MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ DİNAMİK DERS NOTLARI

MÜHENDİSLİK MEKNİĞİ DİNMİK DERS NOTLR Ya. Doç. D. Hüsein aıoğlu EKİM 00 İSTNUL

İçindekile 1 İRİŞ EKTÖREL NLİZ.1 ektö fonksionu. ektö fonksionunun tüevi.3 ektö fonksionunun integali 3 EĞRİLERDE DİFERNSİYEL ÖZELLİKLER 3.1 i vektö fonksionunun hodogafı 3. i vektö fonksionunun hodogafı üeinde tüevle 3.3 Doğal koodinat sistemi 4 MDDESEL NOKTNN KİNEMTİĞİ 4.1 Kinematiğin temel kavamlaı 4. Maddesel noktanın haeketinin kateen koodinatlada incelenmesi. 4.3 Maddesel noktanın haeketinin doğal koodinatlada incelenmesi. 4.4 Maddesel noktanın haeketinin silindiik koodinatlada incelenmesi. 4.5 Maddesel noktanın doğusal haeketi 4.5.1 Sabit hılı doğusal haeket 4.5. Sabit ivmeli doğusal haeket 4.5.3 a f() t ivme amanın fonksionu şeklinde veilmiş ise 4.5.4 a f () s ivme konumun fonksionu şeklinde veilmiş ise 4.5.5 a f ( ) ivme hıın fonksionu şeklinde veilmiş ise 4.5.6 a k ağıntısına ugun doğusal haeket (gei tepmei aaltma) 4.5.7 a ks ağıntısına ugun doğusal haeket (Sebest titeşim haeketi) 4.5.8. Doğusal haekette toplam ol

4.6 Maddesel noktanın çembesel haeketi 4.6.1 Çembesel haekette hı ve ivmenin kateen koodinatladaki ifadelei 4.7 Maddesel noktanın bağıl haeketi (öteleme haeketi apan eksen sistemine göe) 4.8 Maddesel noktanın bağlı haeketi 5 RİJİD CİSMİN KİNEMTİĞİ 5.1 Riid cismin haeketinde idüşüm hıla teoemi 5. Riid cismin öteleme haeketi 5.3 Riid cismin sabit bi eksen etafında dönme haeketi 5.4 Riid cismin genel dülemsel haeketi 5.5 Riid cismin genel dülemsel haeketinde ani dönme mekei 5.6 Riid cismin sabit bi nokta etafında haeketi 5.7 Riid cismin genel haeketi 5.8 Maddesel noktanın dönen eksen takımına göe bağıl haeketi 6 KİNETİK 6.1 Kinetik ve Newton un ikinci haeket kanunu 6. Maddesel noktanın kinetiği 6.3 Kütle mekeinin haeketi teoemi 6.4 Riid cismin sabit bi eksen etafında haeketi ve atalet momentlei 6.5 talet momentlei 6.5.1 talet momentlei ile ilgili teoemle 6.6 enel dülemsel haekette iid cismin kinetiği 6.7 Üç uutlu haekette iid cismin kinetiği 7 İŞ E ENERJİ İLKESİ 7.1 Maddesel noktanın haeketinde iş ve enei ilkesi 7.1. Mekanik eneinin kounumu ve potansiel enei 7. Sabit eksen etafında dönen iid cismin kinetik eneisi 7.3 enel dülemsel haekette iid cismin kinetik eneisi 7.4 Üç boutlu haekette iid cismin kinetik eneisi 3

8 İMPULS E MOMENTUM İLKESİ 8.1 Maddesel noktanın haeketinde impuls ve momentum ilkesi 8. Riid cismin haeketinde impuls ve momentum ilkesi 9 D LMERT İLKESİ 9.1 D alambet ilkesi 9. Lagange taında D alambet ilkesi 4

ÖLÜM 1 İRİŞ Mühendislik mekaniğin ikinci kısmı olan dinamik kuvvetle etkisinde cisimlein haeketini inceleen bilim dalıdı. Mekanikçile Dinamiği kinematik ve kinetik adı altında iki ana bölüme aııla. Kinematik haeketi doğuan nedenlei gö önüne almadan sadece haeketin geometisini gö önüne alan bilim dalıdı. Kinetik ise haeketi oluştuan nedenlele bilikte incelemekti. Kinetik kinematiği de içediğinden baı aala kinetiğe dinamik diola. enellikle Dinamik ilk önce kinematik vea kinematik için geekli matematik bilgilei ile başla. uada da ilk iki bölüm kinematik için geekli matematik konulaını içeio. ÖLÜM EKTÖREL NLİZ.1 ektö fonksionu Statikte göülen eş amanlı vektöleden faklı olaak dinamikte amanla vea başka bi değişkene göe değişebilen vektölele de çalışılı. i u eel saısının tanımlı olduğu bölgedeki he değeine bi P (u) vektöü kaşılık geliosa P vektöüne u değişkenine bağlı vektöel fonksion deni. ene şekilde biden fala saıdaki u, v, w gibi değişkenlee vea gibi vektölee bağlı vektöel fonksionla tanımlanabili. P P(u) P P ( u, v, w) P P() Poblem.1.1 P( u) 10Cosui 8Sinu 3uk şeklinde veilen vektö fonksionunu u için hesaplaını. 3 u için P( ) 10Cos i 8Sin 3 k 3 3 3 3 3 P( ) 5i 4 3 k 3 5

. ektö fonksionunun tüevi i vektöel fonksionun tüevi aşğıdak i şekilde gösteildiği gibi skale fonksionladaki tüev işlemleine bene biçimde alınabili.i vektöel fonksionda u nun hehangi bi değeine kaşılık gelen P (u) vektöünü u değişkenine veilen atımla elde edilen P( u u) vektöünden çıkaılısa P atım vektöü elde edili. u atım vektöünü değişkenin atımı olan Δu a bölümüne otalama değişim vektöü deni. Otalama değişim vektöünde değişkenin atımı sıfıa aklaştıılısa vektöel fonksionunun u da ki tüevi elde edili. P u P( u u) P P (u) P P( u u) P( u) dp du lim UO P( u u) P( u) u..1 Tüev kuallaı P, Q, W vektölei ve λ ile s skalei u nun fonksionu olsun.ıca T vektöü θ nın θ da s in fonksionu olsun ve işaeti u a göe tüevi göstesin. a) P Q W P Q W b) P P P c) P Q P Q P Q d) P Q P Q P Q e) dt dt du d d ds ds du 6

Poblem..1 P( u) 10Cosui 8Sinu 3uk şeklinde veilen vektö fonksionunun u a göe biinci ve ikinci tüevini u için hesaplaını. 3 Çöüm : dp( u) 10Sinui 8Cosu 3k du ( ) 10Cos u i 8Sin u du d P u u 3 dp( ) 3 d P( ) 5 3 i 4 3k, 3 du 5 i du 4 3 Poblem.. Modülü sabit olaak değişen vektöün tüevinin kendisine dik bi vektö olduğunu göstein Çöüm: P( u) sabit i vektöün modülü vektöün kendisi ile skale çapımının kaekökü alınaak bulunabileceğinden. P( u) P( u) sabit u eşitliğin he iki taafının u a göe tüevi alınısa dp Pu ( ) 0 du elde edili. ölece skale çapımın sıfı olmasından P( u) vektöünün bibiine dik olduğu ispatlanmış olu. ile dp du tüev 7

Poblem..3 i düleme paalel olaak değişen bi biim vektöün bu dülem içindeki sabit bi doğultula aptığı açıa göe tüevi anı dülemde bulunan kendisine poitif önde dik bi biim vektödü. Çöüm: iim vektöün paalel olduğu dülemi dülemi bu dülemdeki sabit bi doğultu ekseni ile gösteilsin u dülemde ekseni ile θ açısı apan biim vektö e ise buna poitif önde dik vektö ile θ a göe tüevi alınan vektöün anı vektö olduğu göülü. de d θ θ e Cos i Sin de Sin i Cos d e biim vektöüne anı düleme paalel olmak koşulu ile ve poitif önde dik vektö k e k ( Cos i Sin ) uadaki vektöel çapma işlemi apılısa de k e d bulunu..3 ektöel fonksionun integali (u), (u), (u), u nun belili bi aalığında süekli fonksionla olmak üee P( u) ( u) i ( u) ( u) k u a bağlı vektöel fonksionunu gö önüne alalınısa aşağıdaki integale P (u) P( u) du ( u) du i ( u) du e ( u) du vektöel fonksionunun belisi integali deni. d P( u) Q( u) eşitliğini sağlaan bi Q (u) vektöel fonksionu vasa du k 8

d P( u) du Q( u) du Q( u) C du olu. uada C vektöü u skaleine bağlı olmaan sabit bi vektödü. u duumda u = a ve u = b sınılaı aasındaki belili integal b a b d b P( u) du Q( u) du Q( u) C Q( b) Q( a) du a şeklinde aılabili. a 9

ÖLÜM 3 EĞRİLERDE DİFERNSİYEL ÖZELLİKLER 3.1 i vektö fonksionunun hodogafı u a bağlı değele alan P (u) vektöel fonksionunun başlangıçlaı anı noktaa getiilise uç noktalaının çidiği eğie bu vektöel fonksionun hodogafı deni. Hodogaf o P (u) 3. i vektöel fonksionun hodogafı üeinde Pu ( ) tüevi vektöel fonksionunun 10

P u dp du Δs T P s (+) o 1 o Yukaıdaki şekilde göüldüğü gibi eği üeinde kefi bi başlangıç ve ön ile belilenen s eğisel ölçüsüne (O aasındaki eği uunluğuna) eğisel apsis deni. uada P vektöü s değişkeninin s de u nun fonksionu olaak ifade edilebili. ölece P vektöünün u a göe tüevi aşağıdaki gibi alınabili. dp dp du ds ds du dp buada vektöünün T teğet biim vektöüne eşit olduğu tüevin tanımı ds kullanılaak anlaşılı. dp Lim ds ölece dp du ds T du s0 P T s P vektöünün u a göe biinci metebeden tüevi bulunmuş olu. P vektöünün u a göe ikinci metebeden tüevi ise biinci metebeden tüevinin teka u a göe tüevi alınaak bulunu. d P du d du ds ( T) du 11

d P d s ds dt T du du du du dt uada teğet biim vektöün u a göe tüevini almak için üç boutlu du eğilee ait baı tanımlaı kullanmak geeki. Oskülatö dülem : Eği üeindeki noktalaa göe değişebilen ve bi nokta civaında eğii dülem eği kabul etmekle bu nokta civaında eğie en ii uan dülemdi. İki boutlu eğilede eğii içinde bulunduan dülem oskülatö dülemdi. sal nomal biim vektöü : Teğete oskülatö dülemde dik olan ve eğilik mekeine doğu önelmiş olan biim vektöe deni. Üç boutlu eğilede eğilik aıçapı, asal nomal biim vektöü gibi tanımlaı apabilmek için bi nokta civaında eğii dülem eğisi ve R aıçaplı çembe paçası olaak kabul etmek geeki. i noktası civaında aşağıdaki şekilde gösteildiği gibi oskülatö dülemde bulunan ds a uunluğunda, dθ meke açısında ve R aıçapında bi çembe paçası kabul edilebili. T dθ ds dθ T R buada ds = R dθ uada göüldüğü gibi T biim vektöünü θ nın θ ı s in fonksionu olaak düşünülüp inci kualından fadalanılısa aşağıdaki eşitlik aılabili. dt dt d ds du d ds du dt buada işlemini apabilmek için sabit bi düleme paalel olaak değişen d T biim vektöünün bu dülemde bulunan sabit bi doğultula aptığı θ açısına göe tüevi gö önüne alınabili. 1

dt d θ T θ T Cos i Sin dt Sin i Cos d uadan T biim vektöünün θ a göe tüevinin anı dülemde kendisine poitif önde dik bi vektö olduğu anlaşılı. u vektöe N asal nomal biim vektöü deni. dt N d u denklem teğet biim vektöün u a göe tüevi ifadesinde eine aılısa dt d ds N du Rd du dt 1 ds T du R du d P Teğet biim vektöün u a göe tüevi bulunu. u eşitlikle ile ikinci tüev du ifadesine gidilise d P d s ds / du T N du du R P vektöünün u a göe tüevi teğet ve asal nomal biim vektölei doğultusunda bulunu. 3.3 Doğal koodinat sistemi u elde edilen T ve N biim vektölei ile bide bunlaa sağ el kualına göe dik üçüncü bi biim vektö tanımlanısa T N bi koodinat sistemi tanımlanmış olu. uadaki biim vektöüne binomal biim vektöü deni. u T, N ve biim vektöleinin belilediği koodinat sistemine doğal koodinat deni. T ve N biim vektöleinin belilediği düleme oskülatö dülem N ve biim vektöleinin belilediği düleme nomal dülem T ve biim vektöleinin belilediği düleme ektifien dülem deni. u üç koodinat dülemine bilikte Fenet üç ülüsü de deni. 3.4 Doğal koodinat sisteminde T, N, biim vektölei ve R eğilik aıçapı i P P(u dp ds ) vektöel fonksionunda elde edilen T denkleminden du du 13

ds du dp ve du N biim vektöü ise dt du 1 ds N R du dp T du elde edili. dp du fomülünden elde edili. dt R N du dp du R eğilik aıçapı ise P vektöünün u a göe 1. ve. metebeden tüevlei bibii ile vektöel çapılaak elde edili. dp d P du du ds du R 3 u denklemin he iki taafının modülü alını ve ds du dp du önüne alınısa R eğilik aıçapı aşağıdaki gibi aılabili. 3 dp du R dp d P du du eşitliği gö Poblem 3.4.1 = f() kateen denklemile veilen bi dülem eğide eğilik aıçapını veen fomülü aını. Çöüm: dp d P P i f ( ) i f ( ) f ( ) d d dp d P f ( ) d d denklemlei ile R eğilik aıçapını veen fomül dp d ve 1 f ( ) 14

3/ 1 f ( ) R f ( ) şeklinde elde edili. Poblem 3.4. Pu ( ) 10Cosui8Sinu3uk şeklinde vektö fonksionu ile veilen eğinin u deki eğilik aıçapını ve teğet biim vektöünü bulunu. 3 Çöüm : 3 dp du R dp d P du du dp( u) 10Sinui 8Cosu 3k du d P( u) 10Cos u i 8Sin u du i k dp( u) d P( u) 10Sinu 8Cos u 3 du du 10Cos u 8Sinu 0 dp( u) d P( u) 4Sin u i 30Cos u 80k du du dp u du ( ) d P( u) 576Sin u 900Cos u 6400 du dp( u) du 100Sin u 64Cos u 9 dp( u) du 3 (100Sin u 64Cos u 9) 3/ R 3 dp( u) du (100Sin u 64Cos u 9) dp u d P u Sin u Cos u du du 3/ ( ) ( ) 576 900 6400 15

dp( u) du 10Sin u i 8Cos u 3k T dp( u) 100Sin u 64Cos u 9 du 10Sin u i 8Cos u 3k T 1/ (100Sin u 64Cos u 9) u için 3 10Sin i 8Cos 3k T( ) 3 3 3 1/ (100Sin 64Cos 9) 3 3 5 3 i 4 3k 3 3 T( ) i k 3 300 1/ 5 10 ( 169) 4 3/ (100Sin 64Cos 9) R 3 3 576Sin 900Cos 6400 3 3 R 300 3/ ( 169) 4 43 5 6400 11.9 ÖLÜM 4 MDDESEL NOKTNN KİNEMTİĞİ 4.1 Kinematiğin temel kavamlaı 16

Ye vektöü : i maddesel noktanın bi mukaese cismine (koodinat sistemine) göe bulunduğu ee oiinden uanan vektö. Hı vektöü : Ye vektöünün amana göe tüevi İvme vektöü: Hı vektöünün amana göe tüevi vea e vektöünün amana göe ikinci tüevi şısal hı: nı dülemde haeket eden noktaı sabit bi noktaa bağlaan doğunun anı dülemdeki sabit bi doğu ile aptığı açının amana göe tüevi çısal ivme: çısal hıın amana göe tüevi p (Ye vektöü ) d ( Hı ektöü ) d a ( İvme vektöü ) P (t) (Zamanı fonksionu olan anı dülemdeki açı ) d ( çısal hı ), d (çısal ivme ) 4. Maddesel noktanın haeketinin kateen koodinat sisteminde incelenmesi 17

(,, ) i maddesel noktanın haeketinde koodinatlaı (t), (t), (t) şeklinde ise e, hı ve ivme vektölei aşağıdaki gibi hesaplanı. ( t) i ( t) ( t) k ( t) i ( t) ( t) k a ( t) i ( t) ( t) k uada değişkenlein üeindeki noktala amana göe tüevi göstemektedi. Poblem 4..1 i maddesel nokta bi eği üeinde 10Cos t, 8Sin t, 3 t bağıntılaına göe haeket etmektedi. ivme vektöleini bulunu. t için maddesel noktanın e, hı ve 6 Çöüm: 10Cos t i 8Sin t 3tk 10Sin t i 8Cos t 3 k a 10Cos t i 8Sin t t için 6 10Cos i 8Sin 3 k 6 6 6 5 3 i 4 k 10Sin i 8Cos 3 k 6 6 5i 4 3 3k a 10Cos i 8Sin 6 6 18

a 5 3 i 4 4.3 Maddesel noktanın haeketinin Doğal koodinat sisteminde incelenmesi a T a T s (+) a N N o 1 o Daha önce fomüllei çıkaılan doğal koodinat sistemindeki P vektöü eine e vektöü u eine t aman değişkeni alınısa aşağıdaki hı ve ivme ifadelei elde edili. d ds T ds d d s a T R N Poblem 4.3.1 3 i maddesel nokta bi eği üeinde s t 5t 4 ( uada s mete, t sanie cinsindendi.) bağıntısına ugun olaak haeket etmektedi. t 1 de maddesel noktanın bulunduğu ein eğilik aıçapı R 5 m. olduğuna göe bu andaki hı ve ivme vektöleini doğal koodinat sisteminde hesaplaını. Çöüm: ds ds d d s T, a T N R ds 3t 10t, d s 6t 10 19

ds t 1 de 13 d s 16 13T, a 16T 33,8 N (13) a 16T N 5 Poblem 4.3. i maddesel nokta bi eği üeinde haeket edeken bi t anında hı ve ivme vektöleinin kateen koodinatladaki bileşenlei 6i 3k a 3i 4 olduğuna göe bu an için hı ve ivme vektöleinin doğal koodinat sistemindeki ifadeleini ve eği üeinde bulunduğu noktanın eğilik aıçapını bulunu. Çöüm: a a T a N 6 ( ) 3, 7 m/ s, 7T a a Cos, a 3 4, a 5 m/ s a 6*3 *4 10 Cos, Cos, Cos 73, 4 o a 7*5 35 at a Cos 0,86 m/ s, an a Sin,87 m/ s a 0,86T,87 N 49 an R, R, R 1, 5m R a 4 N 4.4 Maddesel noktanın haeketinin silindiik koodinat sisteminde incelenmesi 0

k e,, ) ( e o k 1 e e Yukaıdaki şekilden vektöü O1 1 şeklinde aılabili. u eşitlik silindiik koodinatlaın biim vektölei cinsinden aılısa e k elde edili. Ye vektöünün amana göe tüevleinden hı ve ivme vektölei bulunu. d d de d e k uada e biim vektöü nın fonksionu olduğundan inci kualı ugulanıp de de d eşitliği aılabili. d de uada bi düleme paalel olaak değişen bi biim vektö dü. u d vektöün bu dülem içindeki sabit bi doğultu ile aptığı açıa göe tüevi kendisine poitif önde dik bi biim vektö olan e vektöüdü. ölece elde edilen e e denklemi ile hı denklemine gidilise silindiik koodinatladaki hı vektöü e e k şeklinde elde edili. u elde edilen hı vektöünün amana göe tüevi alınısa ivme vektöü bulunu. d a e e e e e k uada e gibi e da nın fonksionudu. undan dolaı 1

de de d e eşitliği aılabili. d de uada bi düleme paalel olaak değişen bi biim vektödü. u biim d vektöün bu dülem içindeki sabit bi doğultu ile aptığı açıa göe tüevi kendisine poitif önde dik bi biim vektö olan e vektöüdü. ölece elde edilen e e ve e e eşitliği ivme denklemine gidilise a e e k silindiik koodinatladaki ivme denklemi elde edili. Poblem 4.4.1 3 i maddesel nokta bi eği üeinde 0 10Cos t, 6 3 t, 10Sin t 4 ağıntılaına ugun olaak haeket etmektedi. t 1 için e,hı ve ivme vektöleini silindiik koodinatlada hesaplaını. e e k a e e k 5 5 Sin t, Cos t 3 6 18 6 t, t 5 5 Cos t, Sin t 4 8 4 5 5 t 1 de 0 5 3,, 3 6 36,, 3 5 5 5,, 4 16 5 5 (0 5 3) e 5 k, e (0 5 3) e k 6 4 5 5 5 a [ 3 (0 5 3) ] e [(0 5 3) ( ) ] e k 36 6 16 185 5 5 a [ (0 3) ] e [(4010 3) ( ) ] e k 36 3 16 4.5 Maddesel noktanın doğusal haeketi

Maddesel noktanın öüngesi bi koodinat sistemine göe doğu şeklinde ise maddesel noktanın bu koodinat sistemine göe aptığı haekete doğusal haeket deni. s U Δ o 1 o Maddesel noktanın öüngesi olan bu doğu üeinde kefi bi başlangıç noktası ve ön seçilebili. uadaki s da bulunan maddesel noktanı doğu üeindeki başlangıç noktasına göe alınan ölçüdü. uada maddesel noktanın konumunu gösteen e vektöü OO1 O1 şeklinde aılabili. O 1 su olduğundan OO1 su olu. ds Hı vektöü U d s İvme vektöü a U u elde edilen hı ve ivme vektölei anı doğultuda olduğundan önce şiddetlei hesaplanıp sona vektö fomuna kolaca getiili. Doğusal haeketi için aşağıdaki skale denklemle kullanılı. ds d d s, a, a ds ds d ve aıca den çekilen eşitliği a denklemine eleştiilise d a ds denklemi elde edili. u elde edilen 4 adet denklemden doğusal haekete ait poblemle çöülmee çalışılı. 4.5.1 Sabit hılı doğusal haeket i doğusal haeketteki hı sabit ise aşağıdaki işlemle apılabili. 3

d a den a 0 bulunu. e ds den ds aılıp sabit olduğu için kolaca intege edeek s ds S0 t 0 s s 0 t sabit hılı doğusal haekete ait konum aman bağıntısı bulunu. Poblem 4.5.1.1 i maddesel nokta bi doğu üeinde 6 m/ s sabit hıı ile haeket ettiğine göe t 0 da s 8m olduğuna göe 5 inci saniedeki konumunu bulunu. Çöüm: s s0 t konum aman denkleminden t 5 deki konum t eine 5 aaak bulunu. s 8 6*5 s 38 m. 4.5. Sabit ivmeli doğusal haeket i doğusal haeketteki ivme a sabit ise aşağıdaki işlemle apılabili. d a den d a aıp intege edeek 0 d a t 0 0 a t hı aman bağıntısı elde edili. ds den ds ( 0 a t) aıp intege edeek S ds t S0 0 1 ( 0 a t) s s 0 0 t a t konum-aman bağıntısı elde edili. ıca a d ds bağıntısından aılan 1 ds a d bağıntısı intege edilise 4

S ds S0 1 a 0 d 1 s s0 ( 0 ) a konum-hı bağıntısı elde edili. Poblem 4.5..1 i maddesel nokta bi doğu üeinde a 3 m/ s sabit ivmesi ile haeket ettiğine göe t 0 da konumu s 8m ve hıı 4 m/ s olduğuna göe 5 inci saniedeki konumunu bulunu. Çöüm: 1 s s 0 0 t a t konum aman denkleminden t 7 s. deki konum t eine 7 aaak bulunu. 1 s 84*7 3*7, s 109,5 m. 4.5.3 a f (t) İvme amanın fonksionu şeklinde veilmiş ise d a den elde edilen d a denklemde a eine f (t) aıp intege edilise d f ( t) d f ( t) t 0 f ( t 0 ) 0 t 0 ds hı aman bağıntısı elde edili. u bağıntıdaki hıı eine aıp düenlendikten sona intege edilise ds t 0 ) 0 t s s0 [ 0 0 S f ( t ds [ f ( t) ] t 0 S0 f ( t) ] t 0 0 konum-aman bağıntısı elde edili. uada s 0 ve 0 aşlangıç değeleidi. Poblem 4.5.3.1 i maddesel nokta bi doğu a t 3 ivme aman bağıntısı ile haeket edio. t 0 da konum s 4 m. ve hı 10 m/ s. olduğuna göe t 6 daki konumu ve hıı hesaplaını. t 0 5

Çöüm: d a den d a aılabili. uada a eine t 3 aıp intege edilise d (t 3) O t 3t O t O denklemi elde edili. u denklemde O eine 10 konusa t 3t 10 Hı-aman denklemi elde edili.uada t eine 6 aılısa 9 m/ s bulunu. ds den ds aılabili. uada eine t 3t 10 aıp intege edilise S S O t 0 ds ( t 3t 10) 1 3 3 s s0 t t 10t 3 denklemi elde edili. uada s 0 eine 4 aılısa 1 3 3 s t t 10t 4 3 konum-aman denklemi elde edili. uada t eine 6 aılısa s 70m bulunu. 4.5.4 a f (s) İvme konumun fonksionu şeklinde veilmiş ise 6

d d s a eine vea aıp denklem düenlendikten sona intege ds edeek hı-konum vea konum-aman denklemlei bulunu. Poblem 4.5.4.1 1/ i maddesel nokta bi doğu a 1 s ivme -konum bağıntısı ile haeket edio. t 0 da konum s 0 ve hı 0 olduğuna göe t deki konumu hıı ve ivmei hesaplaını. Çöüm: a eine d ds aıp elde edilen d 1/ 1 s denklemi ds 1/ d 1 s ds şeklinde düenlenip intege edilise 1/ d 1 s ds 0 0 1 1 3/ s 1 s 3/ 3/4 4 s denklemi elde edili. u denklemde eine ds ds 3/4 56 s elde edilen denklem ds 3/4 4 s t 1 3/4 s ds 4 s 0 0 1/4 s t 4 s t, 3 4t, a 1t t de s 16 m., 3 m/ s, a 48 m/ s aıp şeklinde aılıp intege edilise 4.5.5 a f ( ) İvme hıın fonksionu şeklinde veilmiş ise d d a eine vea aılısa aşağıdaki denklemle elde edili. ds d d f ( ) f ( ) d d f ( ) ds ds f ( ) u son eşitlikle intege edilise hı-aman ve konum-hı denklemlei bulunu. 7

Poblem 4.5.5.1 i maddesel nokta bi doğu a 0, ivme hı bağıntısı ile haeket edio. t 0 da konum s 0 ve hı 0 m/ s olduğuna göe t deki konumu hıı ve ivmei hesaplaını. Çöüm: a eine d aaak elde edilen d 0, denklemi 5 d şeklinde düenlenip intege edilise t d 5 1 5 t 4 5 1 t 4 51 0 0 t 4 0 1 4t denklemi elde edili. u denklemde eine ds aaak ds 0 1 4t elde edilen denklem 0 ds şeklinde düenlenip intege 1 4t S t 0 edilise ds s 5 Ln(1 4 t) konum-aman bağıntısı elde edili. 1 4t 0 0 t de s 11m,, m/ s, 0. a, a 0., a 0,988 m/ s 4.5.6 a k ağıntısına ugun doğusal haeket (gei tepmei aaltma) uada k poitif eel saı d d a de a eine k aılıp k elde edilen denklem ds ds d kds şeklinde düenlendikten sona intege edilise 0 d k S S0 ds k s ) 0 ( s0 ds hı-konum bağıntısı elde edili. Elde edilen bağıntıda eine ds 0 ks 0 aılısa ks bağıntısı elde edili. Eğe hı-konum bağıntısında s 0 ds ds alınabilise 0 ks şekline gelen denklem 0 ks düenlenip intege edilise S t ds 1 0 ks ln t 0 ks 0e ks k 0 0 0 0 kt s (1 e ) konum-aman bağıntısı elde edili. k 0 0 şeklinde kt 8

4.5.7 a ks ağıntısına ugun doğusal haeket (sebest titeşim haeketi) uada k poitif eel saı d s denkleminde a eine a ks aılısa d s k s 0 ikinci metebeden sabit katsaılı linee difeansiel denklemi elde edili. u denklemin çöüm fonksionu olaak s Cos t Sin t öneilise difeansiel denklemi sağladığı göülü. uada k dı. ve sabitlei ise başlangıç koşullaı aşağıdaki denklemlede eine konaak bulunu. s Cos t Sin t Sin t Cos t kullanılaak bulunu. Eğe t 0 daki s ve biliniosa aşağıdaki denklemle aılabili. s0 Cos t, 0 Cos t bunladan s0 ve 0 0 ölece s s Cos t Sin t Denklemi elde edili. 0 s Cos t Sin t denklemi s C Cos ( t ) şeklinde aılabili. uada C c tan dı. Eğe fonksionun s-t gafiği çiilise buadaki eği Cos t eğisinden Cos ( t ) fonksionunun agümanı olan ( t ) i sıfı apan t kada geiden başla. 10 5 Cos t Cos t Sint Sin t -5 0.5 1 1.5.5 3 t -10 9

10 C Cos ( t ) 5 0.5 1 1.5.5 3 t -5-10 t Yukaıdaki gafikle 10, 6, C (10) 6 11, 66, 6 c tan 0,54 Rad., 3 ve 0, 18 10 için çiilmişti. s s t t 10 5 t 0.5 1 1.5.5 3-5 -10 Poblem 4.5.7.1 i maddesel nokta bi doğu a s ivme konum bağıntısı ile haeket 36 edio. t 0 da konum s 10 ve hı 4 m/ s olduğuna göe t deki konumu hıı ve ivmei hesaplaını. Çöüm: a s denkleminde a eine 36 d s aılısa 30

s 0 d s 36 ikinci metebeden sabit katsaılı difeansiel denklem elde edili. u denklemin genel çöümü s Cos t Sin t 6 6 Sin t Cos t 6 6 6 6 t 0 daki konum s 10 ve hı 4 m/ s denklemlede eine konusa 4 10 ve elde edili. u bulunan değele konum-aman ve hıaman denklemleinde eine konusa 4 s 10Cos t Sin t 6 6 4 10 Sin t Cos t 6 6 6 6 5 Sin t 4Cos t 3 6 6 denklemlei elde edili. uada t eine aılısa t deki konum ve hı değelei elde edili. 4 s 10Cos Sin 3 3 1 s 5 3, s 11,6 m. 5 Sin 4Cos 3 3 3 3 5, 6,53 m/ s. 3 4.5.8 Doğusal haekette toplam ol Maddesel nokta bi doğu üeinde haeket edeken ön değiştiebili. undan dolaı toplam olu buluken ön değiştidiği noktala aasındaki 31

olla toplanmalıdı. Yön değiştidiği noktaladaki amanla hıı sıfı apan aman değeleidi.u elde edilen amanla ve istenen aman noktası aasındaki konum faklaının mutlak değelei toplandığında toplam ol bulunu. şağıdaki şekilde gösteildiği gibi bi maddesel noktanın t t4 amanına kada aldığı toplam olu inceleelim. Maddesel nokta t 0 da s 0 konumundan haekete başla. Hı denklemini sıfı apan aman değelei t 1, t ve t 3 ise maddesel nokta t 0 dan t t e, 1 t t den 1 t t e, t t den t t3 e kada ve t t3 den sona anı önde haeket edeceğinden bu aalıkladaki konum faklaının mutlak değelei toplanaak toplam ol bulunu. s s 1 s1 s 0 3 s s s4 s3 s 1 s 0 0 s 3 s s 4 t t 4 kada alınan Toplam Yol = 1 s0 s + s s1 + s3 s + s4 s3 uada amanı gösteen alt indislei bilikte s konumlaı maddesel noktanın doğu üeinde indisin belittiği amandaki konumunu göstemektedi. Poblem 4.5.8.1 4 3 i maddesel nokta bi doğu üeinde s t 1t 7t konum aman 3 bağıntısına göe haeket edio. İlk 4 sanie içinde maddesel noktanın aldığı toplam olu bulunu. Çöüm: Maddesel noktanın 4. saniee kada anı önde gittiği aman dilimleindeki konum faklaının mutlak değelei toplanısa toplam ol bulunu. Yön değiştidiği amanla hıı sıfı apan değeleidi. 4 4 7 denklemini sıfı apan aman değelei t t t 1, 4 ( 4) 4* 4* 7 4 1, t1, *4 8 3

t1 1, 5, t 4,5 olaak bulunu. Top. Yolt s s s s s0 0 4 1,5 0 4 1,5 s s 1,5 4,5 4 1, 5 3 1*1, 5 7 *1, 5 18 m. 3 4 4,5 3 1*4,5 7*4,5 1,33 m. 3 TopYol. 18 0 1,33 18 t 4 Top. Yol 34,67 m. t4 4.6 Maddesel noktanın çembesel haeketi Maddesel noktanın bi koodinat sistemine göe öüngesi çembe vea çembe paçası şeklinde ise bu tü haekete çembesel haeket deni. R a a T P s o Hı ve ivme vektöleinin doğal koodinat sistemindeki ifadelei çembesel haekette açısal hı ve açısal ivme cinsinden aılabili. d, d s çembe aı uunluğunu göstediğinden s R aılabili. u bağıntının he iki taafının t e göe 1. ve. tüevlei 33

alınısa ds R d s R denklemlei elde edili. u denklemle doğal koodinat sistemine ait ds ds T, d s a T N R denklemleinde eine konusa R T a R T R N Çembesel haekete ait hı ve ivme vektöleinin doğal koodinat sistemindeki ifadelei elde edili. uadaki açısal hı ve açısal ivme nın değelei d d d d d denklemleinden elde edili. u denklemle doğusal haekete ait difeansiel denklemlele anı fomdadı. undan dolaı çöüm öntemlei de anıdı. Poblem 4.6.1 i maddesel nokta R 1 cm. aıçaplı çembe üeinde saat akebinin tesi önünde haeket edeken bi t anında açısal hıı 6 Rad / s. ve 34

açısal ivmesi Rad / s olduğuna göe bu an için hı ve ivme vektöleini doğal koodinat sisteminde bulunu. Çöüm: R T Şeklindeki çembesel haeketteki hı vektöünün doğal koodinat sistemindeki fomülünde veilenle eine konusa 1*6T 7 T hı vektöünün doğal koodinat sistemindeki ifadesi elde edili. nı şekilde ivme vektöünün doğal koodinat sistemindeki fomülü olan a R T R N denkleminde veilenle eine konusa a 1* T 1*6 N a 4 T 43N ivme vektöünün doğal koodinat sistemindeki ifadesi bulunu. Poblem 4.6.1 asit bi sakacın haeketi k şeklinde veilio. t 0 da 0 ve 0 olduğuna göe açı, açısal hı ve açısal ivme nın amana bağlı ifadeleini bulunu. Çöüm: eine d k 0 d aılısa ikinci metebeden sabit katsaılı difeansiel denklem elde edili. u denklemin genel çöümü Cos t Sin t şeklindedi. uada k di. ve sabitlei ise başlangıç şatlaından bulunu. Cos t Sin t denkleminde eine 0, t eine sıfı aılısa 0 bulunu. Sint Cos t denkleminde eine 0, t eine sıfı aılısa elde edili. uadan 35

bulunu. u bulunan ve değelei açı-aman bağıntısında eine aılısa 0Cos t Sint açı-aman denklemi bulunu.u denklemin aman göe biinci tüevi 0Sin t Cos t açısal hı-aman denklemini vei. u denklemin teka aman göe tüevi 0Cos t Sin t açısal ivme-aman denklemini vei. 4.6.1 Çembesel haekette hı ve ivmenin kateen koodinatladaki ifadelei R a a T P s o Çembesel haekette vektöü OP açısal hı vektöü tanımlandıktan sona hı Şeklinde hesaplanabili.uada açısal hı vektöüdü.çısal hı vektöünün modülü açısal hıın mutlak değeine eşit, doğultusu çembe dülemine dik önü sağ el kualına ugun maddesel noktanın dönüş önüne bağlı olaak tesbit edilen önde bi vektödü. ile OP vektöü bibiine dik olduğundan OP nin şiddeti R değeine eşit, doğultusu çembee teğet, önüde hı vektöü önünde olduğundan OP vektöü hı vektöüne eşitti. Yukaıdaki şekle göe 36

k OP RCos i R Sin aılabili. u eşitliklele hı vektöü R Sin i R Cos şeklinde kateen koodinat sisteminde aılabili. u hı vektöünün OP şeklindeki denkleminin amana göe tüevi alınısa ivme vektöü bulunu. a OP uada d vektöü di. Yukaıdaki şekilde eine k alınıp ivme vektöünde eine aılıp geekli işlemle apılısa a k OP k a k ( RCos i R Sin ) k ( R Sin i R Cos ) a ( R Sin R Cos ) i ( R Cos R Sin) ivme vektöünün kateen koodinatladaki ifadesi bulunu. Poblem 4.6.1.1 3 i maddesel nokta R 14 cm. aıçaplı bi çembe üeinde 4 t bağıntısına ugun olaak haeket etmektedi. Çembe şekilde gösteildiği gibi dülemindedi. açısı da şekilde gösteildiği gibi alınıo. t için maddesel noktanın e hı ve ivme vektöleini kateen koodinatlada hesaplaını. R 37

C C C O uada R 14 cm. C 0 cm. C 18 cm. Çöüm: OC C 4 t dı. 3 OC 0 18k C RCos RSin k t de 3 C 7 7 3k 7 (18 7 3) k 7 30,1k Hı vektöü kateen koodinatlada C d fomülü ile hesaplanabili.uada i ( Çünkü ekseni çembe dülemine dikti ve maddesel nokta çembe etafında den e doğu dönüo.) d t 4 d t için i (7 7 3) k 7 3 7 k 38,1 k değei C t deki hı ifadesi hesaplanmış olu. İvme vektöü kateen koodinatlada a C d fomülü ile hesaplanabili.uada i doğultu değiştimio.) denkleminde eine aılısa ( Çünkü açısal ivme vektöü 38

d t d t için değei ve diğe elde edilenlele bilikte a C denklemine gidilise a i (7 7 3 k) i ( 7 3 7 k) a (7 7 3) (7 7 3 ) k a 107,18 97, 67k 4.7 Maddesel noktanın bağıl haeketi (öteleme haeketi apan eksen sistemine göe ) İki maddesel noktanın bibiine göe bağıl e hı ve ivme vektölei aşağıdaki şekilden elde edilebili. u maddesel noktaladan biisi öteleme haeketi apan eksen sisteminin oiini alınısa aşağıdaki şekil çiilebili. P1 P P / P 1 P 1 P1 P1 P 1 P o Yukaıdaki şekilden e vektölei aasında P1 P / P1 P bağıntısı aılabili. uadan P noktasının P 1 noktasına vea öteleme haeketi apan eksen sistemine göe P / P bağıl e vektöü çekilip amana 1 göe biinci ve ikinci tüevi alınısa bağıl hı ve bağıl ivme vektölei elde edili. P / P1 P P1 39

a P / P1 P P1 a a P / P1 P P1 Poblem 4.7.1 Şekilde gösteildiği gibi P 1 maddesel noktası d 1 doğusu üeinde s 10 8Sin t konum-aman bağıntısına göe P maddesel noktası ise 1 3 düleminde bulunan R 1 cm. aıçaplı bi çembe üeinde 4 t açı-aman bağıntısına göe haeket etmektedi. t için P maddesel noktasının P 1 maddesel noktasına göe bağıl e, hı, ivme vektöleini ve aalaındaki uaklığı bulunu. 0cm. 10cm. P s P 1 O C 15cm. Çöüm: P / P1 P P1 OP OC CP P, OC 0i 15 (0 1 Cos ) i (15 1 Sin ) P O P P 1 1 1, P1 s 10k P / P (0 1 Cos) i (15 1 Sin s) 10k 3 t de. 4 3 Rad, s 10 8Sin 14 cm. 1 40

1 P / P (0 1 Cos ) i (15 1 Sin 14) 10k 1 3 3 / (0 6) i (15 6 3 14) 10k P P 1 / 6 i (1 6 3) 10k P P 1 / 1 Sini (1 Cos ) P P / 6i 11,39 10k, P P1 8 t, Cos t 3 1 t de /. Rad s, 3 cm/ s. 3 3 / 1 P P Sin i (1 Cos ) 1 3 3 3 3 1 3 3 P / P 1 i (1 ), 1 P / P 3 3 i (3 ) 1 3 3 P / P 16,3i 7,61 1 ap / P (1Sin 1 Cos) i (1Cos 1 Sin a) 1 4 t, Sin t 18 1 t de / Rad s, a cm/ s 36 ap / P (1 Sin 1 Cos ) i (1 Cos 1 Sin ) 1 3 4 3 3 4 3 36 3 1 1 3 ap / P (1 1 ) i (1 1 ) 1 4 4 36 3 3 ap / P (3 3 ) i (3 3 ) 1 36 3 3 ap / P (3 3 ) i (3 3 ) 1 36 ap / P 31,13i 14,57 1 Poblem 4.7. Şekilde gösteildiği gibi P 1 maddesel noktası düleminde bulunan ve mekei ekseni üeinde R 8 cm. aıçaplı bi çembe üeinde 6 t bağıntısına göe haeket etmektedi. P maddesel noktası ise PP 1 L 5R sabit 41

olmak üee Z ekseni üeinde haeket edio. t 1 için P maddesel noktasının hı ve ivmesini bulunu. P L 5R R 3R C Çöüm: P k, P k, a P k P / P L5R 1 P / P 1 P P1 P (3 R RCos ) i RSin 1 P / P (3 RRCos) i RSin k 1 L R R R Cos R Cos R Sin P P 5 9 6 1 15R 6R Cos 1/ R 15 6Cos, R(15 6 Cos ) 1 (15 6 ) 1/ ( 6 ) R Cos Sin 3 R Sin(156 Cos) 1/ 3R Sin 15 6Cos 1/ 1/ 3 3/ 3 R Sin(156 Cos) 3 R Cos(156 Cos) 3 R Sin( )(156 Cos) (6 Sin) 3 R( Sin Cos) 7R Sin 15 6 Cos (15 6 Cos) 15 6Cos 4

6 t,, 0 6 t 1 de. 6 Rad 3R Sin 6 6 15 6Cos 6 cm/ s. 15 3 3 P k 3 R( Cos ) 7R Sin 36 6 36 6 15 6 Cos (15 6 Cos ) 15 6Cos 6 6 6 3 3 3 153 3 (153 3) 153 3 1, 34 cm / s ap 1, 34 k 4.8 Maddesel noktalaın bağlı haeketi i maddesel noktanın haeketi diğe maddesel noktalaın haeketine bağlı olaak veiliosa bu tü haekete bağlı haeket deni. i maddesel noktala sistemi düşünüldüğünde bu sistemin konumunu beliten değişkenlee genelleştiilmiş koodinatla deni. enelleştiilmiş koodinatlaın bibiinden bağımsı saısına sistemin sebestlik deecesi deni. i maddesel noktala sistemindeki he bi bağıntı sebestlik deecesini bi aaltı. şağıdaki bi makaa sistemindeki maddesel nokta kabul edilen kütlele düşe doğultuda haeket ediola.sistemin konumu 3 tane değişkenle gösteilebili. u makaaladan dolandıılan ve cisimlei bibiine bağlı olaak haeket etmesini sağlaan ipin bounun değişmediği kabul edilise ek olaak bi bağıntı geli. ölece sistemin sebestlik deecesi olu. s s C 43

s C İpin toplam uunluğunun değişmediği kabul edilise s s s sabit C aılabili. u eşitliğin he iki taafının amana göe tüevlei alınısa 0 C hıla aasındaki bağıntı bulunu. Teka tüev alınısa a a a 0 C ivmele aasındaki bağıntı bulunu. u poblemden aı olaak maddesel noktala sisteminde maddesel noktala aasındaki uaklıkla değişmiosa bu sistem iid cisim modelini oluştuu. u modelde sebestlik deecesi 6 dı. Poblem 4.8.1 Şekilde gösteilen asansöü aşağı doğu 5 m/s. Sabit hıı ile aşağı doğu haeket edio. a) W Kaşı ağılığının hıını b) C kablosunun hıını c) C kablosunun asansöüne göe hıını d) W kaşı ağılığının asansöüne göe hıını bulunu. 44

C W M Çöüm: s W s C C W s M a) s sw sabit 0 W W W 5 m/ s. 45

b) s s sabit C C C 0 10 m/ s c) / C C C / 15 m/ s d) / W W W / 5 5 W / 10 m/ s Poblem 4.8. Şekilde gösteilen bloğu sağa doğu 450 mm/ s. sabit hıı ile haeket edio. a) bloğunun hıını b) Kablonun D kısmının hıını c) nın e göe hıını d) Kablonun C kısmının hıını D kısmına göe bulunu. C D 450 mm / s E Çöüm: S 0 (+) S C D 450 mm / s E 46

a) 3s s sabit 3 0 3 3 450 675 mm/ s b) s s D sabit 0 D D D * 450 D 900 mm/ s. c) / / 675 450 d) / 5 mm/ s. C/ D C D 450 mm/ s. C C/ D 450 900 / 450 mm/ s. C D 47

ÖLÜM 5 RİJİD CİSMİN KİNEMTİĞİ 5.1 Riid cismin haeketinde idüşüm hıla teoemi Riid cismin haeketinde anı doğu üeinde bulunan noktalaın hılaının bu doğu üeindeki idüşümlei bibiine eşitti. u teoemin ispatı aşağıdaki şekilde apılabili. 48

o Riid cisim üeindeki hehangi iki nokta aasındaki uaklık değişmediğinden sabit aılabili. i vektöün modülü vektöü kendisile skale çapıp kaekökünü alaak da bulunu. i vektö sabit ise modülünün kaesi de sabitti. sabit He iki tafın amana göe tüevi alınısa d 0 elde edili. uada d ( ) 0 eine aılısa bağıntısı bulunu. u bağıntının he iki tafı bölünüse U U idüşüm hıla teoemi ispatlanmış olu. vektöünün modülüne Poblem 5.1.1: i iid cismin koodinatlaı (1,1,0) olan noktasının hı vektöü 3i 7 8k ve koodinatlaı (3,4,6) olan noktasının hı vektöünün doğultusunun eksenine paalel olduğu bilindiğine göe şiddetini bulunu. (uada uunlukla mete aman sanie cinsindendi.) Çöüm: İdüşüm hıla teoeminden 49

aılabili. OO i 3 6k i 3*7*38*6 1 m/ s * 1 m/ s 1 m/ s 10,5 m/ s. Poblem 5.1.: Şekilde gösteilen cisminin ucu ekseni üeinde hı şiddeti ile aşağı doğu haeket edeken ucu ekseni üeinde haeket edio. ucunun hıının şiddetini ucunun hıının şiddetine ve açısına bağlı olaak bulunu. Sin Cos Çöüm: İdüşüm hıla teoemine göe noktasının hıının doğultusu üeindeki idüşümü noktasının hıının doğultusu üeindeki idüşümüne eşitti. 50

Sin Cos tg 5. Riid cismin ötelenme haeketi Riid cismin haeketinde üeindeki hiçbi doğu doğultu değiştimiosa bu tü haekete öteleme haeketi deni. u duumda iid cisme bağlı vektöle dülemle eksen sistemlei doğultu değiştimele. Riid cisme bağlı he vektö sabit vektödü. Şekilde bu sabit vektöleden hehangi bii vektöü olsun. o Şekildeki ve nin e vektölei aasında aşağıdaki bağıntı aılabili. 51

sabit olduğu gö önünde bulunduulaak eşitliğin he iki taafının amana göe tüevi alınısa hı vektölei aasındaki bağıntı bulunu.teka tüev alındığında ise a a ivmele aasındaki bağıntı bulunu. u bağıntıladan öteleme haeketinde iid cismin bütün noktalaının hı vektöleinin bibiine eşit, ivme vektöleinin bibiine eşit olduğu göülü. Ötelenme haeketinde bütün noktalaın hılaı bibiine eşit olduğu için öüngelei de bibiinin anı vea ötelenmiş eğile olu. Eğe bu öüngele doğu şeklinde ise bu haekete doğusal ötelenme, eği şeklinde ise eğisel ötelenme haeketi deni. Poblem 5..1 Şekil düleminde kalmak şatı ile noktasından etafında dönebilen çubuğu ile D noktasından C etafında dönebilen CD çubuğu ile mafsallı olaak haeket edio. çubuğunun şekilde veilen konumdan geçeken açısal hıı 5 Rad / s açısal ivmesi Rad / s olduğuna göe bu an için DEF dikdötgen levhasının E noktasının hı ve ivme vektöleini a) doğal koodinat sisteminde b) kateen koodinat sisteminde bulunu. C D F CD 0 cm. C D 3 cm. 0 30 E 5

Çöüm: a a N a T C D ae a F E uunluğu CD uunluğuna ve C uunluğu D uunluğuna eşit olduğu için CD daima paalel kena olu. undan dolaı dikdötgen plaka öteleme haeketi apa. Öteleme haeketi apan cisimlein bütün noktalaının hılaı ve ivmelei bibiinin anı olduğundan E noktasının hıı ve ivmesi noktasının hıı ve ivmesine eşit olu. a) Doğal koodinat sisteminde hı ve ivme vektölei T 0 5T 100T a T N a 0 T 0 5 N a 40T 500 N E 100T a a 40T 500 N E b) Kateen koodinat sisteminde hı ve ivme vektölei 5k Sin i Cos 0 0 0 Sin30 i 0 Cos30 10i 10 3 5 k ( 10 i 10 3 ) 50 3 i 50 a E 53

a k ( 10 i 10 3 ) 5 k (50 3 i 50 ) a (0 3 50) i (0 50 3) E 50 3 i 50 a a (0 3 50) i (0 50 3) E 5.3 Riid cismin sabit bi eksen etafında dönme haeketi Riid cismin üeindeki noktalaın sabit bi eksene ve bu eksen üeindeki bi noktaa uaklıklaı haeket bounca değişmiosa iid cismin bu haeketine sabit bi eksen etafında dönme haeketi deni. Δ D C D Yukaıdaki şekilde bi iid cisim ve noktalaından geçen Δ ekseni etafında açısal hıı ve açısal ivmesi ile dönüo. Cismin üeindeki 54

bütün noktalaın öüngelei Δ eksenine dik dülemledeki çembeledi. uada D noktası C mekeli aıçaplı Δ eksenine dik dülemde bi çembe çie. Çembesel haekette bi noktanın hı vektöünün doğultusu çembee teğet,önü haeket önünde, şiddeti ise açısal hı ile aıçapın çapımına eşitti. T İvme vektöü ise a T N şeklindedi. Sabit bi eksen etafında dönme haeketinde D D şeklinde aılabileceği aşağıda gibi gösteilebili. hı vektöünün uada açısal hı vektöüdü. çısal hı vektöü aşısal hı şiddetinde dönme ekseni doğultusunda ve sağ el kualı ile cismin dönme önünü beliten önde bi vektödü. D D D Sin uad D Sin olduğundan hıın şiddetini veen denklemi sağlanmış olu. ektöel çapımın doğultusu çapımdaki he iki vektöe de dik olacağından açısal hı vektöü ile D vektöüne dik doğultu teğet doğultusunda olu. Yönü ise sağ el kualı ile bulunu. u elde edilen doğultu ve ön hı vektöünün doğultu ve önü ile anı olu. ölece sabit bi eksen etafında dönme haeketindeki hı vektöünün hesabında D D ifadesi kullanılabil. u eşitliğin he iki taafının amana göe tüevi alınısa ivme vektöü fomülü elde edili. ad D D d uada dı. Poblem 5.3.1 Dikdötgenle piması şeklindeki cisim bi t anında açısal hıı poitif önde 7 Rad / s ve açısal ivmesi Rad / s di. ıca anı anda kenalaı koodinat eksenleine çakışacak konumdan geçmektedi. noktasının hı ve ivme vektöleini cisim 55

a) ekseni etafında döneken b) ekseni etafında döneken c) ekseni etafında döneken d) O ekseni etafında döneken 0cm. D C 30cm. O H E 60cm. F Z Çöüm: a) cisim ekseni etafında poitif önde ( den e doğu) dönüo. H T, 30 7 T, 10 T H, 7 i, H 30, 7 i 30 10k a HT H N, a 30 T 30 7 N a 60T 1470N a H, a i 30 7i 10k a 1470 60k b) cisim ekseni etafında poitif önde ( den e doğu) dönüo. C T, 60 7 T, 40 T a 60 T 60 7 N, a 10T 940N C, 7, 7 60i 40k a C, a 60i 7 40k a 940i 10k c) Cisim ekseni etafında poitif önde ( den e doğu) dönüo. 56

O T, O 30 60, O 30 60, O 10 45 70 45 T, 469,57 T a 10 45 T 10 45 7 N, a 0 45 T 490 45N a 134,16T 387,0N, a 389,8 cm/ s O, 7 k, O 60i 30 7 k (60i 30 ) 10i 40 a O, a k (60i 30 ) 7 k ( 10 i 40 ) a 10 60i 1470 940 i a 3000i 1350 d) Cisim O ekseni etafında poitif önde (O dan bakıldığında saat ibeleinin tesi önünde) dönüo. U O, U O O 60 i 30 0 k O 60 30 0 6 3 UO i k, 6i 3 k, 0k 7 7 7 (6i 3 k) 0k 60i 10 1 6 4 a, UO, i k 7 7 7 i k 1 6 4 a ( i k) 0k 6 3 7 7 7 60 10 0 10 40 a ( 40) i ( 10) 900k 7 7 57

a 57,14i 85, 71 900k Poblem 5.3. i iid cisim (5,6,) ve (7,3,8) noktalaından geçen ve dan e doğu önelmiş Δ ekseni etafında poitif önde dönüo. Cismin bi t anındaki açısal hıı 14 Rad / s ve açısal ivmesi 7 Rad / s di. u anda C noktası (10,8,6) koodinatlaından geçtiğine göe C noktasının a) bu andaki hı ve ivme vektöleini b) dönme eksenine olan uaklığını bulunu. Çöüm: C C, ac C C U, U, U, (7 5) i (3 6) (8 ) k U (7 5) (3 6) (8 ) 3 6 U i k 7 7, 4i 6 1k, i 3 6k 7 C (105) i (86) (6) k, C 5i 4k a) i k C 4 6 1 C 5 4 ( 6 4 1 ) i (1 5 4 4) (4 6 5) k C 48i 44 38k b) C a C C C i k i k, a 3 6 4 6 1 5 4 48 44 38 ac ( 34 6 6 38 1 44) i (6 5 4 48 1 4 38) ( 35 444 648) k a 780 i 706 93k C C 58

c) C C RC RC 48i 44 38k, 75,39 cm/ s C C RC RC 75,39 14 5,39 cm. 5.4 Riid cismin genel dülemsel haeketi Riid cisim üeindeki bütün noktalaın öüngelei dülemsel eğile ise iid cismin bu tü haeketine genel dülemsel haeket deni. Dülemsel eğile çien bu noktala anı dülemde vea bibiine paalel dülemlede bulunu.enel dülemsel haeket için apılan bu tanımdan sabit bi eksen etafındaki haeketin de bi dülemsel haeket olduğu anlaşılı. u paalel dülemleden biinde elde edilen hı ve ivmele bu düleme çıkılan dik doğu üeindeki he noktada anıdı.öüngele ise anı öüngenin bu noktaa ötelenmiş halidi. undan dolaı genel dülemsel haeket apan bi iid cisim üeindeki öüngelee paalel dülemleden biini ana levha olaak adlandııp bunun üeinde inceleme apmak eteli olu. / o 59

Şekildeki o vektö üçgeninden ve nin e vektölei aasında aşağıdaki bağıntı aılabili. / u e vektölei aasındaki bağıntının aman göe tüevinden hı vektölei aasındaki bağıntı elde edili. / u eşitliğin amana göe tüevi alınısa ivmele aasındaki bağıntı elde edili. a a a / uadaki denklemlein sol taafındaki ikinci teimle nin daki ötelenme haeketi apan eksen sistemine göe haeketini göstemektedi. uada ile aasındaki uaklık değişmediğinden ve dülemsel bi öüngee sahip olduğundan nin daki eksen sistemine göe öüngesi çembe olu. Çembesel haekette sabit eksen etafında dönme haeketine ait aşağıdaki denklemle aılabili. / a / / Poblem 5.4.1 Şekilde gösteilen sistemde O kolu O silindiik mafsalı etafında kolu ise silindiik mafsalı etafında dönme haeketi apmaktadı. Sistem bi t anında veilen konumdan geçeken O kolunun açısal hıı O 8 Rad / s,açısal ivmesi O 3 Rad / s kolunun açısal hıı ise 6 Rad / s,açısal ivmesi Rad / s olduğuna göe bu an için C noktasının hı ve ivme vektöleini bulunu. O 60

O O 6 cm. 0 cm. 0 0 Sistem veilen konumdan geçeken: 60, 45, 8 Rad / s O dı. 3 Rad / s, 6 Rad / s, Rad / s O Çöüm: /, O O, / O 8k, O 3k, 6k, k O O( Cos i Sin ), O 13i 13 3 ( Cos i Sin ), 10 i 10 8 k (13i 13 3 ), 104 3 i 104 / 6 k (10 i 10 ), / 60 i 60 (104 3 60 ) i (104 60 ) 65i 188,9 a a a /, a O OO a 3 k (13i 13 3 ) 8 k ( 104 3 i 104 ), a (39 3 83) i (39 83 3), a / / a/ k (10 i 10 ) 6 k ( 60 i 60 ) a/ (0 360 ) i (0 360 ), a/ 380 i 340 a (39 3 380 83) i (39 83 3 340 ) a 1436,95i 188,9 Poblem 5.4. 61

şağıdaki şekilde kamadan uvalanma haeketi apan bi disk gösteilmektedi. Diskin çevesindeki,, C, D ve noktalaının hı ve ivme vektöleini bulunu. C Çöüm: D / D / D 0 C / / Yukaıdaki şekilde gösteildiği gibi bütün noktalaın hı vektöünü kütle mekeinin hı vektöü ile bu noktalaın kütle mekeine göe hı vektöleinin toplamından elde edili. İvme vektölei de anı şekilde kütle mekeinin ivmesi ile bu noktalaın kütle mekeine göe ivmeleinin toplamından elde edili. noktasının hı ve ivme vektöü: / R i, / R R i R a a a / a R i a/ RT R N a/ R i R a R( ) i R noktasının hı ve ivme vektöü: / R i, / k ( RCos i RSin ) / R Sin i RCos R (1 Sin ) i RCos 6

a a a / a/ k ( RCos i RSin ) k ( R Sin i RCos ) a/ ( R Sin R Cos) i ( RCos R Sin ) a ( R RSin R Cos) i ( RCos R Sin ) C noktasının hı ve ivme vektöü: C C/ R i, C/ R i C R i a C a a C/ a R i ac/ RT R N ac/ Ri R a Ri R C noktasının hı ve ivme vektöü: D D/ R i, D/ R D R i R a D a a D/ a R i ad/ RT R N ad/ R i R a R( ) i R D noktasının hı ve ivme vektöü: / R i, / R i 0 a a a / 63

a R i a RT R N / a Ri R / a R 5.5 enel dülemsel haekette ani dönme mekei enle dülemsel haeketteki / eşitliği gö önüne alınısa Hehangi bi noktanın hı vektöü hı vektöü bilinen bi noktanın hı vektöüne bu noktaı ba alaak elde edilen bağıl hı vektöü ekleneek bulunu. u sölenen bağıntıdan genel dülemsel haekette hıı sıfı olan i noktaı bulmak mümkün olu. Hıın sıfı olan nokta bulunduktan sona diğe noktalaın bu nokta etafında çembesel haeket aptığı düşünüleek hılaı hesaplanı. C C / Şekilde göüldüğü gibi noktasının hıına çıkılan dikme üeinde hıı sıfı olan noktaı bulmak mümkündü. Eğe / olacak şekilde bi noktası bulunusa bu noktanın hıı sıfı olu. Hıı sıfı olan noktaı bulduktan sona başka bi C noktasının hıının doğultusu C doğusuna 64

dik çıkaak, önü nın göstediği önde, şiddeti ise C doğusunun uunluğu ile açısal hı vektöünün çapımından şekildeki gibi kolalıkla bulunu. C C Poblem 5.5.1: Şekilde gösteilen L uunluğundaki cisminin ucu ekseni üeinde hıı ile aşağı doğu haeket edeken ucu ekseni üeinde haeket edio. ucunun hıını ve C mekeinin hıını ucunun hıına ve açısına bağlı olaak bulunu. C Çöüm: 65

C C, C C C, C L, LCos, LSin L LSin, C LCos LCos tg C Cos, C L Poblem 5.5.: Şekildeki kank biel mekanimasında =10cm. uunluğundaki kankı 0 etafında saat ibelei önünde 5 Rad / s. sabit açısal hıı ile dönüo. 30 için C=30cm. uunluğundaki bielinin açısal hıını ve C pistonunun hıını bulunu. C Çöüm : C 66

C C C C C C C, C C 10 5, 50 cm/ s Sinüs teoeminden 0 Sin Sin Sin(180 ) Sin C C C Cos CCos Cos 1 Sin, Cos 1 ( ) Sin C C Cos C 1 ( ) Sin C 0 10 0 C 10Cos30 30 1 ( ) Sin 30 30 C 37,815 cm. C 37,815, Cos Cos30 0 43, 665 cm. 0 C Sin, C 43, 665Sin30 C 1,833 cm., 43,665 10 33, 665 cm. 10 C, C 5 33, 665 C 1, 485 Rad / s C CC, C 1,833 1, 485 3, 4 cm/ s C Sin C 67

5.6 Riid cismin sabit bi nokta etafında haeketi şağıdaki şekilde o etafında açısal hı vektöü ve açısal ivme vektöü ile dönen bi iid cismin C noktasının hı ve ivme vektölei aşağıdaki gibi aılabili. C O C OC a OC C C Sabit bi nokta etafında dönme haeketinde açısal ivme vektöü ile açısal hı vektöü anı doğultuda olmak ounda değildi. Sabit bi nokta etafında dönme haeketi he an için sabit bi eksen etafında dönme haeketine eşdeğe düşünülebili. ni dönme ekseni denen bu eksen üeindeki noktalaın hıı sıfıdı.fakat ivmelei sıfı olmaabileceğinden ivme vektöü bu eksen dışında olabili. 68

Poblem 5.6.1: Şekilde gösteildiği anda O Robot kolu ekseni etafında 1 0,15 Rad / s sabit açısal hıı ve ekseni etafında 0, 5 Rad / s sabit açısal hıı ile dönüo. O obot kolunun uunluğu 1m. olduğuna göe a) O obot kolunun açısal hıını b) O obot kolunun açısal ivmesini c) noktasının hıını d) noktasının ivmesini bulunu. 1 o 35 0 Çöüm: a) 1 1 1, k, 1 k 0,15 0, 5k 0,15 0, 5 b) 0, 9 Rad / s., 69

c) d d1 d Şiddeti sabit olan 1 açısal hı vektöünün doğultusu da d 1 değişmediğinden 0 dı. d 1, 0,15 0, 5k 0,0375i O O Cos i Sin 0 0, 35 35 i k O 0,819i 0,5736, 0 0,15 0,5 0,1434i 0,05 0,13k 0,819 0,5736 0, 0, 79 m/ s d) a O i k a 0, 0375 i (0,819 i 0,5736 ) 0 0,15 0, 5 0,1434 0, 05 0,13 a 0, 0697 i 0, 0359 0, 043k, a 0, 089 m/ s Poblem 5.6.: Çeşitli dü çubukladan bileştiileek oluştuulan OC obot kolu O da küesel mafsal ile bağlanmıştı. O çubuğu D, O çubuğu ise E plakasındaki doğusal kanallada haeket edio. E plakasındaki kanal eksenine paaleldi. D plakası eksenine dikti. Şekilde gösteildiği anda noktasının hıının (180 mm/ s) k ve sabit olduğu bilindiğine göe a) OC obot kolunun açısal hıını, b) noktasının hıını c) C noktasının hıını, d) OC obot kolunun açısal ivmesini e) C noktasının ivmesini bulunu. 100 70

E O C 40 40 D 80 1 (Ölçüle mm. cinsindendi.) 00 Çöüm: a) O, i k, O 40 ( i k) 40, 40 i 40 k aıca 180 k olduğu bilindiğinden 180 40i 40k 180 k 0,75 Rad / s, 0 40 O, 0.75i, O 00k (0.75 i ) 00k, 00 i 150 aıca noktasının hıı doğultusu bilindiğinden 1 i şeklinde aılabili. u noktasına ait hı 5 5 ifadelei eşitlenip 1 i 00 i 150 elde edilen denklemden 5 5 noktasının hıı ve açısal hıın ekseni doğultusundaki bileşeni bulunu. 150 5,, (150 5) 1, 5 Rad / s 00 5 00 5 0, 75i 1,5 b) 1 (150 5) i (150 5) 5 3 300i 150 c) OC, OC 100i 80 40k C 71

C i k 0, 75 1,5 0 100 80 40, 60i 30 90k C d) ac OC C noktasının hıının şiddeti sabit ise ivmenin teğetsel bileşeni sıfı olacağında açısal ivmesi sıfıdı. 0 ac (0,75i 1,5 ) (60 i 30 90 k) i k a 0, 75 1,5 0, a 135i 67,5 11,5k C 60 30 90 5.7 Riid cismin genel haeketi C / o Şekildeki o vektö üçgeninden ve nin e vektölei aasında aşağıdaki bağıntı aılabili. / u e vektölei aasındaki bağıntının aman göe tüevinden hı vektölei aasındaki bağıntı elde edili. / 7

u eşitliğin amana göe tüevi alınısa ivmele aasındaki bağıntı elde edili. a a a / uadaki nin daki eksen sistemine göe olan bağıl e hı ve ivme vektölei sabit bi nokta etafındaki haeketi göstemektedi. / a / / Poblem 5.7.1: Uunluğu 55 mm. olan C çubuğu ucundan D etafında dönen çubuğuna C ucundan OC çubuğu üeinde haeket eden C bileiğine küesel mafsalla ile bağlanmıştı. Düleminde dönen kolunun açısal hıı 18 Rad / s ve sabitti. Şekilde gösteilen konum için C bileiğinin hıını ve ivmesini bulunu. Eğe C deki küesel mafsal eine çatal mafsal konusa C çubuğunun açısal hıını ve açısal ivmesini bulunu. O D C Çöüm: C C/, C/ C C ıca C Ck dı. 18k, 150, 18 k 150, 700 i 73

i k C C C C X Y Z, C 5i 150 OCk OC C O OC 55 5 150 OC 450 mm., C 5i 150 450k C / ( C i ) ( 5 150 450 ) X C Y C k i k Z i k C / C C C X Y Z, 5 150 450 C / (450C 150 ) (5 450 ) (5 150 ) Y C i Z C Z C X C Y C k X İdüşüm hıla teoemine göe C C C 700 i ( 5i 150 450 k) C k ( 5i 150 450 k) 607500 450 C, C 1350 mm/ s, C 1350k C/ C, C/ 700 i 1350k C / 700 i 1350 k (450C 150 ) (5 450 ) (5 150 ) Y C i Z C Z C X C Y C k X C/ 700 i Ck (450C 150 ) (5 450 ) (5 150 ) Y C i Z C Z C X C Y C k X 450 150 700 3450 3150 3700 C Y 5 450 0 C Z 5 150 Y C C C C C Z X X C Y 5 ( ) * 450 0 C Z 6 5 6 150 6 Y C Z X C C C C X 1350 450 3700 C Y 450 900 0 C Z 1350 900 6 Y C C C C C Z X X 1350 900 3700 C Y 1350 900 6 Y C C C C X X 3C 18 Y C Z C 6 Y CX 3 C 0 X C Z C Z C X 6 C 3 700 1350 mm/ s, C 1350k 0 450 150 450 0 5 ( 450 5 150) (150 450 5) 0 150 5 0 C Katsaıla matisinin deteminantı sıfı olduğundan açısal hı vektöü belisidi. C kolu kendi etafında ve C noktalaının hıından bağımsı olaak dönebili. C i (6 ) X C X C k X 3 a a a a a k C C/, C C a 74

kolunun açısal hıı sabit olduğundan açısal ivmesi a, a 18k 700 i, a 48600 a C C / C C C / ac / ( C i ) ( 5 150 450 ) X C Y C k i k Z [ C i (6 ) ] (700 1350 ) X C X C k i k X 3 i k i k a 6 3 5 150 450 700 0 1350 C / C C C C C C X Y Z X X X sıfıdı. ac / (450C 150 900 8100) ( 5 450 6750 ) Y C Z C i X C Z C X C X ( 150C 5 1800 1600) X C Y C k X ac ac k (450C 150 900 8100) ( 5 450 6750 48600) Y C Z C i X C Z C X C X ( 150 5 1800 1600) k C C C X Y X 450 C 150 900 8100 0 Y C Z C X 5C 450 6750 48600 0 Z C X C X 150 5 1800 1600 a C C C C X Y X 3450 C 3150 3 900 3 8100 0 Y C Z C X 5C 450 6750 48600 0 Z C X C X 150 5 1800 1600 a C C C C X Y X 900 C 1350 10800 7900 X C Y C X 150 5 1800 1600 a C C C C X Y X 150 C 5 1800 1150 X C Y C X 150 5 1800 1600 a C C C C X Y X 1150 1600 ac, a 4050 mm/ s C C 54 8 Y C, X C 30 16 X C Z C X CX 3 C i (54 8 ) ( 30 16 ) X C X C X C X C k X 3 uada açısal hı vektöünde olduğu gibi açısal ivme vektöü de belisidi. Eğe C deki küesel bağlantı eine aşağıdaki gibi çatal mafsal kullanılısa açısal hı ve açısal ivme vektölei belili olu. 75

C çubuğunun açısal hı ve ivme vektöleinin C deki çatal mafsal pimi eksenine ve C bileiği haeket eksenine dik doğultudaki bileşenlei sıfıdı. o C mafsalı pim ekseni C C kolu doğultusu u duumda ( OC C) vektöü C deki pim eksenini göstei. [ OC ( OC C)] vektöü pim eksenine ve bileik haeket doğultusuna dik ekseni göstei. u elde edilen vektöün biim vektöü ile açısal hı ve açısal ivme vektöleinin skale çapımı sıfıa eşitlenise elde edilen denklemleden açısal hı ve açısal ivme bulunu. OC ( OC C) 0 OC ( OC C) OC ( OC C) 0 OC ( OC C) OC 450k, C 5i 150 450k ( OC C) 450 k ( 5i 150 450 k), ( OC C) 67500i 10150 [ OC ( OC C)] 450 k (67500i 10150 ) [ OC ( OC C)] 4556500 i 30375000 OC ( OC C) 0,83i 0,5547 OC ( OC C) C i (6 ) X C X C k X 3 OC ( OC C) ( C i (6 ) ) (0,83 0,5547 ) 0 X C X C k i X OC ( OC C) 3 0,83 C 3,38 0,3698 0 X C 7, / X C Rad s X 7,1i 10,8 14,4k 76

C i (54 8 ) ( 30 16 ) X C X C X C X C k X 3 C i (111, 6 ) ( 43 ) X C X C k X 3 OC ( OC C) [ C i (111, 6 ) ( 43 ) ] (0,83 0,5547 ) 0 X C X C k i X OC ( OC C) 3 0,83C 0,5547 111, 6 0,5547 0 X C, (0,83 0,3698) 61,9 X C 3 X 133,93 Rad / s, 133,93i 00,9 699,9 k C X 5.8 Maddesel noktanın dönen eksen sistemine göe bağıl haeketi Y sü. q sü. i C k O X Z Yukaıdaki şekilde siah çigile çiilmiş XYZ eksen sistemine göe mavi çigile çiilmiş eksen sistemi açısal hı vektöü ve açısal ivme vektöü ile o noktası etafında haeket etmektedi. Mavi çigile çiilmiş eksen sisteminde ifade edilen bi q vektöünün amana göe tüevi siah çigile çiilmiş XYZ eksen sisteminde aşağıdaki gibi apılabili. q q i q q k 77

Dq dq Dt dq dq i q dq i d i dq dq q k d dq k q iim vektölein tüevlei hı fomülleinden fadalanaak alınabili. d i sü. i d sü. d k C sü. k Dq dq sü. q Dt Y d k sü. p sü. p O X Z ulunan bu tüev fomülünde q eine dönen eksen sistemine göe ifade edilmiş p maddesel noktasının p e vektöü aılısa p hı vektöü bulunu. Dp dp p sü. p d p uada bağ. bağıl hı. süükleme hııdı. sü. p sü. 78

ölece p maddesel noktasının hı vektöü aşağıdaki gibi aılabili. p bağ. sü. P maddesel noktasının ivme vektöünü bulmak için tüev fomülünde q eine bulduğumu dp p hı vektöünün sü. p ifadesi aılmalıdı. dp D d( sü. p ) p dp a p sü. ( sü. p ) Dt d p dp dp a p.... (. ) sü p sü sü sü sü p uada d p a bağıl bağıl ivme a süükleme ivmesi sü. p sü. ( sü. p ) sü. d Coiolis ivmesi p sü. aco. ölece p maddesel noktasının ivmesi aşağıdaki gibi aılabili. a a a a p bağıl sü. co. Poblem 5.8.1: Şekil düleminde haeket eden sistem etafında saat ibelei önünde dönen P çubuğu ve buna etafında dönebilen E çubuğu üeinde kaabilen P bileiği mafsallanaak oluştuulmuştu. Sistem şekilde gösteilen konumdan geçeken P çubuğunun açısal hıı P 10 Rad / s (sabit) olduğuna göe veilen konum için a) P bileiğinin E çubuğuna göe bağıl hıını b) E çubuğunun açısal hıını c) E çubuğunun açısal ivmesini ve P bileiğinin E çubuğuna göe bağıl ivmesini bulunu. E P 79

P 60 0 0 0 300 mm. Çöüm: p P bağ. sü., bağ. bağ. UE P P, sü. E P Şekilden 0 P 10, 0 P 40 olduğu göülü. Sinüs teoeminden P P 300 P 159,63 mm., P 404,19 mm. 0 0 0 Sin0 Sin10 Sin 40 0 0 P P( Cos60 i Sin60 ), P 79,815i 138, 44 0 0 P P( Cos 0 i Sin0 ), P 379,81i 138,4 P U E, UE 0,9397 i 0,34 P P P 10 k, E E k 10 k (79,815i 138,44 ), 138,44 i 798,15 0,9397 i 0,34 bağ. bağ. bağ. sü. E k (379,81i 138, 4 ), sü. 138,4E i 379,81E 138, 44i 798,15 (0,9397 i 0,34 ) ( 138, 4 i 379,81 ) P bağ. bağ. E E 138, 44i 798,15 (0,9397 138, 4 ) i (0,34 379,81 ) 0,9397 138,4 138,44 bağ. 0,34 379,81 798,15 bağ. E E P bağ. E bağ. E a) 379,81 379,81 379,81 0,9397bağ. 138, 4 E 138, 44 138, 4 138, 4 138, 4 0,34 379,81 798,15 bağ. E,938 851, 7,. 975,34 mm/ s bağ. bağ 80

b) bağ. 916,57 i 333,566 0,34 379,81 798,15 bağ. E 0,34( 975,34) 379,81 E 798,15, E,98 Rad / s sü. 411,96 i 1131,83 c) a p abağıl a sü. aco., ap P P P P abağ. abağ. UE, asü. E P E sü., aco. E bağ. ap 10 k ( 138,44 i 798,15 ), ap 7981,5 i 1384,4 abağ. 0,9397abağ. i 0,34abağ. asü. E k (379,81i 138,4 ),98 k ( 411,96 i 1131,83 ) asü. ( 138, 4E 337,85) i (379,81E 17,64) aco..98 k ( 916,57 i 333,566 ), aco. 1988,05i 546,5 ap 7981,5 i 1384, 4 (0,9397abağ. i 0,34 abağ. ) [( 138, 4 337,85) i (379,81 17, 64) ] (1988, 05i 546,5 ) E 7981,5 i 1384,4 (0,9397 abağ. 138,4 E 1384,8) i (0,34a 379,81 6690,14) bağ. bağ. bağ. 0,9397 a 138,4 1384,8 7981,5 E 0,34a 379,81 6690,14 1384,4 E E E 0,9397 a 138,4 6596,7 bağ. 0,34a 379,81 7134,6 bağ. E E a bağ. E 8638,94 mm/ s 11 Rad / s Poblem 5.8.: Şekildeki mekanimada noktasından mafsallı OP kolunun P ucu R ekseninden mesafesinde mafsallı olan D diskine süekli temas halindedi. D 4 diski saat ibelei önünde D 40 Rad / s sabit açısal hıı ile döndüğüne göe şekilde gösteilen konumdan geçeken OP kolunun noktasının hıını ve ivmesini bulunu. 81

D D P O Ölçüle mm. di. Çöüm: p bağ. sü. p O OP, bağ. D P, sü. D DP O O k, D 40k DP DP, DP P D, DP 40 10, DP 10 15 OP 10 i (90 DP), OP 10 i (90 10 15) P D DP, P 10i 10 15 p Ok [10 i (90 10 15) ], p (90 10 15) O i 10O bağ. bağ. k (10 i 10 15 ), bağ. 10 15bağ. i 10bağ. sü. 40 k ( 10 15 ), sü. 400 15 i p (90 10 15) O i 10 O (10 15bağ. i 10 bağ. ) (400 15 i ) (90 10 15) i 10 (10 15 400 15) i 10 p O O bağ. bağ. 10 15 400 15 (90 10 15) bağ. bağ. 10 10 O O + 10 15 400 15 (90 10 15) bağ. 15 10 15 10 bağ. O O 400 15 ( 90 00 15 ) O 400 15 O, O 1,79 Rad / s, bağ. 37,68 Rad / s 90 00 15 O, 1,79 k 90, 161,8i O 8

91,88i 376,3 p,. 1457,36i 376, 8 bağ,. 1549,193i sü a p abağıl a sü. aco., ap O OP O P abağ. bağ. P bağ. bağ., asü. D DP D sü. D 0, bağ. bağ. k, O O k ap Ok [10 i (90 10 15) ] 1, 79 k (91,88i 376,3 ) a ( 51, 7 674,365) i (10 164, 65) p O O abağ. bağ. k (10i 10 15 ) ( 37, 68 k) ( 1457,36 i 376, 8 ) a (38,73 14158,66) i (10 54836,6) bağ. bağ. bağ. asü. 40 k 1549,193i, asü. 61967,7 ap ( 51,7O 674,365) i (10O 164,65) [(38,73 14158,66) i (10 54836,6) ] 61967,7 bağ. bağ. ( 51, 7 674,365) i (10 164, 65) (38, 73 14158, 66) i (10 116804) bağ. bağ. O O bağ. bağ. 38, 73 14158, 66 51, 7 674,365 10 116804 10 164,65 38,73 51,7 13484,3 bağ. bağ. 10 10 116968,65 a O a 48560, 4i 89 O O O O O O bağ. 366,1 Rad / s, 539,56 Rad / s, a 539,56 k 90 1,79 k 161,8i O Poblem 5.8.3: Şekilde gösteilen sistemde pimi etafında açısal hıı ile dönen R uunluğundaki P çubuğu ucunda P kesici kalemini taşımaktadı. P kesici kaleminin uç noktası,bi kenaının uunluğu b olan ve O pimi etafında dönen kae levhanın bi kenaını çiebilmesi için P çubuğunun açısal hıının kae levhanın açısal hıına oanını bulunu. 83

P b R O O Çöüm : P O O P bağ. sü., P P bağ. bağ. Sin i bağ. Cos, sü O OP k, O O k P RCos i RSin, OP ( R b RCos ) i R Sin OP R ( R b) R( b R) Cos b O R b RCos R Sin tg Cos R Sin OP Sin R Sin Sin OP R b RCos OP Cos R b RCos Cos OP OP Cos ( ) b Cos ( ) Cos Cos Sin Sin b Cos ( ) OP 84

b b R b RCos RSin Cos Cos Sin Sin, Cos Sin OP OP OP OP b ( RbRCos ) Cos RSin Sin RSin Cos ( R b RCos) Sin R Cos Sin R Sin Cos 0 RSin ( R b RCos)tan R Cos tan R Sin 0 ( R b RCos )tan RSin ( R b)tan, 1 RSin RCos tan RSin RCos tan b (1 ) R 1 Sin Cos tan P k ( RCos i RSin ), P RSin i RCos sü Ok [ ( RbRCos) i RSin ] sü O RSin i O ( RbRCos ) P R Sin i RCos ( OR Sin i O( R b RCos) ) ( bağ. Sini bağ. Cos ) R Sin i RCos ( R Sin Sin) i [ ( R b RCos) Cos] O bağ. O bağ. RSin Sin RSin O bağ. ( R b RCos) Cos RCos O bağ. R Sin Cos SinCos R Sin Cos O bağ. ( Rb RCos) Sin CosSin RCos Sin O bağ. [( Rb RCos) Sin RSin Cos] ( RSin Cos RCos Sin) O O Sin Cos Cos Sin, O Sin( ) b b (1 Cos ) SinSin Cos (1 ) Sin Sin ( ) R R vea O b (1 ) R 1 Sin Cos tan Kae kesitli çubuk oluştumak için nin maksimum değeinde OP b Olmalıdı. OP R ( R b) R( b R) Cos b R ( Rb) R( b R) Cos ( Rb R ) Cos R Rb b 85

b b ( b 1) Cos b ( b ( ) ), Cos R R R R R b ( 1) R b 0.375 R için 0 18, 4046 R Sin R Sin 0 Sin Sin 36,531431 OP b b b 0 Cos ( ), Cos ( ) ( ) 45 OP b 8,4685688 O 0 15 için b (1 ) R 1 Sin Cos tan,,173810974 O R 1 OP b b b ( ) ( 1) Cos R R R b 1 OP R R R R ( ) 1 [ ( ) ] Cos b b b b R Sin b Sin( ), Cos( ) OP OP R,06579395 OP, b 0,774677311 OP, 3,313186, 6,903310716,514479398 O 0 5 için R,5766065 OP, b 0,964748743 OP, 1,9571495,,301354539, 675669706 O 0 0,1 için R,66666955 OP, b 0,999985108 OP, 0,666358, 0,0460697436,70554091 O 86

ÖLÜM 6 KİNETİK 6.1 Kinetik ve Newtonun ikinci haeket kanunu Kinetik haeketi oluştuan kuvvet moment gibi nedenlei de gö önüne alaak haeketin incelenmesidi. Kinetikte temel asa Newtonun ikinci haeket kanunudu. i paçacığın linee momentumunun amanla değişimi üeine etkien kuvvetlein bileşkesi ile oantılıdı ve bu bileşkenin önündedi. Paçacığın linee momentumu hıı ile oantılı olup hı önündedi ve bu oantı katsaısı kütle adını alı. Paçacığın hıı kütlesi m ile gösteilise Linee momentumu P m olaak tanımlanı. u tanımla ikinci haeket asası dp d F ( m ) şeklini alı. Newton mekaniği ani klasik mekanik çeçevesinde m kütlesinin alnı cismin iç öellikleine bağlı olduğu aman ve ele değişmediği vasaılı. Dolaısıla ikinci asa 87

F m a şeklinde aılabili. 6. Maddesel noktanın kinetiği Newtonun ikinci haeket kanunu olan F m a denkleminin kateen koodinatladaki bileşenlei F m a, F m a, F m a doğal koodinatladaki bileşenlei FT m a T, FN m a N 6.3 Kütle mekeinin haeketi teoemi şağıdaki şekilde gösteildiği gibi maddesel noktaladan oluştuğu düşünülen sistem vea iid cismin haeketinde he bi maddesel nokta için aılan F m a denklemi alt alta aılıp toplanısa a 3 a m 3 m a 1 m 1 F i m i a i F (,, ) m n F n a n F o 1 m1a1 F ma F 3 m3a3. F m a i. i i 88

F n m a n n n F n i i1 i1 m a i i denklemi elde edili. uada maddesel noktala sisteminin kütle mekeidi. Kütle mekeinin e vektöü O n mo i i1 n i1 m i i şeklinde aılabili. u vektöün amana göe ikinci tüevi alınısa kütle mekeinin ivme vektöü bulunu. n miai i1 a n m i1 u ivme vektöü ifadesinden. aılabili. n F m a i n i i1 i1 F m a n i1 m a i m a i i i m n i1 m i ifadesindeki olmak üee n i1 m i a i eine m a aılısa şeklindeki kütle mekeinin haeketi teoemi olaak bilinen denklem elde edili. u denkleme göe maddesel noktala sisteminin vea iid cismin kütle mekei bütün kuvvetle ona ugulanmış ve toplam kütle oada oğunlaşmış bi maddesel nokta gibi haeket ede. 6.4 Riid cismin sabit bi eksen etafında dönme haeketi ve atalet momentlei Δ 89

a T M a N df T df N Şekilde gösteilen hacim bölgesini kapsaan ve Δ Ekseni etafında M dış momenti etkisinde dönen cismin üeindeki bi difeansiel kütlesi ve bu kütle için kinetik denklemi aıp cismin tüm hacmi içinde intege edilise iid cismin sabit eksen etafında dönme haeketine ait kinetik denklemi bulunu. Maddesel noktanın haeketi veilen F m a denkleminin doğal koodinatladaki ifadesi FT m a T FN m a N u denklemle iid cismin bi difeansiel kütlesine ugulanısa df T at df N a N Şekilde gösteildiği gibi sabit bi eksen etafında dönen cismin bütün noktalaı çembesel haeket apa. undan dolaı cisim üeindeki bi difeansiel kütle için aılan denklemleden ikincisinin dönme haeketine bi etkisi olma. iinci denklemdeki a T ivmenin teğetsel bileşeni eine a T aılaak elde edilen df T denkleminin he iki taafı difeansiel kütlenin öüngesinin aıçapı olan ile çapılıp intege edilise sabit eksen etafında dönme haeketine ait kinetik denklemi elde edili. df T uada M df T olduğu bilindiğine göe ukaıdaki denklem 90

M şeklinde aılabili.uadaki büüklüne cismin Δ eksenine göe atalet momenti deni ölece sabit bi eksen etafında dönme haeketine ait moment ve açısal ivme aasındaki bağıntıı veen kinetik denklemi aşağıdaki gibi aılabili. M 6.5 talet momentlei Sabit bi eksen etafında dönme vea genel dülemsel haeketin kinetiğinde iid cismin sabit bi eksene göe atalet momentinin bilinmesi geeki. u işlem noktaa ve düleme göe atalet momentlei tanımlaıp daha kola apılabili. p p d d d P noktasına göe atalet momenti d doğusuna göe atalet momenti d P dülemine göe atalet momenti P 6.5.1 talet aıçapı i noktaa vea eksene göe atalet momenti olan m kütleli bi cismin tüm kütlesi bu noktaa vea eksene eşit uaklıktaki bi bölgede toplanmış fa edilise bu uaklığa atalet aıçapı deni ve k ile gösteili. m k 91

6.5. talet momenti ile ilgili teoemle 1 ) i iid cismin bibiine dik üç düleme göe atalet momentleinin toplamı bunlaın aa kesiti olan noktaa göe atalet momentine eşitti. ) i iid cismin bibiine dik iki düleme göe atalet momenleinin toplamı bunlaın aa kesiti olan doğua göe atalet momentine eşitti. 3) İki boutlu bi iid cismin şekil düleminde bulunan bibiine dik iki doğua göe atalet momentleinin toplamı bunlaın aakesiti olan noktaa göe atalet momentine eşitti. 4) i iid cismin hehangi bi doğua göe atalet momenti bu doğua paalel olup kütle mekeinden geçen doğua göe atalet momenti ile cismin kütlesini eksenle aasındaki uaklıkla çapılaak elde edilen saının toplamına eşitti. u teoeme paalel eksenle teoemi deni. 5) İki boutlu cisimlede Şekil dülemine dik eksenle bu eksenin şekil dülemindeki idüşümü olan noktaa göe atalet momenti bibiine eşitti.u son teoeme göe iki boutlu cisimlede şekil düleminde bulunan bi noktaa göe atalet momentinin kütle mekeine göe atalet momenti ile bu noktala aasındaki uaklık kaesinin kütle ile çapımının toplamına eşitliği şeklinde paalel eksenle teoemine bene teoem aılabili. u teoemlein ispatı aşağıdaki şekilde apılabili. d o ( ) O o 9

o o u denklemleden o o o o elde edili.u biinci teoemin ispatıdı. ıca ( ) olduğundan o o aıldığı gibi ikinci teoem ispatlanmış olu. Paalel eksenle teoemini ispatlamak için ( ) ( ) Y / / /, / / / / / d ( / ) d / / kütle mekei fomülünden 0 olduğundan / Y m d aılaak paalel eksenle teoemi ispatlanmış olu. Üçüncü teoem ikinci teoemin iki bouta indigenmiş halidi. u teoemin ispatı için aşağıdaki şekil gö önüne alını. (, ) 93

o S, ( ) O S S u atalet momenti ifadeleinden O aılaak üçüncü teoem ispatlanmış olu. Poblem 6.5.1 Kütlesi m olan L uunluğundaki homoen, doğusal ve sabit kesitli çubuğun ucuna ve mekeine göe atalet momentini bulunu. Çöüm: L d L, O, d, m L 3 L d 3 m talet momentini cismin kütlesi cinsinden bulmak için sonucu 1 L ile 3 L m çapmak geeki. 3 L L m 3 paalel eksenle teoemine göe L L L L m( ), m( ), m m 3 4 L m 1 Poblem 6.5. 94

Kütlesi m olan L uunluğundaki homoen, doğusal ve sabit kesitli Pimatik cismin taban dülemine göe atalet momentini bulunu. Çöüm: L d taban dülemi O Çöüm:, d eğe taban düleminin alanı S ise m S L, S dl dı. L, O 3 L SdL S 3 m talet momentini cismin kütlesi cinsinden bulmak için sonucu 1 SL 3 L m ile çapmak geeki. S 3 SL L m 3 Poblem 6.5.3 R aıçaplı ve m kütleli homoen çembe şeklindeki cismin atalet momentini a) mekeine, b) çapına, c) teğet doğusuna, d) çembe üeindeki bi noktaa göe bulunu. d doğusu O R noktası 95

Çöüm: a) Çembe şeklindeki cismin üeindeki bütün noktalaın O noktasına uaklığı R olduğundan O mr olu. b) talet momenti ile ilgili teoemleden üçüncüsünden O aılabili. ıca tüm çap doğulaına göe kütle dağılımı çembe şeklindeki cisimde anı olduğundan aılabili. ölece çembe şeklindeki cismin çapına göe 1 atalet momenti mr c) Paalel eksenle teoemine göe d mr olduğundan 3 d mr d) talet momenti ile ilgili beşinci teoem gö önüne alınısa O ve noktası aasında paalel eksenle teoemi aılabili. mr O mr Poblem 6.5.4 R aıçaplı ve m kütleli homoen daie şeklindeki levhanın atalet momentini a) mekeine, b) çapına göe bulunu. Çöüm: d R O d 96

a) m R, d d, d O R R, O 0 0 4 3 ( d), O d R O 4 talet momentini cismin kütlesi cinsinden bulmak için sonucu 4 m R m 1 ile çapmak geeki. O R 4 R 1 O mr b) talet momenti ile ilgili teoemleden üçüncüsünden O aılabili. ıca tüm çap doğulaına göe kütle dağılımı daiesel levha için anı olduğundan aılabili. ölece daiesel levhanın çapına göe atalet momenti 1 mr 4 fomunda elde edili. R 0 Poblem 6.5.5 Silindi şeklindeki homoen dolu cismin taban dülemindeki bi çapına göe atalet momentini bulunu. L O R Çöüm: talet momentlei ile ilgili ikinci teoeme göe o o aılabili. nı şekilde o o ve o o olduğundan o aılabili. 97

daiesel levhanın mekeine göe atalet momenti gibi 1 mr olduğundan 1 o mr olu. 4 1 o ml eşitliği pimatik ve sabit kesitli cisimlein taban dülemine göe 3 atalet momenti olduğundan 1 1 1 1 ml mr, m( L R ) eşitliği bulunu. 3 4 3 4 Poblem 6.5.6 R Yaıçaplı ve m kütleli homoen dolu küenin kütle mekeinden geçen bi çapına göe atalet momentini bulunu. Çöüm: d o R d m R 0 R m, m d, R 0 R, 0 m ( R ) d 3 3 R 4 3 m ( R ), m R 3 3 talet momenti ile ilgili teoemleden ikincisine göe o o aılabili. Küenin bütün çapsal dülemlei küei iki eşit paçaa böldüğünden o o ve o aılabili. 98

o R R, o 0 0 R ( ) o 0 5 5 d, o d R 4 o R d, ( R ) d R R 4 5 o ( ), o R 3 5 15 talet momentini cismin kütlesi cinsinden bulmak için sonucu 3m 1 ile çapmak geeki 3 4 R 4 5 3m o R 3 15, 1 o mr, mr 4 R 5 5 0 R 0 6.6 Riid cismin sabit bi eksen etafında dönme haeketinde poblemle Δ M M uada M, Δ eksenine göe cisme ugulanan toplam dış momenti, cismin Δ eksenine göe atalet momentini ise cismin açısal ivmesini göstemektedi. Riid cismin sabit eksen etafında dönme haeketinde cisme etki eden dış aktif kuvvetle ile mafsal tepkilei aasındaki bağıntı kütle mekeinin haeketi teoeminden elde edilebili. F ma 99

uada a cismin kütle mekeinin ivmesidi. Poblem 6.6.1 Homoen L uunluğunda ve m kütlesindeki sabit kesitli doğusal çubuk ucundan kendisine dik silindiik mafsalla bağlıdı. Çubuk ata konumdan ilk hısı haekete bıakılıo. Çubuğun a) atala açısı aptığı andaki açısal ivmesini b) eni haekete bıakıldığı andaki mafsal tepkisini bulunu. Çöüm: L mg L a) b) M M L M mg Cos, 1 ml 3 L mg Cos 3g, Cos 1 L ml 3 100

F ma Çubuk haekete eni bıakıldığı anda açısal hıı sıfı olduğundan kütle mekeinin ivmesinin ata bileşeni sıfıdı. L a 3g 3g 0 da, a L 4 F ma denkleminden toplam kuvvetle ivme anı önde olması geeki. Cisme ata doğultuda başka aktif kuvvet etkimediğinden mafsal tepkisi de düşe doğultuda olmalıdı. 3g 1 R mg ma, R mg m( ) R mg 4 4 6.7 Riid cismin genel dülemsel haeketinin kinetiği / a df o Maddesel noktanın haeketi için geçeli olan F m a denklemi Riid cismin bi difeansiel kütlesine ugulanısa df a aılabili. u denklemin he iki taafı difeansiel kütlenin e vektöü ile soldan vektöel çapılı ve cismin tüm kütlesi bounca intege edilise iid cisme ugulanan moment ve cismin açısal haeketlei ile ilgili denklemle elde edili. a a a / / df / a df ( a a ) / / / 101

10 df k M / a a k M / / / ) ) ( sağ taaftaki biinci integal kütle mekeinin fomülünden dolaı sıfı olu. İkinci integal için )] ( [ ) ( / i k k i k a ) ( / i k i a i i a / ) ( ) ( / / i i i a k k k k a / / k a ) ( / / ( ) M k k buada ) ( dı. ölece genel dülemsel haekette moment ve açısal ivme aasındaki M bağıntısı elde edili. Poblem 6.7.1 60. R cm Yaıçaplı 10. m kg kütleli homoen daiesel levha kamadan uvalanma haeketi apmaktadı. Levhanın mekeinin ivmesinin 5 / m s olması için mekeine ugulanan ata doğultudaki F kuvvetini ve geekli olan en düşük sütünme katsaısını bulunu. Çöüm: mg a F

o N M, F ma a a R R 1 mr, M f R 1 a 1 M fr mr f ma R f 5 Newton 3 F f ma F ma F 75 Newton f f N N F 0 N mg 0 N mg 50 Newton 5, 50 0,5 f Poblem 6.7. R 60 cm. Yaıçaplı m 10 kg. kütleli homoen daiesel levha kamadan uvalanma haeketi apmaktadı. Levhanın mekeinin ivmesinin 5 m/ s olması için mekeine ugulanan Momentin şiddetini ve geekli olan en düşük sütünme katsaısını bulunu. Çöüm: mg M a o f N M, F ma a a R R 103

1 mr, M M f R 1 a M M fr mr R f ma f 50 Newton 1 M mra f R 1 M 10 0,6 5 50 0.6, M 45 Nm. f f N N F 0 N mg 0 N mg 50 Newton 50, 1 50 Poblem 6.7.3 1, m. Uunluğunda ve m=5 kg kütleli bi çubuk ucu ata doğu 0 üeinde ucu 45 eğimli doğu üeinde olmak üee sütünmesi olaak haeket edio. Eğe çubuk ilk hısı olaak haekete bıakılısa ve bu anda 0 30 ise bu an için a) Çubuğun açısal ivmesini b) ve noktalaındaki tepki kuvvetleini hesaplaını. 1, m. 45 0 Çöüm: a R mg 15 0 104

45 0 30 0 a R L 0 L 0 1 M RCos30 RCos15 ml 1 F ma F ma, X F ma Y 0 F ma X RCos 45 ma X 0 F ma Y R RSin45 mg ma Y Kinematik inceleme: a a a /, a ai a a ai, a/ / haeketi eni başladığı için 0 dı. 0 0 1 3 a/ k ( LCos30 i LSin30 ), a/ L i L 1 3 a ai a ai ( L i L ) 1 3 ai a ( a L ) i L 1 31 a L a a L 3 3 L a a L a a a /, a a i a X Y a/ / 31 a L i L 0 L 0 L 3 a/ k ( Cos30 i Sin30 ) a/ i L 4 4 31 L 3 a a i a ( ) ( ) X L i i L Y 4 4 31 3 a i a X L i L Y 4 4 31 3 a X L, a 4 Y L, a 1,339 4 X, a Y 0,50 0 R Cos 45 m a R 1,894m X 105

L 0 L 0 1 RCos 30 RCos15 ml R,3434m 1,3434m 1,894m mg 0,50m 9,81,,33 Rad / s,3434 1,894 0,50 a X R 3,1 m/ s, a 1, 1 m/ s Y 136,5 N, R 110,3 N 6.8 Riid cismin üç boutlu haeketinin kinetiği / a df o Maddesel noktanın haeketi için geçeli olan F m a denklemi Riid cismin bi difeansiel kütlesine ugulanısa df a aılabili. u denklemin he iki taafı difeansiel kütlenin e vektöü ile soldan vektöel çapılı ve cismin tüm hacmi bounca intege edilise iid cisme ugulanan moment ve cismin açısal haeketlei ile ilgili denklemle elde edili. df a df uadaki a vektöü eine 106

107 / aılısa a df ) ( ) ( / / denklemi elde edili. u denklem 0 ) ( ( a df olduğu gö önüne alınaak a df / / şeklinde kısaltılabili. uada df M / cisme ugulanan toplam moment olduğundan a M / denklem şekline geli. uada difeansiel kütlesinin ivmesi a a a / şeklinde aılabileceğinden a a M ) ( / / olu. uada a a 0 ) ( / / olduğundan a M / / aılabili. uada ) ( / / / a, k i / k i, k i ölece iid cismin kütle mekeine etki eden moment ve cismin

108 açısal haeketi ile ilgili genel bağıntı aşağıdaki şekilde olu. M )]} ( [ { / / / u denklemin sağ taafı iki integalin toplamına dönüştüülüse işlemle kısalabili. M )]} ( [ { ) ( [ / / / / He iki integal işlemi aı aı aşağıdaki gibi apılabili. k i k i ) ( ) ( ) ( / )] ( [ ) ( / / / / / a ) ( / / = k i a i ) ( ) ( k ) ( uada ( ), ( ), ( ) denklemlei sıasıla, ve eksenleine göe atalet momentleini göstemektedi. ıca,, denklemlei sıasıla -, -, - dülemleine göe çapım atalet momentleidi. unlala bilikte ukaıdaki denkleme gidildiğinde M )]} ( [ { ) ( [ / / / / denkleminin sağ taafının biinci integal işlemi aşağıdaki gibi tamamlanmış olu. )] ( [ / / i ] [ ] [ [ ] k

109 nı denklemin sağ taafının ikinci integal işlemi için aşağıdaki işlemle apılabili. k i k i ) ( ) ( ) ( / k i ) ( / i ) ( ) ( k ) ( )] ( [ / / k i i ) ( ) ( k ) ( )]} ( [ { / / i ] ) ( ) [( )] ( ) [( k ] ) ( ) [( uada ) ( ) ( ) ( dı. Çünkü ) ( ve ) ( ) ( )] ( ) [( dı.

( )] [ / / [ ] i [ ] [ ] k u bulunan değelele moment denklemine gidildiğinde Riid cismin genel haeketinde Kütle mekeine göe toplam moment vektöü ile cismin atalet momentlei açısal hı ve açısal ivme bileşenlei aasındaki bağıntıı veen denklem bulunmuş olu. M { / [( / ) ( / )]} [ ( ) ( ) ( ) ( )] i [ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( ) ( )] k uada cismin kütle mekeinden alınan eksenle cismin asal eksenlei ise ani bu eksen sisteminin koodinat dülemleine göe çapım atalet momentlei sıfı ise ukaıdaki denklem M [ ( ) ] i [ ( ) ] [ ( ) ] k şeklinde basitleşi. u denklemle ilk defa 1758 de Eule taafından elde edildiği için Eule denklemlei adıla anılı. Sabit bi nokta etafında dönen bi cisimde de bene bağıntıla elde edili. Yalnı buada eksen takımı ve moment vektöü bu sabit noktadan geçecek şekilde seçilise anı fomda bağıntıla elde edili. M [ ( ) ] i [ ( ) ] [ ( ) O u denklemle sabit eksen etafında dönme haeketinde Eğe ekseni dönme ekseni olaak alınısa M ( ) i ( ) k O M M ] k M şekline dönüşü. Eğe sabit eksen etafında dönme haeketinde koodinat eksenlei asal eksenle ise ukaıdaki denklemle M şeklinde tek bi skale denkleme indigeni. 110

ene şekilde genel dülemsel haekette denklem M şekline indigeni. uada M cismin kütle mekeinden geçen haeket dülemine dik eksene göe toplam momenti ise anı eksene göe atalet momentini göstemektedi. Poblem 6.8.1 C ve D de silindiik mafsallı CD çubuğuna 100mm. Uunluğunda ve 300 g. kütleli ve çubuklaı iid olaak bağlıdı. Eğe 600 N.m. şiddetinde bi moment CD çubuğuna ugulanısa CD çubuğunun açısal hıı 100 dev/dak. değeini aldığında C ve D mafsallaındaki tepkilei bulunu. ( CD çubuğunun kendi eksenine göe atalet momentini ihmal edini.) L/4 C L/ o c c M D Çöüm: L/4 L/4 111

C C D o L/ c c D C M D D D M i k O ( ) ( ) M M M M LD i LD Mk O 1 mc 3 1 1 1 m( L)( c) mlc 4 1 1 1 m( L)( c) mlc 4 8 LD LD M M 3M M,, 1 mc mc 3 1 3M 1 3M 1 L D mlc mlc, D mc 4 mc 8 8c 8 1 1 3M 1 L D mlc mlc, D mc 8 4 16c 4 3 600 1 0,3 0,1 (100 / 60) D, D 36, 7 N. 8 0,1 8 3 6 1 0,3 0,1 (100 / 60) D, D 19, 69 N. 16 0,1 4 M ( ) i ( ) k D D D D D M D D D M D D D 11

M LC i LC Mk D LC D LC D D D 1 1 1 ( )( ) D m L c mlc 4 3 1 3 ( )( ) D m L c mlc 4 8 1 3M 3 3M 3 L C mlc mlc C mc 4 mc 8 8c 8 3 6 3 0,3 0,1 (100 / 60) C 155,15 N. 8 0,1 8 3 3M 1 9M 1 L C mlc mlc C mc 8 mc 4 16c 4 9 6 1 0,3 0,1*(100 / 60), C 15,19 N. 16 0,1 4 C C Poblem 6.8. Yaıçapı R kütlesi m olan homoen bi disk kütlesi ihmal edilebilen bi O çubuğuna monte edilmişti.o çubuğu O noktasında mafsallıdı. Disk ata dülemde kamadan uvalanma haeketi apabilmektedi. Çubuk düşe eksen etafında dönebilmektedi. Disk çubuk ekseni etafında saat ibelei tesi önünde 1 sabit açısal hıı ile döndüğüne göe a) Döşemeden diske gelen tepki kuvvetini ( doğultusu düşe faedilio) b) O mafsalındaki tepki kuvvetini bulunu. L o 1 R 113

Çöüm: L mg o 1 R 0 O 0 i, O L i R 1 N ( i ) ( Li R ) 1 M O 1 R L, 1 1 ( L R ) k 0, 1 i R L, 1 k R L 1 [ ( ) ] i [ ( ) ] [ ( ) ] k 1 mr mr ml 1 1 m( R L ) 4 4 R 1 1 L MO [ ( ) ] k 1 1 1 MO { m( R L ) [ m( R L ) mr ] } k 4 4 1 R 1 R MO m[( R L ) 1 ( R L ) 1 ] k 4 L 4 L 3 mr MO 1 k L 3 mr MO ( NLmgL) k MO ( NL mgl) k 1 k L 3 mr 3 ( NL mgl) 1 L R N m( 1 g) L 114

F ma F Ri ( R N mg) Rk 3 F Ri [ R m( R 1 )] Rk L R a Li, a 1 i L 3 [ ( R R F Ri R m 1 )] Rk m 1i L L R R m, L 1 3 R R m( 1 ), R 0 L ÖLÜM 7 İŞ E ENERJİ İLKESİ 7.1 Maddesel noktanın haeketinde iş ve enei ilkesi i maddesel noktaa etki eden kuvvetin maddesel noktanın e değiştimesinde aptığı işi bulabilmek için aşağıdaki şekil çiilebili. F N F (1) m F T d ds d () o 115

uad m kütlesi d kada e değiştime aptığında etki eden F kuvvetinin aptığı iş d F d dı. M kütlesi (1) konumundan () konumuna geldiğinde etki eden F kuvvetinin aptığı iş ise () ( 1) () F d (1) şeklinde integal ile hesaplanı. uada aılabileceğinden bi F kuvvetin işi () F T ( 1) () ds (1) F F T F N d dst şeklinde şeklinde de hesaplanabili. i maddesel noktanın haeketinin teğet doğultusundaki denklemi FT m a T d uada a T eine aaak ds d F T m, F T ds d ds elde edilen denklemin he iki taafı (1) konumundan () konumuna intege edilise () F T (1) ds () (1) md T N uada ( 1) () () F T ds (1) 1 1 Olduğundan (1) () m m1 denklemi elde edili. uada 1 T m eşitliğine hıındaki m kütlesinin kinetik eneisi deni. u şekilde elde edilen ( 1) () T T1 denklemine iş ve enei ilkesi deni. i maddesel noktanın (1) konumundan () konumuna haeketinde maddesel noktaa etki eden kuvvetlein aptığı işle toplamı maddesel noktanın bu konumla aasındaki kinetik enei fakına eşitti. Kinetik enei maddesel noktanın haeket ettiği ola bağlı değildi. Sadece son ve ilk konumdaki hılaa bağlıdı. Etki eden kuvvetlein aptığı işle ise mekanik eneinin kounmadığı duumlada ola bağlıdı. 116

Poblem 7.1.1 θ eğim açılı eğik dülem üeinde bıakılan bloğun s kada ol aldıktan sonaki hıını bulunu. Çöüm : mg s (1) θ () f N h θ ( 1) () T T1, (1) () ( mgsin) s f s, T1 0 T 1 m, ( m g Sin ) s f s m 1 f, ( g Sin ) s m 7.1.. Mekanik eneinin kounumu ve potansiel enei: i kuvvet alanı F U şeklinde aılabiliosa buadaki kuvvete kounumlu kuvvet U a ise potansiel enei deni. Kateen koodinat sisteminde U U U U i k d d i d d k ile () F d ( 1) () (1) denklemine gidilise () ( U U U ( 1) () d d d) (1) 117

() ( 1) () du (1) ( 1) () U1 U kounumlu kuvvetlede bi kuvvetin işinin Potansiel enei fakının negatifi ile apılabileceği göülü. u elde edilen denklem iş ve enei denkleminde bi kuvvetin işi eine aılısa U1 U T T1 vea U T U 1 1 T mekanik eneinin kounum denklemi elde edili. Poblem 7.1..1 θ eğim açılı eğik dülem üeinde bıakılan bloğun duana kada aldığı s olunu bulunu. Cisim ilk haekete bıakıldığında a katsaısı k olan a doğal uunluğundadı. Çöüm : mg k s (1) θ () N h θ 1 U1 U T T1, U1 U mgh ks, h ssin, T1 0 118

1 T m, mgssin 1 ks 1 m 1 duduğu anda hıı sıfıdı. mgssin ks 0 s mg Sin k 7. Riid cismin sabit bi eksen etafında dönmesinde kinetik enei hesabı Δ Riid cisme ait bi difeansiel kütlenin kinetik eneisi 1 dt Sabit bi eksen etafında dönme haeketinde 119

olduğundan 1 dt aılabili. u difeansiel kinetik eneinin cismin tüm hacmi üeinde integali alınaak toplam kinetik enei bulunu. 1 T integal içindeki sabitle dışaı alınaak elde edilen 1 T denkleminde ifadesi Δ eksenine göe cismin atalet momenti olduğundan sabit bi eksen etafında dönme haeketinde iid cismin kinetik eneisi 1 T şeklinde hesaplanı. Poblem 7..1 Uunluğu L ve kütlesi m olan çubuğu ucundan silindiik mafsallı olaak düşe dülemde haeket edebilmektedi. çubuğu ata konumda ilk hısı haekete bıakılıo. Yatala θ açısı aptığı andaki açısal hıını bulunu. Çöüm: mg L/ L/ θ mg U1 U T T1 10

L U1 U mg Sin 1 T, T 1 0 L 1 mg Sin 1 ml 3 L 11 mg Sin ml 3 3g Sin L 7.3 Riid cismin genel dülemsel haeketinde kinetik enei hesabı / o S 1 dt / 11

( / ) ( / 1 T ( / / ) S uada / 0 S ) ve olduğundan toplam kinetik enei / / T 1 m 1 S / şeklinde aılabili. uada / cismin kütle mekeinden geçen S ve haeket dülemine dik eksene göe atalet momentini göstediğinden genel dülemsel haekette kinetik enei 1 1 T m fomülü ile hesaplanı. Poblem 7.3.1 R aıçapılı ve m kütleli bi disk θ eğim açılı eğik dülem üeinde kamadan uvalanma haeketi apmaktadı. Disk eğik dülem üeinde ilk hısı haekete bıakıldığında diskin n saıda tam devi aptığı andaki açısal hıı ne olu? Çöüm: h mg N R f s mg θ 1 1 U U T T Kamadan uvalanmada sütünme kuvveti iş apma. Çünkü kama olaındaki gibi süekli anı bölgede temas oktu. Nomal kuvvet haakete dik olduğu için iş apma. 1

U1 U mgh, h ssin, s n R, s n R U1 U mgn RSin, T1 0 1 1 T m Kamadan uvalanma haeketinde R dı. 1 mr 1 1 1 3 T m( R ) mr, T mr 4 3 mgn RSin mr 4 8gn Sin 3R 7.4 Riid cismin genel haeketinde kinetik enei hesabı / o S 1 dt / ( / ) ( / ) 13

14 T S ) ( 1 / / uada 0 / olduğundan toplam kinetik enei m T / 1 1 / / / / / uada k i k i / şeklinde kateen koodinatladaki bileşenlei ile aılısa difeansiel kütlenin kütle mekeine göe hı vektöü aşağıdaki gibi hesaplanı. k i / k i ) ( ) ( ) ( / ) ( ) ( ) ( / ) ( ) ( ) ( / / ] ) ( ) ( ) [( olu. uada ) ( ) ( ) ( integallei kütle mekeinden geçen ve,, eksenleine paalel olan eksenlee göe atalet momentleini

15 integallei ise kütle mekeinden geçen ve,, dülemleine paalel olan dülemlee göe çapım göe atalet momentleini göstediğinden iid cismin üç boutlu haeketinde toplam kinetik eneii veen fomül m T 1 1 1 1 fomunda çıkaılmış olu. Eğe kütle mekeinden geçen eksenle asal eksenle ani çapım atalet momentleinin sıfı olduğu eksenle ise kinetik enei ifadesi 1 1 1 1 m T şeklinde kısalı. Riid cismin sabit bi nokta etafında dönme haeketinde de bene işlemle apılısa toplam kinetik enei T 1 1 1 ifadesi elde edili anı şekilde,, eksenlei asal eksenle ise kinetik enei 1 1 1 T fomülüne indigeni.

ÖLÜM 8 İMPULS E MOMENTUM İLKESİ 8.1 maddesel nokta için impuls ve momentum ilkesi Newton un ikinci haeket asası F d ( m ) şeklinde aılısa buadaki gösteili. L m ukaıdaki denklem F d( m ) şeklinde aılıp t 1 den t e intege edilise m vektöüne linee momentum deni ve L ile 16

vea t t1 buadaki F m t t1 m m1 F m t t1 1 F integaline F kuvvetinin t 1 t aman aalığındaki linee impulsu vea impulsu deni ve mp 1 ile gösteili ve kateen koodinatlada aşağıdaki gibi aılabili. t t t t 1 ( ) ( ) mp F F i F ( F ) k t1 t1 t1 t1 ölece maddesel nokta için impuls ve momentum ilkesi m mp m 1 şeklinde elde edili. İmpuls ve momentum ilkesi kateen koodinatlada bileşen fomunda aşağıdaki gibi aılabili. t ( m ) F ( m ) 1 t1 t ( m ) F ( m ) 1 t1 t ( m ) F ( m ) 1 t1 Eğe biden fala saıda maddesel nokta için bu ilke kullanılısa denklem aşağıdaki toplam fomunda aılmalıdı. n n n m mp m 1 1 i1 i1 i1 Poblem 8.1.1 8. Riid cismin haeketinde impuls ve momentum ilkesi 17

/ o Cismin toplam momentumu L Kütle mekeinin fomülü O O şeklinde olduğundan bu denklemin he iki taafının amana göe tüevi alınısa m elde edili. L linee momentum denkleminin sağ taafındaki integal eine m aılısa iid cismin haeketindeki L m linee momentum denklemi elde edili. i difeansiel kütlenin linee momentum vektöü sağdan vektöü ile vektöel olaak çapılısa anı difeansiel kütlenin açısal momentum vektöü elde edili. Tüm kütlenin açısal momentumu difeansiel kütlelein açısal momentumlaının integali ile elde edili. H O 18

uada / / HO ( / ) ( / ) HO[ ( / )] [( / ) ] [( / ) / ] H ( ) ( ) [( ) ] ( ) O / / / / kütle mekeinin e vektöünden dolaı / 0 ve 0 / dı. u duumda açısal momentum H ( ) ( ) O / / denklemine indigeni. uada sağ taaftaki biinci integal aşağıdaki gibi vea ( ) m i k m m m m Z m m( ) i m( ) m ( ) k şeklinde aılabili. İkinci integal için hesaplanacak olan / / denkleminde difeansiel kütlenin tüm cismin kütle mekeine göe e vektöünü ve cismin açısal hı vektöünü kateen koodinatlada aaak aşağıdaki işlemle apılabili. / i k i k i k / / / ( ) i ( ) ( ) k 19

i k / / / / i k ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) eşitliklei kütle mekeinden geçen, ve eksenleine paalel olan eksenlee göe atalet momentleini,, eşitliklei ise çapım atalet momentleini göstediğine göe integali / / / / ( ) i ( ) ( ) k fomunda aılı. u denklemle bilikte açısal momentum denklemi aşağıdaki fomda aılabili. HO [ m( ) ( )] [ ( ) ( )] i m [ m ( ) ( )] k Eğe kütle mekeinden geçen eksenle asal eksenle ise açısal momentum denklemi H [ m( ) ] i [ m( ) ] [ m ( ) ] k O şekline geli. Sabit bi nokta etafında dönme haeketinde de bene işlemle apılısa bu sabit noktaa göe açısal momentum HO ( ) i ( ) ( ) k denklemi elde edili. uada,,,,, sabit noktadan geçen eksen takımına göe atalet momentleidi.eğe eksenle asal eksenle ise açısal momentum denklemi HO i k denklemine indigeni. 130

enel dülemsel haekette açısal momentum HO [ m( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] i m m k şekline indigeni. enel dülemsel haekette kütle mekeinden geçen eksenle asal eksenle ise açısal momentum denklemi HO m( ) im ( ) [ ( ) ] m k şeklinde aılabili. Sabit eksen etafında dönme haeketinde bu sabit eksen Δ ise Δ eksenine göe açısal momentum denklemi H skale denklemine indigeni. uada momentidi. iid cismin Δ eksenine göe atalet ÖLÜM 9 D LMERT İLKESİ D lambet ilkesi : i maddesel sistemin haeketinden dolaı bi t anında medana gelen atalet kuvvetlei aktif dış kuvvetlele bilikte gö önüne alınısa sistem bütün bu kuvvetlein etkisi altında t anındaki konumunda dengede ( dinamik denge ) bulunu. Newton un ikinci haeket asası F ma denklemi D lambet ilkesinde F ma 0 şeklinde aılı. D alambet ilkesi ile Kinetik poblemlei statik poblemleine dönüştüülmüş olu. Lagange taında D lambet ilkesi : i maddesel sistemin hehangi bi vitüel e değiştimesinde sisteme etki eden aktif kuvvetlein ve sistemin atalet kuvvetleinin vitüel işleinin toplamı sıfı vea sıfıdan küçüktü. (ağla çift taaflı ise sıfıdı.) m 1 m 131

a i m i F i o n ( Fi miai) i 0 i1 ağla çift taaflı ise (Holonom sistemle): n ( Fi miai) i 0 i1 Poblem 9.1 Şekildeki sistemde cisminin ivmesini veilen konum için bulunu. α C m C g R δθ α D δθ C a C C α C α R D m C a C C R C δθ D D f N D α D m g m a α δ E m E g m E a E δ a E a u sisteme bağlaa ugun bi δ vitüel edeğiştimesi veilise ve E cisminin ağılığı ile atalet kuvvetlei iş apa. =m g m g m a m a m a 0 E E C C C C C C D D D E E E 13

, C, C, D, E R RC RD a a a a a, ac, C, D, ae R RC RD 1 1 1 mr, C mcrc, D mdrd 1 a a 1 a =mg meg ma mr mc mcrc R R R R 1 a a m R 0 D D me RD RD C C 1 1 1 1 1 1 mg megma ma mca mca mda mea 0 4 8 8 4 1 3 1 1 1 a (m m mc md m E) mg meg 8 8 4 1 mg meg 8mg 4mEg a, a 1 3 1 1 8m 4m 3m m m m m mc md me 8 8 4 C D E 133