MAT3 AYRIK MATEMATİK 4 Ders Doç Dr Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 00 0 Güz Dönemi 3 yüzyılda İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci aşağıdaki soruyu ortaya atmıştır: Leonardo Fibonacci Soru Bir çiftçi tavşan yetiştiriciliği ile uğraşmaktadır Her bir tavşan iki aylık olduğunda bir yavru vermektedir Bu yavrular da aynı şekilde iki aylık olduğunda yine yavru vermektedir Tavşanların hiç ölmediğini düşünür ve erkek tavşanları da göz ardı edersek n ayın sonunda bu çiftçinin kaç tavşanı olacaktır? /4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi n nin küçük değerleri için bu soruya cevap vermek kolaydır n Tavşanlar Sayı 3 4 3 6 8 7 3 Aslında tavşanların sayısının herhangi bir ay için nasıl arttığını belirlemek hiç de zor değildir Açıktır ki, bir sonraki ayda doğacak (eklenecek) tavşan sayısı o aydaki en az iki aylık olan tavşanların sayısı kadardır Bir başka ifadeyle, bir sonraki aydaki tavşan sayısını elde etmek için, önceki aydaki tavşanların sayısının eldeki tavşanların sayısına eklenmesi gerekir Böylece her bir aydaki tavşan sayısı, + =, + = 3, 3+ =, +3 = 8, 8+ = 3, elde edilir 3/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi 4/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi
Yukarıdaki bağıntıyı formüle etmek için n aydaki tavşan sayısını F n ile gösterelim Bu durumda n =,, 3, için Bu sayılara denir F n+ = F n + F n yazabiliriz F =, F =, F 3 =, F 4 = 3, F = olduğunu zaten gördük Yukarıdaki formül ile daha fazlasını da hesaplayabiliriz,,, 3,, 8, 3,, 34,, 89, 44, 33, 377, 60, 987, 97, 84, 48, 676, 0946, 77, 867, 46368, 70, 393, 9648, 378, 49, 83040, 34669, 78309, 3478, 70887, 9746, 49303, 4787, 3908869, 634986, 0334, 6804, 679496, 433494437, 70408733, 3490370, 8363903, 97073, 48076976, 777874049, 86690, 0360074, 3980099, 336973, 866777, 39838644, 843377, 3643966, 98679879, 9670604, 48008790, 047307896, 407393788, 674703984, 060098773, 767680776, 77778900388, 44947083, 773460484, 7669030460994, 90394907093, 30806709, 49844087964, 80633049393, 304969449867, 4807797800, 346446906707, 793970088477, 89443943379464, 44733404676, 3467834846768, 378890637343906, 630790769, Eğer alınırsa, F 0 = 0, F = F n+ = F n + F n eşitliği ile birlikte Fibonacci sayıları tek türlü olarak elde edilir Bu nedenle Fibonacci sayılarının tanımı bu şekilde verilebilir Yukarıdaki eşitlik doğrudan F n sayısını vermek yerine, ilk iki Fibonacci sayısı ile başlayıp, önceki iki Fibonacci sayısı yardımıyla her bir Fibonacci sayısını vermektedir Bu şekildeki tanımlamalara yinelemeli (recurrence) tanımlama denir 9994830947497, 600064386367088, 96949698, 40964077489673, 6798963763868, 00087778366093, 779979460047489, 88006794370860, 4660046603730309, /4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi 6/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi Soru n basamaktan oluşan bir merdiveni her seferinde bir ya da iki basamak çıkmak koşuluyla kaç farklı şekilde çıkabilirsiniz? Yine n nin bazı küçük değerleri için inceleyelim: n Çıkış şekli Çıkış sayısı adım adım + adım, adım 3 adım + adım + adım, adım + adım, 3 adım+adım 4 +++, ++, ++, ++, + ++++, +++, +++, 8 +++, +++, ++, ++, ++ 7/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi n basamaklı merdivenin J n farklı şekilde çıkılabildiğini kabul edelim J n+ sayısını J k ( k n) sayılarını kullanarak belirlemeye çalışalım Eğer n + basamaklı merdiveni ilk başta bir adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n basamak kalır ve bu n basamağı J n farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz Eğer merdiveni ilk başta iki adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n basamak kalır ve bu n basamağı da J n farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz Böylece olası iki durumu da incelemiş olduk O halde J n+ = J n + J n elde edilir Elde edilen bu formül ile Fibonacci sayılarını elde etmek için kullanılan formül aynı Buradan F n = J n diyebilir miyiz? Hayır! = F 3 J 3 = 3 Ancak, J n = F n+ yazabiliriz 8/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi
Varsayım/Sanı (Conjecture) Soru İlk n Fibonacci sayısının toplamı nedir? 0,,,, 3,, 8, 3,, 34,, 89, 44, 33, 377, 60, 987, 0 = 0 0 + = 0 + + = 0 + + + = 4 0 + + + + 3 = 7 0 + + + + 3 + = 0 + + + + 3 + + 8 = 0 0 + + + + 3 + + 8 + 3 = 33 Tahmini olan? 9/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi Kanıt F 0 + F + F + + F n = F n+ Kanıtı tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0,,, 3 için eşitliğin doğru olduğunu yukarıdan biliyoruz n için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim Yani, F 0 + F + F + + F n = F n+ olsun Bu durumda eşitliğin n için de doğru olduğunu gösterelim F n+ F 0 + F + F + + F n + F n = (F n+ )+F n = F n+ + F }{{ n = } F n+ O halde tümevarım yöntemi gereği her n doğal sayısı için eşitlik doğru olur 0/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi Alıştırma (Alıştırma 49) 8 8 = 64 3 = 6 64 = 6? Bunun Fibonacci sayıları ile ne ilgisi var? Öncelikle biraz hile yaptığımı itiraf edeyim İlk kareden ikinci şekil elde edilemez Şekilde geçen sayılar,8 ve 3 Fibonacci sayılarıdır F =, F 6 = 8ve F 7 = 3 8 8 = 3 (F 6 ) = F F 7 Peki F, F 6, F 7 yerine F 6, F 7, F 8 için yazarsak? Alıştırma (Alıştırma 43-d) olduğunu gösteriniz (F 7 ) }{{} 69 = F 6 F 8 }{{} 68 (F n+ ) = F n F n+ +( ) n /4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi /4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi
Kanıt Kanıtı yine tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0için(F ) = = F 0 F +( ) 0 = n için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim Yani, (F n+ ) = F n F n+ +( ) n olsun n + için de eşitliğin doğru olduğunu gösterelim Yukarıdaki eşitliğinin her iki tarafına F n+ F n+ eklersek, (F n+ ) + F n+ F n+ = F n F n+ +( ) n + F n+ F n+ n F n+ (F n+ + F n+ ) = F }{{} n+ (F n + F n+ ) +( ) }{{} F n+3 F n+ F n+ F n+3 = (F n+ ) +( ) n (F n+ ) = F n+ F n+3 +( ) n+ Aşağıdaki özdeşliklerin de doğru olduğu yineleme formülü ve/veya tümevarım yöntemi kullanılarak gösterilebilir F + F 3 + F + + F n = F n F 0 F + F F 3 + F n + F n = F n F 0 + F + + F n = F n F n+ Fn + Fn = F n ( ) ( ) n n F 0 + F + 0 ( ) n F + + ( ) n F n = F n n O halde tümevarım yöntemi gereği her n doğal sayısı için eşitlik doğrudur 3/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi 4/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi İçin Bir Formül Teorem Fibonacci sayıları eşitliğini sağlar F n = [( + ) n ( İçin Bir Formül ) n ] Alıştırma 43 Kanıtı tümevarım yöntemi ile yapalım: İçin Bir Formül n = 0ven = için formülün doğru olduğu açıktır n (n ) için formülün doğru olduğunu kabul edelim (tümevarım hipotezi) n için de formülün doğru olduğunu gösterelim F n = F [ n + F n ( = ) n ( ) ] n + [ ( ) n ( ) ] n + + = [ ( ) n ( ) + + + ) n ( ) n ] [( = + ( ) n ( ) ] + + O halde tümevarım yöntemi gereği formül her n doğal sayısı için doğrudur /4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi 6/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi
İçin Bir Formül İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: =, =, 3 =, 3 = 666666, 8 = 600000, 3 8 = 6000, 3 = 63846, 34 = 6904769, 34 = 6764709, 89 = 68888, 44 89 = 679778, 33 44 = 6806, 377 = 6807, 33 İlk birkaç değeri göz ardı edersek ardışık Fibonacci sayılarının oranının 68 e çok yakın olduğunu görüyoruz Bu bize Fibonacci sayılarının geometrik bir dizi olduğunu düşündürebilir Acaba Fibonacci sayıları ile aynı yineleme formülüne sahip bir geometrik dizi var mı bakalım G n dizisi G n = cq n şeklinde (c, q 0) G n+ = G n + G n yineleme formülünü sağlayan bir geometrik dizi olsun Bu durumda G n yerine değerini yazarsak, olur Gerekli sadeleştirmeyi yaparsak, elde ederiz Bu denklemi çözersek, olur q = + cq n+ = cq n + cq n q = q + 68034 ve q = 068034 7/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi 8/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi İçin Bir Formül İçin Bir Formül O halde elimizde Fibonacci sayıları ile aynı yineleme formülüne sahip iki geometrik dizi var: ( + ) n ( G n = c ve G n ) n = c Maalesef her iki dizi de bize Fibonacci sayılarını vermez Gerçekten de, n = 0içinF 0 = 0 olmasına karşın G 0 = G 0 = c olur Ancak, G n+ G n+ =(G n + G n ) ( G n + G n ) ( = Gn G n) ( + Gn G n ) olduğundan G n G n dizisi yineleme formülünü sağlar Ayrıca, G 0 G 0 = 0 = F 0 olur Üstelik, G G = c olur Ohaldec = seçilirse G G = = F elde edilir Böylece, aynı başlangıç değerlerine ve aynı yineleme formülüne sahip F n ve G n G n gibi iki dizi elde edilir Öyleyse, F n = G n G n olur G n ve G n yerine değerleri yazılırsa başlangıçta verilen formül elde edilir Verilen formülle başka çıkarımlar da yapabiliriz: q = + 68034 > olduğundan n arttığında G n üstel olarak artar < q < 0 olduğundan n artarken G n üstel olarak azalır ( O halde yeterince büyük n sayıları için F n ) n + alabiliriz 9/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi 0/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi
İçin Bir Formül ϕ = + sayısı Altın Oran olarak adlandırılan meşhur sayıdır Hiç beklenmedik yerlerde bu sayı ile karşılaşmak mümkündür Örneğin, düzgün bir beşgenin köşegeninin kenarına oranı bu sayıyı verir Ya da ϕ = + + + + + + ϕ = + + + + + +, Alıştırma Pascal üçgeninin herhangi bir satırının soldan ilk elemanını işaretleyin Daha sonra bu elemandan bir birim doğuya ve bir birim kuzey-doğuya gidip ulaştığınız elemanı işaretleyin Pascal üçgeninin dışına çıkana kadar bu işleme devam edip işaretlediğiniz elemanları toplayın Farklı satırlar için bu işlemi tekrarladığınızda ne tür sayılar elde edersiniz Bu işlemi formüle edip kanıtlayınız /4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi /4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi Sanı 3 3 4 6 4 0 0 6 0 6 ( ) n + 0 ( n ) + + 4 + 3 = 8 = F 6 + + 6 + = 3 = F 7 ( n ) + + ( n k k ) = F n+, k =[ n/ ] Tümevarım yöntemi ve Pascal üçgeninin temel özelliği yardımıyla kolayca gösterilebilir n = 0ven = için doğru olduğu açık n için doğru olsun n + için de doğru olduğunu gösterelim Genelliği bozmaksızın n nin tek olduğunu kabul edersek (n çift ise sadece son terimde bir farklılık olacaktır benzer şekilde kanıt yapılabilir), ( n ( 0) + n ) ( + n ) ( + + n k ) [ k (n ) ( = + 0 + n ) ] [ (n 3 ) ( + + n 3 ) ] [ (n k ) ( + + k + n k ) ] [ k (n ) ( = 0 + n ) ( + n 3 ) ( + + n k ) ] [ (n ) ( k + 0 + n 3 ) + ( ) ( n 4 + + n k ) ] k = F n + F n = F n+ olduğundan n + içinde doğru dolayısıyla her n N için eşitlik doğrudur 3/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi 4/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi
Alıştırma n boyutlarındaki bir satranç tahtasını domino taşları ile kaç farklı şekilde örtebilirsiniz? n boyutlarındaki bir satranç tahtasını domino taşları ile F n+ farklı şekilde örtebiliriz Kanıtı tümevarım ile yapalım: Aşağıda görüldüğü gibi n = için satranç tahtasını, n = için ve n = 3 için 3 farklı şekilde örtebiliriz Domino taşı, dikdörtgen şeklinde, satranç tahtasının iki karesi boyutundadır ve domino taşları satranç tahtası üzerine bir beyaz ve bir siyah kareye denk gelecek şekilde yerleştirilebilir Ayrıca domino taşları özdeş kabul edilecektir ) (n = 4 için sayının olacağını görünüz) /4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi 6/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi Alıştırma F n, n Fibonacci sayısını göstermek üzere, n için mümkün olan tüm farklı örtülüşlerin sayısını G n = F n+ ile gösterelim n + için inceleyelim: Eğer ilk adımda domino taşını dikey pozisyonda koyarsak, geriye n sütun kalır ve bunları G n farklı şekilde örtebiliriz Eğer ilk adımda domino taşını yatay koyarsak bu durumda geriye n sütun kalır ve bunları G n farklı şekilde örtebiliriz Ohalden + içing n+ = G n + G n olur O zaman n boyutlarındaki bir satranç tahtasını domino taşları ile G n = F n+ farklı şekilde örtebiliriz 7/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi özdeşliğini kanıtlayınız F n+m = F n F m + F n F m+ Kanıtı m üzerinden tümevarım ile yapalım m = içinf n+ = F n F }{{} +F n F }{{} m = için = F n + F n F n+ = F n F }{{} +F n F }{{} 3 = F n + F n = F n + F }{{ n +F } n F n+ = F n+ + F n olduğundan doğrudur 8/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi
m = k + için ifade doğru olsun m = k + için doğru olduğunu gösterelim F n+k = F n F k + F n F k+ ve F n+k+ = F n F k+ + F n F k+ eşitliklerini taraf tarafa toplarsak, F n+k+ = F n F k+ + F n F k+3 eşitlik m = k + içindedoğruolur O halde tümevarım yöntemi gereği özdeşliğin doğruluğu elde edilir Alıştırma Her pozitif tam sayının birbirinden farklı Fibonacci sayılarının toplamı olarak yazılabileceğini kanıtlayınız n =,, 3 için doğru olduğu açık n den küçük her tam sayı farklı Fibonacci sayılarının toplamı şeklinde yazılabilsin n sayısının da farklı Fibonacci sayılarının toplamı şeklinde yazılabildiğini gösterelim: n nin kendisi Fibonacci sayısı ise kanıtlanacak bir şey yok n Fibonacci sayısı olmasın Bu durumda F i < n < F i+ olacak şekilde i sayısı vardır Buradan 0 < n F i < F i+ F i = F i olur 9/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi 30/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi Tümevarım hipotezinden, n = n F i pozitif tam sayısı da farklı Fibonacci sayılarının toplamı olarak yazılabilir Ayrıca, n < F i olduğundan bu toplamdaki Fibonacci sayılarının her biri F i Fibonacci sayısından daha küçük olacaktır Eğer, şeklinde ise n = n F i = F i + F i + + F ik, n = F i + F i + + F ik + F i, olacağından kanıt biter i j < i, j =,,,k i j < i, j =,,,k Alıştırma (Alıştırma 436) S = {,,,n} kümesinin kaç alt kümesi ardışık iki tam sayı içermez? Bazı n değerleri için ardışık iki eleman bulundurmayan alt kümelerin sayısını bulalım: n = 0iseS = olduğundan ardışık iki eleman içermeyen tane alt küme vardır ( ) n = ise ardışık iki eleman bulundurmayan alt kümeler tanedir ( ve {}) n = ise ardışık iki eleman bulundurmayan alt kümeler 3 tanedir (, {} ve {}) n = 3 ise ardışık iki eleman bulundurmayan alt küme sayısı olur (, {}, {}, {3}, {, 3}) n = 4 ise ardışık iki eleman bulundurmayan alt küme sayısı 8 olur (, {}, {}, {3}, {4}, {, 3}, {, 4}, {, 4}) 3/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi 3/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi
Elde edilen sayılar Fibonacci sayılarıdır S = {,,,n} kümesinin ardışık iki eleman içermeyen alt kümelerinin sayısını A n olsun Kolay anlaşılabilir olması için önce n = 4iken S = {,, 3, 4} kümesinin ardışık iki eleman bulundurmayan alt kümelerinin sayısını yani A 4 ü hesaplayalım Bu alt kümeleri aşağıdaki gibi iki gruba ayırabiliriz: 4 ü bulunduran ve ardışık eleman içermeyen alt kümeler 4 ü bulundurmayan ve ardışık elema içermeyen alt kümeler {4}, {, 4}, {, 4} }{{} } {{ } A, {}, {}, {3}, {, 3} 4 kümelere ait olduğundan 3 ait olmamalı Bu durumda {, } kümesinin ardışık iki sayı içermeyen her bir alt kümesine 4 ü ekliyoruz Bunların sayısı ise varsayımımızdan A olur A 3 Bu kümeler {,, 3} kümesinin ardış iki eleman içermeyen alt kümeleri olu Bunların sayısı da varsayımımız gereğ A 3 olur Böylece A 4 = A + A 3 olur Yukarıda 4 yerine n alıp, diğer sayıları da n ven ile değiştirirsek, A n = A n + A n olur A 0 = vea = olduğundan A n = F n+ olur 33/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi 34/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi Önce bazı n değerleri için elde edilen binary stringleri yazalım: Alıştırma n digit uzunluğunda ve ile başlayan, ler ler ile, 0 lar 0 lar ile yan yana gelme koşuluyla ( 0 ve lerin yalnız kalmasını istemiyoruz!) kaç farklı binary string yazılabilir? Örneğin, n = 8 için bazı istenen ve istenmeyen durumlar aşağıda verilmiştir 000 00 000 X en baştaki yalnız kalmış 0000 X yalnız bir 0 var 00000 X yalnız bir var 000000 X ile başlamıyor n Binary String A n 0 3 4, 00, 00, 000 3 6, 00, 000, 00, 0000 7, 00, 000, 00, 0000, 00, 000, 00000 8 Yukarıdaki tablodan elde edilen sayıların Fibonacci sayıları olduğu görüyoruz 3/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi 36/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi
n karakter uzunluğunda ve verilen koşulları sağlayan binary string sayısının F n+ olduğunu kanıtlayalım n karakter uzunluğunda ve verilen koşulları sağlayan farklı binary stringlarin sayısına A n diyelim Bu şekildeki binary stringlerin soldan üçüncü digiti için iki durum söz konusudur: xxx }{{ x} n tane } 00xx {{ x} n tane Birinci durumu ele alırsak, soldan ilk digiti attığımızda n digitli ve verilen koşulları sağlayan bir binary string elde ederiz ki bunların sayısı A n olur İkinci durumda yani 3 digit 0 ise bu durumda koşullar gereği 4 digitte 0 olmak zorundadır Şimdi, ilk iki digit atılarak elde edilen n digit uzunluğunda, 00 ile başlayan ve istenen koşulları sağlayan binary stringleri düşünecek olursak bunların sayısı n digit uzunluğunda ile başlayan ve istenen koşulları sağlayan binary stringlerin sayısı ile aynı ve A n olur Yani, 0 lar ile leri değiştirmek bir şey değiştirmez O halde bu iki durumu birleştirirsek, A n = A n + A n olur Yukarıdaki tablodan A = vea 3 = olduğundan A n = F n+ elde edilir 37/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi 38/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi Alıştırma Sosyal yardım için sırada bekleyen 0 vatandaşa kömür ve gıda yardımı yapılacaktır Sırada bekleyen ardışık iki kişiye kömür vermemek ve sıradakilere yardımlardan sadece birini vermek koşuluyla bu dağıtım kaç farklı şekilde yapılabilir? Önce problemi basitleştirip sırada bekleyen,,3,4 ve kişi varken yardımların kaç farklı şekilde dağıtılabileceğini inceleyelim Gösterimlerde kısalık açısından kömür yardımını K, gıda yardımını G ile gösterelim n Dağıtımlar A n K, G KG, GK, GG 3 3 KGK, KGG, GGK, GKG, GGG 4 KGKG, KGGK, KGGG, GKGK, GKGG, GGKG, GGGK, GGGG 8 KGKGK, KGKGG, KGGKG, KGGGK, KGGGG, GKGKG, GKGGK, GKGGG, GGKGK, GGKGG, GGGKG, GGGGK, GGGGG 3 Elde edilen sayılar Fibonacci sayılarıdır 39/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi 40/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi
Şimdi sırada n kişi varken dağıtımların sayısını A n ile gösterelim Buna göre sırada n kişi varken ilk kişiye kömür verildiyse ikinci kişiye gıda verilmek zorunda olduğundan bu şekildeki dağıtımların sayısı A n olur Eğer ilk kişiye gıda verilirse ikinci kişiye herhangi bir yardım verilebileceği için bu şekildeki dağıtımların sayısı A n olur O zaman toplam dağıtım sayısı A n = A n + A n elde edilir Yukarıdaki tablodan A = vea = 3 olduğundan A n = F n+ diyebiliriz Böylece istenen cevap A 0 = F = 44 elde edilir 4/4 AYRIK MATEMATİK 00 0 Güz Dönemi Anadolu Üniversitesi