Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

(Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini içeren denklemlere diferansiyel denklem denir.

(Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini içeren denklemlere diferansiyel denklem denir. Bağımlı ve bağımsız değişkeni tek olan diferansiyel denklemlere adi diferansiyel denklem denir.

(Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini içeren denklemlere diferansiyel denklem denir. Bağımlı ve bağımsız değişkeni tek olan diferansiyel denklemlere adi diferansiyel denklem denir. Bu ders süresinde Diferensiyel Denklem ifadesi Adi Denklem anlamında kullanılacaktır.

(Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini içeren denklemlere diferansiyel denklem denir. Bağımlı ve bağımsız değişkeni tek olan diferansiyel denklemlere adi diferansiyel denklem denir. Bu ders süresinde Diferensiyel Denklem ifadesi Adi Denklem anlamında kullanılacaktır. n. inci merteben lineer diferansiyel denklem

(Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini içeren denklemlere diferansiyel denklem denir. Bağımlı ve bağımsız değişkeni tek olan diferansiyel denklemlere adi diferansiyel denklem denir. Bu ders süresinde Diferensiyel Denklem ifadesi Adi Denklem anlamında kullanılacaktır. n. inci merteben lineer diferansiyel denklem, y bağımlı ve x bağımsız değişkeni ile a 0 0 olmak üzere;

(Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini içeren denklemlere diferansiyel denklem denir. Bağımlı ve bağımsız değişkeni tek olan diferansiyel denklemlere adi diferansiyel denklem denir. Bu ders süresinde Diferensiyel Denklem ifadesi Adi Denklem anlamında kullanılacaktır. n. inci merteben lineer diferansiyel denklem, y bağımlı ve x bağımsız değişkeni ile a 0 0 olmak üzere; biçimindedir. a 0 (x) dn y dx n + a 1(x) dn 1 y dx n 1 +... + a n 1(x) dy + an(x)y = b(x) (1) dx

Birinci Mertebeden Denklem Basit formda y bağımlı x bağımsız değişkenleri ile birinci mertebeden diferansiyel denklem

Birinci Mertebeden Denklem Basit formda y bağımlı x bağımsız değişkenleri ile birinci mertebeden diferansiyel denklem; dy = f (x, y) (2) dx biçiminde yazılabilirdir. Bu formda yazılan diferansiyel denklemler lineer olmak zorunda değildir.

Birinci Mertebeden Denklem Basit formda y bağımlı x bağımsız değişkenleri ile birinci mertebeden diferansiyel denklem; dy = f (x, y) (2) dx biçiminde yazılabilirdir. Bu formda yazılan diferansiyel denklemler lineer olmak zorunda değildir. Bir diferansiyel denklemde kendisi ve türevleri yerine yazıldığında diferansiyel denklemi özdeş olarak sağlayan, I aralığında tanımlı bir y = F (x) fonksiyonuna diferansiyel denklemin çözümü denir.

Birinci Mertebeden Denklem Basit formda y bağımlı x bağımsız değişkenleri ile birinci mertebeden diferansiyel denklem; dy = f (x, y) (2) dx biçiminde yazılabilirdir. Bu formda yazılan diferansiyel denklemler lineer olmak zorunda değildir. Bir diferansiyel denklemde kendisi ve türevleri yerine yazıldığında diferansiyel denklemi özdeş olarak sağlayan, I aralığında tanımlı bir y = F (x) fonksiyonuna diferansiyel denklemin çözümü denir. y = F (x) fonksiyonunun grafiği integral eğrisi adını alır.

Birinci Mertebeden Denklem Basit formda y bağımlı x bağımsız değişkenleri ile birinci mertebeden diferansiyel denklem; dy = f (x, y) (2) dx biçiminde yazılabilirdir. Bu formda yazılan diferansiyel denklemler lineer olmak zorunda değildir. Bir diferansiyel denklemde kendisi ve türevleri yerine yazıldığında diferansiyel denklemi özdeş olarak sağlayan, I aralığında tanımlı bir y = F (x) fonksiyonuna diferansiyel denklemin çözümü denir. y = F (x) fonksiyonunun grafiği integral eğrisi adını alır. Bir diferansiyel denklemin çözümü y = f (x) biçiminde ifade edilebiliyorsa

Birinci Mertebeden Denklem Basit formda y bağımlı x bağımsız değişkenleri ile birinci mertebeden diferansiyel denklem; dy = f (x, y) (2) dx biçiminde yazılabilirdir. Bu formda yazılan diferansiyel denklemler lineer olmak zorunda değildir. Bir diferansiyel denklemde kendisi ve türevleri yerine yazıldığında diferansiyel denklemi özdeş olarak sağlayan, I aralığında tanımlı bir y = F (x) fonksiyonuna diferansiyel denklemin çözümü denir. y = F (x) fonksiyonunun grafiği integral eğrisi adını alır. Bir diferansiyel denklemin çözümü y = f (x) biçiminde ifade edilebiliyorsaaçık çözüm, F (x, y) = 0 ile ifade edilebiliyorsa

Birinci Mertebeden Denklem Basit formda y bağımlı x bağımsız değişkenleri ile birinci mertebeden diferansiyel denklem; dy = f (x, y) (2) dx biçiminde yazılabilirdir. Bu formda yazılan diferansiyel denklemler lineer olmak zorunda değildir. Bir diferansiyel denklemde kendisi ve türevleri yerine yazıldığında diferansiyel denklemi özdeş olarak sağlayan, I aralığında tanımlı bir y = F (x) fonksiyonuna diferansiyel denklemin çözümü denir. y = F (x) fonksiyonunun grafiği integral eğrisi adını alır. Bir diferansiyel denklemin çözümü y = f (x) biçiminde ifade edilebiliyorsaaçık çözüm, F (x, y) = 0 ile ifade edilebiliyorsa kapalı çözüm adını alır.

Birinci Mertebe Denklem Örnek y = xe x fonksiyonu, (, ) aralığında y 2y + y = 0 denkleminin çözümüdür. x R için,

Birinci Mertebe Denklem Örnek y = xe x fonksiyonu, (, ) aralığında y 2y + y = 0 denkleminin çözümüdür. x R için, y = xe x + e x

Birinci Mertebe Denklem Örnek y = xe x fonksiyonu, (, ) aralığında y 2y + y = 0 denkleminin çözümüdür. x R için, y = xe x + e x ve y = xe x + 2e x

Birinci Mertebe Denklem Örnek y = xe x fonksiyonu, (, ) aralığında y 2y + y = 0 denkleminin çözümüdür. x R için, y = xe x + e x ve y = xe x + 2e x denklemde yerine yazılırsa

Birinci Mertebe Denklem Örnek y = xe x fonksiyonu, (, ) aralığında y 2y + y = 0 denkleminin çözümüdür. x R için, y = xe x + e x ve y = xe x + 2e x denklemde yerine yazılırsa y 2y + y = (xe x + 2e x ) 2(xe x + e x ) + (xe x ) = 0

Birinci Mertebe Denklem Örnek y = xe x fonksiyonu, (, ) aralığında y 2y + y = 0 denkleminin çözümüdür. x R için, y = xe x + e x ve y = xe x + 2e x denklemde yerine yazılırsa y 2y + y = (xe x + 2e x ) 2(xe x + e x ) + (xe x ) = 0 denklemi özdeş olarak sağlar. Örnek dy = 2x denkleminin çözümü nedir? Çözüm: dx

Birinci Mertebe Denklem Örnek y = xe x fonksiyonu, (, ) aralığında y 2y + y = 0 denkleminin çözümüdür. x R için, y = xe x + e x ve y = xe x + 2e x denklemde yerine yazılırsa y 2y + y = (xe x + 2e x ) 2(xe x + e x ) + (xe x ) = 0 denklemi özdeş olarak sağlar. Örnek dy = 2x denkleminin çözümü nedir? Çözüm: dx dy = 2xdx y(x) = x 2 + c, c sabit

Birinci Mertebe Denklem Örnek y = xe x fonksiyonu, (, ) aralığında y 2y + y = 0 denkleminin çözümüdür. x R için, y = xe x + e x ve y = xe x + 2e x denklemde yerine yazılırsa y 2y + y = (xe x + 2e x ) 2(xe x + e x ) + (xe x ) = 0 denklemi özdeş olarak sağlar. Örnek dy = 2x denkleminin çözümü nedir? Çözüm: dx dy = 2xdx y(x) = x 2 + c, c sabit Bu çözüm ne ifade eder?

Farklı c değerleri için y(x) = x 2 + c y 6 4 2 4 3 2 1 1 2 3 2 x 4 6

Çözüm Çeşitleri c 1, c 2,..., c n birbirinden bağımsız keyfi sabitler ile F (x, y, c 1, c 2,..., c n) bağıntısı ile tanımlanan n parametreli bir fonksiyon ailesi f (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 eşitliği ile verilen bir diferansiyel denklemi çözüyorsa, bu çözüm genel çözüm olarak adlandırılır.

Çözüm Çeşitleri c 1, c 2,..., c n birbirinden bağımsız keyfi sabitler ile F (x, y, c 1, c 2,..., c n) bağıntısı ile tanımlanan n parametreli bir fonksiyon ailesi f (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 eşitliği ile verilen bir diferansiyel denklemi çözüyorsa, bu çözüm genel çözüm olarak adlandırılır. c 1, c 2,..., c n keyfî sabitlerine keyfî değerler verilerek genel çözümden üretilen her bir çözüme özel çözüm denir.

Çözüm Çeşitleri c 1, c 2,..., c n birbirinden bağımsız keyfi sabitler ile F (x, y, c 1, c 2,..., c n) bağıntısı ile tanımlanan n parametreli bir fonksiyon ailesi f (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 eşitliği ile verilen bir diferansiyel denklemi çözüyorsa, bu çözüm genel çözüm olarak adlandırılır. c 1, c 2,..., c n keyfî sabitlerine keyfî değerler verilerek genel çözümden üretilen her bir çözüme özel çözüm denir. Genel çözümdeki c 1, c 2,..., c n keyfî sabitlerine keyfî değerler verilerek bulunamayan ancak denklemi sağlayan çözümlere singüler(tekil) çözüm denir.

Birinci Mertebe de Başlangıç Değer Problemi (BDP) dy = f (x, y) (3) dx diferansiyel denkleminde f, bir D düzleminde x ve y değişkenlerinin sürekli bir fonksiyonu ve (x 0, y 0 ) D olmak üzere; (3) diferansiyel denklemi ile y(x 0 ) = y 0 koşulunun birleştirilmesi ile kurulan probleme birinci mertebeden diferansiyel denklemin başlangıç değer problemi denir.

Birinci Mertebe de Başlangıç Değer Problemi (BDP) dy = f (x, y) (3) dx diferansiyel denkleminde f, bir D düzleminde x ve y değişkenlerinin sürekli bir fonksiyonu ve (x 0, y 0 ) D olmak üzere; (3) diferansiyel denklemi ile y(x 0 ) = y 0 koşulunun birleştirilmesi ile kurulan probleme birinci mertebeden diferansiyel denklemin başlangıç değer problemi denir. Başlangıç değer probleminin çözümü, genel çözümdeki keyfî sabitlerin bulunabilmesi ile TEK olarak bulunabilir. Başlangıç değer problemlerde çözümün tekliği için VARLIK ve TEKLİK teoremi sağlanmalıdır.

Yüksek Mertebeden için Başlangıç Değer Problemi (BDP) Yüksek Mertebe de Başlangıç Değer Problemi:

Yüksek Mertebeden için Başlangıç Değer Problemi (BDP) Yüksek Mertebe de Başlangıç Değer Problemi: y (n) = f (x, y, y,..., y (n 2), y (n 1) ) formunda yazılan n. mertebeden diferansiyle denklemi ve y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1 koşulları ile kurulan probleme yüksek mertebeli denklem için başlangıç değer problemi denir.

Yüksek Mertebeden için Başlangıç Değer Problemi (BDP) Yüksek Mertebe de Başlangıç Değer Problemi: y (n) = f (x, y, y,..., y (n 2), y (n 1) ) formunda yazılan n. mertebeden diferansiyle denklemi ve y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1 koşulları ile kurulan probleme yüksek mertebeli denklem için başlangıç değer problemi denir. n. mertebeden bir denklemin genel çözümü n tane keyfî sabit içerir.

Yüksek Mertebeden için Başlangıç Değer Problemi (BDP) Yüksek Mertebe de Başlangıç Değer Problemi: y (n) = f (x, y, y,..., y (n 2), y (n 1) ) formunda yazılan n. mertebeden diferansiyle denklemi ve y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1 koşulları ile kurulan probleme yüksek mertebeli denklem için başlangıç değer problemi denir. n. mertebeden bir denklemin genel çözümü n tane keyfî sabit içerir. n tane keyfî sabiti bulmak için n tane koşul gereklidir.

Yüksek Mertebeden için Başlangıç Değer Problemi (BDP) Yüksek Mertebe de Başlangıç Değer Problemi: y (n) = f (x, y, y,..., y (n 2), y (n 1) ) formunda yazılan n. mertebeden diferansiyle denklemi ve y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1 koşulları ile kurulan probleme yüksek mertebeli denklem için başlangıç değer problemi denir. n. mertebeden bir denklemin genel çözümü n tane keyfî sabit içerir. n tane keyfî sabiti bulmak için n tane koşul gereklidir. n tane koşul tek noktada verilirse, problem başlangıç değer problemi olur.

Yüksek Mertebeden için Başlangıç Değer Problemi (BDP) Yüksek Mertebe de Başlangıç Değer Problemi: y (n) = f (x, y, y,..., y (n 2), y (n 1) ) formunda yazılan n. mertebeden diferansiyle denklemi ve y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1 koşulları ile kurulan probleme yüksek mertebeli denklem için başlangıç değer problemi denir. n. mertebeden bir denklemin genel çözümü n tane keyfî sabit içerir. n tane keyfî sabiti bulmak için n tane koşul gereklidir. n tane koşul tek noktada verilirse, problem başlangıç değer problemi olur. n tane koşul farklı noktalarda verildiğinde probleme sınır değer problemi (SDP) denir.

Yüksek Mertebeden için Başlangıç Değer Problemi (BDP) Yüksek Mertebe de Başlangıç Değer Problemi: y (n) = f (x, y, y,..., y (n 2), y (n 1) ) formunda yazılan n. mertebeden diferansiyle denklemi ve y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1 koşulları ile kurulan probleme yüksek mertebeli denklem için başlangıç değer problemi denir. n. mertebeden bir denklemin genel çözümü n tane keyfî sabit içerir. n tane keyfî sabiti bulmak için n tane koşul gereklidir. n tane koşul tek noktada verilirse, problem başlangıç değer problemi olur. n tane koşul farklı noktalarda verildiğinde probleme sınır değer problemi (SDP) denir. Birinci mertebe denklemlerde bir tane koşul bulunduğundan, sınır değer problemi kavramı yoktur.

BDP - SDP Örnek dy = 2x diferansiyel denkleminin x = 1 noktasında 4 değerini alan problemin dx çözümü nedir?

BDP - SDP Örnek dy = 2x diferansiyel denkleminin x = 1 noktasında 4 değerini alan problemin dx çözümü nedir? Bu problem, birinci mertebe diferansiyel denklem ve bir koşul içeren bir problemdir.

BDP - SDP Örnek dy = 2x diferansiyel denkleminin x = 1 noktasında 4 değerini alan problemin dx çözümü nedir? Bu problem, birinci mertebe diferansiyel denklem ve bir koşul içeren bir problemdir. Problemin çözümü hem diferansiyel denklemi sağlamalıdır, hem de x = 1 noktasında 4 değerini almalıdır.

BDP - SDP Örnek dy = 2x diferansiyel denkleminin x = 1 noktasında 4 değerini alan problemin dx çözümü nedir? Bu problem, birinci mertebe diferansiyel denklem ve bir koşul içeren bir problemdir. Problemin çözümü hem diferansiyel denklemi sağlamalıdır, hem de x = 1 noktasında 4 değerini almalıdır. Birinci mertebeden başlangıç değer probleminin matematiksel gösterimi;

BDP - SDP Örnek dy = 2x diferansiyel denkleminin x = 1 noktasında 4 değerini alan problemin dx çözümü nedir? Bu problem, birinci mertebe diferansiyel denklem ve bir koşul içeren bir problemdir. Problemin çözümü hem diferansiyel denklemi sağlamalıdır, hem de x = 1 noktasında 4 değerini almalıdır. Birinci mertebeden başlangıç değer probleminin matematiksel gösterimi; Örnek dy dx = 2x y(1) = 4

BDP - SDP Örnek dy = 2x diferansiyel denkleminin x = 1 noktasında 4 değerini alan problemin dx çözümü nedir? Bu problem, birinci mertebe diferansiyel denklem ve bir koşul içeren bir problemdir. Problemin çözümü hem diferansiyel denklemi sağlamalıdır, hem de x = 1 noktasında 4 değerini almalıdır. Birinci mertebeden başlangıç değer probleminin matematiksel gösterimi; Örnek dy dx = 2x y(1) = 4 biçimindedir.

Çözüm dy = 2x denkleminin genel çözümü tek parametreli çözümler ailesi dx olarak, c keyfî sabiti ile y = x 2 + c biçimindedir.

Çözüm dy = 2x denkleminin genel çözümü tek parametreli çözümler ailesi dx olarak, c keyfî sabiti ile y = x 2 + c biçimindedir. Bu çözümde c keyfî bir sabittir ve ek bir koşul olmadığı sürece denklemin genel çözümüdür.

Çözüm dy = 2x denkleminin genel çözümü tek parametreli çözümler ailesi dx olarak, c keyfî sabiti ile y = x 2 + c biçimindedir. Bu çözümde c keyfî bir sabittir ve ek bir koşul olmadığı sürece denklemin genel çözümüdür. Bu ailenin y(1) = 4 koşulunu sağlayan tek çözümü; ile y = x 2 + 3 olarak bulunur. 4 = 1 2 + c c = 3

Çözüm dy = 2x denkleminin genel çözümü tek parametreli çözümler ailesi dx olarak, c keyfî sabiti ile y = x 2 + c biçimindedir. Bu çözümde c keyfî bir sabittir ve ek bir koşul olmadığı sürece denklemin genel çözümüdür. Bu ailenin y(1) = 4 koşulunu sağlayan tek çözümü; 4 = 1 2 + c c = 3 ile y = x 2 + 3 olarak bulunur. Koşulun geometrik anlamı incelenirse; y 6 4 2 4 3 2 1 1 2 3 4 x 2

Yüksek mertebeden denklemlerde de tek çözümlerin varlığı verilen koşullara bağlıdır. Bu koşullara tamamlayıcı koşullar denir.

Yüksek mertebeden denklemlerde de tek çözümlerin varlığı verilen koşullara bağlıdır. Bu koşullara tamamlayıcı koşullar denir. Tamamlayıcı koşullar tek x noktasında verildiğinde problem başlangıç değer problemi adınır alırken;

Yüksek mertebeden denklemlerde de tek çözümlerin varlığı verilen koşullara bağlıdır. Bu koşullara tamamlayıcı koşullar denir. Tamamlayıcı koşullar tek x noktasında verildiğinde problem başlangıç değer problemi adınır alırken; koşullar birden fazla noktada verildiğinde problem sınır değer problemi adını alır.

Yüksek mertebeden denklemlerde de tek çözümlerin varlığı verilen koşullara bağlıdır. Bu koşullara tamamlayıcı koşullar denir. Tamamlayıcı koşullar tek x noktasında verildiğinde problem başlangıç değer problemi adınır alırken; koşullar birden fazla noktada verildiğinde problem sınır değer problemi adını alır. İkinci mertebeden denklem için sınır değer problemine literatürde iki noktalı sınır değer problemi denir. Örnek d 2 y dx 2 + xy = 0 y(1) = 3 y (1) = 2

Yüksek mertebeden denklemlerde de tek çözümlerin varlığı verilen koşullara bağlıdır. Bu koşullara tamamlayıcı koşullar denir. Tamamlayıcı koşullar tek x noktasında verildiğinde problem başlangıç değer problemi adınır alırken; koşullar birden fazla noktada verildiğinde problem sınır değer problemi adını alır. İkinci mertebeden denklem için sınır değer problemine literatürde iki noktalı sınır değer problemi denir. Örnek d 2 y dx 2 + xy = 0 y(1) = 3 y (1) = 2 problemi bir başlangıç değer problemi iken;

Yüksek mertebeden denklemlerde de tek çözümlerin varlığı verilen koşullara bağlıdır. Bu koşullara tamamlayıcı koşullar denir. Tamamlayıcı koşullar tek x noktasında verildiğinde problem başlangıç değer problemi adınır alırken; koşullar birden fazla noktada verildiğinde problem sınır değer problemi adını alır. İkinci mertebeden denklem için sınır değer problemine literatürde iki noktalı sınır değer problemi denir. Örnek d 2 y dx 2 + xy = 0 y(1) = 3 y (1) = 2 problemi bir başlangıç değer problemi iken; Örnek d 2 y dx 2 + xy = 0 y(0) = 1 y (π) = 5

Birinci Mertebe Denklem için Varlık-Teklik Teoremi Teorem dy = f (x, y) (4) dx

Birinci Mertebe Denklem için Varlık-Teklik Teoremi Teorem denkleminde f (x, y) fonksiyonu dy = f (x, y) (4) dx i f (x, y) fonksiyonu xy düzleminin bir D bölgesinde sürekli bir fonksiyon olsun.

Birinci Mertebe Denklem için Varlık-Teklik Teoremi Teorem denkleminde f (x, y) fonksiyonu dy = f (x, y) (4) dx i f (x, y) fonksiyonu xy düzleminin bir D bölgesinde sürekli bir fonksiyon olsun. f ii f (x, y) fonksiyonunun y değişkeni için kısmî türevi y, (x 0, y 0 ) noktasını da içine alan D bölgesinde sürekli olsun.

Birinci Mertebe Denklem için Varlık-Teklik Teoremi Teorem denkleminde f (x, y) fonksiyonu dy = f (x, y) (4) dx i f (x, y) fonksiyonu xy düzleminin bir D bölgesinde sürekli bir fonksiyon olsun. f ii f (x, y) fonksiyonunun y değişkeni için kısmî türevi y, (x 0, y 0 ) noktasını da içine alan D bölgesinde sürekli olsun. Sonuç (4) denkleminin yeterince küçük bir h için x x 0 h aralığında tanımlı koşulunu sağlayan Φ çözümü tektir. Φ(x 0 ) = y 0 (5)