DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI 1-60) Dört çocuk, Ahmet, Ferit, Berk ve Mehmet koşu yarışı yapıyorlar. Yarışma sonucunda, Ahmet, "Ben birinci ve sonuncu olmadım.", Ferit, "Ben sonuncu olmadım.", Berk, "Ben birinci oldum." ve Mehmet, "Ben sonuncu oldum." diyor. Çocuklardan üçü doğru, biri yalan söylediğine göre birinci ve sonuncu kimdir? Ahmet yalan söylememiştir. Çünkü Ahmet in yalan söylemesi durumunda Berk veya Mehmet ten biri de yalan söylemiş olur. Benzer olarak, Ferit ve Mehmet de doğru söylemiştir. Yanlış söyleyen Berk tir. O zaman Mehmet sonuncu, Ferit de birincidir. YANIT: Sırasıyla Ferit ve Mehmet. -60) f : fonksiyonu, f 1 1koşulunu ve f x 5 f x 5 f x 1 f x 1 eşitsizliklerini sağlayan bir fonksiyon ise f 010 değeri kaçtır? Çözüm. f x 5 f x 5 f x 4 1 f x 3 f x 3 f x 1 4 olduğundan f x 1 f x 1 ve f x 1 f x 1koşulundan dolayı, f x 1 f x 1 elde edilir. O halde, f 1 1, f 3 1 3,..., f 010 010 olarak bulunur. YANIT: 010 3-60) f : 1,1 0,1 fonksiyonu 1,1 aralığında türevlenebilir bir fonksiyon olsun. f 0 1ise3f 0 kaçtır? Verilen koşullardan 1 in f fonksiyonunun maksimum değeri ve dolayısı ile 0 noktasının, f fonksiyonunun maksimum noktası volduğu sonucu çıkar. f türevlenebilir bir fonksiyon ve 0 tanım bölgesinin bir iç noktası olduğu içinf 0 0dır ve3f 0 olur.
YANIT: 4-60) a b n açılımında b nin çift kuvvetlerini içeren terimlerin toplamı x ve tek kuvvetlerini içeren terimlerin toplamı y olsun. x y kaçtır? Çözüm. x y a b n, x y a b n olduğu için x y x y x y a b n olarak bulunur. YANIT: a b n 5-60) x y xy z 1 0 denklem sisteminin gerçel sayılardaki çözüm kümesini bulunuz. Çözüm. x ve y sayıları k k 1 z 0 denkleminin kökleridir. Diskriminant Δ 1 1 z z 0olması için z 0olması gerekir. O zaman, k 1 0, k 1, x 1vey 1 olmalıdır. YANIT: x 1, y 1 ve z 0 6-60) x y 1 denklemini sağlayan x ve y asal sayılarını bulunuz. x 1 y olduğu içinx tek sayıdır. x n 1. Bunu kullanarak y n n elde edilir. Yani, y nin çift sayı olması gerekmektedir. Çift olan asal sayı dir. y x 3 bulunur. YANIT: x 3, y. 7-60) Bir dik üçgende kenar uzunluklarının çarpımı yüksekliklerin çarpımının iki katı ise, üçgenin iç açıları kaç derecedir?
B a D c C h b α A abc hab c h, AD h cot, BD h tan c AD BD h cot tan cot tan,tan 1 4 bulunur. Yanıt: 4, 4, ya da 45,45,90 8-60) S 1 n n 3 n... n n dizisinin n için limitini bulunuz. S 1 1... n şeklinde yazalım. O halde, n S 1 n n 1 n 1 dir. n n lim S lim n 1 1 bulunur. n n n YANIT: 1 9-60) 8x8 lik bir satranç tahtasında 4x4 lük karelerin sayısı kaçtır? Satranç tahtasını 0,0, 0,8, 8,0, 8,8 koordinatlarıyla koordinat düzlemine yerleştirelim. 4x4 lük karelerin orjine en yakın köşesinin koordinatları k,m olsun. Birbirinden bağımsız olarak,k ve m nin 0,1,,3,4 değerleri aldığı açıktır. Dolayısıyla, istenen karelerin toplam sayısı 5 5 5 olur. YANIT: 5 10-60)
C A B D 150 00 135 Bulvar Ali nin(a),berna nın (B), Ceren in (C) ve Deniz in (D) evleri yukarıdaki krokide gösterildiği gibi yatay düzlemdeki bir paralelkenarın köşelerinde yer almaktadır. Ali nin, Berna nın ve Ceren in evlerinin bulvara uzaklığı sırasıyla 150m,135m ve 00m dir. Buna göre, Deniz in evinin bulvara uzaklığı kaç m dir? Kolayca görülebilir ki, paralelkenar özelliğinden 00 150 135 x eşitliği sağlanmalıdır. dolayısıyla aranan uzaklık 85m olur. YANIT: 85 11-60) a b c 0vea 0,b 0,c 0olduğuna göre a b b c c a a c c b b a toplamı kaçtır? a b Paydaları eşit olanları bir araya getirip toplarsak, c a b c 0 şartını kullanarak, c c b b a a 3 bulunur. a c b b c a elde edilir. YANIT: 3 1-75) Bir sırada 8 koltuk bulunmaktadır.5kişi busıraya rasgele oturduğunda, yan yana bulunan koltuğun ikisinin birden boş olmama olasılığı nedir? Boş koltuklar sıranın başlarında veya 5 kişinin aralarında olabilir. Bir sıradaki 5kişi 6 aralık belirledikleri ve 3 boş koltukbuaralıklar arasından her aralıktan en çok bir tane seçilmek durumunda olduğundan istenen olay sayısı 6 3 dur. Buna göre cevap,
6 3 8 5 5 14 olarak bulunur. YANIT: 5 14 13-75) i i 3i 3... 010i 010 karmaşık sayısı kaçtır? Terimlerin reel kısımları toplamı 4 6... 008 010 503 1006, sanal kısımları toplamı 1 3 5... 007 009 1 50 1005 olduğundan aranan sayı 1006 1005i olarak bulunur. YANIT: 1006 1005i 14-75) Türkiye milli futbol takımının 4 oyuncusu vardır. Avrupa şampiyonasında oynadığı 8maçın her birinde 11 oyuncu oynamıştır. Fenerbahçeli futbolcuların herbiri sadece 1 maçta oynamıştır. Bu durumda, milli takımda Fenerbahçe takımındanolanençok kaç futbolcu vardır? Toplam FB li sayısı n olsun. Sırasıyla 1.,.,...,8. maçta oynayan FB li sayısı K 1,K,...,K 8 ve.busayıların en küçüğü K t olsun. Buna göre en az 11 K t tane diğer takım oyuncuları vardır ve dolayısı ile 8K t 4 11 K t 13 K t yani 7K t 13 ve K t 1 elde edilir.. Sonuç olarak, t-inci maçta FB li olmayan 10 oyuncu vardır ven 14 olmalıdır. n 14 örneğin, 1 1 şeklindeki dağılımdan görünür. YANIT: 14 15-75) lim n 1 1 3 3... n n n n
limitini hesaplayınız. dersek, her n 1için A n 11 3 3... n n n n 1 A n n1 n... n n n n n 1 n nn 1 n n 1 1 A n n n 1 elde edilir. Sandwich teoremine göre, ve elde edilir. 1 lim n A n lim n lim n A n 1 n n 1 1 nn 1 n n 1 n 1 n n 1 YANIT: 1 16-75) 0 t için x ve y reel sayılar olmak üzere, xy sin t ve x y tan t eşitlikleri sağlanıyorsa x y kaçtır? eşitliği kullanılarak elde edilir. Buradan bulunur. x y y x tant tant 1 x y xy tan t 1 tant x y sint 1 sintcost 1 sintcost x y YANIT: 17-75) x y z xy xz yz 3 x y z 15 olduğuna göre z sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır?
xy xz yz 6 denklemini x y z 15 denklemi ile toplarsak x y z 1 ve x y z 1 bulunur. x y z,x y z 1 ve sistemlerinden x y z,x y z 1 1 z 1 1vez 1 elde edilir. Buradan z 1 z bulunur. 1 YANIT: 18-75) xy düzleminde, 3,8 ve 5, noktalarını birleştiren doğru parçası, bir çemberin çapını göstermektedir. c,10 noktası bu çemberin üzerinde ise c kaçtır? 3 5 Çemberin merkezi 3,8 ve 5, noktalarının orta noktası olup, 1 ve 8 5ten 1,5 bulunur. Yarıçap ise iki nokta arası uzaklığın yarısı olacağından, 5 3 8 10 r 5 olur. Öyleyse çemberin denklemi x 1 y 5 5 elde edilir. c,10 noktası denklemde yerine konursa, c 1 0 c 1 olarak bulunur. Yanıt: 1 19-75) ABCD karesinin BC kenarı üstünde bir E noktası ve ED üstünde bir F noktası için DF BF ve EF BE ise m DFA kaç derecedir? A D a/ Q a F B a/ a E C
m FBE m EFB a olarak alırsak m FDB m FBD a/ olacağı açıktır. Buradan m DBE m ADB 3a/ 45, a 30 bulunur. ADFB dörtgenini incelersek bunun bir deltoit olduğu görülür. Deltoitlerde köşegenler dik olarak kesiştiği için m FQB 90 olacaktır. DQF nin iç açıları incelenirse m DFA 75 bulunur. Yanıt: 75 0-75) Bir ABC üçgeninde m A 45, m B 75 olsun. AB kenarı üzerinde m ACD 15 AD olacak şekilde bir D noktası alınsın.? BD B D A 45 15 75 45 C Sinüs teoreminden ve AD CD sin15 sin45 BD CD sin45 sin75 yazılır. Buradan da AD 1 bulunur. BD Yanıt: 1 1-90) x 1 f x f 1 x 1 x 1 ilişkisini sağlayan f x fonksiyonunu bulunuz. Verilen eşitlikte x yerine 1 x yazılırsa, aşağıdaki iki denklem elde edilir. x 1 f x f 1 x 1 1 x 1 1 x 1 f 1 1 x f x 1 x 1 x İkinci denklemi ile çarparsak, 1 x f 1 x x f x x 1 x 1 x elde edilir. 1. denklemden. denklemi çıkarırsak f x 1 x 1 bulunur. YANIT: 1 x 1-90) x 3 x 3 y 3 y 3 17 x xy y 5 denklem sisteminin tam sayılarda çözümünü bulunuz.
Her iki eşitliğin her iki tarafına 1 eklersek, x 3 y 3 1 y 3 1 18 x y 1 y 1 6 elde edilir. Çarpanlara ayrıldığında, x 3 1 y 3 1 18 x 1 y 1 6olur. Bu ifadeler, taraf tarafa bölünürse, x x 1 y y 1 3 bulunur. Burada çarpanların, 3 ya da 1 olma durumu ayrı ayrı incelendiğinde sadece 1,,,1 çözümlerinin verilen sistemi sağladığı görülür. YANIT: 1,,,1 3-90) P x polinomunu x 1 ile bölündüğünde 1, x ile bölündüğünde kalanını veren ve başkatsayısı olan 3. dereceden bir polinomdur. P x in sabit terimi 4 ise x 1 ile bölümünden kalan kaçtır? Verilen bilgilerden polinom P x x 1 x K x x şeklinde yazılabilir. Burada, K x ax b,başkatsayısı da olduğundan K x x b olmalıdır. P x x 1 x x b x P 0 4 ifadeleri kullanılarak b, P 1 ise 5 bulunur. YANIT: 5 4-90) x 1,x,x 3,x 4,x 5 pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x 1 x x 3, x x 3 x 4, x 3 x 4 x 5, x 4 x 5 x 1, x 5 x 1 x denklemleri sağlanıyorsa x 1,x,x 3,x 4,x 5 nedir? min x i : i 1,,3,4,5 x max x i : i 1,,3,4,5 y ve x 6 x 1 dersek, x x i x i 1, y x j x j 1 olacak şekilde i,j 1,,3,4,5 vardır. Buradan, x x ve y y yani, x y olur. Dolayısıyla, x 1,x,x 3,x 4,x 5,,,, elde edilir. YANIT:,,,, 5-90) x 1,x,...,x 49 değişkenlerinden her biri diğerinden bağımsız olarak1,0, 1 değerlerinden herhangi birini alabiliyor. Bu sayıların ikişerli çarpımlarının toplamının en küçük değeri kaçtır? x 1,x,...,x 49 değişkenlerinin tüm mümkün ikişerli çarpımlar toplamına S
diyelim. Bu taktirde, S 1 x 1 x... x 49 x 1... x 49 olur. Buradan, S 49 olduğu görülür. S bir tam sayı olduğundan, S 4 elde edilir. x 1,x,...,x 49 değişkenlerinin 5 tanesine 1, geriye kalan 4 tanesine de 1 değerini verirsek S 4 elde ederiz. Tam tersi olsa da durum değişmez. Yanıt: 4 Yedek 1-60) b tam sayısı, a tam sayısının herhangi bir tam katı olmak üzere, b/ 9a log b 10 a log10 a 1 b ise b a kaçtır? b ka dönüşümü yapıp denklemi düzenlersek, ka log 10 k 9a log 10 k 1 ve buradan log 10 k ka 9a 1yanik ka 9a 10 olur. a ve k tamsayı olduğundan, k sadece 10 olabilir. O zaman, a, b 0 ve b a 396 bulunur. YANIT: 396 x y 3 5y 8y Yedek -75) y x 3 5x 8x denklem sisteminin gerçel sayılardaki tüm çözümlerini bulunuz. Verilen denklemleri taraf tarafa çıkaralımveaşağıdaki gibi düzenleyelim: x 3 4x 8x y 3 4y 8y f t t 3 4t 8t dersek f x f y elde ederiz. f 0vet için, f t 3t 8t 8 t 8t 8 t 4t 4 t 0 olduğundan f fonksiyonu kesin artan ve dolayısıyla birebir fonksiyondur. O halde, f x f y eşitliğinden x y olur. Verilen sistemde y x yazarsak x x 3 5x 8x x 3 6x 8x 0 x x 6x 8 0 elde edilir. Buradan denklemin gerçel kökleri x 0, x, x 4 bulunur. O halde, verilen denklem sisteminin çözümleri x,y 0,0,,, 4,4 dür. YANIT: 0,0,,, 4,4