i Yrd. Doç. Dr. Çiğdem ÖZARI İstanbul Aydın Üniversitesi İ.İ.B.F Öğretim Üyesi cigdemozari@aydin.edu.tr MSc. Elif ÇAKMAKOĞLU elifcakmakoglu@gmail.com Sigorta Matematiği İstanbul, 2013
ii Yayın No : 2953 Teknik Dizisi : 159 1. Bası - Ekim 2013 - İSTANBUL ISBN 978-605 - 377-977 - 3 Copyright Bu kitabın bu basısı için Türkiye deki yayın hakları BETA Basım Yayım Dağıtım A.Ş. ye aittir. Her hakkı saklıdır. Hiçbir bölümü ve paragrafı kısmen veya tamamen ya da özet halinde, fotokopi, faksimile veya başka herhangi bir şekilde çoğaltılamaz, dağıtılamaz. Normal ölçüyü aşan iktibaslar yapılamaz. Normal ve kanunî iktibaslarda kaynak gösterilmesi zorunludur. Dizgi : B e t a B a s ı m A. Ş. Baskı -Cilt : Pasifik Ofset (Sertika No: 12027) Cihangir Mah. Güvercin Cad. No: 3 Baha İş Merkezi A Blok Avcılar/İSTANBUL Kapak Tasarım : Gülgonca Çarpık Beta Basım Yayım Dağıtım A.Ş. (Sertifika No: 16136) Narlıbahçe Sok Damga Binası No: 11 Cağaloğlu - İSTANBUL Tel : (0-212) 511 54 32-519 01 77 Fax: (0-212) 511 36 50 www.betayayincilik.com
iii ÖNSÖZ Sigorta Matematiği" adlı kitap, Aktüerya bölümlerinde gösterilen "Aktüerya Matematiği" derslerinde okutulmak amacı ile hazırlanmıştır. İçerdiği konular itibariyle İşletme, Ekonomi ve Finans gibi bölümlerin matematik, olasılık ve istatistik deslerinde yardımcı kaynak olarak kullanılabilir. Konular teorik anlatımların yanı sıra örneklerle detaylı bir şekilde desteklenmiştir. Ayrıca, Aktüerlik sınavının Finansal Matematik, İstatistik ve Olasılık kısımlarında çıkmış bir kısım soruların cevapları da yer yer ünitelerde çözülmüştür. Dolayısıyla kitap bu sınava hazırlık amacı ile de kullanılabilir. Ünite 0 olarak adlandırdığımız bölüm; diziler, seriler ve paranın zaman değeri gibi konuları, örneklerle destekleyerek kitaptaki diğer bölümlerin daha iyi anlaşılması için hazırlık bölümü gibi düşünülerek oluşturulmuştur. Bu konuları bilen okuyucularımızın kitabın bu bölümüne göz atıp devam etmeleri önerilir. Ünite 1'de sınırlı rantlar, tüm çeşitlerinin şimdiki ve gelecekteki değerleri förmülüze edilerek ve her bir formül örneklendirilerek anlatılmıştır. Ünite 2'de sınırsız rantlar benzer şekilde incelenmiştir. Ünite 3'te olasılık ve istatistik konularına giriş yapılıp, rassal değişkenlerin beklenen değeri, varyansı ve standart sapması gibi temel kavramlar rassal değişkenlerin çeşitleri ile birlikte örneklerle işlenmiştir. Bu ünite hayat sigortalarının prim hesaplamasında kullanılabileceği için kitaba dahil edilmiştir. Ancak bu konuları bilmeden, hayat sigortalarının primlerinin dizi ve serilerin toplam değerlerini hesaplanmayı bilerek de bulunabildiği detaylı bir şekilde anlatılmıştır. Ünite 4'te hayat tabloları konularına giriş yapılıp, sağkalım fonksiyonu, ölüm oranı, ortalama yaşam vb. kavramlardan bahsedilmiştir. Ünite 5 ve 6 kitabın temel ve en önemli bölümleridir. Bu ünitelerde hayat rantları ve hayat sigortaları konuları çeşitleriyle birlikte incelenmiştir. Son bölümde ise konular birleştirilerek hayat sigortalarının prim hesaplamaları gösterilmiştir. Bunlara ek olarak, kitabın CD kısmında, çözümlü örnekler, gerekli tablolar ve bazı örneklerin excel çözümleri yer almaktadır. Bu çalışmanın ortaya çıkmış olmasında emeği çok olan sevgili hocamız Prof..Dr. Veysel ULUSOY'a müteşekkiriz. Yardımı, ilgisi ve bize olan güveniyle bu çalışmanın tamamlanmasını mümkün hale getirdiğinden teşekkürden öte borçlu olduğumuzu belirtmek isteriz.. Eksiğimiz çok olmakla birlikte, kitapta yer alan hatalar tamamen bize aitttir. Kitabın basımında emeği geçen Beta yayın dağıtım mensuplarına teşekkür ederiz. Çiğdem ÖZARI & Elif ÇAKMAKOĞLU
iv
v İÇİNDEKİLER ÜNİTE 0 0.1 ARİTMETİK DİZİ (ARITHMETIC SEQUENCE)... 1 0.2 GEOMETRİK DİZİ (GEOMETRIC SEQUENCE)... 3 0.3 ARİTMETİK SERİ (ARITHMETIC SERIES)... 5 0.4 GEOMETRİK SERİ (GEOMETRIC SERIES)... 6 0.5 PARANIN ZAMAN DEĞERİ (TIME VALUE OF MONEY)... 8 0.5.1 Basit Faiz (Simple Interest Rate)... 8 0.5.2 Bileşik Faiz (Continuous Interest Rate)... 10 0.5.3 Sürekli Bileşik Faiz (Continuously Compounded Interest Rate)... 11 0.5.4 Yıllık Nominal Faiz ve Efektif Faiz Oranı (Nominal Interest Rate & Effective Interest Rate)... 12 ÜNİTE 0 ALIŞTIRMALAR... 15 ÜNİTE 0 SORULAR... 19 ÜNİTE 1 SINIRLI ÖDEMELİ RANTLAR 1.1 ÖDEMELERİ DEVRE SONLARINDA, EŞİT VE SINIRLI (n YILLIK) OLAN RANTLAR... 22 1.1.1 Ödemelerin Devre Sonlarında, Eşit ve Sınırlı Yapılan Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 22 1.1.2 Ödemelerin Devre Sonlarında, Eşit ve Sınırlı Yapılan Rantın Gelecek Değerinin Hesaplanması... 26 1.2 ÖDEMELERİ DEVRE BAŞLARINDA, EŞİT VE SINIRLI (n YILLIK) OLAN RANTLAR... 30 1.2.1 Ödemeleri Devre Başlarında, Eşit ve Sınırlı Yapılan Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 30 1.2.2 Ödemeleri Devre Başlarında, Eşit ve Sınırlı Yapılan Rantın Gelecek Değerinin Hesaplanması... 34
vi 1.3 ÖDEMELERİ DEVRE SONLARINDA, m YIL ERTELEMELİ VE SINIRLI (n YILLIK) OLAN RANTLAR... 37 1.3.1 Ödemeleri Devre Sonlarında ve m Yıl Ertelemeli Olan Sınırlı Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 37 1.3.2 Ödemeleri Devre Sonlarında ve m Yıl Ertelemeli Olan Sınırlı Rantın Gelecek Değerinin Hesaplanması... 40 1.4 ÖDEMELERİ DEVRE BAŞLARINDA, m YIL ERTELEMELİ VE SINIRLI (n YILLIK) OLAN RANTLAR... 42 1.4.1 Ödemeleri Devre Başlarında ve m Yıl Ertelemeli Olan Sınırlı Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 42 1.4.2 Ödemeleri Devre Başlarında ve m Yıl Ertelemeli Olan Sınırlı Rantın Gelecek Değerinin Hesaplanması... 45 1.5 ÖDEMELERİ DEVRE SONLARINDA YAPILAN VE BELİRLİ BİR ORANDA ARTAN SINIRLI (n YILLIK) RANTLAR... 47 1.5.1 Ödemeleri Belirli Bir Oranda Artan, Devre Sonlarında Olan Sınırlı Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 47 1.5.2 Ödemeleri Belirli Bir Oranda Artan, Devre Sonlarında Olan Sınırlı Rantın Gelecek Değerinin Hesaplanması... 49 1.6 ÖDEMELERİ DEVRE BAŞLARINDA YAPILAN VE BELİRLİ BİR ORANDA ARTAN SINIRLI (n YILLIK) RANTLAR... 52 1.6.1 Ödemeleri Belirli Bir Oranda Artan, Devre Başlarında Olan Sınırlı Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 52 1.6.2 Ödemeleri Belirli Bir Oranda Artan, Devre Başlarında Olan Sınırlı Rantın Gelecek Değerinin Hesaplanması... 55 1.7 ÖDEMELERİ DEVRE SONLARINDA VE m YIL ERTELEMELİ YAPILAN BELİRLİ BİR ORANDA ARTAN SINIRLI (n YILLIK) RANTLAR... 57 1.7.1 Ödemeleri Belirli Bir Oranda Artan, Devre Sonlarında Olan ve m Yıl Ertelemeli Sınırlı Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 57 1.7.2 Ödemeleri Belirli Bir Oranda Artan, Devre Sonlarında m Yıl Ertelemeli Olan Sınırlı Rantın Gelecek Değerinin Hesaplanması... 60 1.8 ÖDEMELERİ DEVRE BAŞLARINDA VE m YIL ERTELEMELİ YAPILAN VE BELİRLİ BİR ORANDA ARTAN SINIRLI (n YILLIK) RANTLAR... 62 1.8.1 Ödemeleri Belirli Bir Oranda Artan, Devre Başlarında Olan m Yıl Ertelemeli Sınırlı Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 62
vii 1.8.2 Ödemeleri Belirli Bir Oranda Artan, Devre Başlarında Olan m Yıl Ertelemeli Sınırlı Rantın Gelecek Değerinin Hesaplanması... 65 1.9 ÖDEMELERİ EŞİT OLMAYAN SINIRLI (n YILLIK) RANTLAR... 67 1.10 ÖDEMELERİ DEVRE SONLARINDA OLAN ARTAN SINIRLI (n YILLIK) RANTLAR... 72 1.10.1 Ödemeleri Devre Sonlarında Olan Artan Sınırlı Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 73 1.10.2 Ödemeleri Devre Sonlarında Olan Artan Sınırlı Rantın Gelecek Değerinin Hesaplanması... 76 1.11 ÖDEMELERİ DEVRE BAŞLARINDA OLAN ARTAN SINIRLI (n YILLIK) RANTLAR... 79 1.11.1 Ödemeleri Devre Başlarında Olan Artan Sınırlı Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 79 1.11.2 Ödemeleri Devre Başlarında Olan Artan Sınırlı Rantın Gelecek Değerinin Hesaplanması... 82 1.12 m YIL ERTELEMELİ VE DEVRE SONLARINDA ÖDEMELİ ARTAN SINIRLI (n YILLIK) RANTLAR... 85 1.12.1 m Yıl Ertelemeli ve Devre Sonlarında Ödemeli Artan Sınırlı Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 85 1.12.2 m Yıl Ertelemeli ve Devre Sonlarında Ödemeli Artan Sınırlı Rantın Gelecek Değerinin Hesaplanması... 88 1.13 m YIL ERTELEMELİ VE DEVRE BAŞLARINDA ÖDEMELİ ARTAN SINIRLI (n YILLIK) RANTLAR... 91 1.13.1 m Yıl Ertelemeli ve Devre Başlarında Ödemeli Artan Sınırlı Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 92 1.13.2 m Yıl Ertelemeli ve Devre Başlarında Ödemeli Artan Sınırlı Rantın Gelecek Değerinin Hesaplanması... 95 1.14 DEVRE SONLARINDA ÖDEMELİ AZALAN SINIRLI (n YILLIK) RANTLAR... 99 1.14.1 Devre Sonlarında Ödemeli Azalan Sınırlı Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 99 1.14.2 Devre Sonlarında Ödemeli Azalan Sınırlı Rantın Gelecek Değerinin Hesaplanması... 103 1.15 DEVRE BAŞLARINDA ÖDEMELİ AZALAN SINIRLI (n YILLIK) RANTLAR... 106 1.15.1 Devre Başlarında Ödemeli Azalan Sınırlı Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 106 1.15.2 Devre Başlarında Ödemeli Azalan Sınırlı Rantın Gelecek Değerinin Hesaplanması... 109
viii 1.16 m YIL ERTELEMELİ VE DEVRE SONLARINDA ÖDEMELİ AZALAN SINIRLI (n YILLIK) RANTLAR... 112 1.16.1 m Yıl Ertelemeli ve Devre Sonlarında Ödemeli Azalan Sınırlı Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 112 1.16.2 m Yıl Ertelemeli ve Devre Sonlarında Ödemeli Azalan Sınırlı Rantın Gelecek Değerinin Hesaplanması... 116 1.17 m YIL ERTELEMELİ VE DEVRE BAŞLARINDA ÖDEMELİ AZALAN SINIRLI (n YILLIK) RANTLAR... 119 1.17.1 m yıl Ertelemeli ve Devre Başlarında Ödemeli Azalan Sınırlı Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 119 1.17.2 m yıl Ertelemeli ve Devre Başlarında Ödemeli Azalan Sınırlı Rantın Gelecek Değerinin Hesaplanması... 122 1.18 YILDA m KEZ ÖDEMELİ SINIRLI (n YILLIK) RANTLAR... 126 1.19 SÜREKLİ RANTLAR... 132 ÜNİTE 1 ALIŞTIRMALAR... 133 ÜNİTE 1 SORULAR... 147 ÜNİTE 2 SINIRSIZ RANTLAR (HAYAT BOYU SÜREN RANTLAR) 2.1 ÖDEMELERİ DEVRE SONLARINDA OLAN SINIRSIZ RANTLAR... 151 2.1.1 Ödemeleri Devre Sonlarında, Eşit ve Sınırsız Olan Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 151 2.1.2 Ödemeleri Devre Sonlarında, Sınırsız ve Artan Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 154 2.1.3 Eşit Ödemeleri Devre Sonlarında Yapılan, m Yıl Ertelenmiş, Sınırsız Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 156 2.1.4 Ödemeleri Devre Sonlarında Yapılan, m Yıl Ertelenmiş, Sınırsız, Artan Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 159 2.1.5 Ödemeleri Devre Sonlarında Yapılan, Belirli Bir Oran ile Artan Sınırsız Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 161 2.1.6 Ödemeleri Devre Sonlarında Yapılan, Belirli Bir Oranda Artan, m Yıl Ertelenmiş ve Sınırsız Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 164 2.2 ÖDEMELERi DEVRE BAŞLARINDA OLAN SINIRSIZ RANTLAR... 166 2.2.1 Ödemeleri Devre Başlarında ve Sınırsız Olan Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 167
ix 2.2.2 Ödemeleri Devre Başlarında, Sınırsız ve Artan Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 169 2.2.3 Eşit Ödemeleri Devre Başlarında Yapılan, m Yıl Ertelenmiş, Sınırsız Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 171 2.2.4 Ödemeleri Devre Başlarında Yapılan, m Yıl Ertelenmiş, Sınırsız, Artan Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 173 2.2.5 Ödemeleri Devre Başlarında Yapılan, Belirli Bir Oran ile Artan Sınırsız Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 178 2.2.6 Ödemeleri Devre Başlarında Yapılan, Belirli Bir Oranda Artan, m Yıl Ertelenmiş ve Sınırsız Rantın Şimdiki Değerinin Hesaplanması... 180 ÜNİTE 2 ALIŞTIRMALAR... 183 ÜNİTE 2 SORULAR... 193 ÜNİTE 3 OLASILIK VE İSTATİSTİĞE GİRİŞ 3.1 PERMÜTASYON, KOMBİNASYON... 196 3.1.1 Permütasyon (Permutation)... 196 3.1.2 Kombinasyon (Combination)... 197 3.2 ÖRNEKLEM UZAYLAR, OLAYLAR VE OLASILIK (SAMPLE SPACE, EVENTS AND PROBABILITY)... 198 3.2.1 Örneklem Uzaylar, Olaylar (Sample Space, Events)... 198 3.2.2 Olasılık - Tanım (Probability - Definition)... 202 3.3 KOŞULLU OLASILIK (CONDITIONAL PROBABILITY)... 207 3.4 BAĞIMSIZ OLAYLAR VE BAYES FORMÜLÜ (INDEPENDENT EVENTS & BAYES FORMULA)... 211 3.4.1 Bağımsız Olaylar (Independent Events)... 211 3.4.2 Bayes Formülü (Bayes Formula)... 213 3.5 RASSAL DEĞİŞKENLER (RANDOM VARIABLES)... 214 3.5.1 Kesikli Rassal Değişkenler (Discrete Random Variables)... 215 3.5.1.1 Kesikli Rassal Değişkenlerin Beklenen Değeri (Expected Value of Discrete Random Variables)... 218 3.5.1.2 Kesikli Rassal Değişkenlerin Varyansı (Variance of Discrete Random Variables)... 221 3.5.1.3 Kesikli Rassal Değişkenlerin Standart Sapması (Standart Deviation of Discrete Random Variables)... 224
x 3.5.1.4 Kesikli Rassal Değişkenlerin Kovaryansı (Covariance of Discrete Random Variables)... 227 3.5.1.5 Kesikli Rassal Değişkenlerin Korelasyon Katsayısı (Correlation Coefficient of Discrete Random Variables)... 230 3.5.2 Kesikli Rassal Değişkenler (Discrete Random Variables)... 233 3.5.2.1 Bernoulli Dağılım (Bernoulli Distribution)... 233 3.5.2.2 Binom Dağılım (Binomial Distribution)... 234 3.5.2.3 Poisson Dağılım (Poisson Distribution)... 237 3.5.2.3 Geometrik Dağılım (Geometric Distribution)... 240 3.5.3 Sürekli Rassal Değişken (Continuous Random Variable)... 243 3.5.3.1 Sürekli Rassal Değişkenler İçin Beklenen Değer... 246 3.5.3.2 Sürekli Rassal Değişkenler için Varyans... 248 3.5.3.3 Sürekli Rassal Değişkenler için Standart Sapma... 251 3.5.4 Sürekli Rassal Değişkenler (Continuous Random Variables)... 253 3.5.4.1 Uniform (Düzgün) Dağılım (Uniform Distribution)... 253 3.5.4.2 Üstel Dağılım (Exponential Distribution)... 255 3.5.4.3 Normal ve Standart Normal Dağılım (Normal and Standart Normal Distribution)... 257 3.6 BİRLEŞİK DAĞILIMLAR... 264 3.7 KOŞULLU OLASILIK VE KOŞULLU BEKLENEN DEĞER... 269 3.8 MOMENTLER (MOMENTS)... 271 3.8.1 Moment Türeten Fonksiyon (Moment Generating Function)... 271 ÜNİTE 3 ALIŞTIRMALAR... 279 ÜNİTE 3 SORULAR... 289 ÜNİTE 4 HAYAT TABLOLARI (MORTALITY TABLES) 4.1 HAYAT TABLOLARININ OLUŞUMU... 294 ÜNİTE 4.1 ALIŞTIRMALAR... 297 4.2 OLASILIKSAL YAKLAŞIM... 306 4.2.1 Sağkalım Fonksiyonu (Survival Function)... 306 4.2.2 Herhangi Bir Yaştaki Ölüm Oranı (Force of Mortality)... 310
xi 4.2.3 Ortalama Yaşam (Complete Life Expectancy)... 312 ÜNİTE 4.2 ALIŞTIRMALAR... 319 ÜNİTE 4 SORULAR... 326 ÜNİTE 5 HAYAT RANTLARI 5.1 ÖMÜR BOYU SÜREN HAYAT RANTLARI... 330 5.2 ÖMÜR BOYU SÜREN DEVRE BAŞI ÖDEMELİ HAYAT RANTLARI... 335 5.3 m YIL ERTELENMİŞ DEVRE SONU ÖDEMELİ SINIRSIZ SÜRELİ HAYAT RANTLARI... 338 5.4 m YIL ERTELENMİŞ DEVRE BAŞI ÖDEMELİ SINIRSIZ SÜRELİ HAYAT RANTLARI... 341 5.5 DEVRE SONU ÖDEMELİ n YILLIK HAYAT RANTLARI (SINIRLI SÜRELİ HAYAT RANTLARI)... 344 5.5.1 Devre Sonu Ödemeli n Yıllık Hayat Rantlarının Peşin Değeri... 345 5.5.2 Devre Sonu Ödemeli n Yıllık Hayat Rantlarının Biriken Tutarı... 348 5.6 DEVRE BAŞI ÖDEMELİ n YILLIK HAYAT RANTLARI (SINIRLI SÜRELİ HAYAT RANTLARI)... 350 5.6.1 Devre Başı Ödemeli n Yıllık Hayat Rantlarının Peşin Değeri... 350 5.6.2 Devre Başı Ödemeli n Yıllık Hayat Rantlarının Biriken Tutarı... 354 5.7 m YIL ERTLENMİŞ DEVRE SONU ÖDEMELİ n YILLIK HAYAT RANTLARI (ERTELENMİŞ SINIRLI SÜRELİ HAYAT RANTLARI)... 356 5.7.1. m Yıl Ertelenmiş Devre Sonu Ödemeli Hayat Rantlarının Peşin Değeri... 356 5.7.2. m Yıl Ertelenmiş Devre Sonu Ödemeli Hayat Rantlarının Biriken Değeri... 360 5.8 m YIL ERTLENMİŞ DEVRE BAŞI ÖDEMELİ n YILLIK HAYAT RANTLARI (ERTELENMİŞ SINIRLI SÜRELİ HAYAT RANTLARI)... 363 5.8.1. m Yıl Ertelenmiş Devre Başı Ödemeli Hayat Rantlarının Peşin Değeri... 363 5.8.2. m Yıl Ertelenmiş Devre Başı Ödemeli Hayat Rantlarının Biriken Değeri... 367 5.9 DEVRE SONU ÖDEMELİ ARTAN SINIRSIZ HAYAT RANTLARI... 369 5.10 DEVRE BAŞI ÖDEMELİ ARTAN SINIRSIZ HAYAT RANTLARI... 373 5.11 DEVRE SONU ÖDEMELİ SINIRLI ARTAN HAYAT RANTLARI... 376 5.11.1 Devre Sonu Ödemeli Sınırlı Artan Hayat Rantlarının Şimdiki Değeri... 376 5.11.2 Devre Sonu Ödemeli Sınırlı Artan Hayat Rantlarının Biriken Değeri... 381
xii 5.12 DEVRE BAŞI ÖDEMELİ SINIRLI ARTAN HAYAT RANTLARI... 383 5.12.1 Devre Başı Ödemeli Sınırlı Artan Hayat Rantlarının Şimdiki Değeri... 384 5.12.2 Devre Başı Ödemeli Sınırlı Artan Hayat Rantlarının Biriken Değeri... 388 5.13 DEVRE SONU ÖDEMELİ AZALAN HAYAT RANTLARI (DECREASING LIFE ANNUITY)... 391 5.13.1 Devre Sonu Ödemeli Azalan Hayat Rantlarının Şimdiki Değeri... 391 5.13.2 Devre Sonu Ödemeli Azalan Hayat Rantlarının Biriken Değeri... 394 5.14 DEVRE BAŞI ÖDEMELİ AZALAN HAYAT RANTLARI... 397 5.14.1 Devre Başı Ödemeli Azalan Hayat Rantlarının Peşin Değeri... 397 5.14.2 Devre Başı Ödemeli Azalan Hayat Rantlarının Biriken Değeri... 402 5.15 m YIL ERTELENMİŞ SINIRLI ARTAN VE AZALAN HAYAT RANTLARI... 405 5.15.1 m Yıl Ertelenmiş Artan Sınırlı Hayat Rantının Şimdiki Değeri... 405 5.15.2 m Yıl Ertelemeli Azalan Sınırlı Hayat Rantının Biriken Değeri... 410 5.16 YILDA m KEZ ÖDEMELİ HAYAT RANTLARI... 417 5.16.1 Yılda m Kez Ödemeli Hayat Rantlarının Peşin Değeri... 418 5.16.2 Yılda m Kez Ödemeli ve Ödemelerin Devre Başlarında Yapıldığı Hayat Rantının Şimdiki Değeri... 422 5.16.3 k Yıl Ertelenmiş, Yılda m Kez Ödemeli ve Ödemelerin Devre Sonlarında Yapıldığı Hayat Rantının Şimdiki Değeri... 427 5.16.4 Yılda m Kez Ödemeli n Yıl Süren ve Ödemelerin Devre Sonlarında Yapıldığı Hayat Rantının Şimdiki Değeri... 421 ÜNİTE 5 ALIŞTIRMALAR... 438 ÜNİTE 5 SORULAR... 452 ÜNİTE 6 HAYAT SİGORTALARI 6.1 ÖMÜR BOYU SÜREN HAYAT SİGORTALARI (WHOLE LIFE POLICY)... 456 6.2 m YIL ERTELENMİŞ ÖMÜR BOYU SÜREN HAYAT SİGORTALARI (m YEAR DEFERRED LIFE INSURANCE)... 462 6.3 n YIL SÜREN HAYAT SİGORTALARI (n YEAR TERM INSURANCE)... 468 6.4 n YIL SÜREN KARMA HAYAT SİGORTASI (n YEAR ENDOWMENT INSURANCE=n YEAR TERM INSURANCE+PURE ENDOWMENT)... 476
xiii 6.5. m Yıl ERTELENMİŞ n YIL SÜREN HAYAT SİGORTALARI (m YEAR DEFERRED n YEAR TERM INSURANCE)... 481 6.6. m Yıl ERTELENMİŞ n YIL SÜREN KARMA HAYAT SİGORTALARI... 485 6.7 n YIL SÜREN VE DEĞİŞEN TAZMİNATLI HAYAT SİGORTALARI... 489 6.8 ÖMÜRBOYU SÜREN VE ARTAN HAYAT SİGORTALARI (INCREASING LIFE INSURANCE)... 493 6.9 n YILLIK ARTAN HAYAT SİGORTALARI (INCREASING n YEAR TERM INSURANCE)... 499 6.10 n YILLIK ARTAN KARMA HAYAT SİGORTALARI... 505 6.11 n YILLIK m YIL ERTELENMİŞ ARTAN HAYAT SİGORTASI (m YEAR DEFERRED & n YEAR INCREASING TERM INSURANCE)... 510 6.12 n YILLIK m YIL ERTELENMİŞ ARTAN KARMA HAYAT SİGORTASI... 517 6.13 AZALAN HAYAT SİGORTALARI (DECREASING n YEAR TERM INSURANCE)... 521 6.14 n YILLIK AZALAN KARMA HAYAT SİGORTALARI... 529 6.15 n YILLIK m YIL ERTELENMİŞ AZALAN HAYAT SİGORTALARI (m YEAR DEFERRED & n YEAR DECREASING TERM INSURANCE)... 533 6.16 n YILLIK m YIL ERTELENMİŞ AZALAN KARMA HAYAT SİGORTASI... 539 ÜNİTE 6 ALIŞTIRMALAR... 545 ÜNİTE 6 SORULAR... 556 ÜNİTE 7 NET PRİMLER ÜNİTE 7 SORULAR... 564 KAYNAKLAR... 565
xiv TABLO LİSTESİ Tablo 1.1: Paranın Zaman Değeri... 23 Tablo 1.2: Paranın Zaman Değeri... 27 Tablo 1.3: Paranın Zaman Değeri... 31 Tablo 1.4: Paranın Zaman Değeri... 34 Tablo 3.1 Örneklem Uzay: İki Zarın Sonuçlarının Toplamı... 201 Tablo 3.2 X Rassal Değişkeninin Aldığı Değer ve Olasılıkları... 219 Tablo 3.3 X Rassal Değişkeninin Varyansının Hesaplanması... 223 Tablo 3.4 X Rassal Değişkeninin Varyansının Hesaplanması... 225 Tablo 3.5 Y Rassal Değişkeninin Varyansının Hesaplanması... 226 Tablo 3.6 Kov(X,Y) Hesaplanması... 228 Tablo 3.7 Kov (X,Y) nin Hesaplanması... 229 Tablo 3.8 Kov(X,Y) nin Hesaplanması... 231 Tablo 3.9 Korelasyon Katsayısının Hesaplanması... 232 Tablo 3.10 Standart Normal Dağılım Tablosu (Bir Kısmı)... 261 Tablo 3.11 Standart Normal Dağılım Tablosu (Bir Kısmı)... 262 Tablo 3.12 X Rassal Değişkenin Varyansının Hesaplanması... 280 Tablo 3.13 Y Rassal Değişkenin Varyansının Hesaplanması... 281 Tablo 3.14 Satışlar ve Reklam Arasındaki Kovaryansın Hesaplanması... 281 Tablo 3.15 Rassal Değişkenin Aldığı Değer ve Olasılıkları... 283 Tablo 4.1 Semboller... 296 Tablo 5.1 Ödemelerin Gerçekleşme Olasılıkları ve Şimdiki Değerleri... 335 Tablo 5.2 Ödemelerin Gerçekleşme Olasılıkları ve Şimdiki Değerleri... 339 Tablo 5.3 Ödemelerin Gerçekleşme Olasılıkları ve Şimdiki Değerleri... 342 Tablo 5.4 Ödemelerin Gerçekleşme Olasılıkları ve Şimdiki Değerleri... 345 Tablo 5.5 Ödemelerin Gerçekleşme Olasılıkları ve Şimdiki Değerleri... 351 Tablo 5.6 Ödemelerin Gerçekleşme Olasılıkları ve Şimdiki Değerleri... 357 Tablo 5.7 Ödemelerin Gerçekleşme Olasılıkları ve Şimdiki Değerleri... 364 Tablo 5.8 Ödemelerin Gerçekleşme Olasılıkları ve Şimdiki Değerleri... 370 Tablo 5.9 Ödemelerin Gerçekleşme Olasılıkları ve Şimdiki Değerleri... 373
xv Tablo 5.10 Ödemelerin Gerçekleşme Olasılıkları ve Şimdiki Değerleri... 375 Tablo 5.11 Ödemelerin Gerçekleşme Olasılıkları ve Şimdiki Değerleri... 377 Tablo 5.12 İletişim Fonksiyonları... 378 Tablo 5.13 İletişim Fonksiyonları... 380 Tablo 5.14 Ödemelerin Gerçekleşme Olasılıkları ve Şimdiki Değerleri... 384 Tablo 5.15 İletişim Fonksiyonları... 385 Tablo 5.16 İletişim Fonksiyonları... 387 Tablo 5.17 Ödemelerin Gerçekleşme Olasılıkları ve Şimdiki Değerleri... 392 Tablo 5.18 Ödemelerin Gerçekleşme Olasılıkları ve Şimdiki Değerleri... 398 Tablo 5.19 Ödemelerin Gerçekleşme Olasılıkları ve Şimdiki Değerleri... 406 Tablo 5.20 İletişim Fonksiyonları... 407 Tablo 5.21 Ödemelerin Gerçekleşme Olasılıkları ve Şimdiki Değerleri... 411 Tablo 5.22 İletişim Fonksiyonları... 412 Tablo 5.23 Ödemelerin Gerçekleşme Olasılıkları ve Şimdiki Değerleri... 415 Tablo 5.24 İletişim Fonksiyonları... 416 Tablo 5.25 Ödemelerin Gerçekleşme Olasılıkları ve Şimdiki Değerleri... 419 Tablo 5.26 Ödemelerin Gerçekleşme Olasılıkları ve Şimdiki Değerleri... 423 Tablo 5.27 Ödemelerin Gerçekleşme Olasılıkları ve Şimdiki Değerleri... 425 Tablo 5.28 Ödemelerin Gerçekleşme Olasılıkları ve Şimdiki Değerleri... 428 Tablo 5.29 Ödemelerin Gerçekleşme Olasılıkları ve Şimdiki Değerleri... 432 Tablo 5.30 Ödemelerin Gerçekleşme Olasılıkları ve Şimdiki Değerleri... 435 Tablo 5.31 Ödemelerin Gerçekleşme Olasılıkları ve Şimdiki Değerleri... 446 Tablo 5.32 Ödemelerin Gerçekleşme Olasılıkları ve Şimdiki Değerleri... 450 Tablo 6.1 Olası Tazminat Ödemeleri... 457 Tablo 6.2 Olası Tazminat Ödemeleri... 464 Tablo 6.3 Olası Tazminat Ödemeleri... 470 Tablo 6.4 Olası Tazminat Ödemeleri... 482 Tablo 6.5 Olası Tazminat Ödemeleri... 490 Tablo 6.6 İletişim Fonksiyonları... 492 Tablo 6.7 Olası Tazminat Ödemeleri... 494 Tablo 6.8 İletişim Fonksiyonları... 495 Tablo 6.9 Olası Tazminat Ödemeleri... 497 Tablo 6.10 İletişim Fonksiyonları... 498
xvi Tablo 6.11 Olası Tazminat Ödemeleri... 500 Tablo 6.12 İletişim Fonksiyonları... 502 Tablo 6.13 Olası Tazminat Ödemeleri... 503 Tablo 6.14 İletişim Fonksiyonları... 505 Tablo 6.15 Olası Tazminat Ödemeleri... 508 Tablo 6.16 İletişim Fonksiyonları... 509 Tablo 6.17 Olası Tazminat Ödemeleri... 511 Tablo 6.18 İletişim Fonksiyonları... 513 Tablo 6.19 Olası Tazminat Ödemeleri... 514 Tablo 6.20 İletişim Fonksiyonları... 516 Tablo 6.21 Olası Tazminat Ödemeleri... 519 Tablo 6.22 İletişim Fonksiyonları... 521 Tablo 6.23 Olası Tazminat Ödemeleri... 522 Tablo 6.24 İletişim Fonksiyonları... 525 Tablo 6.25 Olası Tazminat Ödemeleri... 527 Tablo 6.26 İletişim Fonksiyonları... 528 Tablo 6.27 Olası Tazminat Ödemeleri... 531 Tablo 6.28 İletişim Fonksiyonları... 532 Tablo 6.29 Olası Tazminat Ödemeleri... 534 Tablo 6.30 İletişim Fonksiyonları... 536 Tablo 6.31 Olası Tazminat Ödemeleri... 537 Tablo 6.32 İletişim Fonksiyonları... 539 Tablo 6.33 Olası Tazminat Ödemeleri... 542 Tablo 6.34 İletişim Fonksiyonları... 543