İÇ KUVVETLER maçlar: ir elemanda kesit yöntemiyle iç kuvvetlerin bulunması Kesme kuvveti ve moment diyagramlarının çizilmesi
Yapısal elemanlarda oluşan iç kuvvetler ir yapısal veya mekanik elemanın tasarımı, dış yükleri dengelemede gerekli olan, eleman içine etkiyen yüklerin incelenmesini gerektirir. aşka bir deyişle, sözkonusu elemanın yapıldığı malzemenin, uygulanan kuvvetlere karşı dayanımını koruyup koruyamayacağının ortaya konması gerekir. Kesit yöntemi bu amaç için kullanılabilir. Şekildeki P ve P kuvvetlerine maruz konsol kirişi ele alalım. Eğer noktasında oluşan iç kuvvetleri bulmak istiyorsak kiriş eksenine dik hayali bir aa kesiti geçirmek gerekir, bu kesit ile kiriş iki parçaya ayrılır.
Kirişi noktasından kestiğimizde, iç kuvvetler her bir parçanın serbest cisim diyagramında dış kuvvet olarak gösterilir. u kuvvetler kesitin her iki tarafında büyüklükçe eşit ve zıt yönlü olmalıdır (Newton un üçüncü kanunu). u kuvvetler, parçaların birbirine göre relatif hareketini engellemektedir. N kesite dik olarak etkiyen NORL KUVVET (eksenel kuvvet) V kesite teğet olarak etkiyen KESE KUVVETİ kesite etkiyen EĞİLE OENTİ
kesitindeki iç kuvvetler, parçalardan herhangi birine üç denge denkleminin uygulanmasıyla belirlenebilir. Sağ parçanın serbest cisim diyagramını kullanalım: N V F Fy
İki boyutlu problemlerde, kesitte üç adet iç kuvvet oluşmaktadır. Üç boyutta ise kesitte, genel bileşke iç kuvvet ve kuvvet çifti momenti etki edecektir. u kuvvetlerin, y, z bileşenleri şekilde gösterilmektedir. boyutlu 3 boyutlu ir çok uygulamada, bu bileşke kuvvetler kesitin enkesit alanının geometrik merkezi veya ağırlık merkezinde etki edecektir. Her bir kuvvetin büyüklüğü, elemanın ekseni boyunca çeşitli noktalarda farklı olacaktır. u nedenle, kesit yöntemi bir elemana birden fazla kez uygulanacaktır.
İŞRET KULLERİ ühendislerin genellikle kullandığı N,V, kuvvetlerinin pozitif yönleri aşağıda gösterilmiştir : Pozitif kesme kuvveti Pozitif moment Pozitif normal kuvvet Normal kuvvet elemanda çekme etkisi yaratıyorsa, yönü pozitiftir. Kesme kuvveti elemanı saat yönünde döndürüyorsa, yönü pozitiftir. oment, elemanı aşağı doğru konkav şekle sokuyorsa, yönü pozitiftir. u yönlerin tersi yönünde etki eden kuvvetler negatif olarak ele alınacaktır.
NLİZDE İZLENEEK YOL ir eleman içinde belirli bir yerdeki iç kuvvetleri belirlemek için kesit yönteminin uygulanması aşağıdaki prosedür izlenerek yapılabilir. esnet Tepkileri: eleman parçalara ayrıldığı zaman, denge denklemlerinin sadece iç kuvvetleri bulmak için kullanılabilmesi için, kesilmeden önce mesnet tepkilerini belirlemek gerekebilir. Serbest isim Diyagramı: eleman üzerine etkiyen bütün dış kuvvetler (mesnet tepkileri dahil) eleman üzerinde etkidikleri yerler değiştirilmeden gösterilir. İç kuvvetlerin belirleneceği noktada eksene dik hayali bir kesit geçirilir. Parçalardan üzerinde en az kuvvet olan parçanın serbest cisim diyagramı çizilir. Kesitteki iç kuvvetler pozitif yönleriyle serbest cisim diyagramı üzerinde gösterilir. Denge Denklemleri: bilinmeyen iç kuvvetlerin bulunması için denge denklemleri uygulanır. Normal ve Kesme kuvvetlerini elimine etmek için, oment denge denklemi kesite göre alınmalıdır. Denge denklemlerinin çözümü negatif bir sayı verirse, seçilmiş olan yön yanlıştır, kuvvetin yönü serbest cisim diyagramı üzerinde gösterilene terstir.
Kesme Kuvveti ve oment Diyagramları Ekonomik ve yapısal açıdan efektif bir tasarım yapılabilmesi için şekilde görülen kirişler açıklık boyunca farklı kesitlerde üretilmiştir. Çünkü kirişin ortasına kıyasla mesnetlerinde oluşan moment değeri daha büyük olacaktır. Kirişler, eksenlerine dik uygulanan yükleri taşımak için tasarlanan elemanlardır. Genelde, kirişler sabit enkesit alanına sahip uzun, doğrusal çubuklardır. esnetlenme durumlarına göre sınıflandırılırlar. Örn: basit mesnetli kiriş ( bir ucunda pimli diğerine kayar mesnet), ankastre kiriş (bir ucundan ankastre mesnetle sabitlenmiş, diğer ucu serbest) vb.
ir kirişin tasarımı, kirişin ekseni boyunca her bir noktada etkiyen iç kesme kuvvetinin (V) ve eğilme momentinin () değişiminin detaylı olarak bilinmesini gerektirir. Normal kuvvetin değişimi kirişlerin tasarımında dikkate alınmaz. Çünkü, genelde kuvvetler kiriş eksenlerine dik doğrultuda etkir ve bu kuvvetler sadece kesme kuvveti ve moment oluşturur. Ve tasarım açısından kirişlerin kesmeye ve eğilmeye karşı dayanımları eksenel yüke dayanımından çok daha önemlidir. Kuvvet ve eğilme momenti analizi tamamlandıktan sonra, kirişin gerekli enkesit Kuvvet ve eğilme momenti analizi tamamlandıktan sonra, kirişin gerekli enkesit alanını belirlemek için malzeme mekaniği teorisi ve uygun bir mühendislik tasarım standardı kullanılabilir.
Kirişin ekseni boyunca konumunun fonksiyonu olarak V ve nin değişimleri kesit yöntemi kullanılarak ele edilebilir. ununla birlikte, kirişi belirli bir noktadan kesmek yerine bir uçtan keyfi bir uzaklıktan (,, 3 gibi) kesmek gerekir. in fonksiyonu olarak V ve nin değişimlerini gösteren grafiklere, kesme kuvveti diyagramı ve eğilme momenti diyagramı denir. Genelde, yayılı yüklerin değiştiği ya da tekil kuvvet veya momentlerin uygulandığı noktalarda, iç kesme kuvveti ve eğilme momenti fonksiyonları veya bunların eğimleri süreksizdir. u nedenle, bu fonksiyonlar kirişin herhangi iki yükleme süreksizliği arasında yer alan her bir parçası için belirlenmelidir. Örn: şekildeki (Oa), (ab), (bl) parçaları için V ve fonksiyonları için ayrı ayrı hesaplanmalıdır.
V( ) ( ) a V( ) ( ) a b V( 3 ) ( 3 ) b 3 L
a) Yukarı yönlenmiş kuvvetler yukarı doğru ve aşağıya doğru yönlenmiş kuvvetler aşağı doğru çizilir. b)kuvvetlerin bulunmadığı aralıklarda kesme kuvveti eksenine paralel bir doğru, düzgün yayılı yük için lineer bir doğru ve üçgen yayılı yük için ikinci dereceden bir eğridir. c)ir noktadaki eğilme momenti, kendisinden bir önceki eğilme momentinden, bu iki nokta arasındaki kesme kuvvetinin alanın toplanması veya çıkarılmasıyla elde edilir. d) Eğilme momenti diyagramının derecesi kesme kuvvetinin derecesinden bir fazladır.
İÇ TESİRLERİN KYNĞI DIŞ KUVVETLERDİR! DIŞ KUVVETLER N,, T DİYGRLRI İÇ TESİRLER HESPLNIR ÇEŞİTLİ HESPL YÖNTELERİ TSRI OYUTLNDIR
İŞRET KULLERİ N T Sol uç Sağ uç T N
ÖRNEK 9 m 5 t m Şekildeki basit mesnetli kirişin kesme kuvveti ve moment diyagramlarını çiziniz. Tüm kirişin in serbest cisim diyagramından mesnet kuvvetlerini bulalım: 5t y y
Çözüm için öncelikle mesnet reaksiyonları hesaplanmalı, daha sonra kaç kesim yapılacağına karar verilmelidir. çıklıkta adet tekil yük bulunmaktadır. Kiriş bu yükün solunda ve sağında olmak üzere iki parça halinde incelenmelidir. 5 t X y m m y y y 5 y.5t y. 5t
Kesim mesneti tarafından tekil kuvveti dışarıda bırakacak şekilde yapılır. Kesilen sağ uca N,,T işaret kuralına göre yerleştirilir: N.5 t T F N < <m arasında geçerli bağıntılar: metre arasında sabit F y.5 T T.5t tm.5. 5 5tm
İkinci kesim mesneti tarafından tekil kuvveti dışarıda bırakacak şekilde yapılır. Kesilen sol uca N,,T işaret kuralına göre yerleştirilir: N T.5 t < <.5m arasında geçerli bağıntılar: F N metre arasında sabit F y T.5 T.5t.5. 5 5tm
5 t Diyagramların çiziminde elde edilen bağıntılardan yararlanılır. asit yükleme durumlarında mesnet tepkileri ve yükleme durumuna bakılarak diyagramlar doğrudan çizilebilir. m m.5 t.5 t Kesme kuvveti düşey yük ve tepkiler kullanılarak diyagrama işlenir. Kiriş üzerinde yük olmayan bölgelerde kesme kuvveti sabittir. Yük etkiyen noktalarda ani kesme kuvveti değişimi gözlenir. oment diyagramı kesme kuvveti diyagramı altında kalan alan (işaretine de bakılarak) kullanılarak çizilir. N (ton) T (ton) (tm).5.5.5.5 5
İkinci bir alternatif olarak sağdaki parçanın hesaplamaları sağdan kesilerek de yapılabilir.
ÖRNEK 9 şağıda yükleme durumu verilen kirişin N,,T diyagramlarını çiziniz. t 3 5 t 4 3 m m 3 m
çözüm X t D 3 5 t 4 3 m m 3 m y y 3 t y y 6 *3 4*5 8* y y 3.5t y. 75t
İlk kesim: 3 t N T.75 t () < <3m arasında geçerli bağıntılar: F 3 N N 3t F y.75 T T.75t tm.75. 75 3 8. 5tm
İkinci kesim: 3 t t T N.75 t 3 m (D) < <m arasında geçerli bağıntılar: F F y 3 N N 3 t.75 T T.75t *.75*(3 ) 8.5. 75 8. 5tm D 9. 75tm
Son kesim: Kolaylık olması açısından diğer taraftan kesim yapılabilir. N T (D) 3 3.5 t < 3 <3m arasında geçerli bağıntılar: F N F y T 3.5 T 3.5t tm 3 3.53 3. 5 3 3 D 9. 75tm 3
3 t t 4 t D 3 5 t 4 3 t.75 t 3 m m 3 m 3.5 t N (ton) 3 3 T (ton).75.75 3.5.75 3.5 (tm) 8.5 9.75
ÖRNEK 9 3 6 kn luk kuvvetin hemen solundaki noktası ve hemen sağındaki noktasında oluşan Normal kuvvet, Kesme kuvveti ve Eğilme momentini belirleyiniz. ÇÖZÜ esnet kuvvetleri, tüm kirişin serbest cisim diyagramı kullanılarak bulunur.
Kiriş noktasından ve noktasından kesilir, serbest cisim diyagramı çizilir. parçası parçası parçası parçası
ÇÖZÜ Çözüm için öncelikle mesnet reaksiyonları hesaplanmalı, daha sonra kaç kesim yapılacağına karar verilmelidir. çıklıkta adet tekil yük bulunmaktadır. Kiriş bu yükün solunda ve sağında olmak üzere iki parça halinde incelenmelidir. X 3 m 6 kn 6 m 9 kn m y y y y 6 6*3 9 9* y y kn y 5kN
Kesim mesneti tarafından tekil kuvveti dışarıda bırakacak şekilde yapılır. Kesilen sağ uca N,,T işaret kuralına göre yerleştirilir: N T 5 t < <3m arasında geçerli bağıntılar: F N 3 metre arasında sabit F y 5 T T 5kN knm 5 5 3 5kNm
İkinci kesim mesneti tarafından tekil kuvveti dışarıda bırakacak şekilde yapılır. Kesilen sol uca N,,T işaret kuralına göre yerleştirilir: N T 9 kn m < <6m arasında geçerli bağıntılar: kn F F y N T T kn 3 metre arasında sabit 9. 9 9 knm 6 5kNm
Diyagramların çiziminde elde edilen bağıntılardan yararlanılır. asit yükleme durumlarında mesnet tepkileri ve yükleme durumuna bakılarak diyagramlar doğrudan çizilebilir. X 5kN Kesme kuvveti düşey yük ve tepkiler kullanılarak diyagrama işlenir. Kiriş üzerinde yük olmayan bölgelerde kesme N (kn) kuvveti sabittir. Yük etkiyen noktalarda ani kesme kuvveti değişimi gözlenir. oment diyagramı kesme kuvveti diyagramı altında kalan alan (işaretine de bakılarak) kullanılarak çizilir. Tekil moment olan noktalarda moment diyagramında ani değişim olur. T (kn) 3 m 6 kn 5 5 6 m 9 kn m kn (knm) 5 9
ÖRNEK 9 4 şağıda yükleme durumu verilen kirişin N,,T diyagramlarını çiziniz. 4 t 3 t/m 3m 5m m
4 t 3 t/m y 3m m y 5m F Fy y y 4 t (3 t/m *5) y y 9 t 4 t *3 m (3 t/m *5)*.5 m 5* y y 9.9 t ( ) y 9. t ( )
4 t 3 t/m Kiriş noktasındaki tekil kuvvet nedeniyle iki bölgeden oluşmaktadır. 9. t 3m m 9.9 t 5m () < <3m arası: 3 t/m () < <m arası: 3 t/m 9. t T N N T 9.9 t
3 t/m () < <3m arası: 9. t T N F F y N 9. 3* 9. T 3 T 9. 3 9. T 9. t 3 T. t.5.derece tm 3 3. 8tm
3 t/m () < <m arası: N T 9.9 t F F y N 9.9 3* 9.9 3 T T 3 9.9 9.9 T 9. 9t T 3. 9t.5.derece tm 3. 8tm
4 t 3 t/m Yayılı yüklerin bulunduğu kiriş diyagramlarında yayılı yük alanı (şerit yük*etkidiği mesafe) kesme kuvvetindeki mesafe boyunca doğrusal değişimi gösterir. 9. t 3m m 9.9 t oment diyagramı da kesme kuvveti diyagramı altında kalan alan (işaretine de bakılarak) N (ton) kullanılarak çizilir. Kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği noktada eğilme momenti maksimum değerini alır. T (ton) (tm) 9.. 3.9 9.9 o o 3.8
ÖRNEK 9 5 şağıda yükleme durumu verilen kirişin N,,T diyagramlarını çiziniz. 8 t/m 3 t 3m.5m
8 t/m 3 t y 3m.5m y F 3 3 t Fy y y (8 t/m *3) y y 4 t (8 t/m *3)*.5 m 4.5* y y 8 t ( ) y 6 t ( )
8 t/m () < <3m arası: 3 t 6 t T N F F y 3 N N 3 t 6 8* 6 T T 8 6 8 6 T 6t 3 T 8t 4.derece tm 3 tm
Kolaylık olması açısından diğer taraftan (sağdan) kesim yapılabilir. N 3 t T () < <.5m arasında geçerli bağıntılar: 8 t F N 3 N 3t F y T 8 T 8t tm 8 8.5 tm
8 t/m 3 t 3 t 6 t 3m.5m 8 t Üçgen benzerliğinden kesme kuvveti diyagramında sıfır kesme kuvveti noktası bulunur. u soruda m oment denkleminde yerine konulursa: 6 4 6tm N (ton) T (ton) (tm) 3 6 o m 8 6 3 8
ÖRNEK 9 6 şağıda yükleme durumu verilen kirişin N,,T diyagramlarını çiziniz. t/m 3 tm 6 tm 3m
t/m 3 tm 6 tm y 3m y F Fy y y ( t/m *3) y y 6 t ( t/m *3)*.5 m 3* y 36 y 4 t ( ) y t ( )
t t/m N T <<3m arası: () N F t T 3 tm 3 3 * T T F N F y tm 3 tm 6 3 t T 4 3.derece
t/m 3 tm 6 tm t 3m 4 t Üçgen benzerliğinden kesme kuvveti diyagramında sıfır kesme kuvveti noktası bulunur. u soruda m oment denkleminde yerine konulursa: 3 tm N (ton) T (ton) (tm) 3 m o o 4 6
ÖRNEK 9 7 şağıda yükleme durumu verilen kirişin N,,T diyagramlarını çiziniz. t/m 5 t 4 3 tm m m
t/m 4t 5 t y 3 4 3t tm m m F 3 3 t Fy y ( t/m *)4 y 8 t ( t/m *)* m 4*3 m 8 tm ( )
t/m () < <m arası: 3 t 8 tm N 8 t T F F y 3 N N 3 t 8 * 8 T T 8 8 T 8t 8 8 T 4t.derece 8tm 6tm
tm 4 t 3 t N T < <m arası: () 4 4 4 4 3 3 t T T F t N N F y tm tm 6
t/m 4 t 8 tm 3 t 8 t 3 t tm m m N (ton) 3 3 T (ton) 8 4 4 (tm) 8 o 6
ÖRNEK 9 8 şağıda yükleme durumu verilen kirişin N,,T diyagramlarını çiziniz. t 5 t D 3 tm m 3m m
t 5 t D D 3 tm y m 3m m D y F D Fy y D y 5 y D y 7 t * m 5*3 m 3D y *5 m D y.8 t ( ) y 4. t ( )
t N T < <m arası: () t T T F N F y tm 4
t N () < <3m arası: m 4. t T F F y N 4. T T.t *( ) 4.*. 4 4tm 3. 6tm
N D 3 tm (D) < 3 <m arası: T 3.8 t F F y N T.8 T.8t 3.8 3 3. 8 D 3tm. 6tm 3 3 3
t 5 t D 4. t.8 t m 3m m 3 tm N (ton) T (ton) (tm).. 4.8.8.6 3
ÖRNEK 9 9 şağıda yükleme durumu verilen kirişin N,,T diyagramlarını çiziniz. t/m t tm 5 t 5m 5m m 6m m
t/m t tm 5 t y 5m 5m y m 6m m F 5 5 t Fy y y y y t (*5)*.5 m tm y * m y 3.5 t ( ) y 6.5 t ( )
t/m tm 5 t 5 t t 6.5 t 3.5 t 5m 5m m 3m 3m m N (ton) 5 5 5 5 T (ton) 6.5 3.5 3.5 3.5 (tm) 7.5.56 7.5
ÖRNEK 9 şağıda yükleme durumu verilen kirişin N,,T diyagramlarını çiziniz. t/m t 5 tm t 5m 5m m 6m m
t/m 5 tm t t y y m 5m 6m 5m m F t Fy y y y y t (*5)*.5 m 5 tm y * m y 7.5 t ( ) y.5 t ( )
t/m 5 tm t t t.5 t 7.5 t 5m 5m m 3m 3m m N (ton) T (ton).5.5 7.5 7.5 (tm).56 37.5.5
ÖRNEK 9 şağıda yükleme durumu verilen kirişin N,,T diyagramlarını çiziniz. 5 kgm kg/m D.m.3m.5m
kg/m 5 kgm D y.m.3m.5m F Fy y ( kg/m *.5) y kg 5 *.75 5 kgm ( )
5 kgm 5 kgm kg/m kg.m.3m.5m D N (kg) T (kg) 5 (kgm) 55 3 5 o
ÖRNEK 9 şağıda yükleme durumu verilen kirişin N,,T diyagramlarını çiziniz. t t/m D tm m 4m m
t t/m D tm m 4m m F Fy y y 4 y y 6 t (4*)* m tm y *4 m t * m y t ( ) y 4 t ( )
t t/m D tm 4 t t m 4m m N (t) T (t) m (tm)
ÖRNEK 9 3 şağıda yükleme durumu verilen kirişin N,,T diyagramlarını çiziniz. 3 t/m 4 t D 3 o m 3m m
3 t/m t 4 t D 3 o 3.46t y y m 3m m F 3.46 3.46t Fy y y 6 y y 8 t (3*)* m y *5 m t *6 m y 3.6 t ( ) y 4.4 t ( )
3 t/m t 4 t 3.46 4.4 3.6 m 3m m D 3 o 3.46t 4.4. 6 N (t). 47m T (t) 4.4.47m.6.6 (tm) 3.3.8
ÖRNEK 9 4 Şekildeki kirişin kesme kuvveti ve moment diyagramlarını çiziniz.