BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLERĠ

Transkript

1 BÖLÜM 4: ġans DĞĠġKNLRĠNĠN BKLNN DĞR V MOMNTLRĠ B öek ve set veya eeysel ağılım, mekez eğlm, yayılımı, çapıklığı ve basıklığı gb özellkle aalz eleek taımlaablmekte. B olasılık ağılımı a beze bçme kaakteze elmekte. Rassal b eğşke aakütle ağılımı ç taımlayıı ölçüle paametele. Bu bölüme assal eğşkele ağılımlaı ç taımlayıı ölçüle ele alıaaktı. Taımlayıı statstkle lk ola mekez eğlm ölçülee özellkle beklee eğe, yayılım ölçülee se vayas eleeekt. Dğe mekez eğlm ve yayılım ölçülee se aha az eğleekt. Ayıa çapıklık ve basıklık ölçüle özet, olasılık ağılımlaıı mometleyle ola lşks e eleeekt. Beklee eğe ya a matematksel beklet kavamı, matematğ statstk blme yaptığı b katkı olaak üşüülebl. Matematksel beklet kavamı şas oyulaıa oğmuştu. yalı bçmyle, b oyuuu kazaableeğ mkta le kazama olasılığıı çapımıı. Sözgelm büyük öülü 57TL oluğu b çeklştek. blette be sahp ola b kş matematksel beklets 57*. =,57 TL olu. Beklee eğe taımı ç geel b yaklaşım, olasılıklaı ekasla kkate alıaak yapıla youmu le sağlamaktaı. Bu youmlamaa sosuz sayıa aışık tekalı bağımsız eey geçekleştlğ ve hehag b olayı ç, olayıı geçekleştğ uumlaı olasılığıı oluğu vasayılmaktaı. B şas eğşke P P,..., P,..., P, olasılıklaıa kaşılık gele, eğelee b alablğ ve tek b oyu ç kazaıla mktaı gösteğ üşüülsü. Bu uuma P olasılığıyla bm kazaılmaktaı. Fekas youmlamasıyla, bu oyu süekl olaak oyaığıa kazaç eğe olasılığı atık,,..., ç geçel. Ayıa oyu başıa otalama kazaç mktaı P P olaaktı. Bu uum tüm olaak ele el. Bu souu aha y kavayablmek ç, N çok büyük b eğe olmak üzee, oyuu N ea oyaığı vasayılsı. Bu uuma yaklaşık olaak NP oyua mkta kazaılı ve N oyua toplam kazaç mktaı N NP olu. Oyu başıa otalama kazaç mktaı se 8

2 N NP N N P olaak ele el. Oyu başıa otalama kazaç mktaıı matematksel statstktek geel kaşılığı beklee eğe aes ve b şas eğşke ç matematksel beklet ya a beklee eğe le göstel. 4. BKLNN DĞR ve ÖLLĠKLRĠ B şas eğşke ya a bu şas eğşke hehag b g oksyouu beklee eğe, eğşke tüm eğele üzee olasılık oksyou otalama eğe bulumasıyla ele el. Beklee eğe teok ya a eal eğe. Hehag b eemee şas eğşke beklee eğe alması geçekte bekleemez. Keskl şas eğşkele ç geel yaklaşımı yukaıa açıklaa beklee eğe kavamı, keskl ve süekl şas eğşkele ç aşağıa ayı ayı elemşt. Keskl şas eğşke alableeğ mümkü eğele,... se, şas eğşke beklee eğe, P şekle taımlaı. Başka b eyşle beklee eğe, şas eğşke he eğe kee at olasılığıyla ağılıklaıılığı, alableeğ tüm mümkü eğele ağılıklı otalamasıı. Öeğ, olasılık kütle oksyou P P şekle velmşse beklee eğe olaak ele el. Bu a alableeğ k mümkü eğe ola ve sıaa otalamasıı. Dğe taata eğe se P 3, P olu. Bu souç k mümkü uum ola ve ağılıklı otalamasıı. P P ç eğee eğee göe k kat azla ağılık velmşt., oluğu Bu bakış açısıyla süekl b şas eğşke beklee eğe asıl hesaplaması geektğ sousu akla gelebl. Öeğ, olasılık yoğuluk oksyou le taımlaa ve oksyou [,] aalığı ışıa ola b şas eğşke olsu. Buaa şas eğşke,,,...,, eğele ala keskl b şas eğşke Y olaak ele alıabl. şas eğşke ekaslaıı kkate alaak olasılıklaı k, k aalığıa ataya oksyo, 83

3 P Y k Pk k k k olsu. Bu ae büyük eğele ç se yaklaşık olaak, P Y k k k k şekle taımlaı. Ağılık mekez youmua göe Y beklee eğe (Y), beklee eğe () e yakısamalıı. Yukaıak eştlk kullaılaak, k PY k k Y k k k ele el. Bell tegal taımıa, büyük eğele ç sağ taatak ae ç yaklaşık olaak, souu buluu. Taım (Beklee eğe): B şas eğşke olasılık oksyou beklee eğe, keskl ve süekl şas eğşkele ç sıasıyla, olsu. Şas eğşke ( ) ( ) (4.) ( ) ( ) (4.) hehag tptek b şas eğşke ç, F F ( ) (4.3) eştlkle le taımlaı. Bu eştlk geçekte şas eğşke b ağılıklı otalamasıı. Buaa ağılıklaı olasılıkla taımlamaktaı. Dğe b ae le şas eğşke taımlaığı mekez ekseek eğe. Bölüm e olasılık ç P() kullaılmıştı ve P N yoğuluğuu ağılık lm bçmey. Buaa N aakütleek mutlak ekası göstemekte. Böylee keskl şas eğşkele ç N P N N N N vele b buluu. le ele bu so omül guplaıılmış vele ç atmetk otalama omülüe ekt. ştlk (4.) kkate alıığıa solu b beklee eğee sahp he şas eğşke ç, 84

4 ( ) (4.4) yazılabl. Dğe b ae le şas eğşke beklee eğe aakütle otalamasıa eştt. Beze b yaklaşımla, süekl şas eğşkele ç (), le göstele oksyou ağılık mekez ve ele elebl. B şas eğşke beklee eğe, şas eğşke olasılık oksyoua ya a bkml ağılım oksyoua göe taımlaığı ç şas eğşkee at b ve set eeas alımaa bu oksyolaa göe ele elebl. Beklee eğe taımlı olablmes ç toplam ya a tegal şlemle yakısak olması geekl. Daha öe beltlğ üzee beklee eğe mevut olmayabl. Sou, se toplamlaıı veya tegalle ıaksak ya a belsz olması poblem. B şas eğşke beklee eğe, a) solu b eel sayı olabl, b) sosuz (tegal ya a toplam souu ıaksak se) olabl, ) va olmayabl (tegal ya a toplam souu belsz se). Süekl eğşkelee beklee eğe va olmayalaa b öek Cauhy ağılışı göstee şas eğşke. Cauhy ağılımıı olasılık yoğuluk oksyou,, olup, bu şas eğşke ç,. l belszlğ otaya çıktığı ç beklee eğe yoktu. Beklee eğe sosuz oluğu uum ç velebleek öek se paametel Paeto ağılımıı. Süekl şas eğşke beklee eğeek tegal ç taımlaa bu özellkle keskl şas eğşke beklee eğeek se toplamlaı ç e geçel. Teoem (Sıılı assal eğşkele ç beklee eğe otaya çıkması): He se vaı. Beklee eğe şleme at temel özellkle aşağıak teoem le velmşt. Teoem: şas eğşke aakütle otalaması ve a le b sabt sayıla olmak üzee:. a a. a a 3. p p ç eğe (4.5) (4.6) p haç (4.7) 85

5 4. Geele g a b (a ve b sabt) şekle se Buu hae geçel. t. olu, öeğ ( ) ç Özellk () ve () b souu olaak taımlaableek a b açıklamıştı. İspatla ç bkz. k4.. ( ) eştszlğ uumu se Kısım 4.4 e Beklee eğe le lgl ğe özellkle lek kısımlaa açıklaaaktı. Beklee eğe, şas eğşke aakütle otalamasıa eşt oluğua souç olaak b ye ölçüsüü. B soak kısıma şas eğşkele ç kullaılableek ğe ye ölçülee bazılaı taıtılaaktı. 4. TML YR ÖLÇÜLRĠ Şas eğşke ağılımıı alı bakış açılaı le taımak amaıyla aklı ye ölçüle kullaılmaktaı. Bu ye ölçülee bazılaı aşağıa taıtılmıştı. Taım (Katl): şas eğşke ya a oa at ağılımı p- katl p le göstel ve F p p koşuluu sağlaya e küçük şas eğşke eğe. ğe süekl b şas eğşke se p- katl F p p koşuluu sağlaya e küçük şas eğşke eğe. Taım (Meya): şas eğşke ya a oa at ağılımı.5- katl.5 le ya a M le göstel ve meya olaak alaıılı. Geel olaak: M ya a P M P taımlaı. ğe süekl b şas eğşke se meya: M. M Meya veya otaa, b ekas ağılımıa ekaslaı k eşt paçaya böle şas eğşke eğe. B şas eğşke e çok astlaa eğee mo e. B ekas ağılımıa, özellkle homoe olmaya ağılımlaa be azla mo eğe buluabl. Mo eğe olmaya ağılımla a vaı. Taım (Mo): şas eğşkee at olasılık oksyouu oktasıa b maksmum eğe ( ) va se eğe mo olaak alaıılı. ğe süekl b şas eğşke se: B keskl eğşke mou, ekaslaı maksmum oluğu eğşke eğe. yapa şas eğşke eğe. maksmum 86

6 Yukaıa açıklaa ye ölçüle aklı eğele alableeğ gb ağılım bçm özel b uumuu taımlaya smetk ağılımlaa he üç ye ölçüsü e ayı eğee sahpt. Taım (Smet): Olasılık oksyou ç, özellğe sahp ola ağılımla oktasıa ya a ğe b eyşle ğe b oğusua göe smetkt. ağılımı oktasıa göe smetk ve aakütle otalaması solu se olmalıı. 4.3 VARYANS Şas eğşke ağılımı le lgl öeml b ölçü gubu a yayılım ölçüle. Aşağıa bazı öeml yayılım ölçüle kısaa açıklamıştı. Taım (Vayas): b şas eğşke ve le göstel. Keskl ve süekl şas eğşkele ç sıasıyla, V V se şas eğşke vayası V() le ya a (4.8) ve hehag b şas eğşke ç se, (4.9) V F F (4.) şekle taımlaı. Vayası mevut olablmes ç toplam ses ya a tegal yakısak olması geekl. B şas eğşke beklee eğee oluğu gb vayası a şas eğşke olasılık oksyoua ya a bkml ağılım oksyoua göe taımlaığı ç şas eğşkee at b ve set eeas alımaa bu oksyolaa göe taımlaabl. Gözlee eğele otalamaya göe uzaklaşmaya meyll şas eğşkee göe eğele otalama vaıa ola b Y şas eğşke vayas eğele kaşılaştıılığıa şas eğşke vayası aha büyük eğele alığıa vayas b yayılım ölçüsü olaak kullaılmaktaı. Vayası omülle eleğe egat olmaya eğelee sahp b ölçüt oluğu göülebl. Vayas şas eğşke le ayı ölçü bme sahp eğl. Vayası bu eksklğ gee yayılım ölçüsüe se staat sapma e. Taım (Staat sapma): şas eğşke staat sapması le göstel ve le taımlaı. V (4.) Pek çok uygulamaa şas eğşke le ayı ölçü bme sahp oluğu ç vayas yee teh el. Vayasa at temel bazı özellkle aşağıa velmşt. Teoem: şas eğşke aakütle otalaması solu ve sabt sayı olmak üzee: 87

7 a. V (4.) b. V V (4.3). V V İspatla ç bkz. k4.. (4.4) Teoem souua göe se, b asal eğşke eğele sabt b sayıyla çapılması, vayası a ayı sabt sayıı kaesyle çapılması emek oluğua, ağılım yayılımıa a oa uygu b eğşmeyle kaşılaşılı. B assal eğşke eğelee sabt b sayıı eklemes bütü eğele sağa ya a sola kaymasıa yol açtığıı ama ou ağılım yayıklığıı hç etklemeğ göülmekte. Vayas, asmetk ağılımla ç şas eğşke beklee eğe etaıak yoğulaşmasıı zayı b ölçütüü. Buula blkte, smetk ağılışla ç yetel b ölçüü. Vayas, özellkle asmetk ağılışla ve yoğuluğu küçük b kısmıı otalamaa olukça uzak oluğu ağılımla ç yetesz b yayılım ölçüsüü. B şas eğşke vayasıı he zama va olması geekl eğl. 4.4 ġans DĞĠġKNĠNĠN FONKSĠYONUN BKLNN DĞRĠ Bazı uumlaa oğua şas eğşke le eğl ou b oksyou çıka şas eğşkele le lglel. Beklee eğe opeatöü, key b oksyou p g olaak taımlaı. Patkte g() y g şekle otaya., geellkle assal eğşke bçok oma buluabl. Öeğ,,, omlaıa buluabl. Bu geeksm geellkle aaştımalaa şas eğşkee at ölçü bm eğştlmes geekl oluğua otaya çıka. Öeğ ısı Celsus bme ölçümleğe ve bu vele Fahehet e öüştüülüğüe beklee eğe bu öüşüme asıl etkle? Buaa ye tamlaa şas eğşke Fahehet ölçü bme sahpt ve Celsus le aalaıa, a ve b sabtle olmak üzee, g ab eğşkele ç, a b a b a b b lşks vaı. Souç olaak, süekl şas a (4.5) ele el. Beze b souç keskl şas eğşkele ç e buluabl. Beklee eğe alma şlem oğusal b opeasyou. Bu eele şas eğşke oğusal b oksyouu beklee eğe, sabtle etks kkate alıaak kolaya buluabl. ( a b ( ) (4.6) Teoem: a b) 88

8 ( oluğua göe, İspat: a b) a b ( a b) a b a b ( Taım:, olasılık oksyou () ola b şas eğşke olsu. Şas eğşke b oksyouu g () beklee eğe keskl ve süekl şas eğşkele ç sıasıyla, taımlaı. g ) ( g( ) ( ) (4.7a) g ) ( g( ) ( ) (4.7b) Beklee eğe otaya çıkması ç saee ve saee g ( ) olmalıı. Teoem: b şas eğşke, () e ou olasılık oksyou ve,,, be sabt sayı se olmak üzee,, İspat ç bkz. k4.3. g oksyolaıı sabtlele çapımlaıı toplamıı beklee eğe: g( ) g ( ) (4.8) Teoem: b şas eğşke, a ve b se sabtle olsu. Beklee eğele mevut g ( ) ve g ( ) oksyolaı ç, eğe tüm eğele ç g ( ) se g ( ) (4.9) eğe tüm eğele ç g ) g ( ) se g ) g ( ) ( (. (4.) eğe tüm eğele ç g b a g( ) b se a ( ). (4.) eştszlkle geçel. şas eğşke oğusal olmaya b oksyouu beklee eğe le lglelğe se zleebleek k yol vaı. İlk seçeek oğua eştlk (4.7) kullaılmasıı. İk yol se Y g le taımlaa şas eğşke olasılık oksyouu, y g ) y ) bulaak, bkz Bölüm 7, ( y ( y) y (4.) 89

9 eştlğe ele etmekt. g (), kokav veya koveks oluğua, Jese eştszlğ oksyou beklee eğe ve assal eğşke beklee eğe oksyou aasıak lşky taımlamaa kullaılabl. Çok eğşkel ağılımla ç beklee eğe ve vayasa at özellkle Kısım 4.8 e elemşt. 4.5 STANDART ġans DĞĠġKNLRĠ İstatstksel aaştımalaa staat şas eğşkele le çalışmak bazı kolaylıkla sağlamaktaı. Staat şas eğşkele beklee eğele ama sıı, vayaslaı se b eğe alı. Hehag b ağılıma sahp şas eğşke, beklee eğee çıkaılıp ke staat sapmasıa bölüeek staatlaştıılı. Staat şas eğşkele geellkle le göstelle. şas eğşke beklee eğe, staat sapması ola hehag b ağılıma sahp olsu. Bu eğşkee at staat şas eğşke, (4.3) öüşümü le ele el. Staat şas eğşke beklee eğe, ama sııı. Vayası se V ama b. öüşümü oal olasılık oksyouu geel yapısıa hehag eğşklk oluştumaz. Dğe b eyşle, hehag b eğee at olasılık le kaşılık gele eğe olasılığı b be eştt. He b eğee b ve yalız b eğe kaşılık gel. öüşümü le eğşke ölçeğ oal ölçekte staat ölçeğe öüşmüş ye (koum) ölçüsü e mekezlemş olu. 4.6 OLASILIK ÜRĠN ġġtsġlġklr B olasılık ağılımıı tamame belleyeblmek ç şas eğşke olasılık oksyouu blmes geekl. Buula blkte, şas eğşke beklee eğe ve staat sapması blyo se olasılık ağılımı tam olaak blmese ah şas eğşke le lgl bazı öeml blglee ulaşılabl. Bu amaçla, eğe şas eğşke solu beklee eğe ve staat sapmaya sahp se, beklee eğe kavamı kullaılaak olasılıkla üzee bazı eştszlkle ele elebl. Bu eştszlkle e öemlle Chebyshev ve Jese eştszlkle olaak bl Chebyshev Ģtszlğ 9

10 Chebyshev teoem bell b olasılık ç alt sııı bulumasıa mka ve. Bu sıılaı tam olasılık eğelee eşt ya a yakı olması geekl eğl. Bu eele b olasılık eğee yakısamak ç geele bu teoem kullaılmaz. Bu teoem aa kullaım alalaıa b Büyük Sayıla Kauuu. Teoem: Şas eğşke olasılık oksyou ğe g() mevut se he b pozt k sabt ç; g ve egat olmaya b oksyou g olsu. P g k (4.4) k İspat: Şas eğşke ç A : g k olsu. Bu uuma, g g g g A yazılabl ve eştlğ sağıak he k tegal e egat olmaya eğelee sahp oluğua, ğe g g A A se bu uuma k eğe atımaz. g k Buaa A Pg A spat tamamlaı. A A g olaağı ç P k oluğua, g k P g k g yee k yazılması eştszlğ sağ taaıı Açıklaa teoem, Chebyshev eştszlğ olaak alaııla b eştszlğ geellemş şekl. B şas eğşke olasılık ağılımıa bağımsız, saee beklee eğe ve vayas blgle kullaılaak şas eğşke le lgl bazı olasılık eştszlkle ele elebleeğ, Rus matematkçs Chebyshev taaıa spatlamıştı. Teoem: şas eğşke b olasılık ağılışıa ve solu vayasa sahp oluğu vasayılsı (bu uuma mutlaka solu b aakütle otalaması vaı). Bu koşul altıa he k ç, a) Makov eştszlğ, g k P. k, alıaak, b) Makov eştszlğe özel uum olaak alıaak, P k k k 9

11 ve k alıaak, P ya a bütüleye ayık olay ç P ele elebl ve souç olaak P. (4.5) buluu. Buaa eğe be büyük olaak seçl. Yukaıa vele teoeme göe le sıasıyla, şas eğşke otalaması ve staat sapması se, hehag b pozt sabt ç otalamaı k yaıa staat sapma aalığıa b eğe alablme olasılığı e az kaaı. Öeğ, şas eğşke otalamaı he k yaıa, k staat sapma aalığıa b eğe alma olasılığı e az ; 5 staat Sapma aalığıa b eğe alma olasılığı ; 3 staat sapma aalığıa b eğe alma olasılığı olu. le ele souçla şas eğşke staat sapmasıı, eğşke yayılımıı etkleye öeml b aktö oluğuu beltmekte. Chebyshev teoem veğ olasılığı b alt sıı oluğu açıktı. Bell b şas eğşke otalamaı k yaıa staat sapma aalığıa b eğe alma olasılığıı olup olmaığıı blemez ama Chebyshev teoem bu olasılığı keslkle e büyük e küçük olamayaağıı söyle. B şas eğşke ağılımı blse aak o zama tam olasılık hesaplaabl. ġekl 4. Asmetk b ağılım ç Chebyshev eştszlğ Chebyshev eştszlğ öeml olmasıı ee, hehag b şas eğşke ç uygulaabl olmasıı. Böyle geel b souç ele elmese kaşı bu eştszlk le ele ele sııla, bell b 9

12 ağılıma ele ele sııla kaa a eğl. Bu eele olasılıklaı tahm elmes ç patk b yötem sağlamaz. Öeğ P h h eştszlğ sağ taaı geellkle sol taaıa aha büyüktü. Bu bakış açısıyla bu eştszlk le vayas (ya a staat sapma) kavamlaı uygu b şekle youmlaablmekte ve ayıa büyük sayılaı zayı kauu spatıa kullaılablmekte Jese Ģtszlğ Şas eğşke g le taımlaa b oksyouu geçek ağılışı hesaplamaa g g aasıak lşk belleebl. ştlk (4.5) le g ab g g le oğusal öüşümüe oluğu blmekte. Fakat bu eştlğ başka g oksyolaı ç kullamak yaygı b yalıştı. Aslıa bu eştlk oğusal olmaya g ç olukça ee otaya çıka. Öeğ, mko elektok paçala üete b maı gülük üetm hee 4 çp üetmek oluğu akat aışık üç güe sıasıyla 4, 6 ve 8 çp üettğ vasayılsı. Bu üç güü otalama üetm 6 çpt ve hee eğee ulaşılablmes ç bu otalamaı 4 katı üetm yapılması geekmekte. B başka bakış açısı a şuu: beltle 3 güe üetm mktaı sıasıyla 4 4 6, ve kat azla olmalıyı. Bu eğele otalaması alıığıa, kat azla üetm yapılmalıı. Buaa, geçekleştlmş üetm mktaıı ve üç çıktı eğe 6, 4 ve 3 ü eşt olasılıkla alablmekte. Yukaıak aele pozt eğele ala b şas eğşke le açıklaısa V olmaıkça he zama, eştszlğ geçel. Bu eştszlk souçla tüm koveks Taım (Jese ştszlğ): g, aalığıa g g oksyolaı ç geçel, bkz k4.9. uumuu göstemekte ve aşağıak g koveks b oksyo ve b şas eğşke olmak üzee, g. (4.6) İk kez tüevleeble zayı koveks, g oksyou A kümese, A, taımlı tüm le ç g se g se güçlü kovekst., eğele A kümese ala b şas eğşke ve g oksyou a güçlü koveks se güçlü eştszlk g g geçel. 93

13 ġekl 4. Jese eştszlğ Öeğ yukaıak şekle saee a ve b eğele ala b şas eğşke ç bu souçla göstelmşt. şas eğşke a ve b eğele sıasıyla 3 4 ve 4 olasılıkla almaktaı. g oksyouu koveks olması olayısıyla şeklek k okta b oğu le bleştleblmekte. Böylee a, ga a gb b, ye b oğu çzlse, , g a b, ga gb a, ga b, gb g oksyou gağe bu okta g g g olu , oktasıı yukaısıa ye alı. Böylee Bast b öek e g. Bu oksyo tüm eğele ç Bu eştszlk g oluğua kovekst, V eştszlğ oğu oluğuu kaıtlamaktaı Büyük Sayılaı ayı Kauu,...,,, he b otalaması eğşkele olsu. Bu uuma hehag b ç, ola bağımsız ve eş ağılımlı aışık şas P, (4.7) Ġspat: Bu spatı yapılablmes ç ek olaak şas eğşkele solu b vayasa oluklaı vasayımı eklemel. Böylee, ve Va oluğu ç Chebyshev eştszlğ le, P sahp 94

14 ele el ve spat tamamlaı. Öeğ bbe bağımsız eeyle geçekleştlğ vasayılsı. hehag b olay ve P() se hehag b eemee olayıı meyaa gelme olasılığı olsu. ğe şekle taımlaısa, göste. P -eemee olayı geçekleşe ş se - eemee olayı geçekleşe emş se aes lk eemee olayıı kaç kez otaya çıktığıı oluğu ç büyük sayılaı zayı kaua göe hehag b pozt ε ç, lk eemee olayıı otaya çıktığı uumlaı oaıı olasılığı, attıkça sııa yaklaşı. 4.7 MOMNTLR Momet tem zk blme gelmekte. Momet b P() e akıı ε a azla olması ekasıı (kuvvet) bm uzaklıkta oluğu b okta üzee oluştuuğu etk. Mometle, b şas eğşke ağılışıı kes şekl belle. B ağılımı mometle, şas eğşke kuvvetle beklee eğe. Mometle geel olaak üç gupta ele.. Oe göe mometle. Mekez mometle 3. Hehag b a oktasıa göe mometle Taım (Oe göe momet): şas eğşke momet, mometle sıası le, le göstele, sıı oktasıa göe - oksyouu beklee eğe. Keskl ve süekl şas eğşkele ç oe göe ( ) ( ) (4.8) ( ) (4.9) eştlkle le taımlıı. çok kullaıla k özel uum: ' ( ) olu. So eştlk, şas eğşke beklee eğee başka b şey eğl. Taım : aese, ağılımıı aakütle otalaması ya a kısaa şas eğşke otalaması e ve le göstel. Taım (Mekez momet): şas eğşke le göstele, aakütle otalamasıa göe - momet, oksyouu beklee eğe,,,, ç [( ) ] ( ) ( ) (4.3) 95

15 [( ) ] ( ) ( ) (4.3) Teoem: eğe va ola he şas eğşke ç ve eştlkle ama geçel. İspat: Mekez b momet; [( )] ( ) ( ) ( ) ( ) Bu souç taımlayıı statstkte ble, atmetk otalamaa sapmalaı toplamıı sıı olmasıı teok spatıı. B ağılımı tüm mometle le lgl blg, bu ağılımı eşsz olaak belle. Otalama olayıak k momet, b assal eğşke ağılımıı yayılımıı b gösteges oluğua statstkte özel b öem taşı. Mekez k momet, şas eğşke V vayasıı. B ağılımı vayası, ağılımı otalama etaıak yoğuluğuu ölçümüü veğ aha öe açıklamıştı. Taım (Hehag b a oktasıa göe mometle): şas eğşke b a oktası etaıak - momet, a oksyouu beklee eğe. Taım: ğe a a (4.3) a a (4.33) mevut se, Taımı b souu olaak eğe eele V valığı, k ç tüm k mometle mevuttu. mevut se mevuttu ve souçta va oluğuu belt. V buluu. Bu Teoem: Mekez k momet, ya vayas, ama hehag b a oktasıa göe k eeee momette aha küçük veya oa eştt. Bua vayası mmum olma özellğ e: a ya a eşeğe olaak M a ( a) ( ( )). (4.34) İspat ç bkz. k4.4. Bu yaklaşım le hehag b öek ve set ç paametes KK tahmleys oluğu göülebl. Teoem: ğe b şas eğşke se; M a a me. (4.35) 96

16 Mekez Mometle Oe Göe Mometle Cse Hesabı Hesaplama kolaylığı açısıa mekez mometle oe göe mometle se buluabl. Oe göe mometlele mekez mometle aasıak lşk Bom teoem kullaılaak ele elebl. Blğ gb bom açılımı mekez mometlee kullaılığıa; ) ( souç olaak, (4.36) ele el. Teoem: ğe alıısa ya a V İspat ç bkz. k Oe Göe Mometle Mekez Mometle Cse Hesabı Oe göe mometle e mekez mometle se hesaplaabl ve ) ( ) ( (4.37) olaak buluu Faktöyel Mometle Özellkle keskl şas eğşkele mometle bulumasıa ayalı ola b yaklaşım, ağılımı aktöyel mometle. İlk olaak şas eğşke kaes ele alısı; bu ae beklee eğe alıaak, Souç olaak;

17 buluu. Bu yaklaşım aha büyük mometle ç e geçel. Öeğ şas eğşke üçüü aktöyel momet olup, üçüü aktöyel momet kullaılaak, 3 3 buluabl. Geel olaak - aktöyel momet olaak taımlaı Mometlee Dayaa Asmet ve Basıklık Ölçüle B olasılık ağılımıı bçm le lgl ek blgle, üçüü ve öüü mekez mometle yaımı le ele elebl. Bu ek blgle geellkle ağılımı çapıklık ve basıklığı olaak alaıılı. B ekas ağılışıı otalama eğee göe smete ayılış eeese asmet ya a çapıklık e. Asmet ölçüle ç beklee temel özellkle: a) Değşke ölçme bme bağımsız olmalı b) Dağılım smetk oluğua sıı eğe almalı şas eğşke üçüü mekez momet, 3 3 (4.38) kullaılaak asmety ölçeblmek ç ölçüsü Peaso taaıa tek molu ağılımla ç bulumuştu: 3 3 (4.39) 3 3 Bu paamete, eğşke ölçü bme bağımsızı. Smetk ağılışlaa ve asmetk ağılışlaa eştszlğ ama sağlaı. paametes şaet eksklğ gemek ç Fshe taaıa staatlaştıılmış üçüü momet ya a ğe aıyla çapıklık katsayısı öelmşt: 3 3 (4.4) 3 3 paametes e eğşke ölçü bme bağımsızı. Smetk ağılışlaa olup, sağa çapık ağılışlaa, sola çapık ağılışlaa eştszlkle sağlaı. 98

18 ġekl 4.3 Smetk ağılımla 3 3 oluğu hale smetk olmaya ağılışla a mevuttu. Buu ee aşıı büyüklüktek uç eğele atmetk otalamaya etk ep, ou büyütüp küçültmele. eğee oluşa bu eğşme 3 e yasımaktaı. ġekl 4.4 Asmetk ağılımla 3 B ağılışı mouu, ayı beklee eğe ve vayasa sahp b omal ağılımı moua göe aha aşağıa ya a aha yukaıa bulumasıa basıklık akı e. Dağılışı tepe oktası omal ağılıma aha yüksekse sv, alçaksa basık ağılımı. Sv ağılıma beklee eğe etaıa yoğulaşma aha azlaı. şas eğşke öüü mekez momet, 4 4 (4.4) kullaılaak basıklığı ölçeblmek ç ölçüsü Peaso taaıa tek molu ağılımla ç bulumuştu: 4 4 (4.4) Bu paamete eğşke ölçü bme bağımsızı. Nomal ağılışlaa 3, omale göe basık ağılışlaa 3, omale göe sv ağılışlaa se 3 eştszlkle sağlaı. Fshe basıklık ölçüsü se 3 (4.43) olup eğşke ölçü bme bağımsızı. Nomal ağılışlaa, omale göe basık ağılışlaa, omale göe sv ağılışlaa eştszlkle sağlaı. 99

19 B ya a b kaç tae momet ağılış hakkıa veğ blg sıılıı. Şekl 4.5 lk öt momet eşt ola k ağılımı göstemekte. Buula blkte mometle bütü b set,, ağılımı tam olaak belle. Şas eğşke, staat eğşkee öüştüülüse oluğu ç eğşke mekez mometle le oe göe mometle eştt. Bu özellk kullaılaak eğşke - mekez momet, eğşke - mekez momet se ae elebl ( z) ( ) [ ( ) ] (4.44) µ ( ) µ ( ) [ ( )] ştlkte alıığıa V( ) ( z) ele el. Göülüğü gb b şas eğşke staatlaştıılması otalama ve vayasıı etklemekte akat ( z) ( ) ( z) ( ) staatlaştıılmış üçüü ve öüü momet etklememekte. 4.8 ÇOK DĞĠġKNLĠ DAĞILIMLAR ĠÇĠN BKLNN DĞR V MOMNTLR Beklee eğe ve vayas kavamlaı çok eğşkel uum ç e geelleebl. Öeğ b şas eğşke ve gb k şas eğşke solu sayıak şas eğşkele b oksyou z,,, z, ya a aha geel olaak,,, olaak otaya çıkabl. Bu gb uumlaa geeksm uyulableek bazı öeml teoemle aşağıa velmşt. Geellkle k şas eğşkel uum ç vele teoemle eğşkel uumla ç geelleebl. ġekl 4.5 İlk öt momet eşt k olasılık ağılımı 4.8. Çok DeğĢkel Dağılımla Ġç Beklee Değe

20 Teoem: ve şas eğşkele,, bulaı otak olasılık oksyou olsu. ve beklee eğe, keskl ve süekl şas eğşkele ç sıasıyla,, (4.45),, Teoem: ve şas eğşkele, ağılımla le süekl şas eğşkele ç sıasıyla,,. (4.46), bulaı otak olasılık oksyolaı se ve maal blyosa ve şas eğşkele beklee eğe, keskl ve (4.47) Teoem: ve şas eğşkele,. (4.48), bulaı otak olasılık oksyou se: (4.49) Ġspat: Saee süekl şas eğşkele ç geçekleştleekt. ve şas eğşkele alıklaı eğele sıası le a,, ve b,, olsu, a b,,,,,,, Yukaıak teoeme göülüğü gb beklee eğe şlem oğusal b şlem. Dğe b ae le, şas eğşkele toplamlaıı beklee eğe, ama ayı ayı beklee eğele toplamıa eştt. Bu eştlğ geçel olablmes ç şas eğşkele bağımsız olması şat eğl. Bu teoem aha geel yapısı aşağıak taıma velmşt. Taım (Beklee eğe oğusallık özellğ): sabtle olmak üzee,,,, k şas eğşkele ve k b b,,, le b k k k k (4.5) eştlğ ama geçel.

21 Teoem: ve şas eğşkele, eğşkele hehag b eğşkele ç: Teoem:, g, g,,, bulaı otak olasılık oksyou se şas g, oksyouu beklee eğe keskl ve süekl şas (4.5) g, g,,. (4.5),,, şas eğşkele,,,, bulaı otak olasılık oksyou ve,, sabtle olmak üzee şas eğşkele hehag b g,,, beklee eğe keskl ve süekl şas eğşkele ç: eştlğ sağlaı. oksyouu g,, g,, (4.53) 4.8. Çok DeğĢkel Dağılımla Ġç Çapım Mometle Bu kısıma k şas eğşke otak ağılımı kkate alıaak şas eğşkele çapım halek mometle ele eleekt. Taım (İk şas eğşke oe göe çapım momet): ve şas eğşkele otak olasılık oksyou mometle, se o vaıak - ve s- eeee oe göe çapım, s le göstel ve süekl şas eğşkele ç sıasıyla; s s, s, s oksyouu beklee eğe le ele el. Keskl ve (4.54) s s (4.55), s, eştlkle le taımlaı. Çapım mometle maal (tek eğşkel) mometlee öüşebl. Öeğ s alıaak, ya a çıka ve le göstel., alıaak le taımlaabl. Özel b uum s se otaya, Teoem: ve staat eğşkele se, a) ya a b) aak ve aak z z P se, aak ve aak z z P se,

22 eştszlk ve eştlkle sağlaı. İspat ç bkz. k4.6. İk şas eğşke aasıak vayası sıı olablmes ç olmalıı. ç se z z P ele elebl. ğe se, alıaak,, ğe b eyşle P z z V oluğu göülebl ve bu uum ç souç olaak (4.56) yazılabl. Yukaıa P z z ve z z üzee, a ve a ya a V a P ç ele ele souçla, a b sabt olmak ç e geçel. Öeğ a se, a Va buluabl. Bu uuma, a ya a eştlğ sağıak lk k tem sabt oluğua, yazılabl. le ele souçlaı şas eğşkele kovayas ve koelasyou le lşks Kısım e velmşt. Teoem: ve bağımsız şas eğşkele,. İspat: Saee keskl şas eğşkele ç spat veleekt:, ğe şas eğşkele bağımsız se ve otak olasılık oksyou;,, bulaı otak olasılık oksyou se: maal olasılık oksyolaı olmak üzee ve 3

23 Teoem:,,, k solu sayıak bağımsız şas eğşkele,,,, k olasılık oksyou se, çapımlaıı beklee eğe şekle ele el. bulaı otak k k (4.57) Taım (İk şas eğşke mekez çapım momet): ve şas eğşkele olasılık oksyou, se o vaıak - ve s- eeee mekez çapım mometle, s le göstel ve s süekl şas eğşkele ç sıasıyla; oksyouu beklee eğe le ele el. Keskl ve s s (4.58), s, s s (4.59), s, eştlkle le taımlaı. Çapım mometle maal (tek eğşkel) mometlee öüşebl. Öeğ s ç, V ya a ç V le taımlaabl., Teoem (Cauhy-Shwaz eştszlğ): Otalamalaı ve şas eğşkele ç, a) ya a eşeğe olaak,, vayaslaı ve ola ve (4.6) eştszlkle geçel. se b) aak ve aak P, se ve aak ve aak P eştlkle geçel. İspat: Staat şas eğşkele ç, ya a 4

24 eştszlkle spatlamıştı bu eştszlklee staat eğşkele yee koaak, spat tamamlaı. b şıkkı ç e beze yaklaşım kullaılı. Cauhy-Shwaz eştszlğ, üçge eştszlğ b vesyouu ve çapımı kaes beklee eğe, kaele çapımıa az oluğuu ae ee. Cauhy-Shwaz eştszlğ aha azla ble yapısı se, şekle. (4.6) Çok DeğĢkel Dağılımla Ġç Vayas Kovayas ve Koelasyo Rassal eğşkele toplamıı beklee eğe eğşkele ayı ayı beklee eğele toplamıa eştt. Bu uum vayas ç geellkle geçel eğl: V V 4V V V Rassal eğşkele toplamıı vayasıı, vayaslaıı toplamıa eşt oluğu öeml b uum vaı. Değşkele bağımsız oluklaıa bu eştlk söz kousuu. Bu özel uum spatlamaa öe k assal eğşke kovayas kavamı taımlası. İstatstkte özel öeme sahp b mekez çapım momet, ve kovayas olaak alaıılı. Kovayas k şas eğşke aasıak oğusal lşk b ölçümüü ve. Aalaıak kovayas sıı ola şas eğşkelee oğusal lşksz aı vel. Stokastk bağımsızlık oğusal lşkszlğ e otomatk olaak sağla. Fakat oğusal lşkszlğ mutlaka stokastk bağımsızlık alamıa geleeğ söyleemez. Tek stsa omal ağılmış şas eğşkele. Nomal ağılmış k eğşke oğusal lşksz se ayı zamaa stokastk bağımsızı. Temel statstk eslee ekas ağılımıı koum ve yayılım ölçüle le asıl özetleebleeğ açıklamıştı. Tıpkı buu gb şas eğşke olasılık ağılımı a otalama ve vayas paametele gb beze ölçülele özetleeblmekte. Soulması geeke sou, otak olasılık ağılımı, P ola ve şas eğşkele klle ağılımıı asıl, özetleebleeğ. Koum le lglelğe ve ç lgl maal ağılıma kaşılık gele ve kullaılmaktaı. Ayı şekle yayılım ç e V ve V kullaılmaktaı. Otak ağılımla ç b aım öteye geçleek ve aasıak lşk eleebl. Öeğ,, otak ağılımı ç aşağıa vele tablo ele alısı: 5

25 ,7,,, ğe (, ) kls bu ağılıma göe astgele seçlse, olasılığı,7 ke, ve, olasılıklaıı çapımı, 8*, 8,64. 7 olu. Bu uuma ve bağımlı olaylaı. Buaa otaya çıkableek b ğe sou a bahsele bu bağımlılığı asıl ölçüleeğ. Bağımlılığı ölçmek ç kullaılableek bçok yol mevuttu. Bu kısıma bulaa b ola kovayas yaklaşımı eleeekt. ve bağımlılık göstegelee bs blkte eğşm. Otak olasılık oksyou, otalamasıı üstüek sapmalaı, sapmalaı ae ee ve otalamasıı üstüek, kllee aha yüksek olasılık atayabl. Bu eele öeğ vele b, klse pozt sapmaya sahp oluğu blyosa, sıa ışı b uum olmaığı müetçe e otalamaa sapması poztt. Bu tp b blg ç sayısal b ölçü,, temle toplamıı. Yukaıa beltle tüek bağımlılık ç bu toplam, büyük pozt temle tüetme eğlme. ve bağımlılık göstegelee başka bs e kaşıt eğşm. klle ç ve, e bs pozt ğe egatt. Souç olaak yukaıak toplam, ve Y aasıak bağımlılığı tüü hakkıa blg vemekte. Bu teme kovayas aı velmekte. Taım (Kovayas): ve k şas eğşke ve otalamalaı sıası le ve se, ve şas eğşkele aasıak kovayas, Cov eştlğe ele el. Bu eştlk, ya a Cov, Cov le ya a le göstel ve (4.6) (, ) μ μ μ μ, ) μ μ Cov( (4.63) ya a oe göe çapım mometle se e ae elebl: Cov (, ),,,,. 6

26 Kovayası şlems bazı temel özellkle aşağıa teoemle le velmşt. Teoem: Kovayas, taımıa a göülebleeğ üzee, smetkt., Cov Cov (4.64), Teoem: Kovayas, eğşkelee at he b kooata göe oğusalı (blea). Bu özellğ k öeml alamı vaı: İlk, b eğşkee at çapımsal sabt b ğe kooata geçlebl; Cov a, acov, Cov a (4.65), Ġspat: Cov a a a, a a acov, İks se he b kooata at toplama şlem koumasıı; ve Y Cov, Y Cov Y Cov, (4.66) Cov,, Y Y Cov, Y Cov Y. (4.67), Ġspat: Y Y Y Cov, Y Y Y Y Y Y Y Y Cov Y Cov,., Bu teoem aşağıak teoem le taımlaa eştlğ göstemek ç geelleştlebl. Teoem: Tek b ekseek şas eğşkele toplamıı ğe ekseek şas eğşke le kovayası Cov, Y Cov, Y (4.68) eştlğ le ele el. Teoem: He k ekseek şas eğşkele toplamıı bble le kovayası Cov m m, Y Cov, Y (4.69) eştlğ le taımlaı. m m Ġspat: Cov,, Y Cov Y eştlk (4.68) le Cov m m Y, eştlk (4.64) le Cov Y, eştlk (4.68) le 7

27 Teoem: Kovayas he b şas eğşkee yapıla sabt eklemelee etklemez, sabt ve şas eğşke bbe bağımsızı. Cov Cov a b, acov, a, b,, olmak üzee, (4.7) a b, acov, (4.7) Ġspat: Cova b a b a b, a b a b acov,. B ğe öeml özellk se vayas ve kovayas aasıak lşk olup V Cov (4.7) eştlğ le velebl., Teoem: İk şas eğşke ve bağımsız se kovayaslaı sııa eştt, Cov, ). Tes geçel eğl. Ġspat: Bağımsız şas eğşkele ç; eştlğ sağlaığıa Cov (, ). ( Şm bu kısmı başlagııa ele alıa k şas eğşke toplamıı vayası V ele alısı. Teoem: Şas eğşkele, vayası: V, vektöü le taımlası. Şas eğşkele toplamıı V V Cov, Ġspat: Vayas taımıa haeketle, V ve eştlğ sağıak tem üzeleeek kaes alıığıa, ele el ve he k taaı a beklee eğe alıığıa V spat tamamlaı. V V V Cov V (4.73), Teoem: ğe ve bağımsız se ya a e azıa oğusal lşksz se V souu ele el. V V (4.74) 8

28 Teoem: ve şas eğşkele, a ve b sabtle olmak üzee: V a b a V b V abcov (4.75), ştlk (4.75) kullaılaak aet assal eğşke toplamıı vayası ç aşağıak teoem taımlaabl. Teoem: ğe,,, şas eğşkele ve eğşkele oğusal oksyou olaak, Y şekle taımlaa şas eğşke vayası, V eştlğ le taımlaı. Ġspat: V Y Y Y Va, Cov k,,, sabtle olmak üzee bu şas Köşel paatez ç açılması çokteml b ae açılımıı. Öeğ, a by a b Y aby a by gb. Açılım souua V Y ele el ve vayas ve kovayası taımı kullaılaak, Y V Cov V, ve Cov Cov,, oluğua, Y V Cov V, ele eleek spat tamamlaı. Teoem: ğe Y k,,, k şas eğşkele bbe bağımsız ve k,,, sabtle se; (4.76) 9

29 le taımlaa şas eğşke vayası; V k Y V eştlğ le taımlaı.. (4.77) Teoem: ve şas eğşkele ç eğe, V şas eğşkele oğusal lşksz. V eştlğ geçel se ve Kovayas k assal eğşke aasıak saee oğusal lşk gösteges. Bağımlılığı ölçümüe kullaıla ğe yaklaşımlaa tes e oğu olmak üzee, eğe ölçüm eğe se eğşkele bağımsızı. Fakat kovayas ölçüsü ç tes oğu eğl. Öek: Aşağıak otak olasılık ağılımı ele alısı Bu ağılım ç ve aasıa olukça güçlü b lşk vaı. olasılıklı, klle göz aı elğe, eştlğ ele el. ştlkte göülebleeğ gb eğşkele aasıa kaesel (eğsel) b lşk vaı. Dğe taata, Cov 3 3,. olu. Böylelkle kovayas ölçüsüü bağımlılık yapısıı tamamıı bellemese başaısız oluğu göülebl. Kovayas hakkıak ö souçla: a. ve bağımsız se Cov, ) ı. ( b. Cov, ), b bağımsızlık gösteges eğl. (. Cov, ), bağımlılığı valığıı göste (akat hag tü?) ( Sııa aklı kovayas eğe alamıı youmlaablmes ç, Cov, ) eğe e ( kaa büyük olableeğ bellemes geek. ştlk (4.6) le göstelğ üzee kovayas eğe, ve vayaslaı se ae le, ama k sıı aasıa ye alı, Cov, Cauhy-Shwaz eştszlğe at teoeme göülebleeğ üzee, kovayası ve bleşele oasal oluğua bu sıı eğelee b alabl. Öeğ b sabt ç,

30 ve aasıa a b şekle oğusal b lşk vaı. Kovayas, ve aasıak oğusal lşk eees ölçmekte. Yukaıak öekte oluğu ve eğşke, eğşke sıı eğe etaıa smetk oluğu ç Cov (, ) ı. Bu lşk tamame kaesel. Doğusal eğl. Böylee kovayası bell b bağımlılık tüüü ölçtüğü (oğusal lşk eees) göülmekte. Kovayas ölçüsüü güüe alableeğ e büyük eğele kıyaslayaak kaa velebl. ğe Cov, ) bu büyüklüğe ulaşablyosa, ve tamame oğusal b lşkye sahpt. ğe ( Cov, ) se ve aasıak lşk oğusal olmaya b yapıa oluğu ya a ( eğşkele bağımsız oluklaı söyleebl. ğe Cov, ) bu k eğe aasıa ye alıyosa, ( ve aasıak lşk oğusal ve ğe bleşele kaışımıa oluşa b yapıa oluğu söyleebl. Kovayas ölçümüü stemeye b özellğ, eğşke öüşümü yapılığıa eğe eğşmes. Öeğ ve eğşkele ç aşağıak öüşüm ele alısı: W, V Cov W, V W W V V Cov, Göülüğü üzee kovayas ölçü bme bağımlıı. Ölçümleek bmlee uyalı olmaya bağımlılık ölçüle teh sebeplee. Bu bağlama boyutsuz ola b ölçü b soak aıma ele alıaaktı. Kovayas eğe, k şas eğşke vayaslaıa bağlı olaak alableeğ eğele sıılaıa bahselmşt. Kovayası bell b eğe büyük ya a küçük oluğua kaa veeblmek ç eğe, k şas eğşke vayaslaıa oalaması geek. Buu geçekleştme b yolu kovayası, eğşkele staat sapmalaıı çapımıa bölümes. le ele bu aeye, ve koelasyou e ve sembolü le göstel. V V Cov, Buaa a göülebleeğ gb bu ölçü ve ek W, V gb b öüşüme bağlı olaak eğşmeyeekt. Taım (Koelasyo): Otalamalaı ve, vayaslaı ve eğşkele taımlaığı staat eğşkele aasıak kovayas Cov, ola ve şas

31 (4.78) koelasyo katsayısı olaak alaıılı. Ayıa kovayas ç ele ele sıı eğele koelasyoa uyalaığıa, (4.79) oluğu göülü. Böylelkle koelasyo eğe sıılaa yaklaştığıa bağımlılığı güü hakkıa kaa velebl. Aak uutulmamalıı k kovayasta oluğu gb koelasyo a saee bell b tü bağımlılığa (oğusal bağımlılık) uyalıı. Koelasyo olsa ah ğe tülee güçlü b bağımlılık söz kousu olabl. Koelasyo hag uumlaa + ve - eğele alı? le a b şekle b öüşüm le tam olaak lşkl oluğu uum ele alısı. O hale, alıaak, a b a b b V V Cov a b a, b a bv b a b buluu ve tam oğusal lşk uumu ç, bv b b V b (4.8) V ele el. Bu ae b ç + ve b ç - eğe alı. Dğe b eyşle, koelasyo saee tam oğusal lşk söz kousu oluğua + ve - eğele alı. Öeğ uumu ele alısı. Bu uuma kullaılaak oğusal öüşüme a ve b. Koelasyo se eştlğ le taımlaı. İk eğşke aasıak kovayas, eğşkele ölçülmese kullaıla bmlee bağlıı. İlşk ölçü bmlee aıtılmış aes, otak aakütle koelasyo katsayısıı. Koelasyo katsayısıı temel özellkle:. Koelasyo katsayısı u şaet Cov, şaete göe eğş.. Cov se olu., 3. Koelasyo katsayısı u alableeğ maksmum ve mmum eğele: 4. olması ve aasıa tam oğusal lşk buluuğuu belt.

32 uumua a b oğusuu gağ, ve tüm olasılık ağılımıı çe. Tüm klle bu oğuu üzee. Bu ekstem uum ç a b, P olu. kstem uum hae, ve tüm olasılık ağılımı a b oğusuu çevese b bat çe. Doğusal egesyo aalz bu matığa ayaaak gelştlmşt. Taım (Vayas-kovayas mats):, T k boyutlu b şas vektöü,, eğşke vayası,,, k solu sayıak şas eğşkele taımlaığı ç vayas kovayas mats Σ olsu. He b şas k V ve hehag k şas eğşke kovayası, olaak k boyutlu b şas vektöüü vayas-kovayas mats kk boyutlu, Σ k k V Cov Cov T Cov, Cov, k, V Cov,, Cov, V k k k k k k Cov, olsu. Souç smetk b matst. Şas eğşkele toplamlaıı vayası se boyutlu b skale ġas DeğĢkele Doğusal Kombasyolaıı Mometle Bazı uumlaa aet şas eğşke, (4.8),, oğusal kombasyoua otaya çıka b Y şas eğşke beklee eğe ve vayası le ya a aet şas eğşke taımlaığı k oğusal kombasyoa ele ele k şas eğşke Y ve Y aasıak kovayas le lglelebl. Bu kou özellkle tahmleyle şas eğşkele oğusal kombasyou olaak taımlaığı statstksel youmlamaa öeml. Teoem: ğe,,, şas eğşkele ve bu şas eğşkele oğusal oksyou olaak;, y y taımlaa k şas eğşke Y,Y olsu. a) Y eştlk (4.5) le b) V Y V Cov, eştlk (4.76) le ) Cov Y, Y V Cov,,,, le,,, sabtle olmak üzee. (4.8) 3

33 4 İspat: Teoem şıkkı ç,, Y Y Y Y Y Y Cov Cov, Buaa, V Cov, oluğua, Cov V Y Y Cov,, spat tamamlaı. Teoem: ğe,,, şas eğşkele bbe bağımsız ve,,, le,,, sabtle se; Y ve Y şekle taımlaa k şas eğşke aasıak kovayas, V Y Y Cov,. (4.83) eştlğ le taımlaı. 4.9 ÇOK DĞĠġKNLĠ DAĞILIMLAR ĠÇĠN KOġULLU BKLNN DĞR V VARYANS ve otak olasılık oksyou, ola k şas eğşke olsu. ğe tüm şas eğşkele ç maal olasılık oksyolaı taımlı se koşullu otak olasılık oksyou taımlıı. Bu koşul altıa tüm eğele üzee şas eğşke koşullu beklee eğe (oe göe b momet) le göstel.

34 Teoem: şas eğşke ve e vele eğe ç şatlı olasılık oksyou ve oksyou vele eğe ç şatlı olasılık oksyou se ve şatlı beklee eğe keskl ve süekl şas eğşkele ç, (4.84) eştlkle le taımlıı. Vele eğe yee kouğua (4.85) sabt b sayıı. Başka b eyşle, şatlı beklee eğe eğşke b oksyouu. Beze şekle e b oksyouu., bell b eğe ç sabt, akat eğşe eğelee bağlı olaak eğştğ ç b şas eğşke. ağılımıı beklee eğe olup, egesyo oksyou olaak a alaıılı. b Regesyo oksyou a a b Teoem: Koşullu ağılımlaı beklee eğele beklee eğe ç, eğe ve mevut se, şas eğşke ç beklee eğe; (4.86) eğe ve mevut se, şas eğşke ç beklee eğe;. (4.87) eştlkle le taımlıı. 5

35 İspat: eğe eğşke b oksyou oluğu beltl. Bu eele k beklee eğe şlem şas eğşke üzee uygulaı.,, şas eğşke b oksyou oluğu uutulmamalıı. Öek: şas eğşke bleşele ve ola k eğşkel Nomal ağılıma sahp oluğu, T μ ve Σ vasayılsı. Bu uuma olu. Souç olaak, ele el. Öek: şas eğşke bleşele ve ola k eğşkel Nomal ağılıma sahp oluğu, μ ve Σ vasayılsı. 6

36 Teoem:, ve olu. y çee k eğşkel assal eğşke ve. olsu. Bu uuma Tekalı beklee eğe kauu, koşul koymaı beklee eğe almaı souuu eğştmeğ göstemek ç koşullu beklee eğe kullamaktaı. B başka eyşle, beklee eğe alma sıasıı b öem yoktu. Koşullu beklee eğe kullaılıke, koşul koyula şas eğşke sak şas eğşke eğlmş gb avaı (koşullu beklee eğee) ve böylee yazılabl. aes ble b oksyou oluğua, tekalı beklee eğe kauu le bu blg blkte eğelelğe olukça kullaışlı b aaç hale gelmekte. Teoem: ve şas eğşkele ve e vele eğe ç şatlı olasılık oksyou ve g, şas eğşke b oksyou se vele eğe ç g beklee eğe, g g şatlı (4.88) g g eştlkle le taımlıı.. (4.89) Teoem: g, şas eğşke b oksyou ve üzee, g g koşullu olasılık oksyou olmak (4.9) eştlğ geçel. Ġspat: g g eğe eğşke b oksyou oluğua k beklee eğe şlem şas eğşke üzee uygulaı. g g g g g, 7

37 Teoem: ve şas eğşkele ve g, şas eğşke b oksyou se olmak üzee şas eğşke tüm eğele ç, taımlıı. g g solu (4.9) İspat: g g ele el. g Bu teoem özel b uumu le taımlaı. Dğe b eyşle, g g g Buaa b olasılık yoğuluk oksyou oluğu uutulmamalıı. Teoem: ğe ve şas eğşkele stokastk bağımsız se, ğe b eyşle, se, veya şatlı ve şatsız ağılımla aasıa ak yoksa: eştlkle geçel. Koşulsuz olaak bağımsız ola şas eğşkele ğe özellkle, koşullu olaak bağımsız şas eğşkele ç e geçel. Öeğ; ve şas eğşkele 3 koşulu altıa bağımsız se, ve aasıak koşullu kovayas ı (koşullu koelasyoa oluğu gb) ve 3 3 olu. Çapımı koşullu beklee eğe, koşullu beklee eğele çapımıa eştt. 3 Taım (Koşullu momet): Rassal eğşke ye b assal eğşke Y ye göe - koşullu mekez momet; le göstel. Y Y,3,... Teoem: ve şas eğşkele ve a. V şatlı ağılışlaıı vayası, (4.9) b. V (4.93) eştlklee ya a aha açık olaak keskl ve süekl şas eğşkele ç sıasıyla, V, V 8

38 V, V eştlkle le taımlıı. İspat: Saee (a) şıkkıa at süekl eğşkele ç velmşt. V. Koşullu beklee eğe vayasıı ele elmes le lgl öeml b teoem e aşağıa velmşt. Teoem: ve şas eğşkele, se solu olsu. V V V İspat ç bkz. k4.7. mevut se,. (4.94) So eştlkte, şas eğşke vayası k aklı vayası toplamı oluğu göülmekte. İlk şas eğşke eğşe eğele ç şatlı vayaslaıı beklee eğe. İks se şas eğşke eğşe eğele ç şatlı ağılımlaıa at otalamalaıı vayasıı. Bu teoem öeml b souu olaak, V V eştszlğ ama sağlaaağı ç, V (4.95) eştszlğ yazılabl. Teoem (Toplam kovayas kualı): ve Y şas eğşkele aasıak kovayas, eğe,y ve assal eğşkele ayı olasılık uzayıa ve ve Y aasıak kovayas solu se aşağıak gb ae elebl:, Y Cov, Y Cov, Y Cov (4.96) Ġspat: Toplam kovayas kualı ya a kovayas ayıştıma omülü olaak alaııla bu eştlğ spatıa toplam beklee eğe kualıa yaalaılmaktaı. Cov(, Y) İspat tamamlaı. Y Y Y Y Cov, Y Y Y Cov, Y Cov, Y 9

39 Kovayası İç Çapım Uzayı le İlşks Doğusal kombasyola b vektö uzayı oluştuu. Bu oğusal oksyolaa at kovayaslaı lgl uzayak k vektöü ç çapımıı, bkz k4.8., y Cov, Y Aaak lşky açıklamak amaı le şas vektöüü omuu (vektöü uzuluğuu) kaes, ele alısı. Bu ae şas vektöüü kes le ç çapımıı ve statstksel olaak şas vektöüe at vayas toplamıı,, V, Cov ae ee. Şas vektöüü omu se vektöle aasıak θ açısı se, y os y Cov, Y y y kae köküü ve le sembolze el. ve y şas eştlğ le taımlaı. ştlkte göülüğü gb k şas vektöü aasıak θ açısı, koelasyo katsayısıı aosüsüü. 4. TÜRTN FONKSĠYONLAR Rassal b eğşke tüete oksyou eğşke bell b öüşümüü beklee eğe. İstatstkte e sık kullaıla tüete oksyola; Olasılık tüete oksyo Momet tüete oksyo olup bu oksyola, öt öeml özellğ paylaşı:.ayı koşulla altıa; tüete oksyo ağılımı tamame belle..bağımsız eğşkele toplamıı tüete oksyou, tüete oksyolaı çapımıı. 3.Rassal b eğşke mometle, tüete oksyouu tüevlee ele elebl. 4.B z tüete oksyolaı oktasal yakısaklığı, lgl ağılımlaı özel yakısaklığıa kaşılık gel. B özellk, e öeml özellkt. Geellkle tüete oksyou bell b yapıa (şekl, om, bçm) oluğu gösteleek assal b eğşke bell b ağılıma sahp oluğu göstel. Dağılımı tüete oksyo üzee eğelelmes süe, tes çevme (veso) olaak bl. İk özellk, sıklıkla bağımsız eğşkele toplamıı ağılımıı bellemes ç kullaılı. Bua kaşılık; bağımsız eğşkele toplamıı olasılık yoğuluk oksyouu, maal yoğuluk oksyolaıı ovoluto u oluğu üşüülüse çok aha kamaşık b şlem oluğu göülü. Çoğu zama mometle, tüete oksyoa hesaplamak, oğua hesaplamakta aha kolay

40 oluğua üçüü özellk kullaışlıı. So özellk, süekllk teoem olaak bl. Çoğu zama tüete oksyolaı yakısamasıı göstemek, oğua ağılımlaı yakısamasıı göstemekte aha kolayı. Tüete oksyola, matematkte yaygı bçme kullaılı ve olasılık teose öeml b ole sahpt. He hag b geçel sayıla zs, :,,,, ele alısı. Bu sayıla, tüete oksyolaı çeştl bçmlee ae elebl. Dz sıaa tüete oksyou şu şekle taımlaı: G t a t Bu toplamı yakısaklığı t paametes üzee eğelel. Vele z ç, b yakısaklık a yaıçapı buluu. Dğe b ae le t se toplam mutlak yakısaktı, t se ıaksaktı. t oluğua Gt oksyou bkaç kez tüevleebl ya a tegal alıabl. İy taımlamış çoğu z ç G t kapalı oma yazılabl ve zek katsayıla se açılımı ya a tüevle alıması yoluyla teka ele elebl. 4.. Olasılık Tüete (Faktöyel Momet Tüete) Foksyo keskl b şas eğşke olsu. Şas eğşke olasılık tüete oksyou eğe oksyouu beklee eğe mevutsa t t G ( t ) t (4.97) le taımlaı. Bu eştlkte, G oluğu göülebl. Bu eele oksyouu Mell-Steltes öüşümü olaak a alaıılı. t ç se mutlak yakısaktı. Bu oksyo olasılık Teoem: keskl b şas eğşke ve ou olasılık tüete oksyouu t oktasıak - tüev G se G t ( t ) [ ( )...( )] t eştlğ sağla. (ştlğ sağ taaı - eeee aktöyel momett.) Ġspat: G t t G t t t Tüev ve toplam şlem ye eğştebleeğ vasayılaak, bkz k4., G t t (4.98)

41 bu se t ç se mutlak yakısaktı ve ele el. G Bu ae aktöyel momet tüete oksyo olaak a alaıılı. Bu oksyou çeştl eeelee tüevle alııp, t yee kouğua şas eğşkee lşk aktöyel mometle buluu. B tüev; G t t t t t t t G buluu. İk tüev; G buluu. Faktöyel momet özellkle keskl eğşkelee öeml. Olasılık tüete oksyo kullaılaak k k yöteme b kullaılabl: şas eğşke olasılık tüete oksyou ve k t tem katsayısı k s k olaak ele el. İk yaklaşım se k t k S t t eştlğ le taımlaabl. k 4.. Momet Tüete Foksyola P olasılığıı ele etmek ç aşağıak k S t olsu. t S oksyou t eğşkee göe açılı Beklee eğe taımı kullaılaak mometle ele elebl. Bu yaklaşımı hesaplamalaıa zoluk olması uumua ağılımı mometle, b oksyo yaımı le e hesaplaabl. Momet tüete oksyola süekl veya keskl b şas eğşke ağılımı mometle hesaplamasıa yaaya b oksyou. şas eğşke momet tüete oksyou M (t) le göstel. B şas eğşke oe göe veya mekez momet tüete oksyou buluabl. Momet Tüete Foksyo (MTF), assal eğşke bütü mometle ye b eğşke ola t bast b kuvvet ses olaak ele elmes sağla ve aşağıak gb taımlaı; ( e t ) k ( k k! ) t k Bazı mometle sosuz oluğua momet tüete oksyo bulumayabl. İtegal alma soulaıa momet bell b eğee sahp olmayabl. Ayıa mometle heps solu ve b

42 eğee sahp olsa ble MTF, t hehag b eğe ç a yakısa. Geel olaak yakısama ve sosuzluk poblemle geçek hayatta ae otaya çıka. Foksyoa ee momet tüete oksyo eğ açıklayablmek amaı le ( e t ) yee bu oksyou Malau se açılımı koulu. Malau ses, matematktek oksyolaı se açılımlaıı ele etmek amaıyla kullaıla Taylo yaklaşımıı, ( a) ( ) ( a) ( a)( a) ( a)! özel olaak a alıaak oluştuulmuş ses.... ( a) ( a)!... ( a) ( a)! ( ) () () ()...! ()...! ()! Buaa malau sese Mometle şöyle buluabl; e oksyou uygulamasıı ee eğee yakısamasıı. ( ) e oksyou malau sesyle açılısa, e buaa a, e t......!! t t!... t!... ele el ve M (t) se açılımı () M t ( e Bu uum t ) t t!... t! t t t......!! mometlee göe buluabl. k t... () t( ) (! ' kt k! k t )... (! )..., M (t) ea tüev alııp aha soa t koulaak ele elebleeğ b ğe kaıtıı. Öeğ b momet bulmak ç M ( t) t ( ) M ( t) t t 3t t 3...! 3!! t M t t ye göe b tüev alıı; buaa t oluğua, olaak buluu. İk momet steyo se M( t) ( ) t t t 6t ( ) t 3...! 3!! t 3

43 Buaa söylemes geeke b şas eğşke mometle bellemek ç b momet tüete oksyou Malau ses kullamaktak asıl güçlük momet tüete oksyouu bulmak eğl bua Malau ses uygulamaktı. Bazı ağılımlaa M (t), t bütü eğele ç hesaplaabl; bazı ağılımlaa se M (t), t saee bell b aalıktak eğele ç buluabl. Öeğ üstel ağılım. Şas eğşke ç momet tüete oksyo şas eğşkee at () olasılık oksyouu Laplae öüşümü olaak a alaıılı. Taım (Momet tüete oksyo): Olasılık oksyou () ola b şas eğşke olsu. ğe h t h aalığıak t he b eğe ç şas eğşke beklee eğe mevut se, oksyouu beklee eğe şas eğşke momet tüete oksyou olaak alaıılı. Keskl ve süekl şas eğşkele ç momet tüete oksyo: M t e t t e () e t ( ) ğe b momet tüete oksyo mevut se, o vaıa süekl olaak tüevleebl. Çükü h t h aalığı t eğe çe. Momet tüete oksyo t paametes oksyouu. Bu paamete geçek b alamı yoktu, saee mometle bellemese yaımı ola matematksel b aaçtı. Kukla eğşke. Momet tüete oksyo; a) tüm t ç, b) saee t A, A ç, ) saee t ç, ele elebl. So uumu sağlaya ağılımla ç momet tüete oksyo mevut eğl. Buu ee t ç M () oksyou ama taımlı olup eğee eştt. Beklee eğe otaya çıkması baz zo b uumu. Süekl assal eğşkele ç, eğe büyük key b gözlem olasılığı çok büyük se (mutlak eğe açısıa) beklee eğe otaya çıkmayabl. Öeğ, Stuet s t ağılışıa sebestlk eees v, e eştse (Cauhy ağılışı), büyüklüğüek b t e gözlem olasılığı büyük eğele ç le oatılıı (ğe b eyşle ( ) ) ve büyük le ç ( ) olu. Aalık sıısız oluğua sabt tegal, çok küçük ble olsa, hehag b eğee yakısamaz ve beklee eğe otaya çıkmaz. Dğe taata, b assal eğşke sıılı se he zama beklee eğe vaı. Teoem: ğe şas eğşke momet tüete oksyou M (t) se ve M t olaak taımlamış se M M t t 4

44 olu. İspat: İtegal şaet altıa tüev alıableeğ vasayımı altıa, momet tüete oksyou t ye göe tüev, süekl şas eğşkele ç, t M t ve t alıısa; M t t et e t e e t t t t M t e t t Bu yaklaşım - tüev ç geelleğe, M t M t e. t t t Souç olaak; b ağılımı mometle, momet tüete oksyou yapay eğşke t ye göe tüev alıaak ele elebl. Momet tüete oksyolaı kullaılmasıı b ğe ee e ağılışı kaakteze etmele. ğe M (t) mevut se, ağılımı eşsz ve tam olaak belle. Teoem: ğe k şas eğşke ayı momet tüete oksyoa sahpse bu k şas eğşke ayı ağılıma sahpt. h,h taım aalığıak bütü t eğele ç ve Y assal eğşkele momet tüete oksyolaı M (t) ve (t) M y olsu. Bu uuma; ğe tüm t h, h ç M t MY t se, tüm le ç P PY y ğe tümt h, h ç M t M t ve P P P süekl se, tüm le ç Bu özellk sayese çeştl tptek bağımsız assal eğşkele toplamıı ağılışlaı kolaylıkla ele elebl. MTF üstel b oksyoa sahp olması assal eğşkele toplamlaıı beklee eğele çapımlaı hale yazablmemze olaak sağla. Bu özellğe MTF üetkelk (epoutve) özellğ e. Teoem: ve Y bağımsız ve ayı ağılıma sahp k tesaü eğşke ve bulaı momet tüete oksyolaı sıasıyla M (t) ve M y (t) olsu z y şekle taımlaa b tesaü eğşke momet tüete oksyou; 5

45 M ( t) M ( t) M ( t) z zt yt t yt İspat: M ( t) e e e e z ve Y bağımsız oluklaıa; M ( t) e z M ( t) M z y t yt e ( t) M y ( t) olu. ğe bu teoem tae tesaü eğşke ç geşletl se; M z( t) M ( t) M ( t)... M ( t). Öek: Bbe bağımsız Posso şas eğşkele toplamlaıı a Posso oluğuu göstez. Bbe bağımsız aet Posso şas eğşke,..., b paametel Posso ağılımıa at momet tüete oksyo, M t e t e eştlğ le taımlaığı ç olu ve M t t t e e e t e e e t e e ağılışı paametes, şu şekle velmş olsu. He hag ola b Posso ağılımıı. Beze şekle, bbe bağımsız Nomal şas eğşkele toplamlaıı a Nomal oluğu spatlaabl. Teoem: şas eğşke ç, V ve tüm t le ç t vasayılsı. T,..., M solu oluğu, eş ağılımlı, bağımsız şas eğşkele ç S S se, tüm eğşkele ç T P P ke Buaa staat Nomal şas eğşke. Ġspat: Y ve V Y. T olsu. Y olsu. O hale Y le bağımsız ve Y le eş ağılımlıı, Y Y İspatı tamamlaablmes ç tt t e M T ke M t M t ept oluğu göstelmel. T ve Y 6

46 e t Y t Y e t Y e t Y e t Y t Y 3 t t 3 Y Y 6 3 t 6 t 3 3 Y 3 t e t Yukaıak eştlkte le bbe bağımsız oluklaı vasayımı kullaılaak assal eğşkele üslü toplamlaıı beklee eğele beklee eğele çapımlaı olaak yazılmıştı. Momet tüete oksyou kullaılableeğ koulaa b e şas eğşkele oğusal oksyolaıı ağılışıı bellemes. Taım (B şas eğşke oksyouu momet tüete oksyou): şas eğşke gt hehag b oksyou g () se M g( t) e eştlğe ele el: olu. M ( t g ) M g( t) gt e gt e Teoem: b sabt sayı olmak üzee M ( t) M ( t) y momet tüete oksyou: t t ( t) İspat: M t e e e ( ) M t Teoem: B şas eğşke momet tüete oksyou üzee y momet tüete oksyou; M t olsu, sabt b sayı olmak t M ( t) e M ( t) ( ) t t t t t t İspat: M ( t) ( t) e e e ( ) e e t e M t Teoem: y ab şekle taımlaa y şas eğşke momet tüete oksyou; M bt t e M at y yt abt at bt bt at İspat: M t e e e e e e M ate bt y 7

47 Teoem: B şas eğşke momet tüete oksyou üzee; M y yt a bt t e e M ( t b) M t olsu, y a b olmak Bu teoeme M a ve b olaak alıı se t t e M t olaaktı. Bu oksyo staat omal eğşke momet tüete oksyou olaak a bl. Öeğ şas eğşke ağılımı ; M bt yt e M at olsu. M t e t t M y bt at a t e e N olsu y ab şekle ve omal ağılımlı oluğua göe; t ba t a t e e olaak ele el. Bu se otalaması tüete oksyouu. a b ve vayası a ola omal b ağılımı momet Bazı uumlaa e t ( ) tegal ve e t () toplamı mevut eğl. Böyle uumlaa momet tüete oksyo buluamaz. Dğe b eyşle he ağılımı momet tüete oksyou yoktu. Bu tp ağılımlaa momet bulmak ç kaaktestk oksyo kullaılı. Momet tüete oksyou kullamaı b ee e büyük sapmalaı hesaplamasıı. S... olsu. oksyou le bbe bağımsız ve otalaması M t ola assal eğşke le ayı ağılışa sahp olsu., momet tüete S, ke otalaması e çok uzakta oluğua, aha spesk olaak P( S a), a ke, olasılık hesaplamak b poblem. Buaa Chebyshev eştszlğ kullaılaak - eeee b sıı ele elebl. Aak bu uuma olasılık çok küçük olma eğlme olu, bkz Kısım Mekez Momet Tüete Foksyo B şas eğşke ke aakütle otalamasıa göe e momet tüete oksyou buluabl. Bu a geellkle M (t) le ae el. M t ( t) e e e M ( t) t Bua göe keskl veya süekl b şas eğşke oe göe momet tüete oksyou blyosa bu oksyo kolaya buluabl. e t 4. SÇĠMLĠK KONULAR 4.. Momet Tüete Foksyola Üzee le çapılaak aakütle otalaması etaıak momet tüete oksyo Kısım 4.. e kısaa taımlaa büyük sapma sıııa at teoem ve spatı aşağıa velmşt. Teoem: t ç M (t) solu oluğu vasayılsı. Hehag b a ç, 8

48 olu ve buaa P( S a) ep I( a) olaak göstel. t : at logm ( t) I ( a) sup Ġspat: Hehag b t ç Makov ştszlğ kullaılaak; ele el. ts at ts at at e M ( t) ep at logm ( ) P( S a) P( e ) e t ( t) at logm ( t) oluğua t ç ( ) eştlğ sağlamaktaı. İtegal şaet altıa tüev alıablğ vasayımı le; t M ( t) ( e ) '( t) a a M ( t) M ( t) yazılabl ve buaa ' () a oluğu göülebl. Çok küçük pozt t eğele ç ' ( t) olu. Öek: Hlesz b za kee atılsı ve S üst yüze gele sayılaı toplamı olsu. S ke otalamasıa e az kaa büyük olması olasılığıı = ve = oluğua tahm ez. Yukaıak teoeme göe 3. 5 ve S 3. 5 üst sıı ele elmel. Momet tüete oksyou; M ( t) 6 6 olu ve t ç (4.5) e t t e ( e 6( e 6t t ) ) I eğe hesaplamalı ve a bellemel. büyük eğe belleke kullaılaak oksyo; 4.5t logm ( t). Foksyou gağ aşağıaı. olu. a 4. 5 oluğua P( S 4.5) olasılığı ç I oksyouu taımıa göe e büyük eğe Bu poblem kalkülüs le çözülemeyeeğ ç ümek hesaplamalaa yaalaılaaktı. Maksmum okta t. 375 ve souç olaak I(4.5) eğe,.78 e baz aha büyüktü. Böylelkle üst sıı P.78 S 4.5 e = ç yaklaşık.7, = ç.83-8 ve = ç Ayı olasılık ç Chebyshev eştszlğ le ele ele 4.. top Vele b assal eğşke ç 35 sııı büyük eğele ç çok aha büyüktü. oluğua e kaalık b blg ele el? oluğua k blg mktaı geçmşte e eşt olabllğe bağlıı. Dahası, geçmşte e eşt olmaması olasılığı aha azla blg çeebl. Öeğ, eğe k hlesz zaı üst yüzüe gele sayılaı toplamı 9

49 olusa ye eşt olması 7 ye eşt olmasıa aha azla blg çemekte. Buaa b olasılık 36 ke k olasılık 6 ı. B olayı çeğ blg mktaı I p ve olayı otaya çıkma olasılığı p olsu. p I egat olmaya ve p azala b oksyouu. Dağılışı omuu bellemek ç, ve Y bağımsız assal eğşkele ve P( ) p ve P( Y y) q olsu. ve Y y blg çemekte? Cevabı, b ç blg mktaı oluğua bu uum e kaa oluğua Ipolaaktı. Öek blglee e eşt olması Y y ye eşt olma olasılığıı etklemeğe ( ve Y bağımsız) Y y oluğua ek blg mktaı Iq olaaktı. Böylee,, e eşt ve Y, y ye eşt oluğua blg mktaı p I(q) I pq u. I olaaktı. Aak ğe taata e ve Y y ye eşt oluğua blg mktaı P(, Y y) P( ) P( Y y) pq Buaa I oksyou I( pq) Ip I( q) G p p I( ) şekle taımlaısa G p q p q I pq p q I I I G p G q eştlğ sağlamaktaı. Aak, eğe b G oksyou; eştlğ göülebl. Aak, G saee mooto oksyolaı ç yukaıak oksyoel lşk p G p omua sağlaablğ göstelebl ( b sabt). Böylee; p p I( ) p veya q yazılaak q I log q bazı pozt sabtle ç yazılabl. Geellkle = olu ve blg bay gtlele ölçülmüştü e.,,, eğele p, p,, p olasılıklaı le ala b assal eğşke le lglels. ye eşt oluğua çeğ blg mktaı mktaıı beklee eğe; H( ) olaak ele el. p log p log p le göstel ve assal eğşke taşıığı blg H() mktaı eomasyo (blg) teose assal eğşke etops olaak bl. 3

50 3 BÖLÜM 4 KLR k4. Ġspat: İspat süekl şas eğşkele ç velmşt.. a a a a. a a a a 3. Bkz. Jese eştszlğ k4. Ġspat:. V.. V. 3. V k4.3 Ġspat: g g g ) ( ) ( ) (. ) ( ) ( = g g ) ( ) ( ) (. k4.4 Ġspat: a a a a a b a a ştlğ sağıak k tem ama pozt olup aak ve aak a oluğua sıı alabl. k4.5 Ġspat: ) ( ) ( ) ( ) ( = ) (. k4.6 Ġspat: a şıkkı ç lk olaak aşağıak eştszlk ele alısı, buluu. İk olaak,

51 3 ele el ve bu k souç blkte kullaılaak spat tamamlaı. Teoem b şıkkı ç se z z P alıığıa, V z z P alıığıa, V ele eleek spat tamamlaı. Yukaıak spat tes yöe e geçekleştlebl: lk olaak alısı bu uuma, V ele el. k4.7 Ġspat: olaak taımlası. V Bu eştlktek so bleşe, olup buaa, alıaak, ele el. Bu uuma, V ) ( V Buaa ve oluğu hatılaaak, V V V

52 ele eleek spat tamamlaı. k4.8 Ġç Çapım Uzaylaı V b vektö uzayı olsu. V V, :V V, y, y, y V ç, y le göstele ve aşağıak koşullaı sağlaya Foksyoua V üzee b ç çapım V ye e ç çapım uzayı e. Bu ç çapım uzayı V,,le göstel.., yv ç, y y, z (smetk)., y, zv ç,y z,y, z (-lee), y, zv ç y,z,z y, z., yv, ç, y, y, y v. V, ;, (pozt yaı-taımlı) e ç çapım;, y ç,, ve y y y,,,,, y, y, y y y y y olsu. ve y vektöle ç çapımı,y bçme taımlamaktaı. M uzayıa ç çapım; a B b A, BM, A, olmak üzee A, B a b bçme taımlamaktaı. Öek: A, B M, A, B A, B a b ( 3) 7 Taım: V b vektö uzayı olsu. a b ab ab ab ab ab V ç vektöüü uzuluğu, bçme taımlaa b sayıı. Teoem Cauhy-Shwaz ştszlğ: ğe ve y vektöle uzayıa taımlı se,, y eştszlğ sağlaı. y 33

53 Ġspat: ğe = se teoem oğulaı. ğe se t olmak üzee t y vektöü kkate alıısa; t y, t y t y, t y t, t,y y, y eştszlğ sağlaı. a,, b,y, y, y alıaak at bt olu. Bu kaesel ae asla egat olamayaağı ç kökle kamaşık veya katlı olabl. Bu uuma skmat, b 4a olmalıı. Uyaı: ğe kaesel ae t ve t gb k eel kökü olsayı köklee b egat olma uumu söz kousu olabl. Bu uuma; 4, y 4, y, y Kaekök alıaak,y, y, y, y y ele el. Ġç Çapım ve Ġk vektö aasıak açı Sııa aklı hehag u ve v gb k vektö aasıak açısıı belleeblmes ç üçgele üzee taımla Cosüs Teoem kullaılı: u v u v. v u v u v u u v v, v u,v u, u İç çapım özellkle uygulaaak, Cosüs Teoem: v u v u u. v Cos bçme taımlamaktaı. Deklem Cos ç çözülüğüe, 34

54 v u. v u u. u v. v u. v Cos u v u v v u u u v Cos v. u v u v Cos u. v u,v u. v ele el. k4.9 Kovekslk Kavamı Taım (Lee Opeatö):, Y ayı V vektö uzayı üzee k lee uzay olsula. L : Y opeatöü vels. ğe L, y D L ve he, V ç L y L Ly D, b alt uzayı ve he se L opeatöüe lee(oğusal) opeatö e. Taım (Koveks Küme): L lee b uzay A L ve, y Akey olmak üzee z L : z y, A B se A kümese koveks küme e. ğe z B se z y eştlğek, y katsayılaı ç bağıtısı he zama oğuu. Bu sebeple koveks küme taımıak, yee şatıı sağlaya ve egat olmaya, eel sayılaı alıabl. Geometk olaak B kümes uç oktalaı ve y ola b oğu paçasıı. Bu uuma sezgsel olaak koveks küme, boş olmaya ve hehag k oktasıı bleşte oğu paçasıı çee b küme olaaktı. Koveks Küme Koveks Olmaya Küme Taım (Koveks Foksyo): ve, ç, y y I, ' e b aalık ve : I R b oksyo olmak üzee he, y I () 35