3.1 Koordinat sistemleri 3.2 Kartezyen koordinatlar 3.3 Vektörler 3.4 Vektörlerin bileşenleri 3.5 Vektörlerin toplanması 3.6 Vektörlerin çıkarılması 37Bii 3.7 Birim vektör 3 VEKTÖRLER Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur? 1
3.2 Kartezyen koordinat 2
3.2 Kartezyen koordinatlar 3
Saatin dönme yönünün tersi 4
Skaler nicelik Sadece miktar, adet veya sayısal bir değer veren büyüklüğü olan niceliklere skaler denir. Örneğin kütle, enerji, sürat, bir yerdeki canlı sayısı vs. Yönü, doğrultusu ve büyüklüğü olan niceliklere vektör denir. Örneğin hız, sıcaklık değişimi, kuvvet vs. 5
Yerdeğiştirme 6
Quick Quiz 3.1 Aşağıdakilerden hangileri vektör, hangileri skaler niceliklerdir? (a) Yaşınız (b) İvme ()H (c) Hız (d) Sürat (e) Kütle 7
3.5 Vektörlerin toplamı R-bileşke vektör, A ve B -R nin bileşenleri 8
Vektör toplamı 9
Vektörlerin toplamı 10
Quick Quiz 3.2 A ve B vektörleri A = 12 birim ve B = 8 birim şeklinde verilmektedir. Bileşke vektör R =A +Bşeklinde ise vektörlerle yapılan işlemlere göre en büyük ve en küçük değer aşağıdakilerden hangisidir? (a) 14.4 birim, 4 birim (b) 12 birim, i 8 birimi (c) 20 birim, 4 birim (d) Yukarıdakilerden kil d hiçbirisi. i i 11
Quick Quiz 3.33 B vektörü A vektörüne eklenirse, hangi durumda bileşke vektör A + B nin değeri A + B ye eşittir? (a) A ve B paralel ve aynı doğrultlarda olunca, (b) A ve B paralel ve zıt yönlerde olunca, (c) A ve B birbirine dik olunca. 12
Quick Quiz 3.4 B vektörü A vektörüne eklenirse hangi koşulda bileşke vektörü sıfır olabilir? (a) A ve B birbirine paralel ve aynı yönlerde olunca, (b) A ve B paralel ve zıt yönlerde olunca, (c) A ve B aynı büyüklükte olunca, (d) A ve B birbirlerine dik olunca. 13
Özetle : Vektörlerin toplanması Uygun bir koordinat sistemi seçiniz. Bileşen sayısını azaltarak toplamı kolayca yapılacak hale getiriniz. Problemdeki tanıma uygun bir şekil çiziniz. Her vektörün x ve y bileşenlerine l i ayırınız ve bileşenlerin l i cebirsel toplamını x ve y eksenleri boyunca yapınız. Bileşke vektörün büyüklüğünü Pisagor teoremini kullanarak bulunuz ve eksenlerden ne kadar ayrıldığını da trigonometrik fonksiyonları kullanarak hesaplayınız. 14
Vektörlerin toplanması xy düzleminde bulunan A ve B vektörlerinin toplamını hesaplayınız. A = (2.0i + 20j) 2.0j) mveb B = (2.0i - 40j) 4.0j) m Çözüm Vektörleri bileşenleri cinsinden yazılabilir. A = A x i + A y j, burada A x = 2.0 m ve A y = 2.0 m. x y j, x y Benzer şekilde B x = 2.0 m ve B y = - 4.0 m. Bileşke vektör R aşağıdaki gibi olur, R = A + B = (2.0 + 2.0)i m + (2.0-4.0)j m = (4.0i -2.0j) m Veya R x = 4.0 m R y = -2.0 m 15
Vektörlerin toplanması Bir parçacık aşağıdaki gibi yerdeğiştirmeleri yapmıştır: d 1 = (15i + 30j + 12k) cm, d 2 = (23i -14j -5.0k) cm ve d 3 = (-13i + 15j) cm. Bileşke yerdeğiştirmeyi ve büyüklüğünü bulunuz. 16
Bileşme özelliği 17
Quick Quiz 3.6 Bir vektörün bileşenlerinden biri pozitif değere sahipse, bu vektör için aşağıdaki koşullardan hangisi doğrudur? (a) Bileşenlerinden l i biri i negatif işaretli olamaz, (b) Sıfır olamaz, ()Ü (c) Üç boyutlu olamaz. 18
Quick Quiz 3.7 A + B = 0 olabilmesi için A ve B nin nasıl olması gerekir? (a) eşit (b) pozitif (c) negatif (d) Zıt işaretli. 19
Quick Quiz 3.8 Aşağıdakilerden ğ hangisinde bir vektör bileşenlerinden birine eşittir? (a) A = 2i +5j (b) B = -3j ()C (c) C = +5k 20
3.6 Vektörlerin çıkarılması 21
Örnek 3.1 Gezide alınan toplam yol 22
Vektörlerin çarpımı A vektörünün y-doğrultusundan bakınca x- ekseni üzerindeki izdüşümü 23
Dönmüş koordinat eksenleri 24
37Birimvektör 3.7 25
Vektör bileşenleri 26
Örnek 3.2 R=56 birim A vektörünün büyüklüğü 20 birim B vektörünün büyüklüğü ğ 40 birim 29º C vektörünün büyüklüğü 30 birim a) R-bileşke vektör? b) R-bileşke vektörün yönü? cos45º=sin45º=0.71 27
Örnek 3.33 A+B? A-B? B-A A-2B cos30=0.87 sin30=0.50 28
Örnek 3.4 Aşağıda kutupsal koordinatları verilen noktaların konum vektörlerini yazınız: (a) 12.8 m, 150 (b) 3.30 cm, 60.0 (c) 22.0 in., 215. 29
Örnek 3.5 xy düzlemindeki bir yerdeğiştirme vektörünün büyüklüğü 50.00 m ve pozitif x ekseni ile yaptığı açı 120 olarak verilmektedir. Bu vektörün dik bileşenini bulunuz (sonuç için fareye tıklayınız). y 50.0 m 50 R y = 50 sin60 = 43.3 40 veya R y = 50 cos30 = 43.3 30 20-30 -20-10 10 120 10 20 30 x -10-20 -30 30
Örnek 3.6 Bir mağaracı mağaranın girişinden itibaren mağara içinde önce 75.0 m kuzeye, 250 m doğuya, 125 m kuzey-doğuya (doğudan 30.0 yukarı doğrultuda) ve son olarak 150 m güneye doğru hareket ediyor. Mağaracının mağaranın girişine göre yerdeğiştirmesini i i hesaplayınız. 50.0 m 200 100 Kuzey -100 100 200-100 Doğu R x =358.3 m R=358.5 m R y =-12.5 m 31
Örnek 3.7 Robot kolu Bir robot kolu önce yukarı doğru ve sonra doğuya hareket ediyor. Sonra doğu-batı boyunca düşey doğrultuda yarıçapı 4.80 cm olan çeyrek çember yayı üzerinde hareket ediyor. Robot cismi alıp yukarı ve 3.70 cm lik yarıçapı olan çeyrek çember yayı üzerinde düşey doğrultuda ğ d kuzeye doğru ğ taşırsa: (a) toplam yerdeğiştirmenin büyüklüğünü hesaplayınız. (b) Toplam yerdeğiştirmenin i düşey eksenle yapmış olduğu açıyı hesaplayınız. 32
Örnek 3.8 Radar kontrolörü Bir hava kontrolörü iki uçağı radar ekranında görür. Birinci uçak yerden 800 m yükseklikte, yatay olarak 19.2 km ve 25.0 güney-batıda bulunmaktadır. İkinci uçak ise yerden 1100 m yükseklikte, kuleden 17.6 km yatay doğrultuda 20.0 güney-batıda bulunmaktadır. İki uçak arasındaki uzaklığı hesaplayınız. (x eksenini batı, y eksenini güney ve z eksenini düşey ş doğrultu ğ olarak alınız). ) Uçak 1 için x 1 =19200sin25 = 8114.2 m, y 1 =19200cos25 =17401.1 m, z 1 =800 m Uçak 2 ii için x 2 =17600sin20 = 6019.3 m, y 2 =17600cos20 = 16538.66 m, z 2 =1100 m r = ((8114.2-6019.3) 2 +(17401.1-16538.6) 2 +(800-1100) 2 ) = (2094.99 2 + 862.5 2 + 300 2 ) = 2285.3 33