Ad ve Soyad : Numaras : FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular 30.11.2007 1. Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) (X; kk) bir normlu uzay ve M bunun bir alt uzay olsun. (e i ) dizisi (M; kk) uzay n n bir Schauder taban ise (X; kk) uzay n n da bir Schauder taban d r. (10) (b) (X; kk) ve (Y; kk) iki normlu uzay olsun. Her T : (X; kk)! (Y; kk) lineer dönüşümü süreklidir. (10) 2. (a) Bir X lineer uzay üzerinde tan ml bir d metri¼ginden hangi durumda bir norm elde edilebilir? (10) (b) K üzerindeki jx yj d (x; y) = 1 + jx yj metri¼ginden bir norm elde edilemeyece¼gini gösteriniz. (10) 3. X bir lineer uzay ve A X olsun. Her x; y 2 A ve her 2 [0; 1] say s için x + (1 ) y 2 A oluyorsa A kümesine konveks küme denir. (a) Bir (X; kk) normlu uzay nda, r > 0 olmak üzere, A = fx 2 X : kxk rg kümesinin konveks oldu¼gunu gösteriniz. (15) (b) (X; kk) bir normlu uzay ve A bunun konveks bir alt kümesi ise A kümesinin de konveks olaca¼g n gösteriniz. (15) 4. (a) Her x = (x n ) 2 `1 için 1 1 x 2 n n serisinin yak nsak oldu¼gunu gösteriniz. (05) n=1 (b) T : (`1; kk 1 )! (K; jj) ; x = (x n )! T (x) = 1 oldu¼gunu gösteriniz. (10) (c) T dönüşümünün normunu bulunuz. (15) 1 x 2 n n dönüşümünün lineer ve s n rl n=1
Ad ve Soyad : Numaras : FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Final S nav Sorular 25.01.2008 Q 1. (X 1 ; kk 1 ) ; (X 2 ; kk 2 ) ; :::; (X n ; kk n ) birer normlu uzay ve X = n X i olsun. x = (x 1 ; x 2; :::; x n ) 2 X için kxk 1 = nx kx i k i ve kxk 2 = nx kx i k 2 i! 1=2 biçiminde tan mlanan kk 1 ve kk 2 normlar n n denk olduklar n gösteriniz.(25) 2. (X; kk) sonlu boyutlu bir normlu uzay ve A X olsun. A kümesi kapal ve s n rl ise kompaktt r. Ispatlay n z.(25) 3. b = (b i ) 2 `2 olsun. (a) Her x = (x i ) 2 `2 için 1 b i x i serisinin yak nsak oldu¼gunu gösteriniz.(10) (b) f b : (`2; kk 2 )! (K; jj) ; x = (x i )! f b (x) = 1 b i x i oldu¼gunu gösteriniz.(15) dönüşümünün lineer ve s n rl 4. e 1 = (1; 0; :::; 0) ; e 2 = (0; 1; :::; 0) ; :::; e n = (0; 0; :::; 1) 2 K n vektörlerini göz önüne alal m. 1 < p < 1 ve 1=p + 1=q = 1 olsun. Her f 2 `np için, xf = (f (e 1 ) ; f (e 2 ) ; :::; f (e n )) olmak üzere kfk = kx f k q oldu¼gunu gösteriniz.(25)
Ad ve Soyad : Numaras : FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Bütünleme S nav Sorular 15.02.2008 1. Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) Her normlu uzay bir Banach uzay d r.(10) (b) Her metrik uzay bir Banach uzay d r.(10) 2. (X; kk) sonlu boyutlu bir normlu uzay ve (Y; kk) herhangi bir normlu uzay olsun. Her T : X! Y lineer dönüşümünün s n rl oldu¼gunu gösteriniz.(25) 3. = ( i ) 2 `3=2 olsun. (a) Her x = (x i ) 2 `3 için 1 i x i serisinin yak nsak oldu¼gunu gösteriniz.(10) (b) f : (`3; kk 3 )! (K; jj) ; x = (x i )! f (x) = 1 i x i oldu¼gunu gösteriniz.(15) 4. (a) BL (`1; K) uzay n tan mlay n z.(10) (b) f 2 BL (`1; K) biçiminde bir f fonksiyoneli örne¼gi veriniz.(20) dönüşümü veriliyor. f 2 `3
FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ II Aras nav Sorular 02.05.2008 1. (a) Normlu uzaylarda Hahn-Banach teoreminin ifadesini yaz n z. (b) (X; kk) bir normlu uzay (X 6= fg) ve x 0 2 X olsun. F (x 0 ) = kx 0 k ve kf k = 1 olacak şekilde bir F 2 X fonksiyoneli vard r. Ispatlay n z. 2. (X; kk) bir normlu uzay ve x 2 X olsun. F x : X! K; F x (f) = f (x) dönüşümü veriliyor. F x 2 X ve kf x k = kxk oldu¼gunu gösteriniz. 3. (a) Hilbert uzay ne demektir? Tan mlay n z. (b) (C [a; b] ; kk 1 ) normlu uzay bir Hilbert uzay m d r? Nedenleriyle aç klay n z. 4. X bir iç çarp m uzay ve x; y 2 X olsun. x? y, 8 2 K için kx yk = kx + yk oldu¼gunu gösteriniz. 1.soru: (a) 10 p. (b) 15 p.; 2.soru: 25 p.; 3.soru: (a) 10 p. (b) 15 p.; 4.soru: 25 p. Süre: 80 dakika
FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ II Final S nav Sorular 20.06.2008 1. (X; kk) ve (Y; kk) birer normlu uzay, T 2 BL (X; Y ) ve T 0 : Y! X dönüşümü biçiminde tan mlanm ş olsun. (a) T 0 2 BL (Y ; X ) oldu¼gunu gösteriniz. (b) kt 0 k = kt k oldu¼gunu ispatlay n z. T 0 (f) = f T 2. (a) Aç k dönüşüm teoreminin ifadesini yaz n z. (b) (X; kk) ve (Y; kk) birer Banach uzay ve T 2 BL (X; Y ) olsun. bire-bir ve örten ise T 1 2 BL (Y; X) olur. Ispatlay n z. E¼ger T dönüşümü 3. H 1 ve H 2 birer Hilbert uzay ve T 2 BL (H 1 ; H 2 ) olsun. (a) Her x 2 H 1 ve her y 2 H 2 için < T (x) ; y >=< x; T (y) > koşulunu sa¼glayan T 2 BL (H 2 ; H 1 ) dönüşümünün tek oldu¼gunu gösteriniz. (b) (T ) = T oldu¼gunu ispatlay n z. 4. (a) Hermite dönüşümü ne demektir? Tan m n yaz n z. (b) T bir Hermite dönüşümü ise T dönüşümü de bir Hermite dönüşümü olur mu? Aç klay n z. 1.soru (a) 15 p. (b) 15 p.; 2.soru (a) 10 p. (b) 10 p. 3.soru (a) 15 p. (b) 15 p.; 4.soru (a) 10 p. (b) 10 p. Süre: 80 dakika
FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ II Bütünleme S nav Sorular 11.07.2008 1. (X; kk) bir normlu uzay, M bunun bir alt uzay ve f 2 M olsun. Her x 2 M için F (x) = f (x) ve kf k = kfk olacak şekilde bir F 2 X vard r. Ispatlay n z. 2. (a) Iç çarp m nedir? Tan mlay n z. (b) X bir iç çarp m uzay olsun. X üzerinde tan mlanan kxk =< x; x > 1=2 dönüşümünün her x; y 2 X için eşitsizli¼gini sa¼glad ¼g n gösteriniz. kx + yk kxk + kyk 3. X bir iç çarp m uzay ve x i 6= ; i = 1; :::; n olmak üzere fx 1 ; :::; x n g bu uzay içinde dikey bir küme olsun. ba¼g ms z oldu¼gunu gösteriniz. fx 1 ; :::; x n g kümesinin lineer 4. (a) Birimsel dönüşüm ne demektir? Tan mlay n z. (b) H bir Hilbert uzay ve T : H! H s n rl bir lineer dönüşüm olsun. T nin birimsel dönüşüm olmas için gerekli ve yeterli koşul T T = T T = I olmas d r. Ispatlay n z. 1.soru 25 p.; 2.soru (a) 10 p. (b) 15 p. 3.soru 25 p.; 4.soru (a) 10 p. (b) 15 p. Süre: 80 dakika