6. İDEAL (SÜRTÜNMESİZ) AKIŞLAR

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. 6.. Ele Denklemi 6. İDEAL (SÜRTÜNMESİZ) AKIŞLAR Tüm geçek akışkanlaın bi iskozitesi adı. Ancak akışkanla mekaniğinde biçok poblemin çözümünde iskozitenin ihmal edileek aaştıılması sık sık başlan bi old. B dmda analiz daha kolalaşı. Çünkü kama geilmelei söz kons değildi. Sıkıştıılamaz akışla için eilen Naie Stokes denkleminde µ 0 alınısa, D ρ ρg P Dt Ele denklemi olaak bilinen sütünmesiz akışa ait genel denklem elde edili. Eğe z koodinatı düşe ekseni temsil edese (pozitif ön kaı doğ olmak üzee); z δ k ρ g ρgδ k ρ g z B dmda Ele denklemi; D ρ ρg z P Dt ea,. ρ g z t ρ fomnda azılabili. ( ) P 6... Ele denkleminin akım çizgisi bonca integali e Benolli denklemi Şekil 6.. Akım çizgisine ait koodinatlaın gösteimi Kaalı bi akış için akım çizgisi e öünge çizgisi anı oldğndan akım çizgisi bonca haeket eden bi ideal patikülün denklemi; II/

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. P z g ρ s s s şeklindedi. Eğe akışkan patikülü akım çizgisi üzeinde ds kada ol alısa; basınç, hız e ükseklikte ds bonca değişimle, P ds dp, s z ds dz e s ds d s bağıntılaıla eili. B dmda kaıdaki denklem ds ile çapılı e teimle sadeleştiilise; dp ρ gdz d bağıntısıdan, akım çizgisi bonca sabit bi değee sahip, dp gz sabit ρ denklem elde edili. Eğe akış sıkıştıılamaz ise ( ρ c ); P gz c ρ şeklinde elde edilen denklem Benolli Denklemi adını alı. Denklemin kllanımında dikkat edilmesi geekli sınılamala şnladı: a) kaalı akış, b) sıkıştıılamaz akış, c) sütünmesiz akış d) akım çizgisi bonca akış. 6... Ele denkleminin akım çizgisi nomali bonca integali Akım çizgisi nomali bonca, eçekimi keti ihmal edildiğinde; P z g a ρ n n n R P ρ n R II/

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. denklemi elde edili (R: eğilik aıçapı ). B denkleme göe; basınç, akım çizgisi eğilik mekezinden zaklaştıkça ata. Denklemin glandığı akışlaa önek olaak; hotm, tafn gibi şiddetli haa haeketleinin otaa çıktığı akışla gösteilebili. B tü dmlada, mekezdeki düşük basınçtan dolaı otaa çıkan akm etkisi, akışta gidap etkisi aatı. Eğisel kanalladaki akışlada ise, dış cidalaa aklaştıkça ükselen basınçtan dolaı, ikincil akışla otaa çıka. Eğe akım çizgilei düz ise, eğilik aıçapı sonsza gideceğinden basınç değişimi sıfıa gide. P03 mb R P9 mb Şekil 6.. Eğilik mekezinden zaklaştıkça basıncın atışı 6.. Benolli Denklemi Benolli denklemi tüetiminin apıldığı sınılamalaa bağlı kalmak şatı ile akım çizgisi üzeinde hehangi iki nokta aasında basınç-hız ilişkisinin blnmasında kllanılabili. Şekilde gösteilen anı akım çizgisi üzeindeki e noktalaı için geçeli denklem; şeklindedi. P P gz gz ρ ρ Şekil 6.3. Anı akım çizgisi üzeindeki e noktalaının gösteimi II/3

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. 6... Temodinamiğin I. Kann e Benolli Denklemi Aasındaki İlişki Şekil 6.4. Akım çizgilei taafından sınılanmış kontol hacmi (akım tüpü) kaamı Sütünmesiz kaalı bi akış dmnda; şekilde gösteilen akım çizgilei ile sınılanmış bi kontol hacmi (akım tüpü) için, Temodinamiğin I. Kannna ait; de E & & s g E& ç E& ü dt temel denkleminin açılımı, Q & W h gz h gz 0 şeklinde azılabili. Denklemdeki entalpi değei, h p p ρ olmak üzee, kaıdaki denklemin elde edilmesinde apılan kablle şnladı: d a) Kaalı akış 0 dt b) Sütünmesiz akış ( E W& 0) ü kama c) Sıkıştıılamaz akış ( ) ρ d) Ünifom akış e akışkan özelliklei ( c he kesit alanı için ) & P P e) Q ( ) gz gz ρ f) ( ) 0 Q & şeklindedi. Sonç olaak, ρ II/4

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. P gz c ρ eneji denklemi apılan bazı kablle sonası Benolli denklemini emektedi. Ancak b iki denklem faklı aklaşım e kablle altında tüetildiği üzee, bibiinden bağımsız iki denklem olp, sadece özel dmlada anı sonc emektedi. Temodinamiğin I. Kannnn b özel konm akışta hehangi bi mekanik eneji kabı olmadığını göstemektedi. Akışın mekanik eneji seiesini gösteebilmek açısından denklem toplam eneji potansieli (H) cinsinden aşağıdaki şekilde azılı: P ρg z H sabit g Kaalı, sıkıştıılamaz e sütünmesiz bi akışın akım çizgisi bonca haeketinde; P ρ z c ifadesinde c değei akım çizgisinden akım çizgisine göe faklı değele alı. Ancak b sınılamalaa ek olaak; akış bi de iotasonel (döngüsüz) olsa, Benolli denklemi anen geçeli olp c değei tüm akım çizgilei için anı değei alı. 6... Kaasız akışla için Benolli denklemi Akım çizgisi bonca kaasız akış denkleminin tüetimi için; ρ c, µ 0 e akım çizgisi bonca akış kabllei altında, ρ P z g s s t ds s ea dp ds gz t ρ aa işlemleini takiben, 0 P ρ gz P ρ gz ds t denklemi elde edili. B denklemin çözümü için, hızın zamana göe değiminin, ani (t) bağıntısının bilinmesi geeklidi. II/5

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. 6.3. Potansiel (ideal) akış teoisi e iki botl potansiel akış Bi akış sıkıştıılamaz, iskozitesiz e kaalı olmasının anında, eğe döngüsüz (iotasonel) ise, b tü akışlaa potansiel akış adı eili. Potansiel akışla patikte oğn kllanımı dışında, sndğ matematiksel kolalıkla nedenile de önemlidi. Potansiel akış analizleinde genellikle iki botl akışla ön plana çıkmaktadı. B nedenle b kısımda iki botl potansiel akış teoinse önelik kaam e teoile idelenecekti. 6.3.. Akım Fonksion Akım fonksion (,, t) ; iki botl akışta hız bileşenlei (,, t) e (,, t) eine kllanılı. İki botl, kaalı e sıkıştıılamaz bi akışta; akım çizgilei e süeklilik denklemi aasındaki ilişkiden aalanaak ağıdaki şekilde fomüle edili. 0 ( ) () ; olmak üzee; süeklilik denklemindeki eşitlik akım fonksion cinsinden sağlanmış ol. Akım fonksionnn bazı önemli özelliklei şnladı: i) Kaalı akış şatlaında, akım çizgisi üzeinde sabit şatı geçelidi. B dm, d d 0 d d d 0 denklemi ile temsil edili. ii) Kaalı akış şatlaında, iki faklı akım çizgisi aasındaki fak, akış debisini ei. Q 6.3.. Hız Potansieli Hız potansieli ( ), döngüsüz (iotasonel) bi akıştaki hız alanı dikkate alınaak tanımlanmıştı. İotasonel akış için; II/6

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. II/7 0 ω oldğndan; b tanıma an koodinat e zamanın fonksion olan e b paametelee bağlı. e. tüei blnan skale bi fonksion mtlaka mectt. B skale fonksion " " ile gösteili e akışın pozitif önü b fonksionn azalma önü olaak alınısa hız ektöü cinsinden; ( ) tanımlaması apılı. ),, ( t fonksion; hız potansieli adını alı. İki botl e kaalı bi akış için; δ δ δ δ azılabili. Dolaısıla; ; elde edili. Denklemdeki negatif işaet, hız potansielinin sadece azalan önde oldğn göstemektedi. Fiziksel anlamı bilmek kadıla, pozitif işaet de kllanılabili e liteatüde b dm daha agındı. B nedenle, aşağıda eilen analizlede hız potansieli için pozitif işaet kllanılmaktadı. 6.3.3. Laplace denklemi e Cach Riemann Akım fonksion ile hız potansieli büüklüklei; iki botl, kaalı, sıkıştıılamaz e döngüsüz bi akış için geekli koşllaı sağlaken, Laplace denklemini olştla. Öneğin süeklilik denkleminden tüetilen akım fonksionna ait, ; denklemlei, döngüsüz (iotasonel) akış koşl glandığında, 0 0 Laplace denklemi otaa çıka. Benze şekilde, iotasonel akış şatı kllanılaak tüetilen hız potansieline ait, ; denklemlei de süeklilik denklemini, 0 0

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. aınca sağlaken ine Laplace denklemi olş. Sonç olaak; Laplace denklemini olştan hehangi e fonksionlaı, anı zamanda, iki botl, kaalı, sıkıştıılamaz e iotasonel akışı temsil ede. Yine aınca, e fonksionlaı için kaıda çıkaılan bağıntıla eşitliklei geçelidi. B dmda, Laplace denklemini olştan b iki fonksion için geekli Cach Riemann şatlaı da, ; şeklinde sağlanmış ol. 6.3.4. Akım fonksion e hız potansieli eğileinin eğimi Akım çizgisi bonca akım fonkion sabit bi değee sahip oldğndan; d d d 0 d d d d / / ( ) Benze şekilde hız potansiel eğisi bonca, d d d 0 d d d d / / ( ) elde edili. İki eğie ait eğimlein çapımı, d d. d d oldğndan, e düzlemde bibiine dik iki eğii temsil ede. B iki eğinin diklik özelliği iki botl potansiel akışlaın gafiksel analizinde büük kolalıkla sağla. II/8

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. Şekil 6.5. Akım fonksion e hız potansieli eğileinin diklik özelliği B dma önek olmak üzee, Şekil 6.6 da gösteilen e bi eğisel disek içeen kanal içi akışı göz önüne alalım. c e c eğilei bilikte bi akış filesi olştla. B dm akış gözlemlenmesinde oldkça önemlidi. Hızla b akış filesinden tahmin edilebili, çünkü akım çizgilei aasındaki mesafe hız ile tes oantılıdı. Şekilde gösteilen akışta, disek bölgesinde, iç köşedeki iki akım çizgisi aasındaki mesafe daha küçük oldğndan, b bölgede hız değei daha üksekti. Şekil 6.6. Eğisel bi disekte, akım fonksion e hız potansieli eğileinin gösteimi. Diğe taaftan, akım çizgisine dik önde elde edilen; P n P R eşitliği ile de, eğilik mekezinden zaklaştıkça, Şekil 6.7 de gösteilen dış köşee doğ basınç daha üksek olacaktı.he iki dm, temel akış bölgesine ek olaak eel özellikte ikincil bi akış (aılma) bölgesi olşmasına sebep olacaktı. Şekil 6.7. Eğisel bi disekte hız e basınç pofilleinin aklaşık ölçekte gösteimi. II/9

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. 6.3.5. Kompleks Potansiel Fonksion Laplace denklemini olştan e Cach-Rieman şatlaını sağlaan, hehangi fonksionlaı, kompleks saıla düzleminde, z i olmak üzee, Φ ( z) (, ) i (, ) kompleks potansiel fonksionn olştla. B eşitlikte Φ ( z), z nin analitik bi fonksion olp, d Φ / dz seçilen noktalada tanımlı e tek bi değee sahip olacaktı. B dmda fonksionn sabit e sabit koşllaındaki tüelei, dφ i i dz 443 443 sabit sabit şeklindedi. Mect tüe ω i ile tanımlanabilen kompleks hız ifadesinin eşleniği olan ϖ i ifadesine eşitti e potansiel akış poblemleinin çözümünde büük kolalıkla sağlamaktadı. 6.3.6. Potansiel akışlada basınç alanının hesabı Potansiel akışla, kaalı, sıkıştıılamaz e iotasonel akışlaı temsil ettiğinden, basınç alanının hesabında, iki nokta aasında (kot fakı ihmal edileek) Benolli denkleminin glanması etelidi: P ρ P ρ 44 43 4 P bilinio T. B dm Şekil 6.8 de gösteilmekte olp, akış iotasonel oldğndan, Benolli denkleminin glandığı iki faklı noktanın anı akım çizgisi üzeinde blnması geekli değildi. Şekil 6.8. Potansiel akışta basınç alanının hesabına ait paametele II/0

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. Denklemde sebest akış paameteleinin ( ρ, e P ) değelei genellikle bilinmektedi. Hız alanı ise akım çizgisi fonksionnn bilinmesile, ( ) ( ) 444444 3 (, z): bilinio hesaplanabilecekti. B dmda basınç alanı, ( )/ P P ρ denklemi ile blnabilecekti. Uglamada basınç alanı eine, botsz basınç katsaısının ( C p )kllanımı daha agındı: P P C P. ρ / B denkleme dikkat edildiğinde; anı hızla alanı için, faklı P değelei kllanılaak, faklı basınç alanı elde edilebileceği gözükmektedi. Sadece potansiel akım teoisine gn olan b dm, diğe akış koşllaında geçekçi değildi. 6.3.7. Silindiik koodinatlada akım çizgisi e hız potansieli denklemlei Ykaıda katezen koodinatla için tüetilen akım çizgisi fonksion e hız potansieli fonksionna ait denklemle, anı öntemin glanması setile tüetilebilile. Süeklilik denklemi adımıla;. 0. ; (. ) hız bileşenlei e akım fonksio aasındaki ilişki, ; denklemleile; iotasonel akış şat kllanaak elde edilen δ δ δ δ denklem asıtasıla da, hız bileşenlei ile hız potansiel fonksion aasındaki ilişki, ; denklemleile temsil edilile. Silindiik koodinatlada kaıdaki eşitlikle kllanılaak, ; II/

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. oldğ göülü. Katezen koodinatla kısmında gösteidiği üzee, he iki fonksion süeklilik denklemi e iotasonel akış şatlaını kaşılaken, Laplace denklemini olştla. Aıca, Cach Rieman koşllaının, ; bağıntılaı ile sağlandığı kolaca gösteilebili. Daha önce katezen koodinatla için tüetilen tüm büüklüklein (öneğin, kompleks potansiel, kompleks hız, basınç alanı), silindiik koodinatlada da benze olla tüetilebileceğini bi kez daha glamakta aa adı. 6.4. Temel potansiel akışla Potansiel akış poblemleinin çözümü için, akışa ait kompleks potansiel fonksionn ( Φ ( z) ) bilinmesi etelidi. B fonksionla temel potansiel akış sınıfına gien akışla için belilenmiş olp, liteatüde mectt. B kısımda en agın temel potansiel akışla için Φ ( z) eşitliklei eilecekti. Çözüm için izlenecek adımlaı göstemek üzee ünifom düzlemsel akışı göz önüne alalım. B akışa ait kompleks potansiel fonksion, a e b değei bilinen katsaıla olmak üzee; Φ ( z ) ( a ib)z şeklindedi. Denklem, Φ ( z) a ( i) ib( i) a ai bi b ( a b) ( ) Φ ( z) i a b 443 443 (, ) (, ) şeklinde açılaak akım çizgisi e hız potansieli fonksionlaı; tüe alınaak eldeedilecek kompleks hız eşleniğinden ise, d a ib w i dz a b hız bileşenlei blnabilecekti. Bölece ünifom düzlemsel akış için, akım çizgilei e hız potansieli eğileini çizmek mümkün olacaktı. Ykaıdaki denklem düzlemsel akış için genel hali (eğimli akışla dahil) temsil eden bi denklemdi. Şekil 6.8 de özel bi düzlemsel akış hali olaak; ata önde (a gösteilmişti., b0) ünifom hız ile haeket eden akışa ait eğile II/

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. Şekil 6.9. Yata önde ünifom hızlı düzlemsel akışa ait akım çizgisi e hız potansieli eğilei. Temel potansiel akışlaa ait Φ ( z) değelei aşağıda gösteilmişti: Akış tüü Φ ( z). Ünifom düzlemsel akış Φ ( z ) ( a ib)z. Kanak-k akışlaı Φ m Q π ( z) ln z Q : Kanak Q : K 3. Sebest gidap (oteks) Γ Φ m π ( z) ln Γ : saatin tesi önünde dönme Γ : saat önünde dönme II/3

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. Akış tüü Φ ( z) 4. Kanak e k akışın anı noktada bileşimi (Dipol) Φ ( z) m S z 5. Köşe e kenaladan akış Φ A n n ( z ) z Konka köşe (n>) Koneks köşe (n<) Kena akışı (n>) 6.5. Kompleks Potansiel Akışla Temel potansiel akışlaının bileşimi patikte kaşılaşılan akış geometileine daha akın bi poblemin çözümüne katkıda bln. Akım fonksionlaı e hız potansieli bilinen iki akışın bileşiminde temel pensip; b fonksionlaın toplanması şeklindedi. Öneğin Şekil 6.0 da gösteilen, ideal akışkanın silindi etafındaki akışı, ünifom akış ile dipol akışının bileşiminden olşmaktadı. B dmda, İdeal akışkanın silindi etafındaki akışı ünifom akış dipol akış süpepozison (bileştime) aklaşımı kllanaak kompleks akışa ait fonksionla, 3 3 bağıntısı ile elde edili. Temel akışlaın bileşimi sonc akım çizgilei, ani akışın sei belilendikten sona, basınç alanı Benolli denklemi ile bln. II/4

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. Şekil 6.0. İdeal akışkanın silindi etafında akışı için süpepozison pensibinin glanması e koodinat tanımlaması 6.5.. Daiesel Silindi Etafındaki Akış: Kompleks potansiel fonksion için geçeli denklem, Φ s ( z ) {. z { z şeklindedi. Denklemdeki paametele için geçeli; kllanılaak, Φ Φ s s s cos i sin 44 43 4 4443 4 i i ( z) e e ( cos isin ) ( cos i sin ) ( z ) akım çizgisi e hız potansieli fonksionlaı elde edili. s i z i. e e bağıntılaı Hız bileşenlei; s cos cos s s sin denklemleile bln. Silindi üzeinde (R) adal hız bileşeninin değei sıfıdı, dolaısıla, II/5

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. 0 s 0 glanaak, silindi aıçapını een, s R bağıntısı elde edili. Akış alanı içeisinde he iki hız bileşeninin de sıfıa eşit oldğ noktala Dma noktalaı olaak adlandıılı. Silindi üzeindeki (R) dma noktalaı için, 0 s bağıntılaı adımıla; sin 0 sin 0 0 e π elde edili. B dmda, silindi üzeindeki akım fonksionnn değei / sin / s s R s s olacaktı. Silindi üzeindeki maksimm hız ise, sin cos 0 π / ; 3π / değei kllanılaak, ( ) ma [ s s ] sin 0 olacaktı. Silindi üzeinde botsz basınç alanı için ise; bağıntı elde edilecekti: P P ρu ρ P P cp 4sin. ρu [ U sin ] ρu [ 4sin ] kllanılaak, aşağıdaki Silindi üzeine etkien ketlein blnması için, Şekil 6. de gösteilen sebest cisim diagamı göz önüne alınısa; süükleme e kaldıma ketleini een, II/6

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. π F P( Rd ) cos e F Y P( Rd ) sin 0 π bağıntılaı elde edili. İntegal işlemi apılısa; F F 0 0 soncna laşılı. Potansiel akış teoisinde basınç alanının simetik olmasından dolaı b beklenen bi sonçt. Ancak geçek şatlada önemli seiede süüklenme keti olş. B çelişkili dm, liteatüde d Alembet paadoks olaak bilini. Şekil 6.. Silindi üzeine etki eden ketlein gösteimş Silindi etafındaki potansiel akış için geçeli basınç e hız dağılımlaı, Şekil 6. de gösteilmişti. Şekil 6.. Silindi etafındaki akışa ait basınç e hız dağılımı II/7

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. 6.5.. Dönen daiesel silindi üzeinde akım Şekil 6.3 de şematik olaak gösteilen, dönen silindi etafındaki akım; ünifom, dipol e sebest gidap akışlaının bileşiminden olşmş kompleks bi akıştı. Akışa ait büüklüklein hesabında, bi önceki kısımda izlenen aşamala anen b akışa da glanacaktı. Şekil 6.3. Dönen daiesel silindi etafındaki akım Φ Φ s Γ i ln z Ünifom akık { z 4 π 43 Dipol Basit gidap ( z) z { i i se Γ i ( z).. e i ln( e ) i π i se Γ Φ( z).. e i ln π Akım çizgisi e hız potansiel fonksionlaı: ( i ) Silindi etafındaki akım analizi sıasında elde edilen s R. kllanılaak, Hız Bileşenlei: s cos Γ π R Γ π (, ) cos cos ssin Γ π (, ) sin ln sin ln R Γ π cos s s Γ sin π Radal önde elde edilen hız bileşeninin sabit silindi üzeindeki akım ile anı oldğna dikkat edilmelidi. II/8

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. Dma Noktalaı ( R): 0 R s / Γ π [ ] sin 0 sin β 0 s Γ 4π s Dma noktalaının saısı β değei ile ilişkili olp, mect altenatif dmla Şekil 6.4 de özetlenmişti. Şekil 6.4. Dönen daiesel silindi etafındaki akımda dma noktalaının β ile değişimi Silindi Yüzeinde Basınç Dağılımı: P ρ U P s Γ ρ U sin πr P s Γ P ρ U sin πru Silindi Yüzeine Etkien Ketle: Süüklenme keti; F π Ps Rcosd 0 0 Kaldıma keti ( pozitif önünde e Γ pozitif önde olmak üzee); F π Ps Rsind ργ 0 Kaldıma keti için elde edilen b denklemden çıkaılacak önemli bi sonç ünifom akım içinde, kendi ekseni etafında dönen bi silindi üzeine, akışkanın gladığı taşıma keti, II/9

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. sadece akışkana e silindi açısal hızına bağlıdı şeklindedi. Denklemdeki net sikülason için, Γ π π Rd 0 0 Γ U sin Rd π oldğ hatılanmalıdı. Dönen silindi etafındaki akış ile ilgili aşağıdaki iki olaın bilinmesinde fada adı: i) Magns Etkisi: Dönen cisimle üzeinde etkili olan kaldıma keti olaak adlandıılı. Bi bezbol a da golf topnn, hız doğltsna dik önde bi eği olştması b etkie bi önekti. ii) Ktta Jkowski Teoemi: Ünifom akım içine, ekseni akıma dik olaak eleştiilmiş silindiik bi cismin (daiesel kesitli olmasa da) aatacağı taşıma keti; cismin aattığı net sikülason c kapalı eğisi üzeinde; Γ π.ds 0 ifadesi ile hesaplanabili oldğ süece, F ρ U Γ denklemi ile belilenebili. II/0

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER (6. BÖLÜM) PROBLEM Şekilde gösteilen iskometik akış için hız ektöü, U δ h olaak eilio. a) Akım fonksionn blnz? b) Akış miktaını eşit olaak bölen akım çizgisini belileiniz? ÇÖZÜM a) U, h h ( ) U d f ( ) U f ( ) h 0, 0 f ( ) 0 U h b) Akım fonksion h ta maksimm oldğndan; h ma U U h h h Q ma min U 0 U Q / ma h U U 4 h h I/

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. PROBLEM Silindiik koodinatlada hız ektöü, A A δ δ olaak eilen sıkıştıılamaz akışa ait akım fonksionn belileiniz? ÇÖZÜM A ( ) d f ( ) f () A f (), A g (, ) d g( ) d g( ) Aln ( ) () A g() A f ln f g () ( ) Aln A Aln A PROBLEM 3 Sebest oteks için hız alanı, c δ. c 0.5 m /s olaak eilio. a) Akım fonksionn blnz? b) Hacimsel debii (biim deinlik için) 0.05m e 0. 7m aasında belileiniz? ÇÖZÜM a) c c f (, ) d f ( ) d f ( ) c ln ( ) f ' ( ) 0 f ( ) sabit c c ln c b) Biim deinlik için hacimsel debi Q b ln ( ) ( ) c I/

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. I/3 PROBLEM 4 Bi akış alanında akım çizgisi denklemi için, bağıntısı eilmektedi. a) 0 e 4 değeleini kllanaak, akışa ait akım çizgisi eğileini çiziniz? b) akışın iotasonel oldğn gösteiniz? ÇÖZÜM a) Akım çizgilei eğilei faklı e değelei kllanılaak 0 e 4 için aşağıdaki şekilde elde edili: b) ( ) δ δ ( ) 0 z z z w z δ δ δ δ δ

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. AKIŞKANLAR MEKANİĞİ II DERSİ II. ARA SINAI ÇÖZÜMLERİ Taih: //003 Süe: 90 dak. SORU (5p). İki botl sütünmesiz bi akışa ait hız e ağılık (eçekimi) keti ektölei: (A B) i - A j ; g g j ; (A s -, B s -,g 9.807 ms olaak eilmektedi.denklemde pozison (,) e hız sıasıla m e m/s biimleile tanımlandığına göe Ele momentm denklemi adımıla (,)(,) noktasına basınç değişim (gadant) ektöü ( P) için geçeli bağıntıı tüetiniz? - ) Çözüm ( A B) i A j g g j (, ) (,) D D D ρ P ρg P ρ g P ρ g Dt Dt Dt D w ( A B)( Ai ) ( A)( Bi Aj) Dt t z D i j P ρ [ i 7.80 j] Dt SORU (50p)....(a)0p, (b)0p, (c)5p, (d)5p, (e)5p. İki botl bi akış alanına ait akım çizgisi denklemi - a( ), (a 3s ) denklemi ile eilmektedi. a) Akışın döngüsüz (iatosonel) bi akış oldğn gösteiniz? b) Akış için hız potansielini ( ) een denklemi tüetiniz? c) e denklemlei kllanılaak, b iki paametenin olştdğ eğilein akışın he noktasında bibiine dik oldğn gösteiniz. d) : 0,, e 3 sabit değeleinin he bii için :,, 3, 4 e 5 değeleini kllanaak akım çizgisi eğileini olştnz e b bölgedeki akışın geometisi e akış önü ile değelendime apınız? e) 3 noktasını göz önüne alaak, hızın hangi akım çizgisi aasında en büük değee sahip olacağını belileiniz? Çözüm a( ) a) a, a 0 0 a a 0 iotasonel I/4

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. b) c) d) a c( ) c ( ) c ( ) 0 a a c ( ) d 0 d 0 d d d d a / a / a / a / a 3 Dik 0 0 3 0.8 0.57 0.9.8.73 3 3.94.88.8 4 4 3.95 3.9 3.87 5 5 4.96 4.93 4.89 0 3 4 5 3 e) 3 oldğndan hızla eşitti. 0 3 SORU 3 (50p)....(a)0p, (b)0p, (c)5p. Potansiel akım alanı içeisinde haeket etmekte olan bi akışkan patikülüne ait hız ektöü, K π i olaak eilmektedi. B akışı göz önüne alaak; a) Akım çizgisi denklemini tüetiniz? b) Hız potansieli denklemini tüetiniz? c) e eğileini (hesaplama geekmeksizin) aklaşık ölçekte çiziniz? I/5

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. I/6 Çözüm 3 K ı K π π 0, a) ) ( ln π c K b) ) ( c K π c) c e K π çembe denklemi

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. AKIŞKANLAR MEKANİĞİ II DERSİ II. ARA SINAI ÇÖZÜMLERİ Taih: 04//004 Süe: 75 dak. So...(30p) D g ρ ρ p µ...() Dt Ykaıda eilen () nol ektöel difeansiel denklemi göz önüne alaak aşağıdaki solaı anıtlaınız: a) Denklem () in liteatüde bilinen ismini azaak, fiziğin hangi temel pensibinden ola çıkılaak tüetildiğini azınız? b) Denklem () de blnan he bi teimin fiziksel anlamını azaak, tüetimi sıasında kllanılan asaımlaı azınız? c) Denklem () in mect halile çözümü için kaç tane sını şatı e ilk zaman (başlangıç) şatı geeklidi? d) Denklem () i kllanaak, iki-botl potansiel akış için geçeli denklemi tüetiniz e b denklemin katezen ( e ) e silindiik koodinatla (, ) için açılımını apınız? e) Denklem () i kllanaak, Benoilli denkleminin nasıl tüetileceğini gösteiniz/açıklaınız? Çözüm Çözüm des notlaında mect (Bknz: Momentm denklemi tüetimi). So...(0p) Aşağıdaki kaamla aasındaki temel fakı kısaca belitiniz / şekil a da denklem adımıla ifade ediniz? momentm denklemi Ele denklemi - Benoilli denklemi- Na. St. denklemi sütünmesiz akış potansiel akış akım çizgisi hız potansieli kompleks potansiel kanak akışı k akışı dipol akış sebest gidap (oteks) zolanmış gidap (oteks) Çözüm Çözüm des notlaında mect (Bknz: Momentm denklemi tüetimi e potansiel akışla). So 3...(5p) Potansiel akım alanı içeisinde olan bi akış için kompleks potansiel fonksion, a Φ ( z ) ( z ) i...a: sabit z denklemi ile tanımlanmaktadı. Söz kons akış için; akım çizgisi ( ), hız potansieli ( ), hız bileşenlei (, ), botsz basınç katsaısı ( c P ) e dma noktalaı na ait fomüllei tüetiniz? Çözüm 3 a Φ( z) z i i i z ( a ) i( i i a ( i) ( i)( i) ia i a a Φ( z) i a i( ) I/7

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. Hız potansieli fonksion, a a sin akm çizgisi fonksion, a a cos hız bileşenlei, a sin a cos Dma noktalaı: 0 olmalıdı. 0 için 0 dı. cos π / e 3π / Botsz basınç katsaısı için, hız değeinin aşağıdaki denklemde eine konması geeklidi. cp P P ρ So 4...(5p) İki-botl potansiel bi akış; fonksionel tanımlaması, Φ ( K z e Φ z) K ln z... (K e K : sabit) z) ( olaak eilen iki akışın bileşiminden olşan bi akışla temsil edilebilmektedi. Söz kons akış için akım çizgisi e hız potansieli fonksionlaını belileeek, a) sıkıştıamaz e döngüsüz akış koşllaının sağlanıp sağlanamadığını test ediniz? b) iki fonksiona ait eğile aasında diklik şatı geçeli olp olmadığını test ediniz? c) akışa ait bi kaç akım çizgisini tahmin edeek, nasıl bi akış oldğn omlaınız? Çözüm 3 Çözüm aşamalaı için des notlaına bakınız. I/8

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. AKIŞKANLAR MEKANİĞİ II DERSİ II. ARA SINAI ÇÖZÜMLERİ Taih: //005 Süe: 75 dak. SORU (40p). İki botl kaalı bi akışa ait hız ektöü; i / j olaak eilmektedi: a) potansiel akış koşllaının geçeli olp, olmadığını belileiniz? b) akım fonksion e hız potansiel eğileine ait denklemlei tüeteek, iki eği aasındaki diklik koşlnn geçeli olp, olmadığını belileiniz? c) >0 e >0 bölgesinde Ψ0, Ψ0 e Ψ50 değeleinin he bii için akım çizgileini anı gafik üzeinde gösteiniz (eğile, değişkeninin, e 3 değelei için çizilebili)? d) değeini efeans alaak (d) şıkkında elde ettiğiniz gafik adımıla hangi iki akım çizgisi aasında akış hızının en üksek değee laşacağını tespit ediniz? ÇÖZÜM a) i / j 0 ( ) 0 ( PA şatlaı sağlanmıo. b) Diklik şatı / ). d c c. d c c. d c ( / ) 0..sıkıştıılamaz ( ) 0 döngülü f ( ) f ( ) f ( ) c d 6 d d / / ( ) ( ) d d d / d d / d d d. d sağlanıo d 3 / 3 6 I/9

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. c) 0 0 50 0 6.3 0 0 4.47 7.07 3 0 3.65 5.77 0 8 6 4 0 50 0 0 3 d) 0 6.3 > 3.68 So...(30p). Potansiel akım alanı içeisinde olan bi akış için kompleks potansiel fonksion, / ( z ) Uz Φ denklemi ile tanımlanmaktadı. Denklemlede U sebest akış hızı olp, değei sabitti. Söz kons akış için aşağıdaki büüklüklee ait fomüllei tüetiniz? a) hız bileşenlei (, ) b) botsz basınç katsaısı ( c P ) c) dma noktalaı. ÇÖZÜM a) / Φ ( z ) Uz dφ z) / / i / Uz e dz U cos. ( / U (cos i sin ) U sin ( ) / (/ )tan ( / ) b) ( ) c p U c) 0 şatı glanaak bln. - I/30

Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İzinsiz çoğaltılamaz. SORU 3 (30p). Potansiel akım alanı içeisinde dönen-daiesel bi silindi etafında haeket etmekte olan bi akışkan patikülüne ait hız ektöünün bileşenlei aşağıdaki denklemle eilmektedi: [ U S / ] cos ; [ U S / ] sin ω Denklemlede U sebest akış hızı, S dipol şiddeti e ω açısal hız olp sabit değeledi. Söz kons akış için; aşağıda eilen büüklüklee ait denklemlei tüetiniz? a) akım çizgisi ( ), b) hız potansieli ( ), c) kompleks potansiel fonksion ( Φ (z) ) ÇÖZÜM 3 a) s sin ( ) f ( ) s f ( ) s s sin ( ) sin ( ) w f ( ) w sin ( ) w d b) s cos ( ) f ( ) s f ( ) s s sin ( ) sin ( ) w f ( ) w cos ( ) w d c) Φ i I/3