İLKÖĞRETİM MATEMATİK SOYUT CEBİR LİNEER CEBİR

ÖABT 205 Soruları yakalayan komisyon tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK SOYUT CEBİR LİNEER CEBİR Konu Anlatımı Özgün Sorular Ayrıntılı Çözümler Test Stratejileri Çıkmış Sorular

Komisyon ÖABT lkö retim Matematik Ö retmenli i Soyut Cebir - Lineer Cebir Konu Anlatımlı ISBN 978-605-364-967-0 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumlulu u yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satı hakları Pegem Akademi Yay. E t. Dan. Hizm. Tic. Ltd. ti.ne aittir. Anılan kurulu un izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da ba ka yöntemlerle ço altılamaz, basılamaz, da ıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlı ı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz.. Baskı: ubat 205, Ankara Proje-Yayın Yönetmeni: Ay egül Ero lu Türkçe Redaksiyon: Elif Külah Dizgi-Grafik Tasarım: Gülnur Öcalan Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Ayrıntı Basım Yayın ve Matbaacılık Ltd. ti. vedik Organize Sanayi 28. Cadde 770. Sokak No: 05/A Yenimahalle/ANKARA (032-394 55 90) Yayıncı Sertifika No: 4749 Matbaa Sertifika No:3987 leti im Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılayorha / ANKARA Yayınevi: 032 430 67 50-430 67 5 Yayınevi Belgeç: 032 435 44 60 Da ıtım: 032 434 54 24-434 54 08 Da ıtım Belgeç: 032 43 37 38 Hazırlık Kursları: 032 49 05 60 nternet: www.pegem.net E-ileti: pegem@pegem.net

ÖN SÖZ Sevgili Ö retmen Adayları, ÖABT LKÖ RET M MATEMAT K Ö RETMENL konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmi tir. " lkö retim Matematik Ö retmenli i Soyut Cebir - Lineer Cebir 2. Kitap" adlı yayınımız Soyut Cebir - Lineer Cebir bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) lkö retim Matematik Ö retmenli i Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geli tirme sürecinde siz de erli ö retmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmı tır. Kitabın hazırlanı sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmı, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede kar ılayacak bir ba ucu kitabı niteli inde olması hedeflenmi tir. Detaylı, güncel ve anla ılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmı sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmi, her ünite içeri i ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla peki tirilmi tir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmi tir. Yo un bir ara tırma ve çalı ma sürecinde hazırlanmı olan bu kitapla ilgili görü ve önerilerinizi pegem@pegem.net adresini kullanarak bizimle payla abilirsiniz. Kitabımızın hazırlanmasında eme i geçen Sayın Kerem Köker, Fikret Hemek, Ay egül Ero lu ve Dizgicimiz Gülnur Öcalan'a te ekkürü bir borç biliriz. Gelece imizi güvenle emanet etti imiz siz de erli ö retmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi e itimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle... Ba arılar...

MATEMAT K ÖABT LE LG L ÖNEML B LG LER MATEMAT K ÖABT, 50 sorudan olu makta ve Matematik Ö retmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan E itimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemekte Ö retmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Ö retmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru da ılımı a a ıdaki tabloda belirtilmi tir. Genel Yüzde Yakla ık Yüzde Soru Numarası Alan Bilgisi Testi % 80-40 a. Analiz b. Cebir c. Geometri d. Uygulamalı Matematik % 28 % 8 % 8 % 6 Alan E itimi Testi % 20 4-50 Genel Kültür, Genel Yetenek ve E itim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak girece iniz Ö retmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler 203-204 MATEMAT K ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmı tır. Sınav içeri inde yapılabilecek olası de i iklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

Ç NDEK LER. BÖLÜM SOYUT CEB R. Sayılar ve Özellikleri...3.. Rakam...3.2. Sayma Sayıları...3.3. Do al Sayılar...3.4. Tam Sayılar......3.5. Aralarında Asallık...3.6. Rasyonel Sayılar...3.7. rrasyonel Sayılar...3.8. Reel Sayılar...3.9. Tek ve Çift Sayılar...3.0. Ardı ık Sayılar...4.. Negatif ve Pozitif Sayılar ile lgili Özellikler...4.2. Tam Sayılarda Bölünebilme...4.3. En Büyük Ortak Bölen...6.4. En Küçük Ortak Kat...7 2. Lineer Diophant Denklemleri ve Pozitif Bölenler...8 3. Euler {-Fonksiyonu... {-Fonksiyonunun Bazı Özellikleri... 4. Kongrüanslar...3 Tam Sayılar ve Modüler Aritmetik...3 5. Asal Sayıların Bazı Özellikleri...5 6. Lineer Kongrüanslar ve Lineer Diophant Denklemleri...8 ki veya Daha Fazla De i kenli Lineer Kongrüanslar...8 7. kinci Dereceden Kalanlar...9 8. Gruplar...29 8.. Tek lemli Cebirsel Yapı Türleri...29 8.2. Mertebe...3 9. Alt Gruplar...32 9.. Normal Alt Gruplar...34 0. Simetrik (Permütasyon) ve Alterne Gruplar...35. Gruplarda Homomorfizm ve zomorfizm...36.. Homomorfizma...36.2. zomorfizma...36 2. Bölüm Grupları...39 3. Devirli Gruplar...40 3.. Devirli Grupların Alt Grupları...4 3.2. Üreteç Sayısı...42 4. Çarpım Grupları...42 zomorf olmayan Abelyan Gruplar...43

vi 5. Halka, Cisim ve Tamlık Bölgesi...43 5.. Alt Halka...45 5.2. Sıfır Bölenler ve Tamlık Bölgesi...45 5.3. Bölüm Halkası...46 5.4. deal...46 5.5. Nilpotent Eleman...46 6. Polinom Halkası...46 7. Cisim...47 7.. Cebirsel Sayı...47 7.2. Transandant Sayı...47 7.3. Sayılabilir Küme...47 Çözümlü Test...48 Çözümler...50 Çözümlü Test 2...52 Çözümler...54 Çözümlü Test 3...56 Çözümler...58 Çözümlü Test 4...60 Çözümler...62 L NEER CEB R. Vektör Uzayları...68.. Tanım ve Aksiyomlar...68.2. Vektör Uzayı ile Aksiyomları...70.3. Önemli Vektör Uzayı Örnekleri...70 2. Alt Vektör Uzayı...74 2.. Alt Uzayın Özellikleri...74 2.2. Boyut...76 3. ç Çarpım Uzayları...78 3.. ç Çarpım...78 3.2. Norm...79 4. Ortonormal Baz...84 4.. Schmidt Metodu...84 4.2. Gram-Schmidt Metodu...84 5. Alt Uzayın Bazları...89 6. Direkt Toplam Uzayı...89 7. ç Çarpım Uzaylarının Alt Uzayları...89 8. Lineer Dönü ümler...93 8.. Temel Özellikler...94 8.2. Germe Aksiyomu...94 8.3. Lineer Ba ımsızlık...94 8.4. Ortogonal zdü üm...95

vii 9. Matrisler ve Matris Uzayları...98 9.. Matris Toplamı...98 9.2. Skaler ile Matris Çarpımı...98 9.3. Matris Çarpımı...99 9.4. Bir Matrisin Transpozu...00 9.5. Kare Matrisler...00 9.6. Bir Matrisin Tersi...0 9.7. Matrisler ile Lineer Dönü üm Arasındaki li kiler...0 9.8. Bir Lineer Dönü üme Kar ılık Gelen Matris...02 9.9. Herhangi ki Vektör Uzay Arasındaki Lineer Dönü ümlerinin Matris Gösterimi...07 0. Bir Lineer Dönü ümün Rankı...08 0.. Elemanter Operasyonlar (Basit lemler)...08. Permütasyonlar... 4 2. Alterne ve Çok Lineer Fonksiyonlar... 8 n-lineer Fonksiyonlar... 8 3. Determinantlar...20 3.. Determinant Fonksiyonun Özellikleri...20 3.2 Sarrus Kuralı...22 3.3 Determinant Açılımları...23 4. Bir Lineer Dönü ümün Determinantı ve zi...30 Determinantlarda Alan ve Hacim Hesabı...3 5. Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümleri...3 5.. Lineer Denklem Sistemlerinin Determinantlarla Çözümleri...34 5.2. Cramer Olmayan Sistemlerin Determinantlarla Çözümleri...34 6. Matrisler ve Lineer Dönü ümlerin Polinomları...36 6.. Karakteristik De erler ve Karakteristik Denklemler...36 6.2. Karakteristik De erler ve Karakteristik Vektörler...37 6.3. Karakteristik Uzay...38 6.4. Karakteristik Polinom ve Karakteristik Denklem...38 Çözümlü Test...40 Çözümler...43 Çözümlü Test 2...45 Çözümler...47 Çözümlü Test 3...49 Çözümler...52 Çözümlü Test 4...54 Çözümler...56 Çözümlü Test 5...58 Çözümler...60

SOYUT CEB R

3 SOYUT CEB R. Sayılar ve Özellikleri. Rakam Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Kullandı ımız onluk sistemdeki rakamların kümesi {0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Rakamlarla olu turulan ifadelere sayı denir..2 Sayma Sayıları {, 2, 3, 4,...} kümesi sayma sayıları kümesi.3 Do al Sayılar N = {0,, 2, 3,...} kümesi N + pozitif do al sayılar kümesini ifade eder..4 Tam Sayılar Z = {..., 2,, 0,, 2, 3,...} kümesi Tam sayılar kümesi üç ana bölümden olu ur. Negatif tam sayılar (Z ), pozitif tam sayılar (Z + ) ve {0} kümesi Ayrıca Z = Z {0} Z +.5 Aralarında Asallık p ve q sıfırdan farklı iki pozitif tam sayı olsun. p ve q sayılarını ortak olarak bölen en büyük pozitif tam sayı ise p ve q aralarında asaldır denir..6 Rasyonel Sayılar Q = {p/q: p ve q aralarında asal, q 0} kümesi.7 rrasyonel Sayılar II = Q sembolleriyle gösterilir yukarıda tanımlanan p/q tipinde yazılamayan sayılardan olu ur. Yani rasyonel olmayan reel sayılara irrasyonel sayı denir..8 Reel Sayılar Rasyonel ve irrasyonel sayıların birle im kümesi R ile gösterilir. R = Q Q dur. a, b, c N olmak üzere 3a + 6b c = 24 e itli ini sa layan a, b ve c de erleri için en küçük a + b + c toplamının en küçük de eri kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 Katsayısı büyük olana büyük de er verilir. Sayılar aynı olabilece inden a = 0 = c seçilirse b = 4 bulunur. a + b + c = 4 olur. a ve b do al sayılardır. 56. a = b 3 e itli ini sa layan en küçük b de eri kaçtır? Önce sayı asal çarpanlarına ayrılır. 56 = 2 3.7 56.a = 2 3.7.a = b 3 dır. Buradan a = 7 2 seçilirse b = 2.7 = 4 bulunur. x, y, z Z olmak üzere, x. y = 2, y. z = 4 ve x. z = 3 e itliklerini sa layan x, y, z sayılarının en büyük toplamı en küçük toplamından kaç fazladır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 20 xy. 2 x = & = 3 & x = 3. z bulunur. yz. 4 z Bu ifade x. z = 3 e itli inde yerine yazılırsa 3z 2 = 3 z = " bulunur. z = için x = 3 ve y = 4 olup x + y + z = 8 z = için x = 3 ve y = 4 olup x + y + z = 8 bulunur. 8 ( 8) = 6'dır. Do ru seçenek C olarak elde edilir..9 Tek ve Çift Sayılar 2 ile kalansız bölünebilen tam sayılara çift tam sayı, 2 ile tam bölünemeyen tam sayılara tek tam sayı denir. Çift sayılar 2n, tek tam sayılar 2n ile gösterilir (n Z)..9. Tek ve Çift Tam Sayılar le lgili Özellikler ) T " T = Ç 5) Ç. Ç = Ç 2) Ç " Ç = Ç 6) T. T = T 3) T " Ç = T 7) n N olmak üzere T n = T 4) T. Ç = Ç 8) n N + olmak üzere Ç n = Ç' Tek ve çift sayılarda bölme i lemine ait kural tanımlanamaz. Örne in 40 çift sayıdır. 40 40 40 = Ç, = T, sayısı ne tek ne de çifttir. 2 40 60

4.0 Ardı ık Sayılar n Z olmak üzere n, n +, n + 2,... sayılarına ardı ık tam sayılar denir. n R + için n. `n+ j + 2+... + n = 2 n Z olmak üzere 2n, 2n +, 2n + 3,... sayılarına ardı ık tek sayılar denir. n Z + için + 3 + 5 +... + 2n = n 2 n Z olmak üzere 2n, 2n + 2, 2n + 4,... sayılarına ardı ık çift sayılar denir. n Z + için 2 + 4 +... + 2n = n(n + ) Ardı ık terimleri arasındaki artı miktarı e it olan dizide Son Terim lk Terim Terim Sayısı = Artı miktarı + ve Terim Toplamı = Terim Sayısı. (Son terim + lk terim). Negatif ve Pozitif Sayılar le lgili Özellikler ) ( ). ( ) = (+) 5) ( ) / ( ) = (+) 2) ( ). (+) = ( ) 6) ( ) / (+) = ( ) 3) (+). (+) = (+) 7) (+) / (+) = (+) 4) (+). ( ) = ( ) 8) (+) / ( ) = ( ) 9) n N olmak üzere ( ) 2n = (+) 0) n N olmak üzere ( ) 2n = ( ) ) n N olmak üzere (+) n = (+).2 Tam Sayılarda Bölünebilme m, n, r Z olmak üzere m. n = r olsun. Bu durumda m ve n'ye r'nin bölenleri (çarpanları) r'ye de m ve n'nin bir katı denir. m, r'nin bir böleni ise bu durum m r ile, aksi takdirde m ) r ile gösterilir..2. 2 ile bölünebilme: Çift tam sayılar 2 ile tam bölünür..2.2 3 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları toplamı 3 veya 3'ün katı ise sayı 3 ile tam bölünebilir..2.3 4 ile bölünebilme: Verilen sayının son iki basama ı (birler ve onlar basama ı) 4 ile tam bölünebiliyor ise verilen sayı 4 ile bölünür. 2.2.4 5 ile bölünebilme: Verilen sayının birler basama- ı 0 veya 5 ise sayı 5 ile tam bölünür..2.5 7 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları altına sa dan sola do ru sırasıyla 3, 2, sayıları yazılır. Bu rakamlar altlarına yazdı ımız sayılar ile çarpılır. Daha sonra sa dan sola üçerli gruplar hâlinde alınıp bu gruplar (+), ( ) ile çarpılıp toplanır. Sonuç 7 veya 7'nin katı ise verilen sayı 7 ile tam bölünür..2.6 8 ile bölünebilme: Verilen sayının son üç basama ı (birler, onlar ve yüzler basama ı) 8 ile bölünebiliyor ise sayı 8'e tam bölünür..2.7 9 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları toplamı 9 veya 9'un katı ise sayı 9 ile tam bölünebilir..2.8 0 ile bölünebilme: Verilen sayının birler basama ı 0 ise verilen sayı 0 ile tam bölünür..2.9 ile bölünebilme: Verilen sayı sa dan sola do ru sırası ile (+), ( ) ile çarpılıp toplanır. Sonuç veya 'in katı ise verilen sayı ile tam bölünür. Verilen ba ıntılarda sayı istenilen sayıya tam bölünmüyorsa kalan kolaylıkla bulunur. Örne in 256 sayısının 5 ile bölümünden kalan 6'nın 5 ile bölümünden kalana e it ve ' Hangi n do al sayıları için (n + ) (n 2 + ) n 2 = (n )(n + ) oldu undan n N için (n + ) (n 2 ) (n + ) (n 2 + ) ve (n + ) (n 2 ) oldu undan n + [(n 2 + ) (n 2 )] n + 2 olur. NOT n N oldu undan ve n + 2 olması gerekti inden n = 0, elde edilir. [, x] aralı ında n ile bölünebilen do al sayıların sayısı x & 0 n a Z ve m, n N olsun. n < m için a n 2 + m 2 a n 2 olmak üzere n ve k iki do al sayı olsun. n n k

5 n bir do al sayı ve k bir tek sayı olsun. ( + 2 +... + n) ( k + 2 k +... + n k ) dır. a, b Z olsun. a sayısı b ile bölündü ünde kalan r ise 2 a sayısı 2 b ile bölündü ünde kalan 2 r ' N =. 2 + 2. 3 +... + n(n + ) sayısının 4 ile bölünebilmesi için n en az kaç olmalıdır? {n 2 + 8n 22 : n Z} kümesinin 03 ile bölünen, 000'den küçük olan en büyük elemanını bulunuz. n 2 + 8n 22 = 03. k ise n 2 + 8n (03k 22) = 0 denkleminin köklerini tam sayı yapan k tam sayılarını bulalım. Köklerin tam sayı olması için = 8 + (03k 22) = 03(k + ), ifadesi bir tam sayının karesi olmalıdır. Bunun için de a Z olmak üzere k + = 03. a 2 seçilmeli Bu durumda, n 2 + 8n (03k + 22) = 0 denkleminin kökleri n = 9 " 03 a biçiminde olacaktır. a = 9 seçilirse n = 98 olur. N =. 2 + 2. 3 +... + n(n + ) = ( 2 + ) + (2 2 + 2) +... + (n 2 + n) = ( 2 + 2 2 +... + n 2 ) + ( + 2 +... + n) n`n+ j`2n+ j n. `n+ j = + 6 2 n`n+ j`n+ 2j = 3 sayısının 4 ile bölünebilmesi için n(n + ) (n + 2) çarpanlarından en az biri 4'e bölünmeli n + 2 = 4 n = 39 olmalıdır. m, n ve r tam sayı olmak üzere, i) m Z iken a l 0 dır. ii) m Z için ± l m ve ±m l m iii) iv) m l ± m = " m l n ise ±m l ±n {, 2,..., 600} dizisinde 3 ile bölünebilen kaç tane do al sayı vardır. v) m l n ve n l r ise m l r vi) m l n ve n l m ise m = ±n vii) c 0 olmak üzere cm l cn ise m l n m m. viii) n ve 2 m m n ise 2 2 n. n 2 600 ' = 46 adettir. 3 ix) m l n ve m l r ise m l n+r 000'den küçük kaç do al sayı 7 ile bölünür? [, 000] kümesinde 000 ) 3 = 58 ve 0 N için 7 7 0 olup toplam 58 + = 59 adet sayı 7 ile bölünebilir. Tanım: (Asal Sayı) : n > tam sayısının kendisinden ve birden ba ka pozitif böleni yoksa n'ye asal (= prime) sayı denir. Tanım: (Bile ik Sayı): Asal olmayan sayılara bile ik (= combined) sayı denir. Tanım: Aralarındaki fark iki olan asal sayılara ikiz asallar denir. Her bile ik sayının en az bir asal çarpanı vardır. Teorem (Euclid): Asal sayıların sayısı sonsuzdur.

6 Uyarı: Bir sayının tüm bölenlerinin sayısı pozitif bölenlerinin sayısının iki katıdır. Kural (Bir sayının asallık testi): Verilen sayının karekökü yakla- ık olarak hesaplanır. Bu sayıya kadar olan asallar tespit edilir. Verilen sayı bulunan asallara tam bölünmüyorsa verilen sayı asaldır. Aksi hâlde bile ik sayıdır. Örne in; 42 sayısının asal olup olmadı ına bakalım. 42, 20, 58 olup 20'ye kadar olan asal sayılar 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9 olup bu sayılar 42 sayısını tam olarak bölmez. Dolayısıyla 42 sayısı asal sayıdır. Burada 42 den küçük olan asal sayıları incelemek yeterlidir, çünkü ılık bir de olur. 42 den büyük bir asal çarpan varsa buna kar- 42 den küçük olan bir asal çarpan mevcut r 0 ise r, r 2 ye bölünür ve kalanının sıfırdan farklı olması hâlinde bu bölmelere devam edilir. Bu ekilde pozitif tam sayıların azalan bir r, r 2,..., r k, r k dizisi elde edilir. n'den küçük pozitif tam sayıların sayısı sonlu oldu undan dizi sonlu olmalıdır. Yani belli bir k için r k+ = 0 olmalıdır. Yani yukarıdaki bölmeler yardımıyla sonlu adımdan sonra sıfır kalanı elde edilecektir. Kısaca algoritmada kalanı sıfır yapana kadar bölme yapılır. Euclid algoritmasında yapılan kalanlı bölmelerde sıfırdan farklı en son r k kalanı m ve n sayılarının obeb'i Yani (m, n) = r k dır. 972 ve 429 sayılarının en büyük ortak böleni kaçtır? Teorem (Bölme Algoritması): m, n Z, m, n 0 ise m = q. n + r; 0 < r < n olacak ekilde bir tek q ve r tam sayı ikilisi vardır..3 En Büyük Ortak Bölen: m ve n tam sayılar olmak üzere k m ve k n ise k'ya m ve n'nin bir ortak böleni denir. m ve n'yi bölen en büyük pozitif d tam sayısına m ve n'nin en büyük ortak böleni (=obeb = ebob) denir. d = (m, n) ile gösterilir. 972 = 2. 429 + 4 429 = 3. 4 + 87 4 =. 87 + 27 87 = 3. 27 + 6 27 = 4. 6 + 3 (ebob) 6 = 2. 3 + 0 oldu undan obeb 3 bulunur. Uyarı ) Tanıma göre d'nin m ve n'nin obeb'i olması için gerek ve yeter art i) d m ve d n olması, ii) k, k m ve k n özelli indeki bir ba ka ortak bölen iken k d olmasıdır. 2) kiden fazla sayının obeb'i de benzer ekilde tanımlanır. Uyarı Obeb verilen tam sayıların pozitif lineer toplamlarının en küçü üdür. Sıfırdan farklı iki tam sayının obeb'i tektir. Tanım (Euclid Algoritması): m, n sıfırdan farklı tam sayılar olsun. (m, n) = ( m, n) = (m, n) = ( m, n) oldu undan genelli i bozmaksızın; m, n N alabiliriz. m n olsun. Bölme algoritmasından, m = q. n + r, 0 r < n olacak ekilde q, r Z yazabiliriz. r = 0 ise n m, bu durumda m ile n'nin obeb'i n olur. r 0 ise n = q 2. r + r 2 ; 0 r 2 < r olacak ekilde q 2, r 2 Z bulunabilir. (n'yi r 'e böldük.) 570, 80, 495 ve 25 sayıların en büyük ortak böleni kaçtır? Bu tip sorularda iki erli hesaplama yapılır. (570,80) de erini bulalım. 80 =. 570 + 240 570 = 2. 240 + 90 240 = 2. 90 + 60 90 =. 60 + 30 (ebob) 60 = 2. 30 + 0 hesaplanır. imdi buldu umuz ebob ile sonraki sayının ebob'unu bulalım. Burada (570, 80) yerine 30 yazılabilir. (30, 495, 25) ebob'unu bulalım. Bunun için (30, 495) ebob'unu bulmalıyız. 495 = 6. 30 + 5 30 = 2. 5 + 0 Benzer metotla devam ederek (5, 25) = 5 olur. Buradan istenilen sonuç yani (520. 80. 495. 25) = 5'

7 Tanım: n 2 olmak üzere hepsi birden sıfır olmayan a,..., a n tam sayıları için ayet (a,..., a n ) = ise bu tam sayılara aralarında asal denir. Ayrıca i j için (i, j =, 2,..., n); (a i, a j ) = ise a,..., a n sayılarına aralarında iki er iki er asal sayılar denir. x N olmak üzere p = x 3 eklindeki tüm p asallarını bulunuz. m ve n sıfırdan farklı tam sayılar olsun m ve n'nin aralarında asal olmaları için gerek ve yeter art = mx + ny olacak ekilde x, y Z nin bulunmasıdır. m n ^mn, h = d+ b, l = ' d d (a, b) = ve (a, c) = ise (a, b, c) = ' a b. c ve (a, b) = ise a c.4 En Küçük Ortak Kat: a, b sıfırdan farklı tam sayılar olsun. a) k N olmak üzere a k ve b k ise k'ya a ve b'nin bir ortak katı denir. b) k, a ve b'nin bir ortak katı olsun. E er t; a ile b'nin bir ba ka ortak katı iken k t ise k'ya a ile b'nin en küçük ortak katı (ekok) denir ve [a, b] = k ile gösterilir. a, b 0 iki tam sayı ise (a, b). [a, b] = a. b P = (x ) (x 2 + x + ) sayısının çarpanları p.. p ( ). ( p) ( p). ( ) tipinde x = x = 2, p = 2 2 + 2 + = 7 asaldır. x = x = 0, p = asal de il x 2 + x + = x (x + ) = 0 x = 0 veya x = p = asal de il p = 2 asal de il x 2 + x + = x 2 + x + 2 = 0 " 4. 2. x,2 = g N 2 Çözüm kümesi x = {7} x N olmak üzere p = x 2 olacak ekildeki tüm p asal sayılarını bulunuz. 26x + 4y = (26,4) ba ıntısını sa layan öyle x ve y tam sayıları bulunuz ki, x pozitif ve mümkün oldu u kadar küçük olsun. P = (x ) (x + ) sayısının çarpanları. p P asal oldu undan çarpanı ve kendisi p. ( ). ( p) ( p). ( ) tipinde x = x = 2, p = 3 asaldır. x + = x = 0, p = asal de il. x = x = 0, p = asal de il x + = x = 2 + x = 2 N Çözüm kümesi p = {3} (26,4) = 2 oldu undan 26x + 4y = 2 3x + 7y = e itli ini sa layan en küçük pozitif x tam sayısı bulunacaktır. 3x + 7y = y = 3x + x 4x = 7 7 + x = 2x 7 ifadesinin tam sayı olması için + x = 7 x = 6 olmalıdır.

8 (a, 4) = 2 ve (b, 4) = 2 iken (a + b, 4) nedir? Tanımda verilen a ve b sayılarının obeb'i ise her zaman Z'de çözüm vardır. NOT Çözüm (a, 4) = 2 oldu undan a = 2m olacak biçimde bir m tek sayısı ve (b, 4) = 2 oldu undan b = 2n olacak ekilde bir n tek sayısı vardır. E er m ve n sayısı tek olmasaydı, (a, 4) = (b, 4) = 4 olurdu. a + b = 2m + 2n = 2(m + n) olur. m ve n tek oldu undan, m + n çifttir. m + n = 2k denirse a + b = 4k bulunur. Bu durumda (a + b, 4) = (4k, 4) = 4(k, ) = 4 bulunur. 2. Lineer Diophant Denklemleri ve Pozitif Bölenler Tanım: a, b, c Z, a. b 0 olmak üzere x, y çözümleri tam sayı olan ax + by = c eklindeki denklemlere lineer diophant denklemi denir. ax + by = c Lineer Diophant Denkleminin bir çözümü olması için gerek ve yeter art d = (a, b) olmak üzere d c olmasıdır. (a, b) = d olmak üzere d c olsun. Bu takdirde ax + by = c Lineer Diophant Denkleminin bir çözümü (x 0, y 0 ) ise denklemin genel çözümü t Z için, Z b ] x = x0 + t d [ a ] y = y0 t \ d eklinde 4x + 22y = 50 denkleminin genel çözümünü bulunuz. x + 27y = 4 denkleminin çözümünü inceleyelim. ve 27'nin lineer toplamı olarak verilmi Euclid algoritmasından 27 = 2. + 5 = 2. 5 + obeb 5 =. 5 + 0 = (27,) = 2. 5 = 2. (27 2. ) =. 5 + 27 ( 2) e itli ini 4 ile çarparsak 4 =. (20) + 27. ( 8) bulunur. Burada x 0 = 20, y 0 = 8 bir özel çözümdür. Bu denklemin ( 34,4) ve ( 7,3) gibi ba ka çözümleri de bulunabilir. Her diophant denklemin çözümü olmak zorunda de il Örne in; 2x + 4y = 7 :;;;; < + çift tek denkleminin Z'de çözümü yoktur veya 3x + 9y = denkleminin çözümü olması için e itli in sa tarafı 3'ün katı olmalıdır. 3x + 9y = 4 Ç.K. = Ø NOT 22 =. 4 + 8 4 =. 8 + 6 8 =. 6 + 2 obeb (4,22) 6 = 3. 2 + 0 2 = 8 6 = (22 4) (4 8) = (22 4) (4 (22 4)) = 4. ( 3) + 22. (2) 2 = 4. ( 3) + 22. (2) e itli inin her iki tarafını 25 ile çarparsak 50 = 4. ( 75) + 22. (50) olup (x 0,y 0 ) = ( 75, 50) verilen denklemin bir çözümüdür. Buradan genel çözüm; a = 4, b = 22, d = 2, c = 50 için Z ] x = x b 0 +. t d [ : t g Z a ] y = y0. t \ d olup x = 75 + t * y = 50 7t olarak bulunur. Bu tür denklemlerin özel çözümleri deneme yoluyla da bulunabilir. p, asal sayısı için p a. b ise p a veya p b

9 p asal sayı de il ise bu teorem do ru olmaz. Örne in; 8 4. 2 fakat 8A4 ve 8A2 NOT 504 sayısının pozitif bölenlerini ve pozitif bölenlerinin toplamını bulunuz. Sonuç: p asal ve p a. a 2..... a n ise en az bir i n için p a i Sonuç: p, p, p 2,..., p n asal sayılar ve p p p 2... p n ise en az bir i n için p = p i n > tam sayısı çarpanların sırası hariç bir tek ekilde asal çarpanlarına ayrılabilir. Uyarı: n = p. p 2... p k yazılımında asal p i çarpımlarının bazıları e it olabilir. p i çarpanı bu yazılımda i kez yer alıyorsa n sayısı kısaca; t a n p a. p 2 a 2... p t a = t = p i % i ( t # k) i = eklinde yazılabilir. Bu son yazılıma n sayısının standart formu denir. Örne in; 60 sayısının standart formu 60 = 2 2. 3. 5 n > tam sayısının pozitif bölenlerinin sayısını s(n) ile gösterelim.. k k a n P i = % i & s( n) = %`ai+ j i = i = NOT 504 = 2 3. 3 2. 7 olup s(504) = 4. 3. 2 = 24 olur. 24 33 72 t^504h =.. = 5. 3. 8 = 560 ' dır. 2 3 7 Uyarı: Örnekten de görüldü ü gibi t(n) de eri (P 0 + P + P 2 a i +... + P ). (P2 0 a 2 +...+ P 2 )... (Pk 0 +...+ a k P k ) çarpımı ile de hesaplanabilir. Uyarı: Özel olarak t() = s() = tanımlanır. Tanım: t(n) = 2n ise n tam sayısına mükemmel sayı denir. n t(n) 2 3 3 4 4 7 5 6 6 2 _ b b b ` b b b a p asal ise p mükemmel sayı olamaz. lk dört mükemmel sayı 6, 28, 496 ve 828' n > tam sayısının pozitif bölenlerinin toplamını t(n) ile gösterelim. NOT Bir do al sayının tam sayı bölenlerinin toplamı sıfırdır. NOT % % k k a P i+ a i n = P i i & t( n) = Pi i = i = n > tam sayısının pozitif bölenlerinin çarpımı sn ( ) n 2 n > tam sayısının tüm bölenlerinin çarpımı ( ) s(n). n s(n)