SAYI SİSTEMLERİ A. Basamak ve Taban Bir doğal sayıyı oluşturan rakamlardan her birine basamak, rakamların bulundukları yerdeki değerine basamak değeri ve bu doğal sayının tanımlandığı sayı sistemine de sayı tabanı (düzeni) denir. B. Çözümleme t sayı tabanı ve üzere, a, b, c, d, e rakamları t den küçük olmak A (abcde) sayısının basamakları: t 10 1 0 ( 19 89) 1.10 9.10 8.10 9.10 10 tabanındaki ( 01) sayısını çözümleyelim. 10 1 0 ( 01). 0. 1.. A (abcde) sayısının, t 1 0 A (a b c d e) t a.t 1 0 b.t c.t d.t e.t şeklinde yazılmasına A sayısının t tabanına göre çözümlenmesi denir. tabanındaki ( 01) sayısını çözümleyelim. Uyarı 10 luk sistemdeki sayılar taban belirtilmeden de yazılabilir. Örneğin ( 1) 1 tür. 10 10 tabanındaki ( 1989) sayısını çözümleyelim. 10 10 1 0 ( 01). 0.. 1.. 1
Sonuç a, b, c birer rakam olmak üzere, Sonuç abc ve cba üç basamaklı birer doğal sayı olmak üzere, ab 10.a b aa 10.a a 11. a abc 100.a 10.b c aaa 100.a 10.a a 111. a dır. abc cba 99.(a c) dir. İki basamaklı ab sayısı ile ba sayısının toplamı 1 dir. Buna göre, ab sayısının en çok kaç olabileceğini bulalım. İki basamaklı bir sayının rakamlarının yerleri değiştirilince bu sayı küçülüyor. Bu sayının rakamları arasındaki farkı bulalım. İki basamaklı bir sayı ab olsun. Verilenlere göre, ab ba ( 10.a b) (10.b a) 9.a 9.b 9.(a b) a b olur. abc ve cba üç basamaklı iki sayıdır. abc cba 69 olduğuna göre, c a farkını bulalım. abc cba (100a 10b c) (100c 10b a) 99a 99c 69 99.(a c) 69 a c 7 c a 7 bulunur. ab ba 1 10.a b 10.b a 1 11.a 11.b 1 11.(a b) 1 a b 1 olur. ab sayısı en büyük olacağına göre, a en büyük rakam olmalıdır. a 9 ve b seçilirse ab sayısı 9 olur. x 6yz ve x yz beş basamaklı birer doğal sayıdır. A x6yz ve B xyz olduğuna göre, A B farkını bulalım. A x6yz 10000x 1000.6 100.y 10. x B xyz 10000x 1000. 100.y 10. x A B 1000.(6 ) 10.( ) A B 1000. 10.( ) A B 000 0 A B 970 olur.
.Yol x 1, y ve z olsun A x6yz 16 ve B xyz 1 olur. A B 16 1 970 bulunur. a, b ve c birbirinden farklı rakamlardır. ab ve ba iki basamaklı, abab ve baba dört basamaklı sayılar olduğuna göre, abab baba ab ba kesrinin değerini bulalım. abab 1000a 100b 10a b olduğuna göre, 1.Yol a b c toplamını bulalım. baba 1000b 100a 10b a abab baba 909a 909b 909.(a b) Buna göre, abab baba 909.(a b) 909 101 olur. ab ba 9.(a b) 9 abc 100.a 10.b c bca 100.b 10.c a cab 100.c 10.a b abc bca cab 111.a 111.b 111.c 111.(a b c) a b c 111.Yol c a b, b c a, a b c toplamları birbirine eşittir. Verilen toplama işleminde toplamın birler basamağı olduğuna göre, c a b toplamı;, 1, olabilir. Eğer c a b olsaydı toplam olurdu. Eğer c a b 1 olsaydı toplam 1 olurdu. Buna göre, c a b a b c tür. Her biri en az üç basamaklı on tane sayı vardır. Bu sayılardan her birinin yüzler basamağındaki rakam azaltılıyor, onlar ve birler basamağındaki rakamlar arttırılıyor. Bu sayıların toplamının kaç artacağını bulalım. 1.Yol Bu sayılardan biri abc olsun. abc 100.a 10.b c sayısında istenen değişiklikler yapılırsa, 100.(a ) 10.(b ) (c ) 100.a 00 10.b 0 c 100.a 10.b c 6 abc 6 olur. Buna göre, her bir sayı 6 azaldığından dolayı on tane sayı toplam 6.10 60 azalır.
.Yol Üç basamaklı bir sayı alıp, istenen değişiklikleri yapalım. Böyle bir sayı, olsun. Bu sayının yüzler basamağındaki rakam azaltılıp, onlar ve birler basamağındaki rakamlar arttırılırsa, 99 sayısı elde edilir. Fark: 99 6 dır. Her bir sayı 6 azalacağına göre, 10 tane sayı toplam, 6.10 60 azalır. Rakamları farklı üç basamaklı en büyük pozitif çift sayı ile rakamları farklı üç basamaklı en küçük pozitif tek sayının toplamını bulalım. Bu üç sayıdan birinin en küçük olması için diğer ikisinin en büyük olması gerekir. En küçük sayı abc iken diğer ikisi en büyük 999 ile 998 dir. abc 999 998 76 abc 1997 76 abc 76 1997 abc 768 olur. Aşağıdaki çarpma işleminde her bir nokta ve a, b, c, d birer rakamın yerini tutmak üzere, Üç basamaklı sayımız abc olsun. Bu sayının en büyük olabilmesi için a nın en büyük sonra da sırasıyla b ve c nin en büyük olması gerekir. Dolayısıyla a en büyük 9, b en büyük 8, c de 8 den farklı en büyük 6 çift rakamı olabilir. olduğuna göre a b c d toplamı kaçtır? Buna göre rakamları farklı üç basamaklı en büyük pozitif çift sayı 986 olur. abc sayısının en küçük olabilmesi için a nın en küçük sonra da sırasıyla b ve c nin en küçük olması gerekir. Sayımızın iki basamaklı olmaması için, a sıfırdan farklı olmalıdır. Dolayısıyla a en küçük 1, b en küçük 0 olur. c de 1 den farklı en küçük tak rakam olan olabilir. 1. çarpan ile. çarpanın çarpımı 66 olduğundan abc. Buna göre, 66 abc 8 olur. Buna göre, rakamları farklı üç basamaklı en küçük pozitif tek sayı 10 olur. Buna göre, bu iki sayının toplamı, 986 10 1089 olur. Birbirinden farklı üç basamaklı üç doğal sayının toplamı 76 tir. Bu üç sayıdan en küçüğünün en az kaç olabileceğini bulalım. Buradan xyz 7 660 98 olur. d ile abc nin çarpımı xyz olduğundan, d.abc xyz d.8 98 d olur. Buna göre, a b c d 8 16 dır.
C. Herhangi Bir Tabandaki Bir Sayının 10 Tabanında Yazılması Herhangi bir tabandaki bir sayı, verilen tabana göre çözümlenirse 10 luk tabana dönüştürülmüş olur. tabanındaki bulalım. ( 1101) sayısını 10 tabanındaki eşitini 10 1 0 ( 110 1) 1. 1. 0. 1. tabanındaki bulalım. 1.8 1. 0. 1.1 8 0 1 1 (1) 10 ( 01) sayısını 10 tabanındaki eşitini 10 1 ( 01). 0. 1. tabanındaki bulalım..7 0.9 1..1 0 9 (9) 10 0. ( 1) sayısını 10 tabanındaki eşitini 1 0 ( 1).. 1...1. 1..1 00 0 8 8 tabanındaki 1 sayısını 10 tabanındaki eşitini bulalım. 1 0 ( 1).8 1.8.8 8.6 1.8.1 11 olur. x sayı tabanı olmak üzere ( 6) x eşitliğini sağlayan x sayısını bulalım. 1 0 ( 6) 6.x.x 6x x 6x 8 a sayı tabanı olmak üzere, ( a).a 1 a x 8 bulunur. olduğuna göre, a nın değerini bulalım. ( 1 a).(a ) a.(a ).(a a 0 )
.(a a ) a.(a ).1.a 1 a 10a 11.a 1 10a 11 1 10a 0 a bulunur. Uyarı ( abc) sayısında t tabanı 1 den ve a,b,c rakamlarının her t birinden büyük olmalıdır. Yani; sayının tabanı, sayıyı oluşturan rakamlardan büyük bir doğal sayıdır. 8, sayı tabanı olmak üzere, kaç olabileceğini bulalım. ( 1x) sayısında x in en çok 8 Taban olduğu için, x ve y, ten küçük olmalıdır. Bunun için, y 8 olamaz. Dolayısıyla x, y olur. Buradan x y bulunur. D. 10 Tabanındaki Bir Sayının Başka Bir Tabana Göre Yazılması 10 tabanında verilen bir sayı, başka bir tabana çevrilirken, verilen sayı ardışık olarak istenen tabana bölünür. Bu bölme işlemine bölüm 0 olana kadar devam edilir. En son elde edilen kalan, istenen sayının en solundaki rakam olacak şekilde, kalanlar sırasıyla sayının rakamlarını oluşturur. 97 sayısının tabanındaki eşitini bulalım. 1.Yol ( 1x) sayısında; taban 8 olduğuna göre, x en çok 7 8 olabilir., sayı tabanı olmak üzere, ( xy) 6 97 (97) () 10.Yol eşitliğini sağlayan x y toplamını bulalım. 1 0 ( xy) 6. x. y. 6 0 x y 6 x y 1 tür. Burada 97 ye en yakın ile bölünebilen 9 sayısı 97 nin altına, 9 in ile bölümü 97 nin soluna yazılır. Bu işlem ten küçük sayı elde edilinceye kadar devam ettirilirse 97 sayısının tabanındaki eşiti olarak bulunur. Buna göre, 97 (97) () olur. 10 x y 1 ise x 1, y 8 veya x, y olabilir. 6
( 18) (x) eşitliğini sağlayan x sayısını bulalım. 10 1.Yol Buna göre, ( ) (7) (01) olur. 10 F. Herhangi Bir Tabana Göre İşlemler ( 18) (10010) ise x 10010 olur. 10.Yol Aynı tabanda verilmiş olan iki sayının toplamı, farkı ve çarpımı 10 tabanında yapılan işlemlere benzer işlemlerle bulunur. Yalnız toplama ve çarpma işlemi yapılırken işlem süresince ortaya çıkan sayılarda tabanın katları elde olarak bir sonraki işleme eklenir. Tabanın katından fazla olan kısım çizginin altına yazılır. tabanındaki ( 1) ile ( ) sayılarının toplamının tabanındaki eşitini bulalım. E. Herhangi Bir Tabanda Verilen Bir Sayının Başka Bir Tabana Dönüştürülmesi Herhangi bir tabanda verilen bir sayı, önce çözümlenerek 10 tabanına daha sonra 10 tabanından istenen tabana dönüştürülür. tabanındaki bulalım. ( ) sayısının tabanındaki eşitini 1 0 ( )......1 7 ( ) (7) 10 Önce 7 olur. tabanında 7 yazılamayacağında 7 nin içinde kaç tane olduğuna bakılır. 7 de bir kere vardır. 0 7 den çıkarılırsa kalır. Bu, toplamın (sonucun) lar (birler) basamağına yazılır. Eldeki 1 de soldaki basamağa eklenirse 1 1 olur. te bir kere vardır. ten 1 çıkarılırsa 0 kalır. Bu rakam sonucun ler (beşler) basamağına yazılır. Eldeki 1 de soldaki basamağa eklenirse 1 6 olur. 6 da bir kere vardır. 6 ten çıkarılırsa 1 kalır. Bu rakam sonucun ler (yirmibeşler) basamağına yazılır. Eldeki 1 de toplanacak basamak kalmadığı için 1 in soluna yani ler (yüzyirmibeşler) basamağına yazılarak sonuç 110 ) olarak bulunur. 7
tabanındaki ( 1) ile ( 1) sayılarının çarpımının tabanındaki eşitini bulalım. Önce ten çıkarılırsa kalır, bunu birler basamağına yazıyoruz. Sonra ten çıkmayacağı için ten 1 yani 6 alıyoruz. 6 ile ün toplamı 9 eder. 9 dan çıkarılırsa kalır, 1 bu 6 ler (altılar) basamağına yazılır. ten 1 aldığımız için 6 ler (otuzaltılar) basamağında kaldı. ten de 1 çıkarılırsa kalır, bunu da yazarsak çıkarma işleminin sonucu 6 ler (otuzaltılar) basamağına ( ) olarak bulunur. 6 Aşağıda verilen toplama işlemlerini inceleyiniz. Önce ( ) ile ( 1) sayısını çarparız.. 6 ve 6 da bir kere vardır. 6 nın ile bölümünden kalan yi yazarız.. ve bir de elde olduğu için 1 tir. te bir kere vardır. in ile bölümünden kalan 1 i nin soluna yazarız..1 ve bir de elde olduğu için 1 tür., ten küçük olduğu için bu doğrudan 1 in soluna yazılır ve ( ) x(1) (1) bulunur. Sonra ( 1) ile ( 1) sayısını çarparsak yine ( 1) olur. Bu 1 ü, 1 nin altına bir basamak sola kaydırarak yazıp, yine aynı tabanda toplarsak sonuç ( 0) olarak bulunur. Aşağıda verilen çıkarma işlemlerini inceleyiniz. Uyarı Çıkarma işlemi yapılırken gerektiğinde bir soldaki basamaktan 1 alınırsa bu 1 in aktarıldığı basamağa katkısı tabanın değeri kadardır. Yani tabanında yapılan çıkarma işleminde soldaki basamaktan 1 alınırsa, bu 1 in, alındığı basamağa katkısı tir. Aşağıda verilen çarpma işlemlerini inceleyiniz. 6, bir sayı tabanı olmak üzere, ( ) (1) 6 6 işleminin sonucunu 6 tabanında bulalım. 8
Çözümlü Sorular 1. İki basamaklı bir sayının, rakamlarının yerleri değiştirilirse, sayı 6 büyüyor. Bu sayının rakamları arasındaki far kaçtır? İki basamaklı sayı ab olsun. Verilenlere göre, ba ab 6 (10b a) (10a b) 6 9.b 9.a 6 9.(b a) 6 b a 7 dir.. Üç basamaklı abc sayısının yüzler basamağındaki rakam ile onlar basamağındaki rakam yer değiştirince sayı 70 küçülüyor. Buna göre, Verilenlere göre, abc bac 70 a b kaçtır? ( 100a 10b c) (100b 10a c) 70 ( 100a 10a) (10b 100b) (c c) 70 90a 90b 70 90.(a b) 70 a b olur.. Aşağıdaki toplama işleminde her harf sıfırın dışında farklı birer rakamı göstermektedir. M < N < R ve MNR 100.M 10.N R NRM 100.N 10.R M RMN 100.R 10.M N MNR NRM RMN 11 111.M 111.N 111.R 11 111.(M N R) 11 11 M N R 11 111 R nin en büyük olabilmesi için M ve N sıfırdan ve birbirinden farklı en küçük rakam olmalıdır. Yani, M 1, N, R 8 verilen koşulları sağlar.. Her biri en az üç basamaklı olan on tane sayı vardır. Bunlardan her birinin yüzler basamağındaki rakam, sayısal değeri bakımından büyütülür, onlar basamağındaki rakam küçültülür ve birler basamağındaki rakam 1 büyütülürse bu 10 sayının toplamı kaç artar? 1.Yol Üç basamaklı bir sayının; yüzler basamağındaki rakam artırılırsa sayı 00 artar, onlar basamağındaki rakam azaltılırsa sayı 0 azalır, birler basamağındaki rakam 1 artırılırsa sayı 1 artar. Bu işlemler birlikte yapılırsa bu sayı 00 0 + 1 = 171 artırılmış olur. 10 tane sayıda aynı işlem yapılırsa bu 10 sayının toplamı 10.171 = 1710 artar..yol Bu sayılardan biri abc olsun. abc 100.a 10.b c sayısında istenen değişiklikler yapılırsa, 100.(a ) 10.(b ) (c 1) olduğuna göre, R nin en büyük değeri kaçtır? 100.a 00 10.b 0 c 1 9
100.a 10.b c 00 0 1 abc 171 olur. Buna göre, her bir sayı 171 artacağından dolayı 10 tane sayı toplam, 10.171 1710 artar. 99.a 99.c 99.(a c) 9.a 9.c 9.(a c) 99 11 bulunur. 9. AB C6 ve AB C9 beş basamaklı iki sayıdır. Buna göre, ABC6 ABC9 farkı kaçtır? 1.Yol ABC6 ABC9 10000.A 1000.B.100 10.C 6 10000.A 1000.B.100 10.C 9 7. Bir öğrenciden, verilen bir x sayısını ile çarpması istenmiştir. Öğrenci, sonucu 70 bulmuş; fakat işlemi kontrol ederken verilen x sayısının sıfır olan onlar basamağını 6 olarak gördüğünü saptamıştır. 1.Yol Buna göre, doğru sonuç kaçtır? Öğrenci, x sayısının 0 olan onlar basamağını 6 görmekle x sayısını 6.10 = 60 fazla görmüştür. Sonra x sayısını ile çarptığı içinde çarpımı.60 = 100 fazla bulmuştur. Buna göre, doğru sonuç 70 100 = 60 tir..yol 00 00 6 9 197 bulunur. A, B, C rakamlarına herhangi birer değer verelim. A 1, B, C olsun..yol Öğrenci x ile i çarpıp 70 bulduğuna göre, 70 i e bölersek öğrencinin hatalı olarak aldığı x sayısını buluruz. 70 16 olduğuna göre, öğrenci 16 ile i çarpmış. Halbuki x sayısının sıfır olan onlar basamağını 6 olarak gördüğüne göre, x sayısı 16 değil, 10 tür. Buna göre, doğru sonuç.10 = 60 tir. A,B,C nin başka değerleri için de aynı sonuç bulunabilir. 6. abc ve cba üç basamaklı, ac ve ca iki basamaklı doğal sayılardır. abc cba Buna göre kesrinin değeri kaçtır? ac ca abc cba (100.a 10.b c) (100.c 10.b a) ac ca (10.a c) (10.c a) 8. İki basamaklı ab sayısı rakamları toplamının x katı, iki basamaklı ba sayısı da rakamları toplamının y katına eşittir. 1.Yol Buna göre, x + y toplamı kaçtır? ab sayısı, rakamları toplamının x katına eşit ise, ab x.(a b) dir. ba sayısı, rakamları toplamının y katına eşit ise, 10
ba y.(b a) dır. Buna göre, x 111 11 11 1071 x 6 1071 x 1071 6 7 tir. ab ba x.(a b) y.(b a) 10a b 10b a (a b).(x y).yol 11.a 11.b (a b).(x y) 11.(a b) (a b).(x y) x y 11 dir. a, b rakamlarına herhangi birer değer verelim. a 1, b olsun. ab 1 sayısı, rakamları toplamının x katına eşit ise, 1 x.(1 ) x tür. ba 1 sayısı, rakamları toplamının y katına eşit ise, 1 y.( 1) y 7 dir. Buna göre, x y 11 dir. 10. Her biri üç basamaklı, dört tane doğal sayının toplamı 778 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü en çok kaç olabilir? Toplamı 778 olan üç basamaklı dört doğal sayıdan birinin en büyük olabilmesi için diğer üçü mümkün olan en küçük sayılar olmalıdır. Bu üç basamaklı sayıların birbirinden farklı olması gerekmektedir. En küçük üç basamaklı sayı 100 dür. Buna göre, sayıların toplamı, 100 100 100 00 olur. Dördüncü sayı ise, 778 00 78 dir. 11. Üç basamaklı bir sayının birler basamağındaki rakam tir. Bu rakam sayının en soluna yazıldığında sayının değeri 87 azalıyor. Buna göre, bu sayının rakamları toplamı kaçtır? Üç basamaklı sayı ab olsun. Koşulları sağlayan başka bulunabilir. a, b değerleri için de aynı sonuç Verilenlere göre, ab ab 87 9. Her biri üç basamaklı, rakamları sıfırdan farklı, farklı doğal sayının toplamı 1071 dir. Buna göre, bu sayılardan en büyüğü en çok kaç olabilir? Toplamı 1071 olan üç basamaklı farklı doğal sayıdan birinin en çok olabilmesi için diğer üçünün en az olması gerekir. Rakamları sıfırdan farklı, en küçük farklı üç tam sayı, 111, 11 ve 11 tür. Aradığımız sayı x ise, 100.a 10.b (100. 10.a b) 87 ise, a 9 ve b 8 dir. 90.a 9.b 9 87 90.a 9.b 88 9.(10.a b) 88 9.ab 88 ab 98 11
ab 98 olduğuna göre, a b 9 8 olur. 1.,, 6, 7, 8 rakamlarını kullanarak yazılan, rakamları birbirinden farklı, beş basamaklı KMPTS sayısında, K M T S dir. Bu koşulları sağlayan kaç tane beş basamaklı KMPTS sayısı vardır?,, 6, 7, 8 rakamlarını kullanarak yazılan, rakamları birbirinden farklı, beş basamaklı KMPTS sayısında, K M T S koşuluna uygun KMPTS biçimindeki sayılarda, 8 7 veya 7 6 olduğuna göre, ( K, M 8, T 7, S, P 6 ) veya ( K, M 7, T, S 6, P 8 ) olabilir. Toplama işleminde değişme özelliği olduğu dikkate alınarak istenen koşullardaki KMPTS sayılarını yazalım: 867 768 867 768 867 768 867 768 786 687 786 687 786 687 786 687 Buna göre, istenen koşullarda on altı tane sayı yazılabilir. KISACA,, 6, 7, 8 rakamlarından dördü seçilip, K M T S ( 8 7 veya 7 6 ) eşitliği oluşturulabilir. Buna göre, eşitliğin bir tarafında; ile 8 diğer tarafında ile 7 (bu biçimde sekiz sayı yazılabilir). Bu durumda 8. = 16 sayı yazılabilir. 1. xy iki basamaklı bir doğal sayıdır. xy y koşulunu sağlayan xy sayılarının toplamı kaçtır? xy y koşulunu sağlayan y rakamı sadece ve 6 dır. Buradan, xy veya xy 6 6 olur. Buna göre, bu koşulları sağlayan xy sayılarının toplamı, 6 61 olur. 1. Üç basamaklı ve birbirinden farklı üç doğal sayının toplamı 70 dir. Bu sayılardan en küçüğü en çok kaç olabilir? Bu üç sayının en küçüğünün en büyük değerini alması için, üç sayının da birbirine yakın seçilmesi gerekir. 70 Ortanca sayı tür. Buna göre, bu sayılar:,, olur. Buna göre, bu üç sayının en küçüğü en çok olur. 1. abc üç basamaklı bir doğal sayıdır. a c 1 c b koşullarına uygun olarak yazılabilecek abc çift sayılarının toplamı kaçtır? 1
Verilen şartlara göre, a ve c rakamları b nin alabileceği değerlere bağlıdır. Sayının çift olabilmesi için c çift olmalıdır. Bunun içib b tek sayı olmalıdır. Verilen koşullar da göz önünde bulundurularak yazılabilecek üç basamaklı çift sayılar, 1, 76, 98 dir. Bu sayıların toplamı, 1 76 98 08 dir. 16. aa ve bb iki basamaklı doğal sayılardır. ( aa) (bb) 968 olduğuna göre, a kaçtır? a ve b 1 olur. Buna göre, ( aa) (bb) 968 koşulunu sağlayan a değeri tür. 17.,,,, 6, 7 rakamlarının üçüyle rakamları farklı üç basamaklı ABC sayısı, diğer üçüyle rakamları farklı üç basamaklı DEF sayısı oluşturulmuştur. ABC DEF toplamı 801 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi bu sayılardan biri olamaz? A ) B ) 6 C ) 6 D ) 7 E ) 76 ( aa) (bb) 968 ABC DEF 801 olduğuna göre, C ile F nin toplamı 11; B ile E nin toplamı 9; A ile D nin toplamı 7 dir. ABC 6 olduğunu varsayalım. ( 10.a a) (10.b b) 968 Buna göre, ( 11.a) (11.b) 968 11.a 11.b 968 11.(a b ) 968 a b 8 ( a b).(a b) 968 ( a b 1 ve a b 8 ) veya ( a b 1 ve a b 8 ) olabilir. Şimdi bu iki durumu inceleyelim. Sayılardan biri 6 olursa, toplamın 801 olması için diğeri 801 6 = olur. Bu da verilen koşullara aykırıdır. 18. 1 den 8 ye kadar olan tam sayılar soldan sağa doğru yan yana yazılarak a 1...910111... 818 şeklinde bir a sayısı oluşturuluyor. Buna göre, a sayısı kaç basamaklıdır.? 1 den 8 ye kadar olan tam sayılar soldan sağa doğru yan yana yazılarak a 1...910111... 818 şeklinde bir a sayısı oluşturulurken; bir basamaklı 9 tane sayı yazıldıktan sonra iki basamaklı 101111... 818 sayıları yazılmıştır. a 9 a 9 / olamaz. Çünkü a rakamdır. 10 dan 8 ye kadar; 8 10 + 1 = 7 tane sayı vardır. Bu sayıların her biri iki basamaklı olduğu için bunlar ile 7. = 16 tane rakam yazılmış olur. Buna göre, a sayısı, a 6 9 + 16 = 1 basamaklıdır. 1
19. den 8 e kadar olan rakamlar kullanılarak yazılan rakamları birbirinden farklı, altı basamaklı ABCDEF sayısında A + B = C + D = E + F dir. Bu koşulları sağlayan en büyük ABCDEF sayısının birler basamağındaki rakam ile yüzler basamağındaki rakamın toplamı kaçtır?,,, 6, 7, 8 rakamları ile, A + B = C + D = E + F 8 + = 7 + = 6 + 1 0 1.n 0.n 1.n 0 n 1 0 n 9 n 7 bulunur.. 6 tabanındaki sayısının 1 fazlası aynı tabanda kaçtır? olacak biçimde yazılabilecek en büyük ABCDEF sayısı 876 tir. Buna göre, bu sayının birler basamağındaki rakam ile yüzler basamağındaki rakamın toplamı; + = 9 dur. 0. 1... sayısının tabanındaki eşiti kaçtır? 1 1... 0.. 0. Yukarıdaki toplama işleminde A,B,C,D birbirinden farklı birer tek rakamı, AB ve CD de iki basamaklı sayıları göstermektedir. Buna göre, toplama işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisi olamaz? A ) 10 B ) 96 C ) 6 D ) 70 E ) 6 A,B,C,D birbirinden farklı birer tek rakam olduğuna göre, bunlar; 1,,, 7, 9 olabilir. 1 + 7 = olduğuna göre, toplam en az olabilir; 0 olamaz. 1. n tabanındaki 101 sayısı, 10 tabanındaki 0 ye eşit olduğuna göre, n kaçtır?. (0) 6 6 sayısı 6 tabanına göre yazıldığında, kaç basamaklı bir sayı elde edilir? 1 0 6 6 1.6 1.6 0.6 0.6 (1100) 6 olduğuna göre, verilen sayı 6 tabanına göre yazıldığında dört basamaklı bir sayı elde edilir. Dikkat edilecek olunursa; 6 sayısı da, 6 tabanına göre yazıldığında dört basamaklı bir sayı olur. m Sonuç olarak, n sayısı n tabanına göre yazıldığında ( m + 1 ) basamaklı bir sayı elde edilir. ( 101) (0) n 10 1
. x sıfırdan farklı bir rakam, ve y sayı tabanını göstermek üzere, ( xxx) (xx) y olduğuna göre, y kaçtır? Sayılar verilen tabana göre çözümlenirse, ( xxx) (xx) y 7. 7 sayı tabanı olmak üzere ( abc) (cba) (6) 7 7 7 olduğuna göre, a c farkı kaçtır? 1 0 ( 6).7 6.7.7.9 6.7.1 0 7 ( abc) (cba) (6) 7 7 7 x. 1 x. 0 x. 1 x.y 0 x.y 1 0 1 0 ( a.7 b.7 c.7 ) (c.7 b.7 a.7 ) 0 16.x.x x x.y x 1.x x.(y 1) y 1 1 y 0 bulunur. 9a 7b c (9c 7b a) 0 8a 8c 0 8.(a c) 0 a c tir. 6. 6 ve m sayı tabanını göstermek üzere, ( 16) (0) m 6 olduğuna göre, m kaçtır? ( 16) (0) m 6 1 0 1 0 1.m.m 6.m.6.6 0.6 m m m m 6.6.6 m 6 90 m 8 0 ( m 1).(m 7) 0 m 1 veya m 7 dir. m 6 olacağından m 7 olur. 8. ve birer sayı tabanı olmak üzere, ( 1100) (x) olduğuna göre, x kaçtır? 1 0 ( 1100) 1. 1. 0. 0. 6 ( 1100) (x) (x) (x) 6 (x) 6 ( 1100) ( x) 1..1 1 0 ( x) 1.. ( x) (1) x 1 dir. 1
9. ve x sayı tabanı olmak üzere, ( x1) (10) x toplamının değeri 10 tabanında kaçtır? ( x1) (10) ifadesinde x sayısı den büyük ten x küçük olmalıdır. Bu durumda x tür. 1 0 ( x1) (1).. 1. 1 1 1 ( 10) (10) 1. 0. x 0. 1. tabanında rakamları farklı üç basamaklı en büyük sayı ile yine aynı tabanda rakamları farklı üç basamaklı en küçük pozitif sayının toplamı tabanında kaçtır? tabanında rakamları farklı üç basamaklı en büyük sayı ( abc) olsun. Burada, a en çok, b en çok, c en çok olur. tabanında rakamları farklı üç basamaklı en küçük sayı ( def) olsun. Burada, d en az 1, e en az 0, f en az olur. Buna göre, 9 11 Buna göre, ( x1) (10) 11 6 olur. x 0. 6 tabanındaki iki basamaklı bir sayının rakamlarının yerleri değiştirildiğinde sayı ( ) büyüyor. 6 Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük sayı kaçtır? 6 tabanındaki iki basamaklı bir sayı Verilenlere göre, ( ba) (ab) () 6 6 6 ( 6.b a) (6.a b) 6..(b a) 1 b a ( ab) olsun. 6 ( ab) sayısının en büyük olması için a ve b en büyük 6 olmalıdır. b a ise b ve a olur. Buna göre, ( ab) () olur. 6 6 olur.. sayı tabanı olmak üzere, ( ) () işleminin sonucu tabanında kaçtır? olduğuna göre, ( ) () () (). () () ( 1).( ) (11) olur.. x, ten büyük bir rakam olmak üzere ( x 1) ifadesi x tabanında kaçtır? 16
( x 1) 1.x.x.x 1 1 0 1.x.x.x 1.x (11) x. ve 8 sayı tabanı olmak üzere, ( 100110111 ) (x) 8 eşitliğini sağlayan x sayısı kaçtır? olduğuna göre, ( 100110111 ) 11 (67) dir. 8.Yol tabanındaki bir sayıyı tabanında yazmak için, verilen sayının basamakları sağdan sola doğru lü gruplara ayrılır. Sonra en soldaki gruptan başlanarak her bir grup sırasıyla tabanına göre çözümlenerek elde edilen sayılar soldan sağa doğru 8 tabanında yazılır. Buna göre, 1.Yol 8 7 6 10 ( 10 0 1 1 0 111) 8 1 0 1. 1. 1. 1. 1. 1. 6 1 1. 1. 1. 1. 1 6... 7.( ) ( ). 7 1.8 6.8 7 (67) 8.Yol 8 7 6 10 ( 10 0 1 1 0 111) 8 1 0 1. 1. 1. 1. 1. 1. 6 16 1 11 ( 100110111) (67) ve ( 100110111 ) (x) ise 8 8 x 8 dir.. I. II. III. ( 1) ( 11) 7 ( 1) sayılarından hangilerinin 10 tabanındaki değeri tek sayıdır? Taban çift olduğunda birler basamağındaki rakam tek ise sayının 10 tabanındaki değeri tek sayıdır. Taban çift olduğunda birler basamağındaki rakam çift ise sayının 10 tabanındaki değeri çifttir. Buna göre, tabanı çift olan ( 1) sayısının birler basamağındaki rakamı tek olduğu için, ( 1) sayısının 10 tabanındaki değeri tek sayıdır. 17
Taban tek olduğunda sayının rakamlarının sayısal değerleri toplamı; tek ise 10 tabanındaki değeri tek, çift ise 10 tabanındaki değeri çifttir. Buna göre, tabanı tek olan ( 1) sayısının rakamları toplamı 1 + + = çift olduğundan, ( 1) sayısının 10 tabanındaki değeri çift sayıdır. Tabanı tek olan ( 11) sayısının rakamları toplamı 7 1 + 1 + = tek olduğundan, ( 11) sayısının 10 7 tabanındaki değeri tek sayıdır. 6. x 8AB7 ve y 7B8A beş basamaklı iki doğal sayıdır. x y 1 olduğuna göre, A B farkı kaçtır? ABCD CBAD 990.A 990.C 960 990.( A C) A C C A 8. Dört basamaklı bir sayının iki basamaklı bir sayıyla çarpımı en az kaç basamaklıdır? Bu sayıları uygun şartlarda en küçük seçersek çarpımları da en küçük olur. Dört basamaklı en küçük sayı 1000, iki basamaklı en küçük sayı 10 dur. Bunları çarparsak, 1000.10 = 10000 olur. Bu durumda çarpım basamaklıdır. 8AB7 7B8A 10000 00 990.( A B) 8AB7 7B8A 960 990.( A B) olduğuna göre, Bu işlemi genelleyebiliriz. x basamaklı bir doğal sayı ile y basamaklı bir doğal sayının çarpımı; en az ( x + y 1 ) basamaklı, en çok ( x + y ) basamaklıdır. 9. a ve b birer rakamdır. x y 1 x y 8AB7 7B8A 960 990.( A B) 1 990.( A B) 1 960 990.( A B) 90 A B tir. olduğuna göre, 1.Yol a. b kaçtır? Verilen sayılar çözümlenirse, 7. ABCD ve CBAD dört basamaklı birer sayıdır. olduğuna göre, C A farkı kaçtır? 799 1110.a 111.b 77 111.(10.a b) 18
77 111.ab ab ab a ve b olup a.b. 1 olur..yol AB A B C 80 10.A B A B C 80 10.A B A B C 80 9.A C 80 dir. Bu eşitliğin sol tarafındaki sayı 9 un katı olduğu için sağ taraftaki sayı da 9 un katı olmalıdır. Bu durumda C rakamı 1 olmak zorundadır. 799 111.ab 77 111.ab ab C 1 ise, 9.A 1 80 9.A 81 A 9 dur.. ab a ve b olup a.b. 1 olur. 0. İki basamaklı bir doğal sayı, rakamları toplamının katına eşittir. Buna göre, bu sayı en çok kaç olabilir? İki basamaklı doğal sayı ab olsun. Yukarıda verilen ikişer basamaklı dört sayının toplamı 176 ve A B olduğuna göre, bu koşula uyan kaç farklı AB sayısı vardır? ab.(a b) ise, 10.a b.a. b 6.a.b.a b Buradan, a nın alabileceği değerler 1,,, tür. a nın bu değerlerine karşın b nin alacağı değerler sırasıyla;,, 6, 8 dir. Buna göre, ab en çok 8 olur. 1. A,B,C birer rakam, AB iki basamaklı bir sayı ve AB A B C 80 olduğuna göre, A kaçtır? A,B,C birer rakam, AB iki basamaklı bir sayı ise, A B 8 dir. Buradan, A nın alabileceği değerler; 1,,,,, 6, 7 dir. A nın bu değerlerine karşın B nin alacağı değerler sırasıyla; 7, 6,,,,, 1 dir. A B olduğundan A, B olamaz. Bu durumda, 6 farklı AB tamsayısı vardır. Bunlar; 17, 6,,, 6, 71 dir.. Dört basamaklı abab sayısı iki basamaklı ab sayısının kaç katıdır? abab 1000.a 100.b 10.a b 1010.a 101.b 19
101.(10.a b) 101.ab olduğundan abab sayısı ab sayısının 101 katıdır.. ab ve ba iki basamaklı doğal sayılardır. ab ba ab ba 11 olduğuna göre, ab sayısının en büyük değeri kaçtır? ab ba olduğuna göre, ab ba 11 10.a b (10.b a) 9.a 9.b 10.a b (10.b a) 11 11.a 11.b 11 9.(a b) 11.(a b) 11.(a b) 1 a b.a.b a b a.b dir. a.b ise, a nın alabileceği değerler;,, 6, 8 dir. a nın bu değerlerine karşın b nin alabileceği değerler sırasıyla; 1,,, tür. Buna göre, ab sayısı en çok 8 olur.. Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı, dört basamaklı en büyük tam sayı ile üç basamaklı en küçük doğal sayının farkı kaçtır? Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı; dört basamaklı en büyük tam sayı 9876, en küçük üç basamaklı doğal sayı, 1 tür. Bu sayıların farkı, 9876 1 = 97 tür. 6. Üç basamaklı ABC sayısı iki basamaklı AB sayısından 1 fazladır. Buna göre, A + B + C toplamı kaçtır? Üç basamaklı ABC sayısı iki basamaklı AB sayısından 1 fazla olduğuna göre, ABC AB 1 100.A 10.B C 10.A B 1 90.A 9.B C 1 tür. Bu eşitliği sağlayan değerler, A 1, B, C 8 dir. Buna göre, A B C 1 8 1 tür. 7. Her biri basamaklı, rakamları birbirinden farklı üç farklı doğal sayının toplamı 06 tir. Buna göre, bu sayılardan en küçüğü en az kaçtır? Toplamı 06 olan basamaklı rakamları birbirinden farklı, üç farklı doğal sayının birisinin en az olabilmesi için diğer ikisinin en büyük olması gerekir. Rakamları birbirinden farklı, en büyük farklı iki doğal sayı; 9876 ve 987 tir. Aradığımız sayı x ise, x 9876 987 06 x 1971 06 x 06 1971 x 1 bulunur. 8. ab ve ba iki basamaklı doğal sayılardır. ( ab) 1089 (ba) olduğuna göre, a. b çarpımı kaçtır? 0
( ab) 1089 (ba) (ab) (ba) 1089 ( a b).(a b) 11 ise, a b 11 a b 1 ( ab ba).(ab ba) 1089 11.(a b).9.(a b) 1089 11.(a b).9.(a b) 1089 99.(a b).(a b) 1089 99.(a b).(a b) 1089 ( a b).(a b) 11 dir. a 6 ve b olur. Buna göre, a.b 6. 0 bulunur. 9. x sayı tabanı olmak üzere, ( 1) (8) x 10 eşitliğinde, x kaçtır? ( 1) (8) x 10 1 0 1.x.x.x 8 x.x 8 0. ve a sayı tabanı olmak üzere, x. ( xxx) (xx) a olduğuna göre, a kaçtır? 1 x. ( xxx) (xx) a 0 x. 1 x.a.x.x x a.x x 0 x.a 0.x a.x a 0 olur. 1. Hangi tabandaki 6 sayısı tabanında e eşittir? x tabanındaki 6 sayısının tabanındaki eşiti olsun. ( 6) () x 1 0 1 0 6.x.x... 6.x 1 6.x 7 x 7 dir.. sayı tabanını göstermek üzere, ( ) x () şartını sağlayan x doğal sayıları kaç tanedir? x.x 0 ( ) x () ( x 9).(x 6) 0 x 9 veya x 6 dır. x, ( 1) sayısının tabanı olduğu için, x olmalıdır. Buna göre, x 6 olur. 1 0 1 0.. x.. 1 x 0 19 x ise, x in alabileceği doğal sayı değerleri, 0, 1,, tür. 1
., sayı tabanını göstermek üzere, ( 10) (11) a b 1 a b 7 a ve b a.b. 1 dir. farkı, tabanına göre kaçtır? KONU BİTMİŞTİR.., sayı tabanını göstermek üzere, ( ).() çarpma işleminin sonucu tabanına göre kaçtır?. sayı tabanı ve ( ab) (ba) tür. a, b sayı tabanı ve ( ) (1) 18 dir. a b Buna göre, a.b çarpımı kaçtır? ( ab) (ba).a b (b a) a b a b 1 dir. ( ) (1) 18 a b 1 18 a b a b 18 a b 7