DERS: MATEMATİK I MAT0(0) ÜNİTE: FONKSİYONLAR KONU:. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR Öncelikle açı ölçü birimlerine göz atalım: Bilindiği gibi bir tam açının ölçüsü 0 derecedir. Diğer bir açı ölçü birimi de radyandır. Herhangi bir çemberde yarıçapın uzunluğu kadar yay gören merkez açının ölçüsü radyandır. Diğer bir ifadeyle yarıçapının uzunluğu br olan bir çemberde br uzunluğunda yay gören merkez açının ölçüsü raydandır. Özetle olup buradan radyan raydan 0 derece 0 derece 57 derece ve derece raydan 0,0 radyan 0 dır. Sık kullanılan açı ölçüleri için aşağıdaki tabloya bakınız. Derece 0 0 5 0 90 0 5 50 80 70 0 Radyan 0 5 R y (0, ) / (, 0) radyan (, 0) 0 (0, ) / Sarma fonksiyonu
(0, ) y cot R tan R sin (, 0) O cos P(cos,sin) (, 0) (0, ) Trigonometrik fonksiyonlar Şekildeki birim çemberde [ OP ışını çemberi P noktasında keser ve bu ışın ile O ekseninin pozitif yönde oluşturduğu açının ölçüsü raydan olsun. Sarma fonksiyonunun tanımından açıkça, reel sayısı sarma fonksiyonu ile P noktası ile eşlenir. Bu durumda reel sayısının kosinüsü ( cos ), P noktasının apsisi olarak tanımlanır. Benzer şekilde reel sayısının sinüsü (sin ), P noktasının ordinatı olarak tanımlanır. Öyleyse kosinüs ve sinüs; tanım kümeleri R ve değer kümeleri [, ] aralığı olan fonksiyonlardır. Özetle cos : R [, ] ve sin : R [, ] fonksiyonları sınırlıdır. Ayrıca sin ve cos fonksiyonlarından faydalanarak {( k + ) k Z} R tan : R :, { k k Z} R cot : R :, {( k + ) : k Z} R (, ) sec : R, cosec : { k : k Z} R (, ) R, tan sin cos cos cot sin sec cot cos sin fonksiyonları tanımlanır.
Yukarıda tanımlanan trigonometrik fonksiyonları içeren temel bağıntıların bir kısmı aşağıda verilmiştir. cos + sin tan cot cos( ) cos, sin( ) sin, tan( ) tan, cot( ) cot cos( + y) cos cos y sin sin y sin( + y) sin cos y + sin y cos tan + tan y tan( + y) tan tan y ( ) sin, sin ( + ) cos cos ( ) sin, ( sin ) cos cos ( ) cot, ( cot ) tan tan cos cos sin sin sin cos y tan tan tan cos sin [ cos( y) cos( )] sin sin y + sin cos y cos cos y y [ sin( + y) + sin( )] y [ cos( + y) + cos( )] y + y y sin + sin y sin cos + y y cos + cos y cos cos
0 5 7 5 5 7 cos 0 sin 0 tan cot sec cosec * Temel trigonometrik bağıntılardan yararlanarak tablonun kalan kısmını doldurunuz.
Tanım: f : A R, y f () fonksiyonu verilsin. Her A için f ( + T ) f ( ) olacak + şekilde bir pozitif T R sayısı varsa f fonksiyonu periyodiktir, T ye de f fonksiyonunun bir periyodudur denir. Bu şekildeki tanımlı T sayılarının en küçüğüne (eğer varsa) f fonksiyonunun (esas) periyodu denir. Örnek: f : R [, ], f ( ) sin fonksiyonu periyodik midir? Ödev: Yukarıda tanımladığımız trigonometrik fonksiyonların periyodik olduğunu göstererek esas periyodlarını bulunuz. + Teorem: m Z, a, b R ve a 0 olsun. Bu durumda m m ) sin ( a + b) ve cos ( a + b) fonksiyonlarının esas periyodu m tek ise T, m çift ise T a a m m ) tan ( a + b) ve cot ( a + b) fonksiyonlarının esas periyodu Örnek: Aşağıda verilen fonksiyonların periyodlarını bulunuz. a) f : R R, f ( ) sin + cos b) g R { k + ) : k Z} R g( ) 5 + tan :, ( ) c) h : R R, ( h ( ) sin + cos T a Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri
y cos y sin y tan y cot y sec y cosec
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar f : R [, ], f ( ) sin fonksiyonu örtendir ancak - değildir. Bu fonksiyonun tanım kümesi, aralığına kısıtlandığında elde edilen yeni fonksiyon - ve örten olup tersi vardır. Bu fonksiyonun tersi; Arcsin :[, ],, y Arcsin fonksiyonudur. Açık olarak y, için y Arcsin Siny y Sin y Arcsin Örnek: Arc sin ve Arcsin( ) ifadelerini hesaplayınız. Benzer şekilde f : R [, ], f ( ) cos fonksiyonu örtendir ancak - değildir. Bu fonksiyonun tanım kümesi [ 0, ] aralığına kısıtlandığında elde edilen yeni fonksiyon - ve örten olup tersi vardır. Bu fonksiyonun tersi; Arccos :[,] [ 0, ], y Arccos fonksiyonudur. Açık olarak y [ 0, ] için y Arccos Cosy y Cos y Arccos 7
Benzer şekilde f R {( k + ) : k Z} R :, f ( ) tan fonksiyonu - ve örten değildir. Bu fonksiyonun tanım kümesi, aralığına kısıtlandığında elde edilen yeni fonksiyon - ve örten olup tersi vardır. Bu fonksiyonun tersi; Arctan : R,, y Arctan fonksiyonudur. Açık olarak y, için y Arctan Tany y Tan y Arctan ( ) R Aynı düşünceyle Cot : 0,, y Cot fonksiyonu - ve örten olup tersi fonksiyonudur. olur. y ( 0, ) için Arccot : ( 0, ) R, y Arccot y Arccot Coty y Cot y Arccot 8
ÖRNEKLER. a) Arccos?, arccos? b) Arcsin?, arcsin? c) Arctan?, arctan?. Aşağıdaki denklemleri çözünüz. a) tan b) sin c) c os d) c osec. Aşağıda verilen fonksiyonların en geniş tanım kümelerini bulunuz. a) arcsin + y b) y arctan 5. Aşağıdaki bağıntıların doğruluğunu gösteriniz. a) cos(arcsin ) b) sin(arccos ) c) arcsin(cos ) d) tan(arcsin ) + y e) arctan + arctan y arctan y ÖDEVLER M. BALCI, Genel Matematik Cilt I Sayfa -8 Problemler C.H. EDWARDS, D.E. PENNY, Matematik Analiz ve Geometri Cilt I Sayfa - Trigonometrik Fonksiyonlar konusunu okuyunuz. Sayfa - Problemler -0 Sayfa -5.. Proje: Bir Küresel Astroid KAYNAKLAR M. BALCI, Genel Matematik Cilt I, Balcı Yayınları, Ankara, 00. C.H. EDWARDS, D.E. PENNY, Matematik Analiz ve Geometri Cilt I, (çev.ed. Ömer AKIN), Palme Y., Ankara, 00. 9