Kontrol Sistemlerinin Tasarımı Kök Yer Eğrileri ile Tasarım II PD Denetleyici ve Faz İlerletici Dengeleyici 1
Ardarda (Kaskat) bağlantı kullanılarak geri beslemeli sistemin geçici rejim cevabının iyileştirilmesi incelenecektir. Tipik olarak amaç, sistemin cevabında istenilen aşım miktarına ve daha hızlı kararlı hal e ulaştıracak dengeleyici veya denetleyiciyi tasarlamak. 1) PD Denetleyici 2) Faz İlerletici Denetleyici 2
PD deneleyici ile bir türev alıcı (differentiator), geribeslemeli sistemde fiziksel sistemin önüne yerleştirilir ve tu tip denetleyici aktif devre elamları gerektirir. Türev almak gürültü içeren bir süreçtir, gürültünün seviyesi düşük olsa da frekansı kontrol sinyaline göre yüksektir. Faz ilerletici dengeleyici saf türev alıcı içermez, ve pasif devre elemanları ile gerçeklenebilir. Bu tür denetleyici ile fiziksel sisteme bir sıfır ve sıfırın biraz uzağına kutup eklenerek gerçeklenir. Eklenen sıfır PD denetleyicideki saf türev alıcının işlevine yakın davranır. 3
1) İdeal Türev Denetleyici (PD Kontrol): Sistemlerin geçici rejim cevapları, s düzleminde uygun kapalı döngü kutupları seçilerek sağlanabilir. Eğer bu nokta kök yer eğrisi üzerinde olursa sadece K yı ayarlayarak bu noktaya ulaşılabilir. Eğer istenilen başarımı sağlayacak nokta kök yer eğrisi üzerinde değilse, kök yer eğrisi denetleyicilerle tekrar oluşturularak kök yer eğrisinin istenilen noktadan geçmesi sağlanır. Bunu yapabilmek için fiziksel sisteme yeni sıfır ve kutuplar eklenerek, tüm sistemin açık döngü transfer fonksiyonu değiştirilir. Sistem cevabını hızlandırmak üzere sıfır eklemek yeterlidir. G = s + z c c 4
(a) (b) Dengelenmemiş(kompanze edilmemiş) sistemin kök yer eğrisi şekil (a) daki gibi olsun ve ξ=0.4 ile çalışıyor olsun. Biz bu sisteme -2 noktasında bir sıfır ekleyecek olursak yeni kök yer eğrisi şekil (b) deki gibi olur. 5
Eğer sisteme -3 ve -4 noktalarında sıfır ekleyecek olursak kök yer eğrileri sırasıyla şekil (c) ve şekil (d) deki gibi olur. 6
Görüldüğü üzere her bir denetleyici sıfırı için baskın kökler ξ=0.4 doğrusu üzerinde hareket etti. enetlenmemiş(kompanze edilmemiş) sistemin % aşım değeri değişmedi. Dikkat edilecek olursa denetleyici ile baskın kökler sola kaydı ve bunun neticesi sistem cevabı dengelenmemiş hale göre daha hızlanır. Köklerin reel kısımları hangisinde daha negatifse o daha hızlı cevap üretir. ( ) T s = 4 ζω n Ayrıca denetlenmiş sistem baskın köklerinin imajiner kısımları denetlenmemiş sisteminkilere göre daha büyük olduğundan denetleyici ile tepe süreleride kısalmış oldu.( ) T p π = ω d 7
Bir diğer önemli husus denetleyicinin sıfırı artırıldıkça kapalı döngü sistemin baskın kutupları orjine yaklaştı. Her dört durum için sistem cevaplarını elde edecek olursak. 8
Her dört durum için tablo oluşturacak olursak: 9
Örnek: Şekilde verilen sistem için sistem cevabında aşım %16 olacak ve yerleşme zamanı üç kat azalacak şekilde denetleyiciyi tasarlayınız. Öncelikle denetleyici kullanmadan kompanze edilmemiş sistemin aşım miktarına bakalım. Bunun için kök yer eğrisini çizdirip, %16 lık aşıma karşılık gelen ξ=0.504 ve buda 120.265 0 lik doğrudur. 10
Kompanze edilmemiş sistemin kök yer eğrisi 11
Kompanze edilmemiş sistemin aşım ölçütüne göre kökleri s=-1.205±j2.064 noktalarındadır. Bu durumda yerleşme zamanı, T s 4 4 = = = 3.320 saniye ζω 1.205 n Dikkat edilecek olursa yerleşme zamanını ikinci derece sistem yaklaşımı ile elde ettik, halbuki bizim sistemimiz 3. derece. Dolayısıyla üçüncü kökü bulup yerleşme zamanı ölçütünü doğrulamalıyız. K=43.35 için üçüncü kök -7.59 noktasındadır. Bu nokta baskın köklerden 6 kat daha uzakta olduğu için ikinci derece sistem yaklaşımı doğru kabul edilebilir. Kompanze edilmemiş sistemin geçici ve kararlı hal değerlerini inceleyecek olursak 12
13
Sistem için denetleyiciyi tasarlayalım; Dengelenmiş (kompanze edilmiş) sistemin köklerinin yerlerini belirleyelim, başarım ölçütü bize yerleşme zamanının 3 kat azaltılması gerektiğini söylüyor. Burumda Ts=3.320/3=1.107 saniye olmalıdır. Öyleyse; İmajiner kısım ise; ω d ω d 4 4 ζωn = = = 3. 613 T 1.107 s = 3.613 tan(180 120.265) = 6.192 s=-3.613 ±6.192 noktası bizim baskın kutuplarımızdır. (Sistem cevabını belirleyen kökler) 14
Kök yer eğrisinin s=-3.613 ±6.192 noktasından geçmesini istiyorsak açı koşulunun sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmemiz gerekir, ve denetleyicinin sıfırını açı koşulunu sağlayarak kök yer eğrisinin bu noktadan geçecek şekilde tasarlamalıyız. 15
θ 3 θ 2 θ 1 θ θ θ = 275. 607 0 1 2 3 Görüldüğü gibi baskın kökün kök yer eğrisi üzerinde olabilmesi için 275.607 0-180 0 =95.607 0 lik bir açı denetleyici ile ilave edilmesi gerekir. 16
95.6 0 z c tan(180 0 95.607 0 ) 6. 192 = 3. 613 zc z c = 3.006 17
Denetleyicimiz K(s+3.006) olmalıdır. Denetleyici ile sistemi birlikte kök yer eğrisini çizecek olursak; 18
İstenilen geçici rejimi sağlayan kök noktasında denetleyicimizin kazancı K=47.45 olmalıdır. Bu durumda PD denetleyicimizin son hali 47.45 (s+3.006) dir. R(s) + - 47.45( s + 3.006) K s( s + 4)( s + 6) C(s) PD Denetleyici Fiziksel Sistem 19
Denetleyici ile sistemin birim basamak cevabı ise; Görüldüğü gibi PD Denetleyici ile sistemin cevabı hızlandırıldı. 20
Dengelenmemiş ve Dengelenmiş Sistemi Karşılaştırma Tablosu 21
İdeal Türev Alıcı Denetleyicinin Gerçeklenme Metodu: K1 Gc ( s) = K2s + K1 = K 2( s + ) K 2 22
2) Faz İlerletici Dengeleyici (Phase Lead Compensator): Pasif devre elamanları ile gerçeklenir. Saf türev alıcı pasif devre elemanları ile gerçeklenemediğinden faz ilerletici denetleyici sıfırı ve kutbu olan bir denetleyicidir. Ancak denetleyici kutbunu sıfır ından çok daha sola yerleştirecek olursak denetleyicinin açısal katkısı pozitif olur ve bu sadece sıfırı olan bir denetleyiciye eşdeğerdir. G c = s + s + z p c c s=jw için; φ 1 1 = tan ( ) tan ( ) PD denetleyiciye göre faz ilerletici denetleyicinin avantajı: 1) Ekstra güç kaynağı gerektirmez ω 2) Türevden dolayı olan gürültü azaltılır ω z c p c Eğer z c <p c ise Φ açısı pozitiftir ki adında anlaşılacağı üzere açıyı ilerletir. 23
Faz ilerletici denetleyici tasarımını inceleyelim: Açı kuralına göre: θ θ θ θ + θ = ( 2k + 1) 180 0 2 1 3 4 5 Burada: θ θ = θ Denetleyicinin açısal katkısıdır. 2 1 c 24
Dikkat edilecek olursa θ c sanki istenilen çalışma noktasından çıkan bir ışının açısı gibidir. Eğer bu ışını döndürecek olursak; Görülür ki geçici rejim cevabını sağlayabilecek birden çok dengeleyici tasarlanabilir. 25
Bu dengeleyiciler arasındaki fark statik hata katsayılarıdır, (bir başka deyişle kompanze edilmiş sistemin kök yer eğrisinde istenilen noktaya ulaştıran K daki fark), tasarım bittiğinde ikinci derece sistem yaklaşımının geçerli olup olmamasıdır. Tasarımda biz faz ilerletici denetleyicinin kutup veya sıfırından bir tanesi seçeriz ve açı koşuluna göre diğerini belirleriz. Örnek: Şekilde verilen sistem için sistem cevabında aşım miktarını değiştirmeden(%30) yerleşme zamanı iki kat azalacak şekilde denetleyiciyi tasarlayınız. 26
İlk olarak sabit K (oransal) denetleyici ile %30 aşım veren sistem performansını inceleyelim. %30 aşım değerine karşılık gelen sönüm oranı 0.358 dir. Dolayısıyla ξ=0.358 olan doğru boyunca kompanze edilmemiş sistem baskın kökünü kök yer eğrisi üzerinden s=-1.007+j2.627 olarak elde ederiz. 27
Baskın kökün reel kısmından yerleşme zamanını bulacak olursak; 4 T s = = 1.007 3.972 san. Denetleyici tasarımında bizden yerleşme zamanının iki kat azaltılması istenmişti, 3.972 T s = 1.986 san. 2 = olmalıdır. ζω n = 4 T 4 ζωn = = 2. 014 san 1.986 s İse yeni kökün reel kısmı Olarak hesaplanır. 28
ω d ω d = 2.014 tan(110.977) = 5.253 29
Faz ilerletici denetleyiciyi hesaplayalım; Denetleyicimizin sıfırını istenilen kökün frekansına yakın bir noktada Seçelim, örneğin z c =-5 olsun. θ 0 4 θ1 θ2 θ3 = 172. 69 Faz ilerletici denetleyiciyinin istenilen noktaya kökü taşıyabilmesi için seçilen sıfır değerinden sonra açı koşuluna göre kutbunun sağlayacağı açı: θ3 θ4 θ 2 θ 1-180+172.69=-7.31 0 Olmalıdır. 30
Kutbun yerini belirleyebiliriz: tan(7.31) = p c 5.252 2.014 p c = 42.96 Şimdi sıra K kazancını belirlemeye geldi: 31
R(s) + - K ( s Faz ( + s + 5) 42.96) İlerletici Denetleyic i 1 s( s + 4)( s + 6) Fiziksel Sistem C(s) Bu sistem için kök yer eğrisi çizilerek istenilen baskın kök noktasında K kazancı bulunur, İstenilen başarım ölçütlerini veren K kazancı, 1423.658 olarak bulunur. 32
K nın bu değeri için 3. ve 4. kutupların yerleri incelenmelidir. Zira sistem başarım ölçütleri ikinci derece sistemlere göre formülize edilmişti. K= 1423.658 için s 3 =-43.807 ve s 4 =-5.134 olur. 3. kutup baskın kutuplardan çok uzaktadır. 4. kutup ise denetleyicinin sıfırına yakın olduğundan sıfır-kutup eliminasyonu olur. Dolayısıyla bu kazanç değerinde sistem ikinci derece sistem gibi davranır. Daha önce belirtildiği gibi denetleyicimiz açı koşulunu sağlayan bir çok alternatifle gerçeklenebilir. Örne olarak z c =-2 seçerek yeni bir tasarım yapalım ve z c =-4 seçerek yeni bir tasarım yapalım. Tasarım sonucunda aşağıdaki tablo elde edilir. Tasarım a zc=-5 olsun. Tasarım c zc=-4 olsun. Tasarım c z c =-2 olsun. 33
34
Her üç denegeleyici cevabı ile sistem cevabı 35