T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Bazı Özel Kısmı Türevli Diferansiyel Denlemlerin Gezen Dalga Çözümleri İbraim ÇAĞLAR YÜKSEK LİSANS Matemati Anabilim Dalını Ağustos - KONYA Her Haı Salıdır

TEZ KABUL VE ONAYI İbraim ÇAĞLAR tarafından azırlanan Bazı Özel Kısmı Türevli Diferansiyel Denlemlerin Gezen Dalga Çözümleri adlı tez çalışması 4/9/ tariinde aşağıdai jüri tarafından oy birliği ile Selçu Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matemati Anabilim Dalı nda YÜKSEK LİSANS olara abul edilmiştir. Jüri Üyeleri İmza Başan Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Danışman Doç. Dr. Yıldıray KESKİN Üye Doç. Dr. Beir ÇAKIR Yuarıdai sonucu onaylarım. Prof. Dr. Aşır GENÇ FBE Müdürü

TEZ BİLDİRİMİ Bu tezdei bütün bilgilerin eti davranış ve aademi urallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım urallarına uygun olara azırlanan bu çalışmada bana ait olmayan er türlü ifade ve bilginin aynağına esisiz atıf yapıldığını bildiririm. DECLARATION PAGE I ereby declare tat all information in tis document as been obtained and presented in accordance wit academic rules and etical conduct. I also declare tat, as required by tese rules and conduct, I ave fully cited and referenced all material and results tat are not original to tis wor. İbraim ÇAĞLAR

ÖZET YÜKSEK LİSANS BAZI ÖZEL KISMI TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN GEZEN DALGA ÇÖZÜMLERİ İbraim ÇAĞLAR Selçu Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matemati Anabilim Dalı Danışman: Doç. Dr. Yıldıray KESKİN, 33 Sayfa Jüri Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Doç. Dr. Yıldıray KESKİN Doç. Dr. Beir ÇAKIR Bilgisayarların esaplama biliminde etin ve etili ullanılması ile birlite ısmı türevli diferansiyel denlemlerin çözümünü elde etme için literatürde birço yöntem tanıtılmıştır. Bu yöntemlerin bazıları analiti yöntem çözümü elde ederen bazıları algoritma tabanlı yalaşı çözümü veren yöntemlerdir. Kısmı türevli diferansiyel denlemlerin gezen dalga çözümleri elde ediliren en ço ullanılan yöntemler iperboli tanjant yöntemidir. Bu çalışmada bazı özel ısmı türevli diferansiyel denlemlerin gezen dalga çözümlerin iperboli tanjant yöntemi, çizgiler yöntemi ve indirgenmiş dönüşüm yöntemi ile elde edilere sonuçlar arşılaştırılmıştır. Anatar Kelimeler: Çizgiler Yöntemi, İndirgenmiş Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi, Kısmı Türevli Diferansiyel Denlem, Hiperboli Tanjant Yöntemi

ABSTRACT MS THESIS SOME SPECIAL PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS TRAVELLING WAVE SOLUTIONS İbraim ÇAĞLAR THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN MATHEMATICS Advisor: Assoc. Prof. Dr. Yıldıray KESKİN, 33 Pages Jury Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Assoc. Prof. Dr. Yıldıray KESKİN Assoc. Prof. Dr. Beir ÇAKIR Efficient and effective use of computers in computing science, along wit part of te literature, many metods to obtain te solution of differential equations is presented. Some of tese metods, wile acieving analytical metod and some of te algoritm based solution metods tat approimate te solution. Traveling wave solutions of partial differential equations obtained yperbolic tangent metod most commonly used metods. In tis study, we obtained some special traveling wave solutions of partial differential equations yperbolic tangent metod, metod of lines and te reduced transformation metod and te results were compared. Keywords: Metod of Line, Partial Differential Metod, Reduced Differential Transform Metod, Tan Metod

ÖNSÖZ Bu yüse lisans tez çalışması Selçu Üniversitesi Fen Faültesi Matemati Bölümü Öğretim Üyesi Doç. Dr. Yıldıray KESKİN yönetiminde azırlanara Selçu Üniversitesi Fen Bilimler Enstitüsüne sunulmuştur. Yüse Lisans tezi içeri olara dört bölümden oluşmuştur. Birinci bölümde temel tanımları verip, nümeri yöntemler aında literatür özeti verilmiştir. İinci bölümde ise nümeri ve analiti çözümlerin ifadeleri üzerinde duruldu. Tan yöntemin, çizgiler yöntemi ve indirgeniş diferansiyel dönüşüm yöntemine giriş yapıldı. Üçüncü bölümde bazı özel ısmı diferansiyel denlemleri indirgenmiş diferansiyel dönüşüm yöntemi ile çözüp diğer yöntemler ile ıyaslamalar yapıldı. Son bölümde ise ortaya çıan verilerden faydalanara, yöntemler aında değerlendirme yapıldı. Tez çalışması seçimi ve yürütülmesi sürecinde yardımlarında ve yönlendirmelerinden dolayı tez yöneticisi sayın ocam Doç. Dr. Yıldıray KESKİN e ve eğitim öğretim sürecinde maddi manevi destelerini esirgemeyen aileme teşeür ederim. İbraim ÇAĞLAR KONYA- İÇİNDEKİLER

ÖZET... ABSTRACT... ÖNSÖZ... 3 İÇİNDEKİLER... 3. GİRİŞ... 5.. Amaç ve Kapsam... 5.. Kayna Araştırması... 6. KULLANILAN YÖNTEMLER... 8.. Hiperboli Tanjant Yöntemi (Tan Yöntemi)... 8.. Çizgiler Yöntemi (Metod of Lines)....3. İndirgenmiş Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi (RDTM)....3.. Bir Boyutlu Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi....3.. İi Boyutlu Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi....3.3. İndirgenmiş Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi... 3 3. UYGULAMALAR... 5 3.. Problem... 5 3... Hiperboli Tanjant Yöntemi ile Çözüm... 5 3... Çizgiler Yöntemi ile Çözüm... 5 3..3. İndirgenmiş Dönüşüm Yöntemi ile Çözüm... 6 3.. Problem... 8 3... Hiperboli Tanjant Yöntemi ile Çözüm... 8 3... Çizgiler Yöntemi ile Çözüm... 8 3..3. İndirgenmiş Dönüşüm Yöntemi ile Çözüm... 3.3. Problem 3... 3.3.. Hiperboli Tanjant Yöntemi ile Çözüm... 3.3.. Çizgiler Yöntemi ile Çözüm... 3 3.3.3. İndirgenmiş Dönüşüm Yöntemi ile Çözüm... 4 4. SONUÇLAR VE ÖNERİLER... 8 KAYNAKLAR... 9 ÖZGEÇMİŞ... 3

. GİRİŞ.. Amaç ve Kapsam Kısmı türevli diferansiyel denlemler müendisli bilimleri, doğa bilimleri ve eonomi problemlerinin matematisel modellemelerinde arşımıza çımatadır. Bu denlemlerin çözümleri için analiti ve nümeri olara birço yöntem tanıtılmıştır. Genelde bu tür denlemlerin nümeri çözümlerine geresinim duyulmatadır, bunun nedeni nümeri çözümler bilgisayarlar ile daa uyumlu olup, farlı algoritmalarla istenilen sonuçlar daa olay elde edilebilmesidir. Tan yöntemi, bir boyutlu lineer olmayan dalga denlemlerinin ve yönlendirilmiş dalga denlemlerinin analiti çözümlerinin bulunmasında ullanılan güçlü yöntemlerden biridir. Hiperboli tanjant yöntemi 99 yılında bir KdV denlemini çözme için ullanılmıştır. Daa sonrai yıllarda W. Malfliet [Hereman, Malfliet, 996], E. G. Fan [Fan, Hon, ], A. M. Wazwaz [Wazwaz A.M. 9] tarafından geliştirilere son alini almıştır. Tan yöntemi, iperboli tanjant fonsiyonunun türevinin yine bir iperboli tanjant fonsiyonu şelinde ifade edilebilmesi özelliğine dayanır [Topaloğlu, 7]. Doğada daa ço arşımıza çıan lineer olmayan ısmı türevli diferansiyel denlemlerin çözümlerinde bu yöntem ullanılmıştır [Mızra, 7]. Çizgiler yöntemi (Metod of Lines) ise diferansiyel denlemlerin yalaşı çözümleri üzerine tanımlanmış bir nümeri yöntemdir. İl olara paraboli denlemlere uygulanmıştır. İncelenen ısmı diferansiyel denlem bir başlangıç-değer problemi ise sonuçta oluşan adi diferansiyel denlem de bir başlangıç-değer problemidir [Sciesser, Griffitd. 9] [Sciesser, Griffitd. ]. Kısmı türevli diferansiyel denlem bir sınır-değer problemi ise sonuç olara adi diferansiyel denlem sistemi oluşur [Köroğlu,, Sadio, ]. İndirgenmiş diferansiyel dönüşüm yönteminde il olara 9 yılında Y. Kesin [Kesin, Oturanç, ] tarafından diferansiyel dönüşüm yönteminin bir adım ilerisi olara tanıtılmıştır. İndirgenmiş diferansiyel dönüşüm yönteminin lasi dönüşüm yöntemlerinden farı, ısmı diferansiyel denlemi yarı cebirsel bir denleme dönüştürmetedir. Klasi dönüşüm yöntemlerine göre avantajı ise daa az iterasyonla daa net bir sonuca ulaşmasıdır [Kesin, Çağlar ][Kesin ve ar, ].

Bu tez çalışmasında er üç yönteme ısaca değinildi. Bazı özel denlemler ullanara çizgiler yöntemi ve indirgenmiş diferansiyel yöntemi arasında arşılaştırmalar yapıldı. Bu arşılaştırmalar ışığında problemlerin çözümüne dair yorumlarda bulunuldu... Kayna Araştırması Fan E., Hon Y. C.,, Generalized tan Metod Etend to Special Types of Nonlinear Equations,Z. Naturforsc, 57a, 69-7. Bu çalışmada yazarlar iperboli tanjant yöntemini özel tiptei lineer olmayan denlemler için genelleştirme çalışmaları yapmışlardır. Hereman W., Malfliet W., 996, Te Tan Metod:. Eact Solutions of Nonlinear Evolution and Wave Equations, Pysica Scripta, Vol 54, 563-568. Bu çalışmada iperboli tanjant metodundan basedilmiştir. Ayrıca bazı özel ısmı denlemlerinde bu yöntem ile çözüm verilmiştir. Kesin Y., Çağlar İ., Koç A. B.,, Numerical Solution of Sine-Gordon Equation by Reduced Differential Transform Metod, Proceedings of te World Congress on Engineering, Vol I. Bu çalışmada ısmı diferansiyel denlem olan Sine- Gordon denlemini indirgenmiş diferansiyel döşüm yöntemi ile çözere nümeri çözümü esin çözüm ile analiz etmişlerdir. Kesin Y., Çağlar İ.,, Genelleştirilmiş KdV Denlemleri İçin İndirgenmiş Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi,3. Ulusal Ereğli Kemal Aman Mesle Yüse Oulu Tebliğ Günleri, Sayı 3, 9-6. Bu çalışma da indirgenmiş diferansiyel dönüşüm yöntemi, özel bir ısmi diferansiyel denlem olan Genelleştirilmiş KdV Denlemleri için uyarlamışlardır. Kesin Y., Oturanç G.,, Diferansiyel Dönüşüm Yöntemiyle Diferansiyel Denlemlerin Çözülmesi, AYBİL YAYINLAR. Bu çalışmada diferansiyel dönüşüm yöntemini, indirgenmiş diferansiyel dönüşüm yöntemini ele almışlar ve çeşitli ısmı diferansiyel denlemlere uyarlamışlardır. Köroğlu C.,, Üstel Fonsiyon Yardımıyla Amerian Opsiyon Problemlerinin Çizgiler Yöntemi ile Çözümü, Dotora Tezi, Ege Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, İzmir. Bu çalışmada çizgiler yöntemini ısaca anlatmış ve üstel matris fonsiyonları yardımıyla incelemiştir. Mızra M., 7, Hiperboli Tanjant (Tan Metod) Yöntemi, Yüse Lisans Tezi, Dicle Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Diyarbaır. Bu çalışmada

iperboli tanjant metodunun genel yapısını ve diferansiyel denlemlere uygulanmasını ele almıştır. Sadio M. N. O., Obiozor C. N., A Simple Introduction to Te Metod of Lines, International Journal of Electrical Engineering Education, 37-3. Bu çalışmada çizgiler yöntemini anlatara biraç örne ve Matlab oduyla bilgisayar ile de esaplanmasını sağlamışlardır. Sciesser W. E., Griffits G.W., 9, A Compendium of Partial Differential Equaiton Models Metod of Lines Analysis wit Matlab, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS. Bu çalışmada yazarlar çeşitli ısmı diferansiyel denlemleri ele almışlar ve bunların çözümlerini Matlab paet programı ullanara çizgiler yöntemi ile çözmüşlerdir. Sciesser W. E., Griffits G.W.,, Traveling Wave Analysis of Partial Differential Equations, ACADEMIC PRESS. Bu çalışmada ısmı diferansiyel denlemlerinin gezen dalga analizlerini içermetedir. Kitap öncei itaplarına göre nümeri ve analiti yöntemleri incelemiş bunu da Matlap ve Maple paet programları ile destelemiştir. Topaloğlu İ. 7, Lineer olmayan Diferansiyel Denlemlerin Tam Çözümleri, Yüse Lisans Tezi, Dumlupınar Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü. Bu çalışmada farlı türlerdei ısmı denlemlerin iperboli tanjant yöntemi ile esin çözümleri verilmiştir. Wazwaz A.M. 9, PartialDifferential Equations and Solitary Waves Teory, SPRINGER. Bu çalışmada yazar ısmı türevli diferansiyel denlemleri, çözüm yöntemlerini ve solitary dalga teorisi çalışmalar yapmıştır.

. KULLANILAN YÖNTEMLER Uygulamalı matematite fizi, müendisli ve uzay bilimlerinde i birço problem modellenere çözümleri aranmatadır. Bu modellemelerde ço farlı türde problemler ortaya çımatadır. Bu problemlerin çözümleri için de farlı türde analiti ve nümeri yöntemler geliştirilmiştir. Bu bölümde tezde ullanılan yöntemler tanıtıldı. Bu yöntemler arasında, literatürdei en yeni yöntemlerden biri olan indirgenmiş diferansiyel dönüşüm yöntemi, lineer olmayan denlemlerde analiti çözümler bulan iperboli tanjant yöntemi ve ademeli olara çeşitli bilim adamları tarafından geliştirilere şimdii alini almış olan çizgiler yöntemi vardır... Hiperboli Tanjant Yöntemi (Tan Yöntemi) Tan yöntemi er ne adar 99 yılında yüse basamatan bir KdV denlemini çözme için ullanılmış olsa da günümüzde ullanılan aline gelmesinde Willy Malfliet in 99 yılındai çalışmaları ve aradaşlarının [Hereman, Malfliet, 996] 996 yılında yapmış olduğu çalışmalar büyü önem arz eder. Daa sonrai yıllarda Engui Fan [Fan, Hon, ] tarafından de geliştirilen yöntem son alini A. M. Wazwaz [Wazwaz A.M. 9] tarafından yapılan çalışmalarla almıştır. Lineer olmayan ısmi türevli diferansiyel denlemlerin analiti çözümlerini elde etme için genel bir yöntem yotur. Tan yöntemi lineer olmayan diferansiyel denlemlerin, tam ve yalaşı çözümleri diret ve sistemati bir şeilde elde edilebilir. Bu yöntemin diğer yöntemlere göre ullanışlı olmasının sebebi, çözümlerin iperboli tanjant fonsiyonlarının seri toplamları şelinde yazılmasıdır. Bunun nedeni tan fonsiyonunun türevlerinin yine tan fonsiyonu türünden yazılabilmesinin bir sonucudur. şelinde örneler gösterilebilir. tan tan tan tan tan Tan yöntemini dalga denlemi üzerinde açılayalım. Bir boyutlu lineer olmayan ve dalga denlemleri genellile ut G( u, u, u, u,...) veya utt G( u, u, u, u,...) (..)

şelinde gösterilir. Bu denlemlerin varsa çözümlerini ve bunların nasıl esaplanacağını araştıracağız. Denlemin çözümünü u, t fonsiyonu olsun. Öncelile ve t bağımsız değişenlerini te bir vt değişeni altında tanımlayalım. vt değişen dönüşüm yapıldığında u, t fonsiyonu; u, t U vt şeline dönüşür. U denleminde, yönlü dalgaların sayısını, V yönlü dalgaların ızını belirtmetedir. Genellile dalga sayısı eyfi olara belirlense de bazı durumlarda özel bir sabit değer olara da alınabilir. u, t fonsiyonu U fonsiyonuna dönüştüğünde (..) ısmi diferansiyel denlemi; du du d U v G U,,,... d d d veya (..) d U du d U V G U,,,... d d d Adi diferansiyel denlemine dönüşür. Artı yeni diferansiyel denlemimiz sadece değişenini içerir. Bizin edefimiz diferansiyel denlemin esin çözümlerini iperboli tanjant fonsiyonu şelinde yazma olduğundan, yeni bir Y tan bağımsız değişeni tanımlarız. Türev dönüşümü yapılırsa d d Y Y 3 3 Y 6Y 6Y Y Y 3 3 Y d dy d d d d dy dy d d d d d dy dy dy (..3) daa sonra, N n u, t U F( Y) a Y, Y tan tan vt (..4) n n şelinde açılım yapılır. Burada N değeri (..4) denleminin adi diferansiyel denleme yerleştirilmesi sonucu elde edilen lineer ifadelerin en yüse derecesi ile lineer olmayan

ifadelerin en yüse derecelerinin eşitlenmesi sonucu elde edilir. N değeri belirlenip denlem terar düzenlenditen sonra Y nin tüm uvvetleri sıfıra eşitlenir. Bu bize sadece a,,,,, N ve v ifadelerini içeren cebirsel denlem sistemini verir. Bu sistemi çözülere apalı formdai analiti çözümü elde ederiz... Çizgiler Yöntemi (Metod of Lines) Çizgiler yöntemi, bağımsız değişen veya zamana bağlı ısmı diferansiyel denlemin yerine, uygun sonlu farın yazılması sonucu oluşan nümeri çözüm teniğidir. İl olara paraboli denlemlere uygulanmıştır. Çizgiler yöntemi, genellile sonlu far veya sonlu eleman tenileri ile ısmı diferansiyel denlemleri adi diferansiyel denlem sistemine indirgeyen bir yöntemdir. Kısmı diferansiyel denlem bir başlangıç-değer problemi ise sonuçta oluşan adi diferansiyel denlem de bir başlangıç-değer problemidir. Eğer denlem bir sınır-değer problemi ise sonuç olara adi diferansiyel denlem sistemi oluşur. Çizgiler yöntemi bir ısmı türevli diferansiyel denlem üzerinde açılayalım. V V (..) yy çözümün bulunduğu alan eseni boyunca N parçaya ayrılara başlanır. Bu ayrışma sonucunda e göre türev yerine sonlu far denlemi yazılır. Denlem, üç notalı merezcil far denlemi olara yazılırsa V i V V V i i i (..) denlemini (..) de yerine yazılırsa, a N Vi V i ( y) Vi ( y) Vi ( y) yy denlemini elde edilir. Böylece (..) denlemini de i,,..., N açılımı yapılırsa (..) (..3) i, V V ( y) V ( y) V ( y) yy i, V V 3( y) V ( y) V ( y) yy i 3, V3 V 4( y) V3 ( y) V ( y) yy (..4) i N, VN V N ( y) VN ( y) VN ( y) yy

(..4) denlemi matris formunda yazılırsa d dy V V V 3 3 V N N V N (..5) denlemi daa sade şeilde ifade edilirse, V V V V V N (..5) denlemi yazılabilir. Burada d dy V P V (..6) V V, V,..., V N t ve P dir. Daa sonra y oordinatı boyunca analiti çözümü bulma olacatır. (..6) denlemi iinci dereceden adi omojen diferansiyel denleme dönüşmüştür. (..6) denleminin çözüm ümesi ise şelindedir. y P y P V Ae Be.3. İndirgenmiş Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi (RDTM) İndirgenmiş diferansiyel dönüşüm yöntemini (Kesin, ) tanımını vermeden önce bu yönteme temel teşil eden bir boyutlu diferansiyel dönüşüm yöntemini (Zou, 986) ve ii boyutlu diferansiyel dönüşüm yöntemini (Cen, 999) açılayacağız. Daa sonra bu yöntemler ışığında indirgenmiş diferansiyel dönüşüm yönteminin tanımını vereceğiz.

.3.. Bir Boyutlu Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi Te değişenli w() fonsiyonunun diferansiyel dönüşüm fonsiyonu W() olma üzere, w() nin te boyutlu diferansiyel dönüşümü d W ( ) w( )! d (.3.) olara tanımlanır. W() dönüşüm fonsiyonunun tersi; diferansiyel ters dönüşüm fonsiyonu, w( ) W( ) (.3.) biçimde tanımlanır. (.3.) ve (.3.) eşitlileri diate alınara aşağıdai (.3.3) eşitliği elde edilir. d w( ) w( )! d (.3.3).3.. İi Boyutlu Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi Benzer şeilde, İi değişenli w(,y) fonsiyonunun diferansiyel dönüşüm fonsiyonu W(,) olma üzere, w(,y) nin ii boyutlu diferansiyel dönüşümü W (, ) w(, y)!! y y (.3.4) olara tanımlanır. W(,) dönüşüm fonsiyonunun tersi; diferansiyel ters dönüşüm fonsiyonu, w(, y) W(, ) y (.3.5) biçimde tanımlanır. (.3.4) ve (.3.5) eşitlileri diate alınara aşağıdai (.3.6) eşitliği elde edebiliriz. w(, y) w(, y) y!! y y (.3.6)

.3.3. İndirgenmiş Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi Kabul edelim i ii boyutlu ısmi türevli diferansiyel denlemin çözümü u(, t) U(, ) t (.3.7) şelinde olsun. O zaman u(, t) fonsiyonun diferansiyel dönüşüm arşılığı U(, ) u(, t)!! t t (.3.8) olara tanımlanmıştı. u, t U t (.3.9), olduğundan fonsiyonu açı alde yazarsa U, U, U,..., U t, U t, U t,..., U t, U t,...,,,,,,,, elde edilir. Buradai terimleri t nin uvvetlerine göre düzenleme yapılırsa yani il grup t U,, iinci grup t U,, üçüncü grup t U, v.b. Böylece u, t U ( ) t (.3.) fonsiyonu elde edilir. Buradan areetle aşağıdai tanımları verilmiştir[kesin, ]. Tanım.3. İi bileşenli u(,t) fonsiyonunun diferansiyel dönüşüm fonsiyonu U(,) olma üzere, u(,t) nin t boyunca esaplanaca çözümü şelindendir. u(, t) U ( ) t (.3.) Tanım.3.. İi bileşenli u(,t) fonsiyonunun diferansiyel dönüşüm fonsiyonu U(,) olma üzere, u(,t) nin t boyunca esaplanaca çözümün indirgenmiş diferansiyel dönüşümü

U ( ) u(, t)! t t (.3.) şelindendir. Tanım.3.3 U ( ) nin t boyunca indirgenmiş diferansiyel dönüşüm fonsiyonunun tersi; u(, t) U ( ) t (.3.3) şelinde tanımlanır. (.3.) ve (.3.3) eşitlileri diate alınara aşağıdai (.3.4) eşitliğini elde edebiliriz. Tanım.3.4 u(, t) u(, t) t! t t (.3.4) İi bileşenli u(,t) fonsiyonunun diferansiyel dönüşüm fonsiyonu U(,) olma üzere, u(,t) nin boyunca esaplanaca çözümü u(, t) U ( t) (.3.5) şelindendir. Tanım.3.5 İi bileşenli u(,t) fonsiyonunun diferansiyel dönüşüm fonsiyonu U(,) olma üzere, u(,t) nin boyunca esaplanaca çözümün indirgenmiş diferansiyel dönüşümü, U ( t) u(, t)! (.3.6) şelindendir.

3. UYGULAMALAR Bu bölümde bazı özel ısmı türevli diferansiyel denlemlerin iperboli tanjant yöntemi, çizgiler yöntemi ve indirgenmiş diferansiyel dönüşüm yöntemi ile çözümleri elde edip, sayısal değerleri tablo alinde verilmiştir. 3.. Problem Kimya, müendisli ve yer bilimlerinde sıvının yatay olara areetinin modellemesi olan lineer advection denlemi literatürde u t c u (3.) ve bu denleme ait başlangıç şartı da u(, ) f ( ) şelinde tanıtılır ve bu denlemin analiti çözümü u(,) f ( ) şelindedir. (c= sabittir) 3... Hiperboli Tanjant Yöntemi ile Çözüm Hiperboli tanjant denleminde üst sınır belirleme için lineer ifade ile lineer olmayan ifadenin uvvetleri eşitlenmelidir. Lineer denlemlerde bu yapılamayacağı için lineer advection denleminin çözümü için iperboli tanjant metodunu ullanılamaz. 3... Çizgiler Yöntemi ile Çözüm Lineer advection denleminin ((3.) denleminin) başlangıç şartı şelinde ve sınır şartlarını da u(,) f ( ) e a b (3..) u( a, t ), u( b, t ) t olara alalım. Burada (3.) denleminin değişenini verilen aralıta N parçaya ayıralım (3.) denleminde i i,,..., N, a i b ve i ( b a) N u ifadesinin yerine i in sonlu far yalaşımını yazarsa. du dt f( u ) i i,,..., N (3..)

şelinde t ye bağlı bir adi diferansiyel denlem sistemi oluşur. f( u i ) fonsiyonu için er aralıta 5 nota sonlu far yalaşımı ullanırsa (3..) denlemini 5u 48u 36u 6u 3 u, i 3 4 5 3u u 8u3 6 u4 u5, i ut f ui ui 8ui 8 ui ui, i 3,4,..., n u 6u 8u u 3 u, i n n 4 n 3 n n n 3u 6u 36u 48u 5 u, i n n 4 n 3 n n n (3..3) şelinde yazabiliriz. Bu sistemin çözüm Matlab Paet programı ile aşağıdai şeilde elde edilir.[sciesser, Griffits, ]. ( N =nota sayısı) Çizelge 3.. MOL ile çözülen (3.) denlemin nümeri değerleri t c N u(, t ) (Analiti) u(, t ) (MOL) Hata. -...55.59.4....995.997.57....75.765.3. -...797.793.6....96789.967.8....3964.394.5... 3.96789.96793.4 3..3. İndirgenmiş Dönüşüm Yöntemi ile Çözüm Lineer advection denleminin ((3.) denleminin) başlangıç şartı u(,) f ( ) e a b (3..4) şelinde olsun. Bu denlemi indirgenmiş diferansiyel denlemi ile çözelim. (3.) denleminin diferansiyel dönüşüm arşılığı ( ) U ( ) c U( ) (3..5) burada U ( ), u(, t ) nin t boyunca esaplanaca çözümün indirgenmiş diferansiyel dönüşüm fonsiyonudur. Başlangıç değerinin dönüşüm arşılığı ise ( ) U e (3..6)

olur. Şimdi (3..6) denlemini (3..5) de yerine yazılara U ( ) değerlerinin esaplayaca olursa U ( ) e U ( ) ce U ( ) c e ( ) 3 3 U3( ) c e ( 3 3 ) 4 4 U4( ) c e (4 6 5 5 3 U5( ) c e (4 5 3) 5 ) (3..7) Elde edilen bu değerler (.3.3) denleminde yerine yazarsa U ( ) t U ( ) U ( ) t U ( ) t dır. Hemen belirtelim i terim sayısını arttırırsa daa fazla iş yüü ortaya çıar ve bilgisayar için daa fazla belle ullanılmasına neden olur. 6 terim ullanara elde edilen yalaşı çözüm 3 6ct 3c t 6c t u(, t) U (, t) U ( ) t e 6c t 4c t 6c t 6 6 3 3 3 3 3 4 4 3 4 4 4 4 4 5 5 3 5 5 5 5 5 c t 5c t 4c t 8c t 3c t şelindedir. Bulduğumuz ifadenin ne adar esin çözüme yaın olduğunu ve MOL yöntemine göre avantajı inceleme aşağıdai tablolar verilmiştir. ( N =terim sayısı) Çizelge 3.. RDTM ile çözülen (3.) denlemin nümeri değerleri t c N u(, t ) (Analiti) u(, t ) (RDTM) Hata. -.. 6.55.55.... 6.995.995.... 6.75.75.. -.. 6.797.798.... 6.96789.968.... 6.3964.3965.... 3.96789.96789.

(3.) denleminde aynı,t,c değerlerine göre yöntemlerin arşılaştırılması yapılırsa; Çizelge 3.3. (3.) denlemi için MOL, RDTM ve Analiti çözümlerin arşılaştırılması u(, t ) (Analiti) u(, t ) (RDTM) u(, t ) (MOL) N u(, t ) Hata N u(, t ) Hata.55 6.55..59.4.995 6.995..997.57.75 6.75..765.3.797 6.798..793.6.96789 6.968..967.8.3964 6.3965..394.5.96789 3.96789. 3.96793.4 değerleri elde edilir. 3.. Problem Katılarda ısı iletimi, fizio-imya da difüzyon olayının incelenmesi, nötronların madde içinde yavaşlatılması gibi olaylarda arşımıza çıan model olan lineer difüzyon denlemi literatürde ve bu denleme ait başlangıç şartı da u(,) f ( ) şelinde tanıtılır. u t u (3.) 3... Hiperboli Tanjant Yöntemi ile Çözüm Hiperboli tanjant denleminde üst sınır belirleme için lineer ifade ile lineer olmayan ifadenin uvvetleri eşitlenmelidir. Lineer denlemlerde bu yapılamayacağı için lineer difüzyon denleminin çözümü için iperboli tanjant metodunu ullanılamaz. 3... Çizgiler Yöntemi ile Çözüm Lineer difüzyon denlemi ((3.) denleminin) başlangıç şartını u(,) f ( ) e a b (3..)

şelinde ve sınır şartlarını da u( a, t ), u( b, t ) t olara alalım. Burada (3.) denleminin değişenini verilen aralıta N parçaya ayıralım (3.) denleminde i i,,..., N, a i b ve i u du dt ( b a) N ifadesinin yerine i in sonlu far yalaşımını yazarsa. f( u ) i i,,..., N (3..) şelinde t ye bağlı bir adi diferansiyel denlem sistemi oluşur. f( u i ) fonsiyonu için er aralıta 5 nota sonlu far yalaşımı ullanırsa (3..) denlemini 45u 54u 4u 56u 6u u, i 3 4 5 6 u 5u 4u3 4u4 6 u5 u6, i ut f ui u i 6ui 3ui 6 ui ui, i 3,4,..., n u 5u 4u 4u 6 u u, i n n n n n 3 n 4 n 5 45un 54un 4un 56un 3 6u n 4 un 5, i n (3..3) şelinde yazabiliriz. Bu sistemin çözümü Matlab Paet programı ile aşağıdai şeilde elde edilir. [Sciesser, Griffits, ]. ( N =nota sayısı) Çizelge 3.4. MOL ile çözülen (3.) denlemin nümeri değerleri t D N u(, t ) (Analiti) u(, t ) (MOL) Hata. -.. 5.85537.7978.589... 5.788.77498.784... 5.367879.367773.6. -.. 5 54.5985 5.8879.79... 5 7.38956 7.37778.778... 5..99939.68. -.. 54.5985 5.877536.764

3..3. İndirgenmiş Dönüşüm Yöntemi ile Çözüm Lineer difüzyon denleminin ((3.) denleminin) başlangıç şartı u(,) f ( ) e a b (3..4) şelinde olsun. Bu denlemi indirgenmiş diferansiyel denlemi ile çözelim. (3.) denleminin diferansiyel dönüşüm arşılığı ( ) U ( ) U ( ) (3..5) burada U ( ), u(, t ) nin t boyunca esaplanaca çözümün indirgenmiş diferansiyel dönüşüm fonsiyonudur. Başlangıç değerinin dönüşüm arşılığı ise ( ) U e (3..6) olur. Şimdi (3..5) ve (3..6) ü ullanara U ( ) yi esaplayalım U ( ) e U ( ) e 3 U3( ) e 6 4 U 4( ) e 4 5 U5( ) e 6 U6( ) e 7 U e! ( ) 6,7, (3..7) t boyunca indirgenmiş diferansiyel dönüşüm arşılığı u(, t) e t e t e e e!! t t dır. Buradan analiti çözümü elde etmiş oluruz. 6 terim ullanara elde edilen yalaşı çözüm ise, 7 7Dt 36D t u(, t) U (, t) D e t e! 7 D t 3D t 6D t D t 6 6 3 3 4 4 5 5 6 6 şelindedir. Bulduğumuz ifadenin ne adar esin çözüme yaın olduğunu ve MOL yöntemine göre avantajını inceleme için aşağıdai tablolar verilmiştir.

( N =terim sayısı) Çizelge 3.5. RDTM ile çözülen (3.) denlemin nümeri değerleri t D N u(, t ) (Analiti) u(, t ) (Nümeri) Hata. -.. 6.85537.736.935... 6.788.76666.66... 6.367879.36766.9. -.. 6 54.5985 53.69387.94343... 6 7.38956 7.66666.39... 6..983436.6564. -.. 3 54.5985 54.59848. (3.) denleminde aynı,t, değerlerine göre yöntemlerin arşılaştırılması yapılırsa; Çizelge 3.6. (3.) denlemi için MOL, RDTM ve Analiti çözümlerin arşılaştırılması u(, t ) (Analiti) u(, t ) (RDTM) u(, t ) (MOL) N u(, t ) Hata N u(, t ) Hata.85537 6.736.935 5.7978.589.788 6.76666.66 5.77498.784.367879 6.36766.9 5.367773.6 54.5985 6 53.69387.94343 5 5.8879.79 7.38956 6 7.66666.39 5 7.37778.778. 6.983436.6564 5.99939.68 54.5985 3 54.59848. 5.877536.764 değerleri elde edilir 3.3. Problem 3 Kuantum meaniği, opti plazma fiziği ve aışanlar fiziği gibi çeşitli alanlarda modellenen KdV denlemi, literatürde ve başlangıç şartı ut 6uu u a b (3.3) u(,) f ( )

sınır değerleri ise şelinde verilir. u( a, t ), u( b, t ), t 3.3.. Hiperboli Tanjant Yöntemi ile Çözüm KdV denleminde değişen dönüşüm yapılırsa (3.3) denlemi u(, t) u ( ), ( Vt ) (3.3.) d d d V u u u u d d d 3 ( ) 6 ( ) ( ) 3 3 ( ) şelinde yazılır. (3.3.) denleminde Y tan( ) dönüşümü yapılırsa (3.3.) V Y df( Y) df( Y) d d df( Y) F Y Y Y Y Y dy dy dy dy dy (3.3.3) 3 ( ) 6 ( )( ) ( ) ( ) ( ) denlemine dönüşür. (3.3.3) denleminde N N u( ) F( Y) a Y değişen dönüşümü yapılır ve denlemde en yüse dereceli lineer ifade ile en yüse dereceli lineer olmayan ifadenin uvvetleri eşitlenip N bulunur. N değeri FY ( ) ifadesinin üst n sınırını belirtir. N için (3.3.3) denlemini terar yazılırsa n V ( a a Y a Y a Y ) 3 3 ( aa ) Y ( a a a ) Y (3 aa aa) Y (a a a a ) 6 Y ( 3 a a ) Y ( a ) 4 5 ( a ) Y ( 6 a ) Y (8 a ) Y (4 a ) Y ( 6 a ) Y ( 4 a ) 3 3 4 5 (3.3.4) olur. (3.3.4) denlemi Y nin uvvetlerine göre terar düzenlenirse, Va 6a a a Y Va a a 6a 6a 3 3 Y Va 8a a 6a a 8 a 3 Y Va a a a 6a 4 a Y 8a a 6 a 3 3 4 3 Y a 4 a 5 3 elde edilir. Y nin atsayıları teer teer sıfıra eşitlenirse (3.3.5) elde edilir. V 8 a a 6 a

Y tan( ) olduğundan için Y olur ve F( Y) a a a dir. Buradan a ve a olur i V 4 dir. Bütün bu eşitliler bir arada yazılırsa denlemini elde edilir. F( Y) a ay ay Y Y (3.3.6) Y tan( ) olduğundan olur. ( Vt ) den dolayı şelinde esin çözüm bulunmuş olur. u(, t) Y tan ( ) u t t 3 (, ) tan ( 4 ) u t t 3 (, ) sec ( 4 ) 3.3.. Çizgiler Yöntemi ile Çözüm KdV denleminin başlangıç şartı olsun. Sınır değerleri ise u(,) sec, a b (3.3.7) u( a, t ), u( b, t ), t KdV denleminin istenilen sonucu a b ile t T bölgesinin içindedir. Bu bölgeyi boyunca N parçaya ayrılırsa, i i,,..., N, a i b ve i ( b a) N (3.3) denleminde 3 u ve u ifadelerinin sonlu far arşılıları yazılırsa 3 du dt f( u ) i i,,..., N (3.3.8) şelinde t ye bağlı bir adi diferansiyel denlem sistemi oluşur. f( u i ) fonsiyonu için er aralıta sonlu far yalaşımı ullanırsa (3.3.8) denlemini

5ui 8ui 4ui 4ui 3 3ui 4 3ui 4ui ui 6u 3 i i, ui 3 8ui 3ui 3ui 8ui ui 3 ui ui f ( ui) 6u 3 i 8 i 3,4,..., N 3 3ui 4 4ui 3 4ui 8ui 5ui ui 4ui 3ui 6u 3 i i N, N (3.3.9) şelinde yazabiliriz. Bu sistemin çözümü Matlab Paet programı ile aşağıdai şeilde elde edilir. [Sciesser, Griffits, 9]. ( N =nota sayısı) Çizelge 3.7. MOL ile çözülen (3.3) denlemin nümeri değerleri t c N u(, t ) (Analiti) u(, t ) (MOL) Hata -6..68.68...4535.4535...4995.4998.3..857.886.9 4-4..39.3836.66 4 4..3675.3668.7 4 4. 3.3675.3668.99 3.3.3. İndirgenmiş Dönüşüm Yöntemi ile Çözüm KdV denleminin başlangıç değeri u(,) sec (3.3.) şelinde olan ısmi türevli diferansiyel denlemin çözümü için, (3.3) denlemine indirgenmiş dönüşüm yöntemi uygulanırsa elde edilir. Burada 3 ( ) U ( ) 6 U s( ) Us( ) U( ) 3 s (3.3.) U, u(, t ) nin t boyunca esaplanaca çözümün indirgenmiş diferansiyel dönüşümüdür. (3.3.) başlangıç değerinden () U sec (3.3.)

(3.3.) denlemini (3.3.) denleminde yerine yazılması sonucunda istenilen mertebe adar U değerleri ardışı olara esaplanabilir. İterasyon uygulanırsa 5 sin U( ), 3 cos U ( ) 8 8 3 cos 4 cos sin cos 3 U3( ), 5 cos (3.3.3) U ( ) 4 96 4 4 cos 5 5cos cos 6 Buradan 4 U ( ) değerlerinin ters indirgenmiş diferansiyel dönüşümü alınara verilen denlemin dördüncü mertebeden yalaşı çözümü

4 4 5 5 cos cos t 4 4(, ) ( ) 6 u t U t 96cos 96 3 9 9 8 sin cos 4 sin cos cos 6 t 3 96 6 36 cos 4 cos 6 cos 4 6 t elde edilir.(n= terim sayısı) 5 sin t cos cos 3 (3.3.4) Çizelge 3.8. RDTM ile çözülen (3.3) denlemin nümeri değerleri t c N u(, t ) (Analiti) u(, t ) (RDTM) Hata -6. 6.68.68.. 6.4535.4535.. 6.4995.4986.44. 6.857.87.3 4-4. 6.39.34.4 4 4. 6.3675.3675. 4-4. 9.39.395.5 (3.3) denleminde aynı,t,c değerlerine göre yöntemlerin arşılaştırılmasını aşağıdai tabloda verebiliriz

Çizelge 3.6. MOL, RDTM ve Analiti çözümlerin arşılaştırılması u(, t ) (Analiti) u(, t ) (RDTM) u(, t ) (MOL) N u(, t ) Hata N u(, t ) Hata.68 6.68..68..4535 6.4535..4535..4995 6.4986.44.4998.3.857 6.87.3.886.9.39 6.34.4.3836.66.3675 6.3675..3668.7.39 9.395.5 3.3668.99

4. SONUÇLAR VE ÖNERİLER Çizgiler yönteminde, seçilen grid notalarının, iyi sonuç elde edilebilmesi için, yüzün üzerinde farlı nota alınması gerelidir. Grid aralıları ne adar ço olursa ata payı o adar fazla olur. Grid notalarını arttırma ise em bilgisayara bağımlı ılar, em de bilgisayarda yapılan işlemlerin uzamasına neden olur. Tan yöntemi, denlemlerde lineer terimlerin en yüse derecesi ile lineer olmayan terimlerin en yüse derecesini eşitleyere elde ettiğimiz üst sınır eğer rasyonel bir ifade olursa tan metodunu esaplama olduça zorlaşacatır. Bunun yanı sıra iperboli tanjant yönteminin bir diğer dezavantajı ise lineer denlemlerde esaplanamıyor olmasıdır. Bundan dolayı iperboli tanjant metodu er ne adar analiti sonuç veriyor olsa da birço ısmı diferansiyel denlemin bu yöntemle esaplanamaması demetir İndirgenmiş diferansiyel dönüşüm yöntemi ise daa az iterasyon ile daa yalaşı çözümler verere iyi sonuçlar alınmıştır. Faat lineer olmayan ifadelerin derecelerinin fazla olması durumunda bilgisayar ullanmasızın yöntemin uygulanması armaşı işlemler meydana getirmetedir.

KAYNAKLAR Fan E., Hon Y. C.,, Generalized tan Metod Etend to Special Types of Nonlinear Equations,Z. Naturforsc, 57a, 69-7 Hereman W., Malfliet W., 996, Te Tan Metod:. Eact Solutions of Nonlinear Evolution and Wave Equations, Pysica Scripta, Vol 54, 563-568 Kesin Y., Çağlar İ., Koç A. B.,, Numerical Solution of Sine-Gordon Equation by Reduced Differential Transform Metod, Proceedings of te World Congress on Engineering, Vol I. Kesin Y., Çağlar İ.,, Genelleştirilmiş KdV Denlemleri İçin İndirgenmiş Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi,3. Ulusal Ereğli Kemal Aman Mesle Yüse Oulu Tebliğ Günleri, Sayı 3, 9-6 Kesin Y., Oturanç G.,, Diferansiyel Dönüşüm Yöntemiyle Diferansiyel Denlemlerin Çözülmesi, AYBİL YAYINLAR, Köroğlu C.,, Üstel Fonsiyon Yardımıyla Amerian Opsiyon Problemlerinin Çizgiler Yöntemi ile Çözümü, Dotora Tezi, Ege Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, İzmir. Mızra M., 7, Hiperboli Tanjant (Tan Metod) Yöntemi, Yüse Lisans Tezi, Dicle Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Diyarbaır. Sadio M. N. O., Obiozor C. N.,, A Simple Introduction to Te Metod of Lines, International Journal of Electrical Engineering Education, 37-3 Sciesser W. E., Griffits G.W., 9, A Compendium of Partial Differential Equaiton Models Metod of Lines Analysis wit Matlab, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS. Sciesser W. E., Griffits G.W.,, Traveling Wave Analysis of Partial Differential Equations, ACADEMIC PRESS. Topaloğlu İ. 7, Lineer Olmayan Diferansiyel Denlemlerin Tam Çözümleri, Yüse Lisans Tezi, Dumlupınar Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Wazwaz A.M. 9, PartialDifferential Equations and Solitary Waves Teory, SPRINGER.

ÖZGEÇMİŞ KİŞİSEL BİLGİLER Adı Soyadı : İbraim ÇAĞLAR Uyruğu : T.C. Doğum Yeri ve Tarii : Konya 985 Telefon : 554 466 33 9 Fas : e-mail : ibraimcaglar@gmail.com EĞİTİM Derece Adı, İlçe, İl Bitirme Yılı Lise : Meram Anadolu Lisesi, Meram, KONYA 4 Üniversite : Selçu Üniversitesi, Selçulu, KONYA Yüse Lisans : Dotora : YABANCI DİLLER İngilizce YAYINLAR Kesin Y., Çağlar İ.,, Genelleştirilmiş KdV Denlemleri İçin İndirgenmiş Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi,3. Ulusal Ereğli Kemal Aman Mesle Yüse Oulu Tebliğ Günleri, Sayı 3, 9-6 Kesin Y., Çağlar İ., Koç A. B.,, Numerical Solution of Sine-Gordon Equation by Reduced Differential Transform Metod, Proceedings of te World Congress on Engineering, Vol I.