RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: İVME AMAÇLAR: 1. Rijit bir cisim üzerindeki noktanın ivmesini ötelenme ve dönme birleşenlerine ayırmak, 2. Rijit cisim üzerindeki bir noktanın ivmesini rölatif ivme analizi ile hesaplamak.
UYGULAMAR Şekilde gösterilen pencere mekanizmasında, link AC, C noktasına sabitlenmiş bir eksen etrafında dönmekte ve AB ise genel düzlemsel hareket yapmaktadır. A noktası eğrisel bir yörüngede hareket ettiğine göre, ivmesinin iki bileşeni olacaktır. Bunun yanında B noktası doğrusal bir yuvada harekete zorlandığından ivmesinin tek bileşeni olacaktır. Bu noktaların ivmeleri bulunabilir, çünkü hareketleri bilinmektedir. Mekanizmadaki linklerin ivmelerini nasıl bulunur?
UYGULAMALAR(devam) Bir otomobil motorunda, krank miline iletilen kuvvetler ve krank milinin ivmesi, pistonun hızına ve ivmesine bağlıdır. Pistonun ivmesini, bağlantı milini ve krank milini nasıl ilişkilendirebiliriz?
RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: İVME Rijit cisim üzerindeki iki noktanın ivmesi, hız denklemini zamana göre türevi alınarak bulunabilir: dv B = dt dv A dt + dv B / A dt Bunlar A ve B noktalarının mutlak ivmesidir ve sabit bir x- y eksenine göre ölçülmüştür. Bu terim B noktasının A noktasına göre rölatif ivmesidir ve teğetselve normal bileşenleri vardır. Sonuç a B =a A + (a B/A ) t +(a B/A ) n
RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: İVME Vektörel Toplam a B =a A + (a B/A ) t +(a B/A ) n
RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: İVME (devam) Grafik olarak: a B = a A + (a B/A ) t +(a B/A ) n (a B/A ) t rölatif teğetsel bileşendir ve (α r B/A ) şeklinde hesaplanır r B/A ya diktir.. (a B/A ) n rölatif normal bileşendir ve ( ω 2 r B/A ) şeklinde hesaplanır. Yönü her zaman B den A ya (merkeze) doğrudur.
RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: İVME (devam) Rölatif ivme bileşenleri (a B/A ) t = α r B/A ve (a B/A ) n = - ω 2 r B/A, şeklinde ifade edilebildiği için rölatif ivme denklemi aşağıdaki hali alır: a B =a A + α r B/A ω 2 r B/A Dikkat edilirse son terim çapraz çarpım değildir. Bu terim açısal hızın şiddetinin karesi ve r B/A vektörünün çarpımına eşittir (her zaman r B/A nın tersi yönünde).
RÖLATİF İVME DENKLEMİNİN UYGULANMASI (devam) İvme denklemini uygularken, A ve B gibi kullanılan iki nokta genellikle hareketi bilinen noktalar olarak seçilir, örnek bağlantı olarak mafsallı birleşimler verilebilir. Kinematik Diyagram Bu mekanizmada B noktasının dairesel bir yörüngede hareket ettiği bilinmektedir bu durumda a B normal ve teğetsel birleşenler cinsinden ifade edilebilir. Dikkat edilirse, BC linki üzerindeki B noktası ile AB linki üzerindeki B noktası aynı ivme değerine sahip olacaktır. Piston ve BC linkini birleştiren C noktası ise doğrusal bir yörüngede hareket edecektir ve bu yüzden a C yataydoğrultuda olacaktır.
ANALİZ YÖNTEMİ 1. Sabit bir koordinat ekseni belirleyin. 2.Cismin kinematik diyagramını çizin. 3.a A, a B, ω, α, ve r B/A değerlerini diyagram üzerinde gösterin. A ve B noktaları eğrisel bir yörüngede hareket ediyorlarsa, o zaman ivmeleri teğetsel ve normal bileşenler cinsinden gösterilmelidir, örnek a A = (a A ) t + (a A ) n ve a B = (a B ) t + (a B ) n. 4. Rölatif ivme denklemini uygulayın: a B =a A + α r B/A ω 2 r B/A 5.Bilinmeyen bir şiddet değeri için eğer sonuç negatifse, diyagramda gösterdiğiniz yönün ters olduğu anlamına gelir.
IC ÖRNEK 1 Verilen:Şekilde gösterilen an için, AB çubuğu üzerindeki A noktası 5 m/s 2 ivme değerine ve 6 m/s de hıza sahiptir. Aranan:Çubuğun bu andaki açısal ivmesi ve B noktasının yine bu andaki ivmesi bulunuz. Plan: Analiz yöntemini takip edin! Çözüm: Önce, çubuğun bu andaki açısal ivmesini bulmamız gerekmekte. AB çubuğu için (IC) anlık sıfır hız noktasını kullanarak ω bulunur: ω= v A /r A/IC = v A / (3) = 2 rad/s
ÖRNEK 1 (devam) A ve B noktalarının ikisi de doğrusal hareket etmekteler: a A = -5 jm/s 2 a B = a B im/s 2 Rölatif ivme denklemini uygularsak: a B = a A + α r B/A ω 2 r B/A a B i = -5 j+ αk (3 i 4 j) 2 2 (3 i 4 j) a B i = -5 j+ 4 αi+ 3 αj (12 i 16 j)
ÖRNEK 1 (devam) a B i = -5 j+ 4 αi+ 3 αj (12 i 16 j)denklemi ile soru çözülür: i, j bileşenleri karşılaştırılırsa: a B = 4 α 12 0 = 11 + 3α Çözüm: a B = -26.7 m/s 2 α = -3.67 rad/s 2
KONTAK HALİNDEKİ CİSİMLER Kaymadanbirbiriylekontak halinde bulunan ve farklı yörüngelerde hareket eden iki cisim ele alalım: Bu durumda ivmenin teğetsel bileşenleri aynı olacaktır: (a A ) t = (a A ) t (α B r B = α C r C olduğunu gösterir). İvmenin normal bileşenleri ise aynı olmayacaktır: (a A ) n (a A ) n (bu nedenle a A a A )
YUVARLANMA HAREKETİ Dinamikte sıklıkla karşılaşılan diğer bir problem kayma olmadan gerçekleşen yuvarlanma hareketidir (top, silindir veya diskin hareketi). Bu durum,rölatif hız ve ivme denklemleri ile analiz edilebilir. Silindir yuvarlanırken G noktası doğrusal hareket eder. ω ve α biliniyorsa, A noktasının yerle temas(kontak) anı için, A noktasına rölatif hız ve ivme denklemleri uygulanabilir. A noktası anlık sıfır hız noktasıdır (IC), ancak bu nokta anlık sıfır ivme noktası değildir.
YUVARLANMA HAREKETİ (devam) Hız: İvme: Kayma gerçekleşmediği içina yerle temas ettiği anda v A = 0 dır. Kinematik diyagramdan: v G = v A + ω r G/A v G i= 0+ (-ωk) (r j) v G = ωr or v G = ωr i G düz bir yörüngede hareket ettiği için, a G yataydır. A nok. yere değmeden hemen önce, hızı aşağıyöndedir, ve değdikten hemen sonra, hızı yukarıyöndedir. Bu sebeple, yerden ayrıldığında yukarı yönde ivmelenmektedir diye düşünülebilir. a G = a A + α r G/A ω 2 r G/A => a G i= a A j+ (-αk) (r j) ω 2 (r j) Denklemin i ve j bileşenlerini eşitlersek: a G = αr ve a A = ω 2 r veya a G = αr i ve a A = ω 2 r j
ÖRNEK 2 Verilen:Vites, sabit düzlemde hareket etmektedir. Aranan:A noktasının bu andaki ivmesi. Plan: Analiz yöntemini uygula! Çözüm: Vites sabit yüzeyde kaymadan hareket ettiğine göre, a O sağa doğrudur ve şiddeti ise aşağıdaki gibi bulunur: a O = αr= (6 rad/s 2 )(0.3 m)=1.8 m/s 2
ÖRNEK 2 (devam) a O = 1.8 m/s 2 bulunduktan sonra,o ve A noktaları için rölatif ivme denklemini uygulayabiliriz: a A = a O + α r A/O ω 2 r A/O a A = 1.8i+ (-6k) (0.3j) 12 2 (0.3j) = (3.6 i 43.2j) m/s 2 y 1.8 m/s 2 x a A = a B + α r A/B ω 2 r A/B kullarak da soruyu çözünüz! B
ÖRNEK 3 7 cm 5 cm Verilen:AB çubuğu gösterilen anda ω AB =3 rad/s, α AB =2 rad/s 2 değerleri ile dönmektedir.. Aranan:C bloğunun hız ve ivmesi istenmekte. Plan: Analiz yöntemini uygula! 5 cm B noktası döndüğüne göre, ivmenin hangi bileşenleri oluşacaktır?
Kinematik Diyagramlar
ÖRNEK 3 (devam) Çözüm: B noktası döndüğüne göre, bu noktanın hız ve ivmesi : v B = (ω AB )r B/A = (3) 7 = 21 cm/s 7 cm a Bn = (ω AB ) 2 r B/A = (3) 2 7 = 63 cm/s 2 a Bt = (α AB )r B/A = (2) 7 = 14 cm/s 2 5 cm v B = (-21 i )cm/s a B = (-14 i 63 j ) cm/s 2 Kartezyen formda ifade edildi. 5 cm
ÖRNEK 3 (devam) Şimdi B ve C noktaları arasında rölatif hız denklemini uygulayarak, BC linkinin açısal hızını bulabiliriz: v C = v B + ω BC r C/B (-0.8v C i 0.6 v C j) = (-21 i ) + ω BC k (-5 i 12 j) = (-21 + 12 ω BC ) i 5 ω BC j 7 cm i ve j bileşenlerini karşılaştırarak: -0.8v C = -21 + 12 ω BC 5 cm 5 cm -0.6 v C = -5ω BC Bilinmeyen değerler bulunur: ω BC = 1.125 rad/s v C = 9.375 cm/s
ÖRNEK 3 (devam) Şimdi B ve C noktaları arasında rölatif ivme denklemini uygulayabiliriz: a C = a B + α BC r C/B ω 2 BC r C/B (-0.8a C i 0.6 a C j) = (-14 i 63 j) + α BC k (-5 i 12 j) (1.125) 2 (-5 i 12 j) (-0.8a C i 0.6 a C j) = (-14+12 α BC + 6.328 ) i + (-63 5α BC + 15.19)j i ve j bileşenleri karşılaştırılırsa; -0.8a C = -7.672 + 12 α BC -0.6 a C = -47.81 5 α BC
ÖRNEK 3 (devam) Bu iki denklem çözülürse: -0.8a C = -7.672 + 12 α BC -0.6 a C = -47.81 5 α BC Bilinmeyenler bulunur: α BC = -3.0 rad/s 2 a C = 54.7 in/s 2
ÖRNEK 4 Verilen:AB çubuğu gösterilen anda ω AB =10rad/s, α AB =20rad/s 2 değerleri ile dönmektedir.. 0.75 m Aranan:Şekilde gösterilen an için, C pistonunun ivmesi istenmekte. Plan: Analiz yöntemini uygula! 0.25 m B noktası döndüğüne göre, ivmenin hangi bileşenleri oluşacaktır?
ÖRNEK 4 (devam) Aşağıdaki şekilde kinematik diyagram gösterilmiştir. a C düşey ve doğrusal bir hat üzerindedir. m m r B İki pozisyon vektörünü de kartezyen cinsten ifade edersek: r B = -0.25sin 45i+0.25cos 45j = -0.177i + 0.177j r C/B = 0.75sin 13.6i+0.75cos 13.6j = -0.177i + 0.729j AB mili sabit bir eksen etrafında döndüğüne göre: a B = α AB r B ω 2 ABr B = -20k (-0.177i + 0.177j) (10) 2 (-0.177i + 0.177j) = 21.21i 14.14jm/s2
ÖRNEK 4 (devam) Şimdi BC rodunu (genel düzlemsel hareket yapmakta) hareketine geçilebilir. a B için bulduğumuz ifade kullanılır ve dikkat edilirse, a C düşeyde hareket etmektedir. C için rölatif ivme denklemi: a C = a B + α BC r C/B ω 2 BC r C/B a C j = 21.21i 14.14j + (α BC k) (- 0.177i + 0.729j) (2.43) 2 (-0.177i + 0.729j) m m r B i ve j bileşenlerini karşılaştırarak: 0 = 20.17 + 0.729 α BC a C = 0.177 α BC 18.45
Kinematik Diyagram m a t m a n r B
ÖRNEK 4 (devam) m m Bilinmeyenler bulunur: α BC = 27.7 rad/s 2 (yön doğru) a C = -13.5m/s 2 (ivme azalma yönünde) r B
Rölatif Hareket Analizi: Dönen Eksenler Bir önceki bölümde hız ve ivmenin tarifi için ötelenen eksenlerde rölatif hareket analizi kullanıldı. Bu analiz tipi aynı rijit cisim üzerindeki noktaların analizi veya pinli olarak birleştirilmiş cisimlerin analizinde faydalı olmaktadır. Bazı problemlerde ise sadece ötelenen koordinat eksenleri problemin analizi için yeterli olmamakta ayrıca dönmesi de gerekmektedir. Bu bölümde rijit cisim üzerindeki iki noktanın sabit ve dönen eksenlerde hareketi incelenecektir.
Rölatif Hareket Analizi: Dönen Eksenler (devam) Pozisyon: Şekilde gösterilen iki noktayı verilen koordinat eksenlerinde ele alalım Noktaların pozisyonu r A ve r B gibi iki vektörle X,Y ve Z sabit koordinat sistemine göre belirlenmiştir. Ayrınca, şekilde temel nokta A, x,y,z eksenlerinin orijini olarak kabul edilmiştir. Bu eksenler X, Y, Z ye göre hem ötelenmekte hem de dönmektedir (Ωve Ω & ). B nin A ya göre rölatif pozisyonu r B/A ile gösterilmiştir ve aşağıdaki gibi yazılabilir: r B/A = xbi+ ybj
Rölatif Hareket Analizi: Dönen Eksenler (devam) Vektör toplamı işleminden: r B = r A + r B/A (16-19) İlgilenilen anda A nın hızı v A ve ivmesi ise a A dır. x,y,z dönen eksenlerinin ise açısal hız ve ivmesi ise aşağıda verilmiştir: d Ω ve Ω& = Ω dt Hız: B noktasının hızı (16-19) un zamana göre türevi alınarak bulunur: d = + r dt B/ A v B v A (16-20)
Rölatif Hareket Analizi: Dönen Eksenler (devam) (16-20) deki ikinci terim aşağıdaki gibi yazılabilir: drb/ A d = ( x Bi + y Bj) dt dt dxb di dyb dj = i + xb + j + yb dt dt dt dt dxb dyb di dj = i + j + xb + yb dt dt dt dt dr B/ A dt (16-21) Buradaki ilk parantezdeki ilk iki terim, B noktasının x, y, z koordinat eksenlerine göre hızıdır (x, y, z koordinatlarındaki bir gözlemciye göre) ve ile gösterilecektir. ( ) v B / A xyz
Rölatif Hareket Analizi: Dönen Eksenler (devam) (16-21) deki ikinci parantez içindeki terimler xb + yb dt dt ise i ve jbirim vektörlerinin anlık zamana göre değişimlerini göstermektedir ve X, Y, Z eksenlerine göre ölçülmektedir. di ve djdeğişimleri sadece x, y, z eksenlerinin dθkadar dönmesinden kaynaklıdır yani Ω ya bağlıdır. di dj di dθ = j = Ωj dt dt dj dθ = ( i) = Ωi dt dt
Rölatif Hareket Analizi: Dönen Eksenler (devam) Bu ilişkiler aşağıdaki üç boyutlu koordinat eksenleri dikkate alınarak vektörel çarpımla ifade edilebilir: Ω = Ωk di dt dj dt = Ω i = Ω j olarak ifade edilebilir. Bu durumda, (16-20) hız ifadesindeki ikinci terim aşağıdaki gibi yazılabilir: drb/ A = ( vb/ A ) + Ω ( xbi + ybj) = ( vb/ A ) + Ω r xyz xyz B/ A dt
Rölatif Hareket Analizi: Dönen Eksenler (devam) d (16-20) hız ifadesi kompakt bir şekilde yazılabilir: v B = v A + r dt ( ) v = v + Ω r + v (16-24) B A B/ A B/ A xyz B/ A v B : B nin mutlak hızı (X, Y, Z eksenlerine göre) = v A : x, y, z eksenlerinin orijininin mutlak hızı + Ω r : x, y, z eksenlerinin dönmesinden dolayı açısal ( v ) B/ A B/ A xyz hız etkisi + : B nin A ya göre hızı (x, y, z eksenlerine göre) : x, y, z eksenlerinin hareketinin X, Y, Z ye göre gözlemlenmesi
Rölatif Hareket Analizi: Dönen Eksenler (devam) İvme: B ni X, Y, Z eksenlerine göre ivmesi (16-24) ü zamana göre bir kez daha türevi alınarak bulunabilir: dvb dva dω = + r B/ A + dt dt dt dr d B/ A Ω + dt dt dr a a Ω& r Ω dt d ( v ) ( v ) B/ A xyz B/ A B = A + B/ A + + B/ A xyz dt (16-25)
Rölatif Hareket Analizi: Dönen Eksenler (devam) (16-25) ifadesi sadeleştirilirse (ayrıntıya girmeden) aşağıdaki ivme ifadesi bulunur: ( ) 2 ( ) ( ) a = a + Ω& r + Ω Ω r + Ω v + a B A B/ A B/ A B/ A xyz B/ A a B : B nin mutlak ivmesi (X, Y, Z eksenlerine göre) = xyz a A : x, y, z eksenlerinin orijininin mutlak ivmesi + Ω& r B/ A : x, y, z eksenlerinin dönmesinden dolayı oluşan açısal ivme etkisi + ( ) Ω Ω r : x, y, z eksenlerinin dönmesinden B/ A dolayı oluşan açısal hız etkisi + : x, y, z eksenlerinin hareketinin X, Y, Z ye göre gözlemlenmesi
Rölatif Hareket Analizi: Dönen Eksenler (devam) ( ) 2Ω ( v ) ( a ) a = a + Ω& r + Ω Ω r + + B A B/ A B/ A B/ A xyz B/ A xyz ( a ) ( ) 2Ω vb/ A xyz B/ A xyz : B nin x, y, z eksenlerine göre rölatif hareketi ve yine x, y, z eksenlerinin dönmesinden dolayı B ye etkiyen toplam etki + : B nin A ya göre ivmesi (x, y, z eksenlerine göre) (Etkileşim hareketi) ( ) Bu denklemde, 2Ω vb/ A terimi Coriolis ivmesi olarak xyz bilinir ve bu etki dönen x, y, z eksenlerinin kullanılmasından dolayı ortaya çıkan bir etkidir. İvmenin önemli bir bileşenidir ve dönen referans eksenleri kullanıldığında mutlaka dikkate alınmalıdır.
Örnek Verilen:θ= 60 o anında, kolun 3 rad/s ve 2 rad/s 2 açısal hız ve ivmesi vardır. Tam bu anda, C silindiri dışarı yönde kaymaktadır ve x = 0.2m anında hızı 2 m/s ve ivemsi ise 3 m/s 2 dir (kola göre rölatif değerlerdir). Aranan: Bu andaki Coriolis ivmesini ve silindirin hız ve ivmesini bulunuz.
Örnek (devam) İki koordinat ekseni de O noktasına yerleştirilmiştir. Silindirin hareketi kola göre verildiğinden x, y, z eksenleri kola iliştirilmiştir. Kinematik denklemler: C v = v + Ω r + ( v ) C O C/ O C/ O xyz O 2Ω v C/ O + ( Ω rc/ O ) ( ) + ( a ) a = a + Ω& r Ω + C/ O xyz C/ O xyz Hareketi i, j, k bileşenleri ile ifade etmek I, J, K ile ifade etmekten daha kolay olacak: Hareketli referans Ekseninin Hareketi C nin hareketli referans eksenine göre hareketi
Örnek (devam) Coriolis ivmesi: a ( ) Cor 2Ω vc/ O xyz = = 2( 3 k) (2) i = 12 jm/s 2 C noktasının hız ve ivmesi yukarıdaki denklemleri kullarak bulunur: