Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR

Vektörler zr rd.doç.dr.nevin MAHİR ÜNİTE 3 Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Düzlemde vektör kvrmını öğrenecek, İki vektörün eşitliği, toplmı, doğrusl bğımlılığı ile bir vektörün bir gerçel syı ile çrpımı, doğrultu kosinüsleri, boyu ve birim vektör kvrmlrını tnıyck, Uzyd vektör kvrmını kvrycksınız. İçindekiler Vektör Kvrmı 41 İki Vektörün Eşitliği 44 İki Vektörün Toplmı 44 Bir Vektörün Bir Gerçel Syı İle Çrpımı 46 Bir Vektörün Boyu ve Birim Vektör 48 İki Vektörün Doğrusl Bğımlılığı 50 Bir Vektörün Doğrultu Kosinüsleri 51 Uzyd Vektörler 5 lü Problemler 54 Değerlendirme Sorulrı 60

Çlışm Önerileri Bu üniteyi kvrybilmek için lisedeki vektörlerle ilgili temel bilgilerinizi gözden geçiriniz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

VEKTÖRLER 41 1. Vektör Kvrmı Uzunluk, ln ve hcim gibi büyüklüklerin ynlızc bir gerçel syı ile belirtilmelerine krşın, özellikle fizikten gelen ivme, hız, kuvvet gibi nicelikleri belirlemek için bir gerçel syı yeterli değildir. İkinci türden niceliklerin bir yönü, doğrultusu, büyüklüğü ve uygulm noktsı vrdır. Bu büyüklükler için yönlendirilmiş doğru prçlrı kullnılır. A ve B düzlemde iki nokt olsun. Bşlngıç noktsı A ve uç noktsı B oln AB şeklinde göstereceğimiz yönlü doğru prçlrını gözönüne llım. B = b 1, b A = 1, 0 Şekil 3.1 Düzlemde lınn iki nokt, A = ( 1, ) ve B = (b 1, b ) koordintlrı ile temsil edilirse AB yönlü doğru prçsın krşılık (b 1-1, b - ) sırlı ikilisini krşılık getirebiliriz. Sizinde frk edeceğiniz gibi bu eşleme (yönlü doğru prçlrındn düzleme) 1-1 (birebir) değildir. Örneğin, A = (1, 1) B = (0, 0) ve P = (, ), Q = (3, 3) olmk üzere AB QP yönlü doğru prçlrının her ikiside ynı sırlı ikili ile temsil edilirler. ve Düzlemde bu V yönlü doğru prçlr kümesinde eğer hesp ypbilmek istiyorsk, bu V yi 1-1 ve örten olck şekilde düzlemde bir koordint sistemi ile ilintilendirmeniz gerektiğini frketmişsinizdir. Şimdi yukrıdki eşlemeyi 1-1 ypck şekilde V yönlü doğru prçlrı kümesi üzerinde bir denklik oluşturlım, öyleki bir denk yönlü doğru prçlrı kümesine bir ve ynlız bir sırlı ikili krşılık gelsin. Düzlemde, R = (r 1, r ), S = (s 1, s ), P = (p 1, p ) ve Q = (q 1, q ) noktlrı ile, RS ve PQ yönlü doğru prçlrı için eğer, q 1 - p 1 = s 1 - r 1 ve q - p = s - r ise bu iki yönlü doğru prçsı denktir diyelim. Bu bğıntı, AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

4 VEKTÖRLER PQ PQ PQ RS RS PQ PQ RS ve RS Z PQ Z (ynsım) (simetri) (geçişme) özelliklerini sğldığındn bir denklik bğıntısıdır. Geometrik olrk, PQ ve RS yönlü doğru prçlrının denk olmsı, düzlemde bunlrdn birisi, diğerine prlel kydırılrk, bşlngıç ve bitim noktlrının çkıştırılmsı nlmın gelir. Bu denklik bğıntısının oluşturduğu denklik sınıflrının herbirine düzlemde bir vektör diyelim. 0 Şekil 3. (q 1 - p 1, q - p ) sırlı ikilisine PQ vektörünün koordintlrı denir. Düzlemde P = (p 1, p ) noktsını llım. Şekil 3.3 de görüldüğü gibi bu noktyı bşlngıç noktsıyl birleştirecek olursk, bşlngıç noktsı 0, bitim noktsı P oln bir yönlü doğru prçsı elde ederiz. OP şeklinde göstereceğimiz, bu yönlü doğru prçsın, P noktsının yer vektörü denir. Düzlemde bşlngıç noktsı 0 oln tüm vektörler, birer yer vektörleridir. er vektörleri bitim noktlrıyl temsil edilerek, düzlemdeki noktlrl birebir örten biçimde eşlenebilir. Böylece, düzlemdeki her yer vektörüne bir nokt krşılık getirilmiş olur. P = p 1, p 0 Şekil 3.3 Bu kuruluş göre düzleme bzen yer vektörlerinin kümesi bzen de sırlı ikililerin kümesi olrk bkbiliriz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

VEKTÖRLER 43 1.1. Örnek yönlü doğru prçsının ko- P = (, -1) ve Q = (1, 3) noktlrı veriliyor. ordintlrını bulunuz. PQ PQ = (q 1 - p 1, q - p ) = (1 -, 3 - (-1) ) = (-1, 4) 1.. Örnek P = (-1, ), R = (4, 0) ve S = (6, ) noktlrı veriliyor. PQ ve RS yönlü doğru prçlrı ynı vektörü temsil edebilmeleri için Q noktsını bulunuz. Q = (q 1, q ) olsun. PQ RS = (q 1 - p 1, q - p ) = (q 1 - (-1), q - ) = (q 1 + 1, q - ) = (s 1 - r 1, s - r ) = (6-4, - 0) = (, ) PQ ve RS yönlü doğru prçlrının ynı vektörü temsil edebilmeleri için q 1 + 1 = ve q - = eşitliklerinden, q 1 = 1 ve q = 4 bulunur. Q = q 1, q P S = (6, ) P = (-1, ) 0 R = (4, 0) Şekil 3.4 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

44 VEKTÖRLER. İki Vektörün Eşitliği = 1, ve b = b 1, b vektörleri verilsin. = b ( 1, ) = (b 1, b ) 1 = b 1 = b şeklinde tnımlnır. ni iki vektörün eşit olmsı için gerek ve yeter koşul bu iki vektörün krşılıklı bileşenlerin eşit olmsıdır..1. Örnek = (, -1) ve b = (, k) vektörlerinin eşit olmsı için k ne olmlıdır? = b (, -1) = (, k) k = -1 3. İki Vektörün Toplmı Doğrultulrı ynı olmyn ve b vektörlerinin toplmı: + b = 1, + b 1, b = 1 + b 1, + b şeklinde tnımlnır. ni, iki vektörün toplmı, bu iki vektörün krşılıklı koordintlrının toplnmsıyl elde edilir. Geometrik olrk, ve b gibi iki vektörün toplmı Şekil 3.5 deki gibi prlel kenr kurlı ile yorumlnbilir. b c = + b 0 Şekil 3.5, b yer vektörleri ile 0 noktsının belirlediği prlel kenrın dördüncü köşesine c diyelim. Bun göre, + b = c dir. c vektörü prlel kenrın köşegenidir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

VEKTÖRLER 45 3.1. Örnek = (1, -) ve b = (4, 5) vektörleri veriliyor. + b = c vektörünü bulunuz c = + b = (1, -) + (4, 5) = (1 + 4, - + 5) = (5, 3) b c = + b c 0 Şekil 3.6 Vektörlerde Toplm İşleminin Özellikleri, b ve c düzlemde vektörler olsun. 0, sıfır vektörünü göstermek üzere şğıdki özellikler sğlnır. 1. Birleşme Özelliği: Her, b, c vektörleri için,. Değişme Özelliği: + b + c = + b + c Her, b vektörleri için, 3. Birim elemn vrdır. + b = b + Her vektörü için, + 0 = 0 + = olck şekilde 0 vrdır. 4. Ters elemn vrdır. Her vektörü için, + - = - + = 0 olck şekilde - vektörü vrdır. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

46 VEKTÖRLER Bu özelliklerden sdece birleşme özelliğini isptlyıp diğerlerini okuyucuy bırkcğız. B b A b + b b + c c c 0 + b + c Şekil 3.7 + b + c = [( 1, ) + ( b 1, b )] + ( c 1, c ) = ( 1 + b 1, + b ) + ( c 1, c ) = ( 1 + b 1 + c 1, + b + c ) = ( 1 + ( b 1 + c 1 ), ( + ( b + c )) = ( 1, ) + ( b 1 + c 1, b + c ) = ( 1, ) + (( b 1, b ) + ( c 1, c )) = + b + c 4. Bir Vektörün Bir Gerçel Syı İle Çrpımı = 1, vektörü ile bir k gerçel syısı verilsin. vektörünün k gerçe syısı ile çrpımı k. = k 1, k şeklinde tnımlnır. ni k. vektörü, vektörünün bütün bileşenlerinin k ile çrpılmsıyl bulunn vektördür. Şekil 3.8'de vektörünün, k = ve k = 1- gerçel syılrıyl çrpımı örnek olrk verildi. - 1 Şekil 3.8 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

VEKTÖRLER 47 k gerçel syısının pozitif olmsı durumund elde edilen vektörün boyu değişir. Fkt k nın negtif olmsı durumund elde edilen vektörün hem boyu, hem de yönü değişir (Şekil 3.8). 4.1. Örnek k = - gerçel syı ve = -3,1 vektörü veriliyor. k. vektörünü bulunuz k. = - (-3, 1) = (-. (-3), -. 1) = (6, -) 0 - Şekil 3.9 Bir Vektörün Bir Gerçel Syı İle Çrpımının Özellikleri, b düzlemde vektörler olsun. k, l gerçel syılr olmk üzere şğıdki özellikler sğlnır: 1. k l = kl. k + l = k + l 3. k + b = k + kb 4. 1 = Bu özelliklerden sdece üçüncü özelliğin hem nlitik olrk hem de geometrik olrk göstereceğiz. Diğerlerini okuyucuy bırkcğız. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

48 VEKTÖRLER k k b b b + b k + b Şekil 3.10 k + b = k (( 1, ) + ( b 1, b )) = k ( 1 + b 1, + b ) = (k ( 1 + b 1 ), k ( + b )) = ( k 1 + kb, k + kb ) = ( k 1, k ) + ( kb 1, kb ) = k ( 1, ) + k ( b 1, b ) = k + kb 5. Bir Vektörün Boyu ve Birim Vektör Düzlemde R = ( r 1, r ) ve S = ( s 1, s ) noktlrı verilsin. Bşlngıç noktsı R ve bitim noktsı S oln RS vektörünün boyu diye bu iki nokt rsınd kln uzklığ diyeceğiz. Vektörün boyu deyimi yerine, vektörün normu, uzunluğu, büyüklüğü kelimeleri de kullnılır ve boyu, RS şeklinde göstereceğimiz RS vektörünün RS = s 1 - r 1 + s - r formülüyle verilir. Özel olrk bir R = ( r 1, r ) yer vektörünün boyu ise, OR = r 1 + r dir. Boyu sıfır oln bir vektöre sıfır vektörü denir O = 0, 0 şeklinde gösterilir. = 0 = 0 dır. 5.1. Örnek A = (-, 0) B = (4, 8) ise AB vektörünün uzunluğunu bulun AB = 4 - - + 8-0 = 4 + + 64 = 36 + 64 = 100 = 10 birim ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

VEKTÖRLER 49 Uzunluğu 1 birim oln vektöre birim vektör denir. ni birim vektördür. Eğer 0 herhngi bir vektör ise, = 1 ise vektörü 0 = 1 ile belirli 0 vektörüne yönündeki birim vektör denir 5.. Örnek = 1, -3 ve b = - 1, 1 vektörleri birim vektör müdür? Eğer değilse, bu vektörlerle ynı yöne ship birim vektörleri bulunuz. = 1, -3 vektörü için, = 1 + -3 = 1 + 9 = 10 olduğundn birim vektör değildir. vektörü yönündeki birim vektör 0 = 1 = 1 10 1, -3 = 1 10, - 3 10 dir. b = - 1, 1 vektörü, b = - 1 + 1 olduğundn birim vektördür. = 1 + 1 = 1 - ve - koordint eksenleri üzerinde ve pozitif yönde, e 1 = 1, 0 ve e = 0, 1 şeklinde gösterilen birim vektörlerden yrrlnrk düzlemde lınn herhngi bir = 1, vektörünü = 1, = 1, 0 + 0, = 1 1, 0 + 0, 1 = 1 e 1 + e şeklinde tek türlü yzbiliriz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

50 VEKTÖRLER Örneğin, = 4, -3 vektörünü e 1 ve e cinsinden = 4, -3 = 4, 0 + 0, -3 = 4 1, 0 + -3 0, 1 = 4 e 1 + -3 e yzılbilir. 6. İki Vektörün Doğrusl Bğımlılığı Düzlemde u ve v gibi iki vektör llım. Eğer u = λ v olck şekilde λ 0 syısı vrs u ve v vektörlerine doğrusl bğımlıdır denir. Örneğin, u = 6, -4 ve v = -3, vektörleri için u = 6, -4 = - -3, = -v u = λ v olduğundn u ve v vektörleri doğrusl bğımlıdır. v 0 u Şekil 3.11 Düzlemde doğrultulrı ynı oln iki vektör Şekil 3.11'den görüldüğü gibi doğrusl bğımlıdır. Şimdi u = 1, 3 ve v = -5, 1 vektörleri için v u 0 Şekil 3.1 Şekil 3.1'ye dikkt edilecek olurs, bu iki vektörün doğrultulrı ynı değildir. u vektörü v vektörünün belli bir ktı olrk yzılmz. İşte, bu şekildeki u ve v vektörlerine doğrusl bğımsız vektörler denir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

VEKTÖRLER 51 7. Bir Vektörün Doğrultu Kosinüsleri Bir vektörün - ve - eksenleri ile yptığı çılrın kosinüslerine o vektörün doğrultu kosinüsleri denir. (0, ) = 1, β 0 α ( 1, 0 ) Şekil 3.13 Herhngi = 1, vektörünü llım. Bu vektörün uzunluğ r = 1 + ve koordint eksenleriyle yptığı çılr sırsıyl α, β olsun. Bu çılr vektörünün doğrultu çılrı denir. Şekil 3.13'den cosα = 1 ve cosβ = r r olrk nın doğrultu kosinüsleri bulunur. Burdn 1 = r cosα, = r cosβ olduğundn = r cosα, r cosβ şeklinde yzılır. Doğrultu kosinüslerinin krelerinin toplmı ise dir. cos α + cos β = 1 r + r = 1 + = r r r = 1 Örneğin = -4, 3 vektörünün doğrultu kosinüsler dir. cosα = -4 = -4-4 + 3 5 cosβ = 3 = 3-4 + 3 5 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

5 VEKTÖRLER 8. Uzyd Vektörler Uzyd vektörler, düzlemde olduğu gibi tnımlnır. A = ( 1,, 3 ) ve B = ( b 1, b, b 3 ) noktlrı ile AB yönlü doğru prçsın krşılık ( b 1-1, b -, b 3-3 ) sırlı üçlüsü krşılık getirilir. Bu sırlı üçlüye birden fzl yönlü doğru prçsı krşılık geldiğinden, bu eşleme 1-1 değildir. Düzlemdekine benzer olrk, uzyd yönlü doğru prçlrının oluşturduğu bir kümede bğıntısı (düzlem için tnımlnn bğıntının uzy doğl ktrılışı) tnımlnır. Bu bğıntı bir denklik bğıntısı olup, bunun oluşturduğu denklik sınıflrının herbirine uzyd bir vektör denir. Z B = b 1, b, b 3 A = 1,, 3 Şekil 3.14 b 1-1, b - - b 3-3 sırlı üçlüsüne AB vektörünün koordintlrı denir. 8.1. Örnek A = (1, -1, 0), B = (4,, 1), C = (0,, 3) noktlrı veriliyor. ynı vektörü temsil edecek şekilde D noktsını bulunuz. AB ve CD AB CD (4-1, - (-1), 1-0) = ( d 1-0, d -, d 3-3 ) (3, 3, 1) = (d 1, d -, d 3-3) 3 = d 1 3 = d - 5 = d 1 = d 3-3 4 = d 3 D = ( d 1, d, d 3 ) = (3, 5, 4) Uzyd, iki vektörün toplmı, bir vektörün bir gerçel syı ile çrpımı, bir vektörün boyu ve birim vektörün tnımlrı düzlemdekine benzediğinden, bunlrl ilgili örnekler vermek yeterli olcktır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

VEKTÖRLER 53 8.. Örnek = (, 3, -1), b = (-1, 0, 5) ve c = (0, 4, -) vektörlerinin toplmını bulunuz. k = + b + c = + b + c = (, 3, -1) + [(-1, 0, 5) + (0, 4, -)] = (, 3, -1) + (-1 + 0, 0 + 4, 5 + (-) ) = (, 3, -1) + (-1, 4, 3) = ( + (-1), 3 + 4, -1 + 3) = (1, 7, ) 8.3. Örnek k = - bir gerçel syı ve = (-, -1, 4) vektörü veriliyor. Bu vektörün k = - gerçel syısı ile çrpımını bulunuz. Z -. Şekil 3.15 b = k. = (-) (-, -1, 4) = (-. (-), -. (-1), -. 4) = (4,, -8) 8.4. Örnek = (, -3, 1) vektörünün boyunu bulun = 1 + + 3 = + -3 + 1 = 14 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

54 VEKTÖRLER 8.5. Örnek = (-3, 0, ) vektörü birim vektör müdür? Eğer değilse yönündeki birim vektörü bulunuz. Bu vektörün boyu, = -3 + 0 + = 9 + 0 + 4 = 13 olduğundn birim vektör değildir. yönündeki birim vektör 0 = 1 = 1 13-3, 0, = -3 13, 0, 13 8.6. Örnek Uzyd, -, -, Z- eksenleri üzerinde pozitif yönde, uzunluklrı 1 oln e 1 = (1, 0, 0), e = (0, 1, 0) ve e 3 = (0, 0, 1) vektörleri cinsinden = (-5, 3, 0) vektörünü yzınız. = (-5, 3, 0) = (-5, 0, 0) + (0, 3, 0) + (0, 0, 0 = -5 (1, 0, 0) + 3 (0, 1, 0) + (0, 0, 0) bulunur. = -5 e 1 + 3 e 9. lü Problemler 9.1. Bir ABCD prlel kenrınd köşegenler birbirini kesim noktlrınd iki eşit prçy böldüklerini gösteriniz. D C P A B Şekil 3.16 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

VEKTÖRLER 55 ABCD prlel kenrınd köşegenler P noktsınd kesişsinler AC = AB + AD BD = BA + AD AP = λ AC = λ AB + AD... (1) = AD - AB AP = AB + BP = AB + µ BD = AB + µ BA + AD = AB + µ AD - AB = 1 - µ AB + µad... () (1) ve () den 1 - µ AB + µ AD = λ AB + λ AD, AB ve AD vektörleri doğrusl bğımsız olduğundn 1 - µ = λ µ = λ } λ = µ = 1 elde edilir. 9.. Bir ABC üçgeninin BC kenrının ort noktsı H ise olduğunu gösteriniz. AH = 1 AB + AC AH = AB + BH AH = AC + CH } AH = AB + AC + BH + CH AH = 1 = AB + AC + BH - BH = AB + AC + 0 AB + AC elde ederiz. A B H Şekil 3.17 C AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

56 VEKTÖRLER 9.3. = 3e 1 + e b = -5e 1 + e vektörleri veriliyor. + 1 b vektörünü bulunuz + 1 b = 3, + 1-5, = 6, 4 + - 5, 1 = 7, 5 + 1 b b 1 b O Şekil 3.18 9.4. Bir ABC üçgeninde A', B', C ' noktlrı Şekil 3.19'd belirtilen kenr ort noktlrı ve P de düzlemde herhngi bir nokt olmk üzere, PA + PB + PC = PA' + PB' + PC' olduğunu gösteriniz. A P C' B' B A' Şekil 3.19 C Şekil 3.19 'dn PA + PB + PC = PB' + B'A + PC' + C'B + PA' + A'C = PB' + 1 CA + PC' + 1 AB + PA' + 1 BC ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

VEKTÖRLER 57 CA + AB + BC = 0 olduğund bulunur. PA + PB + PC = PB' + PC' + PA' 9.5. Bir üçgende kenrortylrın bir noktd kesiştiğini gösteriniz. A C' P B' B A' Şekil 3.0 C BP = BA + AP = BA + λ AA' = BA + λ AB + BA' = BA + λ AB + 1 BC = λ - 1 AB + λ BC... 1 Diğer trftn BP vektörünü BP = BC + CP = BC + µ CC' = BC + µ CB + BC' = BC + µ CB + 1 BA = - µ AB + 1 - µ BC... yzbiliriz. (1) ve () nin sol trflrı eşit ve bğımsız olduğundn AB, BC vektörleri doğrusl λ - 1 = - µ dir. λ = 1 - µ AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

58 VEKTÖRLER λ den λ = - µ terimi = 1 - µ λ - 1 = - µ de yerine konulurs, - µ - 1 = - µ 1 - µ = - µ - 4µ = - µ = 3µ µ = 3 ve λ = - µ = - 3 = - 4 3 λ = 3 elde edilir. Şimdi AB' = B'C olduğunu görelim. İki vektörün doğrusl bğımlılığındn δ BP = BB' ve 1 den BP = - 1 3 AB + 1 3 BC BB' = - δ 3 AB + δ 3 BC dir. CB' ve CA doğrusl bğımlı olduğundn CA = η CB' olck şekilde η R vrdır. CB' = CB + BB' = CB - δ 3 AB + δ 3 BC = 1 - δ 3 CB - δ 3 AB ve CA = CB + BA CA = η CB' = η 1 - δ 3 CB - δ 3 AB ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

VEKTÖRLER 59 1 η CB + 1 η BA = 1 - δ 3 CB - δ 3 AB 1 η = 1 - δ 3 ve -1 = - δ η 3 3 = 3η - δη 3 δη = 3 = 3η - 3 η = olur. elde edilir. Bu d B' noktsının CA nın ort noktsı olduğunu gösterir. 9.6. A = (-, -3), B = (0, 4), D = (, 0) üç köşesi verilen prlel kenrın dördüncü köşesini bulunuz. C B 0 D = (, 0) A Şekil 3.1 C = (, b) olsun. AB + BC = AC, 7 + 4, 3 =, b - -, -3 6, 10 = +, b + 3 6 = + = 4 10 = b + 3 b = 7 C = (, b) = (4, 7) dir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

60 VEKTÖRLER Değerlendirme Sorulrı Aşğıdki sorulrın ynıtlrını verilen seçenekler rsındn bulunuz. 1. = (1, 0, 3), = (, -5, 4) vektörleri veriliyor. 3 - b vektörünün koordintlrı nedir? A. (7, 10, 17) B. (3, -5, 7) C. (1, 5, -13) D. (-1, 10, 1) E. (-1, 5, -1). = (x, 4, -3) vektörünün uzunluğu 61 birim olmsı için x ne olmlıdır? A. -3 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6 3. = (4, 0, -3) hngisidir. A. 4 5, -3 5, 0 B. -3 5, 4 5, 0 C. 4 5, 0, -3 5 D. 4 5, 3 5, 0 E. - 4 5, 0, 3 5 vektörü ile ynı yönde oln birim vektör şğıdkilerden 4. A = -6, B = 6, 8 noktlrı veriliyor. AC = 3CB koşulun uyn C noktsının koordintlrı şğıdkilerden hngisidir? A. 3, 7 B. 3, 13 C. -3, 13 D. - 7, -3 E. 7, 3 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

VEKTÖRLER 61 5. u = (x, 4, y-) ve v = (1,, 5) vektörlerinin prlel olmsı için, x ve y ne olmlıdır? A. x = y = 1 B. x = 3 y = 17 C. x = 1 y = 7 D. x = 1 y = 4 E. x = 0 y = 6. u = -e 1 + 5e nedir? A. 5 B. 4 C. 5 D. 67 E. 73 ve v = e 1-3e olduğun göre u - v vektörünün uzunluğ 7. ve b uzyd herhngi vektörler ve r, k R ise şğıdkilerden hngisi ynlıştır? A. 0. = 0 B. r + b = r + rb C. r k = rk D. + b + c = + b + c E. + b = b + 8. A = (x, y-, x+) B = (3, x+1, z) ise AB doğru prçsının ort noktsının (1, -, 3) olmsı için x, y, z ne olmlıdır? A. x = 1 y = - z = 3 B. x = -1 y = - z = 5 C. x = - y = 1 z = 3 D. x = y = 1 z = -3 E. x = - y = -1 z = -5 9. Aşğıdki vektörlerden hngisi birim vektördür? A. 1, 1 B. 1 3, 1 3 C. 1, 1 D. 1 3, 3 E. 0, 1 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

6 VEKTÖRLER 10. C D A B ukrıdki şekilde, ABC üçgeninde BD = CD olduğun göre AD vektörü şğıdkilerden hngisidir? A. 1 AB B. 1 CB C. 1 CB + AB D. 1 AB + AC E. 1 CB + AC Değerlendirme Sorulrının nıtlrı 1. D. E 3. C 4. B 5. A 6. E 7. A 8. B 9. C 10. D ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ