i Meslek Yüksek Okulları İçin UYGULAMALI MATEMATİK Yrd.Doç.Dr. Kamil TEMİZYÜREK Beykent Üniversitesi Öğretim Üyesi Yrd.Doç.Dr. Nurdan ÇOLAKOĞLU Beykent Üniversitesi Öğretim Üyesi İstanbul, 2009
ii Yay n No : 2204 E itim Dizisi : 133 1. Bas Ekim 2009 - STANBUL ISBN 978-605 - 377-122 - 7 Copyright Bu kitab n bu bas s n n Türkiye deki yay n haklar BETA Bas m Yay m Da t m A.fi. ye aittir. Her hakk sakl d r. Hiçbir bölümü ve paragraf k smen veya tamamen ya da özet halinde, fotokopi, faksimile veya baflka herhangi bir flekilde ço alt lamaz, da t lamaz. Normal ölçüyü aflan iktibaslar yap lamaz. Normal ve kanunî iktibaslarda kaynak gösterilmesi zorunludur. Dizgi : B e t a Bas m A.fi. Bask - Cilt : Kahraman Neflriyat Ofset San. Tic. Ltd. fiti. (Sertifika No: 12084) Yüzy l Mah. Matbaac lar Cad. Atahan No: 34 K: 4 Ba c lar/ stanbul (0-212) 629 00 01 Kapak Tasar m : Evren Kayhan Beta BASIM YAYIM DA ITIM A.fi. Himaye-i Etfal Sokak Talas Han No. 13-15 Ca alo lu - STANBUL Tel : (0-212) 511 54 32-519 01 77 Fax: (0-212) 511 36 50 E-Posta: betakitap@betakitap.com www.betayayincilik.com
Aile bireylerimize ve tüm sevdiklerimize iii
v ÖNSÖZ Son yıllarda, gerek sosyal gerekse teknik alanlarda mesleki eğitimin önemi giderek artmaktadır. Bu eğitimin üniversitelerdeki devamı olan Meslek Yüksek Okulları (MYO), gençlerin kısa sürede bir meslek sahibi olarak hayata atılmalarına olanak sağlamaktadır. Meslek Yüksek Okulları nın kapsamındaki programların birçoğunda analitik düşünmeyi öğreten Matematik dersleri zorunlu hale gelmiştir. Meslek Yüksek Okulları nın Teknik ve İktisadi Bilimler Bölümleri nde ve hatta Sağlık Bilimleri Bölümü nün bazı programlarında da Matematik dersleri vardır. Bu kitabın hazırlanmasındaki temel amaç; öğrencilere analitik düşünme ve doğru karar verebilme yeteneğini kazandırmanın yanı sıra matematiksel düşünme yoluyla zihinsel esnekliğe sahip olmalarını sağlamaktır. Çünkü Matematiksel düşünme bireylerin günlük ve mesleki yaşamları boyunca karşılaştıkları problemlerle (sorunlarla) kolay baş edebilmelerine olanak sağlar. Üniversitelerin ön lisans programlarındaki Matematik derslerine yardımcı olmak amacıyla hazırlanan bu kitapta; konuların teorik olarak açıklanmasının yanında, değişik programlara yönelik örnek problem ve uygulamalarla bölümler zenginleştirilmiştir. Ayrıca, değişik programlarla ilgili günlük yaşamda ve mesleki uygulamalarda karşılaşılabilecek özgün örneklere de yer verilmiştir. Meslek Yüksek Okulları nın programları ve gereksinimleri doğrultusunda Matematiğin birçok konusuna ise kitapta yer verilmemiştir. Kitapta yer alan konulardaki eksiklikler ve varsa hatalarla ilgili meslektaşlarımızın görüş ve eleştirilerine her zaman açığız. Sonraki baskılarda görüş, eleştiri ve katkılar da göz önüne alınacaktır. Kitabın hazırlık sürecinde bize gösterdikleri sabır ve desteklerinden dolayı aile bireylerimize sonsuz teşekkür ederiz. Ayrıca, kitabın yazılması sürecinde özverili çalışması ile yoğun emek ve çaba harcayan Veysel Coşkun a teşekkürü bir borç biliriz. Kitabın, ilgilenen herkese yardımcı olması dileğiyle... Saygılarımızla İstanbul 05.09.2009 Yrd.Doç.Dr. Kamil TEMİZYÜREK Yrd.Doç.Dr. Nurdan ÇOLAKOĞLU
vii İÇİNDEKİLER I. SAYILAR VE TEMEL KAVRAMLAR...1 I.1. Sayı Kümeleri...2 I.1.1. Sayma Sayıları...2 I.1.2. Doğal Sayılar...2 I.1.2.1. Doğal Sayılarla Dört İşlem...2 I.1.3. Tamsayılar...3 I.1.3.1. Tamsayılarla Dört İşlem...5 I.2. Tek - Çift ve Ardışık Sayılar...8 I.2.1. Tek ve Çift Sayıların Dört İşlemine Ait Özellikler...12 I.3. Taban Aritmetiği...13 I.3.1. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayıyı 10 Tabanında Yazma...15 I.3.2. On Tabanında Verilen Bir Sayıyı Başka Bir Tabanda Yazma...16 I.3.3. Herhangi Bir Tabanda Verilen Bir Sayıyı Başka Bir Sayıyı Başka Bir Tabanda Yazma...17 I.4. Rasyonel Sayılar...18 I.4.1. Kesirler...19 1.4.1.1. Kesirlerin Genişletilmesi...21 1.4.1.2. Kesirlerin Sadeleştirilmesi...22 1.4.1.3. En Büyük Ortak Bölenin Bulunması...23 I.5. İrrasyonel Sayılar...23 I.6. Gerçel (Reel) Sayılar...24 I.7. Rasyonel Sayılarla Dört İşlem...24 I.7.1. Rasyonel Sayılarda Toplama Çıkarma...24 I.7.2. Rasyonel Sayılarda Çarpma ve Bölme...28 I.7.3. Rasyonel Sayılarda Büyüklük Sıralaması...29 I.7.4. Rasyonel Sayılarda İşlem İşaretleri...33 I.7.5. Tek ve Çift Sayıların Özellikleri...33 I.7.6. Gerçel Sayıların Özellikleri...34 I.8. Gerçel (Reel) Sayılarda Karışık İşlemler...35
viii I.9. Faktöriyel (Çarpansal)...52 I.10. Mutlak Değer ve Eşitsizlikler...55 I.10.1. Reel Sayı Aralıkları...59 I.11. Yanıtlı Sorular...62 II. ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR...81 II.1. Üslü Sayılar...81 II.1.1. Üslü Sayıların Özellikleri...81 II.2. Köklü Sayılar...96 II.2.1. Köklü Sayıların Özellikleri...97 II.3. Yanıtlı Sorular...106 III. ORAN VE ORANTI...117 III.1. Orantının Özellikleri...117 III.2. Orantı Çeşitleri...120 III.2.1. Doğru Orantı...120 III.2.2. Ters Orantı...123 III.2.3. Bileşik Orantı...126 III.3.Ticari Oluşumlarda Oranlı Paylaşma...134 III.4.Ortalamalar...141 III.4.1. Aritmetik Ortalama...141 III.4.2. Geometrik Ortalama...144 III.4.3. Harmonik Ortalama...146 III.5.Yanıtlı Sorular...149 IV. ÖZDEŞLİKLER VE ÇARPANLARA AYIRMA...157 IV.1. Binom Açılımı...158 IV.1.1. Binom Açılımının Özellikleri...163 IV.1.2. Temel Özdeşlikler...165 IV.2. Çarpanlara Ayırma...167 IV.2.1. Ortak Çarpan Parantezine Alma...168 IV.2.2. Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma...169 IV.2.3. ax 2 + bx + c İfadesinin Çarpanlara Ayrılması...170 IV.2.4. Verilen İfadeyi İki Kare Farkı Şekline Dönüştürerek Çarpanlara Ayırma...175 IV.3. Rasyonel İşlemler...176 IV.4. Yanıtlı Sorular...183
ix V. I. VE II. DERECEDEN DENKLEMLER...189 V.1. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler...189 V.2. Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler...198 V.2.1. Grafik Yöntemi...199 V.2.2. Yok Etme Yöntemi...204 V.2.3. Yerine Koyma Yöntemi...209 V.3. İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler...212 V.4. Yanıtlı Sorular...232 VI. DENKLEM YARDIMI İLE ÇÖZÜLEN PROBLEMLER...239 VI.1.Yüzde Hesapları (Problemleri)...253 VI.2.Maliyet - Kâr - Zarar Problemleri...260 VI.3.Karışım ve Alaşım Problemleri...268 VI.4.Yanıtlı Sorular...275 VII. KÜMELER...281 VII.1. Kümelerin Gösterimi...282 VII.2. Kümelerle Yapılan İşlemler...289 VII.3. Kümeler Yardımı İle Problem Çözümü...297 VII.4. Yanıtlı Sorular...302 VIII. DİZİLER...307 VIII.1. Alt Dizi...309 VIII.2. Aritmetik Dizi...310 VIII.2.1. Aritmetik Dizilerin Özellikleri...310 VIII.3. Geometrik Dizi...314 VIII.4. Yanıtlı Sorular...317 IX. LOGARİTMA...319 IX.1.Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri...323 IX.2.Yanıtlı Sorular...331 X. TÜREV VE UYGULAMALARI...335 X.1. Türevin Geometrik Yorumu...335 X.2. Türevi Alma Kuralları...340 X.3. Yüksek Mertebeden (Ardışık) Türevler...351 X.4. Artan ve Azalan Fonksiyonlar...353 X.5. Ekstremum (Maksimum-Minimum) Problemler...355 X.6. Marjinal Gelir ve Marjinal Maliyet...358 X.7. Yanıtlı Sorular...365
x XI. MATRİS VE DETERMİNANT...371 XI.1.Matris...371 XI.1.1. Bir Matrisin Bir Sayı İle Çarpımı...375 XI.1.2. Matrislerin Toplamı...375 XI.1.3. Matrislerin Çarpımı...377 XI.1.4. Bir Matrisin Devriği (Transpozesi)...382 XI.1.5. Bir Matrisin Çarpma İşlemine Göre Tersi...383 XI.2.Determinanant...386 XI.2.1. Sarrus Kuralı...390 XI.3.Lineer Denklem Sistemleri...392 XI.3.1. Cramer Kuralı...393 XI.4.İşletme Problemleri ve Matris Uygulamaları...394 XI.5. Yanıtlı Sorular...399 XII. TEMEL GEOMETRİ KAVRAMLARI...405 XII.1. Koordinat Sistemi...406 XII.2. Açı Ölçü Birimleri...409 XII.2.1. Açı Çeşitleri...411 XII.3. Çokgenler...412 XII.3.1. Çokgenlerin Bazı Özellikleri...413 XII.4. Üçgenler...415 XII.4.1. Üçgenlerde Benzerlik ve Tales Teoremi...416 XII.4.2. Dik Üçgene Ait Bağıntılar...417 XII.5. Özel Dörtgenler...419 XII.6. Çember ve Daire...422 XII.7. Geometrik Cisimlerin Hacimleri...423 XII.8. Yanıtlı Sorular...430 BÖLÜM SORULARININ YANITLARI...433 EKLER...461 KAYNAKÇA...469