UĞUR DAN SİZE... Enver Yücel. Merhaba Gençler,

UĞUR DAN SİZE... Merhaba Gençler, Gençliðinizin gerektirdiði olumlu etkinliklerin hiçbirinden uzak kalmadan; spordan, sanattan, kültürel etkinliklerden kendinizi mahrum etmeden çalýþýnýz. Böylece doðru bir geliþim süreci içinde olacaksýnýz. Planlý ve disiplinli bir eðitim-öðrenim çizgisini yakalayýp sürdürdüðünüzde, farklýlaþacaksýnýz. Öne çýkacaksýnýz. Seçkin ve mutlu olacaksýnýz. Baþarý, bir anlamda budur. Biz eðitimcilerin temel görevi, size doðru yöntemleri öðretmek, doðru ve yararlý araçlarý sunmak, geliþim sürecinde sizi adým adým yönlendirerek hedefinize ulaþtýrmaktýr. Bugün Türkiye nin 80 noktasýnda öðretim yapan ve üniversiteye giriþ hazýrlýðýnýn çok saygýn bir adý olan Uður Dershanesi, 968 den beri bu görevi baþarýyla sürdürmektedir. Üniversiteye Uður kapýsýndan giren gençlerin bir kýsmý bugünlerde üniversiteli olmanýn heyecaný içindeyken, bir kýsmý da halen üniversitelerde öðrenim görmektedir. Öðrencilerimizin önemli bir bölümü ise ülkemizin; hatta dünyanýn saygýn aydýnlarý, baþarýlý iþadamlarý, yöneticileri, sanatçýlarý arasýnda çoktan yerlerini aldýlar. Uður Dershanesi nin de içinde yer aldýðý Bahçeþehir Uður Eðitim Kurumlarý nda, Uður dan yetiþen çok sayýda öðretmen, yönetici ve akademisyen öðretim üyesi görev yapmaktadýr. Uður Dershaneleri, ABD ve Çin de üniversiteye giriþ hazýrlýðý alanýnda hizmet vermekte ve dünyanýn öteki ülkelerine de ayný hizmeti taþýmaya hazýrlanmaktadýr. Bu, bir dünya markasý olmaktýr. Kendi alanýmýzda çaðdaþ uygarlýðý yakalamak ve geçmek konusundaki baþarýmýzdan duyduðumuz kývancý, sizinle paylaþýyorum. Elinizdeki dergi, Bahçeþehir Uður Eðitim Kurumlarý na dahil olan Uður Eðitim Pazarlama ve Yayýncýlýðýn bir ürünüdür. Yýl boyunca derginizin size sunacaðý bilgileri titizlikle öðreneceksiniz, Üniversiteye Giriþ Sýnavý sorularýyla örtüþen sorularýný çözeceksiniz, sýnavlarýný kendinize uygulayacaksýnýz. Tek baþýna bir okul olan Uður YGS-LYS Matematik Dergisi sizlere ikinci yýlýnda da baþarýlý ve mutlu bir hazýrlýk dönemi yaþatacaktýr. Gelecek yýllarda sizin baþarýlarýnýzdan da söz edebilmeyi umuyoruz. Amacýmýz ve dileðimiz, bunu saðlamaktýr. Uður a hoþ geldiniz. Enver Yücel Bahçeþehir Uður Eðitim Kurumlarý Kurucusu ve Yönetim Kurulu Baþkaný

MATEMATÝK DERGÝSÝ NDEN MERHABA Sevgili Öðrenciler, Matematik ve geometri konularý birbirleri ile baðlantýlýdýr. Bu nedenle ilk konulardan baþlayarak; sýrasýyla bütün konularý çok iyi öðrenmeniz gereklidir. Bir konu iyi kavranýlmadan bu konuya dayanan baþka konularýn anlaþýlmasý zorlaþacaktýr. Örneðin, üslü sayýlar iyi bilinmeden logaritma; özel üçgenler olmadan da dörtgenler ve çemberler tam olarak öðrenilemez. Bir konunun önemini sadece o konudan üniversite sýnavlarýndan çýkan soru sayýsýyla deðerlendirme-yiniz. Örneðin, trigonometri konusundan LYS sýnavýnda soru gelecektir. Ancak limit, türev, integral ve matris gibi konularýndan sorulacak soruda da trigonometri bilgisi gerekebilir. Konularý çok iyi kavramadan test sorularýný çözmeye baþlamayýnýz. Matematik dergisinde konular bol örneklerle açýklanmýþtýr. lü örnekleri okuyup anladýktan sonra kendiniz çözmeye çalýþýnýz. Çözemezseniz, çözümünü inceleyiniz. Bu þekilde konuyu pekiþtirdikten sonra testleri daha kolay çözebileceksiniz. Bu sayýdaki konulardan YGS de matematik, geometri; LYS de ise 9 matematik, geometri olmak üzere toplam 9 soru sorulmuþtur.. sayýdaki matematik ve geometri konularýnýn tümü YGS ve LYS nin ortak konularýdýr. Sevgili gençler, yaþamýnýzda mutluluklar ve gireceðiniz sýnavlarda baþarýlar dileriz. Ýçindekiler... Matematik (YGS ve LYS) Rasyonel ve Ondalýk Sayýlar... 0-06 Konu Testi... 07-09 Kartezyen Çarpým ve Baðýntý... 0 - Konu Testi... - Fonksiyonlar... - Konu Testi... - 6 Ýþlem ve Modüler Aritmetik... 7 - Konu Testi... - Geometri (YGS ve LYS) Üçgende Benzerlik ve Eþlik... 6-6 Konu Testi... 7-0 Açýortay ve Kenarortay Kurallarý... - 7 Konu Testi... 8-6 Üçgende Alan... 6-7 Konu Testi... 7-80 Uðurlu Sayfa... - 8

Matematik (YGS ve LYS) Rasyonel ve Ondalık Sayılar Kesir ve Rasyonel Sayý a, b tamsayý ve b 0 ise ifadesine kesir denir. Burada a kesrin payý, b de kesrin paydasýdýr. kesrinin ifade ettiði deðere rasyonel sayý denir. Her tamsayý ayný zamanda bir rasyonel sayýdýr. Örneðin,, 0,, rasyonel sayýlardýr. 7 Toplama ve Çýkarma Ýþlemi Rasyonel sayýlarda toplama ve çýkarma iþlemlerini yaparken paydalar eþit deðilse paydalar eþitlenir, paylar arasýnda toplama veya çýkarma iþlemi yapýlýr. Ortak payda da payda olarak yazýlýr. Örneðin, 0 () + () (6) 9 0 + 8 0 0 0 6 Basit Kesir ve Bileþik Kesir Payý paydasýndan mutlak deðerce küçük olan kesirlere basit kesir, payý paydasýndan mutlak deðerce büyük ya da eþit olan kesirlere bileþik kesir denir. a, b Z ve b 0 olmak üzere, < < ise, basit kesirdir. Çarpma Ýþlemi Çarpma iþleminde; paylarýn çarpýmý pay, paydalarýn çarpýmý payda olarak yazýlýr. Örneðin, 9 9... olur. 0 0.. 8 Örnek + x a a veya ise, bileþik kesirdir. b b kesri pozitif basit kesir ise x yerine kaç farklý tamsayý yazýlabilir? A) B) C) 0 D) 9 E) 8 + x + x kesri pozitif basit kesir ise 0 < < olur. + x 0 < < 0 < + x < < x < 8 olduðundan x yerine farklý tamsayý yazýlabilir. YANIT: A rasyonel sayýsýnýn; toplama iþlemine göre tersi a ve çarpma iþlemine göre tersi dýr. b Bölme Ýþlemi Bölme iþleminde; bölünen kesir olduðu gibi yazýlýr, bölen kesir ters çevrilerek çarpýlýr. Örneðin, 8 8. :. olur. 8. 0 Ýþlemlerde tamsayýlarýn paydasý kabul edilir. Çarpma ve bölme iþlemlerinde tamsayýlý kesirler bileþik kesre çevrilir. Toplama ve çýkarma iþlemleri ise tamsayýlý kesri bileþik kesre çevirmeden de yapýlabilir. Tamsayýlý Kesir a, b, c tamsayý ve c 0 ifadesine tamsayýlý kesir denir. Tamsayýlý kesirler ayný zamanda bileþik kesirdir. Örneðin, dir.. + 7 7 ve olur. Örneðin, + + 6 + () ( + ) + 6 : 6 7 () 9 + 7 + + 6 6 6 6 6. 6 + : 6 0 6.

Matematik(YGS ve LYS) Rasyonel ve Ondalık Sayılar Örnek 8. ( 6 iþleminin sonucu kaçtýr? ) Örnek 0 olduðuna göre, x kaçtýr? 6 7 + x A) B) C) D) E) A) B) 8. ( C) 8 6 8 8 D) E) ). ( ) 8 8 7 6 6 6... 8 8. 8 bulunur. YANIT: A 6 x x x olur. YANIT: E Rasyonel Sayýlarda Sýralama Pozitif rasyonel sayýlarýn sýralamasýnda; Paydalar eþit ise, payý büyük olan sayý daha büyüktür. a ve b sýfýrdan farklý tamsayýlar olmak üzere, Paylar eþit ise, paydasý küçük olan sayý daha büyüktür. a b Buradan b a n n a b a b,, olur. b a b a n a, a, a a n olduðu görülür. a a Örnek + : iþleminin sonucu kaçtýr? 7 8 A) B) C) () + () : 6 : D) 8 8 6. 8 8 6 8 8 olur. 8 E) YANIT: D Pay ve paydasý arasýndaki fark ayný olan basit kesirler-de pay ve paydasý büyük olan sayý daha büyüktür. 0 < < gibi 7 8 9 Pay ve paydasý arasýndaki fark ayný olan bileþik kesirlerde pay ve paydasý küçük olan sayý daha büyüktür. Örneðin 7 8 9 > > gibi 0 Negatif rasyonel sayýlarýn sýralanmasýnda; önce pozitif rasyonel sayý gibi sýralar, sonra sýralamayý ters çeviririz. 9 9 < ise > olur. 8 8 8 8 Matematik, sonu olmayan tek insan aktivitesidir. Ýnsanoðlu birgün fizik ve biyolojiye dair her þeyi çözebilir. Ancak matematik ile ilgili her þeyi asla bilemezler. Çünkü konunun kendisi sonsuz, sayýlar sonsuz. Paul Erdörs

Rasyonel ve Ondalık Sayılar Matematik(YGS ve LYS) Örnek 7 a, b, c 8 9 olduðuna göre, aþaðýdaki sýralamalardan hangisi doðrudur? A) a < b < c B) c < b < a C) b < a < c D) c < a < b E) a < c < b a () 6 olduðundan;, b 7 8 () 6 ve c 9 () 6 6 Ondalýk Sayýlar Paydasý 0 sayýsýnýn pozitif kuvvetleri ya da 0 sayýsýnýn kuvvetlerine geniþletilebilir olan kesirlerin ifade ettiði sayýlara, ondalýk sayý denir. Örneðin, 6 0,6 0 0,0 00, 0 00 0 0 0, 0 0 00 0,0 olur. 6 6 < 6 < 6 ve c < a < b olur. YANIT: D Ondalýk sayýlarda, sayýnýn saðýna yazýlan sýfýrlar sayýnýn deðerini deðiþtirmez. Örnek 6 olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? A) y < x < z B) x < y < z C) x < z < y D) z < y < x E) z < x < y Pay ile paydasý arasýndaki fark eþit olan basit kesirlerden payý büyük olaný daha büyük olduðundan x < y < z dir. YANIT: B 7 0 0,7 ; 7 0 70 00 0,70 ve olduðundan, 0,7 0,70 0,700 olur. Örneðin, 0,0 0,7 000 7 00 00. 000 7 7 0 00 7000 ya da pay ve payda 000 ile çarpýlýrsa; 0,0 0,7 0,0 olur. 0,70 70 700 000 0,700 Örnek 7 Sayý doðrusu üzerinde ile sayýlarýna eþit uzaklýkta bulunan rasyonel sayý aþaðýdakilerden hangisidir? A) B) 0 a b ve O halde, c d C) ye eþit uzaklýktaki sayý 6 x. ( ).( ) + () () D) 0 0. a b E) c + dir. d bulunur. YANIT: D Örnek 8,, 0, iþleminin sonucu kaçtýr?, A) 0 B) 0, C) 9,9 D) 0, E),, 0,,,,0 0,,,0 0 0 0 0 9,9 olur. YANIT: C

Matematik(YGS ve LYS) Rasyonel ve Ondalık Sayılar Örnek 9,.0 8.0 0,.0 +.0 iþleminin sonucu kaçtýr? A) B) C) D) 0 9 9 E) 0 Örneðin, 0, 99 7 9,7 9 9 6 6 8 0,6 900 900 78 66,78 olur. 990 990,.0 8.0 0,.0 +.0 Örnek 0,. 0, 8.0,0 0,.0, +. 0,0 0, 0,08 0,0 0,0 0,0 + 0,0 olur. YANIT: C Eðer devreden kýsým 9 ise, 9 un solundaki rakamýn sayý deðeri artýrýlýp devirsiz olarak yazýlýr. Örneðin; 0,9, 7,9 8,,79,8 ve,9, olur. ifadesi bir tamsayý belirttiðine göre, pozitif x sayýsýnýn virgülden sonraki kýsmý aþaðýdakilerden hangisidir? A) 08 B) C) 9 D) 9 E) 999 x in virgülden sonraki kýsmý abc olsun. 0,08 ve x, abc iken 6, a b c, 9 + 0, 0 8, 0 0 0 + 0, 0 8, 0 0 0 olduðundan x in virgülden sonraki kýsmý 9 dir. YANIT: D Devirli Ondalýk Sayýlar Bazý kesirler ondalýk yazýldýðýnda, ondalýk kýsýmdaki sayýlar belirli bir yerden sonra tekrar ederler. Bu tür sayýlara devirli ondalýk sayý denir ve devreden kýsmýn üzeri bir çizgi ile aþaðýdaki gibi gösterilir. 0,...... 0, 9 0,777... 0,7 8,888...,8 gibi. Örnek a, 6, b,6 ve c,6 olduðuna göre, aþaðýdaki sýralamalardan hangisi doðrudur? A) a < b < c B) c < b < a C) a < c < b D) c < a < b E) b < a < c a,6000... b,6666... c,6666... Virgülden sonraki üçüncü basamaða kadar sayýlar aynýdýr. O halde, dördüncü basamaða göre sýralama yapýlabilir. Buradan, a < c < b bulunur. YANIT: C Örnek 0 A) + + +... iþleminin sonucu kaçtýr? 0 0 B) 0 C) D) E) Devirli Ondalýk Sayýlarýn Rasyonel Sayýya Çevrilmesi abcd ab a,bcd olur. 990 + + +... 0,0 + 0,00 + 0,000 +... 0 0 0 0,0... 0,0 0 90 0 bulunur. YANIT: B 6

Konu Testi Matematik(YGS ve LYS). TEST.( + ).( ) işleminin sonucu kaçtır? 7. m, n, p, r birer rakamdır. r m > n > p > r olduğuna göre, büyük değeri kaçtır? m 0 A) 6 9 B) C) 6 p + toplamının en n 7 D) E) 8 A) B) C) D) E) 8. a, b ve c 6 7. : +. işleminin sonucu kaçtır? 9 A) B) C) D) 7 E) 6 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < b < c B) c < a < b C) a < c < b D) c < b < a E) b < c < a. ( ).( ) işleminin sonucu kaçtır? 9. x 0, y 0 ve z 0 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) x < y < z B) x < z < y C) z < y < x D) z < x < y E) y < x < z A) 9 B) 9 C) D) 9 E) 9. 0 0 6 0 00 8 0. + a ise 7 ifadesinin a cinsinden değeri nedir? + + 7 6 işleminin sonucu kaçtır? A) a B) a C) a D) a + E) a A) B) C) D) E). a + kesri bir basit kesir olduğuna göre, a nın en büyük doğal sayı değeri kaçtır?. ( ).( ).( )...( ) 0 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 8 D) E) A) B) C) D) E) 6. m negatif bir basit kesirdir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima pozitif bir bileşik kesir olur? A) m B) C) + m D) m E) m m. 0 x 0 eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır? A) B) C) D) E) 7

Matematik(YGS ve LYS) Konu Testi. 6 6 6 x kesrini tanımsız yapan x değerlerinin toplamı kaçtır? 9. x 0,0 ve y 0, 0 olduğuna göre, x + toplamı kaçtır? y A) 6 B) 60 C) D) E) A) B) C) D) 6 E) 7 0. 0, devirli ondalık sayısı n m rasyonel sayısına eşittir.. 0, 008,, m ve n kendi aralarında asal olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 0 D) 8 E) A) B) 7 C) D) E) 9. m 0,0 ve n 0,0. 7, 06,, + 0, 08, 07, işleminin sonucu kaçtır? olduğuna göre, n m ifadesinin değeri kaçtır? A) 0 B) C) D) 0 E) A), B) 7, C) 8, D) 8,8 E),. 0,,, 0 0 a b c 6. a ve b sıfırdan farklı birer rakamdır. ab ab, ab, + ab, ab 0, ab işleminin sonucu kaçtır? eşitliğinde a, b ve c birer pozitif sayı ise aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < b < c B) c < b < a C) a < c < b D) b < c < a E) b < a < c A) B), C) D) 0, E) 0,. + + + +... 6 8 0 0 0 0 7. + m n 8 eşitliğinde n bir pozitif tamsayı olduğuna göre, m sayısının ondalık açılımındaki yüzde birler basamağında bulunan rakam kaçtır? işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 0,0 B) 0,0 C) 0,0 D) 0,0 E) 0, A) B) C) D) 7 E) 9 8. Aşağıdaki sayılardan hangisi en büyüktür? A) 0,0 B) 0,0 C) 0,0 D) 0,0 E) 0,0. + + 6 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 7 E) 8

Konu Testi Matematik(YGS ve LYS). ( ) + ( ) 0 ( ) ( ). f + p f 6 6 p işleminin sonucu kaçtır? 7 A) B) C) D) E) 9 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 6 6 D) E) 6. a + 0 toplamının sonucu bir tamsayı olduğuna göre, a sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A),9 B),0 C) 7,98 D) 9,0 E), ( 06, ).(, ). (0,6) ( 0, ) işleminin sonucu kaçtır? A) 0, B), C) D) E) 6 7 7. 00,. 80,. 7 0060,. 6 + işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 0 C),.0 D) 0 E).0. Yukarıdaki sayı doğrusunda ile 0 arası dört ile arası üç eş bölmeye ayrılmıştır. Buna göre, A ile B arasındaki uzaklık kaç birimdir? 8. A) 6 B) C) D) 7 E) 9 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) 0, 00,. 00, 0, işleminin sonucu kaçtır? A),8 B), C),08 D), E),8, 0, 9. 0, 0, işleminin sonucu kaçtır? A) 8,8 B) 8, C) 7, D) 6, E),. < < 6 olduğuna göre, yerine kaç farklı tam sayı yazılabilir? 0. f p : f p işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 6 8 A) 7 B) 6 C) D) E) - C - A - E - D - C 6- E 7- D 8- B 9- A 0- C - B - D - C - A - B 6- E 7- C 8- C 9- A 0- B - B - C - C - D - A 6- C 7- D 8- E 9- A 0- A - A - D - C - A - B 9

Kartezyen Çarpım ve Bağıntı Matematik (YGS ve LYS) Sýralý Ýkili a ve b elemanlarýnýn (a, b) þeklinde yazýlmasýyla elde edilen elemana sýralý ikili denir. (a, b) (c, d) ise a c ve b d olmalýdýr. Örneðin; (x, x + y) (x +, y ) ise x x + x 6 ve x + y y 6 + y y y olur. Kartezyen Çarpým Kartezyen Çarpýmýn Grafiði A x B nin grafiði, A x B kümesine ait elemanlarýn (noktalarýn) analitik düzlemde iþaretlenmesiyle elde edilir. Örneðin; A {,, } ve B {, } ise A x B nin grafiðini çizelim. Önce A x B yi bulalým. A x B {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} A x B kümesi 6 elemanlý olduðundan; bu 6 nokta analitik düzlemde iþaretlenerek A x B nin grafiði aþaðýdaki gibi çizilir. Birinci bileþenleri A kümesinden ikinci bileþenleri B kümesinden alýnarak elde edilen tüm sýralý ikililerin kümesine A ile B nin kartezyen çarpýmý denir ve A x B þeklinde gösterilir. A x B {(x, y)i x A ve y B} olur. Örneðin; A {, } ve B {a, b, c} kümeleri için, A x B {(, a), (, b), (, c), (, a), (, b), (, c)} B x A {(a, ), (a, ), (b, ), (b, ), (c, ), (c, )} A x A {(, ), (, ), (, ), (, )} olur. A x B B x A dýr. Ancak s(a x B) s(b x A) olur. Örnek A {,, 6} ve B {y I y, y R} olduðuna göre A x B nin elemanlarýný dýþarýda býrakmayan en küçük çemberin çapý kaç birimdir? A) B) C) D) E) Kartezyen Çarpýmýn Özelikleri:. s(a x B) s(b x A) s(a). s(b). A x (B C) (A x B) (A x C). A x (B C) (A x B) (A x C). A x (B \ C) (A x B) \ (A x C) olur. Örnek B [, ] olduðundan B kümesinin sonsuz elemaný vardýr. Bundan dolayý A x B kümesi de sonsuz elemanlý olur. A x B kümesi; birinci bileþenleri, veya 6, ikinci bileþenleri [, ] aralýðýndaki herhangi bir reel sayý olan sýralý ikililerden oluþmaktadýr. Bu durumda A x B nin grafiði uç noktalarý (, ) ve (, ), (, ) ve (, ), (6, ) ve (6, ) olan doðru parçasýndan oluþmaktadýr. A {,,, 6, 7}, B {6, 7, 8, 9}, C {a, b, c, d} olduðuna göre, (A x C) (B x C) kümesinin eleman sayýsý kaçtýr? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 8 A B {,,, 6, 7, 8, 9} ve s(a B) 7 dir. (A x C) (B x C) (A B) x C olduðundan s[(a x C) (B x C)] s[(a B) x C] s(a B). s(c) 7. 8 bulunur. YANIT: E A x B ye ait noktalarý dýþarýda býrakmayan en küçük çemberin çapýnýn uzunluðu, grafikteki birbirinden en uzak iki nokta arasýndaki uzaklýktýr. Bu noktalar; (, ) ile (6, ) veya (, ) ile (6, ) dir. Bu durumda istenen çemberin çapý: birim bulunur. YANIT: E 0

Kartezyen Çarpım ve Bağıntı Matematik(YGS ve LYS) Örnek A {x I x < 6, x R} ve B {y I < y, y R} olduðuna göre, A x B yi kartezyen koordinat düzleminde gösterelim. A kümesini A [, 6) ve B kümesini B (, ] þeklinde yazabiliriz. A ve B kümeleri sonsuz elemanlý olduðundan A x B de sonsuz elemanlýdýr. Baðýntý A x B kümesinin her bir alt kümesine A dan B ye tanýmlý bir baðýntý denir. β A x B ise β, A dan B ye tanýmlý bir baðýntýdýr. Bu baðýntý, β : A B þeklinde gösterilir. A x A nýn herbir alt kümesine A dan A ya tanýmlý bir baðýntý veya kýsaca A kümesinde tanýmlý bir baðýntý denir. A x B nin herbir alt kümesi A dan B ye bir baðýntýdýr. s(a) n ve s(b) m ise s(a x B) n. m dir. n. m elemanlý bir kümenin n.m alt kümesi olduðundan, A dan B ye n.m tane baðýntý tanýmlanabilir. A [, 6) kümesi yatay, B (, ] kümesi düþey eksenden alýnýr. Birinci bileþeni ve ikinci bileþeni olan nokta (her ikisi de dahil köþeli parantez) olduðu için içi dolu; diðerleri ise içi boþ olarak iþaretlenir. Ýçi dolu olan noktanýn komþularý düz (sürekli) çizgi; içi boþ olan noktalarýn arasý ise kesikli çizgi olur. Sonra elde edilen dikdörtgenin içi taranarak grafik tamamlanýr. Örnek Örnek A ve B kümeleri için, s(a) ve s(b) olduðuna göre, A dan B ye kaç deðiþik baðýntý tanýmlanabilir? A) 8 B) 6 C) 6 D) 0 E) 6 s(a x B) s(a). s(b). 8 dir. A x B, 8 elemanlý bir küme olduðundan, 8 6 tane alt kümesi vardýr. A x B nin herbir alt kümesi A dan B ye tanýmlý bir baðýntý olduðu için, A dan B ye 6 tane baðýntý tanýmlanabilir. YANIT: E Örnek 6 Pozitif reel (gerçel) sayýlar kümesinde a + b 0 için baðýntýsý tanýmlanmýþtýr. Þekilde A x B nin grafiði verilmþitir. Buna göre, A B, A B, A \ B ve B \ A kümelerini bulalým. eþitliðinde m sayýsý kaçtýr? A) B) C) D) E) A x B nin grafiðinden; A (, ] ve B (, ] bulunur. Sayý doðrusunda gösterilen A ve B kümelerine göre, A B (, ] A B (, ] A \ B (, ] B \ A (, ] olur.. 8 β, ve + 0. m m m β, m + m + m + m 0 olduðundan m 0m + 9m m bulunur. + m YANIT: A

Matematik(YGS ve LYS) Kartezyen Çarpım ve Bağıntı Örnek 7 Yansýma Özeliði A {,,, } kümesinde tanýmlý β {(a, b)i a, b yi tam böler} baðýntýsýnýn eleman sayýsý kaçtýr? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) β baðýntýsý, birinci bileþeni, ikinci bileþenini tam bölen sýralý ikililerden oluþmaktadýr. β {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} olduðundan s(β) 8 dir. β baðýntýsýnýn þema ve grafiði aþaðýdaki gibidir. YANIT: B β, A kümesinde tanýmlý bir baðýntý olsun. Her x A için (x, x) β ise β yansýyan bir baðýntýdýr. Örneðin; A {,, } kümesinde tanýmlý; β {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} baðýntýsý yansýyandýr. β {(, ), (, ), (, ), (, )} baðýntýsý A olduðu halde (, ) β olduðundan, yansýyan deðildir. Simetri Özeliði β, A kümesinde tanýmlý bir baðýntý olsun. Her (x, y) β için (y, x) β ise β simetrik bir baðýntýdýr. Örneðin; A {a, b, c, d} kümesinde tanýmlý; β {(a, c), (b, b), (b, d), (c, a), (d, b)} baðýntýsý simetriktir. β {(a, b), (b, c), (c, c), (b, a), (d, d)} baðýntýsý (b, c) β olduðu halde (c, b) β olduðundan simetrik deðildir. Bir Baðýntýnýn Tersi A kümesinden B kümesine tanýmlý bir β baðýntýsý verilsin. β baðýntýsýna ait tüm sýralý ikililerin birinci ve ikinci bileþenlerinin yer deðiþtirmesiyle elde edilen baðýntýya, β baðýntýsýnýn tersi denir ve β ile gösterilir. Bu durumda β, B den A ya tanýmlý bir baðýntý olur. β A x B ise β B x A olup β {(y, x) I (x, y) β} dýr. Örneðin; β {(a, b), (b, b), (b, c), (c, a)} ise β {(b, a), (b, b), (c, b), (a, c)} olur. β simetrik ise β β dir. Ters Simetri Özeliði β, A kümesinde tanýmlý bir baðýntý olsun. (x y iken) Her (x, y) β için (y, x) β ise β ters simetrik bir baðýntýdýr. Birinci bileþeniyle, ikinci bileþeni ayný olan (x, x) ikililerinin bulunmasý baðýntýnýn ters simetri özeliðini bozmaz. Örneðin; A {a, b, c, d} kümesinde tanýmlý; β {(a, b), (b, b), (b, c), (c, a)} baðýntýsý ters simetriktir. β {(a, c), (a, d), (c, b), (d, a), (d, c)} baðýntýsý (a, d) β Örnek 8 olduðu halde (d, a) β olduðundan ters simetrik deðildir. R de tanýmlý, β {(x, y) I x y } baðýntýsý veriliyor. Buna göre β β aþaðýdakilerden hangisidir? Geçiþme Özeliði β, A kümesinde tanýmlý bir baðýntý olsun. A) {(, )} B) {(, )} C) {(, )} D) {(, )} E) {(, )} β baðýntýsýnda x ile y nin yerleri deðiþtirilerek β baðýntýsý bulunur. β {(x, y) I y x } olduðundan, x y ve y x ise x y bulunur. Buna göre, β β {(, )} olur. YANIT: D Her [(x, y) β ve (y, z) β] iken (x, z) β ise β geçiþken bir baðýntýdýr. Örneðin; A {a, b, c, d} kümesinde tanýmlý; β {(a, c), (b, b), (c, d), (a, d)} baðýntýsý geçiþkendir. β {(a, b), (b, b), (c, a)} baðýntýsý (c, a) β ve (a, b) β olduðu halde (c, b) β olduðundan geçiþken deðildir.

Konu Testi Matematik(YGS ve LYS). x, y R olmak üzere TEST (x +, y ) (x +, y + ) eşitliğini sağlayan (x, y) sıralı ikilisi aşağıdakilerden hangisidir? A) (, ) B) (6, ) C) (, 6) D) (, 6) E) (, ) 6. A, B ve C kümeleri için, A x B {(a, ), (a, ), (a, ), (b, ), (b, ), (b, )} A x C {(a, x), (a, ), (b, x), (b, )} olduğuna göre, A x (B C) kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 0 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6. A {xi IxI, x Z} B {xi < x, x Z} olduğuna göre, A x B nin eleman sayısı kaçtır? A) B) C) 8 D) 0 E) 7.. A x C {(a, ), (a, ), (b, ), (b, ), (c, ) (c, )} B {r, s} olduğuna göre, A x B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {(, r), (, s), (, r), (, s)} B) {(r, ), (s, ), (r, ), (s, )} C) {(a, r), (a, s), (b, r), (b, s), (c, r) (c, s)} D) {(r, a), (s, a), (r, b), (s, b), (r, c) (s, c)} E) {(a, r), (a, s), (r, b), (s, b), (c, r)} Şekildeki A x B grafiğine göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A B (, ) B) A \ B [, 6] C) B \ A [, ] D) A (B \ A) [, 6] E) A B (, 6). s(a), s(a x B) 6 ve s(a x C) 8 olduğuna göre, s(b x C) kaçtır? A) 6 B) 9 C) D) E) 6. A {xi x, x Z} B {yi y <, y R} 8. A {,, 0,, } ve B {0,,,, } kümeleri veriliyor. Buna göre, dik koordinat düzleminde (A B) x (A B) kartezyen çarpımının elemanlarını dışarıda bırakmayan en küçük dikdörtgenin alanı kaç birimkaredir? A) B) C) 8 D) E) olduğuna göre, A x B nin grafiği aşağıdakilerden hangisidir? 9. β(x, y) x y bağlantısı veriliyor. β(x, ) β(, ) olduğuna göre, x kaçtır? A) 6 B) C) 0. A {,,,, } ve B {x, y, z} kümeleri veriliyor. D) B den A ya kaç tane bağıntı yazılabilir? E) A) B) 8 C) 0 D) E)

Matematik(YGS ve LYS) Konu Testi. β {(x, y) : x y, x ve y Z} 8. Doğal sayılar kümesinde tanımlı, şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, b bağıntısının eleman sayısı kaçtır? A) B) C) D) E) β {(x, y) I x + y 8, x, y N} β {(x, y) I x + y 7, x, y N} bağıntıları için β β kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 0 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6. A {,,, } kümesi veriliyor. β : A A ve β {(x, y) I x + y } olduğuna göre, b bağıntısının kaç elemanı vardır? A) B) C) 6 D) 7 E) 0 9. N de tanımlanan β {(x, y) I (a ).x + (a + 6).y } bağıntısının simetrik olması için a kaç olmalıdır? A) B) C) D) E). A {0,, 9, 0, 8} kümesinde tanımlı β açılan bağıntısı, β {(x, y) I x böler y} biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, b bağıntısı kaç elemanlıdır? A) B) 7 C) 8 D) 0 E) 0. R de tanımlı β {(x, y):.x + ( + a).y 0} yansıyan bir bağıntı olması için a kaçtır?. A {,, {}, {, }} ve B {a, b} kümeleri veriliyor. A) 7 B) C) D) E) Buna göre, A dan B ye tanımlanabilecek en çok elemanlı bağıntı sayısı kaçtır? A) 8 B) 9 C) 6 D) 7 E) 0. A {,, } kümesinde tanımlı β bağıntısının yansıyan olup, simetrik ve ters simetrik olmaması için β bağıntısı en az kaç elemanlı olmalıdır? A) B) C) D) 6 E) 7. A {,,, } ve B {, 6} kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlı elemanlı bağıntıların kaç tanesinde, (, ) ikilisi eleman olarak bulunur? A) 70 B) 6 C) D) 8 E) 0. A {,, } kümesinde tanımlı β {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} bağıntısında yansıma, simetri, ters simetri ve geçişme özelliklerinden kaç tanesi vardır? 6. α {(x, y): x + y ve x, y R} bağıntısı veriliyor. α bağıntısının elemanlarından biri (t +, t ) olduğuna göre, t kaçtır? A) B) C) D) E) A) 0 B) C) D) E). Kartezyen koordinat düzleminde; lx.yl bağıntısı veriliyor. 7. Z de tanımlı α {(x, y) I x y 7 ve x, y Z} bağıntısı veriliyor. α α kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {( 7, 7)} B) {( 7, 7)} C) {(7, 7)} D) {(7, 7)} E) {(7, 8)} Buna göre, bu bağıntıyı sağlayan kaç tane (x, y) tamsayı sıralı ikilisi vardır? A) B) 6 C) 8 D) E) 6 - C - D - C - C - E 6- C 7- E 8- D 9- E 0- E - C - C - E - D - C 6- D 7- D 8- C 9- E 0- D - D - D - D

Matematik (YGS ve LYS) Fonksiyonlar Fonksiyon A kümesinin herbir elemanýný B kümesinin bir ve yalnýz bir elemanýyla eþleþtiren baðýntýlara A dan B ye tanýmlý fonksiyon denir ve f : A B þeklinde gösterilir. A, fonksiyonun taným kümesi ve B deðer kümesidir. A dan B ye tanýmlý bir f baðýntýsýnýn fonksiyon olabilmesi için aþaðýda verilen iki þartý saðlamasý gerekir.. A kümesinde görüntüsü olmayan (eþleþmeyen) eleman kalmamalýdýr.. A kümesindeki herhangi bir eleman B kümesindeki birden fazla elemanla eþleþmemelidir. Örneðin; A {a, b, c} ve B {b, e, h} kümeleri verilsin. A dan B ye tanýmlanan f {(a, b), (c, h), (d, h)} baðýntýsýnýn bir fonksiyon olup olmadýðýný inceleyelim. Örnek A {a, b, c} kümesinde tanýmlý baðýntýlardan kaç tanesi fonksiyon deðildir? A) 96 B) 8 C) D) 76 E) 8 A dan A ya tanýmlý baðýntýlara A kümesinde tanýmlý baðýntý dendiðini biliyoruz. A x A kümesinin herbir alt kümesi A kümesinde tanýmlý bir baðýntýdýr. s(a x A) s(a). s(a). 9 dur. 9 elemanlý bir kümenin 9 tane alt kümesi olduðundan A kümesinde toplam tane baðýntý tanýmlanabilir. Bu baðýntýlarýn sadece 7 tanesi fonksiyon olduðundan geriye kalan baðýntýlarýn 7 8 tanesi fonksiyon olmayan baðýntýdýr. YANIT: B Örnek f (a) b f (c) h A {,,, } ve f : A R olmak üzere f fonksiyonu f(x) x x kuralý ile veriliyor. f (d) h Buna göre, f fonksiyonunun görüntü kümesinin elemanlarýnýn toplamý kaçtýr? Yukarýda verilen f baðýntýsý bir fonksiyondur. f {(a, b), (c, h), (d, h)} olur. f: A B olmak üzere Taným kümesi A {a, c, d} Deðer kümesi B {b, e, h} Görüntü kümesi f (A) {b, h} dir. Örneðin; A {,, } ve B {a, b, c, d} kümeleri verilsin. A dan B ye tanýmlanan A) 0 B) 8 C) 6 D) E) f( ) ( ).( ) 8 f(). f(). f(). f(a) {8,, } olduðundan görüntü kümesinin elemanlarýnýn toplamý 8 + ( ) + 0 dir. YANIT: A f {(, d), (, a)} ve g {(, c), (, a), (, b), (, d)} baðýntýlarýnýn birer fonksiyon olup olmadýklarýný inceleyelim. Örnek f : A R ye tanýmlý bir f fonksiyonu f(x) x kuralý ile veriliyor. A dan B ye s(b) s(a) tane fonksiyon tanýmlanabilir. Örneðin; elemanlý bir kümeden elemanlý bir kümeye 8 tane farklý fonksiyon tanýmlanabilir. f(a) (, ] olduðuna göre, A kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) [, ) B) (, ) C) [, ) D) (, ] E) (, ] f fonksiyonu; x i, x ile eþleþtirdiðinden x in görüntüsü x dir. < x < x > x olduðundan A [, ) bulunur. YANIT: C

Matematik(YGS ve LYS) Fonksiyonlar Örnek x + f x + olduðuna göre, f() kaçtýr? x A) B) C) 8 D) E) Örnek 7 f(x + ) x.f(x) + eþitliðini saðlayan f fonksiyonu veriliyor. f(7) 6 olduðuna göre, f() kaçtýr? x + x x + ifadesi e eþitlenirse, x Verilen eþitlikte x yerine 9 yazýlýrsa f(). 9 + bulunur. x 9 olur. YANIT: A A) B) C) D) E) 6 Verilen eþitlikte, x yerine önce daha sonra da yazalým. f(7). f() + 6. f() + f() 7 f(). f() + 7. f() + f() bulunur. YANIT: A Örnek f(x x ) x 6x + olduðuna göre, f() kaçtýr? A) B) 7 C) 8 D) 0 E). yol: x x x x 6 dýr. Verilen eþitlikte x x yerine 6 yazýlýrsa f(x x ) (x x) + f(). 6 + bulunur.. yol: f(x x ) x 6x + yazýlýrsa f(x x ) (x x ) + x x yerine a yazýlýrsa f(a) a + olur. Buradan, f(). + bulunur. YANIT: A Fonksiyon Çeþitleri Bire Bir Fonksiyon Taným kümesindeki her bir elemaný deðer kümesindeki farklý bir elemanla eþleþtiren fonksiyonlara bire bir veya fonksiyon denir. f: A B fonksiyonu bire bir ise s(a) s(b) dir. Örten Fonksiyon Görüntü kümesi, deðer kümesine eþit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir. Buna göre, deðer kümesinde açýkta eleman kalmýyorsa fonksiyon örtendir. Örten olmayan fonksiyonlara içine fonksiyon denir. O halde, A dan B ye tanýmlý f fonksiyonu; f(a) B ise örten, f(a) B ise içine fonksiyondur. f: A B fonksiyonu örten ise s(a) s(b) dir. f: A B fonksiyonu bire bir ve örten ise s(a) s(b) dir. Örnek 6 Her x reel sayýsý için Örneðin, f(x + ) x + f(x) eþitliðini saðlayan f fonksiyonu veriliyor. f() olduðuna göre, f() kaçtýr? A) B) C) 0 D) 8 E) 6 Verilen eþitlikte, x yerine önce daha sonra da yazalým. f( + ). + f() f() 9 + 0 f( + ). + f() f() + 0 olur. YANIT: B 6

Fonksiyonlar Matematik(YGS ve LYS). s(a) n, s(b) m ve n m ise A dan B ye m! (m n)! tane bire bir fonksiyon tanýmlanabilir.. s(a) s(b) n ise A dan B ye n! tane bire bir ve örten fonksiyon tanýmlanabilir. Örneðin; s(a), s(b) 7 ve s(c) ise, 7! 7! A B ye 80 tane bire bir fonksiyon, (7 )!! A C ye! tane bire bir ve örten fonksiyon tanýmlanabilir. a 0 olmak üzere, f(x) ax + b biçimindeki birinci dereceden fonksiyonlara doðrusal fonksiyon denir. f: R R, f(x) ax + b fonksiyonu bire bir ve örtendir. Sabit Fonksiyon Taným kümesinin her bir elemanýný deðer kümesindeki ayný elemana eþleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir. f: A B fonksiyonunda A kümesindeki her x elemaný için f(x) c ise f sabit fonksiyondur. f(x) ve g(x) birer sabit fonksiyondur. Örneðin; f(x) (a + ) x + b.x x + b a fonksiyonunun sabit fonksiyon olmasý için; f(x) (a + ).x + (b ).x + b a 0 0 a + 0 a ve b 0 b olmalýdýr. f(x) fonksiyonunda a ve b alýnýrsa, f(x). ( ) 7 sabit fonksiyonu bulunur. Örnek 8 f(x) doðrusal fonksiyonu için, f() ve f() olduðuna göre, f() kaçtýr? A) B) C) D) E) 7 f(x) ax + b in sabit fonksiyon olmasý için, cx + d olmalýdýr. Bu sabit fonksiyonun deðeri de, f(x) dir. f(x) doðrusal fonksiyon olduðu için, f(x) a x + b biçimindedir. f() a + b ve f() a + b eþitliklerinden, a ve b bulunur. O halde f(x) x+ dir. Buradan f(). + 7 bulunur. YANIT: E Birim Fonksiyon Taným kümesindeki her bir elemaný yine kendisine eþleyen fonksiyona birim fonksiyon denir. f: A A, f(x) x Örnek 9 x için, f(x) 6x k 9x + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduðuna göre, k kaçtýr? A) 8 B) 6 C) D) E) 6x k 6 k f(x) sabit fonksiyon ise k olur. 9x + 6 9 6 YANIT: C kuralý ile tanýmlanan f fonksiyonu birim fonksiyondur. Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir. I (x) x dir. Örneðin; f(x) (a + ) x + b fonksiyonunun birim fonksiyon olmasý için; Bir Fonksiyonun Tersi f: A B fonksiyonu verilsin. f fonksiyonunun tersi f ile gösterilir ve f : B A, f {(y, x) I (x, y) f} olur. f (x) (a + ).x + b 0 a + a ve b 0 b olmalýdýr. f(x) fonksiyonunda a ve b alýnýrsa, f(x) ( + ).x +. f(x) x birim fonksiyonu bulunur. Bir f fonksiyonunun tersinin de yine bir fonksiyon olmasý için, bire bir ve örten olmasý gerekir. Bire bir ve örten olmayan fonksiyonlarýn tersleri fonksiyon deðildir. f nin taným kümesi f in deðer kümesi ve f nin deðer kümesi f in taným kümesidir. (a, b) f iken (b, a) f olduðundan, f(a) b ise f (b) a olur. 7

Matematik(YGS ve LYS) Fonksiyonlar Örnek 0 Örnek A {a, b, c, d} kümesinden B {,,, } kümesine tanýmlý aþaðýdaki fonksiyonlardan hangisinin tersi de bir fonksiyondur? A) f {(a, ), (b, ), (c, ), (d, )} B) f {(a, ), (b, ), (c, ), (d, )} C) f {(a, ), (b, ), (c, ), (d, )} D) f {(a, ), (b, ), (c, ), (d, )} E) f {(a, ), (b, ), (c, ), (d, )} Bire bir ve örten olmayan fonksiyonlarýn tersi fonksiyon olmadýðýndan A, B, C ve E seçeneklerinde verilen fonksiyonlarýn tersleri fonksiyon deðildir. Sadece D seçe-neðinde verilen f fonksiyonu bire bir ve örten olduðu için f ün tersi bir fonksiyondur. YANIT: D x < ve f(x) x + 6x olduðuna göre, f (x) aþaðýdakilerden hangisidir? A) 9 x + 9 B) x + 9 C) x + D) 6 x + E) + x + f(x) x + 6x y x + 6x x y + 6y Bu eþitlikte eþitliðin sað tarafýný tamkare yapmak için eþitliðin her iki yanýna eklersek, x + y + 6y + 9 x + (y + ) olduðundan y + + x + y + x + dir. x < için f (x) x + bulunur. YANIT: C Bir Fonksiyonun Tersinin Bulunmasý y f(x) kuralý ile verilen bir f fonksiyonunun tersini bulmak için her x yerine y ve her y yerine x yazýlýp y yalnýz býrakýlýr. Örneðin, f(x) x + ise f fonksiyonunun tersini bulalým; y f(x) olduðundan önce f(x) yerine y yazarsak, y x + eþitliði elde edilir. Bu eþitlikte x yerine y ve y yerine x yazýnca, x x y + y olur. Buradan f x (x) bulunur. Örnek f(x ) x+ olduðuna göre, f () kaçtýr? A) B) 8 C) D) E) 7 f(a) b ise f (b) a olduðundan, f(x ) x+ ise f ( x+ ) x olur. x+ eþitliðinden x bulunur. x yazýlýrsa, f ( ). f () 8 olur. YANIT: B Örnek ax f: R \ {} R \ {}, f (x) fonksiyonu veriliyor. x b f fonksiyonu bire bir ve örten ise, a + b kaçtýr? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 f(x) ax + b ise f (x) x b a olur. R \ {}, f(x) in taným kümesi olduðundan 8 Örneðin; f(x) x ise f (x) f(x) ise f x 8 (x) olur. f(x) ax + b ise f (x) cx + d Örneðin; f(x) x + x ise f (x) dx + b cx a x + x olur. olur. ax x deðeri f (x) nin paydasýný sýfýr yapmalýdýr. x b. b 0 b 6 olur. f bx : R \ {} R \ {}, f (x) dýr. x a R \ {}, f (x) in taným kümesi olduðundan x deðeri f (x) bx x a. a 0 a olur. Buradan a + b + 6 0 bulunur. nýn paydasýný sýfýr yapmalýdýr. YANIT: E

Fonksiyonlar Matematik(YGS ve LYS) Fonksiyonlarýn Bileþkesi f: A B ve g: B C ye tanýmlý iki fonksiyon olsun. Burada f nin deðer kümesi, g nin taným kümesidir. f fonksiyonu, A kümesinin elemanlarýný B kümesinin elemanlarýyla ve g fonksiyonu, B kümesinin elemanlarýný C kümesinin elemanlarýyla eþleþtirmektedir. Sonuçta A kümesinin elemanlarý f ve g fonksiyonlarýyla C kümesinin elemanlarýyla eþleþmiþ olur. A kümesinin elemanlarýný, C kümesinin elemanlarýna eþleþtiren yeni fonksiyona g ile f fonksiyonlarýnýn bileþkesi denir ve gof þeklinde gösterilir. g bileþke f diye okunur. Örnek f(x) mx 6 ve (fof)(x) x 8 olduðuna göre, m aþaðýdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) f(x) mx 6 ise (fof)(x) m.(mx 6) 6 (fof)(x) m. x 6m 6 olur. (fof)(x) x 8 olduðundan, m. x 6m 6 x 8 olur. Buradan, m ve 6m 6 8 eþitlikleri bulunur. 6m 6 8 m olur. YANIT: E (gof): A C ye tanýmlý olup, (gof)(x) g(f(x)) tir. (gof)() g(f()) g() (gof)() g(f()) g() 7 (gof)() g(f()) g(8) (gof)() g(f()) g() 7 bulunur. Örnek (fog)(x) g(x) + 7 olduðuna göre, f(x ) aþaðýdakilerden hangisidir? A) x + B) x + 6 C) 6x D) 6x + E) 6x + Burada, f ile g nin yaptýðý eþleþme ile gof nin yaptýðý eþleþmenin ayný olduðu görülmektedir. Örneðin, f(x) x ve g(x) x + fonksiyonlarý için (fog)(x) ve (gof)(x) fonksiyonlarýný bulalým. (fog)(x) f(g(x)) g(x) + 7 olduðundan g(x) yerine a yazýlýrsa, f(a) a + 7 olur. Burada, a yerine x yazýlýrsa f(x ) (x ) + 7 6x + bulunur. YANIT: D (fog)(x) f(g(x)) (gof) (x) g(f(x)) f(x + ) g(x ) (x + ) (x ) + x + x + 8 x + Genel olarak (fog)(x) (gof)(x) tir. Ancak bazý fonksiyonlar için, fog gof olabilir. Örnek 6 f(x) x + 8 ve g(x) x + olduðuna göre, (fog ) () deðeri kaçtýr? A) B) C) D) E) Bileþke Fonksiyonun Özelikleri. (fog)oh fo(goh) fogoh. foi Iof f (I: birim fonksiyon). fof f of I. (f ) f. (fog) g of g(x) x + g (x) x olduðundan g () olur. (fog )() f [g ()] f( ).( ) + 8 olarak bulunur. YANIT: B 9

Matematik(YGS ve LYS) Fonksiyonlar Örnek 7 (fog)(x) 6x 7 ve g(x) x+ Örnek 9 f(x) x ve g(x) x + x olduðuna göre, f(x) fonksiyonu aþaðýdakilerden hangisidir? A) x B) x C) x D) x + 6 E) x (fog)og fo(gog ) fo I f dir. g(x) x+ ise g (x) x olur. [(fog)og ] (x) (fog) (g (x)) olduðuna göre, (g of) (x) eþitliðini saðlayan x deðeri kaçtýr? A) B) C) D) E) (g of)(x) g (f(x)) eþitliðinden f(x) g() yazýlabilir. + Buradan x ve x bulunur.. YANIT: B [fo(gog x )] (x) (fog) ( ) x (f o I)(x) 6 7 f(x) x 0 bulunur. YANIT: E Permütasyon Fonksiyon A dan A ya tanýmlanan bire bir ve örten fonksiyonlarýn her birine permütasyon fonksiyon denir. A {a, b, c, d} kümesi verilsin. Örnek 8 (fog)(x) 6x 7 ve f(x) x olduðuna göre, g(x) fonksiyonu aþaðýdakilerden hangisidir? A) x B) x + C) x 6 D) x E) x (fog)(x) 6x 7 f[g(x)] 6x 7 dir. f(x) x f[g(x)].g(x) olduğundan,.g(x) 6x 7 f: A A permütasyon fonksiyonu aþaðýdaki þekilde tanýmlansýn. Yukarýda verilen f fonksiyonu f {(a, c), (b, a), (c, d), (d, b)} dir. f {(c, a), (a, b), (d, c), (b, d)} olduðundan, a b c d f olur. b d a c f fonksiyonu þeklinde yazýlýr..g(x) 6x + 6 g(x) x + olur. YANIT: B Örnek 0 Sayý Birleme Oyunu ise (fog) fonksiyonunu bulalým. Herhangi bir doðal sayý tutun. Sayý çift ise ile bölün, tek ise ile çarpýp ekleyin. Her yeni elde edilen sayýya ayný kuralý uygulayarak iþlem devam edildiðinde belirli bir yerden sonra elde edilir. Örneðin sayýmýz 7 olsun. 7. + çift : 6 çift, 6 : tek,. + 0 çift 0 : 0 çift, 0 : 0 çift, 0 : tek,. + 6 çift, 6 : 8 çift, 8 : çift, : çift, : olur. bileþke yazýlýrken ikinci fonksiyondan baþlanýr. g: ve f: ise fog: g: ve f: ise fog: g: ve f: ise fog: g: ve f: ise fog: olur. 0

Fonksiyonlar Matematik(YGS ve LYS) Örnek Örnek a f d b a c c d b ve gof a c b d c a d b f {(, ), (, ), (, 8)} ve g {(, ), (, 7), (, ), (8, )} olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? ise g fonksiyonunu bulalým. a b c d f olduðundan b d c a A) f g {(, ), (, 6)} B) f + g {(, 9), (, )} C) f. g {(, 0), (, ), (, 6)} D). f {(8, 0), (6, 8), (0, 8)} E) (gof) () 7 a (gof)of c b c d a a b c d g f p olur. d b a c d a o b b b d c c d a Fonksiyonlarda iþlemler f ve g nin taným kümelerinin ortak elemanlarý üzerinde yapýlabilir. Burada, f fonksiyonunun (, ), (, 8) ve g fonksiyonunun (, ), (, ) ikilileri üzerinde iþlemler yapýlabilir. Fonksiyonlarda Ýþlemler f: A R ve g: B R fonksiyonlarý verilsin.. (f + g): A B R ve (f + g) (x) f(x) + g(x). (f g): A B R ve (f g) (x) f(x) g(x). (f. g): A B R ve (f. g) (x) f(x). g(x). ( ): A B R ve ( ) (x), [g(x) 0]. (c. f): A R ve (c. f) (x) c. f (x) dir. ( c R) Örnek f(x) x + 8 ve g(x) x olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? A) (f + g) (x) x + 6 B) (g f) (x) x 0 C) (f. g) (x) 6x + 0x 6 D) (f g) () E) ( ) () 6 A) f g {(, ), (, 8 )} {(, ), (, 6)} B) f + g {(, +. ), (, 8 +. )} {(, 9), (, )} C) f.g {(,. ), (, 8. )} {(, 0), (, 6)} D). f {(,. ), (,. 8)} {(, 6), (, )} E) (gof) () g[f()] g() 7 olduðundan E seçeneði doðrudur. Örnek f(x) x, x < 6 x +, 6 x < 0 x, 0 x olduðuna göre, (fofof)() deðeri kaçtýr? YANIT: E A) 6 B) 8 C) 9 D) 0 E) < 6 f(). olduðundan (fofof) () f{f [f()]} f{f()} dir. 0 f() 8 olduðundan f{f()} f(8) dir. 6 8 < 0 f(8) 8 + 9 bulunur. YANIT: C A) (f + g) (x) (x + 8) + (x ) x + 6 B) (g f) (x) (x ) (x + 8) x 0 C) (f. g) (x) (x + 8). (x ) 6x + 0x 6 D) (f g) (). f(). g(). (. + 8) (. ) f(). + 8 E) ( ) () olduðundan g(). E seçeneði yanlýþtýr. YANIT: E Fonksiyonun Grafiði Bir fonksiyonun elemanlarýna, analitik düzlemde karþýlýk gelen noktalarýn kümesine bu fonksiyonun grafiði denir. y f(x) fonksiyonun grafiði üzerinde P(a, b) noktasý verilsin. Bunun anlamý; f(a) b veya f (b) a dýr.

Matematik(YGS ve LYS) Fonksiyonlar Örnek Örnek 7 Þekilde, y f(x) fonksiyonunun grafiði verilmiþtir. (fof)(x) olduðuna göre, x kaçtýr? A) B) C) D) E) y f(x) fonksiyonunun grafiði A(, 0) ve B(0, ) noktalarýndan geçtiði için f( ) 0 ve f(0) dir. (fof)(x) f[f(x)] f(x) 0 olmalýdýr. 0 Buradan, x x bulunur. YANIT: D Þekilde, f(x) ve g(x) fonksiyonlarýnýn grafikleri verilmiþtir. Buna göre, A) deðeri kaçtýr? B) C) 0 D) E) Grafiðe göre, f(), f() 0, g() ve g() tür. g() olduðundan, (fog) () f[g()] f() 0 dýr. g() + (fog)() + 0 Buradan, bulunur. f() YANIT: B Örnek 6 Örnek 8 Þekilde, y f(x) fonksiyonunun grafiði verilmiþtir. (fof)( 7) + f(0) Buna göre, deðeri kaçtýr? f ( ) A) B) C) D) E) Þekilde, f(x) ve g(x) x fonksiyonunun grafikleri verilmiþtir. Buna göre, [f o g o f] (0) deðeri kaçtýr? A) B) C) 0 D) E) 8 A( 7, ) noktasýna göre, f( 7) olduðundan (fof) ( 7) f[f( 7)] f() dir. C(, 0) noktasýna göre, f() 0 olduðundan, (fof) ( 7) f[f( 7)] f() 0 olur. B(0, ) noktasýna göre, f(0) ve D(6, ) noktasýna göre, f ( ) 6 olduðundan, (fof)( 7) + f(0) 0 + f ( ) 6 bulunur. YANIT: B f(0) 8 olduðundan, [f o g o f] (0) f {g [f(0)]} f [g (8)] dir. g(x) x ise g (x ) x g (8) olur. Buradan, f[g (8)] f() 0 olduðu için, (f o g of)(0) 0 bulunur. YANIT: C

Konu Testi Matematik(YGS ve LYS) TEST. A {x I x < 7 ve x Z} dir. f: A R, f(x) x fonksiyonunun görüntü kümesi kaç elemanlıdır? 7. f(x) 6 x + x+ fonksiyonunun tanım aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) x B) x 6 C) x D) x E) x A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 0. f: A B, bire bir ve örten bir fonksiyondur. f(x) x ve B {,, 0, 7} olduğuna göre, A kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {,, 0, } B) { 8,, } C) {0,, } D) {, 0,, } E) {,, 0, } 8. f: R {} R {} kümesinde tanımlı mx + f(x) x+ n fonksiyonu bire bir ve örtendir. Buna göre, m + n toplamı kaçtır? A) B) C) D) E). A {,, } ve B {a, b, c} kümeleri veriliyor. Buna göre, A dan B ye (A B) tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi bir fonksiyondur, ancak tersi bir fonksiyon değildir? A) {(, a), (, c), (, b), (, c)} B) {(, c), (, a), (, b)} C) {(, b), (, c), (, a)} D) {(, a), (, b), (, c)} E) {(, c), (, a), (, c)} 9. f(x) x + x + olduğuna göre, f( x) f(x ) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) x B) x C) 0 D) x E) x 0. f(x ) + f(x + ) x +. f( x) m.x + n fonksiyonu veriliyor. f(x) fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? olduğuna göre, f() değeri kaçtır? A) B) C) D) E) 6 A) B) C) 0 D) E). f(x) (a ).x + (b + ).x + a b fonksiyonu sabit bir fonksiyon olduğuna göre, f(a + b) kaçtır? A) B) 0 C) D) E) mx + 6 6. fx () x sabit bir fonksiyon olduğuna göre, m + f(m) toplamı kaçtır? A) 6 B) C) D) 0 E). f(x x ) x 6x + olduğuna göre, f() değeri kaçtır? A) B) C) D) E). fx ( ) x + x x olduğuna göre, f() değeri kaçtır? A) 7 B) 9 C) D) E) 8

Matematik(YGS ve LYS) Konu Testi. f(x) x fonksiyonu veriliyor. 9. f(x + ) f(x) + x fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f(x) fonksiyonunun f(x + ) cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A).f(x + ) + B).f(x + ) C).f(x + ) D).f(x + ) + E).f(x + ) + f() olduğuna göre, f() değeri kaçtır? A) B) C) 8 D) E) 0. f: R R, f(x + ) f(x) +. fx () x x olduğuna göre, f( x ) fonksiyonunun f(x) cinsinden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? olduğuna göre, f(6) f() farkı kaçtır? A) B) 8 C) D) E) 6 A) f(x) B) fx () D) f(x) E) f(x) C) fx (). x.f(x) (x ).f(x ) fonksiyonu veriliyor. f() olduğuna göre, f() değeri kaçtır?. f(x) x olduğuna göre, f(x + ) ifadesinin f(x) cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A).f(x) B) [f(x)] C) 9.f(x) D) f(x) E) f(x) + 9 A) B) C) D) 88 E)..( f ) + fx ( ) x x olduğuna göre, f() değeri kaçtır? A) B) C) D) E) 6. f(n) n fonksiyonu veriliyor. n! f(n + ) k. f(n) olduğuna göre, k aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) n + D) n + B) n + E) n C) n..f(x ) f( x) + x olduğuna göre, f() değeri kaçtır? A) B) 0 C) D) E) 7. f(x) + f(x ) 6x + 7 olduğuna göre, f() değeri kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) 8. f(x + ).f(x) ve f() olduğuna göre, f() değeri kaçtır? A) B) C) D) 0 E) 0 8 x. xf.( ) x+ f( ) x olduğuna göre, f() değeri kaçtır? 6 A) B) C) D) 6 E) - C - D - E - D - E 6- A 7- C 8- E 9- C 0- C - A - C - D - A - C 6- B 7- A 8- E 9- E 0- D - A - B - E - D

Konu Testi Matematik(YGS ve LYS). x, y R {0} olmak üzere f(x + y) f(x). f(y) TEST 7. f(x) x ve g(x) x olduğuna göre, f[g()] g[f()] kaçtır? A) B) 6 C) 0 D) 9 E) olduğuna göre, f() ise f() kaçtır? A) B) 6 C) 8 D) E) 6 8. (fof) (x) 9x + 8 olduğuna göre, f() değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?. x, y R {} olmak üzere, f(x. y) f(x) + f(y) A) 7 B) C) D) 7 E) 8 olduğuna göre, f() ise f(8) kaçtır? A) B) 0 C) 8 D) 7 E) 9. f(x) x ve (fog)(x) 6x olduğuna göre, g() değeri kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) E). f(x + ) x olduğuna göre, f() + f () toplamı kaçtır? A) B) 0 C) D) 7 E) 9 0. g (x) x ve (fog)(x) 0x + olduğuna göre, f() değeri kaçtır? A) B) C) D) E) x + x +. f( ) x x olduğuna göre, f () değeri kaçtır? A) B) C) D) E). (fog)(x). g(x) + olduğuna göre, f (7) değeri kaçtır? A) B) C) D) E) 6. f(x) bir doğrusal fonksiyondur. f() ve f () olduğuna göre, f() değeri kaçtır? A) 6 B) C) D) E) 8. g(x ) (gof) (x) olduğuna göre, f() + f () toplamı kaçtır? A) 8 B) 6 C) D) E) 6. f: (, ] [, ) f(x) x 6x + olduğuna göre, f (6) değeri kaçtır? A) 6 B) C) 0 D) E) x, x # 0. fx () * x, x > 0 olduğuna göre, (fofof)( ) ifadesinin değeri kaçtır? A) B) C) D) E) 6

Matematik(YGS ve LYS) Konu Testi. f {(, ), (, ), (, ), (, )} g {(, ), (, ), (, ), (, )} olduğuna göre, (fog) () + (f. g) () işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 8 C) 9 D) E) 9.. f f p ve g f p olduğuna göre, gof aşağıdakilerden hangisidir? A) f p B) f p C) f D) f p E) f p p Şekilde grafiği verilen y f(x) fonksiyonu ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Tanım kümesi [, 6] dır. B) Görüntü kümesi [, ] tir. C) x < aralığında bire-birdir. D) < x 6 aralığında bire-birdir. E) < x aralığında bire-birdir. 6. A {0,,,, } kümesi üzerinde tanımlanan 0. 0 0 f f p ve g f 0 0 p permütasyon fonksiyonları için f[g ()] değeri kaçtır? Şekilde y f(x) ve y g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. A) 0 B) C) D) E) y f(x) doğrusal bir fonksiyon olduğuna göre, (f og)() + g () işleminin sonucu kaçtır? 7. Şekilde y f(x) ve y g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.. A) B) 0 C) D) E) 6 Buna göre, (fog)() (gof)() işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) C) 0 D) E) 6 6 8. (fofof)(x ) olduğuna göre, x kaçtır? Şekilde y f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. A) B) C) D) E) Şekilde y f(x + ) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, f() + f (0) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 0 D) E) - E - A - E - C - D 6- D 7- A 8- E 9- B 0- E - A - B - B - C - E 6- C 7- A 8- B 9- D 0- E - C

Matematik (YGS ve LYS) İşlem ve Modüler Aritmetik Ýþlem A x A kümesinden B kümesine tanýmlý her fonksiyona, A kümesinde tanýmlý bir ikili iþlem veya kýsaca iþlem denir. Ýþlemler, fonksiyonlarý göstermek için kullanýlan f, g, h gibi harfler yerine, genellikle,,, o, gibi sembollerle gösterilir. Örneðin, f: N x N Z ye tanýmlý, f(x, y) x y + kuralý ile verilen f fonksiyonu, x y x y + biçiminde gösterilir. f(, ). + veya Örnek b a + 8b þeklinde tanýmlanmýþtýr. a Buna göre, A) a iþleminin sonucu kaçtýr? B) C) D) E) a ve b b b a + 8b iþlemine göre, a olur.. + tür. Sonuç olarak f fonksiyonu ( iþlemi) taným kümesindeki (, ) ikilisini deðer kümesindeki elemanýyla eþleþtirmektedir. + 8. bulunur. Örnek YANIT: E Örnek Pozitif tamsayýlar kümesi üzerinde her a, b için; Gerçel (reel) sayýlar kümesi üzerinde iþlemi, a b a b b iþlemi tanýmlanmýþtýr. Buna göre, ( ) iþleminin sonucu kaçtýr? A) 6 B) 69 C) 76 D) 78 E) 79 þeklinde tanýmlanmýþtýr. Buna göre, ( ) ( ) iþleminin sonucu kaçtýr? A) 0 B) C) 8 D) E) 6 Önce parantez içindeki iþleminin sonucu bulunur. iþleminin tanýmýndan,. 6 tür. O halde, ( ) olur. Buradan,. 8 69 bulunur. YANIT: B > olduðundan + 6 dýr. < olduðundan. 6 dýr. Bu iki eþitlikten ( ) ( ) 6 6 olur. 6 6 olduðu için 6 6 6 + 6 bulunur. YANIT: B Örnek Tamsayýlar kümesi üzerinde her x, y için, x y x + y xy iþlemi tanýmlanmýþtýr. 7 m olduðuna göre, m kaçtýr? Örnek x y x. y x. y ve x y x.y x iþlemleri veriliyor. (a ) a 6 olduðuna göre, a kaçtýr? A) B) C) D) E) iþlemine göre eþitliðin iki tarafý ayrý ayrý bulunursa. +. ve 7 m. 7 + m 7m 6m olur. Buradan, 6m m bulunur. YANIT: C A) B) C) D) E) 6 a a. a a olduðundan, (a ) a 6 (a) a 6 dýr. (a) a (a). a a. a a olduðundan, a 6 a bulunur. YANIT: A 7

Matematik(YGS ve LYS) İşlem ve Modüler Aritmetik Örnek 6 Dik koordinat düzleminin noktalarý üzerinde bir iþlemi, (a, b) (c, d) (ac bd, ad + bc) þeklinde tanýmlanýyor. Buna göre, (, ) (x, y) (7, ) eþitliðini saðlayan (x, y) ikilisi aþaðýdakilerden hangisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) iþleminin deðiþme özeliði olduðundan, her a ve b gerçel sayýlarý için a b b a dýr. Verilen eþitlikte b a yerine a b yazýlýrsa, a b a + b (a b) olur. bulunur. + Bu eþitlikten, ( ) sonucu elde edilir. YANIT: A (, ) (x, y) (7, ) eþitliðinde (x y, y + x) (7, ) olduðundan x y 7 ve y + x bulunur. Bu iki denklemin ortak çözümü yapýlýrsa x ve y olur. Buna göre, (x, y) ikilisi (, ) bulunur. YANIT: A Ýþlemin Özelikleri. Kapalýlýk Özeliði, A kümesinde tanýmlý bir iþlem olsun. Her x, y A için (x y) A ise, A kümesi iþlemine göre kapalýdýr.. Birleþme Özeliði, A kümesinde tanýmlý bir iþlem olsun. Her x, y, z A için, x (y z) (x y) z ise iþleminin birleþme özeliði vardýr. Toplama ve çarpma iþlemlerinin birleþme özeliði vardýr. Çýkarma ve bölme iþlemlerinin birleþme özeliði yoktur. Ýki doðal sayýnýn toplamý daima bir doðal sayý olduðundan, doðal sayýlar kümesi toplama iþlemine göre kapalýdýr. Ýki doðal sayýnýn farký her zaman bir doðal sayý olmayacaðý için, doðal sayýlar kümesi çýkarma iþlemine göre kapalý deðildir.. Deðiþme Özeliði, A kümesinde tanýmlý bir iþlem olsun. Her x, y A için x y y x ise iþleminin deðiþme özeliði vardýr.. Birim (Etkisiz) Eleman, A kümesinde tanýmlý bir iþlem olsun. Her x A için, x e e x x eþitliðini saðlayan bir e A varsa, e elemanýna iþleminin birim (etkisiz) elemaný denir. Bir iþlemin birim elemaný varsa, bir tanedir. Toplama iþleminin birim elemaný 0 (sýfýr), çarpma iþleminin birim elemaný dir. Çýkarma ve bölme iþlemlerinin birim elemaný yoktur. Toplama ve çarpma iþlemlerinin deðiþme özeliði vardýr. Çýkarma ve bölme iþlemlerinin deðiþme özeliði yoktur. Örneðin, Örnek 8 a b a + b + a. b + 6 iþlemi veriliyor. a b a + b.a.b iþleminin deðiþme özeliði vardýr. b a b + a.b.a olduðundan, a b b a dýr. Örnek 7 Gerçel sayýlar kümesi üzerinde deðiþme özeliði olan, a b a + b (b a) iþlemi tanýmlanmýþtýr. Buna göre, ( ) iþleminin sonucu kaçtýr? A) B) C) D) E) Buna göre, iþleminin birim elemaný kaçtýr? A) B) C) D) E) iþleminin deðiþme özeliði olduðu için a e a eþitliðinden birim eleman bulunabilir. a e a a + e + a. e + 6 a e( + a) 6 a 6 a ( + a) e + a + a bulunur. YANIT: B 8

İşlem ve Modüler Aritmetik Matematik(YGS ve LYS) Örnek 9 a b a + b a. b iþlemi veriliyor. Bu iþleme göre, in tersi kaçtýr? A) B) C) D) E). Bir Elemanýn Tersi, A kümesinde tanýmlý bir iþlem ve e, iþleminin birim elemaný olsun. Her x A için, x x x x e eþitliðini saðlayan bir x A varsa, x elemanýna x in iþlemine göre tersi denir. x ifadesi üslü sayýlardaki gibi anlamýna gelmez. Bir iþleme göre bir elemanýn tersi varsa, bir tanedir. Bir iþleme göre, birim elemanýn tersi daima kendisidir. e e dir. Toplama iþlemine göre, x in tersi x dir. Çarpma iþlemine göre (x 0 için) x in tersi dir. Bir iþleme göre, herhangi bir elemanýn tersini bulmak için önce o iþlemin birim elemanýný bulmak gerekir. a e a a + e a.e a e( a) a e bulunur. Örnek a b a + b ab iþlemi veriliyor. iþlemine göre, tersi kendisine eþit olan elemanlarýn toplamý kaçtýr? A) B) C) D) E) Önce iþleminin birim elemanýný bulalým. a e a a + e ae a e( a) a a e bulunur. a a a e olduðunu biliyoruz. Tersi kendisine eþit olan eleman a ise a a dýr. Öyleyse a a e olmalýdýr. a + a a. a a 6a + 0 (a ) (a ) 0 a veya a olur. ve nin tersi kendisine eþit olduðundan, + tür. YANIT: D 6. Yutan Eleman, A kümesinde tanýmlý bir iþlem olsun. Her x A için x m m x m eþitliðini saðlayan bir m A varsa, m ye iþleminin yutan elemaný denir. Bir iþlemin yutan elemaný varsa, bir tanedir. Bir iþlemin yutan elemaný varsa, yutan elemanýn bu iþleme göre tersi yoktur. Çarpma iþleminin yutan elemaný sýfýrdýr. Toplama, çýkarma ve bölme iþlemlerinin yutan elemaný yoktur. in iþlemine göre tersini ile gösterelim.. +.. 7 bulunur. Örnek 0 a b a + b iþlemi veriliyor. YANIT: E Örnek x + y xy + x y iþlemi veriliyor. Buna göre, iþleminin yutan elemaný kaçtýr? Buna göre, a eþitliðinde a kaçtýr? A) B) C) D) E) iþleminin birim elemaný e olsun. iþleminin deðiþme özeliði olduðu için; x x e ve a e a dýr. a eþitliðin iki tarafý ile iþleme girdi. a e olduðundan a e a a + olur. YANIT: A A) B) C) iþleminin yutan elemaný m olsun. D) E) x + m xm+ x m m m x m xm + 0 x + m( + x) 0 (x + ). ( m) 0 m bulunur. YANIT: D 9