Çokgen
Çokgensel bölge
İç bükey Dış bükey çokgen
Köşeleri: Kenarları: İç açıları: Dış açıları: Köşegenleri: Çokgenin temel elemanları
Kenar Köşegen ilişkisi Bir köşe belirleyiniz ve belirlediğiniz köşeden geçen kaç tane köşegen olduğunu bulunuz. Genelleyiniz.
Kenar Açı ilişkisi Kenar sayısına göre iç açılarının toplamını ve dış açılarının toplamını bulunuz. Genelleyiniz.
Bir çokgenin temel elemanlarıyla belirlenmesi n kenarlı bir çokgenin, en az n 2 tane uzunluk olmak üzere, 2n 3 tane temel elemanının verilmesiyle belirlenir.
Köşeleri: Kenarları: Açıları (iç açıları): Dış açıları: İç açılar toplamı: Dış açılar toplamı: Üçgen ve temel elemanları
Açılarına göre üçgen çeşitleri
Kenarlarına göre üçgen çeşitleri
Üçgenin kenarortayları Ağırlık merkezi
Üçgenin yükseklikleri Diklik merkezi
Bir köşeye ait yardımcı elemanlar h n v a A a
Üçgenin açıortayları İç merkez
Üçgenin dış açıortayları Dış merkez
Ödev 1
Ödev 2
Ödev 3
Ödev 4
Ödev 5
Ödev 6
Ödev 7
Ödev 8
Ödev 9
Ödev 10
Ödev 11
Ödev 12
Ödev 13 Adı Soyadı: Sınıf: No: Ödev kontrol tarihi:
Açı Kenar ilişkileri 1 Üçgenin açısı büyürse karşısındaki kenar da büyür, açı küçülürse karşısındaki kenar da küçülür. Örnek m(b) m(c) b c olduğunu ispatlayınız. Genelleme m(a) m(b) m(c)
Açı Kenar ilişkileri 2 Üçgen eşitsizliği: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunluklarının toplamı ile farkı arasındadır. b c a b c b c İspat
Alıştırma 1 İki kenarı 3 ve 4 cm olan üçgenin diğer kenar uzunluğunun alacağı tam sayı değerleri bulunuz ve bu değerlere göre değişen uzunluğun karşısındaki açı çeşidini yazınız.
B geniş açı olduğuna göre x in alabileceği değer aralığını bulunuz. Alıştırma 2
B geniş açı olduğuna göre x in alabileceği değer aralığını bulunuz. Alıştırma 3
Ödev 1 x in değer aralığını bulunuz. x 6 3 10 6 x 5 12 x
Ödev 2
Ödev 3
Ödev 4
Ödev 5
Ödev 6
Ödev 7
Ödev 8
Ödev 9
Ödev 10
Ödev 11 Adı Soyadı: Sınıf: No: Kontrol tarihi:
Sinüs teoremi İspat 1: 1 1 1 S bcsina acsinb absinc 2 2 2 a b c 2R sina sinb sinc R : çevrel çemberin yarı çapı sin A = İspat 2:
Sinüs oranı ile ilgili ansiklopedik bilgiler A + B + C = 180 o sin A = sin (180 o A) = sin (B+C) sin(b C) sinbcosc sinbcosc sin(b C) sinbcosc sinbcosc B C B C sinb sinc 2sin cos 2 2 1 sinb sinc cos(b C) cos(b C) 2 o sina cos(90 A) A A sina 2sin cos 2 2 2 sina 1 cos A a b c a b c 2R sina sinb sinc sin(b C) sin(a C) sin(a B) 1 1 1 A(ABC) ab sin(a B) ac sin(a C) bc sin(b C) 2 2 2 1 1 1 A(ABC) ab sinc ac sinb bc sina 2 2 2 2 A(ABC) 2R sina sinb sinc sin30 sin45 sin150 2 o o 1 sin60 sin135 o o 2 sin120 2 o o 3 2 o o sin0 sin180 0 o sin90 1
Alıştırma 1 2k... 2k............... 3k...... 3k... k... 2k 2k
Sinüs teoremi sonucu 2k 2k 2k k 3k 2k 2k 3k 6 2 k 2 k k 6 2 2 2 6 2 2k k 3k 6 2 k 2 2k 6 2 k 2 6 2 k 2 150 75 6 2 k 2 165 15 6 2 k 2
Alıştırma 2 12 x 2. yol: ek çizim 12 x
Alıştırma 3 6 3 x 2. yol: ek çizim 6 3 x
Alıştırma 4 x y? 2 2. yol: ek çizim
Çevre(ABC)=? Ödev 1
x y? Ödev 2 2 3 x y? 2
Ödev 3
Ödev 4
A Kosinüs teoremi (hatırlatma) AC AB BC AC AB BC c b 2 2 2 AC AB BC AC AB BC AB BC B a 2 a C 2 AC AB AB 2AB BC BC BC BA 2 2 2 b a c 2ac cosb 2 2 2 AC AB BC 2 BA BC cosb c 2 2 2 2 b a c 2ac cosb o 2 cos90 0 b a 2 c 2
Kosinüs oranı ile ilgili ansiklopedik bilgiler A + B + C = 180 o cos A = cos (180 o A) = cos (B+C) cos(b C) cosbcosc sinbsinc cos(b C) cosbcosc sinbsinc B C B C cosb cosc 2cos cos 2 2 1 cosb cosc cos(b C) cos(b C) 2 o cosa sin(90 A) 2 A 2 A cos A cos sin 2 2 2 cosa 1 sin A 2 2 2 a b c 2bc cosa 2 2 2 b a c 2ac cosb 2 2 2 c a b 2ab cosc b c a cosa 2bc a c b cosb 2ac a b c cosc 2ab 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos30 cos45 cos60 sin60 o o 3 sin45 2 o o 2 sin30 2 2 o o 1 o o cos90 sin0 0 o o cos180 cos0 1 cos150 cos135 cos120 cos30 o o 3 cos45 2 o o 2 cos60 2 2 o o 1
Alıştırma 1
Alıştırma 2 2. yol
Alıştırma 3
Ödev 1
Ödev 2
Ödev 3
Üçgenin kenarını bölen nokta n' DB m D noktası, ABC üçgeninin *BC+ kenarını DC n oranında içten bölen noktadır. D'B m' D noktası; ABC üçgeninin *BC+ kenarını oranında dıştan bölen noktadır. D'C n' Özel olarak; AB BD BD' [AD] iç açıortay, *AD'+dış açıortay olur. AC CD CD' BD CD [AD] kenarorta olur.
*AD+: iç açıortay *AD +: dış açıortay Açıortay n' AB BD BD' AC CD CD' oranlarıyla elde edilen D ve D noktalarına sırasıyla iç açıortay ayağı ve dış açıortay ayağı denir. Açıortay uzunlukları x ve x ile gösterilirse; 2 x bc mn x' 2 m'n' bc
Alıştırma 1
Alıştırma 2
Alıştırma 3
Üçgenin iç merkezi Herhangi bir üçgenin iç açıortayları tek noktada kesişir. Bu noktaya (K) üçgenin iç merkezi denir. Üçgenin iç merkezi, iç teğet çemberinin de merkezidir. K Açıortay üzerindeki bir noktadan kenarlara inilen dikmeler eşittir.
Üçgenin dış merkezi Herhangi bir üçgenin iki dış açıortayı ile diğer iç açıortayı tek noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin dış merkezi denir. Üçgenin üç tane dış merkezi vardır. AK KD F E BK KE CK KF D
Dış teğet çemberler Üçgenin dış merkezleri, dış teğet çemberlerin merkezidir.
Alıştırma 1
AE ED? Alıştırma 2 20
Ödev 1
Ödev 2
Ödev 3
Ödev 4
Ödev 5
Ödev 6
Ödev 7
Ödev 8
Ödev 9
Ödev 10 x
Ödev 11
Ödev 12
Kenarortay 1 2ax... Va a 2 v b c 2 2 2 2 2 a a 2 2 2 vb 2 2 2 vc 2
Alıştırma
Kenarortay 2 2 2 a 2 2 2 va b c 2 2 2 b 2 2 2 vb a c 2 2 2 c 2 2 2 vc a b 2 2 2 2 va vb vc 3 2 2 2 a b c 4
Alıştırma 2 2 2 a) Va Vb Vc? b) Kenarortayları küçükten büyüğe sıralayınız.
Kenarortay 3 AG BD DC BC k Muhteşem üçlü : BD = DC = AD, m(a)= 90 o o ma 90 va a 2 AG BD DC 2 2 2 va vb vc 3 5v v v 2 2 2 a b c 4 2Va 2 a 2 2Va 2 2 2 2 a b c BC k b c a b c, 5v v v 2 2 2 2 2 2 a b c v v v v v, 5a b c 2 2 2 2 2 2 b c a b c
17 Alıştırma 1
Alıştırma 2 a) A ile K noktaları arasındaki uzaklık? b) x 2 + y 2 =?
Kenarortay 4 Köşeleri A(x 1, y 1 ), B(x 2, y 2 ), C(x 3, y 3 ) olan ABC üçgensel bölgenin ağırlık merkezi G(x 0, y 0 ) ise; D noktasının koordinatları: A G E G noktasının koordinatları: B D C x 0 x x x 1 2 3 y 0 y y y 1 2 3
AOB üçgensel bölgenin ağırlık merkezi G(6,8) olduğuna göre, 2 2 a) AG GB? Alıştırma b) A noktası ile B noktasının koordinatları toplamı kaçtır? A O y G B x
Ödev 1
Ödev 2
Ödev 3
Ödev 4
Ödev 5
Ödev 6
Ödev 7
Ödev 9
Ödev 10
Ödev 11
Ödev 12
Ödev 13
Yükseklik Herhangi bir üçgenin yükseklikleri tek noktada kesişir, bu noktaya üçgenin diklik merkezi denir. Verilen üçgenlerde ha, hb ve hc yükseklik uzunluklarını ve diklik merkezlerini gösteriniz. Köşelerinin koordinatları verilen üçgenin yüksekliklerinden birini hangi yöntemleri kullanarak bulabilirsiniz. Tartışınız.
Araştırma İnceleme b b vektörünün a vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü b vektörü ise ba b' a aa b' a Köşelerinin koordinatları verilen bir üçgenin, dikme ayaklarının koordinatlarının bulunması için kullanılabilir. İki nokta arasındaki uzaklık ile yükseklikler de bulunabilir.
Alıştırma Köşeleri A(1, 2), B(3, 4), C(4, 1) olan ABC üçgeninin C noktasından çizilen yüksekliğin dikme ayağı D ve diklik merkezi H noktasıdır. a) D dikme ayağının koordinatlarını bulunuz. b) *CD+ yüksekliğinin uzunluğunu bulunuz. c) Bu üçgenin yüksekliklerinin tek noktada kesiştiğini göstermek için hangi adımların yapılması gerektiğini söyleyiniz.
Üçgensel bölgenin alanı Üçgenin alanı denildiğinde, üçgensel bölgenin alanı düşünülür. Üçgen alanı = (taban x yükseklik) / 2 Üçgen alanı = dikdörtgen alanı / 2 Üçgen alanı = paralelkenar alanı / 2
Temel alan formülü ve yorumları 1 A 2s 2s 2s A(ABC) s a, b, c h h h a b c h a B a ah bh ch A(ABC) 2 2 2 a b c C b c a b c 2s 2s 2s 2s 2s h h h h h b c a b c 1 1 1 1 1 h h h h h b c a b c
Alıştırma Bir ABC üçgeninde, h a = 3 cm, h b = 4 cm olduğuna göre h c nin değer aralığı nedir?
Temel alan formülü ve yorumları 2 1) Yükseklik ve tabanları aynı olan üçgenlerin alanları da eşittir. 2) Yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanları oranı tabanları oranına eşittir. D C A E A B B m D n C A(DAB) A(CAB) A(ADC) A(BDC) A(ABD) A(ADC) m n A(EAD) A(EBC) A(ABD) m A(ABC) m n
Alıştırma 1 Taralı alanı =? 10 5
Alıştırma 2
Alıştırma 3
Sinüs alan ve yorumları A A A c D m n E p D m n E t B a C B C B r s C 1 A(ABC) acsinb 2 TA A m n b c TA m r t p s n A a b c
Alıştırma 1
Alıştırma 2
Alıştırma 3 paralelkenar 3a a s 1 s? 2 4b s 1 7b 3b s 2
Heron alan formülü A Örnek Kenar uzunlukları 5, 6 ve 7 cm olan üçgenin alanını bulunuz. c b B a C A(ABC) u(u a)(u b)(u c) u a b c 2
Alan formülü ile R nin bulunuşu Örnek Kenar uzunlukları 5, 6 ve 7 cm olan üçgenin çevrel çember yarı çapını bulunuz. A(ABC) s abc S 4R
Alan formülü ile r nin bulunuşu A(ABC) s S u r a b c u 2 Örnek Kenar uzunlukları 5, 6 ve 7 cm olan üçgenin iç teğet çemberinin yarı çapını bulunuz.
Ödev 1
Ödev 2
Ödev 3
Ödev 4
ABC üçgeninde ha = 6 cm, Va = 8 cm olduğuna göre, n A hangi aralıkta değer alır? Ödev 5
Ödev 6
Ödev 7
Ödev 8 Köşeleri A(-4, 3), B(0, -2), C(-3, 0) olan üçgenin *BC+ kenarına ait yükseklik ayağının koordinatları toplamı kaçtır? ABC üçgeninin [BC] kenarına ait yükseklik ayağı H noktasıdır. BA=(2,6) ve BC=(8,0) olduğuna göre, H noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
Ödev 9
Ödev 10
Ödev 11
Ödev 12
Ödev 13
Ödev 14 A 3 1 E 1 D 5 B 2 2 C
Ödev 15 dikdörtgen paralelkenar
Karnot teoremi C' AB,B' AC,A' BC A B C A C' A' B' Bir üçgende kenar doğrularından çıkılan dikmelerin tek noktada kesişmesi için gerek ve yeter şart: 2 2 2 2 2 2 AC' C'B BA' A'C CB' B'A 0
Alıştırma 1 c/2 b/2 Üçgenlerin kenar orta dikmeleri tek noktada kesişir, bu nokta çevrel çember merkezidir. 2 2 2 2 2 2 AC' C'B BA' A'C CB' B'A 0? c/2 a/2 a/2 b/2 2 2 2 2 2 2 c c a a b b 0 2 2 2 2 2 2
Alıştırma 2 Üçgenlerin açıortayları tek noktada kesişir, bu nokta iç teğet çember merkezidir. 2 2 2 2 2 2 AC' C'B BA' A'C CB' B'A 0? 2 2 2 2 2 2 n n m m p p 0
Alıştırma 3 Üçgenlerin yükseklikleri tek noktada kesişir. Bu nokta diklik merkezidir. 2 2 2 2 2 AK x n y t 2 2 2 2 2 BK z p x m 2 2 2 2 2 CK y s z r n p s t m r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n m p r s t 0 2 2 2 2 2 2 AC' C'B BA' A'C CB' B'A 0
Alıştırma 4 Bir üçgenin iki dış açıortayı ile diğer iç açıortayı tek noktada kesişir. Bu nokta dış teğet çember merkezidir. AC' C'B A'C B'A BA' CB' 2 2 2 2 2 2 AC' C'B BA' A'C CB' B'A 0
Alıştırma 5
Genel karnot teoremi A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A n herhangi bir çokgen olmak üzere, çokgen düzleminde alınan bir noktadan sırasıyla ardışık A 1 A 2, A 2 A 3, A 3 A 4, A n A 1 kenar doğrularına inilen dikme ayakları A 1, A 2, A 3,, A n ise 2 2 2 2 2 2 A A' A' A A A' A' A... A A' A' A 0 1 1 1 2 2 2 2 3 n n n 1 Bu bağıntı sağlanıyorsa A 1, A 2, A 3,, A n noktalarından çıkılan dikmeler tek noktada kesişir.