cos U. x = x. Cos dx du dx elde edilir 1. 3.6. y = C os U foksiyonun türevi y = Cos U u = y (x ) ise y = Cos U foksiyonu bir bileşik fonksiyondur. Bileşik fonksiyonlarda türev alma özelliğinden, Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa
dy dy du du dy =. = (Cos U ). = - Sin U ( I ) formülü dx du dx dx dx elde edilir Örnek 1. 6: y = Cos ( 3x + x + 1 ) ise y ' =? 3x + x + 1 = U dersek y = Cos U elde edilir. ( I ) bağıntısından yazılırsa ; du y ' = - Sin U dx d = -Sin (3x + x + 1 ). (3x + x + 1 ) dx = -Sin (3x + x + 1 ). ( 6x + ) = - (6x + ) Sin (3x + x + 1 ) elde edilir. Örnek 1.7: y = Cos ( x + ) ( 3x 3-1) ise y ' =? y = (x + ) (3x 3 -) = U ise y = Cos U bileşik fonksiyon yazılabilinir. ( I ) formülü gereğince, d y = - Sin (x + ) (3x + x + 1 ). ( ). ( ) dx d y = - Sin (x + ).( 3x + x + 1 ). (15x 4 + 18 x 4 - x) (15x 4 + 18 x 4 - x) dx elde edilir. 1. 3.7. y= tg u fonksiyonunun türevi. y = tg u kulanılarak, u = u ( x ) ise y = tg u ya bileşik fonksiyon denilir. Bileşik fonkiyonlarda türev özelliği dy dy du =. dx du dx ( Zincir Kuralı) dy d d Sin U ( Sin U ) '. Cos U - ( Cos U ) '. Sin U = ( tg u ) = ( ) = du du du Cos U Cos U Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 3
( Sin U ) '. Cos U - ( Cos U ) '. Sin U Cos U + Sin U = 1 1 1 1 = = = Cos U Cos U Cos U = ( 1 + tg U ) elde edilir. dy 1 dy du =. = ( 1 + tg U ) Şeklinde elde edilir. dx Cos U dx dx Örnek 1.8: y = tg ( 3x + ) ise y' =? U = 3x + dersek y = tg U olur. du dx d = ( 3x + ) = 6x dx dy dy du =. = ( 1 + tg U ). ( 6x ) = 6x ( 1 + tg U ) dx du dx = 6x ( 1 + tg ( 3x + ) ) bulunur. Örnek 1.9: x y = tg ( ) ise y ' =? x = u ise y = tg u yazılabilir. dy = ( 1+ tg u ) du du d x 1 = ( ) = dx dx 4 x dy 1 1 = (1+ tg u) = Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 4
dx 4 x 4 x 1 x = ( 1+ tg ) elde edilir. 4 x 1. 3. 8. y = Cotg u fonksiyonun türevi y = Cotg u ve u = u ( x ) şeklinde bir fonksiyon ise y = Cotg u fonksiyonuna bileşik fonksiyon denilir. Bileşik fonksiyonların türev özelliğinden faydalanılarak zincir kuralı uygulanırsa. dy dy du =. eşitliğğinden dx du dx dy d d Cos u ( Cos u ) '. Sin u - ( Sin u ) '. Cos u = ( Cotg u ) = ( ) = du du du Sin u ( Sin u ) - Sin u.sin u - Cos u. Cos u - ( Sin u + Cos u) 1 = = = ( Sin u ) Sin u Sin u = - ( 1 + Cot g u ) elde edilir. dy 1 du du = - = - ( 1 + Cos u ) dx Sin u dx dx Örnek 1.30: x +1 y = Cotg ( ) ise y 1 =? 4 x +1 u = ise y = Cot g u yazılır. 4 dy 1 dy 1 = - = du Sin u dx 4 dy 1 1 1 = -. = - dx Sin u 4 4 Sin x + 1 4 Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 5
UYGLAMALAR Aşağıdaki trigonometrik fonksiyonların türevlerini alınız. x 1) y = Sin a ) y = Sin ( 8 x + x +1 ) 3 x 3 ) y = Sin 4) y = Sin ( x + ) ( x 1 ) 5 ) y = Cos ( 3x - x + 1 ) x 6 ) y = Cos ( x 3 + ) ( ) 1 7 ) y = ( 1-3 Cos x ) - 6 8 ) y = tg' x sin x x x 9 ) y = tg + Sin ( 3x - 1 ) + Cos 3 10 ) y = Cotg ( x 3-1 ) a - x 11 ) y = Cot g a + x 1. 4. Ters Fonksiyonların Türevi 1. 4.1. Reel ters fonksiyonların türevi y = f ( x ) fonksiyonundan x i çözmek sureti ile x = ( y ) fonksiyonunu elde ettiğimizi düşünelim. f (x) ve ( y ) fonksiyonlarına ters fonksiyonlar denir. Bunların arasında bir bağıntı gerektiği taktirde y x. = 1 olduğu düşünülerek x y Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 6
y 1. x x y yazılır ve limite geçilirse y 1 dy 1 Lim = Lim türev tanımından = yazılabilinir. x 0 x x 0 x dx dx y dy 1 f ' ( x ) = elde edilir []. ' ( y ) Örnek 1.31: dy x = 1 - y + y tersi yazılmış bu fonksiyonun türevini bulunuz? dx dx 1 = ( 1 - y + y 4 ) -/3 ( - y + 4y 3 ) dy 3 dx - y + 4y 3 4 y 3 - y = = dy 3 ( 1 - y + y 4 ) /3 3 ( 1 - y + y ) /3 dy 1 1 3 (1 - y + y 4 ) /3 = = = dx f ' ( x ) 4y - y 4 y 3 - y 3(1 - y + y 4 ) /3 Örnek 1.3: f ( x ) = x - 11x +33 fonksiyonunun tersinin türevini bulunuz. f ( x ) ' in tersi ( y ) fonksiyonu olsun. Türev tanımından 1 ' ( y ) = f ' ( x) yazılabilinir. Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 7
' ( x ) = x -11 elde edilerek 1 ' ( y ) = aranan türev değeri hesaplanır. x - 11 1. 5. Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri 1.5.1. y=arcsinx ve y = arcsin u ters fonksiyonların türevleri x = Sin y ise ters fonksiyon y = arcsin x olarak yazılır. y = arcsin x tanım bölgesi -1 < x < 1 olup x = Sin y fonksiyonun değer bölgesi reel sayılar kümesindendir. Bu değer Sin y nin tanım bölgesidir.aşağıde türevlerden bahsedilen ters trigonometrik fonksiyonların tanım bölgelerinde benzer şekilde bulunabilinir. y = arcsin x ise x = Sin y yazılır. x = Sin y d d ( x ) = ( Sin y ) Eşitlik her iki yanın x ' e göre türevi alınırsa; dx dx 1 = y ' Cos y 1 y ' = Cosy Sin y + Cos y = 1 Trigonometrik özellikten Cos y hesaplanırsa, Cos y = 1 sin y yazılabilinir. 1 1 = = Formülü elde edilir. 1 sin y 1 x y = arcsin u ise fonksiyon Bu fonksiyon bir bileşik fonksiyon olup bileşik fonksiyonun türevi gereğince dy du y ' = { Zincir kuralı } dx dx 1 du y ' = Formülü elde edilir. 1 u dx Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 8
Örnek 1.33: y = arcsin 3 x ise y' =? u = 3x ise y = arcsin u olur yazılabilinir. 1 d y ' =. ( 3x ) 1 u dx 1 6x =. 6x = elde edilir 1 u 4 1 9x Örnek 1.34: y = arcsin ( x -3 ) ise y ' =? u = x -3 ise y = arcsin u ( I eşitliğinden ) 1 d y ' =. ( x -3 ) 1 u dx 1 =. = 1 - ( x -3 ) 1-4x - 6x - 9 1 = = elde edilir. - 4x + 1 x -8 -x +3x - 1.5.. y = arccosx ve y = arccosu ters fonksiyonun türevi. y = arccos x fonksiyonun türevi y = arcsinx fonksiyonunun türevine benzer olarak aşağıdaki şekilde elde edilir. 1 y = arccos x ise y' = - 1 - x 1 du y = arccos u ise y ' = -. Formülü elde edilir. 1 - u dx Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 9
Örnek 1.35: y = arccos x ise y ' =? u = x ise y = arccos u yazılırsa. 1 d y ' = -. ( x ) 1 u dx 1 x = -. ( x ) = - elde edilir. 1 -x 4 1 - x 4 Örnek1.36: x y = arccos ise y 1 =? x u = ise y = arc Cos u yazılırsa ( I eşitliğinden ) 1 d x y = -. ( ) x dx 1 - ( ) 1 1 = -. ( ) = 4 - x 4 1 1 1 =. = - elde edilir. 1 4 - x 4 - x 1.5. 3. y = arctg x ve y= arctg u şeklindeki fonksiyonların türevi Benzer metodlarla yazılım yapılırsa ; 1 a - y = arctg x ise y ' = ( I 1 ) 1 + x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 30
1 d b - y = arctg u ise y ' =. ( I ) yazılır 1 + u dx Örnek 1.37: y = arctg x 3 ise y ' =? u = x 3 ise y = arctg u olur. ( I yazılırsa ) 1 d 1 3 x y ' =. ( x 3 ) = ( 3x ) = 1 + x 6 dx 1 + x 6 1 + x 6 Örnek 1.38: 3 y = arctg ise y ' =? x 3 u = ise y = arctg u yazılır ( I yazılırsa ) x 1 d 3 y ' =. ( - ) 3 dx x 1+( ) x 1 3 1 3 = ( - ) =. (- ) 9 x x + 9 x 1 + x x x 3 3 =.( - ) = - elde edilir. x + 9 x x + 9 1.5.4. y = arccotg x ve y = arccotg u ters fonksiyonların türevleri Benzer metotlarla işlem yapılırsa, 1 a - y = arccotg x ise y ' = ( I 1 ) 1 + x 1 d Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 31
b - y = arccotg u ise y ' =. ( I ) yazılır 1 + u dx Örnek 1.39: 1 + x y = arccotg ise y ' =? 1 - x 1 + x u = ise y = arccostg y ( I eşitliğinden ) 1 - x 1 d 1 + x y' = -. ( ) 1 + x dx 1 - x 1 + ( ) 1 - x 1 =. ( 1 - x ) + ( 1 + x ) ( 1 - x ) ( 1 - x ) ( 1 - x ) = -. = ( 1 - x ) + ( 1 + x ) ( 1 - x ) 1 = = - = 1 - x + x + 1 + x +x x + x +1 1. 6. Üstel Ve Logaritmik Fonksiyonların Türevi 1.6.1. Üstel ve logaritmik fonksiyonların tanimı 1 y = ( ) x, y = ( ) x, y = ( 10 ) x, y = e x (,7,188...) ve genel olarak 3 y = a x ( a 1 ve a > 0 ) şeklindeki bütün fonksiyonlara üstel fonksiyonlar denilir. Bu fonksiyonların x ' e göre çözümlerinin elde edilmesi ile ters fonksiyonları elde edilr. Bu çözümlerde x yerine y ve y ' yerine x koymakla elde edilen fonksiyonlarada lagaritmik foonksiyonlar denilir. 1. 6.. y = Log a x ve Log a u şeklindeki fonksiyonların türevi Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 3
y = Log a x denklemi ile tanımlanan fonksiyonun x e göre türevi tanım gereğince dy d = dx dx ( Log a x ) dir Log a ( x + h ) - Log a x 1 Lim = Lim. ( Log a ( x+h)/x )] h 0 h h 0 h 1 x h = Lim (Log a ( 1+ ) ] h 0 x h x 1 h x/h =. Lim [Log a ( 1+ ) ] x h 0 x 1/u Lim (1+u) = e olduğu için u=h/x seçilirse u 0 d 1 (Log a x)=log a e. bulunur. Bu kuraldan yararlanarak y=log a u bileşik fonksiyonunun türevi dx x zinci r kuralı gereğince, d 1 du (Log a u)=(log a e) dx u dx a=e olması durumunda ise açık olarak d 1 d 1 du (lnx)= ve genel olarak (lnu)= kuralları elde edilir[1] dx x dx u dx Örnek 1.40: x y = Ln ( ) ise y = y ' =? 1 + x x u = ise y = ln u yazılır. 1 + x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 33
1 d x y ' =. ( ) u dx 1 + x 1 ( 1 - x ) 1 ( 1 - x ) =. =. u ( 1 + x ) x ( 1 + x ) 1 + x Örnek 1.41: 1+ x ( 1 - x ) ( 1 - x ) =. = sonucu bulunur. x ( 1 + x ) ( 1 + x ) y = Ln ( 4 -x ) ise y 1 =? u = 4 - x ise y = Ln (4 - x ) yazılır. ( I formülünden ) 1 du y ' =. u dx 1 d =. (4 - x ) u dx 1 x =. ( - x ) = - bulunur. 4 - x 4 - x Örnek 1.4: x y = Log ( ) ise y 1 =? 1 + x x du x u = ise = ( n de yazılırsa ) 1 + x dx ( 1 + x ) 1 du y ' = Log e ( I ) u dx Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 34
1 x y ' =. Log e ( ) x ( 1+ x ) 1 + x 1 + x x =. Log e = Log e x ( 1 + x ) x( 1 + x ) Örnek 1.43: 1 y = Log ise y 1 =? x 1 du 1 u = ise = - ( I de yazılırsa ) x dx x dy du y y =. Log e ( I ) du dx 1 du = Log e u dx 1 1 x 1 = Log e ( - ) = - Log e = - 1 x x x x 1. 6. 3. y = a x ve y = a u şeklindki fonksiyonların türevi y = a x fonksiyonundan ( a > o ) olmak üzere her iki yanının tabi ( e tabanına göre ) logaritması alınarak ; Ln y = x Ln a elde edilir. Kapalı fonksiyonların türevine göre y ' Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 35
= Ln a y y ' = y. Ln a = a x Ln a elde edilir. Fonksiyonun y = a u şeklinde ve u = ( x ) ise y = a u bileşik fonksiyon olup du dy du =. eşitliğinden dx du dx du y ' = a u Ln a. elde edilir. dx Örnek 1.44: ( x 3-1 ) y = a a üstlü fonksiyonun türevini bulunuz. du u = ( x 3-1 ) ise dx = 6x du y ' = a u. Ln a. dx ( x 3-1 ) ( x 3-1 ) = a. Ln a. ( 6x ) = 6x. a. Lna Örnek 1.45: y = a x üstel fonksiyonun türevini bulunuz. x - 1 x du x - 4 u = ise = x - 1 dx ( x - 1 ) formülde yazılırsa, du y 1 = a u. Ln a dx Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 36
x ( ) x - 1 x - 4 = a Ln a. elde edilir. ( x - 1 ) 1. 6. 4. y = e x ve y = e u şeklindeki fonksiyonların türevi y = e x fonksiynun türevinde y = a x fonksiyonuna takip edilen yol uygulanırsa ; kısaca her iki tarafın ( doğal ) logaritması alınırsa, Ln y = x Ln e ( Ln e = 1 den) Ln y = x yazılır. ( Her iki yanın türevi alınırsa ) y ' = 1 y ' = y = e x bulunur. y fonksiyon y = e u ise y = e u bileşik fonksiyon olup bileşik fonksiyonun türevi özelliğinde dy du y ' =. türev özelliği du dx du y ' = e u. dx Formülü elde edilir. Örnek 1.46: y = e 3 x üstel fonksiyonun türevini bulunuz. 3 du 3 u = ise = - x dx x 3 3 3 x 3 3 x y ' = e ( - ) = - e elde edilir. x 3 x 3 UYGULAMALAR Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 37
Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz? 1 + x 1) y = Ln ( ) 1 - x x ) y = Ln ( ) 1 - x ( x - ) 5 3 ) y = Ln ( x + 1 ) x 4 ) y = 10 Log x + a 5 ) y = 10 Log x + a 6 ) Y = Log ( 4x - 3) x 4 7 ) y = a 8 ) y = a x ( x + 1 ) 3x 9 ) y = a 10 ) y = e x ( x + 1 ) ( x - ) 11 ) y = x e -x 1 ) y = ( x +x ) e 3x - e x - 1 13 ) y = e x + 1 x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 38
e 14 ) y = 1.7. Türevin Geometrik Uygulaması Bu işlevi düzlemsel bir eğri üzerinde inceleyelim. y=f(x) fonksiyonunun eğrisi p olsun. p Eğrisinin (Xo, Yo) noktasındaki teğeti T ve normali T' olsun (Bkz. Şekil 7.1 ). A dan geçmekte olan ve AB keseninin eğimi, f(xo + x) - f(xo) Tg = x dir. B T A T ' ' Xo Xo+ x Şekil 7.1 : Düzlemde eğrinin teğet ve normali Bu geometrik şekilde, durumda teğetin m t eğimi i x olması durumunda AB kesen doğrusu T ile çakışır. Bu f (Xo + x) - f(xo) Lim Limit değeridir. Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 39
x x Bu limit ise f ' (Xo) dır. Buradan noktasındaki teğetinin denklemi, m t =f ' (Xo) yazılabilinir. Buradan y=f(x) fonksiyonunun A(Xo,Yo) Y- Y O = f ' (Xo) (X-Xo) olarak yazılabilinir. 1 T' normalinin eğimi ise, m n ile gösterilirse m t. m n = -1 dir. Buna göre normalin eğimi m n = - f' (X o) formülü ile yazılırsa, normalin denklemi şu formülle elde edilir. Örnek 1.47: 1 Y-Y O = - (X-X o ) (I ) f ' ' (X o ) y = x +x+1 eğrisinin A(,4) noktasındaki teğetinin denklemini bulunuz. y ' = f ' (X o ) = x+ ise f ' () =.+=6 değeri bulunur. m t = 6 Değerler formülde yazılırsa, y -4 = 6 (x- ) y = 6x - 8 neticesi elde edilir. Örnek 1.48: y = x -x+5 parabolünün (,5) noktasındaki normalinin denklemini yazınız. 1 m n = - Değeri I formülünde yazılırsa 1 y - 5 = - (x-) yazılımından x + y = 1 denklemi elde edilir. Örnek 1.49: f ( x ) = x - 3x + fonksiyonunun x = noktasındaki teğetinin eğimi ni ve denklemini yazınız. fonksiyonun x = noktasındaki türevi olacağından Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 40
f ' ( x ) = x -3 f ' ( ) =. - 3 = 4-3 = 1 m = 1 bulunur. Teğet denlemi için y 0 noktasını bulalım. f ( ) = - 3. + = 4-6 + = 0 Deklemde bulunan değerler yazılırsa y - y 0 = m ( x - x 0 ) y - 0 = 1 ( x - ) y = x - teğet denlemi elde edilir. 1. 8. Belirsizlik Kuralları 1. 8. 1. Tanım Limit alma işleminde verilen limit özelliği ile sonuç elde edilemeyen ; 0,, 0., -,, 0 0, 0 gibi meydana gelebilen durumlara belirsiz durumlar denilir. 0 Yukarıdaki ifadelelerle elde edilen fonksiyonlar değişkenin bir x 0 değeri için belirsiz hal gösterdiği vakit, bu ifadelerin x 0 noktasında soldan ve sağdan limitleri aranır, şayet bir limit bulunursa fonksiyonun göz önüne aldığımız noktadaki belirsiz değerini bu limite eşit olarak belirtmiş oluruz[9]. 0 1. 8.. veya Belirsizlik durumu ve L' hospital kuralı ; 0 f ( x ) ve g ( x ) fonksiyonları türevlenebilinir fonksiyonlar olmak üzere ; Lim f ( x ) = 0 veya Lim f ( x ) = x a Lim g ( x ) = 0 x a x a veya Lim g ( x ) = x a Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 41
İseler ; f ( x ) 0 f ( x ) Lim = veya Lim = olur. x a g ( x ) 0 x a g ( x ) Bu değerde ; f ( x ) f ' ( x ) Lim = Lim x a g ( x ) x a g ' ( x ) formülü ile elde edilir. Bu formüle L hospital kuralı adı verilir. f ( x) L hospital kurlına dikkat edilmesi gereken en önemli husus şudur. Fonksiyon olsa bile g ( x ) L hospital kuralında bu limit değeri bölüm fonksiyonun Limiti gibi düşünülmeyip türevin bölümü olarak alınacaktır. Örnek 1.50: Sin x 0 Lim = olur. L hospitala göre x a x 0 Sin x ( Sinx) ' Cos x Lim = Lim = Lim = Lim Cos x = 1 elde edilir. x a x x a ( x ) ' x a 1 x a Örnek 1.51: 1 - Cos x 1 - Cos x 1-1 0 Lim ise Lim = = x x x x 0 0 1 - Cos x ( 1 - Cos x ) ' Sin x 0 Lim = Lim = Lim = x x x ( x ) ' x x 0 Sin x 0 Sin x ( Sin x) ' Lim = Lim = Lim x x 0 x x x ( x ) ' Cos x 1 1 1 Lim = Lim Cos x = Lim Cos x = Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 4
x x x Örnek 1.5: x - 3x - 4 1 + - 4 0 Lim = = x x 3 + 1-1 + 1 0 x - 3x - 4 x - 3 - -3-5 Lim = Lim = = x x 3 + 1 3x 3 3 Örnek 1.53: x + Sin x 0 Lim x x + Sin x 0 = x + Sin x Lim x x + Sin x ( x + Sin x )' = Lim x ( x + Sin x ) ' 1 + Cosx 1 + 3 Lim = Lim = = 1 x 1 + Cos x x 1 + 3 Örnek 1.54: 4x - x + 0 Lim x x 0 = 4x - x + ( 4x - x + ) ' Lim = Lim x x x (x) ' 8x - - Lim = = - 1 x Örnek 1.55: e x + e -x - x - 0 Lim = Belirsiz. x Sin x - x 0 Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 43
( e x + e -x - x - ) ' Lim x ( Sin x - x ) ' e x + e -x - x 1-1 -.0 -. 0 0 Lim = = = = 0 x Sinx.Cosx - 0 - - - Örnek 1.56: x 3 - x + 1 Lim x x 3-4x + ise x 3 - x + 1 Lim = x x 3-4x + 1 x 3 ( 1 - + ) x x 3 1 Lim = Lim = 1 x 4 x 1 x 3 ( 1 - + ) x x 3 x 3 - x + 1 ( x 3 - x + 1 ) Lim = Lim x x 3-4x + x ( x 3-4x + ) 3x - Lim = x 3x - 8x Belirsizlik 6x 6 Lim = Lim = Lim 1 = 1 x 6x - 8 x 6 x Örnek 1.57: Ln x Ln 0 - Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 44
Lim = = x Cotgx Cotg0 - Ln x ( Ln x ) Lim = Lim x Cotgx x ( Cotgx ) 1 x Sin x 0 Lim = - = ( L hospital ) x 1 x 0 - Sinx Sin x ( Sin x) Sin x Cosx Lim - = Lim - = Lim - x x x ( x ) x 1 Lim ( - ) Sinx Cosx = 0 Örnek 1.58: Ln Sinx Ln Sin0 Ln 0 - Lim = Lim = = x Ln tgcx x Ln tg0 Ln 0 - Ln Sinx ( Ln Sinx ) Lim = Lim x Ln tgcx x ( Ln tgx ) 1 Cosx Cosx Sinx Sinx Cosx tgx = Lim = Lim. x 1 Sec x x Sinx Secx. Sec x tgx tgx Lim Cosx Sinx 1 Lim.. = Lim Cos x = 1 x Sinx Cosx 1 Örnek 1.59: Cos x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 45
x + x + 1 Lim = x 3x + x - 1 x + 1 Lim = Lim = x 6x + x 6 3 1. 8.3 0. Belirsizlik durumu f ( x 0 ) =0 ve g ( x 0 ) = ise f ( x 0 ). g ( x 0 ) = 0. olur. Bu durumda g ( x 0 ). g ( x 0 ) çarpımı düzenlenerek f ( x 0 ) g ( x 0 ) veya durumuna dönüştürülür ve bu durumda işlem / 0/0 duruma dönüşür. 1 1 g( x 0 ) f ( x 0 ) Bu durumda L hospital kuralı uygulayarak çözümü gerçekleştirilir. Örnek 1.60: Lim ( x Ln x ) = 0. Ln0 = 0. ( - ) durumu doğar. x f (x) g (x) Ln x Lim x Lnx = Lim dir. x x 1 x Ln x ( Ln x )' Lim = Lim x 1 x 1 ( ) ' ' x x 1 1 x x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 46
= Lim = Lim = - 1 x 1 x 1 - - x x 1 x = Lim = Lim ( - x) = 0 Bulunur. x 1 x - x Örnek 1.61: 5 Lim ( x - 4 ) x x - ise 5 Lim ( 4-4 ) = Lim 0. x - x x - 4 x - 4 = Lim x 1 x x - Lim 5 5 x - ( x - ) ( x + ) ( x + ) = Lim = Lim x (x - ) 1 5 5 = 5. Lim ( x + ) = 5 ( + ) = 5. 4 = 0 1. 8. 4 0 0 Belirsizlik durumu g ( x 0 ) f ( x 0 ) = 0 ve g ( x 0 ) = 0 ve f ( x 0 ) = 0 0 durumu doğar. g ( x 0 ) y = f ( x 0 ) fonksiyonu elde edilmiş olsun. Bu fonksiyonda her iki tarafın logaritması Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 47
alınacak olursa, Ln y = g ( x 0 ) Ln f ( x 0 ) olur.bu ifadenin limitide x x 0 Lim Ln y = Lim x x 0 x x 0 g ( x 0 ). Ln f (x 0 ) = 0. durumunda olacağından bir önceki yaptığımız limit metodundan Lim Lny =A Limiti bulunur. Ve burada aranan limit x x 0 Lim y = e A x x 0 elde edilir. Örnek 1.6: Lim X x = 0 0 olur. x y = x Ln x Lim y = Lim x Ln x = 0. Ln 0 = 0. olur. x x 1 Lnx x Lim x Ln x = Lim = Lim = Lim -x = 0 = A x x 1 x 1 x - x x Lim y = e A = e 0 = 1 Bulunur. x Örnek 1.63: Lim x Sinx = 0 0 x y= x Sinx Ln y = Sinx Ln x Lim Ln y = Lim Sinx Lnx = 0. ( - ) olur. x x 1 Lnx x Lim = Lim x 1 x Cosx - Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 48
Sinx Sin x 1 Sin x 0 = Lim. ( - ) = x x Cocx 0 Sin x Sinx Cocx 0 = Lim = Lim = =0= A x -x Cosx x - Cosx + x Sinx -1 Lim y = e A = e 0 = 1 Bulunur. x. İNTEGRAL.1 Tanım : Eğer y bilinen bir x değişkeninin fonksiyonu ise dy/dx ifadesinin bulunmasına türev, bunun tersi olan yani bilinen bir fonksiyon dy/dx olduğunda y nin bulunmasına da integral diyoruz. Kapalı bir aralıkta sürekli olan her fonksiyonun integrali bulunabileceğini söyleyebiliriz. Ancak bu prensip teorik olarak doğru olmakla birlikte verilen fonksiyonun integralinin nasıl bulunabileceği hakkında kesin bilgi verememektedir. Aşağıdaki listede fonksiyonlar ve karşılarında onların integralleri gösterilmiştir. C sabit bir sayı olmak üzere bu listenin sağ tarafındaki integrallerin türevlerinin alınması ile sol taraftaki fonksiyonları görmek faydalı olacaktır [10]. Mesala, d d d ( x ) = (x + b ) = dx dx dx (x - ) = x sonucundan; x, x + b, x - fonksiyonlarının her biri x in integralidir denir. Her hangi bir F ( x ) fonksiyonunun en genel integral ifadesi f ( x ) dx = f ( x ) + c dir. Bu yazılımda F ( x ) fonksiyonu F ' ( x ) = f ( x ) şartını gerçekleyen bir ifade ve c de keyfi bir sabittir denir. Görüldüğü gibi türev ve integral birbirinin tersi durumlardaki işlemlerdir. Kapalı aralıkta sürekli her fonksiyonun integrali alınabileceği söylenebilir.ancak yeterli bir tanım değildir.yani bu tanım integral alınan durumları ifade etmez. Şimdi bu iki fonksiyonun türev ve integral durumlarını gözetleyelim. Fonksiyon İntegral Türevi Fonksiyon Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 49
x x x. x - 0 4-0 = x 3x 3 3 x 4 1X 3.4-0 4 4.4 = 3x 3 e x e x + c e x = e x..... Temel integrasyon formülleri a, c sabit değerler ve u da x in fonksiyonu olmak üzere aşağıdaki formüller genel integrasyon işlemleri için yazılabilinir. 1 ) a du = au + c dir. a, sabit bir sayı a dx = ax + c dir. x n+1 ) x n dx = + c ( n - 1 ) olmak üzere n+1 dx 3 ) = Lnx + c ( şayet x > 0 ise ) x dx 4 ) = Ln( -x ) + c ( şayet x < 0 ise ) x a x 5 ) a x dx = + c (şayet a > 0 ise ) Lnx 6 ) e x dx = e x + c dir. 7 ) Sin x dx = - Cosx + c 8 ) Cosx dx = Sinx + c 9 ) tanx dx = Ln secx + c 10 ) Ctn x dx = Ln Sinx + c 11 ) Sec x dx = Ln ( Secx + tanx ) + c 1 ) Cscx dx = Ln ( Cscx- Ctnx ) + c Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 50
13 ) Sec x dx = tanx + c 14 ) Csc x dx = - Ctnx + c 15 ) Sec x tanx dx = Secx + c 16 ) Cscx tanx dx = - Ctn x + c dx x x 17 ) = Sin -1 + c, - Cos -1 + c a - x a a dx 1 x 1 x 18 ) = tan -1 + c, - Ctn -1 + c a + x a a a a dx 1 x - a 19 ) = Ln ( ) + c eğer x > a x - a a x + a dx 1 x + a 0 ) = Ln ( ) + c eğer x < a a - x a a-x dx 1 ) = Ln ( x + x + a ) + c a + x dx 3 ) = Ln ( x + x - a ) + c x - a.3 İntegral Alma Metodları.3.1 Basit elemanlara ayırma ile integral işlemi Bu tip integral işlemleri, toplam ve fark şeklindeki fonksiyonların veya bir üstlü fonksiyonun integrali biçimindeki işlemlerdir. Terimler daha basit terimler şeklinde yazılarak integral işlemi gerçekleştirilir. Örnek.1: x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 51
x dx = + c Üslü bir ifadenin integralinde, üs bir artırılarak aynı üsse bölüm şeklinde integralleme işlemi gerçekleştirilir. Örnek.: dx x -3+1 1 = x -3 dx = = - x 3 - x + c Örnek.3: k dx = k dx = kx + c (c = sbt) Bir çarpan integral dışına çıkarılabilinir. Örnek.4: x 1/3 +1 3 3 x 4 + c = x 1/3 dx = = 4 4x 4/3 + c 3 Örnek.5: 3 = 4. 3 x 4 + c dx x -/3+1 = x -/3 dx = + c = 3 x 1/3 + c 3 x 1 3 = 3. 3 x + c olarak bulunur. Örnek.6: (9x + 1x - 4 ) dx = 9x dx + 1 x dx - 4 dx 9x 3 1x = + - 4x +c 3 Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 5
Örnek.7: (1-x) x dx = (x 1/ - x 3/ ) dx = x 1/ dx - x 3/ dx 5 = x /3 - x 5/ + c 3 UYGULAMA Aşağıdaki integral işlemlerini yapınız 1) (3s+4) ds =? x +5x-4 ) dx =? x 3) (9s + 4s + 16 ) ds =?.3. Yerine koyma metodu ile integral Bu metod bir fonksiyon fonksiyonunun diferansiyelinin alınışı kuralına dayanır. İlkel fonksiyonunu doğrudan bulamadığımız f(x) fonksiyonunun f(x)dx integralini hesap etmek isteyelim. Bu integralde x=q(u) değişken değiştirmesini yapalım. Burada u nun fonksiyonu olan Q(u) fonksiyonu ile kendisi ve türevi sürekli olan bir fonksiyon gösterilmektedir. Bundan başka ters fonksiyonuda mevcut kabul edilmektedir. O halde dx=q'(u) du olduğundan f(x) dx (1) integrali, f(x) dx= f[q(u)] Q'(u)du [9]. Burada değişken dönüşümü uygun bir şekilde yapılmalıdır. Bu uygun seçim yapılamazsa çözüm zorlaşacaktır. Örnek.8: ( x + 1 ) dx integralini alalım. ( x + 1 ) dx =? du x + 1 = u dx =du dx = u du 1 1 u 3 = u du =. + c 3 1 ( x + 1 ) 3 1 =. + c = c Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 53
3 6 Örnek.9: 4-7x = u - 7 dx = du (4-7x) 15 dx =? du dx = - 7 1 1 u 16 u 15 ( - du / 7 ) = - u 15 du = -. + c 7 7 16 1 = - ( 4-7x ) 16 + c 11 Örnek.10: (3-7x) 3/ dx =? 1 3-7x = u - 7 dx = du dx = du 7 1 u 3/ ( - 1 / 7 du) = - u 3/ du 7 1 u 5/ = - + c = - ( 3-7x ) 3/ + c 7 5 35 Örnek.11: (x 3 + ) 1/ x dx =? x 3 + = u 3 x dx = du du x dx = 3 1 1 ( u ) 3/. ( u ) 1/ du = + c 3 3 3 Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 54
Örnek.1: 1 1 ( u ) 3/. ( u ) 1/ du =. + c 3 3 3 1 = x 3 + 1/ + c 9 = (x 3 + ) 3 + c 9 ( x + 3 ) dx =? x + 3 = u dx = du 1 1 = du = ( x + 3 ) +c Örnek.13: x + 6x ) /3. x 4 dx =? = x (1- x ) 1/ dx 1- x = u Örnek.14: = x (1- x ) 1/ dx - 4x dx = du du 1 x.dx = - = u 1/ ( - du ) 4 4 1 1 = - u 3/ + c = - (1- x ) 3/ + c 4 6 1 ( lnx ) 3 dx =? x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 55
lnx = u 1 dx = du x Örnek.15: ( Ln x) 3 dx = x u 4 1 = u 3 du = + c = 4 4 ( lnx ) 4 x (e -x ) dx integralini bulunuz. = (e -x ) x.dx - x = u ise du - x.dx = du x.dx = - 1 1 = e u ( - du / ) =. e u du = - + c UYGULAMA Aşağıdaki integral işlemlerini yapınız 1) e x dx =? x+1 ) e dx 3) e x (e x + ) 3 dx =? 4) SinxCosx dx =? 5 ) Sin xcosx dx =?.3.3. Kısımlara ayırarak integral alma Kısmi integrasyon formülü temel olarak iki çarpım fonksiyonunun türevinin, d(u.v) = udv + vdu (1) biçiminde yazılması ile bulunur. (1) denkleminin her iki yanın integralinin alınması ile udv = d(uv)-vdu ve buradan udv = uv - vdu Formülü elde edilir[10] Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 56
. Örnek.16: x Lnx dx =? Lnx = u dv = x dx parçalamasını gerçekleştirelim. dx x 3 du =, v= elde edilir. x 3 x 3 x 3 dx x 3 1 x Lnx dx = lnx - = lnx - x 3 3 x 3 3 dx Örnek.17: Örnek.18: x 3 1 = lnx - x 3 + c elde edilir. 3 9 lnxdx =? 1 lnx = u dx = du x dx = dv x = v udv = uv - vdu 1 = lnx.x - x..dx x = lnx.x - dx = x.lnx - x + c = x lnx - 1 + c x 3 Lnx. dx =? Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 57
1 lnx = u dx = du x x 4 x 3 dx = dv = v 4 u dv = u v - v du x 4 x 4 1 = Lnx - dx 4 4 x 1 1 = x 4 Lnx - x 3 dx 4 4 1 1 = x 4 Lnx - x 4 + c 4 16 Örnek.19: 1 1 = x 4 Lnx - + c 4 4 e x x dx =? x = u dx = du e x dx = dv e x = v u dv = uv - v du = x.e - e x dx = x e x - e + c = e x ( x - 1 ) + c Örnek.0: x e x dx =? x = u x dx = du e x dx = dv e x = v u dv = uv - v du Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 58
= x e x - e x.x dx e x x dx =? x = u dx =du e x dx = dv e x = v u.dv = uv - v.du = x e x - e x dx = x e x - e x + c formülde yerine yazılırsa, = x e x - x e x - e x = x e x - x e x + e x + c Örnek.1: x e x dx =? x = u dx = du du e x dx = dv x = u dx = du dx = e x dx = dv e du 1 = dv e x = v u du = uv - v du 1 1 = x e x - e x. dx 1 1 = x e x - e x dx 1 1 1 = x e x -. e x + c 1 1 = e x x - + c Örnek.: Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 59
x e -x dx =? x = u dx = du e -x dx = dv -e -x = v u dv = uv - v du = x. (-e -x ) - -e -x. dx = - x e -x - e -x + c = e -x ( - x - 1 ) + c.3.4. Rasyonel kesrin integrali T(x) ve P(x) polinomlarının T(x)/P(x) bölümü her zaman K(x) gibi rasyonel bir fonksiyon olarak gösterilebilinir. Şayet k(x) rasyonel fonksiyonu, T(x) dx = K(x) dx P(x) biçiminde yazılması durumunda bunun integralini basit fonksiyonlar türünden elde etmek mümkündür. Bu tip integrallerin hesaplanmasında iki metod uygulanır. Bunlardan birincisi T(x) polinomunun derecesinin P(x) e eşit veya ondan daha büyük olması hali, diyeri ise P(x) in derecesinin T(x) den küçük olması halidir. 1) T(x) in derecesinin P(x) e eşit veya ondan küçük olması durumunda T(x) polinomu P(x) le bilinen metoda göre bölünür T(x) in derecesi P(x) den küçük olana kadar bu işleme devam edilir. Bu bölme neticesi elde edilen rasyonel fonksiyonun sabit değerleri bulunur P(x) çarpanlarına ayrılır. Ve basit kesirler şeklinde integral işlemleri gerçekleştirilir. Örnek.3: x + 3x + 5 R ( x ) = için ; x + 1 x + 1 x + 3x + 5 x x x + Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 60
x + 5 x + 3 Kalan x + 3x + 5 3 Kalan = x + + x + 1 x + 1 bolen Bolum Bölünen = Bölüm + Bölen Kalan olarak formüle edilebilir. Bölen x + 3x +5 3 dx = ( x + ) dx + dx x + 1 x + 1 x = + x + 3 ln ( x + 1 ) + c Örnek.3: x 3 + dx =? İntegralini alınız x + x 3 + x +.. x -x+4.. -6 Buna göre rasyonel ifade şu şekilde yazılabilinir. x 3 + 6 = x - x + 4 - x + x+ x 3 + 6 = (x - x + 4) dx - dx x + x+ x 3 x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 61
= - + 4 x - 6 ln (x+) + c 3 Örnek.5: x 4 - x 3-3x -x+ dx =? x 3 + x -x x 4 - x 3-3x -x+ x - 6 x + = x - + x 3 + x -x x(x-1)(x-) x - 6 x + A B C = x(x-1)(x-) x x - 1 x - x - 6 x + = A(x-1) (x+) + Bx(x+) + cx(x-1) eşitliği yazılabilinir. Buradan, 1 = A+B+C -6 = A+B-C = -A Denklem sisteminden değerler hesaplanırsa A=-1 B=-1 C=3 Bu değerler yukarıda denklemde yerine yazılırsa, x -6x+ 1 1 3 = - - + Buradan integral işlemine geçilirse, x(x-1)(x-) x x-1 x+ x 4 - x 3-3x -x+ dx dx dx = x dx - dx - - + 3 x 3 + x -x x x-1 x+ x = -x -lnx-ln(x-1)+3ln(x+)+c Şayet payın derecesi paydanın derecesinden daha küçükse o durumdabu tip fonksiyonlara has rasyonel fonksiyon adı verilir. Bu tip fonksiyonların integrali has kesirlerin integralleri şeklinde alınır. A f ( x ) = ( ax + b ) n ise, n pozitif tam sayının n = 1 veya n olması halinde şu şekillerde integrallenebilir. A A Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 6
dx = Ln ax+b + c formülü yardımı ile hesaplanır. ax + b a Bu formülü elde etmek için değişken dönüşümü yardımı ile yapalım. ax + b = u dersek du 1 a dx = du dx = =. du a a Örnek.6: 3 dx =? 3x + A 1 1 1 dx = A dx = A. du ax + b ax + b u a A du A = = Ln u + c formülünden hesaplanır. a u a 3x+ = u ise 3 dx = du buradan dx = du/3 elde edilir. 3 dx = ln u + c = ln (3x+) +c 3x + Örnek.7: dx =? -6x+5-6x+5 = u ise, -6dx=du, dx = -du/6 elde edilir. du. ( - - ) = - - lnu + c u 6 6 = - ln (-6x+5) +c elde edilir. 6 UYGULAMALAR Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 63
Aşağıdaki ifadelerin integralini alınız. x 4 + 3x + 1) dx =? x - 3x x 3 + 3x+5 ) dx =? x + 1 x 4 - x 3-3x -x+ 3) dx =? x 3 + x -x x 4) dx =? x - 9 x 3 5) dx =? x +x+1 9 6) dx =? (5x-8) 6 7) dx =? x - 1 8x- 8) dx =? x -x-4 x- 9) dx =? x 4-4.3.5. Trigonometrik integraller Trigonometrik integral alma işlemlerinde bazı özel trigonometrik bağıntılardan istifade edilmelidir. Bu bağıntılar şunlardır. 1 ) Sin x + Cos x = 1 ) 1 + tan x = Sec x 3 ) 1 + Cot x = Csc x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 64
1 4 ) Sin x = ( 1 - Cos x ) 1 5 ) Cos x = ( 1 + Cos x ) 1 6 ) Sinx. Cosx = Sinx 1 7 ) Sinx.Cosx = Sin (x - y ) + Sin ( x + y ) 1 8 ) Sin x. Cosx = Cos ( x - y ) - Cos ( x + y ) 1 9 ) Cosx Cosy = Cos ( x- y ) + Cos ( x + y ) 1 10 ) 1 -Cos x = Sin x 1 11 ) 1 + Cos x = Sin x 1 1 ) 1 - Sin x = 1 - Cos ( - x ) Örnek.8: 1 1 1 Sin x dx = ( 1 - Cosx ) dx = x - Sinx + c 4 Örnek.9: 1 1 1 Cos 4x Cos x dx = ( Cosx + Cos 6x ) dx = Sinx + Sin6x + c 4 1 Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 65
Örnek.30: Cos 5 x dx = Cos 4 x Cosx dx = (1- Sin x) Cosx dx = Cosxdx - Sin xcosx dx + Sin 4 x Cosx dx 1 = Sinx - Sin 3 x + Sin 5 x + c 3 5 UYGULAMALAR Aşağıdaki integralleri alınız 1) Cos 6 x dx =? ) Sin7x dx =? 3) Cos(3x+) dx =? 4) Sin (5x) dx =? 5) Cos 3x dx =? 6) Sin3x Cos5xdx =? 7) Sin ( 8x +4) =? 8) 1-Cosx dx =?. 4 Belirli İntegral y = f ( x ) fonksiyonu ( a, b ) kapalı aralığından sürekli bir fonksiyon F ' ( x ) = f ( x ) olsun. Bu ifadeye bağlı olarak, a b f (x) dx = F (x) = F ( b ) - F ( a ) yazılabilinir. b a Bu durumda önceden görülen integral alma metotları, belilrli integral içinde geçerlidir.bu işlemlerde görüldüğü gibi integral bulunan değerlerde önce b sonra a değeri yazılıpfarkı alınacak demektir. Buradaki a ve b sabit değerlerine integrasyon sınırları denilir.a ya alt sınır b yede üst sınır denir. Bu söylenenleri örneklerle açıklayalım. Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 66
Örnek.31: 3 x 3 3 1 9 1 x dx = = - = - = 4 1 1 UYGULAMALAR : Aşağıdaki belirli intergal işlemlerini yapınız. x 1- x e dx =? 0 6 - (x 4 + x+1 ) dx =? П/ 3- Sinx dx =? 0 П/ 4- Cos x dx =? 0 3. MATRİSLER DETERMİNATLAR LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ 3. 1. Tanım m satır n tane sütun olmak üzere m x n elemanlı sayı tablosuna marris denir. a 11 a 1... a 13 a 1 a... a 3... a 31 a 3... a 33 Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 67
Burda m x n tane eleman olup, her eleman reel, komplenks bir sayıya yada bir fonksiyona tekabül eder. Bu matris kısaca A i, j ( i = 1,,... m, j = 1,,...n ) şeklinde gösterilir. Burada i satır umarası j de sütun numarası dır. Örnek olarak a 34 elemanı 3. satır 4. sütunu göstermektedir. m x n eleman ihtiva eden matrisin boyutu m x n dir denir [11]. 3.. Kare Matris Satır ve sütun sayısı eşit olan matrise kare matris denir. a 11 a 1... a 1n a 1 a... a n... a n1 n... a 3n n x n 3 8 A = 9 5 1 3 4 Matrisi 3 satır ve 3 sütundan meydana gelip sütun sayısı satır sayısına eşit olduğundan ( m = n ) A i, j matrisi kare matrisidir. 3.3 Satır Matrisi Bir tek satırdan ibaret olan matrise satır matrisi denir. C = 1 3 4 satır matrisidir. Eleman sayısı m x n dir. Burada 1 x 5 = 5 dir. Kısaca matris 1 x m şeklinde gösterilebiliniyorsa satır matristir. 3.4 Sütun Matris Bir sütundan ibaret olan veye n x 1 şeklinde yazılabilen matrise sütun matris denir. Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 68
1 D = 3 matrisini ele alalım. n sütun sayısı 1 tane m satır sayısı ile dört tanedir. m x n = 4 x 1 = 4 elemanı mevcuttur. Satır matrisi 1x m, sütun matrisi n x 1 eleman sayısına eşittir. 3.5 Sıfır Matrisi Bir matrisin farklı elemanı yoksa yani elemanları sıfıra eşitse bu matrise sıfır matrisi denir. C = 0 0 0 0 0 0 ise C ye sıfır matrisi denir. 3.6 İki Matrisin Eşitliği X matrisi m x n, y matriside m x n olacak şekilde x i, j, y i, j matrislerini göz önüne alalım. Bu yazılımda anlaşılıyorki x satır ve sütun, y nin satır ve sütun sayıları eşittir. Satır ve sütun sayıları eşit olan bu iki matrisin karşılıklı elemanlarıda eşitse bu iki matrise eşit matris denir. x 11 x 1... x 1n y 11 y 1... y 1n X = ve Y = x m1 x m.. x mn y m1 y m... y mn a b c 1-1 3 x =, y = d e f 3 3 x = y ise ; a = 1 b = -1 c = d = e = 3 f = 3 olmalıdır. Örnek 3.1: 3 0 y z 0 A =, B = 4 7 x 4 7 4 matrisleri veriliyor, A = B olması için x, y, z ne olmalıdır. A = B olması satır ve sütun eşitliği yanında karşılıklı elemanlarının da eşit olması idi. Buradan ; Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 69
Örnek 3.: 3 = y, = z, x = 3 olmalıdır. x + y 7 5x - y A = B = 5 1 5 1 matrislerinin eşit olması için x ve y hangi değerleri almalıdır. 5x - y = x + y = 7 x = 7 - y 5x - y = 5( 7 - y ) - y = 35-10y - y = -11y = - 35 = -11 y = -33 y = 3 5x -3 = 3 5x = 5 x = 1 bulunur. 3.7 Matrisin Transpozesi Bir m x n A matrisinde satırlarla sütunların yerleri değiştirilmek sureti ile elde edilen n x m boyutlu A ' matrisine, A matrisinin transpozesi denir. A = ( a ns ) ise A ' = ( a sr ) dir. A ' nın transpozeside ilk A matrisidir. Özel olarak bir satır matrisinin transpozesi sütun matrisi, sütun matrisinin transpozezi satır matrisidir 1 5 8 1 7 3 A = 7 6, A' = 5 6 4 3 4 9 8 9 dır. (A' ) ' = A olduğu görülür. Örnek 3.3: A = 1 3 4 1 A' = 3 4 3. 8 Bir Matrisin Transpozesinin Özelliği 1 ) A matrisini m x n boyutlu ise A' ( A t ) de n x m boyutludur. Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 70