3. BKLNN DĞR V ONTLR emksel bekle kvmı şs oulıd doğmuşu. lı bçmle, b oucuu kzbleceğ mk le kzm olsılığıı çpımıdı. Sözgelm büük ödülü 48TL olduğu b çeklşek. blee b bzmse memksel beklemz 48*/. =,48 olu. 3. BKLNN DĞR ve ÖZLLİKLRİ Beklee değe d memksel bekle kvmı memğ ssk blme pığı b kkı olk düşüülebl. B X şs değşke d bu şs değşke hehg b g oksouu beklee değe, değşke üm değele üzede, olsılık oksou olm değe bulumsıl elde edl. Beklee değe eok d del değed. He hg b deemede X şs değşke beklee değe lmsı geçeke bekleemez. emksel bekle d beklee değe le gösel. Tım Beklee değe: B X şs değşke olsılık küle d oğuluğu olsu. Şs değşke beklee değe, keskl şs değşke ç; süekl şs değşke ç, d he hg pek b şs değşke ç, Fd Fd Bu eşlk geçeke X şs değşke b ğılıklı olmsıdı. Bud ğılıklı olsılıkl ımlmkdı. Dğe b de le X şs değşke ımldığı oğuluğuu ğılık mekez X eksedek değed. Beklee değe ımlı olblmes ç oplm d egl şlemle kısk olmsı geekld. B şs değşke beklee değe, şs değşke oğuluk/küle oksou d bkml dğılım oksou göe ımldığı ç şs değşke ees lımd bu oksol göe ımlbl. Yukıdk ım dkke lıdığıd solu b beklee değee shp he şs değşke ç: = Dğe b de le şs değşke beklee değe küle olmsı eş. Beklee değe şlem le emel özellkle şğıdk eoem le velmş.
Teoem: X şs değşke küle olmsı ve le b sb sıl olmk üzee:.=.= ve le özellkle soucu olk, +b=+b 3. Geelde ç İsp: İsp süekl şs değşkele ç velmş.. d d. d d Teoem: b b İsp: b b olduğu göe, b b b Beklee değe le lgl dğe özellkle lek kısımld çıklckı. Beklee değe şs değşke küle olmsı eş olduğud souç olk b e ölçüsüdü. B sok kısımd şs değşkele ç kullılblecek dğe e ölçülede bzılı ıılckı. 3. TL YR ÖLÇÜLRİ Şs değşke dğılımıı lı bkış çılı le ımk mcıl klı e ölçüle kullılmkdı bu e ölçülede bzılı şğıd ıılmışı. Tım Kl: X şs değşke d o dğılımı p-c kl p le gösel ve F p p koşuluu sğl e küçük şs değşke değed. ğe X süekl b şs değşke se p- c kl F p =p koşuluu sğl e küçük şs değşke değed. Tım ed: X şs değşke d o dğılımı.5-c kl.5 le d gösel ve med olk dldıılı. Geel olk: P[X]/ d P[X]/
ımlı. ğe X süekl b şs değşke se med: d / d. ed ve oc, b eks dğılımıd ekslı k eş pç böle değed. Tım od: X şs değşkee olsılık küle/oğuluk oksouu = oksıd b mksmum değe v se değe mod olk dldıılı. ğe X süekl b şs değşke se: d d B şs değşke e çok sl değee mod de. B eks dğılımıd, özellkle homoje olm dğılımld bde zl mod değe bulubl. od değe olm dğılımld vdı. B keskl değşke modu, ekslı mksmum olduğu değşke değed. mksmum p değed. B süekl değşke modu, eks dğılımıd eks oğuluğuu e üksek değee kşılık gele değşke değed. mksmum p değed. Yukıd çıkl e ölçüle klı değele lbleceğ gb dğılım bçm özel b duumu ıml smek dğılımld he üç e ölçüsü de ı değee shp. Tım Sme: Olsılık küle/oğuluk oksou ; c-=c+ özellğe shp ol dğılıml c oksı d dğe b deşle =c doğusu göe smek. ğe b dğılımı c oksı göe smek ve küle olmsı solu se c= olmlıdı. 3.3 VARYANS Şs değşke dğılımı le lgl öeml b ölçü gubu d ılım ölçüled. Aşğıd bzı öeml ılım ölçüle kısc çıklmışı. Tım Vs: X b şs değşke ve = se şs değşke vsı V le d le gösel ve keskl şs değşkele ç; V süekl şs değşkele ç, V d 3
he hg b şs değşke ç, V elde edl. F F d Vsı mevcu olblmes ç oplm ses d egl kısk olmsı geekld. B şs değşke beklee değe de olduğu gb vsı d, şs değşke oğuluk/küle oksou d bkml dğılım oksou göe ımldığı ç şs değşke ees lımd bu oksol göe ımlbl. Gözlee değele olm göe uzklşm mell X şs değşkee göe değele olm cvıd ol b Y şs değşke vs değele kşılşııldığıd X şs değşke vsı dh büük değele ldığıd vs b ılım ölçüsüdü. Vsı omülle celedğde eg olm değelee shp b ölçü olduğu göülebl. Vs şs değşke le ı ölçü bme shp değld. Tım Sd spm: X şs değşke sd spmsı le gösel ve le ımlı. V Pek çok ugulmd şs değşke le ı ölçü bme shp olduğu ç vs göe ech edl. Teoem: B sb vsı sııdı. Vc= Teoem:B sb le b şs değşke çpımıı vsı: Vc= c V c se, b sl değşke değele sb b sıl çpılmsı vsı d ı sb sıı kesle çpılmsı demek olduğud, dğılım ıklığıd d o ugu b değşmele kşılşılı. Teoem:B sb le b şs değşke oplmıı vsı: Vc+= V Teoem soucu göe; b ssl değşke değelee sb b sıı eklemes büü değele sğ d sol kmsı ol çığıı m ou dğılım ıklığıı hç eklemedğ göülü. Vs mek olmı eıdk oğulşmı zı b ölçüüdü. Buul blke smek dğılışl ç eel b ölçüdü. Vs özellkle smek dğılışl ve 4
oğuluğu küçük b kısmıı olmd oldukç uzk olduğu dğılıml ç eesz b ılım ölçüsüdü. B şs değşke vsıı he zm volmsı geekl değld. 3.4 ŞANS DĞİŞKNİNİN BİR FONKSİYONUN BKLNN DĞRİ Bzı duumld doğud X şs değşke le değl ou b oksou =g şeklde o çık şs değşkele le lglel. Beklee değe lm şlem doğusl b opesodu. Bu edele X doğusl b oksouu beklee değe sble eks dkke lık kolc bulubl. Tım: X oğuluğu ol b şs değşke olsu. Şs değşke b oksouu g beklee değe: g g g g d Teoem: X b şs değşke, de ou olsılık oksou c, c,c be sb sı se g =,, oksolıı sblele çpımlıı oplmıı beklee değe: c g c g İsp: c g c g. = c g c g c g Teoem: X b şs değşke, de ou olsılık oksou olmk üzee, eğe üm değele ç g se g Teoem: X b şs değşke, de ou olsılık oksou olmk üzee, eğe üm değele ç g g se [g ] [g ] Teoem: X b şs değşke ve, b, c se sble olsu. Beklee değele mevcu g, g oksolı ç eğe üm X değele ç g b se g b. 3.5 ÇOK DĞİŞKNLİ DAĞILILAR İÇİN BKLNN DĞR V VARYANS 5
Beklee değe ve vs kvmlı çok değşkel duum ç de geelleebl. Öeğ b Z şs değşke X ve Y gb k şs değşke z=, d dh geel olk X, X,,..., X k solu sıdk şs değşkele b oksou,,..., k olk o çıkbl. Bu gb duumld geeksm duulblecek bzı öeml eoemle şğıd velmş. Teoem: X ve Y şs değşkele,, bulı ok olsılık oksolı se: += + Teoem: X, X,,..., X k solu sıdk şs değşkele,,,..., k bulı ok olsılık oksolı se: + +...+ k = + +...+ k Teoem: X ve Y bğımsız şs değşkele,, bulı ok olsılık oksolı se: = İsp: Sdece keskl şs değşkele ç velecek:, ğe şs değşkele bğımsız se g ve h mjl olsılık oksolı olmk üzee ok olsılık oksou; ve, gh gh g h Teoem: X, X,,..., X k solu sıdk bğımsız şs değşkele,,,..., k bulı ok olsılık oksolı se:,,..., k =... k Teoem: X ve Y şs değşkele,, bulı ok olsılık oksolı se g, beklee değe: g g,,, g g,,, dd. 6
Teoem: X ve Y şs değşkele,, bulı ok olsılık oksolı se X ve Y beklee değe:,,,, dd dd Teoem: X ve Y şs değşkele,, bulı ok olsılık oksolı se ve mjl dğılıml g le h blos X ve Y şs değşkele beklee değe: g g h d hd Teoem: c, c,c be sb sı se: c g, k,, c g, Teoem: X şs değşke ve / de vele değe ç şlı olsılık oksou ve g/ vele değe ç şlı olsılık oksou se ve şlı beklee değe: / / g / / / / d / g / d Teoem: X şs değşke ve / de vele değe ç şlı olsılık oksou ve u, şs değşke b oksou se vele değe ç u şlı beklee değe: k 7
u u / / u / u / d Vele değe ee koduğud / sb b sıdı, bşk b deşle şlı beklee değe b oksoudu. Beze şeklde / de b oksoudu. /, bell b değe ç sb, k değşe değelee bğlı olk değşğ ç b şs değşked. / dğılımıı beklee değe [/] olup. / egeso oksou olk d dldıılı. Teoem: Koşullu dğılımlı beklee değele ç beklee değele; =[/] =[/] Teoem: g, şs değşke b oksou olmk üzee, [g]=[[g/]] Teoem: ğe ve soksk bğımsız se,,= h g se, ve şlı ve şsız dğılıml sıd k oks: / = / = Teoem: ve şs değşkele, ve b sble olmk üzee: V+b= V+ b V+ bcov, V-b= V+ b V- bcov, No: Şs değşkele doğusl lşksz se Cov,= Teoem: Şs değşkele doğusl lşksz se ukıdk Teoem kde çok sıılı sıdk şs değşke ç geelleebl:,,..., k sıılı sıdk bğımsız şs değşkele,,,..., k bulı ok olsılık oksolı se: V + +...+ k = V + V +...+ V k Teoem: g/ ve / şlı dğılışlıı vsı:. V / / / b. V / / / Şs değşkele keskl se: V / / / 8
V / / g / Şs değşkele süekl se: / / V / / / g V / İsp: Sdece şıkkı ç velmş. V / / / d d / / / / / / / / / Teoem: / dğılımıı vsı: V = [V/] + V[/] So eşlke, vsı k klı vsı oplmıdı. İlk değşe değele ç şlı vslıı beklee değe. İkcs se değşe değele ç şlı dğılımıı olmlıı vsıdı. İsp: V / / / / / / V V V / 3.6 OLASILIK ÜZRİN ŞİTSİZLİKLR Beklee değe kvmı kullılk olsılıkl üzee bzı eşszlkle elde edlebl. Bu eşszlkle e öemls Chebshev eşszlğ olk bl. Chebshev eoem bell b olsılık ç üs sııı bulumsı mk ve. Bu sıılı m olsılık değelee eş d kı olmsı geekl değld. Bu edele b olsılık değee kısmk ç geelde bu eoem kullılmz. Bu eoem kullım llıd b Büük Sıl Kuudu. Teoem: Şs değşke X olsılık oksou ve eg olm b oksou u olsu. ğe [u] mevcu se he b poz k sb ç; P u u k k 9
İsp: Şs değşke X ç A={:uk} olsu. Bu duumd, u d u d u d u A şlğ sğıdk he k egl de eg olm değelee shp olduğud, u d u A A ğe A bu duumd uk olcğı ç u ee k zılmsı eşszlğ sğ ıı değe ımz. k d u A Bud d A Pu A İsp mmlı. u k P u P k olduğud, k Açıkl eoeem, Chebshev eşszlğ olk dldııl b eşszlğ geellemş şekld. B şs değşke olsılık dğılımıd bğımsız sdece beklee değe ve vs blgle kullılk şs değşke le lgl bzı olsılık eşszlkle elde edlebleceğ, Rus memkçs Chebshev ıd splmışı. Teoem Chebshev eşszlğ: Şs değşke X b olsılık dğılışı ve solu vs shp olduğu vsılsı, bu duumd mulk solu b küle olmsı vdı. Bu koşul lıd he k> ç, P z d eşdeğe olk, P z z. z İsp: B öcek eoemde, lıdığıd, u ve P P k z z z z z Buluu. Bud z değe bde büük olk lıı. c
Yukıd vele eoeme göe le, X ssl değşke olmsı ve sd spmsı se, hehg b poz z sb ç X olmı k ıd z sd spm lığıd b değe lblme olsılığı e z kddı. z Öeğ, X ssl değşke olmı he k ıd, k sd spm lığıd b değe lm olsılığı e z -/ =3/4; 3 sd spm lığıd b değe lm olsılığı -/3 ==8/9; 5 sd Spm lığıd b değe lm olsılığı -/5 =4/5 olu. lde edle souçl şs değşke sd spmsıı değşke ıklığıı d gılığıı bu lmd deeme ldığıı belmeked. Chebshev eoem vedğ olsılığı b l sıı olduğu çıkı. Bell b ssl değşke olmı k ıd z sd spm lığıd b değe lm olsılığıı -/z de büük olup olmdığıı blemez m Chebshev eoem bze bu olsılığı keslkle -/z de küçük olmcğıı söle. B ssl değşke dğılımı blse ck o zm m olsılık hesplbl. 3.7 ONTLR ome em zk blmde gelmeked. ome b eksıı kuvve bm uzklık olduğu b ok üzede oluşuduğu ekd. omele, b şs değşke dğılışıı kes şekl belle. B dğılımı momele şs değşke kuvvele beklee değed. omele geel olk üç gup cele.. Oje göe momele. A küle olmsı göe momele 3. Hehg b oksı göe momele
Tım Oje göe mome: X ssl değşke dolıdk -c mome, beklee değed. d le gösele, sıı oksı çok kullıl k özel duum: şe değld. d = ke = ke d. Bu d X ssl değşke beklee değede bşk b ' Tım : dese X dğılımıı küle olmsı d kısc X şs değşke olmsı de ve le gösel. Tım Amek olm göe mome: X şs değşke le gösele, olm dolıdk -c mome, - oksouu beklee değed, [ ] [ ] Teoem: değe v ol he ssl değşke ç ve dı. İsp: Amek olm göe bc mome; [ ] d d d d,,, ç Bu souç ımlıcı sske ble, mek olmd spmlı oplmıı sıı olmsıı eok spıdı. B dğılımı üm momele le lgl blg bu dğılımı eşsz olk belle. Olm dolıdk kc mome, b ssl değşke dğılımıı ıklığı d gılığıı b göseges olduğud sske özel b öem şı. Amek olm göe kc mome; V vsdı. B dğılımı vsı, dğılımı olm eıdk oğuluğuu ölçümüü vedğ dh öce çıklmışı.
Tım Hehg B Noksı Göe omele: X şs değşke, b oksı eıdk -c mome, - beklee değed. Tım: ğe ' mevcu se k ç ' k momele mevcuu. ğe mevcu se mevcuu ve souç V buluu. Bu edele V vlığı v olduğuu bel. Teoem: A küle olmsı göe kc mome, vs, dm hehg b oksı göe kc deecede momee dh küçük ve o eş. Bu vsı mmum olm özellğ de: d eşdeğe olk b İsp: şlğ sğıdk em dm poz olup ck ve ck = olduğud sıı lbl. Teoem: ğe X b şs değşke se; med 3.7. Amek Olm Göe omele Oje Göe omele Csde Hesbı: Hesplm kollığı çısıd mekez momele oje göe momele csde bulubl. Oje göe momelele mek olm göe momele sıdk lşk Bom eoem kuulk bulubl. Bldğ gb bom çılımı; b b d Bu çılım olm göe momelede kullıldığıd; 3
4 olup, beklee değe -c özellğde lıdığıd ve b olup souç olk, ' Teoem : ğe = lııs ' İsp : = ' 3.7. Oje Göe omele Amek Olm Göe omele Csde Hesbı: Oje göe momele de mek olm göe momele csde hesplbl. X X X ' olk buluu. 3.7.3 omelee D Asme ve Bsıklık Ölçüle B olsılık dğılımıı bçm le lgl ek blgle üçücü ve dödücü mekez momele dımı le elde edlebl. Bu ek blgle geellkle dğılımı çpıklık ve bsıklığı olk dldıılı. B eks dğılışıı olm değee göe smede ılış deecese sme d çpıklık de. Asme ölçüle ç beklee emel özellkle:. Değşke ölçme bmde bğımsız olmlı b. Dğılım smek olduğud sıı değe lmlı X şs değşke üçücü mekez mome: 3 3 kullılk sme ölçeblmek ç ölçüsü Peso ıd ek modlu dğılıml ç bulumuşu:
3 3 Değşke ölçü bmde bğımsızdı. Smek dğılışld = ve smek dğılışld dm >. şe eksklğ gdemek ç Fshe ıd sdlşıılmış üçücü mome d dğe dıl çpıklık ksısı öelmş: 3 3 Değşke ölçü bmde bğımsızdı. Smek dğılışld =, sğ çpık dğılışld >, sol çpık dğılışld < 3 = olduğu hlde smek olm dğılışld mevcuu. Buu ede şıı büüklükek uç değele mek olm ek edp, ou büüüp, küçülmeled. de oluş bu değşme 3 e sımkdı. B dğılışı moduu, ı mek olm ve vs shp b oml dğılımı modu göe dh şğıd d dh ukıd bulumsı bsıklık kı de. Dğılışı epe oksı oml dğılımd dh üksekse sv, lçks bsık dğılımdı. Sv dğılımd mek olm eıd oğulşm dh zldı. X şs değşke dödücü mekez mome: 5
4 4 kullılk bsıklığı ölçeblmek ç ölçüsü Peso ıd ek modlu dğılıml ç bulumuşu: 4 Değşke ölçü bmde bğımsızdı. Noml dğılışld =3, omle göe bsık dğılışld < 3, omle göe sv dğılışld >3. Fshe bsıklık ölçüsü: 3 Değşke ölçü bmde bğımsızdı. Noml dğılışld =, omle göe bsık dğılışld <, omle göe sv dğılışld >. B d b kç e mome dğılış hkkıd vedğ blg sıılıdı. Aşğıdk şekl lk dö mome eş ol k dğılımı gösemeked. Buul blke momele,, 3,... büü b se dğılımı m olk belle. Şs değşke X, sd değşkee döüşüülüse; z X z= olduğu ç z değşke mekez momele le oje göe momele eş. Bu özellk kullılk z değşke -c mekez mome, X değşke -c mekez mome csde de edlebl: X z z [ ] µ µ / [ ] 6
Souç olk, V z z elde edl. Göüldüğü gb b X şs değşke sddze edlmes olm ve vsı eklemeke k z z sddze üçücü ve dödücü mome eklememeked. Tım Şs Değşke Foksou ome: u şs değşke X b oksou se -c deecede mome: u u d süekl se u u keskl se 3.7.4 İk Şs Değşke İç Çpım omele Bu kısımd k şs değşke ok dğılımı dkke lık şs değşkele çpım şekldek momele elde edlecek. Tım İk şs değşke oje göe çpım mome: X ve Y şs değşkele olsılık oksolı, se oj cvıdk -c ve s-c deece oje göe çpım momele, s, s le gösel ve s des beklee değe le elde edl: Şs değşkele keskl se; s s s, s, Şs değşkele süekl se; s s, s dd, Çpım momele mjl ek değşkel momelee döüşebl. Öeğ, d le ımlbl., Tım İk şs değşke olm göe çpım mome: X ve Y şs değşkele olsılık oksolı, se oj cvıdk -c ve s-c deece olm göe çpım momele edl:, s, s le gösel ve [-] [-] s des beklee değe le elde Şs değşkele keskl se; s 7
s s,, s Şs değşkele süekl se; s s dd, s, Çpım momele mjl ek değşkel momelee döüşebl. Öeğ d V V le ımlbl. Aıc sske özel öeme shp b olm göe, çpım mome de, d ve kovs olk dldıılı. 3.7.5 KOVARYANS Kovs k şs değşke sıdk doğusl lşk b ölçümüü ve. Alıdk kovs sıı ol şs değşkelee doğusl lşksz dı vel. Soksk bğımsızlık doğusl lşkszlğ de oomk olk sğl. Fk lşkszlğ mulk soksk bğımsızlık lmı geleceğ söleemez. Tek ss oml dğılmış şs değşkeled. Noml dğılmış k değşke lşksz se ı zmd soksk bğımsızdı. Tım Kovs: X ve Y k şs değşke ve olı olmlı sısı le ve se, ve sıdk kovs Cov, le d le gösel ve: Cov,=[- - ] eşlğde elde edl. Teoem: İk şs değşke X ve Y sıdk kovs oje göe ve olm göe çpım momele csde de edlebl:,,,,. İsp: Beklee değele lgl eoemle kullılk,, Teoem: İk Şs değşke bğımsız se = İsp: Bğımsız şs değşkele ç; olduğu ç, 8
, Teoem: ğe X le Y şs değşkele ve le b sble se:, b bcov Cov,, b Cov Cov, Cov b V,. İk değşke sıdk kovs, değşkele ölçülmesde kullıl bmlee bğlıdı. İlşk ölçü bmlede ıılmış des, ok küle koelso ksısıdı. Aküle koelso ksısı le gösel.. = Cov,/ Koelso ksısıı emel özellkle:. u şe Cov, ı şee göe değş.. Cov,= se. = olu. 3.. u lbleceğ mksmum ve mmum değele: -. 4. = olmsı ve sıd m doğusl lşk buluduğuu bel. İsp özellk 3: İk sd değşke u ve v ele lısı: u = [-]/ v= [-]/ Tüm sd değşkele; beklee değe sıı, vsı bd. Cov u,v= [u-u][v-v] ={[uv]} Cov u,v = / {[-].[-] Cov u,v = Cov,/ =. buluu. İk şs değşke oplmı ve kı ç vele eoem sd değşkelee uguldığıd, Vu v = [ Cov u,v] şlğ sol ı vs olduğud eg olmz. Bu edele sğ olmz. Souç olk; + Cov u,v ve - Cov u,v d +. ve -. elde edl. Bu se -. 9
eşszlğ ve. İsp özellk 4: u = ve v = olduğud, Cov u,v = se u.v = ve Cov u,v = - se u.v = - olu. Cov u,v= olduğud, İk şs değşke oplmı ve kı ç vele eoem sd değşkelee ugulk, Vv-u = Dğe b deşle v-u b sb: [-]/ - [-]/ = c - - + = c = +c / + / şlğ sğ ıdk lk üç em he b b sb olduğud, bu üç em le emsl edleek; = + b b poz olmsı zouludu, poz d eg olbl. Cov u,v = - olduğud, İk şs değşke oplmı ve kı ç vele eoem sd değşkelee ugulk, Vv+u = Dğe b deşle v+u b sb. [-]/ + [-]/ = c - + - = c = +c + / - / şlğ sğ ıdk lk üç em he b b sb olduğud, bu üç em le emsl edleek; = - b b eg olmsı zouludu, poz d eg olbl. lde edle he k deklem ç de; b = / buluu. odel = b se V = b V d = b olup bu souç kullılk, Cov, = b V. = Cov, / =b V/
b, b buluu.. = duumud = b doğusuu gğ ve üm olsılık dğılımıı çe. Tüm, klle doğu üzeded. Bu eksem duum ç P = b= olu. ksem duum hcde, ve üm olsılık dğılımı = b doğusuu çevesde b b çded. 3.7.6 Fköel omele Özellkle keskl şs değşkele momele bulumsıd dlı ol b klşım dğılımı köel momeled. İlk olk şs değşke kes ele lısı; Bu de beklee değe lık, Souç olk; buluu. Bu klşım dh büük momele ç de geçeld. Şs değşke üçücü köel mome 3 3 3 3 olup,üçücü köel mome kullılk, 3 3 bulubl. Geel olk -c köel mome olk ımlı. 3.8 ONT TÜRTN FONKSİYONLAR Beklee değe ımı kullılk momele elde edlebl. Bu klşımı hesplmlıd zoluk olmsı duumud dğılımı momele, b okso dımı le hesplbl. ome üee oksol süekl ve keskl b X şs değşke dğılımı momele hesplmsı b oksodu. X şs değşke mome üee oksou le gösel. B X şs değşke oje ve mek olm göe mome üee oksou bulubl. Tım ome üee okso: X oğuluğu ol b şs değşke olsu. ğe h h lığıdk he b değe ç şs değşke beklee değe mevcu
se, e beklee değe X mome üee oksou olk dldıılı. ome üee okso: e e e e d ğe b mome üee okso mevcu se, oj cvıd süekl olk üevleebl. Çükü h h lığı = değe çe. ome üee okso pmees oksoudu. Bu pmee geçek b lmı oku, sdece momele bellemese dımcı ol memksel b çı. Kukl değşked. oksou, = ç olu. Teoem: ğe X şs değşke mome üee oksou se ve d d olk ımlmış se olu. İsp: İegl şe lıd üev lıbleceğ vsımı lıd, mome üee oksou e göe üev; d d ve = lııs; d d d d e e d d e e d d d e Bu klşım -c üev ç geelledğde, d e. d
3 Souç olk; b dğılımı momele, mome üee oksou p değşke e göe üev lık elde edlebl. Fokso ede mome üee okso dedğ çıklblmek mcı le e ee bu oksou clu se çılımı koulu. clu ses: emkek oksolı se çılımlı kousudk Tlo eoem!...!...! özel olk lık oluşuulmuş sesd.!...!...! Bud mclu sese e oksou ugulmsıı ede değee kısmsıdı. omele şöle bulubl; e oksou mclu sesle çılıs,...!...! e bud d,...!...! e se çılımı momelee göe elde edl. '!...!...!...!...!...!...! e Bu duum, de üev lııp dh so koulk elde edlebleceğ b dğe kııdı. Öeğ bc mome bulmk ç e göe bc üev lıı; d d 3!... 3! 3! bud = olduğud olk buluu. İkc mome seo se d d d d
! = 6 3... 3!! Bud sölemes geeke b şs değşke momele bellemek ç b mome üee oksou clu ses kullmkk sıl güçlük mome üee oksouu bulmk değl bu clu ses ugulmkı. Bzı dğılımld, büü değele ç hesplbl; bzı dğılımld se, sdece bell b lıkk değele ç bulubl. Öeğ üsel dğılım. ome üee oksou kullılbleceğ kould b de bğımsız şs değşkele oplmıı dğılışıı bellemesd. ğe mevcu se, X dğılımı eşsz ve m olk belle. ğe k şs değşke ı mome üee okso shp se, bu şs değşkele ı olsılık dğılımı shp. Bzı duumld e d egl ve e oplmı mevcu değld. Böle duumld X mome üee okso bulumz. Dğe b deşle he dğılımı mome üee oksou oku. Bu p dğılımld mome bulmk ç kkesk okso kullılı. 3.9. ome Tüee Foksoll İlgl Teoemle Teoem: c b sb sı olmk üzee c mome üee oksou; c c d. c c c İsp: c e e d e d c d. Teoem: B X şs değşke mome üee oksou olsu, c sb b sı olmk üzee c mome üee oksou; c c e d. c c c c İsp: c e e e d e e d e Teoem: d. b şeklde ıml şs değşke mome üee oksou; b e d. b b b İsp: e e e e e e e b d. 4
Teoem: B X şs değşke mome üee oksou olsu, üzee; / b e e / b d. olmk b Bu eoemde ve b olk lıı se / / e / olckı. Bu okso sd oml değşke mome üee oksou olk d bl. Teoem: ğe k şs değşke ı mome üee okso shpse bu k şs değşke ı dğılım shp. X şs değşke mome üee oksou ve Y şs değşke mome üee oksou olsu, eğe h h lığıdk üm değele ç se X ve Y şs değşkele ı olsılık dğılımı shp. İsp: X şs değşke dğılımı ; b e olsu. Bu se olmsı oksoudu. b e e u olsu b şeklde ve oml dğılımlı e / b / e e b ve vsı göe; d. ol oml b dğılımı mome üee Teoem: X ve Y bğımsız ve ı dğılım shp k esdü değşke ve bulı mome üee oksolı sısıl ve olsu z şeklde ıml b z esdü değşke mome üee oksou; z d. z İsp: e e e e z X ve Y bğımsız olduklıd; olu. z z e e ğe bu eoem e esdü değşke ç geşlel se; z.... 5
Tım B şs değşke oksouu mome üee oksou: X şs değşke he hg b oksou u se u u u e u d u e olu. u e d. 3.8. Amek Olm Göe ome Tüee Fokso B X şs değşke ked mek olmsı göe de mome üee oksou bulubl. Bud geellkle le de edl. e e e d. Bu göe keskl ve süekl b X şs değşke oje göe mome üee oksou blos bu okso üee okso kolc bulubl. e 3.8.3 Fköel ome Tüee Fokso le çpılk mek olm eıdk mome X şs değşke köel mome üee oksou eğe beklee değe mevcus G le ımlı. Bu okso, d d [... ] eşlğ sğl. şlğ sğ ı -c deecede köel mome. ğe X keskl b şs değşke se, X zılbl. Bu dede kuvve ses ksılı olsılıkl olduğu ç köel mome üee okso, olsılık üee okso olk dldıılı. Bud =k olsılığıı elde emek ç d k! d k k k Bu oksou çeşl deecelede üevle lııp, ee koduğud şs değşkee lşk Fköel momele buluu. Fköel momele Bc üev; G d d d d G F ' k le gösel. 6
buluu. İkc üev; G buluu. -c üev; F... Fköel mome özellkle keskl değşkelede öemld. 7