Kocael Üerstes Sosyal Blmler Esttüsü Dergs (4) 27 / 2 : 5-77 Açık Artırma Teors Üzere Br Çalışma Şeket Alper Koç Özet: Bu çalışmada haleler üzere teork r araştırma yapılacaktır. Belrl arsayımlar altıda model kuruldukta sora açık artırma çeştler celeecektr. İks sözlü ks kapalı zarf hales olmak üzere dört stadart hale lmektedr. Bularda sözlü ola İglz e Flemek haleler e kapalı zarf hales ola rc fyat kapalı zarf hales pratkte kullaıla, kc fyat kapalı zarf hales se teork alamı ola açık artırmalardır. Bu çalışmada her r hale ç dege araştırılacak, e örekler erlecektr. Aahtar Kelmeler: Açık Artırma, Teklf, Dege, Kapalı-Zarf, Dege Gelr Teorem Grş Açık artırmalar (haleler) ugüe kadar çok geş r şeklde ele alıdı. Vckrey 96 dek çok öeml çalışmasıda sora yapıla çalışmalar açık artırma teorsde çeştl kouları ele almışlardır. Myerso (98) e Rley e Samuelso (98) optmal açık artırmalar üzere çalışmıştır. Mask e Rley (984) rskte kaçıa (rsk aerse) teklf ereler ç stadart e optmal açık artırmaları ele alarak lteratürdek u eksklğ tamamlarke Mlgrom e Weer (982) ağımsız e ağımlı değerler e özel e ortak değerler çere smetrk açık artırmaları celeyerek katkıda ulumuşlardır. Hedrcks e Porter (985), Graham e Marshall (987) e Cramto, Gos e Klemperer (987) teklf ereler arasıdak halede öce yapıla özel alaşmaları celemştr. Ve so olarak Ashefelter e Porter (989) e Igraham (2) se haleler üzere amprk çalışmalar yapmışlardır. Bu çalışmada se haleler üzere teork r araştırma yapılacaktır. Belrl arsayımlar altıda model kuruldukta sora açık artırma çeştler celeecektr. İks sözlü ks kapalı zarf hales olmak üzere dört stadart hale lmektedr. Bularda sözlü ola İglz e Flemek haleler e kapalı zarf hales ola rc fyat kapalı zarf hales pratkte kullaıla, kc fyat kapalı zarf hales se teork alamı Yrd. Doç. Dr. Şeket Alper Koç, Kocael Üerstes İ.İ.B.F. İktsat Bölümü de öğretm üyesdr.
52 Şeket Alper Koç ola açık artırmalardır. Bu çalışmada her r hale ç dege araştırılacak, e örekler erlecek e her r hale teorde ayı soucu erdğ gösterlecektr.. Geel Model Bu ölümde her r hale ç yapılmış ola ortak arsayımlar haleye greler ortak özellkler erlecektr. Modelde r satıcı, acak rde fazla potasyel alıcı ardır. Satıcı aşlagıçta tek e ölümez r mala sahptr. Satıcı herhag r alıcıı mal ç e kadar ödemek stedğde haerszdr. Şayet satıcı her alıcıı mala çtğ değer lseyd, mala e çok değer çe alıcıya yaklaşır e fyat üzere oula alaşmaya çalışırdı. Acak satıcı açısıda u stratej, alıcıları mala çtğ değer lmedğ ç mümkü değldr. Zate satıcıı açık artırma yapmasıı see olası alıcılar hakkıda kusursuz lgye sahp olmamasıdır. İhale amacı e y alıcıyı tespt ederek e y satış fyatıı elde etmektr. Potasyel alıcıları sayısı f, herkes tarafıda lmektedr. Acak r alıcı teklf erdğ zama aşka e kadar potasyel alıcıı teklf erdğ lmez. Br aşka deyşle, azı potasyel alıcılar teklf ermeyelr. İhaleler matematksel olarak daha kolay alayalmek ç kaul edle azı arsayımları, k u arsayımlar çoğu durumda matıklı e gerçek hayata uyarlaalr, taımlamak gerekr. (Varsayım ) Özel Değerler: Teklf, kş özel lgs e mal ç ked çtğ değerdr e u dğer teklf ereler lgse ağlı değldr. Teklf ere değer le gösterlr. teklf ere mala ödemek stedğ maksmum parayı gösterr. (V), teklf ere, çtğ değer sadece keds ldğ e u lg keds tek özel lgs olduğuu söyler. Modeldek dğer usurları herkes tarafıda ortak r şeklde ldğ arsayılmaktadır. Bu arsayımıı talo açık artırmalarıa uygulamak mümküdür. Bu tür artırmalarda her teklf ere, dğer teklf ereler e düşüdüğüü lmede talo ç ked kşsel değerler lmektedr. Bu arsayımı e öeml özellğ r teklf ere, r aşka teklf ere kşsel lgs öğredğde ked değer değştrmeyecek olmasıdır. Bu arsayımıı daha az duyarlı olduğu e kullaılmayacağı durumlara petrol araz açık artırmaları öreğ erlelr. Petrol arazs ç her teklf eree açık artırma aşlamada öce araz ssmk test yapmaya z erlr. Teklf ere Model ayı zamada r alıcı e rde fazla potasyel satıcıı olduğu tedark halelere de uygulaalr.
Açık Artırma Teors Üzere Br Çalışma 53 değer test souçlarıa ağlı olacağıda her teklf ere değer rrde ağımsız olmayacaktır. Ve u, rc arsayımı hlal edecektr. 2 (Varsayım 2) Bağımsız Değerler: Teklf ereler mala çtğ değer,..., rrde ağımsız dağılırlar. Bu arsayım her teklf ere dğer teklf ereler değerler hakkıda lgsz olduğuu fade etmektedr. teklf ere dğer değerler,,...,, +,...,, rasgele olduğuu e uları ortak olasılık dağılıma sahp olduğuu kaul etmektedr. İkc arsayım, her teklf ere dğerler değerler kedskde ağımsız olduğua adığıı kaul etmektedr. Ya teklf ere mala çtğ değer lmes, dğer teklf ereler çtğ değer hakkıda r lg ermeyecektr. Bu arsayımı talo açık artırmalarıa uygulamak mümküdür. Ama (V) g petrol arazs açık artırmalarıa uygulamaz. Eğer r teklf ere test souçları arazde çok petrol olduğuu gösteryorsa, dğer r teklf ere de poztf test soucu elde etme olasılığı çok yüksektr. Bu durumda teklf ereler ağımlı değerlere sahp olacaktır. 3 (Varsayım 3) Smetr: Her rasgele değşke ayı (.) F dağılıma sahptr. Smetr arsayımı k duruma şaret etmektedr. Brcs, her k teklf ere, üçücü r teklf ere değer dağılımı hakkıda ayı aca, kaaate sahptr. İkcs, her teklf ere, dğer teklf ereler değerler özdeş dağıldığıa amaktadır. (Varsayım 4) Rsk tarafsızlığı: Teklf ereler rsk açısıda yasızdır. (rsk eutral) Ya, teklf ereler, rsk alma ya da almama kousuda kayıtsızdırlar. Bu arsayım, her teklf ere eklee karıı maksmum yaptığıı fade etmektedr. Brçok halede, teklf ere kazaırsa p w, kayederse p l ödeyeceğ kaul edlecektr. Eğer teklf ere mala kadar değer çtğ söylersek, kazaması durumuda karı pw, kayetmes durumuda p l olacaktır. Dolayısıyla eklee karı kayetme e kazama olasılıkları altıda, (Kazama olasılığı) ( pw ) + (kayetme olasılığı) ( p l ) (.) 2 Petrol araz açık artırmaları ortak değer açık artırmalarıdır. Matthews (984), Porter (995) e Mlgrom (982) 3 Baze (V) e (V2) talo açık artırmalarıa uygulamayalr. Teklf ereler heps, hakkıda özel lgye sahp olduğu elrsz yede satış fyatı le karşılaştığıı düşüü. Böylece oları değerler e özel e de ağımsız olur.
54 Şeket Alper Koç olacaktır. teklf ere kazama e kayetme olasılıkları, ödee p w e p l, açık artırmaı kurallarıa e teklf ereler daraışlarıa ağlıdır. teklf ere, eklee karıı (.) maksmum yapma amacıdadır. 4 Bezer olarak satıcıı rsk yasız olduğu kaul edlmektedr. Satıcıı mala çtğ değer s dr. s, satıcıı malı satmayı kaul edeceğ mmum mktardır e u herkes tarafıda lmektedr. 2. Dört Stadart İhale 2.. İkc Fyat İhaleler (SPA) Bu hale türüde teklf ereler ayı ada e kapalı zarfta teklf errler. E yüksek teklf ere haley kazaır e e yüksek kc teklf kadar para öder. Bu hale 96 yılıda Wllam Vckrey tarafıda ortaya koulmuştur. Çok adr kullaılsa da, kc fyat haleler teork olarak öeme sahptr. 5 2.2. İglz İhaleler (EA) Bu hale türüde teklfler sözel olarak yapılmaktadır. Müzayedec açık artırmayı herhag r fyatta aşlatır. Teklf ereler aşka kmse daha yüksek teklf ermek stemeyceye kadar teklf ermeye deam ederler. E so teklf ere kş haley kazaır e teklf kadar para öder. Bu hale tp kullaılmış araa e talo pyasalarıdak halelerde kullaılmaktadır. 2.3. Brc Fyat İhaleler (FPA) Bu hale türüde teklf ereler ayı ada e kapalı zarfta teklf errler. E yüksek teklf ere haley kazaır e teklf kadar para öder. Bu hale tp daha çok Amerka da petrol arazs açık artırmalarıda kullaılır. 2.4. Flemek İhaleler (DA) Teklf erelerde herhag rs dur dyee kadar fyat r tekerleğ üzerde e teklf ereler öüde sürekl r şeklde düşer. Dur dye kş kazaır e tekerle- 4 (V4) olmada, teklf ere doğrusal olmaya fayda foksyoua sahptr. (.) dek eklee karıı maksmze etmek yere eklee faydası ola Pr(kazama olasılığı)u ( -p w ) + Pr(kayetme olasılığı) u (p ) y maksmze eder. 5 İkc fyat açık artırmalarıa yakı r uygulama adr ulua pullar ç kullaılmaktadır. M. Rothkopf, T. Teserg, e E. Kah, Why are Vckrey Auctos rare? JPE 98, Şuat 99, 94-9.
Açık Artırma Teors Üzere Br Çalışma 55 ğ durduğu yerdek fyatı öder. Bu hale tp geelde Hollada da ççek satış halelerde kullaılmaktadır. Satıcıı kaul ettğ mmum teklf ola muhamme edel r le gösterlr e dört hale tp de r parametresdr, kaul edlelecek teklfler alt sıırıı gösterr. Brc e kc-fyat halelerde tüm erle teklfler e az r kadar olmalıdır. Eğer hçr teklf r üzerde değl se, satış gerçekleşmez. İkc-fyat halesde r kazaa tek teklf ere kşyse satış fyatıa eşt olur. Çükü u durumda r r akıma kc yüksek teklf olur. İglz halesde müzayedec açık artırmaya r de aşlar e hç kmse teklf ermezse satış gerçekleşmez. Flemek halesde, tekerlek r ye düşee kadar teklf erelerde herhag rs dur demezse satış gerçekleşmez. Tüm halelerde açık artırma aşlamada öce muhamme edel aos edldğ kaul edlmektedr. Dolayısı le tüm teklf ereler teklf ermede öce muhamme edel lrler. Grş ücret c le gösterlmektedr. c her r hale aşka r parametresdr. Bu, teklf erelmek ç ödemes gereke mktardır. Her teklf ere, haleye katılıp katılmayacağıı karar ererek c grş ücret ödemede öce mala çtğ ked değer lr. Yukarıda elrtle haleler ç muhamme edel e grş ücret SPA(r,c), EA(r,c), FPA(r,c) e DA(r,c) le gösterlmektedr. 3. Bazı Olasılık Hesapları Normalleştrme amaçlı, her değer [,] aralığıda sürekl r değşke olduğuu arsayalım e r değşke rasgele olduğuu göstermek ç ~ semolü kullaalım. Bu yüzde ~, satıcıya e dğer teklf ere kşlere göre gerçek değer F. olasılık dağılımı teklf ere değer ola rasgele r değşkedr. aralığıda olma olasılığıı göstere r fok- arta r foksyo e syodur ~ (,] ~ ç ( ) F() = Pr [ ~ ] ~ kes olarak [,] aralığıda olduğu ç F ( ) = e ( ) = F olduğu lmektedr.
56 Şeket Alper Koç F (). [,] (). F (). de sürekl e poztf türee sahp olduğu e yoğuluk foksyouu f = olduğu arsayılsı. Bu yüzde ~ sürekl olarak dağılmıştır. Dolayısıyla herhag r ç ~ ye eşt olma olasılığı dır. Souç olarak, Pr ~ < = Pr ~ olur. [ ] [ ] F( ) = ~,..., ~ Burada öeml olacak k rasgele değer, { } yüksek kc elemaı ola () dağılımı F ()() = () kümes e yüksek e e ~ e ~ ( 2) dr. 6 Bağımsızlık arsayımı gereğ ~ () [ ~ ] = Pr[ ~ ] = F() Pr (3.) = < ç, y artırmak F ()( ) = F( ) düşürür. Bu durum şekl de gösterlmştr. Şekl : E Yüksek Değer Teklf Vere Sayısı Arttıkça Olasılık Dağılımı F F 3 F 5 6 İstatstkçler sırasıyla () ~ ye c mertee e (-) c mertee statstk adıı ermektedrler. ~ e ( 2)
Açık Artırma Teors Üzere Br Çalışma 57 Bu yüzde örek üyüklüğü y artırmak ~ () üst sıırı ola e yakı ulma olasılığıı arttırmaktadır. Herhag r poztf ε ç e yüksek değer ke olur. Yoğuluk fok- geçme olasılığı, F()() = F( ε ), syouu elde etmek ç F()( ) türe almak gerekr. f ()() F() f () ε u = (3.2) Büyüklüğü ola öreğ kc e üyük değer ~ ( 2) dağılım foksyou, F [ ] [ ~ ] F( ) F( ) F( ) ( 2)() = Pr ( 2) = + (3.3) olur. (3.3), kc üyük değer de küçük olaleceğ ( +) çeşt olasılığı toplamıı göstermektedr. Olasılıklarda r taes tüm değerler de küçük olduğu durumu fade etmektedr. Bu olasılık F ( ) le gösterlr. Br aşka olasılık se, r ~ de küçük olma olasılığıdır. Buu olasılığı da [ ()] ( ) ( ) F F = F F( ) olur. Bu term her r ç kere görüldüğüde (3.3) elde edlmş olur. ~ ( 2) yoğuluk foksyouu elde etmek ç (3.3) ü türe alıır; f ( )() = ( ) F() 2 [ F( ) ] f ( ) 2 (3.4) Br aşka faydalı rasgele değşke de ~ y = max( ~,..., ~ 2 ), ya F (). dağılımıda çekle ( ) ağımsız değşke maksmum değerdr., e yüksek değere sahp, teklf ere ç y ~, dğer teklf ereler değerler maksmumuu gösterr. y ~ ç kümülatf e yoğuluk foksyoları sırasıyla şöyledr. G 2 ( y) F( y) e g( y) = ( ) F( y) f ( y) = (3.5) Örek: Üform Olasılık Dağılımı Üform dağılımda, () = e f () =, [,] F (3.6)
58 Şeket Alper Koç Bu dağılımda rasgele değşke, aralığıda herhag r değer olma olasılığı ayıdır. Ortalama değer, ε ( ~ ) = / 2 dr. ~ [ ] ()() = e f()() = F (3.7) ( ~ ) ( ) + ε () d = (3.8) = ( ), ε ~ () artar e çok üyük ke ~ () e yaklaşır. f ( )() = ( ) 2 ( ) 2 (3.9) ( ~ ) ( )() = + ε ~ < ε ~ eştszlğ elde ederz. Ayrıca, ε ( 2) f 2 d = (3.) (3.8) 3 (3.) da ( 2) olur. ( ) ( () ) 2 ( y) = y e g( y) = ( ) y G (3.) 4. İkc Fyat İhaleler Öcelkle herhag r kapalı zarf halesdek stratej karamı le aşlamak faydalı olacaktır. Her oyuda olduğu g, r stratej her r oyucuu lg kümeler uygu hareketlere eşleştrr. Kapalı zarf halesde r teklf ere lg kümeler ked tpler le edeksler. Bu yüzde stratejs, tp r foksyoudur; öreğ ()., [,] aralığıda r foksyodur. Kapalı zarf halelerde teklf ere daraışları teklf ermemes e ereleceğ mümkü ola tüm teklfler çerr. Hareket kümes { } [, ) r olarak gösterelrz. Burada teklf ermemey gösterr e [ r, ) aralığı da kaul edlelecek mümkü ola tüm teklfler gösterr. (Kaul edlelecek teklfler muhamme edelde üyük olmak zorudadır.) u yüzde teklf ere stratejs,,. foksyoudur. [ ] {} [ r ) göstere ( )
( r c) SPA, Açık Artırma Teors Üzere Br Çalışma 59 r teklf erdğ, muhamme edel r e grş ücret c ola kc fyat haleler gösterdğ kaul edelm. değere sahp r teklf ere arsayalım e z, eğer aşka r teklf olmuşsa dğer teklfler e üyüğü, aks takdrde z = r olsu. Bu hale kuralları teklf ere karıı aşağıdak foksyo olduğuu fade eder. A (, z, ) = ( -z ) p( ) -z-c c < z se = z se > z se p ( ) teklf ere eştlk halde kazama olasılığıdır e p ( ) dr. Teklf ere eklee karıı maksmum yapmak ç r teklf seçecektr. Geel olarak dğer teklfler maksmumuu lemeyecektr ama uu yere ~ z değşke r dağılıma göre rasgele değer olarak görecektr. Bua göre, eklee karıı, ε A, ~ z,, maksmum yapmak ç e uygu teklf seçecektr. [ ( )] Brc öeml soucumuz, eğer grş ücret c = se, her teklf ere kc fyat halesde domat stratejye sahptr. Ya, her e ç, dğer teklf ereler e yaptıklarıa akmaksızı, optmum ola r ( ) ardır: Bu stratej, eklee değer, ε [ A (, ~ z, ) ], ~ z ç hag dağılım kullaılırsa kullaılsı maksmum yapar. Teklf ere domat stratejs, eğer değer muhamme edel geçyorsa teklf ermektr e erdğ teklf ked değere eşt olmalıdır. Teorem 4.: SPA ( r,) da, aşağıdak, her r teklf ere domat stratejdr. 7 () = İspat: Öce { } > r se < r se < r olduğu durumu ele alalım. { } her teklf dome eder. Çükü {} açıkça sıfır kar getrr. Ama herhag r poztf teklf erlmedğ zama, r < olduğuda kazaa e az r kadar fyat ödedğ ç, kazadığıda egatf kar elde edecek e kayettğde se sıfır kar elde edecektr. Şmd r olduğu durumu ele alalım. Öce rakpler teklfler e üyüğü ola z ldğ farz edelm. z, hale kazaılırsa ödeecek fyattır. Yapıla teklf, sadece kazaıp kazaılmayacağıı elrler. Eğer > z se hale kazaılır, yok eğer < z se kayedlr. Eğer z > se, kazamak stelecek e > z ola herhag r 7 =r ç her k halede de, {} eya =r hakm stratejdr.
6 Şeket Alper Koç teklf teklf ere ç optmum olacaktır. = öyle r teklftr. Bezer şeklde, z < se, kayetmek daha rasyoel olacaktır e < z optmal olacaktır. = öyle r teklftr. Böylece mala çle değer ke e rakpler teklfler lyorke = teklf ere ç e y teklf olduğu görülmüştür. Şmd rakpler teklfler e üyüğüü lmedğ durumu ele alalım. Bu durum da aslıda çok kolaydır. Br öcek paragraftak argüma aslıda z kes değere ağlı değldr. Bu, z değere akmaksızı soucu doğru olması gerektğ fade etmektedr: = her zama optmaldr. Bu yüzde, eğer rakp teklfler maksmum olaıı lmezse le = optmal r teklftr. Bu argümaı daha güelr kılmak ç formalleştrelm. Aşağıdak şekl cele- A, z, y gösteryor: z <, z = e z >. yelm, değştkçe ( ) Şekl-2-2: Fyat Açık Artırmalarıda Teklf Vere Ked Değer Teklf Etmes -z YTL A(.,z,) z YTL -z z = A(.,z,) YTL -z z A(.,z,)
Açık Artırma Teors Üzere Br Çalışma 6 Şekl 2, yukarıda taımlaa argümaı lk adımı ola e her durumda = A (, z, )y ' maksmum yaptığıı göstermektedr z lmedğ ç kc adım stadart Bayes karar erme teorsde gelmektedr. z ' y lmemek ou h (). yoğuluk foksyoua sahp rasgele r ~ z değer olduğua amak demektr. 8 Verle teklf e mala çle değer ke eklee kar B (, ) le gösterldğde (,) A(, z~, ) ' B eklee değer olur: ( ) A(, z ) h( z) B, =, dz (4.) (, ) ( ) olduğu gösterlmş olduğuda dolayı her ( ) Yoğuluk foksyoları poztf olduğuda e rc adımda A z, A, z,, z, ç lmektedr k; ( z, ) h( z) dz A(, z ) h( z) A,, dz (4.2) Bu yüzde B ( ) B(, ),, e = dğer tüm teklflerde daha fazla kar sağlamaktadır. Bu argüma, rakpler daraışları hakkıdak açlara ağlı olmada, ya h (). yoğuluk foksyou le lgl olmadığı halde geçerl olduğu ç () = foksyou domat r stratej olduğuu fade etmektedr. İkc fyat halesde kazaa teklf ere satıcıya ödedğ fyat hakkıda şm- 2 ~w, teklf e- d r şeyler söylemek mümküdür. Öreğ SPA (,) ı ele alalım. reler domat stratejler oyadıkları zamak satış fyatı olsu. Bu stratejye göre tüm oyucular ked değer teklf ereceğde e yüksek değere sahp teklf ere kazaacak e kc yüksek değer ödeyecektr. Bu yüzde, 2 w ~ = ~ (4.3) ( 2) Beklee satış fyatı, ε ( ~w 2 ), satıcıı halede elde ettğ eklee gelrdr. (4.3) te, 8 Yukarıdak argüma z ~ yoğuluk foksyoua sahp olmasa da geçerldr.
62 Şeket Alper Koç 2 ( w~ ) ε ( ~ ( 2) ) ε = (4.4) ε = olur. + Poztf grş ücret u souçları asıl değştrr? Ked değerler teklf ermek artık teklf ereler ç domat stratej olmayacaktır. Grş ücret olduğu zama, teklf erp ermeme kararı kş dğer teklf ereler asıl daraacağıı düşümelere ağlıdır. Öreğ, eğer teklf ere r aşka teklf ere her zama çok üyük r teklf ereceğe aıyorsa, mesela >, teklf ere ked Üform dağılımda (3.) e (4.4) te ( ~ 2 w ) değer kadar,, teklf errse kazaamayacağıı lr. Bu yüzde teklf ermek e az grş ücret kadar r malyet garat eder. Böylece teklf ere e y ceaı olur. Buula rlkte dğer teklf ereler tüm stratej profller ç r teklf ere e y ceaı teklf ermek se ereceğ e y teklf ked değerdr. Argüma öcek gdr: = her zama r aşka teklfte e azıda kötü değldr. Poztf r grş ücret ayı zamada muhamme edele yakı değere sahp teklf ereler teklf ermemese de seep olur. Buu görmek ç r teklf ere teklf ermes halde c > kadar ödemes gerektğe dkkat çekelm. Grş ücret harç maksmum olalecek kar ( r) olur. Çükü kazaılması durumuda ödeecek mmum mktar r kadardır. Bu yüzde eğer r çok az üstüde olursa r < c olacağıda kş teklf ermekte kaçıacaktır. Marjal değer,, teklf ermek ç teklf ere değer üstüde olması gereke değerdr e dege r usuru olarak ulumak zorudadır. Öcelkle, değere sahp r teklf ere teklf erme le ermeme arasıda kayıtsız olduğuu eklemek gerekmektedr. Ya teklf ere eklee karı sıfırdır. Ve r teklf ere e y teklf ked değer olduğuda, teklf ere teklf olur. Ayrıca dğer teklf ereler teklf ereceklerse, ked değerler teklf ereceklere göre e u değer de da üyük olacağıa göre teklf ere acak e acak hç kmse teklf ermezse haley kazaacaktır. Bu olayı olasılığı dğer tüm değerler da küçük olma olasılığıdır k u G ( ) dır. teklf ere kş acak aşka hçr kmse teklf ermezse kazaacağıda, şayet kazaırsa r fyatı ödeyecektr. Bu
Açık Artırma Teors Üzere Br Çalışma 63 yüzde eklee karı ( r) G( ) c marjal değer ( r, c) ( r) G( ) = c olacaktır. Beklee kar olduğuda aşağıdak deklem çözümü le taımlaır: (4.5) Poztf grş ücret olduğuda da (4.) teoremde olduğu g, r c olduğu sürece SPA ( r, c) () = ( r, c) { } < ( r, c) se se deges aşağıdak gdr. (4.6) 5. İglz İhaleler İglz haleler teklf ereler ağırarak teklf erdkler sözlü haledr. Aslıda çalışmak ç çok komplke r ojedr. Br teklf ere stratejsyle lgl çok sayıda htmal ulumaktadır. Öreğ teklf ere r müddet sessz kalalr ama sora art arda rkaç defa ağıralr, ya da teklfler yaaşlayaa kadar susalr, eya... Netcede olasılıklar sosuz e çok karmaşıktır. Buula rlkte, İglz hales ast r model ele alıp teork olarak çözmek mümküdür. Bu tür r modele düğme hales der. Düğme halesde, açık artırma sürekl olarak artarke her teklf ere öüdek düğmeye asmaktadır. Teklf ere stedğ r ada el düğmede çekelr e halede r daha ger dömemek üzere çeklmş olur. İhale, el düğmeye asa tek teklf ere kaldığıda soa ermektedr. Bu teklf ere haley kazaır e kedsde öcek teklf ere düğmede el çektğ değer kadar fyat öder. Ayrıca düğmede el çekmeye teklf ere aşka kaç teklf ere el düğmede çekmedğ görmedğ kaul edelm. 9 Düğme halesde r teklf ere mümkü hareketler set ayı kapalı zarf halesde olduğu gdr: { } [ r, ). { } hçr zama düğmeye asmamak alamıa gelr. r sayısı se teklfler ye ulaştığı zama el düğmede çeklmes-., r, foksyou- temsl eder. teklf ere stratejs, ( ), [ ] { } [ ) dur. 9 Eğer değerler özel e ağımsız olmasaydı, u ast arsayım öeml olurdu. Bu durum se, İglz hale modeller ç kötü r durum olurdu.
64 Şeket Alper Koç Bastlk ç r = c = olduğu durumu ele alalım. Bu durumda teklf ere açık artırma ked değer altıda olduğu müddetçe düğmede el çekmeyecektr. Eğer r teklf ere açık artırma ked değere ulaşmada düğmede el çekerse haley kazaıp ked değerde az r fyat ödeme şası olduğu halde haley kayedecektr. Bu yüzde teklf e re, açık artırma ked değere ulaşmada düğmede el çekmemeldr. Dğer yada, açık artırma ked değer geçtğ halde düğmey serest ırakmamışsa teklf ere kayedeceğ halde kazama şası olacaktır. Çükü değere ulaştığı ada el düğmede çekmek dğerler e yaparsa yapsı teklf ere ç optmal stratej olur. Ayı SPA (,) halesde olduğu g ( ) = stratejs domat stratej olumaktadır. Hatta geelleme yapılırsa SPA ( r, c) deges ayı zamada EA ( r, c) de deges olacaktır. EA da mal e yüksek değere ( ~ () ) sahp teklf eree satılır. Bu Böylece (,) teklf ere, so teklf ere halede ayrıldığı ada açık artırmaı ulaştığı düzeydek fyatı öder. Bu so teklf ere kc yüksek değere sahp teklf eredr, E ~ ( 2). w ~, EA (,) halesdek satış fyatı olduğuu arsayalım: w ~ E ~ = w ~ 2 = ( 2) (5.) (5.) de görüldüğü üzere SPA (,) e EA (,) olmuş olur. 6. Brc Fyat İhaleler ( r c) ı eklee fyatları rre eşt FPA, hales celedğde şu durum görülmektedr. Her r teklf ere ya teklf ermez ya da muhamme edelde üyük r teklf err; e yüksek teklf ere kazaır e teklf erdğ fyat kadar öder. Teklf ere herkes grş ücret ( c ), öder. Şmdlk SPA e FPA arasıdak farkı matıksal olarak ele alalım. Kedz FPA ya katıla r teklf ere yere koyduğuuzu e mal ç değerz,5 olduğuu arsayalım.,5 teklf ermek optmal olur mu? Keslkle olmaz, e azıda rakplerz,5 te az teklf ereceğ düşüülüyorsa keslkle optmal olmayacaktır.,5 teklf ererek kazasaız le kar elde edersz çükü ödeyeceğz fyat sz değerz olacaktır. Ama,5 te raz az teklf erlrse kazama olasılığı raz düşmüş olmakla eraer hale kazaıldığıda poztf kazaç elde edlmş oluur.
Açık Artırma Teors Üzere Br Çalışma 65,5 te e kadar düşük teklf erlecektr? Bu, rakpler asıl teklf erdkler hakkıdak açlara ağlıdır. Eğer herkes,25 teklf ereceğ düşüülürse,25 te raz daha fazla teklf ererek kazaalecek e düşük fyatla haley kazaalr. Ama rakpler,5 e daha yakı r teklf erecekler düşüülseyd kazaalmek ç,5 e daha yakı r teklf ermek zoruda kalıırdı. Eğer herkes,5 te daha yüksek teklf ereceğ düşüülseyd teklf ermek ç hçr dürtü olmazdı. Bu argüma gösteryor k rc fyat halelerde teklf ere domat r stratejye sahp değldr. Optmal stratejs dğerler asıl teklf erdklere dar acıa ağlıdır. Bu durumu daha formel çmde ele almak mümküdür Brc fyat halesde her teklf ere ç ().,..., (.) stratejler er ke, teklf ere kazama olasılığı foksyou şöyle taımlaalr. Q [ göreteklf err] ( ) = o kazama teklferr e j (.)' Pr j ye Bu foksyou hesaplama durumuda kalıılmayacaktır. teklf ere, dğer teklf ereler erle stratej profle uygu olarak hareket etmeler eklerse, teklf erdğde kazama olasılığı Q ( ) olur. Değer ke, c grş malyet hesaa katılmazsa eklee karı, (, ) = ( ) Q ( ) π (6.) olur. Teklf ere et eklee karı ( ) c π olur k u, teklf ere rasyoel daraıyorsa egatf olmamalıdır. Çükü teklf ermeyerek zate karı garat eder. ().,..., (). stratej profl, eğer her e. stratejler ç e y ceapsa, Bayes-Nash degedr. π π π (, ) c ( ) = { } tüm r ç [, ( )] c e tüm r ç [, ( )] π (, ) ç ( ), j ( ) j ( ) { } Öyleyse teklf ere karlı r şeklde teklf eremyorsa teklf ermez e sadece poztf r kar yapacaksa teklf err. Bu durumda da karıı maksmum yapmış olur.
66 Şeket Alper Koç Smetrk degede her (). stratejs ayı (.) FPA (,) ı ele alalım. FPA (,) teklf ere aşağıdak teklf err. ye eşt olur. Kolaylaştırmak ç ı deges herhag r değere sahp r * () = ( y) g y G() dy (6.2) * () smetrk dege olduğu görülecektr. Ama u foksyola lgl 3 tae gözlem ele alalım. 6.. Yorum: Br teklf ere dege teklf, u değer ked değerde az olmak koşuluyla rakpler değerler e yüksek olaıı eklee değere eşttr. * () = E[ ~ y / ~ y ] Buu alamak çok kolaydır. g ( y), ( ) y~ yoğuluk foksyoudur. Bu olayı, ya ( y ) teklfç değer maksmum ola ~ olasılığı ( y) () G () = F() g dr. Bu yüzde, ~ y ke ~ y koşullu yoğuluğudur. Ve öylece (6.2) ~ y ~ y koşulua ağlı olarak eklee G değerdr. 6.2. Alta teklf erme e Rekaet (6.2) de de görüldüğü üzere teklf ereler dğerlerde daha az teklf errler, * () <. (6.2) kısm tegral alıdığıda u durumu görmek mümküdür. () = () yg F * elde ederz. () ( y) dy = F () F *, paratez ç kısm tegral alıca şu eştlğ () F( y) dy. Ve souç olarak,
Açık Artırma Teors Üzere Br Çalışma 67 * () = o F F ( y) () dy (6.2 ) Alta teklf erme mktarı (6.2 ) dek tegral le ölçülür. İtegral değşke y, de küçük olduğu ç F F ( y) () de küçüktür. a gderke tegral a doğru azalır. Dolayısıyla rekaet arttıkça, ya teklf ere sayısı arttıkça alta teklf erme mktarı a doğru yaklaşır. 6.3. Gelr Eştlğ (,) FPA ı dege satış fyatıı ~w le gösterldğ arsayalım. Buu eklee 2 E değer ~w e w ~ ye eşt olduğu gösterlelr. Satıcıı eklee gelr FPA (,), SPA(,) e EA(,) ç ayıdır. Br sorak ölüm u soucu alatacaktır. Şmdlk gelr eştlğ çok şaşırtıcı olmadığıı söyleyelm. FPA (,) da teklf ereler ked değerlerde daha az teklf errler. Ama SPA (,) da se ked değerler teklf errler. Dolayısıyla SPA (,) da teklfler daha yüksektr. Ama FPA (,) da se satış fyatı e yüksek kc fyat değl e yüksek fyattır. Gelr eştlğ teorem u k etke rr yok ettğ fade etmektedr. Hatırlatma: ~w e 2 ~w eklee değerler eşt olmasıa rağme ular k eşt rasgele değer değldr. İglz e kc fyat halelerde se de ~ ( 2) ye eşttr. 2 ~w e E w ~ her ks ( ) * ~ Brc fyat halesde kazaa teklf ere teklf, (), kc e yüksek değer ola rakpler değerler e yükseğ eklee değere eşttr. Eğer r teklf ere değer e yüksekse, ~ ~ (), rakpler değer e yükseğ, y, tüm değerler e yüksek kcse eşt olacaktır, ~ ( 2). Ya, 2 * 2 E w ~ = E ( ~ ) = E E[ ~ yι~ y ~ ] = E E[ ~ ~ ~ 2 Ι 2 ] = E[ ~ 2 ] = w ~ [ ] [ ()] { ()} { ( ) ( ) ( )} ( )
68 Şeket Alper Koç Örek: Üform dağılım ç (6.2) e (6.2 ) y hesaplayalım. () = Beklee satış fyatı, (3.8) te hesaplaırsa aşağıdak foksyou elde edlr. ε ε ( ~ * ) [ ( ~ ())] ( ) w = ε = ε ~2 ( ) ( ) w = ( + ) ~ () = ( ) ( + ) = ( ) ( + ) Böylece gelr eştlğ üform dağılım ç tuttuğu görülmektedr. Teorem 6.: FPA (,) da, (6.2) de taımlaa stratej smetrk degedr e *. = tüm > ç. (). eğer herhag r smetrk dege se ( ) ( ) İspat: Mlgrom e Weer (982) ye akı. 7. Hollada İhaleler Hollada halesde teklf ereler öüde r tekerlek düzel adımlarla döer e gösterdğ fyat düzel olarak düşer. Teklf erelerde lk dur dye haley kazaır e dur dedğde teker gösterdğ fyatı öder. Tekerleğ olduğu odaya gre her teklf ere c grş ücret öder, e eğer fyat r muhamme edel kadar düşerse oje satılmaz. Herhag r teklf ere daraışı ya hçr zama tekerleğ durdurmamak ola {teklf ermeme}, ya da eğer tekerlek oraya kadar düşerse r sayı olacaktır. Ya, teklf ere daraış kümes { } [ r, ) olacaktır. Böylece teklf ere stratejs [, ] {} [ r, ) (.) foksyoudur. Muhamme edel r, grş ücret c ola Hollada hales le rc fyat hales karşılaştıralım. Her ya r sayı ya da { } ola (,..., ) daraış profl ele alalım. Bu profl her daraışı { } se, FPA da hçr kmse teklf ermez e
Açık Artırma Teors Üzere Br Çalışma 69 DA da hç kmse teker durdurmaz. Her teklf ere her k halede de karı sıfırdır. E azıda r kş teklf errse, farklı r durum ortaya çıkar. e yüksek teklf olduğuu arsayalım. FPA da teklf ere kazaır e karı olur. Dğerler ya sıfır kar ya da c c kar elde ederler. DA da hç kmse tekerlek ye ulaşaa kadar teker durdurmaz, dolayısıyla teklf ere de durdurur, c c ye teklf ere kazaır e kar elde eder. Dğerler katılıp katılmadıklarıa ağlı olarak ya sıfır ya da kar elde ederler. Görülüyor k herhag r daraış profl tüm teklf ereler ç ayı karı sağlıyor. Bu argüma soucuda, Hollada e rc fyat hale oyularıı ormal formlarıı ayı olduğu söyleelr. Her k oyu, ayı stratej kümelere sahp e ayı daraış profller her k oyuda da her r teklf eree ayı karı sağlamaktadır. Ya, herhag r ().,..., (.) stratej profl her r teklf eree ayı karı err. Bu, k hale stratejk olarak dek olduğuu gösterr. Teorem (6.) de taımlaa (). DA (,) ı da tek degesdr e satış fyatı, w ~ * D, ~w e eşttr. 8. Teork İhaleler Elde ettğmz dege her oyucuu oyaması şartıyla FPA (,), SPA(,), DA(,) e EA(,) ı ayı eklee satış fyatı erd görülmektedr. Bu şaşırtıcı souç Dek Gelr Teorem olarak lr. Bu kısımda haleler dek olalme yolları daha geş r şeklde görülecektr. Başlamada öce, şu ada tartışıla deklğ eklee kar açısıda olduğuu fade etmek gerekmektedr. İk dek hale hem satıcıya hem de her r teklf eree ayı eklee karı sağlamaktadır. Sadece rsk ötr r satıcıı dek olarak göreldğ u alamda dek ola k hale satış fyatları değşk dağılımlara sahp rasgele değşke olalrler. Muhamme edel e grş ücret ola ya da olmaya 4 halede r, ya da herhag r haley düşüelm. Bu halede teklf ere öem erdğ şey edr? Rsk ötr olduğu ç sadece k değşkee öem err, kazama olasılığı, Q, e eklee ödemes, P. tp teklf ere, kazama olasılığı, Q, e eklee ödemes P ola r daraış seçmşse eklee karı Q P olur. Q P + Q P = Q ( ) ( )( ) P İhale deges ulmaya çalışalım. Dğer teklf ereler erle degeye göre hareket ederlerke r teklf ere, mesela Burak ı dege stratejs (). olsu.
7 Şeket Alper Koç Ya, (), Burak ı değer ke e y daraış ya da hareket olsu. Burak ı daraışı, hale kuralları e dğer teklf ereler değerler olasılık dağılımı le rlkte Burak ı kazama olasılığıı e eklee ödemes elrler. Bu, Q e P y foksyou olarak ya Qˆ ( ) e ( ) gelr. Pˆ olarak yazalmek alamıa Örek: FPA (,) da Q ˆ ( ) = G( ψ ( ) ), ψ (). (.) ters foksyoudur ya, ( ( ) ) = Pˆ ( ) = G( ψ ( ) ) SPA (,) da Q ˆ ( ) = G( ) ( ) = Pr( yˆ ) ( yˆ / yˆ ) = yg( y) Pˆ ε dy ψ. Burak ı prolem Qˆ ( ) Pˆ ( ) foksyouu maksmum yapmak ç seçmek olarak görülelr. () Burak ı değer ke ou optmal daraışı olduğu ç () = daraışı u prolem çözer. Şmd, u prolem drek çözmek yere r oyu oyayalım. Farz edelm k satıcıya drek teklf ermek yere Burak ked lgsayarıa uu programlatsı. Acak programladığı zama ked değer lmes. İhale olduğu gü, değer öğres e lgsayarıı cep telefouda arası e oa değer ldrs. Daha sora lgsayar programa göre, ya (.) foksyoua göre teklf hesaplası e satıcıya teklf ldrs. Ama Burak hala r seçm yapmalıdır: Blgsayarıa gerçek değer rapor etmek yere r aşka değer rapor edelr. Rapor ettğ değere z dyelm. Burak ı prolem şöyledr: Max Q z Q (). e (). Q ( z) P( z) (8.) P foksyoları lgsayarı daraış kurallarıa göre hesaplaır. ( z) = Qˆ ( ( z) ) e P( z) Pˆ ( ( z) ) =.
Örek: Yukarıdak örekte yola çıkarak, FPA (,) da; ( z) = G( ψ ( ( z) )) G( z) e ( z) = G( ψ ( ( z) ))() z G( z) ( z) Q = P = SPA (,) da, ( z) z Q( z) G( z) = P = e ( z) = Pˆ ( ( z) ) = yg( y) z dy Açık Artırma Teors Üzere Br Çalışma 7 Burak ç prolem (8.) çok kolaydır. Her şeyde öce lgsayar ou optmal stratejs ç programladığıda dolayı Burak ç e y daraışı sergleyecektr. Eğer Burak doğru değer rapor ederse, lgsayar ( ) y teklf erecektr k u gerçek değer ke Burak ı e y daraışı olacaktır. Eğer lgsayara yala söyleyp z rapor ederse, lgsayar ( z) z = prolem (8.) çözer. de y olmayacaktır. Bu yüzde teklf erecektr k ( ) Burada takp ettğmz kural, lg ekooms temel taşlarıda ola Açığa urma pres dr. Argüma herhag r teklf eree uygulaalr. Ama herkes dege stratejler eşt olmak durumuda değldr. ( z) Q e ( z) P sırasıyla teklf ere lgsayarıa değer z olarak rapor ettğ zamak kazama olasılığı e eklee ödemes olsu. Eğer değer se, teklf ere dege eklee karı aşağıdak g olur. ( ) = Q ( ) P( ) π (8.2) Gelr deklğ aşağıdak temel teorem r soucudur. Değer olduğuda teklf ere dege eklee karıı lmek ç hag lgye sahp oluması gerekr? π ( ) y lmek ç, (8.2) deklem k tae sayıyı lmemz gerektğ fade etmektedr Q ( ) e P ( ). π (.) foksyouu lmek ç Q (.) e P (). foksyolarıı lmes gerekyor g görümektedr. Ama aslıda daha az lgye htyaç ardır. Tüm teklf ereler optmze etmeye çalıştıklarıda π (.) foksyou sadece r foksyoa Q ()., e r sayıya, π ( ), ağlıdır.