Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde azla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla ve ayrıca örek verlerde hareket le rekas dağılışlarıı sayısal olarak özetleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlerde kullaıla ser tplere (bast, gruplamış, sıılamış) göre hesaplamalarda kullaılacak ormüller değşmektedr. Taımlayıcı İstatstkler Yer Ölçüler )Artmetk ort. )Ağırlıklı Artmetk Ort. 3)Geometrk ort. 4)Harmok ort. 5)Mod 6)Medya 7)Kartller Değşkelk Ölçüler ) Rage (Değşm Aralığı) )Kartller arası rage 3) Ort. Mutlak sapma 4) Varyas 5) Stadart Sapma 6) Değşkelk(Varyasyo) Katsayısı Çarpıklık Ölçüler )Pearso Asmetr Ölçüsü )Bowley Asmetr Ölçüsü Basıklık Ölçüler
Yer Ölçüler Ver set taımlamak üzere kullaıla ve geellkle tüm elemaları dkkate alarak ver set özetlemek ç kullaıla adelerdr. Ver setdek tüm elemaları temsl edeblecek merkez oktasıa yakı br değerdr. Merkez eğlm ölçüler olarak da adladırılırlar. 3 Yer Ölçüler Hesaplama tüm verler kullaıldığı ölçüler -Artmetk Ort. -Ağırlıklı Art. Ort. -Geometrk Ort. -Harmok Ort. Hesaplama tüm verler kullaılmadığı ölçüler -Mod -Medya -Kartl 4
3 5 Notasyo ) ( 5. ) ( 4. 3.. 'ler toplamı.,,, hacmlgözlemset y b a by a a a a a a a y y y y y y 6 ) Artmetk Ortalama Üzerde celeme yapıla ver setdek elemaları toplaıp celee elema sayısıa bölümesyle elde edle yer ölçüsüe artmetk ortalama der. Halk dlde ortalama ades kullaıldığıda lk akla gele kavram artmetk ortalamadır. Örek: Sıav otlarıı ortalaması, Yaz aylarıda m ye düşe ortalama yağış mktarı
Bast Serler İç Artmetk Ortalama N: Populasyo hacm,,3,,n N μ N : örek hacm,,3,., ÖRNEK: Br dl kursuda devam ede 0 öğrecye at yaşlar aşağıda verlmştr. Bu öğrecler arasıda tesadü olarak 5 taes seçlmş ve bulara at yaşlarda belrlemştr. Bu durumda populasyo ve örek ortalamalarıı buluuz. 3 44 0 8 3 8 35 9 33 8 5 7 0 4 6 3 N 3 44 0 3 500 μ 5 N 0 0 0 8 3 7 0 7 8 3 8 3.6 5 0 7 Bast Serler İç Artmetk Ortalama Örek: Br abrkada çalışa 5 edüstr müheds bldğ yabacı dl sayıları aşağıda verlmştr. Bua göre bu mühedsler bldğ yabacı dl sayısıı artmetk ortalamasıı hesaplayıız.,0,,,0 X İ 0,0,,,. 5,,,5 0 0 5 8 4
Gruplamış Serler İç Artmetk Ortalama k k Grup Frekas 5 5 66 3 98 7 4 88 8 5 40 94 7 658 0 605 k : rekas k: grup sayısı,,3,.,k Örek: Yadak tabloda br Samsug baysdek LCD televzyoları ekra boyutlarıa göre satış mktarları verlmştr. Frekas dağılımıı artmetk ortalamasıı hesaplayıız. k k 5() 66(3)... 94(7) 3 4 5 7 605 0 80,5 9 Sıılamış Serler İç Artmetk Ortalama : rekas k : sıı sayısı,,3,.,k m : sıı orta oktası k k m k Sıılamış serlerde her br sıı çdek değerler eler olduğu blmedğde dolayı ve yalızca her br sııı rekas değerler bldğde dolayı sııı temsl etmek üzere sıı orta oktaları hesaplamada kullaılır. Kullaıla ormül gruplamış serler ç kullaıla ormüle bezerdr. 0 5
Örek: Aşağıdak tabloda 30 gülük süre çde br restoraı kulladığı et mktarıı dağılımı verlmştr. Gülük kullaıla et mktarıı artmetk ortalamasıı hesaplayıız. Sıılar m m 30-36 da az 33 66 36-4 de az 6 39 34 4-48 de az 0 45 450 48-54 da az 7 5 357 54-60 de az 4 57 8 60-66 de az 63 63 Toplam 30 398 k m k 33 () 39 (6)... 63 () 30 398 30 46,6 kg. Artmetk Ortalama ( ) 0. Artmetk ortalamada sapmaları toplamı sıırdır.. ( ) m 3. Örek değerlerde meydaa gele değşm çok küçük de olsa artmetk ortalama bu değşmde etkler. Verler tümüü br oksyoudur. 6
Artmetk Ortalama 4. Örek gözlemler tümü a gb br sabt le çarpılırsa bu ye ver set artmetk ortalaması da esk ver set artmetk ortalamasıı a le çarpımı kadar değşr. 5. Örek gözlemler tümü a gb br sabt le toplaırsa bu ye ver set artmetk ortalaması da esk ver set artmetk ortalamasıı a le toplamı kadar değşr. 6. Artmetk ortalama tüm verler hesaplama oksyou çde kullaması ede le güçlü br statstktr. 7. Artmetk ortalama verlerdek uç değerlerde etklemes se bu statstğ zayı yöüü oluşturur. 3 Ağırlıklı Artmetk Ortalama Gözlemler bell br krtere göre ağırlıkladırılmış se ağırlıklı artmetk ortalama kullaılır. Ağırlıklı artmetk ortalama kullaılırke tüm gözlemler ağırlıkları eşt se artmetk ortalama le ayı soucu verr. İde sayıları hesaplamasıda, yüzdeler ortalamasıda çarpımları ortalamasıı alımasıda kullaılır. 4 7
Ağırlıklı Artmetk Ortalama w w w Bast serler ç Örek : Br öğrec w kredl, adet derste otu almıştır. W 4 3 00 A(4) 4 90 B(3) 3 00 A(4) 3 3 85 B(3) 3 75 C() 3 50 D() 3 0 F(0) 60 C() w 4 3 4 4 3... 49.77 4 3 4... 54 5 ) Geometrk Ortalama Br ver setde bulua adet elemaı çarpımıı c derecede köküü alımasıyla elde edle yer ölçüsüdür. G... Geometrk ortalamaı ormülüe bakıldığıda hesaplama zorluğu olduğuda dolayı logartma ades kullaılır. Geellkle bast serler ç kullaışlı olup egat sayılar ç kullaışlı değldr. log Log G G at log log 6 8
Geometrk Ortalama ı Kullaım Alaları Ortalama oraları, Değşm Oraları, Logartmk dağılış göstere ver setler, ç kullaışlıdır. Örek: yat deksler, az ormüller. 7 Örek: Br alışverş merkezdek 5 arklı meyve satış yatı aşağıdak gbdr. Bua göre meyveler satış yatlarıı geometrk ortalamasıı hesaplayıız. Elma:,5 YTL. Üzüm:,5 YTL Erk: YTL Muz : 3 YTL. Armut : YTL. G... 5 5 (,5)()(,5)(3),5,86YTL. log 0 0,7609 0,3003 0,39794 0,477 Log G 5,358 Log G 0,7045 5 G at log 0,7045 0 0,7045,86 YTL. 8 9
0 9 Geometrk Ortalama G < > 4. G G G 3..G olmalı 0. 0 3) Harmok Ortalama Br ver setde bulua adet elemaı çarpma şleme göre tersler ortalamasıı ters alımasıyla elde edle yer ölçüsüdür. Geellkle bast serler ç kullaışlıdır. H...... H
Harmok Ortalama ı Kullaım Alaları Belrl yat tpler, Zama serler, ç kullaışlıdır. Örek: Zama brm başıa hız, para brm başıa satı alıa brm sayısı. NOT: ARİTMETİK ORT. > GEOMETRİK ORT. > HARMONİK ORT. Örek: Br tekstl abrkasıda çalışa dört kş br patolou ütüleme süreler aşağıda verlmştr. Bua göre bu abrkada br patolo ortalama kaç dakkada ütüler? İşç : 0 dk. İşç : 6 dk. İşç 3: 4 dk. İşç 4 : 5 dk. H 4 5 6 4 0 43 40 H 40 43 5,58dk.
4) Mod Br ver setde e çok gözlee ( e çok tekrar ede ) değere veya rekası e azla ola şas değşke değere mod adı verlr. Ver set modu olmayacağı gb brde azla da modu olablr. Mod geellkle keskl şas değşkel ç oluşturula gruplamış serlerde artmetk ortalama yere kullaılablr. Kesksz serde değerler brbr sürekl bçmde zledklerde, verler grupladırılmadıkça mod olmayablecektr. 3 Bast Serler İç Mod Örek: Br abrkada çalışa 5 edüstr müheds bldğ yabacı dl sayıları aşağıda verlmştr. Bua göre bu mühedsler bldğ yabacı dl sayısıı moduu hesaplayıız. :,0,,,0,,0 0,0,0,,,,. Ver setde e çok tekrar ede elema 0 olduğuda (3 kez ) mod değer 0 dır. Eğer ver set,0,,,0,,0 şeklde olsaydı ver set k modlu olacaktı. ( 0 ve ) Eğer ver set,0,,,0, şeklde olsaydı ver set moduu olmadığı ade edlecekt. 4
Gruplamış Serler İç Mod Örek: Aşağıdak tabloda br Samsug baysdek LCD televzyoları ekra boyutlarıa göre satış mktarları verlmştr. Frekas dağılımıı artmetk ortalamasıı hesaplayıız. Ekra Satış Aded 5 66 3 7 4 8 5 94 7 Frekas dağılımıa bakıldığıda e azla satış mktarı 94 ekra LCD televzyoda olduğuda dolayı ( 7 adet ) dağılımı moduu 94 olduğu söyler. Eğer 8 ekra LCD televzyolarıda da 7 adet satılsaydı dağılımı k modu olduğu ade edlrd. ( 8 ve 94 ) 5 Sıılamış Serler İç Mod Sıılamış serlerde mod değer hesaplaırke lk olarak mod sııı belrler. Mod sııı rekası e yüksek ola sııtır. Mod sııı belrledkte sora bu sıı çersde yer ala modu tam değer sıı rekası ve kede komşu ola sıı rekasları dkkate alıarak hesaplaır. 6 3
Mod Δ L mod. Δ Δ L Mod Δ Δ Mod Sııı Aralığıı Alt Sıırı Mod Sııı Frekası - Kedde Br Öcek Sıı Frekası Mod Sııı Frekası Kedde Br Sorak Sıı Frekası Mod Sıııı Sıı Aralığı 7 Örek: Aşağıdak tabloda 30 gülük süre çde br restoraı kulladığı et mktarıı dağılımı verlmştr. Gülük kullaıla et mktarıı moduu hesaplayıız. Sıılar 30 <36 36 <4 6 Mod sııı 4 <48 0 48 <54 7 54 <60 4 60 <66 Toplam 30 Mod L mod Δ Δ Δ. (0 6) 4.6 45,4 kg. (0 6) (0 7) 8 4
5) Medya Br ver set büyükte küçüğe veya küçükte büyüğe sıraladığımızda tam orta oktada ver set k eşt parçaya ayıra değere medya adı verlr. Ver setde aşırı uçlu elemalar olduğuda artmetk ortalamaya göre daha güvelrdr. Medya, ver setdek tüm elemalarda etklemez. Brm sayısıdak değşmlerde etkler,uç değerlerde etklemez. Medyaı stadart hatası artmetk ortalamaıkde daha büyüktür. med m 9 Bast Serler İç Medya Ver Set Hacm Tek Sayı İse; c gözlem değer medyadır. Ver Set Hacm Çt Sayı İse; ve c gözlem değer artmetk ortalaması medyadır. 30 5
Örek: İstatstk I ders ala 0 öğrec vze otları aşağıdak gb sıralamıştır. Bua göre vze otları ç medya değer hesaplayıız. 30,4,56,6,68,79,8,88,90,98 / ve (/) c elemalar 68 ve 79 olup buları ortalaması 73,5 medya değerdr. Ver Set 30,4,56,6,68,79,8,88,90 şeklde 9 adet verde oluşsaydı ()/ c elema ola 68 ver set medyaı olacaktı. 3 Gruplamış Serler İç Medya Gruplamış serlerde medya değer hesaplaırke ver set tam orta oktasıı hag gruba at olduğuu belrlemek ç kümülat rekas sütuu oluşturulur. Sıra umarası belrledkte sora o sıra umarasıa at grup medya değer olarak ade edlr. 3 6
Grup Frekas 5 66 3 4 7 4 8 8 5 3 94 7 0 Örek: Yadak tabloda br Samsug baysdek LCD televzyoları ekra boyutlarıa göre satış mktarları verlmştr. Frekas dağılımıı medyaıı hesaplayıız. / ve (/) c gözlem değerlere karşılık gele değerler (0 ve c sıra ) 8 olduğuda dolayı medya değer 8 dr. Grup Frekas 5 66 3 4 7 4 8 8 5 3 94 5 Frekas dağılımı yadak gb olsaydı ()/ c elemaa ( 8 c elemaa ) karşılık gele sayı 7 olduğuda dolayı ver set medyaı 7 olacak d. 33 Sıılamış Serler İç Medya Sıılamış serlerde medya değer hesaplaırke lk olarak medya sııı belrler. Medya sııı kümülat rekaslar dkkate alıdığıda toplam rekası yarısıı çde buludura sııtır. Medya sııı belrledkte sora medya sıııda br öcek sııı kümülat rekası ve medya sııı rekası dkkate alıarak hesaplaır. 34 7
Medya L l. med med L med : Medya sıııı alt sıırı l : Medya sıııda br öcek sııı kümülat rekası med : Medya sıııı rekası 35 Örek: Aşağıdak tabloda 30 gülük süre çde br restoraı kulladığı et mktarıı dağılımı verlmştr. Gülük kullaıla et mktarıı medyaıı hesaplayıız. Medya sııı Sıılar 30 <36 36 <4 6 8 4 <48 0 8 48 <54 7 5 54 <60 4 9 60 <66 30 Toplam 30 l Medya L med. med 5 8 4.6 46, kg. 0 36 8
6) Kartller Br ver set büyükte küçüğe veya küçükte büyüğe sıraladığımızda dört eşt parçaya ayıra üç değere kartller adı verlr. İlk % 5 lk kısmı çde buludura. Kartl (Q ), % 50 lk kısmı çde buludura. Kartl (Q ), % 75 lk kısmı çde buludura 3. Kartl (Q ), olarak adladırılır. %5 %5 %5 %5 %50 lk kısmı çde buludura. Kartl (Q ) ayı zamada ver set medyaıdır. Q Q Q 3 37 Bast Serler İç Kartller.Kartl Q Ver Set Hacm Tek Sayı İse; 3.Kartl Q 3 Ver Set Hacm Tek Sayı İse; 4 c gözlem değer, 3 değer, 4 c gözlem 38 9
Kartller Q: Brc kartl ( )/4 ücü gözlem Q: İkc kartl (medya) Q3: Üçücü kartl 3( )/4 ücü gözlem Örek verler: 7, 9, 6, 36, 39, 45, 45, 46, 48, 5 Q pozsyou (0)/4.75 Q 9 0.75(6-9) 4.5 Q (meda) 4 Q3 46.50 39 Sıılamış Serler İç Kartl Sıılamış serlerde kartller hesaplaırke lk olarak kümülat rekas sütuu oluşturularak kartl sııları belrler. Kartl sııları belrlerke gruplamış serlerde olduğu gb /4 ve (3)/4 cü sıralardak elemaları hag sıılara at seler o sıılar kartl sııları olur. Kartl sııları belrledkte sora bu sıılarda br öcek sııı kümülat rekası ve mevcut sıı rekası dkkate alıarak kartl değerler hesaplaır. 40 0
. Kartl. Kartl 3. Kartl Q Q Q 3 Medya L L l Q. L l Q. Q Q l. Q 3 4 Q 3 4 3 4 Örek: Aşağıdak tabloda 30 gülük süre çde br restoraı kulladığı et mktarıı dağılımı verlmştr. Gülük kullaıla et mktarıı c ve 3 cü kartller hesaplayıız. Q sııı Q 3 sııı Q L Q 36 Sıılar 30 <36 36 <4 6 8 4 <48 0 8 48 <54 7 5 54 <60 4 9 60 <66 30 Toplam 30 3 l 4. Q 4 3 LQ 3 Q Q 3 7,5,5 8.6 4,5 kg. 48.6 7 6 l. 5,9 kg. 4