GENEL FİZİK II DERS NOTLARI

GENEL FİZİK II DERS NOTLARI Hazırlayanlar: Dr. Mustafa POLAT Dr. Leyla TATAR YILDIRIM 1

BÖLÜM-1 Elektrik Yükü Bu bölümde, maddenin özelliklerinden birisi olan elektrik yükü ile tanışacağız. Atomu meydana getiren elektron, proton ve nötron nun yüklerini öğreneceğiz ve devamında da şu konulara değineceğiz: Elektrik yükünün çeşitleri İki yük arasındaki kuvvet (Coulomb yasası) Yükün kuantalığı Yükün korunumu (1-1)

Bir kumaş parçası ile ovuşturulan kehribarın tüy gibi hafif nesneleri çektiği antik çağlardan beri bilinen bir şeydir. Bu olgu, maddenin yeni bir özelliği olan elektrik yükü ile ilgilidir. Birçok deney, iki tür elektrik yükünün varlığını göstermiştir: pozitif (renk kodu: kırmızı) ve negatif (renk kodu: siyah). pozitif ve negatif isimleri Benjamin Franklin tarafından verilmiş isimlerdir. Cam bir çubuğu ipek bir kumaşla ovuşturduğumuzda, ikisi de elektrik yükü kazanır. Cam çubuğun kazandığı yükün işareti pozitif olarak tanımlanır. Benzer şekilde, plastik bir çubuğu bir kürk ile ovuşturduğumuzda, ikisi de elektrik yükü kazanır. Plastik çubuğun kazandığı yükün işareti negatif olarak tanımlanır. (1-)

Yüklü cisimlerle yapılan bir çok deneysel çalışmalardan elde edilen sonuçlar şu şekilde özetlenebilir: 1. Aynı işaretli yükler (her ikisi de pozitif veya negatif) birbirlerini iterler (Şekil-a).. İşaretleri farklı olan yükler (biri pozitif, diğeri negatif) birbirlerini çekerler (Şekil-b). Yükünün işareti bilinen bir cisimle, yükünün işareti bilinmeyen cisim arasındaki etkileşme kuvvetinin yönünden yararlanarak, bilinmeyen cismin yükünün işaretini belirleyebiliriz. Aynı işaretli yükler birbirini iter. Zıt işaretli yükler birbirini çeker. (1-3)

Yöntem: İpek bir kumaşla ovuşturulan cam çubuğun pozitif yüklü olduğunu biliyoruz. Bu çubuğu, yükü kaybolmayacak ve etrafında serbestçe dönebilecek şekilde ortasından asalım. Sonra da, yükünü bilmediğimiz bir cismi cam çubuğa doğru yaklaştıralım. Mümkün olan iki durum söz konusudur: Şekil- a: İki cisim birbirini iter. Bu durumda bilinmeyen yük pozitif işaretlidir. Şekil-b: İki cisim birbirini çeker. Bu durumda bilinmeyen yük negatif işaretlidir. (1-4)

Atomun çapı 5 1-1 m. Çekirdeğin çapı 5 1-15 m. Benjamin Franklin zamanında (18. yy) elektrik yükünün bir çeşit ağırlıksız, sürekli akışkan olduğu kabul ediliyordu.. yy başlarında Ernest Rutherford un atomun yapısı üzerinde yürüttüğü araştırmalar, maddenin ne şekilde meydana geldiğini ortaya koydu ve bileşenlerinin sahip oldukları yüklerin belirlenmesini sağladı. Atomlar elektronlardan ve çekirdekten oluşur. Çekirdeğin kendisi de, proton ve nötronlardan oluşur. Elektronlar negatif yüklü, protonlar pozitif yüklü, nötronlar ise yüksüzdür. Bu durumda elektrik yükü, atomu oluşturan parçacıkların (elektron, proton, nötron) temel bir özelliğidir. (1-5)

Atomik Bileşenlerin Kütleleri ve Yükleri: Nötron (n) : Kütle m = 1.675 1-7 kg; Yük q = Proton (p) : Kütle m = 1.673 1-7 kg; Yük q = +1.6 1-19 C Elektron (e) : Kütle m = 9.11 1-31 kg; Yük q = -1.6 1-19 C Not-1: Elektron ve protonun yükleri için, sırasıyla, -e ve +e sembolleri kullanılır. Bunlar temel yük olarak bilinirler. Not-: Bir atomdaki elektron ve proton sayıları eşitse, atom elektriksel olarak nötr olarak adlandırılır. Bu sayı atom numarası (Z) dır. Not-3: Bir atomdaki proton ve nötron sayılarının toplamı ise kütle numarası (A) dır. Gösterim: 35 9 U Z = 9 = elektron/proton sayısı A = 35 =proton + nötron sayısı (1-6)

Yükün Quantalanması: Bir nesnenin toplam yükü, o nesnedeki temel parçacıkların sayısına (elektron, proton, nötron) bağlıdır. Elektron sayısı N p ve nötron sayısı net N n ( ) olan bir nesnenin net yükü, ( ) Q = en + en + N = e N N = ne olur. Burada, e p n p e n= N N p e N e, proton sayısı ve tamsayıdır. Bu, net yükün elektron yükünün tamsayı katları kadar olacağını gösterir. Yani yük quantalıdır. N e N n N p (1-7)

Yükün Korunumu: Her ikisi de yüksüz olan cam bir çubuk ile ipek bir kumaşımız olsun. Cam çubuğu ipek kumaşla ovuşturduğumuzda, cam çubuk pozitif yüklenir. Aynı anda, toplam yük sıfır olacak şekilde, ipek kumaş da eşit miktarda negatif olarak yüklenir. Buradan, ovuşturma işleminin herhangi bir yük oluşturmadığı ancak, birinden diğerine yük akışı sağladığı anlaşılır. Yükün korunumu şöyle özetlenebilir: Herhangi bir işlemin öncesindeki toplam yük, işlemden sonraki toplam yüke eşittir. Önceki Net Yük = Sonraki Net Yük Q i = Q f (1-8)

İletkenler ve Yalıtkanlar : İletkenler, yüklerin içlerinde serbestçe dolaşabilmelerine izin veren malzemelerdir. Bakır, aliminyum, civa bunlardan bazılarıdır. Yalıtkanlar, yüklerin içlerinde serbestçe dolaşmalarına izin vermeyen malzemelerdir. Plastik, lastik, cam, seramik bunlardan bazılarıdır. İletkenlerde, atomun son yörüngesindeki bir veya daha fazla elektron kolayca atomdan ayrılıp serbest hale gelebilir ve iletken içinde hareket eder. Bunlara iletim elektronları diyoruz. İletim elektronları geride iyon dediğimiz pozitif yüklü atomlar bırakırlar. İletkenin içinde sadece iletim elektronları serbestçe hareket edebilir, pozitif yüklü iyonların konumları değişmez. Yalıtkanlar ise iletim elektronu içermezler. (1-9)

Bir İletkeni İndüksiyon Yoluyla Yüklemek : Şekil- a' da bir iletken yalıtkan bir iple asılmıştır ve başlangıçta yüksüzdür. Negatif yüklü plastik çubuğu yavaşça yaklaştıralım. Plastik yalıtkandır ve üzerindeki negatif yükler hareketsizdir. Ancak, iletken içindeki negatif yükleri sağ uca doğru itecektir. İletkenin sol ucunda elektron boşluğu meydana geldiğinden pozitif yüklenmiş olacaktır. Şekil- b 'de toprağa bağlı bir iletim yolu oluşturulmuş, böylece elektronların toprağa akması sağlanmıştır. Toprak bağlantısını iptal eder ve plastik çubuğu uzaklaştırırsak, iletken çubuk pozitif yüklenmiş olacaktır. Not -1: İletken üzerinde indüklenen yük, plastik çubuğun Not - : yükü ile ters işaretlidir. Plastik çubuk aynı amaçlı çok defa kullanılabilir. (1-1)

F = k q q 1 r mm F = G r 1 Coulomb Yasası: Aralarındaki mesafe r olan, q ve q yükleri olsun. Bu yükler 1 birbirlerine, aşağıda özellikleri verilen kuvvetler uygularlar. 1. Kuvvetler, yükleri birleştiren doğru boyuncadır.. Yükler aynı işaretliyse, kuvvet iticidir. Yükler zıt işaretliyse, kuvvet çekicidir. 3. Kuvvetin büyüklüğü, Coulomb Yasası olarak bilinen 1 k = olmak üzere, F = k 4πε q q 1-1 olarak bilinir ve değeri 8.85 1 N m /C dir. r eşitliği ile verilir. Burada ε, boşluğun veya havanın elektriksel geçirgenliği Coulomb kuvveti ve Newton'un gravitasyonel kuvveti aynı formdadır. Tek fark, gravitasyonel kuvveti her zaman çekici bir kuvvettir. Buna karşın Coulomb kuvveti, yüklerin işaretine bağlı olarak çekici veya itici olabilir. (1-11)

Örnek : Hidrojen atomunda çekirdekteki proton ile yörüngedeki elektron arasındaki 11 uzaklık ortalama 5.3 1 m' dir. Bunlar arasındaki elektriksel ve gravitasyonel kuvvetlerin büyüklüklerini bulunuz. Coulomb yasasından, bu iki yük arasındaki kuvvetin büyüklüğü: F E 19 e 1.6 1 9 8 = k = 9 1 = 8. 1 N. r 11 ( 5.3 1 ) İki kütle arasındaki çekim kuvvetinin büyüklüğü, Newton' un gravitasyon yasasından: = mm e Fg G r p 31 7 ( 9.11 1 ) ( 1.67 1 ) 11 ( 5.3 1 ) = = 11 47 6.7 1 3.6 1 N. Atomik boyutta, parçacıklar arasındaki kütle çekim kuvveti önemsenmeyecek düzeyde küçüktür. (1-1)

Coulomb Yasası ve Üstüste Binme İlkesi : Bir yük grubunun belirli bir yüke uyguladığı net kuvvet, tüm yüklerin uyguladığı kuvvetlerin vektörel toplamına eşittir. Örneğin, q ve q3 yükleri tarafından q1 yüküne uygulanan net kuvvet ( F1), F1 = F1 + F31 ile verilir. Burada, F ve F sırasıyla q ve q yüklerinin q yüküne uyguladığı kuvvetlerdir. durumunda ise net kuvvet, n F = F + F + F +... + F = F 1 1 31 41 n1 i1 i= ile ifade edilir. 1 31 3 1 q 1 yüküne etkiyen n tane nokta yük olması F = F + F 1 1 41 (1-13)

Örnek : uzunluğu 3 Şekildeki gibi üç nokta yük, dik kenarlarının a= 1 cm olan ikizkenar üçgenin köşelerine yerleştirilmiştir. q =q = 5 µ C ve q = µ C olduğuna göre q 1 3 yüküne etkiyen net kuvveti bulunuz. Coulomb yasasından, q ve q yüklerinin q yüküne uyguladıkları kuvvetlerin büyüklükleri: F ( a) 1 3 6 6 ( 5 1 )( 5 1 ) q q = k = 9 1 = 11 N.1 1 3 9 13 13 3 ( ) 6 6 ( 1 )( 5 1 ) q q3 9 F3 = k = 9 1 = 9 N a F = F + F = (11cos 45 9)i + 11sin 45 ˆj = 1.1i ˆ+ 7.9j ˆ N net Fnet (.1) ˆ ( ) 7.9 = ( 1.1) + ( 7.9) = 8 N ; θ = tan =98 1.1 1 o (1-14)

Örnek : Şekildeki gibi üç nokta yük, x-ekseni üzerine yerleştirilmiştir. q = 15 µ C'luk yük x= m noktasında, 1 q = 6 µ C'luk yük ise orijinde bulunmaktadır. q nokta 3 yükü x-eksini üzerinde hangi noktada olmalıdırki, üzerine etkiyen net kuvvet sıfır olsun? q ve q yükleri aynı işaretli olduğu için, işareti ne olursa olsun q yükü 1 3 bunların arasına konulmalıdır. Bu durumda: q q q q F = k ; F = k x 1 3 3 13 3 ( x) q1 q F13 = F3 = 3x 8x+ 8= x x =.775 m bulunur. ( x) (1-15)

Örnek : Aynı noktadan asılmış, kütleleri 3 1 kg olan yüklü iki özdeş küre şekildeki gibi dengededirler. İplerin boyu 15 cm ve θ = o 5 olduğuna göre, kürelerin yükü nedir? Denge durumunda yükler arasındaki uzaklık: a = Lsin θ olacaktır. Küreler dengede olduğuna göre: q T sin θ = k ; T cosθ = mg ( a) 8 q 4.4 1 C ( a) mg tanθ ( a) tanθ = q = = 19.54 1 mg k bulunur. k = q 16 (1-16)

Örnek : Kütleleri m, yükleri de q =Qve q = Qolan 1 iki parçacık L uzunluğundaki iplerle aynı noktadan düşey olarak asılı halde dengededirler. Yükleri asılı oldukları noktaya bağlayan iplerin düşeyle yaptıkları θ ve θ açıları 1 çok küçüktür. Bu iki açı arasındaki ilişkiyi ve yükler arasındaki mesafeyi bulunuz. T1sinθ1 = FE FE q1 yükü için tanθ1 = T1cos θ1 = mg mg θ1 = θ Tsinθ = FE FE q tan yükü için θ = Tcosθ mg = mg r1 = Lsinθ1 r r = Lsinθ1 Ltan θ1 tanθ1 = r = Lsinθ L F E bulunur. = mg tan θ Q r 4kQ L k = mg r = r L mg 1 1/3 (1-17)

Örnek : Yükleri +q olan iki özdeş parçacık, aralarındaki mesafe d olacak şekilde y-ekseni üzerinde sabitlenmişlerdir. Yükü Q ve kütlesi m olan üçüncü bir parçacık ise, iki yükün ortasından dik olarak geçen eksen üzerinde, merkezden x kadar uzaktaki bir noktaya konuyor. Q yükü bu eksen üzerinde rahatça hareket edebilmektedir. x d durmunda, Q yükünün basit harmonik hareket yapacağını gösteriniz. Hareketin periyodunu bulunuz. Basit harmonik hareket yapan bir cisim için, F = Cx olmalıdır ( ω = C ). qq kqqx Q yüküne etkiyen geri çağırıcı kuvvet: F = k sinθ = x + ( d / ) x + ( d / ) kqqx 16kqQ x d F = = 3 3/ 3 x ( d / ) 1 + ( x/ d) d 3 d ω = π / T T = π 16kqQ 3/ (1-18)

Örnek : Yükleri +q olan dört özdeş parçacık, xy-düzleminde bulunan, kenar uzunluğu L olan bir karenin köşelerine şekildeki gibi sabitlenmişlerdir. Q yüküne sahip başka bir parçacık ise, karenin merkezinden dik olarak geçen z-ekseni üzerinde, kare merkezinden z kadar uzaktaki bir noktaya konuluyor. Q yükü üzerine etkiyen net kuvveti bulunuz. qq + q yüklerinden birisinin Q yüküne uyguladığı çekici kuvvet: F = k z + a ( ) ( ) a = L/ + L/ = L / z cosθ = z + a 4kqQz F = 4Fcosθ F = kˆ net bulunur. net ( z + a ) 3/ (1-19)

BÖLÜM- Elektrik Alanlar Bu bölümde durgun yüklerin oluşturduğu elektrik alan ( ) kavramıyla tanışacağız. Yüklerin durgun olması halinde, yükler arasındaki etkileşmeleri belirlemek için Coulomb yasası yeterlidir. Yükler durgun olmasaydı, bu etkileşmeleri belirlemek için başka alternatif yollar bulmak gerekirdi. Bu konu kapsamında şu konulara değinilecektir: Nokta yükün oluşturduğu elektrik alanın bulunması Nokta yük gruplarının ve sürekli yük dağılımlarının oluşturduğu elektrik alanların bulunması Elektrik alan içindeki yüke etkiyen kuvvetin bulunması elektrik dipol kavramını öğrenmek. Düzgün elektrik alan içindeki dipole etkiyen kuvveti, bu kuvvetin oluşturduğu torku ve dipolün potansiyel enerjisini belirlemek. E (-1)

Aralarında r mesafesi olan q 1 ve q nokta yükleri arasındaki etkileşme kuvveti Coulomb yasasına göre, F = 1 q q k 4πε r = q q 1 1 r bağıntısına sahiptir. Nokta yükler arasında herhangi bir temas olmadığı halde, yüklerin birbirlerine kuvvet uygulamalarını nasıl açıklayabiliriz? q 1 yükü, yakınlarında q yükünün bulunduğunu nerden biliyor? Bu nokta ancak, yeni bir kavram olan elektrik alan vektörü ile aydınlatılabilir. q 1 nokta yükü q üzerine doğrudan kuvvet uygulamaz. Bunun yerine, q nin bulunduğu noktada bir elektrik alan oluşturur ve kuvveti bu alan uygular. q yükü E le ktrik Alan ( E) Eq, üzerine Fkuvveti uygular 1 (-)

Elektrik Alan Vektörünün Tanımı : Yandaki pozitif yüklü çubuğu ele alalım. Çubuğu çevreleyen uzaydaki tüm P noktalarında elektrik alan vektörü ( E) şöyle bulunur: 1. P noktasına pozitif bir q test yükü konur.. Yüklü çubuğun q test yüküne uyguladığı F kuvveti ölçülür. E = F q 3. P noktasındaki elektrik alan vektörü: F E = (N/C) q Görüldüğü gibi E ile F aynı yöndedir. Not : q test yükü, çubuktaki yük dağılımını değiştirmeyecek kadar küçüktür. (-3)

Nokta Yükün Elektrik Alan : Şekildeki q pozitif yükünü ele alalım. Yükten r kadar uzaktaki etkiyen kuvvet ve noktadaki elektrik alan: F = k qq r q q test yüküne ' ın bulunduğu F qq q E = = k = k q qr r ile verilir. E, q yükünden dışarı doğrudur. q nokta yükü negatif olsaydı E, q yüküne doğru olurdu. (-4)

Nokta Yük Grubunun Oluşturduğu Elektrik Alan : Bir nokta yük grubunun oluşturduğu net elektrik alan E, herbir yükün oluşturduğu elektrik alanların vektörel toplamına eşittir. Yukarıda verilen nokta yük grubunun orijinde oluşturduğu elektrik alan, E = E1+ E + E3 olur. Burada E, E ve E sırasıyla, q, q ve q yüklerinin orijinde 1 3 oluşturdukları elektrik alan vektörleridir. 1 3 (-5)

Örnek : Şekilde gösterildiği gibi, q= 7. µ C' luk bir yük orijinde ve q = 5. µ C' luk diğer bir yük ise x=.3 m noktasındadır. Koordinatları (;.4) olan P noktasındaki elektrik alanını bulunuz. q ve q yüklerinin P noktasında oluşturdukları 1 elektrik alanların büyüklükleri, sırasıyla, q q E = k = 3.9 1 N / C ; E = k = 1.8 1 N / C 1 5 5 1 r1p rp değerlerine sahiptir. Buradan da P noktasındaki net elektrik alan, ( 5 ) ( 5 5 E = E ) 1+ E ˆ ˆ = 1.8 1 cosθ i + 3.9 1 1.8 1 sinθ j 5ˆ 5 E = 1.8 1 i +.46 1 ˆj N / C sinθ =.8 5 cosθ =.6 1.46 1 o φ = tan ( ) = 66.3 5 1.8 1 bulunur. 1 (-6)

Örnek : Dört adet nokta yük, şekilde gösterildiği gibi, kenar uzunluğu a olan bir karenin köşelerine konmuştur. Sağ üst köşedeki q yükünün bulunduğu noktada, diğer yükler tarafından oluşturulan elektrik alanını ve q yüküne etki eden kuvveti bulunuz. q, 3 q ve 3 q yüklerinin, q yükünün bulunduğu noktada oluşturdukları elektrik alanların büyüklükleri, sırasıyla, q 3q 4q Eq = k ; E 3q = k ; E 4q = k a a a ifadelerine sahiptir. İlgi duyulan noktadaki net elektrik alan : kq 3 ˆ kq 3 E = E ˆ q + E3q + E4q = cos 45 i 4 cos 45 j + + + a a 5 kq ( ˆ ˆ) 1 5.6 1 o E = 3.6i + 5.6 j ; φ = tan ( ) = 58.8 a 5 3.6 1 bulunur. (-7)

Örnek : şekilde gösterildiği gibi, +x-ekseni yönünde yönelmiş düzgün bir E elektrik alanı içinde ilk hızsız serbest bırakılıyor. Cismin hareketini tanımlayınız. (Yer-çekimi kuvvetini ihmal ediniz). Yükü q ve kütlesi m olan bir parçacık, qe max = qe ax = m x = ve v = olduğundan, i 1 qe qe xs = at x = t ; vs = at x = t m m W= F x = K K = qex bulunur. i s (-8)

Örnek : Bir proton, elektrik alanının E= 6 1 5ˆ i olduğu bir bölgeye +x - ekseni yönünde fırlatılıyor. Proton duruncaya kadar elektrik alan içinde 7 cm yol alıyor. Protonun ivmesini, ilk hızını ve ne kadar sürede durduğunu bulunuz. (Yer-çekimi kuvvetini ihmal ediniz). ma = qe 16 qe 1.6 1 5ˆ 16ˆ a = = ( 6 1 i) = 5.75 1 i m / s 7 m 1.67 1 v = v + a x = v 5.75 1.7 v = 9 1 m / s ( )( ) 16 7 s i i i 7 vi 9 1 vs = vi + at x t= = 16 a 5.75 1 bulunur. x 9 1.57 1 =1.57 ns (-9)

Örnek : Bir noktadan ağırlıksız iple asılmış q yüküne ve m kütlesine sahip küçük bir küre, şekilde gösterildiği gibi E= A ˆi +Bˆj (N/C) ile verilen düzgün bir elektrik alan içinde dengededir. A ve B pozitif sabitlerdir. Kürenin yükünü ve ipte oluşan gerilmeyi bulunuz. F = T sinθ = qex = qa qa mg tan tanθ = q = T cosθ + qb = mg mg qb A + B tan T sinθ = qa T qa A mg tanθ mga = = = sinθ sinθ A+ Btanθ cosθ A+ Btanθ bulunur. ( ) θ θ (-1)

Elektrik Dipol : Aralarında d uzaklığı olan, eşit ve zıt işaretli iki ( ±q) elektrik dipol yükten oluşan sisteme " " denir. H er el ektrik dipol, " elektrik dipol moment ( p) " vektörü ile tanımlanır. Büyüklüğü p=qd ve yönü de - q yükünden q yüküne doğrudur. Su molekülü (H O) gibi birçok molekül kendiliğinden bir dipol momente sahiptir. Oksijen atomu ile iki hidrojen atomu arasındaki bağ, 1 değerlik elektron paylaşımı ile sağlanır (8 tane O' dan, 1' er tane de H' den). Bu 1 değerlik elektronu O atomuna yakın olma eğilimindedir. Bu nedenle su molekülünde, O' nun bulunduğu taraf H atomlarının bulunduğu tarafa göre daha negatiftir. (-11)

Dipolün Oluşturduğu Elektrik Alan : Dipolü oluşturan yüklerin P noktasında oluşturdukları elektrik alanların büyüklükleri: E E 1 q 1 q E = ve E = E = E E net net d z E net ( + ) ( ) net ( + ) ( ) 4πε r+ 4πε r 1 q q 1 = = 4πε r+ r 4πε q d d = 1 1 + 4πε z z z ( 1 x) ( z d /) ( z+ d /) 1 yaklaşımı yapılırsa + 1 x : q d d qd 1 p = 1 1 = 3 3 4πε z + z z = πε z πε z q q (-1)

Sürekli Yük Dağılımlarının Oluşturduğu Elektrik Alan : Q, A Q, V dq da dq dv Q λ = = L dq dl (C/m) Q σ = = A dq da (C/m ) Q ρ = = V dq dv 3 (C/m ) - Q yükü L uzunluğunda bir çubuğa düzgün dağılmış ise, çizgisel yük dağılımı söz konusudur. - Q yükü A yüzey alanına sahip bir plakaya düzgün dağılmış ise, yüzeysel yük dağılımı söz konusudur. - Q yükü V hacmine sahip katı bir cisme düzgün dağılmış ise, hacimsel yük dağılımı söz konusudur. (-13)

Yanda verilen hacimsel yük dağılımını gözönüne alalım. Bu yük dağılımının P noktasında oluşturduğu elekrik alanı hesaplamak için izlenmesi gereken yol şöyle özetlenebilir: 1.. Yük dağılımını, hacmi dv olan sonsuz küçük elemanlara ayıralım. Her eleman dq = ρdv yüküne sahiptir ve P noktası dq yükünden r kadar uzaktadır. dq yükünü nokta yük kabul ederek P noktasında oluşturduğu de elektrik alanını yaz ve yük dağılımı üzerinden integralini al (topla). dq 1 dv de = ρ E rˆ 4πε r = 4πε r (-14)

Örnek : Homojen yüklü sonsuz uzunluktaki bir çubuk şekildeki gibi x-ekseni üzerinde bulunmaktadır. Çubuk λ çizgisel yük yoğunluğuna sahip ise, çubuktan y kadar uzaktaki bir noktada elektrik alan ifadesini bulunuz. dq λdx de = k = k r x y ( + ) E = de cosθ = kλy = ( ) y x + y ( 1 + x / y ) tan θ = x/ y kλ ( 1+ tan θ) dθ k E = 3/ = ( 1+ tan θ) θ = / ( 1+ tan θ ) E 3/ 3/ kλ kλ x kλ λ = sinθ = E = = bulunur. + + dx kλ dx λ d dx y y y y y x y y πε y + + cosθdθ (-15)

Örnek : Uzunluğu L olan homojen yüklü bir çubuk şekildeki gibi x-ekseni üzerinde bulunmaktadır. Çubuk λ çizgisel yük yoğunluğuna sahip ise, çubuğun orta noktasından y kadar uzaktaki bir noktada elektrik alan ifadesini bulunuz. dq λdx de = k = k r x y ( + ) + L/ + L/ E = de cosθ = kλy = / ( ) y L x + y L/ ( 1 + x / y ) tan θ = x/ y kλ ( 1+ tan θ) dθ kλ E = 3/ = ( 1+ tan θ) dθ = dx / y y ( 1+ tan θ ) y E + L/ 3/ 3/ kλ kλ x kλl = sinθ = E = y y x + y y ( L/) + y bulunur. dx kλ dx L/ cosθdθ (-16)

Örnek : Uzunluğu L olan homojen yüklü bir çubuk şekildeki gibi x-ekseni üzerinde bulunmaktadır. Çubuk λ çizgisel yük yoğunluğuna sahip ise, orijinden xkadar uzaktaki ( x>l) bir P noktasında elektrik alan ifadesini bulunuz. dq de = k = k λdx ' ( ') x x x L dx ' u = x x' kλ du E = de = kλ ; E k = λ du = dx ' y u ( x x' ) 1 1 1 1 E = kλ = kλ k u = λ x x' x L x kλl E = xx ( L ) bulunur. L (-17)

Örnek : x-ekseni üzerinde bulunan, uzunluğu L olan bir çubuk λ = Ax çizgisel yük yoğunluğuna sahiptir. ( Apozitif bir sabit, x ise çubuğun ortasından olan uzaklıktır). Çubuğun ortasından y kadar uzaktaki bir noktada elektrik alan ifadesi nedir? dq λdx xdx de = k = k = ka r x y x y ( + ) ( + ) + L/ L/ xdx E = de cosθ = kay = kay ( ) ( ) L/ x + y x + y 3/ 3/ du u u = x + y du = xdx E = kay = kay 3/ ( /) xdx 1/ ( 1/) L/ 1 y E = kay = ka 1 bulunur. x + y L + y u (-18)

Örnek : Homojen yüklü ince bir çubuk, R yarıçaplı çemberin bir parçası olacak şekilde bükülüyor. Şekilde verildiği gibi, yayı gören açı φ' dir. Yayın çizgisel yük yoğunluğu λ ise, çemberin merkezindeki (O noktası) elektrik alan nedir? dq λdl Rdθ kλ de = k = k = kλ = dθ r R R R φ / kλ kλ E = de cosθ = cosθdθ = sinθ R R φ / [ ] φ / φ / kλ φ kλ φ E = sin E sin ˆ = i bulunur. R R kλ φ = π E = î ve φ = π E = R (-19)

Örnek : Yüklü ince bir çubuk bükülerek, şekildeki gibi yarıçapı R olan yarım çember haline getiriliyor. Çubuk üzerindeki bir noktadaki yük yoğunluğu, o noktanın konum vektörü ile düşey arasındaki açıya λ =Acos θ ifadesi ile bağlıdır. Yarım çemberin merkezindeki (O noktası) elektrik alan nedir? dq λdl cosθrdθ ka de = k = k = ka = cosθdθ r R R R π/ π/ ka ( ) ka 1+ cos θ E = de cosθ = cos θdθ = dθ R R E π / ka sin θ πka ˆ A = E j ˆ θ + = = j bulunur. R R 8ε R (-)

Örnek : Q yükü R yarıçaplı bir çember üzerine düzgün olarak dağılmıştır. Çemberin merkezinden dik olarak geçen z-ekseni üzerinde ve merkezden z kadar uzaktaki P noktasında elektrik alanı ( E) bulunuz. Hangi z değerinde elektrik alan maksimum olur? dq dq de = k = k ; de sin ve cos yatay = de θ = dez = de θ r z R ( + ) zdq z zq de = k E = de = k dq = k ( z + R ) ( z + R ) ( z + R ) z 3/ z z 3/ 3/ zq ˆ Q E = k k ; z = E = ve z R E = k kˆ 3/ ( z R ) z + ( + ) ( + ) de z R 3z = kq R = z = E = dz z R 5/ max 6πε 3R Q Q (-1)

Örnek : Yarıçapı R olan ince bir disk düzgün σ yüzey yük yoğunluğuna sahiptir. Diskin merkezinden dik olarak geçen eksen üzerinde ve merkezden z kadar uzaktaki bir P noktasında elektrik alanı ( E) bulunuz. zq zdq zσπrdr E = k de = k = k 3/ 3/ 3/ ( ) ( ) ( z + R z + r z + r ) R u = z + r E = de = kz E = rdr z du σ π ; ( ) 4 z + r du = rdr ε 3/ 3/ R 1/ z u z z σ σ 1 σ E = = 1 kˆ E = 4 ε ( 1/ ) ε z + r ε z + R σ z R E ˆk ε σ u (-)

Örnek : bir kabuk, Yarıçapı R ve yüksekliği h olan ince silindirik xy-düzlemine tabanı orijinde olacak şekilde yerleştirilmiştir. Silindir düzgün σ yük yoğunluğuna sahip olduğuna göre, ekseni üzerindeki herhangi bir noktadaki ( P) elektrik alanı bulunuz. ( ) ( ) ( ( ) ) z z' + R ( ) (( ') ) ( ) ( ) ( ) σ π (( ') ) zq z z ' dq z z ' Rdz ' E = k de = k = k z + R z z + R z z + R 3/ 3/ 3/ h σ R z z ' dz ' u = z z' + R E = de = ; 3/ ε du = z z ' dz ' 1/ σr du σr u σr 1 E = E 4ε = = u 4 ε ( 1/ ) ε ( z z' ) + R E σ R = ε 3/ 1 1 h ˆk ; z= E= ( z ) h + R z + R h (-3)

Örnek : Yarıçapı R ve Q yükünün üzerine düzgün dağıldığı çembersel bir halkanın merkezine q yüküne sahip noktasal bir parçacık yerleştirilmiştir. q yükünü, çemberin merkezinden geçen dik eksen boyunca z R olacak şekilde çekip serbest bırakalım. q yükünün basit harmonik hareket yapacağını gösteriniz ve hareketinin periyodunu bulunuz. zq E = k F = qe F = kqq 3/ 3/ ( ) ( z + R z + R ) Basit harmonik haraket yapan bir cisim için: F = Cz olmalıdır. kqq z R F = z cisim basit harmonik haraket yapıyor. 3 R kqq π kqq mr a = z ω = = T = π 3 3 mr T mr kqq 3 z (-4)

Elektrik Alan Çizgileri : İlk kez 19. yy' da Michael Faraday tarafından elektrik alan vektörünü resmetmek için ortaya konmuştur. Elektrik alan çizgileri ile elektrik alan vektörü arasında şu ilişkiler vardır : 1. Herhangi bir P noktasında, elektrik alan vektörü E elektrik alan çizgisine teğettir.. Elektrik alan şiddeti, elektrik alan çizgilerinin yoğunluğu ile orantılıdır. (-5)

Örnek : Sonsuz geniş yüklü plakanın oluşturduğu elektrik alan çizgileri. 1. Plakanın her iki tarafında elektrik alan şiddeti sabittir.. Elektrik alan vektörü plakaya diktir. 3. Elektrik alan vektörünün yönü, plakadan dışarı doğrudur. Not : Plaka negatif yüklü olsaydı, elektrik alan vektörünün yönü plakaya doğru olurdu. (-6)

3. Elektrik alan çizgileri pozitif yüklerden çıkarak negatif yüklerde sonlanırlar. Örnek : q yükünün oluşturduğu elektrik alan çizgil eri : E = q k r -Elektrik alan çizgileri yüke doğrudur. -Elektrik alan çizgilerinin yönü, E' nin yönünü verir. -Birim yüzeyden geçen elektrik alan çizgilerinin sayısı, yüke yaklaştıkça artmaktadır. (-7)

Bir elektrik dipolünün oluşturduğu elektrik alan çizgileri : Özdeş iki pozitif yükün oluşturduğu elektrik alan çizgileri: (-8)

Düzgün Elektrik Alan İçinde Elektrik Dipol: Yanda x - ekseni yönünde düzgün bir elektrik alan içinde bulunan elektrik dipolünü ele alalım. Pozitif ve negatif yüklere, sırasıyla, F = qe ve F = qe kuvvetleri etkir. Dipole etkiyen net kuvvet, F net = qe qe = + olacaktır. Dipolün kütle merkezine göre F ve F kuvvetlerinin oluşturduğu net tork ise, d d τ = τ + + τ = F+ sinθ + F sinθ = qedsinθ = pesinθ olur ve τ=p Eformunda yazılabilir. Bu da, düzgün elektrik alan içindeki dipolün etrafında döneceğini gösterir. ötelenemeyeceğini ancak, kütle merkezi + (-9)

Düzgün Elektrik Alandaki Elektrik Dipolünün Potansiyel Enerjisi : θ U = τdθ = pe sin θ' dθ ( dθ azalma yönündedir) 9 9 θ U = pe sinθdθ = pe cosθ 9 U= p E p E θ p ile E aynı yönde ( θ = ) U pe Sistem kararlı denge durumundadır. min =. p E p ile E ters yönde ( θ = 18 ) U = + pe. max Sistem kararsız denge durumundadır. (-3)

Düzgün Elektrik Alan İçindeki Elektrik Dipolü Üzerinde Dış Kuvvetin Yaptığı İş : Düzgün bir E elektrik alanı içinde, alanla θi açısı yapan bir p elektrik dipolü olsun (Şekil- a). Bir dış kuvvetin yardımıyla dipolü Şekil- b' deki gibi E ile θ s açısı yapacak şekilde çevirelim. Dış kuvvetin yaptığı iş, dipolün son durumdaki potansiyel enerjisi ile ilk durumdaki potansiyel enerjisi arasındaki fark kadardır: W W = U U = pe cosθ pe ( cosθ cosθ ) ( cosθ ) s i s i = pe i s (-31)

Örnek : Yükleri q=. µ C ve q=. µ C, aralarındaki 1 mesafe d= 5 mm olan bir elektrik dipolü, merkezi orijinde olacak şekilde z-ekseni üzerinde konmuştur. z-eksenine dik ve dipolün merkezinden 1.5 m uzaktaki bir noktada elektrik alan nedir? q q p = ( qd ) = E = k E = k d + x d + x 8 ˆk 1 1 C m ; + ; ( /) ( /) Ex = E+ cosθ E cosθ = E = E+ + E ; Ey = E+ sinθ + E sinθ = E+ sinθ kˆ qd kˆ k E = Ey = k = p 3/ 3/ ( d /) + x ( d /) + x E = 6.7k ˆ N / m (-3)

Örnek : d= 19 Yükleri 1.6 1 C ve aralarındaki mesafe q= 5.15 nm olan bir elektrik dipolü, büyüklüğü 5 1 N/C olan düzgün bir elektrik alan içine şekilde görüldüğü gibi yerleştirilmiştir. Dipol ve elektrik alan sayfa düzlemindedir. Elektrik dipol momentini, dipole etkiyen torku ve dipolün potansiyel enerjisini bulunuz. Dipol, elektrik alan tarafından kendisiyle aynı yönde oluncaya kadar döndürülür. Elektrik alanın yaptığı iş ne olur? 19 9 9 ( ) ( ) 9 5 ( ) ( ) p = qd = 1.6 1.15 1 =. 1 C m ( yükten + yüke doğru) τ = p E τ = pe sinθ =. 1 5 1 sin145 τ = U = p E U = pe = U 4 5.7 1 N m (sayfa düzleminden dışarı doğru) 9 5 cos145 (. 1 ) ( 5 1 ) cos145 4 8. 1 J 3 1.8 1 J 9 5 ( ) ( ) W = U W = pe(cos145 cos ) =. 1 5 1 ( 1.8) W = = (-33)

BÖLÜM-3 Gauss Yasası Bu bölüm kapsamında şu konulara değinilecektir: Elektrik akısı (Φ) Simetri Gauss yasası Gauss yasasını uygulayarak; Düzgün yüklü sonsuz geniş yalıtkan plakanın, Düzgün yüklü sonsuz uzun yalıtkan çubuğun, Düzgün yüklü küresel kabuğun ve kürenin oluşturduğu elektrik alanları hesaplayacağız. Gauss yasasını kullanarak, iletkenlerin içinde ve dışındaki elektrik alanlar da hesaplanacaktır. (3-1)

Bir Vektörün Akısı : Hızı v olan bir hava akımı, A yüzey alanına sahip bir yüzeye doğru geliyor olsun ve hız vektörü v ile yüzeyin normali ( nˆ ) arasındaki açı da θ olsun. İlgili yüzeyden geçen akı, Φ=vAcos θ bağıntısı ile verilir ve bu örnekte "hacimsel akış hızı (debi)" anlamı taşır. Not -1 : Hava akımının hızı, geldiği yüzeyin normali ile aynı yöndeyse ( v, yüzeye dik) akı maksimumdur ( va). Hız yüzeyin normaline dik ise ( v, yüzeye paralel) akı sıfırdır. Not - : Φ= vacos θ = v A biçiminde yazılabilir. Burada A vektörü, yüzeyin normali ile aynı yönde, büyüklüğü A olan bir vektördür. İsmine " yüzey alan vektörü" diyebiliriz. (3-)

Elektrik Alan Akısı : Şekildeki gibi E elektrik alanı içinde kapalı bir yüzey düşünelim. Bu yüzeyden geçen Φ elektrik akısı şöyle tanımlanır: 1. Yüzeyi, A alanına sahip sonsuz küçük elemanlara ayıralım.. Her elemandan geçen akı E A= E Acos θ olacaktır. 3. Toplam akı; Φ = E A olarak bulunur. 4. A durumundaki limit, yüzeyden geçen akıya eşittir. Φ= E da (N m / C) S Not -1 : İntegral sembolü üzerindeki çember, integralin kapalı yüzey üzerinden alınacağını gösterir. Note : Elektrik akısı ( Φ), yüzeyden geçen elektrik alan çizgilerinin sayısıyla orantılıdır. (3-3)

Örnek : Yükü 1. µ C olan noktasal bir parçacığın, E merkezinde bulunduğu 1. m yarıçaplı küresel bir yüzeyden geçirdiği elektriksel akıyı hesaplayınız. q r da Pozitif bir q noktasal yükünün kendisinden r kadar uzakta oluşturduğu elektrik alan, kendisinden dışarı doğrudur ve büyüklüğü, q E = k r ile verilir. Bu durumda, q dφ= E da = EdAcos = k da r q q q 1 1 5 N m Φ= k da = k 4π r = Φ= = 1.13 1 1 r r ε 8.85 1 C S bulunur. 6 (3-4)

Örnek : Kenar uzunluğu a olan bir küp, şekildeki gibi, pozitif x-ekseni yönünde düzgün bir E elektrik alanı içinde bulunmaktadır. Küpün yüzeylerinden geçen toplam elektrik akısı nedir? Yüzey alan vektörleri y-ekseni (3 ve 4 nolu yüzeyler) ve z-ekseni doğrultusunda olan yüzeyler (ön ve arka yüzeyler), elektrik alan vektörüne diktir. Bu yüzeyler akıya katkı getirmezler. Toplam akı, 1 ve nolu yüzeylerden katkılanır: Φ= E da + E da = Ea cos18 + Ea cos S 1 1 S ( ) 1 1 Φ= Ea + = bulunur. (3-5)

Örnek : Büyüklüğü 3.5 kn/c olan ve pozitif x-ekseni yönünde yönelmiş düzgün bir elektrik alan içine, uzunluğu.7 m ve genişliği.35 m olan dikdörtgen şeklinde bir plaka konuluyor. Aşağıdaki durumlar için plakadan geçen akıyı hesaplayınız. a ) plaka yz ve xy düzlemlerinde bulunuyorsa b x y o ) plaka normali -ekseni ile 4 açı yapıyor ve -ekseni plaka yüzeyinde bulunuyorsa ( ) ( ) A =.35.7 = 45 1 m ( ˆ) ( 3) ( 3) ( ˆ) ( ˆ ˆ) 3 a ) Φ = E Ai = EA = 3.5 1 45 1 = 857.5 yz Φ = E Ak = EA i k = xy b ) Φ= E Acos 4i + Asin 4k = EAcos 4 = 657 ( ˆ ˆ) N m C N m C (3-6)

Örnek : Kare prizma şeklindeki kapalı bir yüzey, şekildeki gibi, pozitif x-ekseni yönünde ve şiddeti (3 ) ifadesi ile değişen bir elektrik alanı E= + x içinde bulunmaktadır. a=b=.4 m ve c=.6 m olduğuna göre, kare prizmanın yüzeyinden geçen toplam elektrik akısı nedir? Yüzey alan vektörleri y-ekseni ve z-ekseni doğrultusunda olan yüzeyler (bir kenarı c olan dikdörtgensel yüzeyler) elektrik alan vektörüne diktir. Bu yüzden akıya katkı getirmezler. Toplam akı, karesel yüzeylerden katkılanır: Φ= E da + E da = E ab cos18 + E ab cos S 1 1 S ( ) ( ) Φ= ab (3 + a ) + 3+ a + c = ab a + c a =.7 bulunur. x= a x= a+ c N m C (3-7)

Örnek : Pozitif q yüklü bir parçacık, şekildeki gibi, R yarıçaplı bir küre kabuğunun merkezindedir. Şekilde gösterildiği gibi, yükün gördüğü θ' lık bir katı açının gördüğü yüzeyden geçen akıyı bulunuz. q θ R Küre yüzeyi üzerinde r yarıçaplı dr kalınlığında bir halkadan geçen akı, q dφ= E da = EdAcos θ' = k πrdr R q q dφ= ( Rsin θ' )( Rdθ' ) = sin θ' dθ' ε R ε θ q q θ q Φ= sin θ' dθ' = [ cos θ' ] = (1 cos θ) ε ε ε q θ = π / Φ= ; ε θ = π Φ= q ε (3-8)

Gauss Yasası: Gauss yasası şu şekilde formüle edilir : ( Herhangi bir yüzeyden geçen akı ) ε = ( yüzeyin içindeki net yük) Φ ε = q ε E da = q iç ˆn ˆn ˆn S iç Not -1: Gauss yasası her kapalı yüzey için geçerlidir. Not - : Kapalı yüzey içindeki net yükü belirlerken, yüklerin işaretlerini dikkate almak gerekir. Not -3: Gauss yasasını uygularken, akıya katkıları olmadığı için yüzeyin dışındaki yükler işleme katılmaz. Yandaki şekil için; S yüzeyi : ε Φ =+ q, S yüzeyi : ε Φ = q S 1 1 yüzeyi : ε Φ =, S yüzeyi : ε Φ 4 = q+ q = 3 3 4 (3-9)

Gauss Yasası ve Coulomb Yasası : Gauss yasası ve Coulomb yasası, durgun elektrikte elektrik yükü ile elektrik alan arasındaki ilişkiyi farklı biçimlerde açıklayan bağıntılardır. Her ikisi de birbirinden türetilebilir. Örneğin, Coulomb yasasını Gauss yasasından türetelim: q nokta yükünden r kadar uzaktaki bir P noktasındaki elektrik alan Gauss yasasından bulunabilir. q yükünü merkez kabul eden r yarıçaplı küresel bir Gaussiyen yüzey seçelim. Gaussiyen yüzeyi, yüzey alanı da olan sonsuz küçük elemanlara bölelim. Herbir elemandan geçen akı, dφ= EdAcos = EdA bulunur. Buradan da, S S ( 4 ) ( 4π ) Φ= EdA = E da = E r q ε Φ= q = q ε E πr = q E = = k iç 4πε r r sonucuna ulaşılır. (3-1) q

Simetri: Bir cisme uygulanan fiziksel bir işlem (döndürme, öteleme gibi) sonucunda, cisim aynı kalıyorsa simetriktir denir. Merkezinden geçen düşey eksen etrafında serbestçe dönebilen bir küre düşünelim. Gözlemci gözlerini kapattıktan sonra küreyi ekseni etrafında çevirelim. Gözlemci gözlerini açtığında, kürenin döndürülüp döndürüldüğünü anlayabilir mi? Ekseni etrafında serbestçe dönebilen bir silindir düşünelim. Gözlemci gözlerini kapattıktan sonra silindiri ekseni etrafında çevirelim. Gözlemci gözlerini açtığında, silindirin döndürülüp döndürülmediğini anlayabilir mi? Cevap her iki örnek için de hayır olacaktır. Bu durumda, hem küre hem de silindir dönme eksenlerine göre simetriktir deriz. (3-11)

Ötelenme Simetrisi: Sonsuz geniş bir düzlem düşünelim. Uçan halı üzerindeki bir gözlemci bu düzlemin üzerinde sabit bir yükseklikte olsun. Gözlemci gözlerini kapattıktan sonra bir miktar ötelensin. Gözlerini açtığında, hareket edip etmediğini anlayabilir mi? Cevap hayır olacaktır. Bu durumda, düzlem ötelenme simetrisine sahiptir deriz. Gauss Yasası Uygulanırken İzlenecek Yol: Yük dağılımını geometrik olarak çiziniz. Yük dağılımının simetrisini ve elektrik alanına etkisini belirleyiniz. Gauss yasası her kapalı yüzey için geçerlidir. Φ akısının en kolay hesaplanabileceği en uygun yüzeyi belirleyiniz. Elektrik alanı hesaplamak için Gauss yasasını uygulayınız. (3-1)

Sonsuz Uzunlukta Düzgün Yüklü Çubuğun Oluşturduğu Elektrik Alan : Şekilde düzgün λ çizgisel yük yoğunluğuna sahip bir çubuk verilmiştir. Çubuğun simetrisi dikkate alınırsa, oluşturduğu elektrik alanın kendinden dışarı doğru ve r uzaklığındaki tüm noktalarda şiddetinin de aynı olduğu ortaya çıkar. Bu yüzden, çubuğu eksen alan r yarıçaplı, h yüksekliğinde silindirik bir yüzey Gaussiyen yüzey olarak seçilebilir. Gaussiyen yüzeyi üç farklı yüzeyin birleşimi gibi düşünebiliriz: Üst yüzey S, yanal yüzey S ve taban yüzey S. Yüzeyden geçen net akı, Φ=Φ +Φ +Φ olacaktır. S ve S 1 3 3 1 3 yüzeylerinde, yüzey normali ile elektrik alan vektörleri birbirlerine dik olduğu için Φ ve Φ akıları sıfırdır. Bu durumda net akı, 1 3 ( π ) Φ=Φ = EdA = E rh cos = πrhe Gauss yasasından: S q λh Φ = ε ε E λ πε r iç = = = kλ r (3-13) 1

Örnek : Yarıçapı R ve düzgün hacimsel yük yoğunluğu ρ olan bir kürenin içinde ve dışındaki ρ r de da bölgelerde elektrik alanını bulunuz. R qiç qiç r < R E da = E dacos = ε ε S S 4 ρ4πr 3 3 ( q 4 ) iç = ρ πr E πr = E = 3 3ε 3ε qiç qiç r > R E da = E dacos = ε ε S S 4 ρ4πr ρr ρr 3 3 3 ( q 4 ) iç = ρ πr E πr = E = 3 3ε 3εr ρr 3ε ρ r R E R de da r (3-14)

Örnek : Yarıçapı R ve Q yükünün yüzeyine düzgün dağıldığı ince küresel bir kabuğun içinde ve dışındaki bölgelerde elektrik alanını bulunuz. r < R E da = S q = da olduğundan E = iç qiç r > R E da = E dacos = ε S q ε iç S ( ) Q Q Q qiç = Q E 4π r = E = = k ε 4πε r r q ε iç (3-15)

Örnek : İç yarıçapı a, dış yarıçapı b ve düzgün hacimsel yük yoğunluğu ρ olan küresel bir kabuk için, r < a; a < r < b ve r > b bölgelerindeki elektrik alanını bulunuz. Q Q r a b r de da de da S E da = q ε iç r < a q = da olduğundan E = iç 4 ρ π 3 ρ a< r < b E( 4π r ) = E = ε 3ε r 3 3 ( r a ) 3 3 ( r a ) 4 ρ π 3 ρ r > b E( 4π r ) = E = ε 3ε r 3 3 ( b a ) 3 3 ( b a ) Q ρ(b 3 -a 3 ) 3ε r a b r a b E a b de da r (3-16)

Örnek : ρ = ρ r Yarıçapı R ve hacimsel yük yoğunluğu olan bir kürenin içinde ve dışındaki bölgelerde elektrik alanını bulunuz. S E da = q ε iç iç iç r r ( ) ( ) 4 ρ 4 π ' ' ρ ' 4 π ' ' πρ r < R q = r dr = r r dr = r πρ r E( 4π r ) = E = ε ( 4π ) ρ r 4ε 4 R R ( ) ( ) 4 ρ 4 π ' ' ρ ' 4 π ' ' πρ r > R q = r dr = r r dr = R πρ R E r E ρ R 4 4 = = ε 4εr ρ R 4ε ρ de da r R de ρ da r R E R r (3-17)

Örnek : Yarıçapı R olan sonsuz uzunluktaki bir silindirin düzgün hacimsel yük yoğunluğu ρ' dur. silindirin içinde ve dışındaki noktalarda elektrik alanını bulunuz. Yük dağılımının simetrisi nedeniyle, Gaussiyen yüzey olarak silindir seçilir. S 1 ve S 3 yüzeylerinden akıya hiçbir katkı gelmez ( da E). Bu durumda: qiç Φ= E da = ε S ( π ) ( rh) ρ π r < R E ( π rh) = E = ε r > R E rh = ρ πrh ρr ε ( ) ε E = ρr ε r (3-18)

ÖDEV : Yarıçapı R olan sonsuz uzunluktaki bir silindirin hacimsel yük yoğunluğu ρ = ρ r ile veriliyor. ρ bir sabit ve r ' de silindir ekseninden olan uzaklıktır. Silindirin içinde ve dışındaki bölgede elektrik alanını bulunuz ve silindir ekseninden olan uzaklığa karşı değişimini çiziniz. ÖDEV : İç yarıçapı a, dış yarıçapı b olan ρ düzgün yük yoğunluğuna sahip sonsuz uzunlukta bir silindirin ekseni üzerinde, düzgün λ çizgisel yükü yaşıyan sonsuz uzun bir çubuk yerleştirilmiştir. r < a ; a< r < b ; r>b bölgelerinde elektrik alanlarını bulunuz. (3-19)

Sonsuz Geniş, Yalıtkan, Yüklü Plakanın Oluşturduğu Elektrik Alan : Plakanın pozitif ve düzgün σ yüzey yük yoğunluğuna sahip olduğunu varsayalım. Simetri nedeniyle elektrik alan plakaya dik, dışarı doğru ve büyüklüğü her yerde aynıdır. Şekildeki gibi, plakanın ortadan kestiği, kesit alanı A olan silindirik bir Gaussiyen yüzey seçebiliriz. Silindiri üç farklı yüzeyden oluşmuş gibi düşünebiliriz: Sağ kesit S, yanal yüzey S ve sol kesit S. Yüzeyden 1 3 geçen net akı, Φ=Φ 1+Φ +Φ3 olacaktır. Φ =Φ = EAcos = EA ve Φ = ( θ = 9 ) 1 3 Φ= EA q σ A Φ= = ε ε iç Gauss yasasından: E. σ = ε (3-)

Yüzeysel yük yoğunlukları σ ve - σ olan sonsuz geniş paralel iki iletken plaka olsun. 1 1 Plakalar birbirine yaklaştırılırsa, yükler plakaların birbirine bakan yüzeylerinde toplanır. Plakalar arasındaki bölgede elektrik alanını bulmak için, kesit alanı A olan silindirik bir Gaussiyen yüzey (S) seçerek Gauss yasasını uygulayabiliriz: q iç 1 Φ= = = EA ε σ A ε E = σ 1 ε Plakaların dışındaki bölgelerdeki elektrik alanı için de, kesit alanı A' olan S' silindirik Gaussiyen yüzeyini seçer ve Gauss yasasını uygularsak: qiç σ1 σ1 Φ= EA = = = E = ε ε (3-1)

Örnek : Şekilde gösterildiği gibi, yarıçapı a y ve düzgün hacimsel yük yoğunluğu ρ olan bir a küreden a yarıçaplı bir bölge çıkarılmıştır. Çıkarılan kısmın tam ortasındaki elektrik alan ρ a x nedir? Verilen yük dağılımını, ρ ve ρ düzgün yük yoğunluklarına sahip a ve a yarıçaplı iki ρ a a + ρ a kürenin toplamı gibi düşünebiliriz. Dolayısı ile, ilgili noktadaki toplam elektrik alan: E ρr ρr' ρa = + = 3ε 3ε 3 ε r= a olarak bulunur. r ' = (3-)

Bir İletken İçindeki Elektrik Alan : Soldaki iletkeni gözönüne alalım. İletkenler, içinde serbestçe dolaşabilen çok sayıda elektron barındıran malzemeler olarak tanımlanır. İletkenin içinde E olduğunu düşünelim: Bu durumda, iletkenin içindeki elektronlar sıfırdan farklı F = ee bir kuvvetin etkisi altında kalırlar. Bu nedenle elektronlar ivmeli bir hareket yapacak ve dolayısıyla bir elektrik akımı oluşturmaları gerekecektir. Böyle olması durumunda da; (a) İletkenin ısınması gerekir. (b) İletken çevresinde bir manyetik alan oluşmalıdır. Şu ana kadar böyle etkiler hiç gözlenmemiştir. Buradan da, "Bir iletkenin içindeki durgun elektrik alan E sıfırdır." sonucunu çıkarabiliriz. (3-3)

İzole Edillmiş Yüklü İletken : Yanda toplam yükü q olan bir iletken verilmiştir. Yük, iletkende nasıl dağılmıştır? Bu soruyu yanıtlamak için, iletkenin hemen içinde bir Gaussiyen yüzey seçelim ve Gauss yasasını uygulayalım. İletkenin içinde E = olduğundan, iç Φ = Δ = (Eş -1) ve Gauss yasasından : Φ= (Eş - ). S E A Bu iki eşitlik birleştirilirse iletkenin içindeki yük sıfırdır ( q q ε iç = ). İletkenin sıfırdan farklı q yüküne sahip olduğunu bildiğimizden, bu yükün sadece iletkenin yüzeyinde bulunabileceği sonucuna ulaşırız. "Elektrostatik yükler, iletkenin içinde bulunamazlar. Ancak yüzeyinde bulunabilirler." (3-4)

İçinde Boşluk Bulunan Yalıtılmış Yüklü İletken : Yanda toplam yükü q olan bir iletken verilmiştir. Boşluğun duvarında yük bulunurmu? Bu soruyu yine, Gauss yasası yardımıyla cevaplayabiliriz. Bunun için, şekildeki gibi boşluğun hemen dışında bir Gaussiyen yüzey seçebiliriz. İletkenin içinde E = olduğundan, Φ= E A= Φ= S iç (Eş-1) ve Gauss yasasından: (Eş-). q ε Bu iki eşitlik birleştirilirse seçilen Gaussiyen yüzeyin içindeki yük sıfırdır ( q = ). Dolayısıyla, boşluk duvarında herhangi bir yuk yoktur. Özetleyecek olursak; "İletken içindeki boşluğun duvarlarında yük bulunamaz. Tüm yük iletkenin dış yüzeyinde bulunabilir". iç (3-5)

Yüklü İletkenin Hemen Dışındaki Elektrik Alan : Bir iletkenin içindeki elektrik alan sıfırdır. Ancak, dışındaki elektrik alan sıfır değildir. Yüzeyin her noktasında yüzeye diktir. Böyle olmasaydı, elektrik alanın yüzeye paralel bir bileşeni olurdu ve yüzeyde bulunan yüklerin ivmelenmesine sebep olurdu. Bu ise " durgun e lektrik" kabullenmemize aykırı olurdu. Gauss yasasını uygulamak için, şekideki gibi silindirik bir Gaussiyen yüzey kullanacağız. Bu silindirik yüzey S, S ve S gibi üç farklı yüzeyden oluşur. 1 3 Net akı, bu yüzeylerden geçen akıların toplamı olacaktır: Φ=Φ +Φ +Φ. EAcos Φ 1 = = qiç qiç 1 EA cos 9 EA E = ε A ε Φ 3 = σ = q iç A EA Φ = = Φ= = σ, yüzeysel yük yoğunluğu tanımından, E = bulunur. ε 1 3 (3-6)

Örnek : Yarıçapı a olan Q düzgün yüküne sahip bir küre, şekildeki gibi iç yarıçapı b ve dış yarıçapı c olan Q yüküne sahip iletken bir küre kabuğunun merkezinde bulunmaktadır. 1,, 3 ve 4 nolu bölgelerdeki elektrik alanını bulunuz. qiç E da = S ε 3 ( 1 nolu bölge: 4 ) Qr E π r = E = k ε a 3 3 ( ) Q Q nolu bölge: E 4π r = E = k r ε Qr a 3 nolu bölge: E = (İletkenin içinde yük bulunamaz. İletkenin iç çeperinde Q dış çeperinde Q yükü birikir.) ( ) Q Q 4 nolu bölge: E 4π r = E = k r ε (3-7)

BÖLÜM-4 Elektrik Potansiyel Bu bölümde, elektrik alanla ilgili elektrik potansiyel (V) kavramını öğreneceğiz. Bu bağlamda aşağıdaki konulara değineceğiz: Elektrik alandan potansiyelin bulunması. Potansiyelden elektrik alanın bulunması. Nokta yük ve yük grubunun oluşturduğu potansiyel. Sürekli yük dağılımlarının oluşturduğu potansiyel. Yük sistemlerinin potansiyel enerjisi. Eş-potansiyel yüzeyler ve elektrik alan çizgileri. İzole bir iltekenin oluşturduğu potansiyel. (4-1)

U x s = F( x) dx x s U = q E ds i i Elektrik Potansiyel Enerji : Korunumlu bir kuvvetin yaptığı iş, cismin potansiyel enerjisindeki değişimin negatif işaretlisidir. Korunumlu bir kuvvetin etkisiyle cisim x noktasından x noktasına hareket etmişse, U = U U = W = F( x) dx f i yazılır. q nokta yükü, bilinen bir elektrik alanı ( E) içinde, F= qeelektrik kuvvetinin etkisiyle x x f i A noktasından B noktasına gitsin. Yükün potansiyel enerjisindeki değişim, s s U = F dl = q E dl olacaktır. Bu değişim i q i i yüküne bağlıdır. s (4-)

Elekrik Potansiyel ( V ): A ve B noktaları arasındaki elektrik potansiyel fark ( V ), bu noktalar arasında taşınan birim yük başına potansiyel enerji değişimi olarak tarif edilir: U W V = = V = Vs Vi = q q s i E dl Noktalardan birisinin potansiyeli biliniyorsa, diğer noktanın elektrik potansiyeli bulunabilir. Genellikle, yükten çok uzaktaki bir noktanın potansiyeli sıfır alınır ( V = = ). Bu durumda, herhangi bir P noktasının potansiyeli, VP i V P = E dl ifadesiyle verilir. SI sistemindeki birimi J/C (volt)' dir. (4-3)

Örnek : 4 Bir proton, şekilde gösterildiği gibi büyüklüğü 8 1 V/m olan pozitif x-ekseni yönündeki düzgün bir elektrik alan içinde durgun halden serbest bırakılıyor. Proton elektrik alan yönünde.5 m gittiğinde, a ) A ve B noktaları arasındaki elektriksel potansiyel fark ne kadardır. b ) Bu iki nokta arasında, protonun potansiyel enerjisinde ne kadarlık bir değişim olmuştur? c ) Proton B noktasına ulaştığındaki hızı ne olur? B B a ) V V = E dl = Edl cos = Ed = 8 1 (.5) B A 4 VB VA 4 1 V A = ( ) ( ) ( 4 ) 19 4 15 ) 1.6 1 4 1 6.4 1 J 1 c K+ U= mv = v= A b U = q V U = = 15 6 ) p 6.4 1.77 1 m / s (4-4)

Örnek : Şekildeki gibi, y yönünde büyüklüğü 35 V/m olan düzgün bir elektrik alan vardır. Koordinatı (.,.3) m olan A noktası ile koordinatı (.4,.5) m olan B noktası arasındaki potansiyel farkını bulunuz. B B V V = E dl = Edl cos(9 + θ) = E AB sin θ B A A ( ) ( ) AB =.6 +.8 = 1 m.8 VB VA = 35( 1)(.8) = 6 V sin θ = =.8 1 C B C B V V = E dl E dl = Edl cos18 Edl cos 9 B A V V = E AC = 35(.8) = 6 V B A A A C A C (4-5)

Nokta Yükün Potansiyeli : Orijinde bir q nokta yükü bulunsun. Yükten R kadar uzaktaki P noktasının potansiyelini bulmak için, q test yükünü P noktasından sonsuza götürmemiz gerekir. Böylece, V V = E dl = Edr cos = Edr P P 1 4πε R R R q q dr q 1 E = V = 4πε r 4πε = r 4πε r V = P R q R bulunur. q nokta yükünün kendisinden r kadar uzakta oluşturduğu elektrik potansiyel: V 1 q = = 4πε r q k r (4-6) R

Nokta Yük Grubunun Oluşturduğu Potansiyel: Şekilde üç nokta yükten oluşan bir sistem verilmiştir. Bu yüklerin herhangi bir P noktasında oluşturdukları elektrik potansiyel, her birinin ilgili noktada oluşturduğu potansiyellerin toplamıdır. 1. Her bir yükün P noktasında oluşturdukları elektrik potansiyeller bulunur: V 1 q 1 q 1 = ; V = ; V = 1 3 1 3 4πε r1 4πε r 4πε r3. Tüm yüklerin oluşturdukları potansiyeller toplanır: V = V + V + V = 1 3 1 1 q1 1 q 1 + + 4πε r 4πε r 4πε 1 n q 1 3 3 n tane nokta yükten oluşan bir sistem için bu ifade şöyle yazılır: V = n 1 q1 1 q 1 qn 1 + +... + = 4πε r 4πε r 4πε r 4πε = i q r q r i i (4-7)

Örnek : Şekilde gösterildiği gibi, ikizkenar bir üçgenin köşelerine üç nokta yük yerleştirilmiştir. q yüklerinin bulunduğu doğrunun tam orta noktasındaki elektrik potansiyelini hesaplayınız. ( q = 7 µ C alımız). h= = 4 1 15 cm q V = V+ q + V q+= k k h V V= q r ( 9) ( 6) 1 = 9 1 7 1 15 1 1 1 q 1 = 15 5 7 63 1 1.1 1 V (4-8)

Örnek : Şekilde gösterildiği gibi, 1 = µ C' luk yük orijinde ve q = 6 µ C' luk yük ise y = 3 m noktasında bulunmaktadır. Bu iki yükün, x= 4 m noktasında ( P) oluşturdukları toplam elektrik potansiyel ne kadardır? q 3 = 3 µ C' luk üçüncü bir yükü P noktasına getirmek için yapılması gereken işi bulunuz. q r q V = V1+ V = k + k r V 3 q r 1 1 6 6 ( 9 ) 1 6 1 3 = 9 1 = 6.3 1 V 4 5 ( ) ( ) P W=q V V = = 6 3 3 3 1 6.3 1 18.9 1 J (4-9)

Örnek : Şekilde gösterildiği gibi, Q, Q ve Q nokta yükleri x-ekseni üzerine aralarındaki mesafe a olacak şekilde yerleştirilmişlerdir. x> a olmak üzere, x-ekseni üzerindeki herhangi bir noktadaki elektrik potansiyelini bulunuz. x a durumundaki potansiyel ifadesini türetiniz. q q = + + = + + 1 3 V V1 V V3 k k k r1 r r3 1 1 x kqa V = kq + = kq = + ( 1 / ) ( ) 3 x a x x a x a x x ax kqa kqa x a V = 3 3 x a x x q (4-1)

Elektrik Dipolünün Oluşturduğu Potansiyel: Solda bir elektrik dipolü verilmiştir. Dipolü oluşturan nokta yüklerin P noktasında oluşturdukları V potansiyelini bulalım. P noktası, dipolün merkezi olan O noktasından r kadar uzakta ve OP doğrusu dipol ekseni ile θ açısı yapsın. Bu durumda P noktasındaki potansiyel: 1 q q q r( ) r( + ) V = V( + ) + V( ) = =. 4πε r( ) r + ( ) 4πε r( ) r( + ) olur. d dipolü oluşturan yükler arasındaki mesafe olmak üzere, r d r r r ABC ( ) ( + ) yaklaşımı yapılırsa ( ) ( + ), dik üçgeninden de r r dcos θ yazılabilir. Bu durumda, V q dcosθ 1 pcosθ =, 4πε r 4πε r sonucuna ulaşılır. Burada, p = qd kısaltması yapılmıştır. (4-11)

Sürekli Yük Dağılımlarının Oluşturduğu Potansiyel : Şekildeki sürekli yük dağılımına sahip bir cisim verilmiştir. Yük dağılımının herhangi bir noktada oluşturduğu elektrik potansiyel V üstüste binme ilkesiyle şu şekilde bulunur: 1. Cisim, sonsuz küçük dq yüküne sahip elemanlara bölünür. çizgisel yük dağılımı dq = λd yüzeysel yük dağılımı dq = σ da hacimsel yük dağılımı dq = ρdv. dq yükünün P noktasında oluşturduğu dv potansiyeli yazılır: dv = 1 4πε 3. Tüm yüklerin katkısı, yük dağılımı üzerinden integral alınarak bulunur: V dq r 1 = 4πε dq r (4-1)

Örnek: Şekilde L uzunluğunda ve λ düzgün yük yoğunluğuna sahip ince bir çubuk verilmiştir. Çubuğun sol ucundan, çubuğa dik doğrultuda d kadar yukardaki bir Pnoktasındaki elektrik potansiyelini bulunuz. Çubuğun sol ucundan x kadar ötede seçilen dx elemanının yükü dq = λdx P r = d + x ve noktasına uzaklığı da olduğundan, dq yükünün P noktasında oluşturduğu elektrik potansiyeli: dq λdx dv = k = k r d + x V = kλ L bulunur. dx dx ( ) L L d L kλ ln x d x kλln + + = + + = d + x d ( x d ) x ln d + x = + + (4-13)

Örnek : Şekilde L uzunluğunda ve λ= α xyük yoğunluğuna sahip ince bir çubuk verilmiştir. Burada α pozitif bir sabit ve x çubuğun sol ucundan olan uzaklıktır. Çubuğun sol ucundan yatay doğrultuda d kadar uzaklıkta bir P noktasındaki elektrik potansiyeli bulunuz. Çubuğun sol ucundan x kadar ötede seçilen dx elemanının yükü dq = λdx ve P noktasına uzaklığı da r = x + d olduğundan, dq yükünün P noktasında oluşturduğu elektrik potansiyeli: dq α xdx xdx dv = k = k = kα r x+ d x+ d L xdx L L d V = kα kα x dln ( x d) kα L dln + = + = x+ d d bulunur. xdx x d x d x+ d = + ln ( ) (4-14)

ÖDEV : Şekilde L uzunluğunda ve λ= α xyük yoğunluğuna sahip ince bir çubuk verilmiştir. Burada α pozitif bir sabit ve x çubuğun sol ucundan olan uzaklıktır. Çubuğun ortasından dik doğrultuda b kadar uzaklıkta bir P noktasındaki elektrik potansiyeli bulunuz. (4-15)

Örnek : Homojen yüklü ince bir çubuk, R yarıçaplı çemberin bir parçası olacak şekilde bükülüyor. Şekilde verildiği gibi, yayı gören açı φ' dir. Yayın çizgisel yük yoğunluğu λ ise, çemberin merkezindeki (O noktası) elektrik potansiyeli nedir? Yay üzerinde seçilen dl elemanının yükü dq = λdl dir. O noktasındaki toplam elektrik potansiyeli: dq dl Rdθ dv = k = kλ = kλ = kλdθ V = kλ dθ = kλφ r R R olur. φ = π (yarım çember) V = kλπ = φ = π (tam çember) V = kλπ = λ 4ε λ ε φ (4-16)

Örnek : Q yükü R yarıçaplı bir çember üzerine düzgün olarak dağılmıştır. Çemberin merkezinden dik olarak geçen z-ekseni üzerinde ve merkezden z kadar uzaktaki P noktasında elektrik potansiyelini bulunuz. Çember üzerinde seçilen dl elemanının yükü dq = λdl = ( Q / πr) dl ile verilir. P noktasındaki toplam elektrik potansiyeli: dq Q dl Q 1 Q dv = k = k V = k dl = k r πr r πr r r V = k z Q + R Q z = V = k R ; Q z V = k z ; ( Q/π R) dl = π R Q λ = = = 4πε R ε ε (nokta yükün potansiyeli) (4-17)

Örnek : Yarıçapı R olan ince bir disk düzgün σ yüzey yük yoğunluğuna sahiptir. Diskin merkezinden dik olarak geçen eksen üzerinde ve merkezden z kadar uzaktaki bir P noktasında elektrik potansiyelini bulunuz. Toplam yükü Q olan bir çemberin potansiyeli : Seçilen çemberin toplam yükü dq, potansiyeli dv dir. dq σπrdr dv = k = k z + r z + r R R σ rdr V = dv = ε z + r R σ σ V = z + r = z + R z ε ε V = k z Q + r xdx x a x + a = + (-18)

Örnek : İç yarıçapı a ve dış yarıçapı b olan ince bir disk düzgün σ yüzey yük yoğunluğuna sahiptir. Diskin merkezinden dik olarak geçen eksen üzerinde ve merkezden z kadar uzaktaki bir P noktasında elektrik potansiyelini bulunuz. Toplam yükü Q olan bir çemberin potansiyeli : V = k Seçilen çemberin toplam yükü dq σπrdr dv = k = k z + r z + r b b σ rdr V = dv = ε a a z + r b σ σ V = z + r = z + b z + a ε ε a dq, potansiyeli dv dir. z Q + r xdx z x a x + a = + (4-19)