Uyum Aalz Teork Esasları ve Regresyo Aalz Đle Bezerlğ Grafksel Boyutta Karşılaştırılması Nev UZGÖREN * Özet: Đstatstğ temel amaçlarıda brs değşkeler arasıdak lşky celemektr. Bu amaçla kullaıla yötemlerde ola Uyum Aalz; ele alıa değşkeler kategork formda olduğu ve özellkle gözlem sayısıı yeterszlğ edeyle k-kare aalz uygulaamadığı durumlarda kullaıla başlıca yötemdr. Uyum aalz, her br değşke kategorler arasıdak lşkler ve ayı zamada değşkeler arasıdak kategork bazda çapraz lşkler harta adı verle grafkler yardımıyla celemey sağlaya br yötemdr.bu doğrultuda çalışmaı lk aşamasıda amaç, sadece k değşke arasıdak lşky celeye bast uyum aalz temel esasları le brlkte hartaları asıl oluşturulduğuu ve asıl yorumlaacağıı teork olarak sumaktır. Çalışmaı kc aşamasıdak amaç se; uyum aalz, geelde cel değşkeler arasıdak lşky celeye çoklu regresyo aalz le ola bezerlğ grafksel boyutta karşılaştırmaktır. Aahtar kelmeler: Uyum aalz, Regresyo aalz, Toplam değşkelk, Artık, Đstatstksel grafkler Theoretcal Bass of Correspodace Aalyss ad Comparso of Its Smlartes Wth Regresso Aalyss o The Graphc Abstract: Oe of the ma ams of statstcs s to exame the relatos betwee varables. Correspodace Aalyss s a essetal method used whe varables s the categorcal form ad ch-square aalyss ca ot be appled because of the adequate umbers of observato. Correspodace aalyss s a method provdg a tool to exame both the relatoshps betwee categores of each varable ad categorcal across relatoshps betwee varables by the help of graphcs, amed map. I ths drecto, the frst step of study s to preset the prcpal bases of smple correspodace aalyss whch exame the relatoshp betwee two varables, ad how to costruct ad terprof the maps. The am of the secod step of study s to compare smlarty of correspodace aalyss wth multple regresso aalyss grafcally, geerally examg the relatoshp betwee quattve varables. Keywords: Correspodece aalyss, Regresso aalyss, Total erta, Resdual, Statstcal graphcs GĐRĐŞ Uyum aalz temel amacı k veya daha fazla kategork değşke arasıdak brlktelğ, değşkeler kategorler az-boyutlu br uzayda oktalar şeklde göstererek aalz etmektr (Clause, 998). So * Yrd.Doç.Dr., Dumlupıar Üverstes Đ.Đ.B.F., Đşletme Bölümü Sayısal Yötemler ABD.
döemlerde kategork verler aalzde sıklıkla kullaıla yötemlerde br ola uyum aalz esası, değşkeler kategorler arasıdak bezerlkler ya da farklılıkları uzaklıklar csde fade ederek, elde edle souçları harta adı verle grafkler yardımıyla görsel olarak sumaktır (Özdamar, 00). Bu yötem lk olarak Frasa da 960 lı yılları solarıda Jea-Paul Bezecr tarafıda gelştrlmştr, acak so zamalarda Đglzce kouşa ülkelerde arta br popülarteye sahp olduğu görülmektedr. Ayrıca brçok ülkede brbrlerde bağımsız olarak, optmal scalg, recprocal averagg, optmal scorg, quatfcato method ya da homogeety aalyss adı altıda bezer tekkler gelştrldğ görülmektedr (http://www.statsoft.com/textbook /stcora.html, 004). Uyum aalz lk aşaması kategork değşkelere at yaıtları çapraz tablolar (kotejas tabloları) yardımıyla frekaslar halde özetleyerek, grafksel formda sumaktır. Aalz kc aşaması se, araştırmadak farklı sorular arasıdak lşkler açıklamaktır. Eğer br araştırmada sorular cel yaıtlar çeryorsa, regresyo aalz, faktör aalz, aa bleşeler aalz gb korelasyoa dayalı yötemler kullaılablmektedr (Greeacre, 00). Aket çalışmalarıda ortaya çıka kategork yaıt durumuda se, değşkeler arasıdak lşk geellkle çapraz tabloları çere k-kare aalz le celemektedr. Acak çapraz tabloları aalzde, k-kare aalz özellkle satır ve sütu değşkelere at kategor sayısıı çok olması ve bua bağlı olarak göze frekaslarıı yetersz kalması durumuda kullaılamaz hale gelmektedr. Bu gb durumlarda uyum aalz, kategork verler alaşılmasıı ve yorumlamasıı kolaylaştıra ve ver aalze grafksel br yaklaşım sua çok değşkel br aalz yötem olarak karşımıza çıkmaktadır (Seyfullahoğulları, 003). Dolayısıyla küçük tablolarda grafğ asıl br şekl alableceğ tasavvur edlebleceğ ç, uyum aalz küçük tablolarda zyade çok daha büyük tabloları aalzde ve yorumlamasıda daha büyük br öem arz etmektedr (http://www.statsoft.com/textbook/stcora.html, 004). Bu bağlamda uyum aalz, ayı zamada br frekas tablosuu k-kare (ya da ph-kare χ ϕ = = Λ = toplam erta) değer ayrıştırılmasıa yöelk br tekk olarak da taımlaablmektedr (Clause, 998). Bu doğrultuda çalışmaı amacı lk olarak k kategork değşke çere bast uyum aalz temel esasları le brlkte hartaları oluşturulması ve yorumlamasıa lşk teork blgler vermek; kc olarak değşkeler arasıdak lşkler aalz etmek ç kullaıla ve gerçekte aalz prosedürü olarak çok farklı görüe regresyo ve uyum aalzler bezerlkler grafksel boyutta göstermektr.
UYUM ANALĐZĐNĐN TEORĐK ESASI Daha öce belrtldğ gb uyum aalz, k-boyutlu br kotejas tablosuu kategorler arasıdak brlktelğ resmetmek ç gelştrle statstksel br tekktr. Satır ve sütular sırası le (=,, I) ve j (j=,,,j) olarak taımladığıda, k-boyulu br kotejas tablosu aşağıdak gb gösterleblr: Tablo : Đk-boyutlu kotejas tablosuu geel gösterm J Satır toplamı J + J + M M M M M I I I IJ I+ Sütu toplamı + + +J Burada j,. satır ve j. sütudak gözlemlee frekas değer ve toplam gözlem sayısıı göstermektedr. Uyum aalz, göze frekasları yardımıyla k değşke gözlemlee brlktelğ sua ve geel olarak yukarıdak gb taımlaa k-boyutlu br kotejas tablosuda yararlaarak, br değşke belrl düzeyler dğer br değşke bazı düzeyleryle brlktelğ olup olmadığıı belrlemesdr. Bu doğrultuda uyum aalz k-boyutlu br uzayda, kboyutlu br kotejas tablosuu satır ve sütularıı tablodak brlktelkleryle tutarlı olacak şeklde oktalar halde göstermek ç gelştrle geometrk br tekktr (Lee, 006). Bu durumda problem oktalara e y uya k-boyutlu uzayı bulablmektr. Uyum aalz aaltk sürec aşağıda gösterleceğ gb üç aşamada oluşmaktadır (Clause, 998): Uyum aalz lşk araştırılacak değşke sayısıı üç veya daha fazla olması durumuda çok-boyutlu tablolara da uygulaablmekte ve çoklu uyum aalz olarak smledrlmektedr. Acak bu çalışmada sadece k değşke çere k-boyutlu tablolar dkkate alımıştır.
a b c d e 3 4 Frekas tablosu 3 4 a b c d e Satır profller 3 4 a b c d e Sütu profller a d b 3 4 c e a d b c 4 3 e Şekl : Uyum Aalz Üç Aşamasıı Şematk Gösterm Bu sürece göre lk olarak satır ve sütu profller hesaplamakta, kc aşamada satır ve sütu profller k-boyutlu uzayda ayrı ayrı resmedlmekte ve so aşamada se satır ve sütu profller k boyutlu ortak br harta üzerde gösterlmektedr. Uyum aalzde harta adı verle bu grafkler gözlemlee frekaslara göre değl, frekasları satır çdek sp öem göstere satır profllere ve bezer şeklde frekasları sütu çdek sp öem göstere sütu profllere göre çzldğ görülmektedr. Bu edele uyum aalz alaşılablmes ç profl, mass, k-kare uzaklığı ve toplam erta (toplam değşkelk) gb dört temel kavramı açıklaması gerekmektedr.
Uyum Aalz Temel Kavramları Profller: Br kotejas tablosuu yorumlamasıda her br gözedek gözlemlee frekasları yorumlamak uygu değldr. Çükü her br satır ve sütu farklı sayıda yaıt çerr. Her br satır ve sütuu kıyaslaması ç ayı esası bemsemes gerekr. Bu esas da satır ve sütu toplamlarıı baz almak suretyle, her br satır ve sütu toplamıı e eşt kılacak şeklde sp frekasları hesaplamaktır. Elde edle bu satır ve sütu sp frekas değerler de satır ve sütu profller olarak kabul edlr (Greeacre, 994). Dolayısıyla satır (sütu) profller; satır (sütu) değşke kategorler sütu (satır) değşke her br kategors ç hesapladığı sp frekas değerler gösterr (Clause, 998). Uyum aalzde geellkle lglele satır profllerdr, çükü geel olarak açıklaa değşke kategorler ç sütular, br ya da daha fazla açıklayıcı değşke kategorler ç satırlar kullaılır (Greeacre, 994). Bu edele satır ve sütular ç yapılacak şlemler bezer prosedürler gerektrdğde tekrarda kaçımak üzere, yapılacak açıklamalarda geelde satır değşke dkkate alıacaktır. Satır profller geel gösterm aşağıdak tabloda özetlemştr: Tablo : Satır Profller geel gösterm Satır J toplamı J a = a = aj = + + + J a = a = aj = + + + M M M M M I I IJ I a I = a I = a IJ = I + I + I + Ortalama + Satır a+ = + + J a+ = a+ J = profl Satır mass + + I + Herhag br satır profl (ya da sütu profl) br matematksel vektör olarak taımlaablr ve her vektör uzayda br okta olarak gösterleblr. Bu durumda herhag br profl elemaı uzayda br koordat meydaa getrr. Öreğ sütu sayısı üç olduğuda her satır profl üç-boyutlu br uzayda oktalar olarak gösterleblr. Eğer k satır kategorse at profller brbrlere bezer se, bu kategorler brbrlere daha yakı oktalar, aks durumda uzak oktalar olarak yer alır (Clause, 998). Acak brçok uygulamada ele alıa uzay üçte daha büyük boyuta sahptr, dolayısıyla
her br profl pozsyouu belrlemek zordur. Acak profller boyutları drgeerek, -öreğ k-boyutlu br uzay gb-, daha kolay br formatta profller göstermek mümkü olablmektedr (Greeacre, 994) Ayrıca ortalama satır ve ortalama sütu profl olmak üzere k ayrı kavram daha vardır. Ortalama satır profl farklı sütulardak toplam gözlem sayısıı geel toplama bölümes ( +j / ) ve ortalama sütu profl de farklı satırlardak toplam gözlem sayısıı geel toplama bölümes ( + / ) le elde edle souçtur. Bu oktalar merkez olarak smledrlr ve oktaları aa ekseler orje göre yer belrler. Eğer br profl ortalama proflde çok farklıysa okta orjde uzak, bua karşılık ortalama profle yakısa profller merkeze yakı yer alacaklardır. Eğer kategorler eşt profllere sahpse, tüm oktalar merkezde toplaacaktır (Clause, 998). Mass: Uyum aalzde kc öeml kavram satır ve sütu masslarıdır. Satır massları (marjal satır profller), satırlara lşk marjal frekasları geel toplama bölümesyle ( + /) elde edlr ve aalzde her br satır profl ağırlıkladırmak ç kullaılır. Bu ağırlıkladırma sstem amacı, her br yaıtı her br profl oktasıa eşt katkıda bulumasıı sağlamaktır (Greeacre, 994, 0). Dğer br fade le massları aalzde belrl br profl öem ölçüsü olduğu söyleeblr. Ayrıca satır massları ortalama sütu profle, sütu massları da ortalama satır profle karşılık gelr (Clause, 998). K-kare uzaklıkları: Çok boyutlu br uzayda oktalar arasıdak uzaklıklar ökld uzaklıkları olarak blr ve bu uzaklıklar Pythagorea formülü kullaılarak hesaplaablr. ve oktaları arasıdak ökld uzaklığı = s(, ) = ( a j a ' j ) () j Burada a j. satır ve j. sütu profl, a j. satır ve j. sütu profl göstermektedr. Bu formül satır ve sütu profllere uyguladığıda, farklı satırlar ve sütular arasıdak ökld uzaklıkları hesaplaablr. Acak uygulamalarda geellkle ökld uzaklığı yere k-kare uzaklığı kullaılmaktadır. K-kare uzaklığı br tartılı ökld uzaklığı olup, tartılar ortalama profl elemalarıı tersdr. ve oktaları arasıdak k-kare uzaklığı = d(, ) = ( a a ) j ' j a j + j Burada tartı, profller ked arasıdak ağırlıkladırmayı değl, uzaydak boyutları farklı ağırlıkladırmasıı gösterr. Böylece daha az sıklıkla ortaya çıka yaıt seçeekler profllerarası uzaklığa katkısıı daha ()
yüksek, daha fazla sıklıkla ortaya çıka yaıt seçeekler se, daha az katkı sağladığı alamı ortaya çıkar (Greeacre, 994). Burada dkkat edlmes gereke husus, bu uzaklıkları farklı değşkeler kategorler arasıda değl, sadece ayı değşke farklı kategorler arasıda hesaplaablmesdr. Uyum aalz bu k-kare metrğe dayalı olup, k-kare statstğ ayrıştırılmasıa yöelk br tekk olarak da taımlaablr (Clause, 998). Toplam erta ( Λ ): Uyum aalzde varyas kavramı k-kare uzaklıkları le lgldr. Buu ç geellkle erta term bemser ve erta le varyas termler eşalamlı termler olarak kullaılır. Toplam erta, profl oktalarıı merkez etrafıdak dağılımlarıa lşk br mesafe ölçümü olup, aşağıdak formül yardımıyla hesaplaır (Clause, 998): Λ = r d (3) Yukarıdak eştlkte d. satır oktasıı merkeze ola uzaklığı ve r. satır oktaı mass (tartı) değer gösterr. Arzu edle Λ büyük br değer almasıdır. Bu se, satır oktalarıı merkeze ola k-kare uzaklıklarıı (d ) artması le mümküdür. Ortalama profller merkez olarak kabul edldğde, d maxmum olablmes se, satır profller ortalama satır profllerde uzaklaşması le gerçekleşeblr. Profller ortalama profllere yakı değerler aldıkça, profl oktaları da o ölçüde merkeze yakı br yerde koumlaır. Bu durum se, ele alıa satır kategors sütu kategorlerde bağımsız (lşksz) olduğuu gösterr. Gözelerdek değşm br ölçüsü ola toplam erta değer sıfıra yaklaştıkça, satır profller de merkez etrafıda toplaacak, toplam erta değer sıfırda uzaklaştıkça satır profller de o ölçüde merkezde uzaklaşacaktır. Böylece satır profl oktalarıı merkezde uzaklaşması se satır kategorler sütu kategorler le bağımlılığıı arttığı alamıa gelecektr (Greeacre, 994). Satır profller kutuplaştığıda, ya profller tamame br kategorde yoğulaştığıda profllerarası uzaklık da maxmuma ulaşır. Bu da lgl satır kategors sütu kategors le yüksek br brlktelk gösterdğ alamıa gelr. Toplam erta kavramı aşağıda gösterleceğ gb, Pearso k-kare statstğ le drek olarak lşkldr: χ = Λ (4)
Ayrıca toplam erta ph-kare csde aşağıdak gb de yazılablr (Clause, 998): χ ϕ = Λ (5) = Kategork değşkeler arasıdak lşky belrlemede kullaıla e yaygı yötemlerde brs k-kare aalzdr. K-kare statstğ ble formülüe göre her br gözeye at beklee frekaslar, satır ve sütu bağımsızlığı altıda, (satır toplamı x sütu toplamı) / geel toplam dır. Beklee değerde her sapma toplam k-kare değere bell ölçüde katkı sağlayacaktır. Uyum aalze bu açıda bakıldığıda, beklee değerlerde sapmaları az-boyutlu br grafk le gösterlebldğ ve toplam k-kare (ya da toplam erta=k-kare/) ayrıştırılmasıa yöelk br yötem olduğu görüleblr (http://www.statsoft.com/textbook/stcora.html, 004). Đstatstksel aalzlerde çok kullaılmasıa rağme, k-kare değer yorumlamak kolay değldr. Çükü her br gözedek gözlemlee frekas değerler k katıa çıkartıldığıda, sp uzaklıkları değşmemese rağme k-kare değer artacaktır. Bu edele uyum aalzde gözelerdek toplam değşkelğ belrlemesde k-kare statstğ yere, k-kare statstğ toplam gözlem sayısıa bölümüü fade ede toplam erta ölçüsü kullaılır. Braz öce belrtldğ gb büyük br erta, satır ve sütular arasıdak brlktelğ yüksek olduğuu, sıfıra yakı br erta değer se brlktelğ olmadığı alamıa gelr (Bezerc, 004). Her e kadar amaç toplam ertaı ayrıştırılması olsa da, toplam erta le k-kare arasıdak lşkde dolayı uyum aalz, br frekas tablosuu toplam k-kare (ya da ph-kare) değer ayrıştırılması tekğ olarak da taımlaır. Toplam erta (ya da k-kare) br özdeğerler kümes yardımıyla ayrıştırılır (Clause, 998). Satırlara karşı gele frekaslar toplamı sütu toplamlarıa, sütulara karşı gele frekaslar toplamı da satır toplamlarıa eşt olması gerektğde her br satırda (J-) ve her br sütuda da (I-) bağımsız grş vardır. Ya satır ve sütu toplamları bldğde ger kala grşler e olduğu buluablr. Buda dolayı, k yölü br tablo ç maxmum özdeğerler sayısı ve ayı zamada boyutları sayısı (J-) ve (I- ) mmumua eşttr (http://www.statsoft.com/textbook/stcora.html, 004). Bu özdeğerler boyutları sp öem fade eder ya da her br boyutu toplam ertaı e kadarlık br kısmıı açıkladığıı fade eder. Ver matrs özdeğerler hesapladığıda toplam ertaı e fazla lk boyutla, daha sora kc boyutla ve azala mktarlarla dğer boyutlarla açıkladığı görülür (Clause, 998).
Her br oktaı koordatları ve ayı zamada masslar kullaılarak her br boyutu özdeğerler hesaplaablr (Clause, 998): = λ k r f k (6) Burada r. satır oktasıı mass değer ve f k k. boyut üzerde. oktaı koordat karesdr (bkz. Şekl ). Özdeğerler her k küme çde ayıdır. Noktaları herhag br boyut ç koordat değer e kadar artarsa (ya da oktaları ekselere uzaklığı e kadar azalırsa), o boyutu toplam ertayı açıklama mktarı da o ölçüde artacaktır. Uyum Aalzde Geometrk Gösterm Ve Hartaları Yorumu Uyum aalz temel esası, boyut azaltılarak oktaları br alt uzayda (geellkle k-boyutlu uzayda)gösterlmesdr. Bu alt uzay her br oktaı mass değer le ağırlıkladırıldığı tartılı e küçük kareler yardımıyla uygu hale getrlr ve oktalar arasıdak uzaklıklar (d) ve böylece alt uzay k-kare uzaklığıa göre belrler (Greeacre, 00). Uyum aalzde hartaları oluşturulablmes ç, k-kare uzaklıkları (d) kullaılarak satır (yada sütu) oktaları arasıdak uzaklıklar ve farklı oktaları merkeze ya da ekseler orje uzaklıklarıı hesaplaması gerekr. Bu durumda gerye kala problem çok- boyutlu uzayda tüm oktalara e yakı ola ekseler bularak oktaları k-boyutlu uzayda göstereblmektr. Yakılık ölçüsü olarak, oktaları ekselerde uzaklığıı tartılı kareler toplamı kullaılablr ( re ), burada r tartı olarak taımlaa satır masslarıdır. Böylece amaç re y mmze etmektr (Clause, 998). Ayrıca boyutları satır veya sütu oktaları arasıdak uzaklık maxmze kılıacak şeklde oluşturulduğua da dkkat edlmeldr (http://www.statsoft.com/ textbook/stcora.html, 004). Daha öcede belrtldğ gb, uyum aalz üç aşamada oluşmaktadır, lk aşama satır ve sütu profller hesaplaması, kc aşama satır ve sütu profller ayrı hartalarda gösterlmesdr. Aşağıda yer ala şekl satır oktalarıı k boyutlu uzaydak geometrk gösterme lşkdr (Clause, 998):
Boyut e d d c f f f 3 e Boyut e 3 d 3 3 Şekl : Đk-Boyutlu Br Uzayda Satır Noktalarıı Geometrk Gösterm Burada satır profl oktalarıı, c merkez, d ve c (merkez) arasıdak uzaklığı, e. oktaı eksee ola uzaklığıı, f se koordatları göstermektedr. Uyum aalz üçücü ve so aşaması satır ve sütu profller kboyutlu uzayda ayı harta üzerde göstermektr. Her satır ve sütu profl br matematksel vektör olduğuda her profl oktası çok-boyutlu br uzayda oktalar olarak gösterleblecektr. Uygulamalarda boyut sayısı geelde üçde fazladır ve her profl harta üzerdek pozsyouu belrlemek oldukça zordur. Acak bazı profller hmal edlerek oktaları k-boyutlu br uzayda gösterlmes mümküdür Dolayısıyla uyum aalzlerde kullaıla grafkler, profl oktalarıı gerçek pozsyolarıı br yaklaşığıdır, çükü olar profl uzayıda optmal görüe düzlemde elde edlmştr (Greeacre, 994). Uyum aalzde geellkle lk k ekse (baze lk üç ekse) yoluyla yaratıla düzlemle çalışılır. Baze de adre ekse ve 3 ya da ve 3 gb ekselerle de çalışılması sözkousudur. Aaltk souçları göstermde brkaç grafksel yötem vardır. Bular çersde e çok kullaıla ks asmetrk ve smetrk grafklerdr. Asmetrk grafk, yalış yorumlamalara egel ola e y grafktr. Satır ve sütu oktaları k farklı scala le şekller, acak uygulama souçları çde adre görüür. Smetrk grafk e yaygı grafktr, acak ayı zamada e tartışmalısıdır. Burada satır ve sütu oktaları ayı scalaya sahp grafk üzerde gösterlr ve satır-sütu oktaları tüm grafğ üzerde yayılır. Bu grafklerde dkkat edlmes
gereke husus, eğer satır ve sütu oktaları çdek uzaklıklar k-kare uzaklığıda elde edlmşse, satır ve sütu oktaları arasıdak uzaklıkta söz edlememesdr (Bezecr, 004). Noktaları görüümüe lşk yorum, oktalar arasıdak k-kare uzaklıklarıa dayaır ve bu uzaklıklar her br okta kümes ç taımlaır. Eğer satır (ya da sütu) oktaları brbrlere yakı uzaıyorlarsa, bu k oktaı profller bezer olduğuu gösterr (Clause, 998). Ya kboyutlu çözümü yeterl br uyguluk sağladığı varsayılırsa (lk k boyutu açıkladığı yüzde yeterl se), satır oktaları sütulara karşı bezer profller gösterdğde brbre yakı olacaktır. Ayı durum sütu oktaları çde geçerldr (Evertt ad Du, 00). Ayrıca br oktaı profl değerler ortalama profllere yakı se, orje yakı br oktada koumlaacaktır. Satır ve sütu oktaları arasıdak uzaklıklarla lgleldğde lşk daha karmaşıktır, çükü bu uzaklıklar k-kare uzaklığı le taımlaamaz. Dolayısıyla yorum uzaklıklara göre değl, aşağıdak şekle göre yapılablr: j :. satır ve j. sütua at göze gözlemlee değer j :. satır ve j. sütua at göze bağımsızlık altıda hesaplaa beklee değer olmak üzere eğer j > j se,. satır ve j. sütu oktaları brbre yakı, eğer j < j se,. satır ve j. sütu oktaları brbre uzak olacaktır (Clause, 998). Ayrıca j > j se,. satır ve j. sütu arasıda poztf br brlktelk, j < j se,. satır ve j. sütu arasıda egatf br brlktelğ olduğu ve j değer j değere yakı olduğuda br brlktelğ olmadığı alamıa gelecektr (Evertt ad Du, 00). Dolayısıyla herhag br satır oktasıı herhag br sütu oktasıa yakı pozsyo alması durumuda aralarıdak uzaklık yorumlaamayacağı gb, k oktaı bezer olduğu da söyleemez. Acak lgl satır oktasıı lgl sütu oktasıa yöelk orasal frekas değer dğer sütu oktalarıa göre daha yüksek olduğu, ya gözleme sıklığıı daha yüksek olduğu alamıa gelr (http://www.statsoft.com/textbook /stcora.html, 004). Uyum aalzde elde edle souçları grafkle gösterm yorumları daha kolay yapılmasıı ve her br değşkee at kategorler arasıdak lşkler daha alaşılır olmasıı sağlamaktadır. Her br oktaı orjde uzaklığı o oktaı ya kategor öem fade etmektedr. Grafk üzerde
orjde lglele oktaya br doğru çzldğde, dğer oktalara da orjde başka oktalar çzldğde lglele oktaya at doğru le dğer doğrular arasıdak açı, lglele okta le dğer oktalar arasıdak lşky göstermektedr. Açıı küçüklüğü lşk büyüklüğüü, açıı büyüklüğü se lşk küçüklüğüü fade etmektedr (Palmer, 993). Uygulamalarda geellkle smetrk grafkler kullaılmakta ve bu grafklerle beraber toplam erta değer le brlkte ele alıa boyutları (geelde lk k boyut) toplam ertayı açıklama yüzdeler verlmektedr. Öreğ %96 gb br açıklama yüzdes toplam ertaı %96 sıı ele alıa k boyut le açıkladığıı ger kala %4 üü se dğer boyutlarla açıkladığıı gösterr. Bu k yüzde sırasıyla toplam ertaı düzlem ve artık le açıklaa yüzdes verr (Greeacre, 994). REGRESYON VE UYUM ANALĐZĐNĐN BENZERLĐKLERĐNĐN GRAFĐKSEL BOYUTTA ĐRDELENMESĐ Regresyo ve uyum aalzler ortak özellğ, değşkeler arasıdak lşkler celeye yötemler olmasıdır. Regresyo aalz daha çok cel verler aalzde kullaılmakla brlkte uyum aalz daha çok kategork verler aalzde kullaılmaktadır. Regresyo aalz değşkeler arasıdak lşky matematksel br deklem le fade ederke, uyum aalz k veya daha fazla değşke kategorler arasıdak lşkler ya da br değşke ked kategorler arasıdak lşkler grafksel br formda fade etmektedr. Her k aalzde esası toplam değşkelğ bleşelere ayırmaktır. Regresyo aalzde bağımlı değşke Y dek toplam değşm, ya Y ked ortalamasıda ola uzaklıklarıı karel toplamıı [ y = ( Y Y ) ] bleşelere ayrıştırılması, uyum aalzde se, gözelerdek toplam değşm ya da başka br fadeyle profl oktalarıı merkezde ola uzaklıklarıı ölçümüü fade ede toplam ertaı ( Λ ) bleşelere ayrılması sözkousudur. Toplam değşkelğ bleşelere ayrıştırılmasıa yöelk olarak her k aalzde de temel esas, artık kareler toplamıı mmze ederek, düzlem le açıklaa değşkelğ maksmze etmektr. Regresyo aalzde artık kareler toplamı ( e ) regresyo le açıklaamaya, hatalara bağlı değşkelğ gösterrke, uyum aalzde artık kareler toplamı ( r e ) hartada gösterlmeye boyutları açıkladığı değşkelğ gösterr. Her k yötemde de bu değer e kadar küçük olursa tahmlere lşk yorumlar da o ölçüde güvelr olur.
Bu doğrultuda çalışmaı amacı toplam değşkelğ brer göstergeler ola y (Y dek toplam değşkelk) ve Λ (toplam erta) fadeler bleşelere ayrıştırılması şlem grafksel boyutta göstermektr. Çoklu Regresyo Aalzde Toplam Değşkelğ Bleşelere Ayrıştırılması Regresyo aalz temel amacı bağımlı değşke le bağımsız değşke(ler) arasıdak lşky matematksel br deklem le açıklamaktır. Geel olarak cel değşkeler aalzde kullaıla regresyo aalz, bast ve çoklu olmak üzere kye ayrılmaktadır. Br bağımlı değşke le brde fazla bağımsız değşke arasıdak lşky celeye çoklu regresyo aalz br bağımsız değşke çere bast regresyo aalz doğal br uzatısıdır. Acak çoklu regresyo aalz yapmak bast regresyo aalz yapmakta brçok açıda daha zordur. Özellkle kde fazla bağımsız değşke varsa drek olarak ya verlere ya da modele uya üçte daha fazla boyutlu br grafk çzmek mümkü değldr (Klebaum vd, 988). Bu edele bağımlı değşkedek toplam değşm açıklamaya yöelk grafksel açıklamalar sadece k bağımsız değşke çere regresyo modele göre yapılacaktır. Çoklu regresyo model geel formu; Y = β 0 + β X + β X +... + β k X k + ε şeklde taımlaır ve Y bağımlı değşke, X ler bağımsız değşkeler ve ε statstksel hata term gösterr. Ayrıca β 0 sabt (ya da regresyo sabt) ve β, β,..., β k regresyo eğmler (ya da kısm regresyo katsayıları) olarak fade edlr. Buradak β k katsayıları, X, X,..., X, k sabt tutulduğuda E(Y ) üzerde X k ı etks ölçer (Kmeta, 97). Br bağımsız değşke (Y, X) varlığıda br doğru oluştura regresyo deklem, k bağımsız değşke varlığıda üç boyutlu (X, X, Y) uzayda k boyutlu br düzlem deklem verr (Wesberg, 980) (Bkz. Şekl 3). 0 ˆβ bu düzlem Y ekse kestğ okta olup ˆβ ve ˆβ eğm katsayılarıı gösterr. Problem, (X, X, Y ), (X, X, Y ),, (X, X, Y ) oktalarıı saçılımıa e y uya üç boyutlu uzayda br yüzey bulmaktır, burada (X, X, Y ) öreklemdek. brme at X, X ve Y değerler gösterr. Bu durumda regresyo deklem X ve X çeştl kombasyo değerlere karşılık gele Y ortalama değerler tarafıda taımlaa yüzeydr. Dğer br fadeyle regresyo deklem, X ve X her br farklı
değer çfte karşılık gele µ y X, X ortalamalı ve σ Y X, X varyaslı Y değerler br dağılımıdır. Y β 0 β β X X Şekl 3: Đk Açıklayıcı Değşkel Br Doğrusal Regresyo Düzlem Đk boyutlu uzayda e bast eğr br düz doğru ke üç boyutlu uzayda statstksel model Y β + β X + β + ε formua sahpke e bast = 0 X yüzey br düzlemdr. Bu edele bast regresyoda e y doğruu buluması br bağımsız değşke çere modeller lk aşaması ke, e y uya düzlem buluması, üç-boyutlu uzayda e y uya yüzeye karar verme (sık sık) lk aşamasıdır (Klebaum vd, 988). Üç boyutlu br uzayda verlere e y uya grafksel gösterm Şekl 4 de verlmştr. Şekl 4 de görüldüğü gb, Y değerler bu düzlem çerçevesde kümelemştr ve Y değerler düzlem üzerdek zdüşümler se kestrm değerler ( Yˆ ) ve gözlem değerler kestrm değerlerde sapması da öreklem hata termler (ya da artıkları, e ) vermektedr (Erar, 983).
Y Y Y e Yˆ = ˆ β + ˆ β X + ˆ β X 0 X X Şekl 4: Üç-Boyutlu Uzayda Ey-Uya Düzlem Bu durumda amaç gözlemlere e y uya düzlem bulmaktır, bu amaca yöelk olarak EKY de dkkate alıa ölçüt bast regresyo aalzde olduğu gb, gözlemlee Y değerler le bulara karşılık gele kestrm değerler (Ŷ ) arasıdak uzaklığı (e ) kareler toplamıı mmze etmektr. Dğer br fadeyle, β 0, β ve β e küçük kareler kestrmler buluması ç e ˆ ˆ ˆ ˆ ( Y Y ) = ( Y β 0 βx β X = = = mktarıı mmze edlmesdr (Klebaum vd, 988). Bast regresyoda olduğu gb Y dek toplam değşkelk k bleşe toplamıda oluşmaktadır (Kmeta, 97): ) [( ) ] ˆ ( Y = + Y Y e Y = ( ( ˆ Y ) e = 0 ( ˆ Y ) + e + Y ( Yˆ Y ) e Y olduğuda) ( Y Y ) = ( Y Y ) + ) (7) ˆ e (8)
Y dek toplam değşkelk (TD) = Regresyo Kareler Toplamı (RKT)+ Artık kareler Toplamı (AKT) Amaç AKT ı mmze edecek ya da RKT ı maksmze edecek regresyo deklem katsayılarıı bulmaktır. Dolayısıyla RKT oluşturula düzlem oktalara ola uyumuu br gösterges olarak değerledrlr. Bu amaç doğrultusuda hesaplaacak belrllk katsayısı uyum ylğ br gösterges olarak değerledrlr. Sıfır le br arasıda değşe değerler ala belrllk katsayısı Y dek toplam değşm X ler le ya da düzlem le açıklaa yüzdes gösterr ve aşağıdak gb taımlaır: R RKT = = TD AKT TD (9) R = olması durumuda mükemmel br uyumu, R sıfıra yakı değerler alması durumuda da uyumu çok y olmadığı belrtlr (Mrer, 983). Uyum Aalzde Toplam Değşkelğ Bleşelere Ayrıştırılması Uyum aalzde verlerdek toplam değşkelğ (varyası) ölçüsü toplam erta olarak taımlaır.. de açıkladığı gb toplam erta ( Λ ) aşağıdak formül yardımıyla hesaplamakta olup, amaç bu değer maksmum kılacak düzlem bulmaktır: Λ = r d Burada r satır massı ve d. profl ortalama profle (merkez) ola k-kare uzaklığıı kares göstermektr. Verle herhag br profl oktasıı düzlemde uzaklığı, profl ve düzlem arasıdak e küçük k-kare uzaklığı le hesaplaablr. Profle e yakı düzlem oktası profl zdüşümü olarak fade edlr. Profl zdüşümüde ola uzaklığı e ve merkezde zdüşüme ola düzlem uzaklığı dˆ le taımladığıda Şekl 5 elde edlr. Merkez, zdüşüm ve profl dk açılı br üçge formudadır ve bu üç usura Pythagoras teorem uygulaırsa, profl oktasıı merkeze ola uzaklığı ˆ d d = + e (0) formuda yazılablr.
r maslı. profl oktası d e merkez d Düzlem üzerde profl zdüşümü DÜZLEM Şekl 5: Düzlem Üzerde Br Profl Noktasıı Geel Görüümü Böylece regresyo aalzde olduğu gb toplam erta ( Λ = r d ) k bleşee ayrıştırılablr: ˆ r d = r d + r e () Toplam erta = Düzlem ertası + Artık ertası Profl oktalarıı düzleme ola yakılığı, oktaları düzleme ola uzaklıklarıı (ya artık ertası)tartılı karel uzaklığıyla ölçülür ve aalz amacı bu mktarı mmze edecek düzlem bulmaktır. Bu eştlk ayı zamada artık ertasıı mmze edlmes, düzlem ertasıı maxmze edlmese eşt olduğuu göstermektedr. Bu amaç ç geellkle düşük boyutlu br altuzay seçlr. Artık ertası k-boyutlu br formatta profller hmal edlmesyle kaybedlr ve aalz bu kaybı mmum olduğu br düzlem bulur. Ya da eşdeğer olarak buluacak düzlem, kboyutlu br göstermde mümkü ola maxmum ertayı elde buludura düzlemdr (Greacre, 994). SONUÇ VE ÖNERĐLER Bast uyum aalzde amaç k boyutlu br kotejas tablosuda yararlaarak, her satır ve sütuu br okta olarak göstermek suretyle tablou hartasıı çzmektr. Bu yaklaşım aa bleşeler aalze oldukça bezerdr. Çükü lk olarak tablou toplam varyasıı br ölçüsü
(toplam erta) elde edlr ve daha sora bu toplam varyas optmal br şeklde aa ekselere ayrıştırılır (Greacre, 00). Daha öce uyum aalz sıra ve sütu sayısıı çok fazla olduğu ve gözlem sayısıı yetersz kaldığı durumlarda uygulaa öeml br yötem olduğu belrtlmştr. Dolayısıyla sıra veya sütu sayısıı artması, satır ve sütu oktalarıı çok boyutlu br uzayda gösterlmes alamıa gelmektedr. Acak uyum aalz bazı boyutları hmal ederek k-boyutlu br kotejas tablosuu satır ve sütularıı, tablodak brlktelkleryle tutarlı pozsyolarıı az-boyutlu br uzayda (geellkle k-boyutlu) göstermey sağlamaktadır. Böylelkle uyum aalz çok karmaşık tabloları hartalar yardımıyla kolay br şeklde yorumlaması kolaylığıı sağlamaktadır. Harta çzmde amaç, geellkle toplam varyası (toplam ertaı) k aa ekse tarafıda büyük br ölçüde açıklamasıdır. Uygulamada arzu edle toplam ertaı yüksek olması (bu değer yüksek olması ele alıa k değşke arasıdak lşk yüksek olması alamıa gelr) ve çzle k boyutlu hartaı toplam ertaı büyük br bölümüü açıklamasıdır. Verlerdek toplam değşm br gösterges ola toplam ertaı k bleşede oluştuğu brc bleşe düzlem ertası kc bleşe se artık ertası olduğu ve bu özellğ çoklu regresyo aalze oldukça bezer olduğu teork ve grafksel olarak gösterlmştr. Geellkle cel değşkeler aalzde kullaıla regresyo aalz, yötem olarak uyum aalzde çok farklı olsa da her ksde de amaç değşkeler arasıdak lşky açıklamak ve toplam değşkelğ bleşelere ayırarak çözüm gelştrmektr. Aralarıdak fark, uyum aalzde toplam değşkelk (toplam erta) kavramı le br kotejas tablosuu gözlemlee frekası le bağımsızlık altıda hesaplaa beklee frekasları arasıdak farklılık fade edlrke, regresyo aalzde toplam değşkelk kavramı le bağımlı değşke Y gözlem değerler ortalamada ( Y ) ola farklılıkları fade edlmektedr. Uyum aalzde olduğu gb regresyo aalzde de toplam değşkelğ k bleşee ayrıldığı ve amacı açıklaamaya değşm br ölçüsü ola artık kareler toplamıı ( e ) mmze etmek olduğu teork ve grafksel olarak gösterlmştr. Ayrıca çalışmada uygulamalarda sıklıkla kullaıla k boyutlu smetrk grafklerde oktaları pozsyolarıa göre asıl yorumlaacağı açıklamış olup, buda sora uyum aalz kullaılarak yapılacak ola uygulamaya yöelk çalışmalarda yorum kolaylığıı sağlaması hedeflemştr.
KAYNAKLAR Bezecr J.P., (004). Correspodece Aalyss, http://www.mcheloud.com/fxm/cor/e/to.htm, (06.0.004). Clause S.E., (998). Appled Correspodece Aalyss-A Itroducto, Sage Publcato, ISBN:0-769-5-4, USA., (004). Correspodece Aalyss, http://www.statsoft.com/ textbook/ stcora html, (30.09.004). Erar A., (983). Regresyo Çözümlemes, Hacettepe Üverstes Đstatstk Bölümü Ders Notları, Akara. Evertt B.S.ad Du G., (00). Appled Oxford Uversty Press Ic., New York. Multvarate Data Aalyss, Greeacre M. ad Blasıus J., (994). Correspodece Aalyss the Socal Sceces, Academc Press Lmted, ISBN: 0--04570-6, USA. Greeacre M., (00). Correspodece Aalyss of the Spash Natoal Health Survey, Gac Sat, Vol:6, No:, Mar.-Apr., Barceloa. Kleıbaum D.C., Kupper L.C. ad Muller K.E., (988). Appled Regresso Aalyss ad Other Multvarable Methods, PWS-KENT Publshg Co. ISBN:0-8750-3-6, USA. Kmeta J., (97) Elemets of Ecoometrcs, Macmlla Publshg Compay, ISBN 0-0-365070-, New York. Lee B.L., (006). Correspodece Aalyss, http://www.uv.es /prodat/vsta, (0..006). Mrer T.W., (988). Ecoomc Statstcs ad Ecoometrcs, Macmlla Publshg Compay, ISBN:0-0-388-, New York. Özdamar. K., (00). Paket Programlar Đle Đstatstksel Ver Aalz-, Kaa Ktabev, Eskşehr. Palmer M.W., (993). Puttg Thgs ı Eve Better Order the Advatages of Coacal Correspodece Aalyss, Ecology, 74 (Cagür Ş., Sığırlı D., Edz B., Erca Đ. ve Ka Đ., (005). Türkye dek Özürlü Grupları Yapısıı Çoklu Uyum Aalz Đle Đcelemes, Uludağ Üverstes Tıp Fakültes Dergs, 3 (3) 53-57 de alımıştır)
Seyfullahoğulları A., (003). Çapraz Tabloları Aalz ve Tcar Malları değerledrlmesyle Đlgl Br Uygulama, Đstabul Tcaret Üverstes Fe Blmler Dergs, Sayı:4, Aralık. Weısberg S., (980). Appled Lear Regresso, Joh Wley & Sos, ISBN:0-47-0449-9, Caada.