A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem denir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 1/ 26
A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem denir. x 2 y + 2xy + 3y = cos x ikinci mertebeden lineer, homogen olmayan bir denklem, Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 1/ 26
A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem denir. x 2 y + 2xy + 3y = cos x ikinci mertebeden lineer, homogen olmayan bir denklem, x 2 y + 2xy + 3y = 0 ise bununla ilgili olan ikinci mertebeden lineer homogen denklemlerdir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 1/ 26
İkinci Mertebeden Lineer Homogen Denklemler İkinci mertebeden genel lineer A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) diferansiyel denklemi ele alalım. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 2/ 26
İkinci Mertebeden Lineer Homogen Denklemler İkinci mertebeden genel lineer A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) diferansiyel denklemi ele alalım.burada A(x), B(x), C(x) ve F (x) fonksiyonları I da sürekli ve x I A(x) 0 dır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 2/ 26
İkinci Mertebeden Lineer Homogen Denklemler İkinci mertebeden genel lineer A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) diferansiyel denklemi ele alalım.burada A(x), B(x), C(x) ve F (x) fonksiyonları I da sürekli ve x I A(x) 0 dır.yukarıdaki denklemin her iki tarafı A(x) e bölünürse, denklem biçiminde ifade edilebilir. y + p(x)y + q(x)y = f(x) (1) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 2/ 26
İkinci Mertebeden Lineer Homogen Denklemler İkinci mertebeden genel lineer A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) diferansiyel denklemi ele alalım.burada A(x), B(x), C(x) ve F (x) fonksiyonları I da sürekli ve x I A(x) 0 dır.yukarıdaki denklemin her iki tarafı A(x) e bölünürse, denklem biçiminde ifade edilebilir. İlk olarak (5) ile ilgili olan homogen denklemi inceleyeceğiz. y + p(x)y + q(x)y = f(x) (1) y + p(x)y + q(x)y = 0 (2) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 2/ 26
y + p(x)y + q(x)y = 0 (7) Teorem: (Superposition prensibi) y 1 ve y 2, (7) ile verilen homogen denklemin I aralığı üzerinde iki çözümü olsun, C 1 ve C 2 keyfi sabitler olmak üzere, y = C 1 y 1 + C 2 y 2 (3) ifadeside (7) ile verilen denklemin I aralığı üzerinde bir çözümüdür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 3/ 26
y 1 (x) = cos x ve y 2 (x) = sin x fonksiyonlarının y + y = 0 denkleminin çözümleri oldukları kolaylıkla görülebilir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 4/ 26
fonksiyonlarının y 1 (x) = cos x ve y 2 (x) = sin x y + y = 0 denkleminin çözümleri oldukları kolaylıkla görülebilir.teorem, bu çözümlerin örneğin; y(x) = 3y 1 (x) 2y 2 (x) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 4/ 26
fonksiyonlarının y 1 (x) = cos x ve y 2 (x) = sin x y + y = 0 denkleminin çözümleri oldukları kolaylıkla görülebilir.teorem, bu çözümlerin örneğin; y(x) = 3y 1 (x) 2y 2 (x) = 3 cos x 2 sin x gibi herhangi bir lineer birleşimininde denklemin bir çözümü olduğunu belirtir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 4/ 26
fonksiyonlarının y 1 (x) = cos x ve y 2 (x) = sin x y + y = 0 denkleminin çözümleri oldukları kolaylıkla görülebilir.teorem, bu çözümlerin örneğin; y(x) = 3y 1 (x) 2y 2 (x) = 3 cos x 2 sin x gibi herhangi bir lineer birleşimininde denklemin bir çözümü olduğunu belirtir. Tersine, y + y = 0 denkleminin her bir çözümünün, bu denklemin y 1 ve y 2 özel çözümlerinin bir lineer birleşimi olduğunu ilerde göreceğiz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 4/ 26
Teorem: (Varlık ve Teklik) p,q ve f fonksiyonları a noktasını içeren bir I aralığı üzerinde sürekli olsun. Bu takdirde, b 0 ve b 1 verilen sabitler olmak üzere denklemi, I aralığının tamamında, y + p(x)y + q(x)y = f(x) (6) y(a) = b 0, y (a) = b 1 başlangış koşullarını sağlayan bir tek (bir ve yalnız bir) çözüme sahiptir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 5/ 26
y + y = 0 y(0) = 3, y (0) = 2 başlangıç değer probleminin çözümünü bulalım. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 6/ 26
y(0) = 3, y + y = 0 y (0) = 2 başlangıç değer probleminin çözümünü bulalım. ÇÖZÜM Bir önceki örnekte y(x) = C 1 cos x + C 2 sin x (tüm reel eksen üzerinde) y + y = 0 denkleminin çözümü olduğunu söylemiştik. (Teorem yardımıyla) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 6/ 26
Başlangıç koşullarından y(0) = C 1 cos 0 + C 2 sin 0 = C 1 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 7/ 26
Başlangıç koşullarından y(0) = C 1 cos 0 + C 2 sin 0 = C 1 ve y (0) = C 1 sin 0 + C 2 cos 0 = C 2 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 7/ 26
Başlangıç koşullarından y(0) = C 1 cos 0 + C 2 sin 0 = C 1 ve y (0) = C 1 sin 0 + C 2 cos 0 = C 2 C 1 = 3 ve C 2 = 2 bulunur. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 7/ 26
Başlangıç koşullarından ve y(0) = C 1 cos 0 + C 2 sin 0 = C 1 y (0) = C 1 sin 0 + C 2 cos 0 = C 2 C 1 = 3 ve C 2 = 2 bulunur. Sonuç olarak başlangıç değer problemimizin çözümü dür. y(x) = 3 cos x 2 sin x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 7/ 26
Başlangıç koşullarından ve y(0) = C 1 cos 0 + C 2 sin 0 = C 1 y (0) = C 1 sin 0 + C 2 cos 0 = C 2 C 1 = 3 ve C 2 = 2 bulunur. Sonuç olarak başlangıç değer problemimizin çözümü dür. y(x) = 3 cos x 2 sin x Görüldüğü gibi keyfi sabitler basit bir lineer denklem sisteminden bulunabilmektedir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 7/ 26
y 2y + y = 0 y(0) = 3, y (0) = 1 başlangıç değer probleminin çözümünü bulalım. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 8/ 26
y 2y + y = 0 y(0) = 3, y (0) = 1 başlangıç değer probleminin çözümünü bulalım. ÇÖZÜM y 1 (x) = e x ve y 2 (x) = 2e x (tüm reel eksen üzerinde) y 2y + y = 0 denkleminin çözümleri olduğu kolaylıkla görülebilir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 8/ 26
y 2y + y = 0 y(0) = 3, y (0) = 1 başlangıç değer probleminin çözümünü bulalım. ÇÖZÜM y 1 (x) = e x ve y 2 (x) = 2e x (tüm reel eksen üzerinde) y 2y + y = 0 denkleminin çözümleri olduğu kolaylıkla görülebilir. Teorem yardımıyla y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) = c 1 e x + c 2 2e x fonksiyonunda denklemimizin bir çözümü olduğunu söyleyebilir ve başlangıç koşullarını sağlayan c 1 ve c 2 yi bulabilirsek başlangıç değer problemimizi çözümünü bulmuş oluruz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 8/ 26
Başlangıç koşullarından y(0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26
Başlangıç koşullarından y(0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 3 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26
Başlangıç koşullarından y(0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 3 ve y (0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26
Başlangıç koşullarından y(0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 3 ve y (0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 1 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26
Başlangıç koşullarından y(0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 3 ve y (0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 1 Çözümü olmayan (sağlayan c 1 ve c 2 nin bulunamayacağı) c 1 + 2c 2 = 3 c 1 + 2c 2 = 1 denklem sistemi gelir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26
Başlangıç koşullarından y(0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 3 ve y (0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 1 Çözümü olmayan (sağlayan c 1 ve c 2 nin bulunamayacağı) c 1 + 2c 2 = 3 c 1 + 2c 2 = 1 denklem sistemi gelir. Çözümlerimizin nasıl fonksiyonlar olması durumunda başlangıç koşulları yardımıyla kefilerimizi (c 1 ve c 2 ) bulabileceğimizi görelim. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26
TANIM y 1 (x) ve y 2 (x) fonksiyonları bir [a, b] kapalı aralığında reel değerli ve türevlenebilir fonksiyonlar olsun y 1 (x) y 1 (x) y 2 (x) y 2 (x) determinantı y 1 (x) ve y 2 (x) fonksiyonlarının Wronskiyeni olarak adlandırılır. W (y 1 (x), y 2 (x)) olarak gösterilir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 10/ 26
Teorem y 1 (x) ve y 2 (x) fonksiyonları bir [a, b] kapalı aralığında sürekli türevlenebilir fonksiyonlar olsun ve [a, b] kapalı aralığındaki bir x 0 için W [y 1 (x), y 2 (x)](x 0 ) 0 ise y 1 (x) ve y 2 (x) fonksiyonları lineer bağımsızdır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 11/ 26
Teorem y 1 (x) ve y 2 (x) fonksiyonları bir [a, b] kapalı aralığında sürekli türevlenebilir fonksiyonlar olsun ve [a, b] kapalı aralığındaki bir x 0 için W [y 1 (x), y 2 (x)](x 0 ) 0 ise y 1 (x) ve y 2 (x) fonksiyonları lineer bağımsızdır. y 1 (x) = e x ve y 2 (x) = e x fonksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) = ex e x e x e x = 2 0 y 1 (x) = e x ve y 2 (x) = e x fonksiyonları lineer(doğrusal) bağımsızdır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 11/ 26
y 1 (x) = sin x ve y 2 (x) = cos x fonksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) = sin x cos x cos x sin x = 1 0 y 1 (x) = sin x ve y 2 (x) = cos x fonksiyonları doğrusal bağımsızdır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 12/ 26
TEOREM p ve q fonksiyonları açık bir I aralığı üzerinde sürekli olmak üzere y 1 ve y 2 y + p(x)y + q(x)y = 0 homogen denkleminin doğrusal bağımsız iki çözümü olsun. c 1 ve c 2 keyfi sabitler olmak üzere genel çözümdür. Y (x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 13/ 26
İKİNCİ MERTEBEDEN SABİT KATSAYILI LİNEER DENKLEMLER Bu bölümde a, b ve c sabitler olmak üzere diferansiyel denklemi ele alınacaktır. ay + by + cy = 0 (4) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 14/ 26
İKİNCİ MERTEBEDEN SABİT KATSAYILI LİNEER DENKLEMLER Bu bölümde a, b ve c sabitler olmak üzere diferansiyel denklemi ele alınacaktır. ay + by + cy = 0 (4) Denkleme baktığımızda aradığımız fonksiyonun türevlerinin belirli sabitlerle çarpılıp toplandığında 0 elde edildiğini görürüz. Türevleri kendisinin katı olan fonksiyon bu denklemi sağlayacaktır. Bu özelliği e rx üstel fonksiyonu taşır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 14/ 26
y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26
y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx y (x) = re rx Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26
y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx y (x) = re rx y (x) = r 2 e rx ay + by + cy = 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26
y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx y (x) = re rx y (x) = r 2 e rx ay + by + cy = 0 ar 2 e rx + bre rx + ce rx = 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26
y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx y (x) = re rx y (x) = r 2 e rx ay + by + cy = 0 ar 2 e rx + bre rx + ce rx = 0 (ar 2 + br + c)e rx = 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26
y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx y (x) = re rx y (x) = r 2 e rx ay + by + cy = 0 ar 2 e rx + bre rx + ce rx = 0 (ar 2 + br + c)e rx = 0 çarpanlarımızdan e rx fonksiyonu 0 olamıyacağı için ar 2 + br + c ikinci derece polinomu 0 olmalıdır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26
y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx y (x) = re rx y (x) = r 2 e rx ay + by + cy = 0 ar 2 e rx + bre rx + ce rx = 0 (ar 2 + br + c)e rx = 0 çarpanlarımızdan e rx fonksiyonu 0 olamıyacağı için ar 2 + br + c ikinci derece polinomu 0 olmalıdır.bu polinomun köklerini bulabilirsek y(x) = e rx fonksiyonu denklem (1) in bir çözümü olacaktır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26
y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx 5re rx Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx 5re rx + 6e rx = 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx 5re rx + 6e rx = 0 bulunur. (r 2 5r + 6)e rx = 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx 5re rx + 6e rx = 0 (r 2 5r + 6)e rx = 0 bulunur. r 2 5r + 6 polinomunun kökleri r = 2 ve r = 3 tür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx 5re rx + 6e rx = 0 (r 2 5r + 6)e rx = 0 bulunur. r 2 5r + 6 polinomunun kökleri r = 2 ve r = 3 tür. Bir çözüm ararken y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x gibi iki çözüm bulduk. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx 5re rx + 6e rx = 0 (r 2 5r + 6)e rx = 0 bulunur. r 2 5r + 6 polinomunun kökleri r = 2 ve r = 3 tür. Bir çözüm ararken y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x gibi iki çözüm bulduk. Eğer bu fonksiyonlar doğrusal bağımsız ise genel çözümümüzü y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x foksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 17/ 26
y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x foksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 17/ 26
y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x foksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) = e2x e 3x 2e 2x 3e 3x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 17/ 26
y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x foksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) = e2x e 3x 2e 2x W (y 1 (x), y 2 (x)) = 3e 5x 2e 5x = e 5x 3e 3x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 17/ 26
y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x foksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) = e2x e 3x 2e 2x W (y 1 (x), y 2 (x)) = 3e 5x 2e 5x = e 5x 3e 3x Hiç bir reel sayı için Wronskiyen 0 olamıyacağı için bu iki fonksiyon doğrusal bağımsızdır ve denklemimizi genel çözümü bu iki fonksiyonun lineer kombinasyonu şeklinde yazılabilir. y(x) = c 1 e 2x + c 2 e 3x şeklinde genel çözümümüzü bulmuş oluruz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 17/ 26
ar 2 + br + c = 0 denklemine ay + by + cy = 0 (1) denkleminin karakteristik denklemi denir. Eğer r 1 ve r 2 karakteristik denklemin reel ve farklı iki kökü ise, y(x) = c 1 e r1x + c 2 e r 2x fonksiyonu denklem (1) in genel çözümüdür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 18/ 26
2y 7y + 3y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26
2y 7y + 3y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 2r 2 7r + 3 = 0 dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26
2y 7y + 3y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 2r 2 7r + 3 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26
2y 7y + 3y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 2r 2 7r + 3 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 1/2 ve r 2 = 3 tür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26
2y 7y + 3y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 2r 2 7r + 3 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 1/2 ve r 2 = 3 tür. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26
2y 7y + 3y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 2r 2 7r + 3 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 1/2 ve r 2 = 3 tür. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü y(x) = c 1 e 1 2 x + c 2 e 3x olarak yazılır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26
y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26
y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r = 0 dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26
y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26
y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 0 ve r 2 = 2 dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26
y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 0 ve r 2 = 2 dir. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26
y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 0 ve r 2 = 2 dir. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü y(x) = c 1 e 0x + c 2 e 2x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26
y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 0 ve r 2 = 2 dir. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü y(x) = c 1 e 0x + c 2 e 2x = c 1 + c 2 e 2x olarak yazılır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26
ay + by + cy = 0 (1) Eğer karakteristik denklem r 1 = r 2 gibi eşit iki reel köke sahip ise, y(x) = (c 1 + c 2 x)e r 1x fonksiyonu denklem (1) in genel çözümüdür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 21/ 26
9y 12y + 4y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26
9y 12y + 4y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 9r 2 12r + 4 = 0 dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26
9y 12y + 4y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 9r 2 12r + 4 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26
9y 12y + 4y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 9r 2 12r + 4 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = r 2 = 2 3 dür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26
9y 12y + 4y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 9r 2 12r + 4 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = r 2 = 2 3 dür. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26
9y 12y + 4y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 9r 2 12r + 4 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = r 2 = 2 3 dür. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü y(x) = (c 1 + c 2 x)e 2 3 x olarak yazılır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26
y + 2y + y = 0 y(0) = 5, y (0) = 3 başlangıç değer problemini çözünüz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26
y + 2y + y = 0 y(0) = 5, y (0) = 3 başlangıç değer problemini çözünüz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r + 1 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26
y + 2y + y = 0 y(0) = 5, y (0) = 3 başlangıç değer problemini çözünüz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r + 1 = (r + 1) 2 = 0 dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26
y + 2y + y = 0 y(0) = 5, başlangıç değer problemini çözünüz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz y (0) = 3 r 2 + 2r + 1 = (r + 1) 2 = 0 dir. Dolayısıyla karakteristik denklemimizin kökleri birbirine eşit ve r 1 = r 2 = 1 dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26
y + 2y + y = 0 y(0) = 5, başlangıç değer problemini çözünüz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz y (0) = 3 r 2 + 2r + 1 = (r + 1) 2 = 0 dir. Dolayısıyla karakteristik denklemimizin kökleri birbirine eşit ve r 1 = r 2 = 1 dir. Denklemimizin genel çözümü Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26
y + 2y + y = 0 y(0) = 5, başlangıç değer problemini çözünüz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz y (0) = 3 r 2 + 2r + 1 = (r + 1) 2 = 0 dir. Dolayısıyla karakteristik denklemimizin kökleri birbirine eşit ve r 1 = r 2 = 1 dir. Denklemimizin genel çözümü olarak yazılır. y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26
y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 ve y (x) = c 1 e x + c 2 e x c 2 xe x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 ve y (x) = c 1 e x + c 2 e x c 2 xe x y (0) = c 1 e 0 + c 2 e 0 c 2 0e x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 ve y (x) = c 1 e x + c 2 e x c 2 xe x y (0) = c 1 e 0 + c 2 e 0 c 2 0e x = c 1 + c 2 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 ve y (x) = c 1 e x + c 2 e x c 2 xe x y (0) = c 1 e 0 + c 2 e 0 c 2 0e x = c 1 + c 2 = 3 Bu iki denklemden Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 ve y (x) = c 1 e x + c 2 e x c 2 xe x y (0) = c 1 e 0 + c 2 e 0 c 2 0e x = c 1 + c 2 = 3 Bu iki denklemden c 1 = 5 ve c 2 = 2 değerlerine ulaşırız. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 ve y (x) = c 1 e x + c 2 e x c 2 xe x y (0) = c 1 e 0 + c 2 e 0 c 2 0e x = c 1 + c 2 = 3 Bu iki denklemden c 1 = 5 ve c 2 = 2 değerlerine ulaşırız. Sonuç olarak çözümümüz y(x) = (5 + 2x)e x tür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
ay + by + cy = 0 (1) Eğer karakteristik denklemin a ib, (b 0) gibi kompleks eşlenik iki köke sahip ise, y(x) = e ax (c 1 cos (bx) + c 2 sin (bx)) fonksiyonu denklem (1) in genel çözümüdür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 25/ 26
y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26
y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 4r + 5 = 0 dır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26
y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 4r + 5 = 0 dır. = b 2 4ac Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26
y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 4r + 5 = 0 dır. = b 2 4ac = ( 4) 2 4.1.5 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26
y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 4r + 5 = 0 dır. = b 2 4ac = ( 4) 2 4.1.5 = 4 < 0 olduğu için karakteristik denklemin reel kökü yoktur. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26
y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 4r + 5 = 0 dır. = b 2 4ac = ( 4) 2 4.1.5 = 4 < 0 olduğu için karakteristik denklemin reel kökü yoktur. Kompleks köklerimiz 2 i dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26
y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 4r + 5 = 0 dır. = b 2 4ac = ( 4) 2 4.1.5 = 4 < 0 olduğu için karakteristik denklemin reel kökü yoktur. Kompleks köklerimiz 2 i dir. Böylece genel çözümümüz şeklinde yazılabilir. y(x) = e 2x (c 1 cos x + c 2 sin x) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26