İkini Dereeden Denkleler İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :,, R ve olk üzere + + denkleine, ikini dereeden ir ilineyenli denkle denir Bu denkledeki,, gerçel syılrın ktsyılr, e ilineyen denir Bu denklei gerçekleyen gerçel syılr denklein gerçel kökleri, denklein köklerini ul işleine denklein çözüü denir Denklein köklerinin küesine de denklein çözü küesi denir UYARI Ayrı elirtiledikçe, denklein çözü küesi denildiğinde, denklein R deki çözü küesi nlşılktır İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ İlk olrk + + denkleini çrpnlrın yırrk çözeiliriz ÖRNEKLER : Aşğıdki denklelerin çözü küelerini ulunuz + ÇÖZÜMLER : ( ( ( ( ( V V V Ç {, } Ç {,} Ç {, } DENKLEMİNİN GENEL ÇÖZÜMÜ (FORMÜLLE ÇÖZÜM ikini dereeden denklei düzenlenirse; ( in ktsyısının yrısının kresi eklenip çıkrıldı
ise o hlde ve = elde edilir Bu kökler gerçel syı ise olsı gerekir TANIM : + denkleinde ifdesine denklein diskriinntı denir ve ile gösterilir Denklein kökleri ise, forülleri ile ulunur Bu kökler kıs,, içiinde yzılır İrdelee: denkleinde iken ise denklein iririnden frklı iki gerçel kökü vrdır Bunlr, dır UYARI ile gerçel syılrı ters işretli ise dır
ise denklein iririne eşit iki gerçel kökü vrdır Bu durud denklein çkışık iki kökü vrdır y d iki kt kökü vrdır d denir Bunlr dır olduğundn ( ifdesi tkre olur ise denklein gerçel kökü yoktur Denklein R deki çözü küesi dir İNDİRGENMİŞ DİSKRİMİNANT (YARIM FORMÜL denkleinde çift iken kullnılilir olsun Bu durud, ( ' ', olur ÖRNEKLER : Aşğıdki denklelerin çözü külerini ulunuz ÇÖZÜMLER :,,,, ( ( ( 9, ( 9 8 7 olduğundn Ç dir Ç,,,,
Ç İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLER: A ÇARPANLARINA AYRILABİLEN DENKLEMLER P(Q( P( V Q( ÖRNEKLER : Aşğıdki denklelerin çözü küelerini ulunuz 8 7 ( 8 ÖRNEKLER : 8 7 ( 8 ( 9( [( ] ( ( ( 9 ( V ( ( ( ( 8 V V 8 Ç {, 8} Ç,, A RASYONEL DENKLEMLER P( Q( P( Q( 7 7 7 ( ( ( ( ( ( ( 7 ( ( ( ( ( ( ( ( denkleinin çözü küesi nedir?
7 7 ( ( = Ç B YARDIMCI BİLİNMEYEN KULLANILARAK ÇÖZÜLEN DENKLEMLER (DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME 7 denkleinin çözü küesi nedir? t olsun ( t olur Burdn denkle t t 7 içiine dönüşür (t 7 (t t 7 V t t 7 t 7 Ç {,} C KÖKLÜ DENKLEMLER n N + ve P( R [] olk üzere n ( P ifdesi R için tnılıdır n P( ifdesi, P( koşulunu gerçekleyen ler için tnılıdır Köklü denkleler çözülürken genelde şu yol izlenir: Köklü ifde ( y d köklü ifdelerden irisi eşitliğin ir ynınd ylnız ırkılır Her iki trf uygun kuvveti lınrk, denkle kökten kurtrılır Kökten kurtuluş denkle çözülerek ulunn çözülerin yukrıd elirtilen koşullr uygun olup oldığın y d denklei sğlyıp sğldığın kılrk denklein çözü küesi ulunur denkleinin çözü küesi nedir? eşitliğinin sğlnsı için, ve ollıdır
( ( = 8 7 ( ( V Ç {} D ÜSLÜ DENKLEMLER X X denkleinin çözü küesi nedir? dir ( ( V Ç {, } F MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER Mutlk değerli ifde içeren ir denklei çözek için ypılk ilk işle, gerçel syılrd utlk değer tnıını kullnrk utlk değeri kldırktır Bunu şöyle çıklyiliriz n N n n f ( f ( f (,f( f (,f( denkleinin çözü küesi nedir? ( ( ( Ç {} dir ( ( V Ç {}
Denklein çözü küesi ise Ç Ç Ç dir Burdn Ç = {, } ulunur DENKLEM SİSTEMLERİ y sisteinin çözü küesi nedir? y y y, y ( ( (, V y y y y Ç {(,, (, } y sisteinin çözü küesi nedir? y y y y y y y y y 8 8 y y y Ç 8, PAREMETRELİ DENKLEMLER İçinde değişkeninden şk sit y d sitler ulunn denklelere pretreli denkleler denir Örneğin; ( denkleindeki pretre ; ( denkleindeki pretreler ve dir
( ( = denkleinin köklerinden irisi ( ise kçtır? ( ( için ( ( ( ( ( denkleinin iririne eşit iki kökünün olilesi için ( kç ollıdır? ise ollıdır ( [ ( ] ( UYARI İkini dereeden ir ilineyenli ir iki denklein irer kökleri ynı (ortk ise, u iki denkledeki li teriler yok edilir Bulunn değeri, denklelerin ortk kökü olur (n denklelerinin çözü küesi eşit ise (, n ikilisi nedir? YOL : Çözü küeleri eşit ise denklelerde iririne eşit ollıdır / (n / (n 8 (n ve 8 n 7 7 n 7 7
İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR denkleinin diskriinntı ve kökleri ve idi Bun göre ; Köklerin toplı : Köklerin çrpıı : Köklerin frkı : Köklerin çrp işleine göre terslerinin toplı : Köklerin krelerinin toplı : ( Köklerin krelerinin çrp işleine göre terslerinin toplı : ( 7 Köklerin küplerinin toplı : ( ( 8 Köklerinin küplerinin çrp işleine göre terslerinin toplı : (
UYARI Köklerle ktsyılr rsınd verilen ğıntılrdn ilk üçünün ess lınrk, diğerlerinin unlrdn ve özdeşliklerden yrrlnılrk elde edildiğine dikkt ediniz denkleinin kökleri ve dir ise kçtır? Denklede,, dür ( ( ( 7 denkleinin köklerinin er eksiğinin çrpıı kçtır? Denklein kökleri, olsun İstenen ğıntı ( ( dür Bun göre; ( ( 9 7 ( 9 9 9 9 olur KÖKLERİ VERİLEN DENKLEMİ BULMAK Kökleri, oln ikini dereeden ir ilineyenli denkleler, ( ( içiindedir Bu denkle düzenlenirse, ( ( denklei elde edilir Kökleri ile oln ikini dereeden ir ilineyenli denkle nedir?
( ( olduğundn denkle, ( ( ( ( ( ( dır Ktsyılrı rsyonel syı oln ikini dereeden ir ilineyenli ir denklein köklerinden irisi dir Bu denkle nedir? UYARI,,, p, q Q olk üzere denkleinin ir kökü p q ise p q dur Bun göre ise dür ( (, ( ( ( 9 7 dir Denkle, ( ( = 7 olur ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER denkleinin çözü küesi nedir? ( ( ( ( ( ( (
Ç {} denkleinin köklerinin çrpıı kçtır? t olsun (t (t t t t t t t t t V t R denkleinin kökleri ve dir nedir? 9 ( ( ( ( = 78 denkleini sğlyn değeri nedir?
78 9 7 8 9 78 8 78 8 78 y z 9 y y z z sisteini sğlyn y değeri nedir? y z 9 y y z z y z 9 ( z (9 y z z 8y y y y 8y y 8y 8 y Köklerinden irisi oln rsyonel ktsyılı ikini dereeden ir ilineyenli denkle nedir? ise Denkle, dir ( ( ( ( olur 7 ( = denkleinin kökleri, dir s ve p olk üzere, u denklein kökleri rsınd ye ğlı olyn ğıntı nedir?
( = s p s p s p s p s p ( s ( ulunur 8 denkleinde ğıntısı vrs kçtır? Bu denklede, 8 ( 8-8 9 9 ise nedir? ( ( ise
, = denkleinin ve kökleri rsınd ğıntısı vrs, t syısı nedir? ( ( 8 7 ( 9 ( Ç 9,