AKIŞKAN HAREKETĐNĐ YÖNETEN GENEL DENKLEMLER, TEMEL KAVRAMLAR

Transkript

1 AKIŞKAN HAREKETĐNĐ YÖNETEN GENEL DENKLEMLER, TEMEL KARAMLAR Bazı önemi kaama Konto hami Debi Haeketi takiben aınmış tüe Gene denkemein intega fomaı Gene denkemein difeansie fomaı Bazı teme kaama Akım çizgisi Akışkan kinematiği, Rotasone e iotasone haekete iküason Akım fonksion Hız potansiei UCK35 Aeodinamik des notaı Uzada abit Konm, on Konto Hami Konto hami n du d Konto üzei UCK35 Aeodinamik des notaı

2 Debi A: Yüze aanı h n n : Akışkanın biim zamanda adığıo hız n: Yüze nomai h: Pizmanın üksekiği A Taan e tabanı paae pizma haımsadebi Biim zamanda A üzeinden geçen akışkan hami pizmanın hami Taban aanı Yüksekik Q A ( n) Kütese debi Haımsa debi oğnk m& ρ Q& ρ A ( n) UCK35 Aeodinamik des notaı 3 Tam difeansie tanımı Hız ektöü tanımı Haeketi Takiben Aınmış Tüe A A A A da d d dz z t da A d A d A z d d dz i j wk,,, w dz A t Gadan ektöü tanımı da A A A A A w t z A A A i j k z Haeketi takiben aınmış tüe DA A A Dt t UCK35 Aeodinamik des notaı 4

3 üekiik denkeminin intega biçimi Kütenin konm ikesi : Küte ok ediemez / oktan a ediemez U konto haminin üzeinden biim zamanda çıkan net küte miktaı U konto hamindeki küte miktaının biim zamandaki değişimi ρ n d t ρ d t ρ d ρ n d UCK35 Aeodinamik des notaı 5 Momentm denkeminin intega biçimi Haeketin konm ikesi : Dış kete topamı ataet ketine eşitti F d m a m abit küte için F d ( m ) Dış kete topamı Momentmn biim zamandaki değişimi UCK35 Aeodinamik des notaı 6

4 Momentm denkeminin intega biçimi Dış kete Bünese kete Gaitasone kete f biim kütee etkien bünese ketti Eektomanetik kete f ρ d Yüzese kete Basınç ketei Teğetse kete p F is n d UCK35 Aeodinamik des notaı 7 Momentm denkeminin intega biçimi Momentmn biim zamandaki değişimi Konto üzeinden çıkan e gien küteein taşıdıkaımomentma aasındaki fak Konto hamindeki küte miktaının değişiminden kanakanan momentm değişimi ( ρ n d ) ( ρ ) d t onç oaak Momentm denkeminin intega biçimi t ( ρ d) ( ρ n d) p n d Fis ρ f d UCK35 Aeodinamik des notaı 8

5 Momentm denkeminin gaması -Bot ismin süükemesi sını t abaka iz böge si Bi kanat pofiinin geisindeki hız pofiei Pitot-taağı UCK35 Aeodinamik des notaı 9 Momentm denkeminin gaması -Bot ismin süükemesi Momentm denkemi ρ ( n) d K A F - p ρ D E F D D H G (,) p(,) ρ(,) B - C I J AK, AB e BJ üzeei pofiden eteine zakta: Akım sebest akım koşaında momentm denkemi D ( p p) d ( ρ ρ UCK35 Aeodinamik des notaı ) d

6 Momentm denkeminin gaması -Bot ismin süükemesi momentm denkemi D ( p p) d ( ρ ρ D D ( p ( p p) d p) d ρ ρ d d ) d ρ D ( p p) d ρ( ) d ρ d d JK kesiti eteine geide ise p p e iz dışında D ρ( ) d Đz UCK35 Aeodinamik des notaı Önek: Konto haminin üst sınıı oaak seçien akım çizgisi ını tabakanın kenaı δ Hız pofii () Uznğ oan bi düz eha üzeinde geişen aminesını tabakanın fia kenaındaki kaınığı e ehanın sütünme süükeme katsaısı sıasıa δ 5 Re, C D q.38 ; () Re µ şekinde eimektedi. ını tabaka içeisindeki hız dağıımı n δ f şekindeki bi ket kann ie tanımandığına göe, b bağıntıdaki nüssünün değeini hesapaınız. UCK35 Aeodinamik des notaı ρ Re

7 Çözüm: ütünme süükemesi katsaısı C f D q Momentm denkeminden D ρ( ) d C f.38 ; Re δ n C f Đz ρ ½ρ.38 Re δ δ/ ( ) d ( ) δ/ n / / δ/ δ / n d d İntega aınaak.38 δ Re n n δ δ 5 Re.38 Re n Re n Re UCK35 Aeodinamik des notaı 3 n n n.656n n. ea.66 n δ.4 n.5 Not: Öneien hız dağıımının geçek aminesını tabaka hız dağıımına madığıdikkati çekmektedi.. Düz eha için geçek amine sını tabaka hız pofii UCK35 Aeodinamik des notaı 4

8 Eneji denkeminin intega biçimi Enejinin konm ikesi Eneji ok ediemez, oktan a ediemez, biçim değiştii Temodinamiğin. Kann Çee δq Çeeden sisteme sokan ısı istem de istemin enejisindeki değişim δw Çee taafından sistem üzeinde apıan iş δq δw de (biim küte başına) UCK35 Aeodinamik des notaı 5 Eneji denkeminin intega biçimi B Biim zamanda gien ısı n B 3 Biim zamanda sistemin enejisindeki değişim d B Biim zamanda apıan iş B B B3 NOT: Eneji denkemi asında güçbotndaomaka biikte, bi aışkanık esei oaak eneji denkemi tabii kanımaktadı. UCK35 Aeodinamik des notaı 6

9 Eneji denkeminin intega biçimi B isteme biim zamanda sokan ısımiktaı: - Radason ea anma oa biim zamanda sokan ısı Not : q& biim küte başına sokan ısı q& ρ d - iskoz kanakı(ısı ietimi, küte difüzon) oaak sokan ısı Q & is Böee sisteme biim zamanda sokan topam ısı B q& ρ d & Q is UCK35 Aeodinamik des notaı 7 Eneji denkeminin intega biçimi z B Çeenin sistem üzeinde biim zamanda aptığıiş: İş tanımı F ketinin aptığı iş F d F ketinin biim zamanda aptığı iş - Basınç keteinin aptığı iş - Bünese ketein aptığı iş 3- iskoz ketein aptığı iş ( p n d ) ( f ρ d) W & is d F Çeenin sisteme etkittiği ketein aptığı iş F F d Böee B ( p n d ) ( f ρ d) W& is UCK35 Aeodinamik des notaı 8

10 Eneji denkeminin intega biçimi B 3 istemin enejisinin biim zamanda değişimi: Biim küte başına eneji e e İç eneji (Dağan sistem için sadee iç eneji adı) Kinetik eneji (Haeketi sistem için iaeten kinetik eneji adı.) Konto üzeinden çıkan e gien küteein taşıdıkaı enejie aasındaki fak Konto hamindeki küte miktaının değişiminden kanakanan eneji değişimi t ( ρ n d ) ( ρ d ) e e UCK35 Aeodinamik des notaı 9 Eneji denkeminin intega biçimi t ρ e d ( ρ n d ) e ( p n d ) ( f ρ d) W& is q& ρ d Q& is NOT: -Dışadan bi şaft ie güç sokosa W & şaft teimi ekenmei - Yüksekik fakı önemise e gz şekinde potansie eneji teimi ekenmeidi. UCK35 Aeodinamik des notaı

11 Denkemein bianços süekiik 3 momentm eneji Topam 5 denkem t t t ρ d ρ n d ( ρ d) ( ρ n d ) p n d Fis ρ e d ( ρ n d ) ( p n d ) ( f ρ d) W& is q& ρ d Q& is e ρ f d Biinmeene ρ,, (,, w), p e Topam 6 adet biinmeen denkem saısıçözüm için etei deği Đae denkeme (Temodinamik bağıntıa) Ha denkemi Kaoik mükemme gaza için p ρ RT e T Đae biinmeen T ONUÇ: 7 adet denkem (e bağıntı) ie 7 biinmeen çözüebii. UCK35 Aeodinamik des notaı Gene Denkemein Difeansie Biçimei Diejans Teoemi Abi ektöeea skaebüükük omak üzee bi üze integaidiejansteoemi adımıa bi haim integaine dönüştüüebii A n d A d UCK35 Aeodinamik des notaı

12 üekiik denkeminin difeansie biçimi t ρ d ρ t ρ n d ( ρ ) d A n d A d ( ρ ) n d ( ρ ) d onsz küçük konto hami için ρ t ( ρ ) ρ ρ ρ t Dρ Matea tüe tanımı ie ρ Dt Daimi akım için ıkıştııamaz akım için ( ) ρ / t ρ ρ b UCK35 Aeodinamik des notaı 3 t t Momentm denkeminin difeansie biçimi ( ρ d) ( ρ n d ) p n d Fis ( ρ d) ( ρ n d) p d Fis Hız, Teğetse ket e Bünese ket ektöei t i j w k Fis F is i F f f i f j f z is k j F zis k ρ f d ρ f d omak üzee -momentm ( ρ d) ( ρ n d) d Fis p ρ f d t ( ρ d) ( ρ) d d F is p ρ f d İntegae bieştiiip konto hami sonsz küçük apıaak UCK35 Aeodinamik des notaı 4

13 Momentm denkeminin difeansie biçimi -momentm -momentm z-momentm ( ρ) ( ρ ) t t ( ρ) ( ρ ) is is ( ρw) p ( ρ w) f zis ρ f z t p f p f z ρ f ρ f Naie-tokes denkemei Bünese ketei omadığı daimi akım için iskoz kete ihma ediise f,, fis t ( ) ρ ( ) ρ ( w) ρ p p p z Ee denkemei UCK35 Aeodinamik des notaı 5 Momentm denkeminin difeansie biçimi -momentm ( ρ) p ( ρ ) f is ρ f t odaki teime açıaak Düzeneneek ρ ρ ρ ρ t t ρ t p ( ) f is ρ f p ( ρ ) ρ f is ρ f t (üekiik denkemi) D/Dt (Matea tüe) -momentm -momentm z-momentm D p ρ f Dt D p ρ f Dt ρ Dw p Dt z is is f zis ρ f ρ f ρ f z UCK35 Aeodinamik des notaı 6

14 Eneji denkeminin difeansie biçimi ρ e t d ( ρ n d ) e ( p n d ) ( f ρ d) W& is q& ρ d Q& is Yüze integaeinde diejans teoemi ganaak e konto hami sonsz küçük apıaak e t ρ ρe ( p ) ρ f w& is ρ q& q& is Daimi akım hainde, bünese kete e iskoz kete ihma ediise, ısı iaesi omaması hainde t, f, w&, q&, q& ρ e is is ( p ) UCK35 Aeodinamik des notaı 7 Akımın göünümü: Yöünge çizgisi Yöünge çizgisi: Akışkanın zaman içeisinde izediği o UCK35 Aeodinamik des notaı 8

15 Akımın göünümü: Çıkış çizgisi Çıkışçizgisi: Akım aanının anınoktasından bei bi zaman aaığında geçen akışkan zeeeinin bi t anında bndkaı noktaaı bieştien eğidi. C B A Zaman t z UCK35 Aeodinamik des notaı 9 Akımın göünümü: Akım çizgisi Akım çizgisi: Bütün noktaaındaki teğetei hız ektöüne paae oan eği Hız ektöü Akım çizgisi Akım çizgisi Daimi akımda akım çizgiei öünge çizgieie anıdı UCK35 Aeodinamik des notaı 3

16 Akım Çizgisinin Denkemi ds ds d i d j dz k i j wk i j k ds d d dz w i ( wd dz) j( dz wd) k ( d d) wd dz dz wd d d d d dz w UCK35 Aeodinamik des notaı 3 Önek pobem, İe eien hız aanıiçin(,5)noktasından geçen ² ² ² ² akım çizgisinin denkemini bnz. Çözüm: Akım çizgisi denkemi d d d d d d Đntege edieek ² ² C (,5) noktası için 5² C C 5 ² ² 5 UCK35 Aeodinamik des notaı 3

17 Akışkan kinematiği t t anı Akışkan haeketi d t D - Öteeme (tansason) - Dönme (otason) 3- Genişeme-daama (diatason) 4-Açısa defomason d d t. t - φ A B φ C d t Anoktasının A e gitmesi bi öteeme haeketidi. d B d D d d t Öteeme miktaaı: t, t d A d t anı C d d. t UCK35 Aeodinamik des notaı 33 Akışkan kinematiği ADdiagonai saat ibeeine zıt önde bi dönme haeketi apaak A D diagonaine dönüşmüştü. B bi dönme (otason) haeketidi. BC kenaının açısa hızı d t φ tan t d d t AB kenaının açısa hızı φ tan BD diagonainin açısa hızı d t t d d t d d t ω z dφ A φ im t t φ im t t dφ B d t - φ φ d d t dφ dφ C D d t UCK35 Aeodinamik des notaı 34

18 Akışkan kinematiği z ekseni etafındaki (- düzemindeki) açısa hız ωz ekseni etafındaki (z-düzemindeki) açısa hız ω w z w ekseni etafındaki (z- düzemindeki) açısa hız ω z Akışkan taneiğinin açısa hız ektöü ω ω i ω j ω k z otisite w w ζ ω i j k z z ζ UCK35 Aeodinamik des notaı 35 Akışkan kinematiği Rotasone haeket Đotasone haeket - θ θ θ θ (- θ) - θ ζ ζ UCK35 Aeodinamik des notaı 36

19 Akışkan kinematiği Akışkan eemanı, AB e AC kenaaı aasındaki dik açıazaaak bi açısa defomasona ğamıştı. t t - anı d t D ε dφ dφ ε ε ε z z w z w z d d B A d d t - anı d d t. t C D d d - φ A. t B φ C d d t d t UCK35 Aeodinamik des notaı 37 Akışkan kinematiği Akışkan eemanı genişeme (diatason) biçiminde bi şeki değişimine ğaaak A B C D eemanı omşt. t t - anı d t D ε ε d d t d t d t t Benzei şekide ε ε ε zz w z d d B A d d t - anı d d t. t C D d d - φ A. t B φ C d d t d t Defomason hızaı matisi ε z w w z z w z UCK35 Aeodinamik des notaı 38

20 UCK35 Aeodinamik des notaı 39 Hız dağıımıandaki gibi eien akım aanı için otisitei hesapaınız. ²)² ² ( ) ( ²) ² ( ²)² ² ( ) ( ) ²)( ² ( ] [ ] [ ² ² ² ² ξ k j i k j i z k j i w z k j i Akım aanı, ²² oan başangıç noktası haiç, iotasonedi. Önek pobem ² ², ² ² Çözüm UCK35 Aeodinamik des notaı 4 Önek pobem Düz eha üzeindeki aminesını tabakanın hehangi bi istasonndaki hız pofii e b noktadaki sını tabaka kaınığıiçin aşağıdaki bağıntıa eimişti. Akımın otasone mi, iotasone mi odğn gösteiniz. Çözüm: µ ρ δ δ Re, Re 5,.5 eien hız pofiinden e göe tüe aınaak:.75.5 δ δ k Đki bot hade otisite: / tüeinin hesabı için süekiik denkeminden aaanıabii:

21 eien hız pofiinden e göe tüe aınaak: δ.5.5 (.5) δ µ δ 5 ρ.5 / dδ d Tüe aınaak ını tabaka kaınığı δ 5 Re 5 ρ / µ dδ d µ ρ 5 / µ ρ /8 9/8 C.5 9/8 5 C µ ρ /8 omak üzee UCK35 Aeodinamik des notaı 4 C C3 / 4 9/8 5/ 4 9/8 C C 5 / 4 9 / 8 C 5 / 4 7 / 8 Đntega aınaak da op Tüe aınaak C4 δ 5 3 / 4.5 µ / ρ.8.5 C 5/ 4 7/8 3/ 4 / 9 3 C4 Akım otasonedi UCK35 Aeodinamik des notaı 4

22 UCK35 Aeodinamik des notaı 43 Önek pobem Şekide gösteien kosinüs eğisi biçimindeki daga üzüda etafındaki akıma ait hız bieşenei e Mah saısı için aşağıdaki bağıntıa eimişti. Akımın otasone mi, iotasone mi odğn gösteiniz. / / sin os πβ πβ β π π π π β M e h e h Bada: m, h.m, 4m/s, M.7, M daki akım çizgisi h UCK35 Aeodinamik des notaı 44 Çözüm k Đki bot hade otisite: os os / / π π π π β π πβ e h e h Hız bağıntıaından tüe aınaak e h / os β π π π e h e h / / os os β π πβ π π πβ π π β Daga üzü da etafındaki sütünmesiz sıkıştııabii sesatı akım iotasonedi.

23 iküason C. Γ ds C ds UCK35 Aeodinamik des notaı 45 iküason otisite iişkisi n. dγ ( ) n d -dγ P d C tokes teoeminden Γ ds C ( ) d UCK35 Aeodinamik des notaı 46

24 Önek pobem Hız bieşeneinin andaki gibi eidiği akımda 5 m aıçapı daiese bi öünge etafında siküason hesapaınız. Çözüm, ² ² B pobemin çözümü için poa koodinata kanıması daha gn o. osθ, sin θ θ sin θ osθ os θ sin θ osθ sin θ sin θ osθ sin θ osθ sin θ osθ ds ( e Γ ds C e ) ( d e θ θ π ² ² [ m / s] sin θ sin θ osθ osθ ² ² ² ² ² ² d θ eθ ) d θ d θ dθ dθ dθ π m² / s UCK35 Aeodinamik des notaı 47 Akım fonksion d d ψ(, ) d ψ ρ n ψ im n n Akım çizgisi ψ ρ n dψ ρ dn a ψ ψ n b ψ ρ n ρ ρ( ) dψ ρ d ρ d a ψ ψ ψ n - ψ ψ d b ψ ψ dψ d d ψ ρ, ıkıştııamaz akım ψ, ψ ρ ψ ψ ψ ρ UCK35 Aeodinamik des notaı 48

25 Hız potansiei İotasoneik koş ξ ektö özdeşiği ( φ) Katezen koodinatada i j wk φ φ φ φ i j k z φ Hız potansiei φ, φ, φ w z iindiik koodinatada φ φ, θ, θ z φ z Küese koodinatada φ, φ, θ θ Φ sin θ φ Φ UCK35 Aeodinamik des notaı 49 Akım fonksion Hız potansiei iişkisi Potansie çizgiei Akım çizgiei φφ φφ φφ3 ψ 5 ψ 4 ψ3 ψ ψ φ φ φ3 φ 4 φ φ, φ ψ, ψ φ ψ φ ψ Cah-Riemann koşaı UCK35 Aeodinamik des notaı 5