AĞIRLIK MERKEZİ Bir cise etki eden yerçekii kuvvetine Ağırlık denir. Ağırlık vektörel bir büyüklüktür. Yere dik bir kuvvet olup uzantısı yerin erkezinden geçer. Cisin coğrafi konuuna ve yerden yüksekliğine göre değişir. Yer kabuğundan yukarı çıkıldıkça azalır. Merkeze inildikçe azalır. Merkezde sıfırdır. Yerin erkezinden yer kabuğuna doğru gidildikçe artar. Ekvatordan kutuplara doğru gidildikçe ağırlık artar. Eğer Dünya döneiş olsaydı ağırlık daha büyük olurdu. Atosfer olasaydı daha fazla olurdu. G = x g g = 9,8 N/kg ya da g = 9,8/sn 2 G = kg x N/kg Kütlesi 1 kg olan bir cise yaklaşık 9,8 N luk bir kuvvet etki eder. G = Newton Ya da serbest bırakılan bir cisi hızını saniyede 9,8 /sn artırır. Kütle : Bir cisin hacini dolduran adde iktarına kütle denir. Not : Kütle evrenin her yerinde aynıdır. Fakat ağırlık evrenin her yerinde aynı değildir. Dünya üzerinde değiştiği gibi kainattaki yerine göre de değişir. Örneğin aydaki çeki kuvveti Dünya daki çeki kuvvetinin 1/6 sı kadardır. ı 3 G3 G1 2 4 G4 G2 G Bir cisin kütleli küçük parçalardan eydana geldiğini düşünürsek, Yerçekii kuvveti tü kütleli parçalara etki eder. Bu küçük küçük ağırlıkların bileşkesi o cisin ağırlık erkezini oluşturur. Cisin tü kütlesinin veya tü ağırlığının bu noktada toplandığını düşünebiliriz. 1- Bir cisi ağırlık erkezinden astığıızda, o cisi dengede kalır. 2- Bir cisi hangi noktasından asılırsa asılsın ipin kendisi veya uzantısı utlaka ağırlık erkezinden geçer. - Düzgün geoetrik şekillerin ağırlık erkezi, geoetrik erkezleridir. Üçgenin ağırlık erkezi ise kenarortaylarının kesi noktasıdır. Yarı daire şeklindeki levha için ağırlık erkezi daire erkezinden a = 4r/3 uzaklıktadır. Yarı küre için ağırlık erkezi, küre erkezinden a = 3r/8 uzaklıktadır. G G G G Kare levha dairesel levha çubuk silindir Türdeş cisilerde, ağırlık yarine tel ve çubuk şeklinde olanlar için uzunluk (bir boyutlu), daire, kare levha gibi yüzeysel (iki boyutlu) cisiler için alanlar, silindir ve küre gibi hacisel (üç boyutlu) cisiler için haciler alınarak cisilerin ağırlıkları karşılaştırabilir. Y Y4 Y3 Y2 Y1 ı 3 2 4 X1 X2 X3 X4 X X ve Y eksenlerine göre oent alırsak bileşke kuvvetin, yani cisin ağırlık erkezinin koordinatların buluş oluruz. Yine, burada da oent konusunda kullandığıız ; X = M (yatay için) ; Y = M (düşey için) kullanalı. F F
Forülleri şekle uygulayacak olursak; X = G 1.X 1 + G 2.X 2 + G 3.X 3 + G 4.X 4 ; Y = G 1.Y 1 + G 2.Y 2 + G 3.Y 3 + G 4.Y 4 G 1 + G 2 + G 3 + G 4 G 1 + G 2 + G 3 + G 4 Yer çekii kuvvetinin bulunadığı yerlerde ( g = 0 N/kg ) ağırlık erkezinden söz edileez. Bu duruda ağırlık erkezi yerine kütle erkezini kullanırız. Bir cisin kütle erkezi ile ağırlık erkezi aynı noktadadır. Yapacağıız işlelerde bir değişiklik olaz. Örnek 1 : K L M N Aynı addeden yapılış türdeş levhalar şekildeki gibi birbirlerine perçinleniştir. Siste hangi noktadan asılırsa dengede kalır? K L M N 2 2 = 4 br 2 2.3/2 = 3 br 2 Karenin alanı 4br 2, üçgenin alanı 3br 2 yapar. Alanlardan faydalanıp ağırlıklarını karşılaştırabiliriz. K noktasına göre; X = M X = 0 + 3.3 X = 9/7 biri. F 4 +3 Sistein ağırlık erkezi K noktasından 9/7 biri uzaklıktadır. Yani L-M arasındadır. Şu şekilde de düşünebiliriz. Sistein asıldığında dengede olabilesi için askı noktasına göre sağlı ve sollu oentlerin birbirine eşit olası gerekir. buradan yola çıkarak askı noktasını tahin edebiliriz. Örnek 2 : Aynı addeden yapılış 2r, r, r yarıçaplı üç dairesel türdeş levha birbirine perçinleniştir (onte ediliştir). Sistein ağırlık erkezi 2r yarıçaplı dairesel levhadan kaç r uzaklıktadır. Dairelerin alanlarından ağırlıklarını karşılaştıralı. Alan forülünün taaını kullanaıza gerek yok. Çünkü hepsinde pi ler ortak. Yalnızca yarıçapların karelerini alaız yeterli olur. 2r yarıçaplı dairenin erkezine göre oent alırsak; x = 4.0 + 1.3 + 1.5 x = 8/6r x = 4/3r uzakta olur. 2 2 1 2 1 2 4 + 1 + 1 Soruyu, dairesel levhaları gruplandırarak ta çözebilirdik.
Örnek 3 : Eğer bunlar dairesel levha olayıp, aynı addeden yapılış, kalınlıkları aynı, türdeş teller olsaydı. Sistein ağırlık erkezi 2r yarıçaplı telden ne kadar uzaklıkta olurdu. Bu sefer ağırlıklarını karşılaştırak için alanlarından yararlanayacağız. Uzunluklarından karşılaştıra yapaız gerekir. Onun içinde çevrelerin bulaız gerekir. Ç = 2 r forülüyle bulunur. 2 ler hepsinde ayın olduğu için yarıçaplarına göre ağırlıklarını karşılaştırabiliriz. X = M x = 2.0 + 1.3 + 1.5 8/4 = 2r uzaklktadır. F 2 + 1 + 1 ya da 2r 2r Örnek 4 : 2R O O R R O Aynı addeden yapılış türdeş, daire şeklindeki iki levha şekildeki gibi birbirine perçinleniştir. O erkezli R yarıçaplı daire, 2R yarıçaplı dairenin içinden çıkartılarak, R yarıçaplı daireye perçinlenirse sistein yen ağırlık erkezi O noktasından kaç R uzakta olur? 1 2R O O R R O R Yarıçaplarının karelerine göre ağırlıklarını karşılaştıralı. Yine O noktasına göre oent alalı. Çıkan dairenin oentini (-) alalı. Ters tarafa döndürüyor gibi düşüneizde bir sakınca yoktur. Her zaan çıkanın oentini (-) alsak bir sorun çıkaz. 4 1 1 2
Not : Şunu unutaak gerekir. Ağırlık erkezi sorularının çözüünün paralel kuvvetlerin dengesinden bir farkı yoktur. Bu yüzden ağırlık erkezi sorularında x = M kullanaızda F bir sakınca yoktur. 1 O noktasına göre oent alırsak; X = -1.1 + 2.4 x = 7/5R uzaklıktadır. 4 + 2-1 O R O R R O R 4 2 Daireleri ayrı ayrı kullansak ta sonuç yine değişez. Örnek 5 : Şekildeki düzgün, türdeş levhadan taralı alan çıkartılıp, yanına eklenirse ağırlık erkezi ilk durua göre kaç biri yer değiştirir? Bir cisin içinden bir parça çıkarıldıktan sonra geriye düzgün geoetrik bir şekil kalıyorsa, ağırlık erkezinin yeni yerini bulurken yukarıdaki gibi işle yapaıza gerek yoktur. Yeni oluşan şekil üzerinde alanlarından ağırlıkları bulunur ve oent alınarak yeni ağırlık erkezi bulunur. Sol baştaki kuvvete göre oent alırsak; X = 8.0 + 4.2 + 4.4 x = 24 x = 1,5 biri ilk kuv. uzak. 8 + 4 + 4 16 8br 2 4br 2 4br 2 Yeni ağırlık erkezi ilk baştaki ağırlık erkezinden 0,5 br sağ taraftadır. Örnek 6 : X Y Z Yoğunlukları sırasıyla 2,2 gr/c 3, 2,8 gr/c 3, 3 gr/c 3 olan x, y ve z küreleri birbirlerine onte ediliştir. Siste nereden asılırsa dengede kalır?
X Y Z Aynı addeden yapıladıkları için ağırlıklarını hacilerden faydalanıp karşılaştıralıyız. 1 = V. d 1 = 4/3 (2r) 3.2,2 1 = 17,6.4/3 r 3 2 = V.d 2 = 4/3 r 3.2,8 3 = V.d 3 = 4/3 r 3.3 17,6 2,8 3 İlk kuvvete göre oent alırsak; x = 17,6.0 + 2,8.3 + 3.5 x = 23,4 x = 1r uzaktadır. 17,6 + 2,8 + 3 23,4 Örnek 7 : 2 Şekildeki, 2 ve 3 kütleli cisilerin kütle erkezi neresidir? 6 2 3 1 2 9 6 Örnek 8 : 2 Şekilde görüldüğü gibi bu üç cisin oluşturdukları sistein ağırlık erkezi kırızı ile belirtilen yerdir. 2 6 ve 6 kütlelerinin kütle erkezi neresi olur? 6 2 2 6 arasındaki kütle erkezini bulak istersek, ilk önce üç kütleyi çizgilerle birbirine bağlıyalı ve sonra kütlesinden çizeye başlayıp, sistein ağırlık erkezinden geçip kütleler arasındaki çizgiyi kestiğiiz yer 2-6 arasındaki ağırlık erkezidir. Diğerleri içinde aynı yol izlenir. 6
Örnek 9 : 2 Şekildeki, 2 ve 3 kütleli cisilerin kütle erkezi neresidir? 6 Y 2 Bu sefer çözüünü bileşke kuvvetin koordinatlarını bularak yapalı. 6 9 X X = 2.1 +.4 + 6.2 x = 18 x = 2 biri 2 + + 6 9 y = 2.3 +.3 + 6.0 y = 9 y = 1 biri 2 + + 6 9 Örnek 10 : K L M N O R Şeklide görüldüğü gibi 2P ağırlığındaki düzgün, türdeş çubuk dengededir. Çubuğun üzerinde bulunan P ağırlığındaki top ok yönünde harekete geçerse Çubuk top hangi noktaya geldiğinde devrilir? K L M N O R Top O noktası üzerindeyken M desteğine göre çubuk dengededir. Çünkü desteğe göre oentler eşittir. O noktasından sonra topun oenti daha büyük olur ve çubuk devrilir.(sağa doğru) 2p P Örnek 11 : 4p K L M N O R S Y 2p Şeklideki çubuk tavana iplerle bağlanıştır. İplerdeki gerileler verildiğine göre çubuğun ağırlık erkezi kaç P dir? ve hangi noktadadır. 4p 1 2 K L M N O R S Y 2p İpteki gerileler ile ağırlık erkezine olan uzaklıklar ters orantılıdır. Yani gerileler 2 ye 1 ise, ağırlık erkezine uzaklıkları 1 e 2 olur. ( 3 böleye 1 dedik.) 6p
Örnek 12 : Şekildeki siste dengededir. Ağırlıksız çubuk üzerindeki yüklerin her biri P ağırlığında olduğuna göre; İplerdeki gerile kuvvetleri ve desteğin tepkisi kaç P dir. T T Aynı ip üzerindeki gerileler aynı olacağından dolayı, iki ipteki gerileler eşit olur. Desteğe göre oent alırsak; 2p 4p T.1 + T.4 = 2P.1 + 4P.2 T = 2P olur. Desteğin tepkisi de yukarı yönlüdür. O zaan yukarıdakiler = aşağıdakilerden N+ T + T = 4P + 2P N + 2P + 2P = 6P N = 2P olur. Örnek 13 : Özdeş ve türdeş karelerden oluşan sistelerden hangileri verilen şekilde dengede kalır? I II III Sistelerin dengede kalabilesi için askı eksenlerine göre sağlı ve sollu oentlerin birbirine eşit olası gerekir. Şekilde de görüldüğü gibi üçü de dengede kalabilir. Çünkü askı eksenine göre sağlı ve sollu oentler eşittir. 2 2 2 2 2 2 Örnek 14 : şeklideki özdeş küplerden cisiler birbirine perçinleniştir. Cisiler serbest bırakılırsa hangileri dengede kalabilir? I II III
2 1 2 2 2 2 Sistelerin devrilesi için döne eksenine göre sağ taraftaki oentlerin sol taraftaki oentlerden büyük olası gerekir.. Küplerin bir kenarı 2 biri olsun. I.için : 2.1 >1.1 dengede kalır. II.için: 2.1 = 2.1 dengede kalır. III.için: 2.2 > 2.1 dengede kalır. Bu şekilde olsaydı. O zaan 2.2 = 4.1 ve hala dengede kalırdı. Sağ tarafa bir küp daha ilave etseydik o zaan sağa doru yıkılırdı. 2 4 Örnek 15 : K P M R L Hangileri çıkartılırsa düzgün, türdeş levha dengede kalaya deva eder? I- K ve R II- P ve R III- M ve L IV- K ve L Çıkartılacak parçaların döne eksenine göre sağlı ve sollu oentleri eşit ise dengede kalaya deva eder. Ağırlıklar aynı olduğuna göre çıkan parçaların sağlı sollu döne eksenine göre oentlerine baksak yeterli olur. K 1,5 br 0,5 br R dengede kalaz. P 1,5 0,5 R dengede kalaz. M 0,5 1,5 L dengede kalaz. K 1,5 = 1,5 L dengede kalır. Örnek 16 : Şekildeki düzgün, türdeş tellerden hangileri asıldığı gibi dengede kalabilir? I II III Askı eksenlerini uzatırsak, tellerin dengede kalabilesi için askı eksenine göre tel parçalarının oentlerinin birbirine eşit olası gerekir. O zaan II VE III ün dengede kalacağı açıkça görülür. Ağırlıklar için tellerin uzunluklarından faydalanırız.
Örnek 17 : Özdeş, türdeş karelerden oluşan levhalardan hangileri serbest bırakıldığında dengede kalabilir? ı ıı ııı Levhaların sola doğru devrilebilesi için 1 nuaralı ipe göre sol taraftaki karelerin oentlerinin, sağ taraftaki karelerin 1 nuaralı ipe göre oentlerinden büyük olası gerekir. 1 Karenin bir kenarının uzunluğu 2br olsun. O zaan; 1.1 < 3. 3 1 < 9 sol tarafa doğru devrilez. 1 3 2 3.3 > 1.1 9 > 1 sağ tarafa doğru da devrilez. Yani dengede kalır. 3 1 Diğer levhalar için de aynı işleleri yaparsak, I ve III nuaralı levhaların dengede kaldığını görürüz. II. Levha sağa doğru devrilir. Örnek 18 : Özdeş ve türdeş kare levhalardan oluşan siste F kuvveti tarafından dengede tutulduğuna göre; bir kare levhanın ağırlığı kaç newton dur? F=5N F=5N 2 1 2 İpin sağındaki kare levhalar ile F kuvveti sistei aynı yöne doğru çevirek isteektedir. O zaan ipe göre oent alırsak; (Her bir karenin bir kenarı 2br ve bir karenin ağırlığı P olsun.) 2P.3 + 1P.1 = 5.4 + 2P.1 7P = 20 + 2P 5P = 20 P = 4 N olur.