HİPERSTATİK SİSTELER Tanım: Bütün kest zorlarını ve bunlara bağlı olarak şekl değştrmelern ve yer değştrmelern hesabı çn denge denklemlernn yeterl olmadığı sstemlere Hperstatk Sstemler denr. Hperstatk Sstemlern Hesabı İçn: a) Denge denklemlerne b) İç kuvvet-şekl değştrme bağıntılarına φ ε. t + d + εt V T GF c) Geometrk uygunluk şartlarına (sürekllk denklemler) htyaç vardır. Dış Etkler (Sebepler): Br sstemde ç kuvvet, şekl değştrme ve/veya yer değştrme meydana getren dış etkler (sebepler) şunlardır: a) Dış Yükler b) Sıcaklık Değşmes b.) Düzgün (t) b.) Farklı ( t) c) Rötre: egatf düzgün sıcaklık değşmes olarak hesaba katılablr. d) esnet Çökmes: esnetlern tanımına uymayan yer değştrmelerdr. u v v v φ u u, v: doğrusal moment çökmeler φ: açısal moment çökmes.(mesnet dönmes) e)ilkel Kusurlar (Yapım hataları) f)öngerme kuvvetler v.s. Öneml ot: İzostatk sstemlerde sıcaklık değşmes, rötre ve mesnet çökmesnden dolayı kest zorları oluşmadığı halde hperstatk sstemlerde bu etklerden dolayı kest zorları meydana gelr.
Örnek: - mesnet çökmes - Hperstatk Sstemlern Hesap Yöntemler - Kuvvet Yöntem (sürekl krşlerde Clepeyron denklemler) - Deplasman Yöntemler (Yer Değştrme Yöntemler) a)açı Yöntem b)cross Yöntem c)sabt oktalar Yöntem d)kon Yöntem v.s. - Başlangıç Değerler Yöntem (Travers Yöntem) KUVVET YÖTEİ A) Tanımlar İzostatk Esas Sstem: Br hperstatk sstemde kesmler yapılarak bazı mesnet tepkler ve/veya kest zorlarının kaldırılması suretyle elde edlen taşıyıcı ve zostatk sstemdr. Br hperstatk sstemden çok sayıda zostatk esas sstem (.e.s.) elde edleblr. Hperstatk Blnmeyen: Hperstatk sstemde yapılan kesmlerle kaldırılan kest zorları ve mesnet tepklerdr. Hperstatklk Dereces: Hperstatk sstem zostatk hale getreblmek çn yapılan kesmlerle kaldırılan mesnet tepkler ve kest zorlarının sayısıdır. Hperstatklk dereces br hperstatk sstemn bütün mesnet tepklernn ve kest zorlarının hesaplanablmes çn denge denklemlerne lave edlmes gereken denklem sayısını verr., : Hperstatk blnmeyen Hperstatklk dereces: n -hperstatk sstem- -zostatk esas sstem-
Br hperstatk sstem zostatk hale getrrken; a) Yalnız mesnet tepklernn kaldırılması yeterl se bu ssteme dıştan hperstatk sstem denr. b) Yalnız kest zorlarının kaldırılması gerekl se bu ssteme çten hperstatk sstem denr. c) Hem mesnet tepklernn hem de kest zorlarının kaldırılması gerekyorsa bu ssteme çten ve dıştan hperstatk sstem denr. UYGULAALAR: ) Hperstatk sstem esnet tepks sayısı : r 7 Denge denklem sayısı Hperstatklk dereces : n r- 7-4 o 4 4 veya.e.s 4 nr--m.e.s m: ara mafsal sayısı ot: a) Br hperstatk sstemden çok sayıda (.e.s) elde edleblr. b) (.e.s) elde ederken mesnet tepklernn yanında bazı kest zorları da hperstatk blnmeyen olarak seçleblr. ) -hperstatk sstem- -.e.snr-m- n7--. º hperstatk sstem ) Hperstatk blnmeyen,,.º den çten hperstatk nr-- -Hperstatk sstem- -.e.s- (Dıştan zostatk, çten hperstatk)
4) 4 5 4 5 º Dıştan º İçten hperstatk sstem (5º hperstatk sstem) -.e.s- -.e.s- 5) veya -.e.s.- n r + ç - d n 4 + * 7 º hperstatk sstem -.e.sç: çubuk sayısı d: düğüm noktası sayısı B) KUVVET YÖTEİİ PRESİBİ Kuvvet yöntem k temel prensbe dayanmaktadır. ) Hperstatk sstemde dış etklerden meydana gelen, kest zorları şekl değştrme ve yer değştrmeler.e.s. de: a) Dış etklerden b) Hperstatk blnmeyenlerden oluşan ç kuvvet, şekl değştrme ve yer değştrmelern toplamına eşttr. Bu prensbe SÜPERPOZİSYO prensb denr. ) Hperstatk blnmeyenler, bu blnmeyenler doğrultusundak geometrk uygunluk şartlarından yararlanılarak elde edlrler. Bu geometrk uygunluk şartlarını fade eden denklemlere SÜREKLİLİK DEKLELERİ (Geometrk Uygunluk Şartları) denr. 4
Uygulama: P P Blnmeyenler :, Denklemler : φ A, B A B A -º Dıştan hperstatk sstem - -.e.s- B P durumu durumu durumu Kest zorları:,,t Kest zorları:,,t Kest zorları:,, T φ A + + B + + Sürekllk Denklemler, elde edlr + + + + T T + T + T Süperpozsyon Denklemler,,,,, yer değştrmeler vrtüel ş teorem yöntem le hesaplanarak sürekllk denklemlernde yerne konur. Bu denklemler çözülerek, hperstatk blnmeyenler bulunur. Sonra süperpozsyon denklemler yardımıyla hperstatk sstemn kest zorları elde edlr ve dyagramları çzlr. C) BİRİ YÜKLEELER Yüklemes: İzostatk Esas ssteme yalnız dış yükler etktlr. Bu durumda meydana gelen kest zorları dyagramları,, T le gösterlr. Yüklemes: İzostatk esas ssteme yalnız hperstatk blnmeyennn brm değer etktlr. eydana gelen kest zorları dyagramları,, T le gösterlr. Br hperstatk sstemn hesabında hperstatklk dereces kadar yüklemes yapılır. (,...n ) 5
D) SÜPERPOZİSYO DEKLELERİ Hperstatk sstemde dış etklerden meydana gelen büyüklükler (kest zorları, mesnet tepkler, yer değştrmeler v.s.) zostatk esas sstemde dış etklerden ve hperstatk blnmeyenlerden meydana gelen büyüklüklern toplamına eşttr. + + +.+ n n + + +.+ n n T T + T + T +.+ T n + n R R + R + R +.+ R n + n Süperpozsyon Denklemler esnet Tepks Süperpozsyon Denklem E) GEOETRİK UYGULUK ŞARTLAR (Sürekllk Denklemler) Hperstatk sstemn kesm yapılan noktalarındak geometrk uygunluk şartlarını fade eden denklemlere sürekllk denklemler denr. Br hperstatk sstemde hperstatklk dereces kadar sürekllk denklem yazılablr. Sürekllk denklemlernn yazılablmes çn vrtüel ş yöntemnden yararlanılır. () sayılı sürekllk denklemnn elde edlmes: KABUL: Ssteme dış etk olarak yalnız dış yüklern etkdğ kabul edlecektr. (Sıcaklık değşmes ve mesnet çökmeler yok.) P Hperstatk Sstem (Vrtüel şekl değştrme durumu) Kest Zorları:,, T.e.s. de yüklemes (Yükleme durumu),, T Şekl değştrmeler ϕ v T / GF 6
* Vrtüel ş teoremne göre: ç kuvvetlern ş dış kuvvetlern şekl değştrme ş ϕ V + + T (,, n ) Bu denklem daha açık yazarsak: T + (,, n ) GF + T / KAPAL SÜREKLİLİK DEKLEİ ( K.S.D.) (Kontrol çn kullanılır.),, T nn süperpozsyon denklemlerndek fadeler yerne konarak denklem yenden düzenlenrse: + +... + + +... + T + T +... + T GF n n n n n n + + T / Bunu düzenl yazarsak: +... n + + +... + n... T T T Tn T + T + T +... + T / / / n / GF GF GF GF n + +... + n + + K.S.D (Kapalı Sürekllk Denklemler) n + +... + (,, n ) + n n + +... + + n n + +... + + n n............ + + + n + n nn n n... n (Açık Sürekllk Denklemler) n blnmeyenl ssteme at Açık Sürekllk Denklem (Hesaplarda kullanılır.) Örnek: Hperstatk br sstemde; + + + + + + + + + olarak yazılır. 7
Sürekllk denklemlerndek katsayı ve sabtler: yer k sebep k (.e.s) de ( k ) yüklemesnden dolayı hperstatk blnmeyenn uygulama noktasında ve doğrultusundak yer değştrmesdr. Bunlara denklem takımının katsayıları adı verlr. k k + k + GF TT k / Bett karşıtlık teoremler gereğnce: k k Bu özellğe göre n. dereceden hperstatk br sstemde hesaplanması gereken katsayıların sayısı: n yerne n(n+)/ olmalıdır. : İzostatk esas sstemde dış yüklerden ( yüklemesnden) dolayı hperstatk blnmeyenn uygulama noktasında ve doğrultusundak yer değştrmesdr. Bunlara denklem takımının sabtler veya yük sabtler denr. + + GF TT / n. dereceden hperstatk br sstemde tayn edlmes gereken yük sabtlernn sayısı (n) dr. ÖZEL HALLER: Uzama ve Kayma Şekl değştrmelernn Terk edlmes Hal: k k Kafes Sstemlerde: * T S Sadece çubuk eksenel kuvvet vardır. Çubuk boyunca sabttr. Dolayısıyla kestte sabt olur. S S k S l k S l l : çubuk boyu UYGULAA: Hperstatk br sstemde; + + + + + + + + + 8
Katsayılar: Sabtler: (+)/6 6 tane tane HESAPTA İZLEE YOL: Hperstatklk dereces belrlenerek, ) Br (.e.s.) seçlr ve hperstatk blnmeyenler gösterlr. ) yüklemes (.e.s.) ye yapılarak ( yan (.e.s.) ye yalnız dış yükler etktlerek ),, T dyagramları çzlr. Uzama ve kayma şekl değştrmeler terk edlyorsa sadece dyagramının çzlmes yeterldr. ) yüklemeler (.e.s.) ye yapılarak ı,, T dyagramları çzlr. Uzama ve kayma şekl değştrmeler terk edlyorsa sadece dyagramının çzlmes yeterldr. Bu şlemler,,, n çn (n) kere tekrarlanır. 4) Denklem takımının k katsayıları ve yük sabtler hesaplanır. Bunların hesabı çn çarpım tablolarından yararlanılablr. Uygulamada paydadak termlernden kurtulmak çn denklem takımının bütün termler c katsayısı le çarpılarak k ve yerne c c c k k ve c hesaplanır. Buradak c herhang br atalet momentdr ve genellkle çubukların atalet momentlernn en küçük ortak katı (EKOK) olarak seçlr. 5) Sürekllk denklem takımı sayısal olarak kurulur ve çözülerek,, n hperstatk blnmeyenler hesaplanır. 9
6) Hperstatk sstemn kest zorları dyagramları çzlr. Bunun çn k yoldan yararlanılır. a) Süperpozsyon denklemler le + + +... + n n + + +... + n n T T + T + T +... + T n n b) Dış yüklerle brlkte hperstatk blnmeyenlern hesaplanan değerler (.e.s.) ye yüklenerek kest zorları dyagramları çzlr. 7) Sonuçlar kontrol edlr. Bunun çn Kapalı Sürekllk Denklemlernden yararlanılır. Hperstatk ssteme at kesr zorları dyagramlarının kapalı sürekllk denklemnn %,5 ~ %, rölatf hata le sağlaması gerekr. + (K.S.D.) GF + TT / Bu kontrolün (,, n ) çn (n) kere yapılmalıdır. Uzama ve kayma şekl değştrmeler terk edlyorsa sadece: (K.S.D.) le kontrol yapılır. Rölatf Hata (+) ve (-) termlernn cebrk toplamı (+) ve (-) termlernn mutlak değerler ortalaması m ÖREK: t t/m C 4 D,, T dyagramlarının çzm. (uzama ve kayma şekl değştrmeler terk edlecektr.) A B 4 m 4 m [] [ ] c [] c [4] (.e.s.) c 4
t t/m t (.e.s.) B A*8 + * * 4 * A. 5t A B *8 + * + * 4 * 6 B 6. 75t.5 t 6.75 t 4/ m 5 + + ql 4 8 (.e.s.) ( ) [tm] tm + + +,5 (.e.s.) ( ) [tm].5.5 - - - t (.e.s.) ( ) [tm] t c c c *5* ( * 6 *[] *5** ( *.5 + ) *[] * 4 *.5**[] 6 +.5*+.5*+ *.5 ) *[] +... + * 4 *.5. 6.7
c *5* *[] + 4 * *[] + ** *[4]. c *5** ( + *.5) *[] + * 4 **.5*[] + * 4 * 4 *.5*[] 6 c *5***[] * 4 ***[] * 4 ** 4 *[] 8. 46.67 ϕ + + A + + B 6,7. + 46.67 4. 47. +. 8.. 47 t C t/m D.5 A 4.47 (.e.s.) B.47.8 6.9.9 4.47 - + + 4 4.6 5. 8tm ma () [tm] 4.4 - + + AC + * ( 4.47) + 4. 47tm CD +.5* ( 4.47) + ( ) *.47 4. 6tm.9.77 +.8.47-6,9 + (T) [t].47 -.67 - - 6.9 () [t]
K.S.D. le kontrol? K.S.D. : c (, ) c *5* ( 4.47 ** + 4.6 * 4.47 *.5 + 4.6 *.5* ) *[] 6 + * 4 *.5* ( * 4.6 4.4) *[] + * 4 *.5* 4 *[]... utlak Hata 6. Rölatf Hata %. 5.+. c 6 * 4 ** 4 *[] + *5** ( 4.47 + * 4.6) *[] *** 4.4*[4].7.76. * 4 ** (4.6 4.4) *[]. Rölatf Hata %..7 +.76 İZOSTATİK ESAS SİSTE SEÇİLESİ (.e.s.): Hperstatk sstemlern kuvvet metoduyla hesabında (.e.s.) seçerken şu noktalara dkkat edlmeldr: - Seçlen sstem taşıyıcı olmalı, OYAK OLAALDR. Oynak sstem seçlmes halnde bütün hesaplar anlamsız ve yanlış olur. - Dıştan hperstatk sstemlerde mesnet tepkler ve /veya kesr zorları hperstatk blnmeyen olarak seçleblr. - İçten hperstatk sstemlerde mutlaka çten hperstatklk dereces kadar kest zorları kaldırılarak (.e.s.) elde edlmeldr. İçten ve dıştan hperstatk sstemlerde se en azından çten hperstatklk dereces kadar kest zoru kaldırılmalıdır. 4- Kest zorlarının hperstatk blnmeyen olarak seçlmes halnden brm yüklemeler brbrne zıt yönde ve eşt değerl br çft kuvvet veya br çft momenttr.
5- Gerek yüklemesnden, gerekse yüklemesnden oluşan ve dyagramlarını çzerken şu noktalara dkkat edlmel: a) Kolay çzleblmel b) Sstem üzernde fazla dallanmamalı c) Ordnatları brbrnden mutlak değerce çok farklı olmamalı (Yuvarlama hatalarını azaltmak) Bunları sağlamak çn : a).e.s.stem konsol krş,bast krş, bast çerçeve veya bunların brleşmesnden oluşan br sstem olmalıdır. b) Seçlen.e.s. mn açıklıkları büyük olmamalıdır. Hperstatk sstem (.e.s.) İYİ İYİ DEĞİL c)genel olarak büyük konsollardan kaçınılmalıdır. İYİ DEĞİL UYGU 4
d) İ.e. sstem üç mafsallı sstem ve gerber krş gb hesabı nspeten uzun olan br sstem olmamalıdır. (Hperstatk sstem) (.e.sstem) Bu sstemn mafsallı UYGU hesabı nsbeten zundur. ÖREKLER : UYGULAA : OYAK ) UYGU DEĞİL UYGU DEĞİL 5
) UYGULAA : ) OYAK ) ) OYAK UYGU DEĞİL 6
4) UYGU DEĞİL 5) UYGU DEĞİL 6) UYGU (.e.s) 7) UYGU (.e.s) UYGULAA : (Hperstatk Sstem) OYAK UYGU DEĞİL 7
İYİ UYGULAA 4 : (Hperstatk Sstem) UYGU (.e.s.) 8