ANADOU ÜNİVERSİTESİ BİİM VE TEKNOOJİ DERGİSİ ANADOU UNIVERSITY JOURNA OF SCIENCE AND TECHNOOGY Cilt/Vol.:0-Sayı/No: : 397-40 (009) ARAŞTIRMA MAKAESİ /RESEARCH ARTICE TABAKAI TESADÜFİ ÖRNEKEMEDE DOĞRUSA OMAYAN MAİYET KISITI ATINDA ÖRNEK ORTAAMASI İSTATİSTİĞİNİN VARYANSININ MİNİMUM YAPIMASI S. Tuğba ŞAHİN ÖZ Bu çalışmada, Tabakalı Tesadüfi Öreklemede yığıda seçile çaplı öreği, ele alıa doğrusal olmaya maliyet kısıtı altıda tabakalara optimum şekilde paylaştırılması ve agi durumlarda örek ortalaması istatistiğii varyasıı miimum olduğu icelemiştir. Doğrusal maliyet kısıtı kullaıldığıda, tabakalarda bir birim seçmei doğrusal maliyet kısıtı üzerie etkisi bir birim artıştır. Doğrusal olmaya maliyet kısıtı göz öüe alıdığıda ise maliyet kısıtı üzerie farklı artışları etkisi araştırılabilir. Bu çalışmada, doğrusal olmaya maliyet kısıtı üzerideki farklı artışları, örek ortalaması istatistiğii varyasıı asıl etkilediği simülasyo çalışması ile icelemiştir. Aatar Kelimeler : Tabakalı tesadüfi örekleme, Optimum paylaştırma, Doğrusal olmaya maliyet foksiyou, Optimizasyo. MINIMIZING THE VARIANCE OF SAMPE MEAN STATISTIC UNDER THE NON-INEAR COST CONSTRAINT IN STRATIFIED RANDOM SAMPING ABSTRACT Tis study examies te optimal allocatio of te sized sample wic is selected from te populatio i Stratified radom samplig uder te o-liear cost costrait ad te coditios i wic te variace of sample mea statistic is miimal. By usig liear cost costrait, selectig a oe-uit i stratum is caused a oe-uit icrease i liear cost costrait. However, cosiderig te o-liear cost costrait, te impact of diverget icreases o cost costrait ca be ivestigated. I tis study, ow te diverget icreases o o-liear cost costrait effect te variace of sample mea statistic is examied by simulatio study. Keywords: Stratified radom samplig, Optimal allocatio, No-liear cost fuctio, Optimizatio.. GİRİŞ Tabakalı tesadüfi öreklemede e öemli problem belirlemiş örek çapıı örek ortalaması istatistiğii varyasıı miimum yapacak şekilde tabakalara paylaştırmak, agi tabakada kaç birimlik örek seçeceğimize karar vermektir. İyi bir paylaştırma ile, miimum maliyete karşı maksimum duyarlılığı elde edilmesi kastedilmektedir. Tami edicii duyarlılığı varyası ile ölçülmektedir. Tami edicii varyası e kadar küçük ise duyarlılık o derecede yüksektir. Bazı durumlarda sabit bir bütçe ile ala çalışması yapmak gerekebilir. E uygu paylaştırma yötemi, birimlik öreği belli bir maliyet foksiyou altıda, varyası miimum yapacak şekilde tabakalara paylaştırma temelie dayamaktadır. Her bir tabakaı çapı, tabaka, Gazi Üiversitesi, Fe-Edebiyat Fakültesi, İstatistik Bölümü, Tekikokullar, 06500, ANKARA email: siemsai@gazi.edu.tr Geliş: 0 Mart 008; Düzeltme: 3 Hazira 008; Kabul: Aralık 008
398 varyasları ve er tabakada bir birim seçme maliyetii birbiride farklı olduğu durumlarda e uygu paylaştırma yötemii kullaılması öerilir. Bu yötem içi kullaıla, doğrusal maliyet foksiyou; = 0 + = c c c olarak taımlaır. Burada, tabaka sayısıı, c araştırma içi ayrıla toplam maliyeti, c 0 ofis giderleri, idari giderler, çalışaları ücretleri vb. sabit maliyetleri, c ise. tabakada bir birim seçme maliyetii ifade etmektedir. Her tabakada seçilecek örek çapıı belirlemesi, eşitlik kısıtlı bir optimizasyo problemidir ve çözüm içi geellikle agrage çarpaları yötemi kullaılır. Maliyet foksiyoumuz doğrusal olduğuda, örek ortalaması istatistiğii varyasıı miimum yapacak değerlerii belirlemesi oldukça kolaydır. Buula birlikte, maliyet foksiyoları doğrusal olmadığıda değerlerii belirlemesi oldukça karmaşıktır. Bu çalışmada, doğrusal olmaya maliyet kısıtı altıda, örek ortalaması istatistiğii varyasıı miimum yapacak değerlerii belirlemesi ile ilgileilecektir. iteratürde öerile ve bu çalışmada kullaılacak doğrusal olmaya maliyet foksiyou aşağıdaki yapıdadır: Doğrusal olmaya maliyet foksiyoları. c c0 t α = +, 0 = α > biçimidedir (Cocra, 977, Brettauer vd., 999). Burada, c : Araştırma içi ayrıla toplam bütçe c 0 : Sabit bütçe t :. tabakaya seyaat maliyeti α : Tabakalara seyaat etmei yada tabakalarda bir birim seçmei maliyet foksiyou üzerie etkisi Aadolu Üiversitesi Bilim ve Tekoloji Dergisi, 0 () olarak ifade edilmektedir. Bu maliyet foksiyou doğrusal olmaya yapıdadır. Tabakalarda bir birim seçme maliyeti çok farklı değil fakat tabakada tabakaya seyaat maliyeti öemli derecede farklılık gösteriyorke bu maliyet foksiyouu kullaılması uygu olur.. c c0 c α = +, 0 = (Ceryak, 00). Burada, α > biçimidedir c : Araştırma içi ayrıla toplam bütçe c 0 : Sabit bütçe c :. tabakada bir birim seçme maliyeti olarak ifade edilmektedir. Bu maliyet foksiyou doğrusal olmaya yapıdadır. Tabakada tabakaya seyaat maliyeti öemli derecede farklı değil fakat tabakalarda bir birim seçme maliyeti farklılık gösteriyorke bu maliyet foksiyouu kullaılması uygu olur. iteratürde uzu yıllardır tabakalı tesadüfi öreklemede örek çapıı tabakalara paylaştırılması problemiyle ilgili çalışmalar yapılmaktadır. Buula birlikte, yapıla çalışmaları çoğu doğrusal maliyet kısıtı altıda örek ortalaması istatistiğii varyasıı miimum yapacak örek çaplarıı buluması üzeriedir (Brettauer vd., 999, Ceryak, 00, Clark ve Steel, 000, Brettauer ve Setty, 995, Bosc ve Wilder, 003, Ka vd., 003, Ka ve Asa, 003, Diaz-Garcia ve Garay-Tapia, 005, Diaz-Garcia, 006, Valliat ve Getle, 997, Semiz, 004, Judez vd., 006).. OPTİMİZASYON TEKNİKERİ Amaç foksiyou yada kısıtlarda eragi birisi doğrusal değil ise, bu problem doğrusal olmaya programlama problemidir. Ele aldığımız çalışmada, em örek ortalaması istatistiğii varyası em de maliyet foksiyou doğrusal değildir. Doğrusal olmaya problemleri çözümüde kullaıla pek çok optimizasyo yötemi bulumaktadır (Bal, 995, Rao, 99, Hamdy, 98). Örek çapıı tabakalara paylaştırılmasıda agrage çarpaları yötemi kullaıldığıda bazı olumsuzluklarla karşılaşıldığıda bu çalışmaı simülasyo deeyide Ku-Tucker yötemi kullaılacaktır.. agrage Çarpaları Yötemi agrage çarpaları yötemi, ister amaç ister kısıt foksiyou doğrusal olsu yada olması eşitlik kısıtlı optimizasyo problemlerii çözümüde kullaıla e yaygı yötemdir.
Aadolu Uiversity Joural of Sciece ad Tecology, 0 () 399 Eşitlik kısıtlı optimizasyo problemi aşağıdaki gibi verilsi: Mi f = f ( x) gi ( x ) = 0 i =,,..., Burada f ( x ) amaç foksiyouu, gi ( x ) i. kısıtı, m kısıtları sayısıı göstermek üzere; X = ( x, x,..., x ) ve m dir. Heragi bir kısıtı sağ taraf sabitide(kayağıda) meydaa gele bir birimlik artma yada azalma, amaç foksiyouu e iyi değeride kısıtı karşı gele agrage çarpaı kadar artma yada azalmaya ede olur. Kısıt olarak 0 c c c α = + 0 = m α > maliyet foksiyou kullaıldığıda, örek ortalaması istatistiğii varyasıı miimum yapacak örek çapıı agrage çarpaları yötemiyle elde edilmesi aşağıdaki teoremde verilmiştir. Teorem : c c0 c α = + 0 = α > olmak ü- zere, tabakalı tesadüfi öreklemede belirlemiş bir maliyet C = c' = c c0 içi yai kısıt olarak maliyet foksiyou alıdığıda, örek ortalaması istatistiğii varyası miimumdur ve yığıda seçilmesi gereke örek çapı () eşitliğide elde edilir. α ( / ) ( + α ) C W S c = = α ( W Sc ) = α ( + α ) α Elde edile örek çapı, örek ortalaması istatistiğii varyasıı miimum yapacak şekilde tabakalara; () Ku-Tucker yötemi eşitsizlik kısıtlarıı, eşitlik kısıtı alie getirerek, geel agrage foksiyou oluşturma temelie dayaır. Problemi geel yapısı; Max f ( x ) g ( x) b 0 i =,,..., m i i biçimidedir. Böyle problemleri çözümüde Ku-Tucker(K-T) şartlarıda yararlaılır. Buu içi de eşitsizlik kısıtları uygu değişkeleri kullaılmasıyla eşitlik durumua getirilir. Uygu oktalar, bu foksiyou gerek şartlarıda elde edilir. Yukarıdaki kısıtlayıcılar si 0 aylak değişkei kullaılarak eşitlik durumua getirilir. Ayrıca bizim ilgilediğimiz problem varyası miimum yapmak olduğuda, kurduğumuz modeli çevirerek yai miimum problemii maksimum problemie çevirerek işlem yapabiliriz. Tabakalı tesadüfi örekleme içi, verile eragi doğrusal yada doğrusal olmaya maliyet kısıtı altıda varyası miimum yapacak ları belirlemek Ku-Tucker yötemide, agrage yötemide olduğuda çok daa zor ve zama alıcıdır. agrage yötemide elde edile Teorem e bezer geellemeler elde etmek eredeyse imkasızdır. Çükü Ku- Tucker yötemide, agrage çarpaları λ i leri farklı durumları içi mümkü çözümü bulmak gerekir. Buula birlikte, agrage çarpaları yötemi N kısıtıı göz öüe alamadığı içi elde edile çözümlerde > N yada > N gibi souçlarla karşılaşmak mümküdür. Ku-Tucker yötemide N ( =,,, ) eşitsizlik kısıtıda göz öüe alıdığıda bu olumsuzluk ortada kalkmış olur. Bu edele bu çalışmada Ku-Tucker yötemi kullaılmıştır. Yukarıda basedile durumu göstere küçük bir örek verelim. = ( W S / c) ( W S / c) = ( + α ) ( + α ) olarak paylaştırılır (Ceryak, 00).. Ku-Tucker Yötemi () Örek: 500 tae süpermarket ala büyüklüklerie göre tabakalamıştır. Bu marketlerdeki çalışa sayısı tami edilmek istemektedir. Daa öceki yıllarda tabaka stadart sapmaları ve er tabakada bir birim seçme maliyetleri aşağıda verildiği gibidir. Bu yötem, eşitsizlik kısıtlı optimizasyo problemlerii çözümüde kullaılmaktadır.
400 Tabaka N S Büyük Market 80 Orta Market 60 8 4 Küçük Market 60 4 9 Toplam 500 c (YT) Bu araştırma içi 5000YT. ayrılmış ve sabit masraflar içi 3000YT. arcamıştır. Maliyet foksiyouu doğrusal olduğuu varsayarak bu bütçe plaıa göre varyası miimum yapacak şekilde er tabakada kaç örek seçilmelidir? Cevap:.yol: İlk olarak; Ceryak tarafıda N kısıtı göz ardı edilerek, agrage çarpaları yötemi ile elde edile Teorem i kullaarak örek çapı i bulup, tabakalara paylaştıralım. Maliyet kısıtımızı doğrusal olduğuu varsayalım. Doğrusal maliyet kısıtı 3 c= c + c olmak üzere; 0 = C = c' = c c0 = 5000 3000 = 000 olarak elde edilir. C WS / c = = = 586.34 586 WS c = = WS = / WS / c c olmak üzere; = 89.0 89, = 9.67 93, 3 = 04.3 04 olarak elde edilir. Görüldüğü gibi, = 89, N = 80 olduğuda > N dir. = 94, N = 60 olduğuda > N dir. 3 = 04, N 3 = 60 olduğuda 3 < N3 dür. agrage çarpaları yötemi N kısıtıı göz öüe almamıştır. Dolayısıyla Aadolu Üiversitesi Bilim ve Tekoloji Dergisi, 0 () = 586 > N = 500 çıkmıştır. Bu durum varyası egatif çıkmasıa ede olur. Bu agrage yötemii dezavatajıdır..yol: Ayı problemi Ku-Tucker yötemii kullaarak ve N ( =,,3 ) kısıtıı göz öüe alarak çözümleyelim. Model: 3 3 W S W S mi V( xtb ) = mi = = N 3 = c = c' = C N N N 3 3 3,6864 6,5536 4,364 3,6864 6,5536 4,364 mi V( x tb ) = + + 80 60 60 3 3 + 4 + 9 = 000 80 60 3 60 olmak üzere, problemimizi maksimum problemie döüştürüp, eşitsizlik kısıtlarıı eşitlik kısıtı alie getirirsek; max V( xtb) 3 3,6864 6,5536 4,364 = + sabit + 4 + 9 = 000 s 80 3 + = + s 80 = 0 s 60 + = + s 60 = 0 3 s3 60 + = 3+ s3 60 = 0 elde edilir. Geel agrage foksiyou;
Aadolu Uiversity Joural of Sciece ad Tecology, 0 () 40 3,6864 6,5536 4,364 (, λ, s) = + sabit + 4 + 93 000 3 λ ( ) ( s 80) ( s 60) ( s 60) λ + λ + λ + 3 4 3 3 Ku-Tucker gerek şartları: (, λ, s) 3, 6864 = λ λ = 0. (, λ, s) 6,5536 = 4 λ λ3 = 0 (, λ, s) 4,364 = 9 λ λ4 = 0 3 3 (, λ, s) = + 4 + 9 = 000 λ. 3 (, λ, s) = + s 80 = 0 80 λ (, λ, s) = + s 60 = 0 60 λ 3 (, λ, s) = 3+ s3 60 = 0 3 60 λ 4 (, λ, s) = λ s = λ ( 80) = 0 s 3. (, λ, s) = λ3s= λ3( 60) = 0 s (, λ, s) = λ4s3= λ4( 3 60) = 0 s 3 4. λ serbest λ, λ 3, λ4 0 ** λ 0, λ 0, λ3 0, λ 4 = 0 olsu. Bu durumda; = 80, = 60, 3 = 4 λ = 0, 00055 0 λ 3 = 0, 0006 0 olarak elde edilir. * * (, λ ) = (80; 60; 4; 0,0000384; 0,00055; 0,0006; 0) optimum çözümdür. Her tabaka içi N kısıtı sağlamıştır. Ayrıca; = 80 + 60 + 4 = 38 olarak elde edilir ve = 38 < N = 500 dür. 3. SİMÜASYON DENEYİ Simülasyo çalışması MATAB programı kullaılarak yapılmıştır. Bu çalışmadaki modelleri çözümü içi, MATAB programıda doğrusal ve doğrusal olmaya programlama alt modüllerii kullaıldığı program yazılmıştır. Simülasyo souçlarıı alıdığı bilgisayar Petium(R)4 CPU.60GHz., 48MB RAM özelliklerie saiptir. 3. c' = t α Kısıtı Altıda V( x ) ı = Miimum Yapılması Bu bölümde, = c' = t α doğrusal olmaya maliyet kısıtı göz öüe alıacaktır. Her zama er tabakada bir birim seçmei yada er tabakaya seyaat etmei, maliyet foksiyou üzerie etkisi bir birim artış olarak yasımamaktadır. α değeri, tabakalara seyaat yada tabakalarda bir birim seçmei maliyet foksiyou üzerie etkisii yasıtmaktadır. Bu bölümde, α > 0 olmak üzere; α ya bağlı maliyet kısıtıa ilişki simülasyo deeyi yapılarak, α ı agi değerleri içi yapıla örek çapı paylaştırılmasıı örek ortalaması istatistiğii varyasıı miimum yaptığı iceleecektir. Bu maliyet kısıtı yardımı ile varyas değerii buluması içi 000 tekrarlı Mote Carlo simülasyou kullaılacaktır. Simülasyo çalışmasıda yığı çapı ( N ), yığıda seçilecek örek çapı ' ( ), bütçe ( c ), tabakada tabakaya seyaat maliyeti ( t ) ve α başlagıçta verilmiştir. Belirlee doğrusal olmaya maliyet kısıtı altıda, örek ortalaması istatistiğii varyasıı miimum yapılması içi kullaılacak model aşağıdaki gibidir. λ = 0, 0000384 serbest
40 Model : Mi V ( x ) = α t = = ' c r k =,..., Oluşturula model de amacımız, örek ortalaması istatistiğii varyasıı miimum yapmaktır. Kullaıla ilk kısıt; tabakada seçilecek örek çapları ( ları) toplamıı, yığıda seçilmesi istee çaplı öreğe eşit olması kısıtıdır. İkici kısıt; gerçek uygulamalar içi büyük öem taşıya maliyet kısıtıdır. Amacımız, araştırma içi ayrıla bütçei epsii kullamada duyarlılığı arttırmak olduğuda bu kısıt eşitsizlik kısıtı olarak ele alımıştır. Modeldeki so kısıt ise; agrage çarpaları yötemide ortaya çıka, bir tabakada seçile örek çapıı, o tabakaı çapıda büyük olması gibi bir durumu ortada kaldırmak içi modele komuştur. r k kısıtıda alt sıır r = alımıştır. Buu edei s ( ) = xi x olması ve = durumuda s i= i belirsiz olmasıdır. Üst sıır içi ise. tabakadaki örek çapıı alabileceği e büyük değer ( k = N ) verilmiştir. Bu çalışmada, modelde tabaka varyaslarıı ve tabakalara paylaştırılacak örek çapıı öcede bilidiği varsayılmaktadır. Buula birlikte yığı çapı büyük olduğuda tabaka varyaslarıı ve yığıda seçilecek örek çapıı belirlemesi zordur. Buu içi yığıda seçile bir pilot örek yardımı ile tabaka varyasları tami edilip, yığıda seçilecek örek çapı belirleebilir (Brettauer, 999, Yamae, 967, Hase vd., 953). Ayrıca, bu çalışmada tabakalardaki örek çapı içi tamsayı kısıtıa yer verilmemiştir. Çükü tamsayı kısıtıı sağlayacak örek çaplarıı buluması mümkü çözümleri sayısıı oldukça azaltmaktadır. Amacımız bu maliyet kısıtı altıda varyası bulmak olduğuda mümkü çözümleri sayısıı artırılması edeflemiş ve bulua örek çapları tamsayı değerlere yuvarlamıştır. Tabakalardaki örek çaplarıı tamsayı olması kısıtı da modele ekleir ise, tamsayılı programlama tekiği ile çözüm yapılabilir. Modeli çözümüde, kısıtlı optimizasyo problemleride Aadolu Üiversitesi Bilim ve Tekoloji Dergisi, 0 () uygulaa yötemlerde biri ola Ku-Tucker yötemi kullaılmaktadır. Buda soraki yapılacak işlemler aşağıdaki adımlara göre yapılacaktır. Adım : Tabaka çaplarıı belirlemesi içi Normal dağılımda N birimlik sayı üretilip, kullaıla Normal dağılımı ortalaması ve kaç tabaka olduğu dikkate alıarak belirlee tabaka sıırları çerçeveside tabaka çapları ve tabakalardaki birimler elde edilmiştir(öreği iki tabaka durumuda ortalamaı üstüdeki birimler bir tabakaya, ortalamaı altıdaki birimler ise diğer tabakaya atılarak omoje tabakalar elde edilmiştir). Adım : Belirlee tabakadaki birimler yardımı ile tabaka varyasları esaplamıştır. Adım 3: Belirlee maliyet kısıtı altıda oluşturula modeli çözümleri yapılmış, varyas değerleri ve CPU süreleri saiye olarak elde edilmiştir. Doğrusal olmaya optimizasyo tekikleride, modeli çözülebilmesi içi bir başlagıç oktasıa itiyaç duyulmaktadır. Başlagıç oktası, araştırmacıı yada uzmaları kouyla ilgili ögörüleri dikkate alıarak belirleebilir. Bu çalışmada modeli çözümü içi gerekli ola başlagıç oktası, örek çapı içi belirlee alt ve üst sıır arasıda ortalama bir değer olarak seçilmiştir. Adım 4: Adım --3 000 defa tekrar edilmiştir. Adım 5: Souçları geelleebilmesi içi 000 tekrardaki varyas ve CPU sürelerii ortalaması alıarak, tabakalarda seçilecek optimum örek çapları, varyas ve CPU süreleri saiye olarak elde edilmiştir. Simülasyo çalışması maliyetleri farklı değerleri altıda yapılmıştır. Simülasyo çalışması iki, üç, dört ve beş tabaka içi yapılmış, souçlar dört farklı tabaka sayısı içi geelleebildiğide daa fazla tabaka sayısı dikkate alımamıştır. Souçlar Tablo -3 de özetlemiştir. Tablolarda koyu rekle ifade edile rakamlar mümkü çözümü sağlamadığıı ifade etmektedir. Mümkü çözümü sağlamaması ile; - Modeldeki ilk kısıt yai tabakalarda seçile örek çapları toplamıı, toplam örek çapı değerie eşit olmaması ( ) = - Araştırma içi ayrıla bütçe kısıtıı aşılması α ' ( t > c) = = ve = 3- α ' t c kısıtlarıı ayı = ada sağlamaması durumları kastedilmektedir.
Aadolu Uiversity Joural of Sciece ad Tecology, 0 () 403 Tablo. İki Tabaka Durumu N = 500, = 00, c ' = 500, t = ve t = α V ( x) 0, 50,5360 49,4640,7 9,953 4,37 0,4 50,0070 49,9930,655 95,9688 9,5635 0,5 49,8990 50,00,550 95,8750 4,4 0,6 49,60 50,3890,77 97,9063 0,96 0,8 50,080 49,890,693 96,3906 45,7304 49,5870 50,430,70 96,88 00, 50,640 49,8360,639 96,953 8,677,5 39,5730 39,7700,5468 00,4844 499,7455,8,540,440 3,70 0,3438 499,4304 5,8030 5,890 4,3036 05,79 500,9 Tablo. İki Tabaka Durumu N = 500, = 00, c ' = 000, t = ve t = 50 α V ( x) 0, 50,060 49,9390,64 89,8594,4968 0,4 49,580 50,480,63 96,453 44,7707 0,5 49,6980 50,300,6 96,88 36,669 0,6 49,750 50,480,749 95,8438 534,7994 0,8 59,0030 40,9970,7 08,6406 00,5 8 8,600 0,033 98, 63,6700 0,8040 3,7567 4,533 05,6,5 3,870 6,4550 6,4354,500 994,658,8 8,9660 4,970 9,3899 99,783 096, 4,6070 4,0000,3667,6875 03,4
404 Aadolu Üiversitesi Bilim ve Tekoloji Dergisi, 0 () Tablo 3. İki Tabaka Durumu N = 500, = 00, c ' = 000, t = 50 ve t = α V ( x) 0, 49,850 50,750,589 97,4375,4478 0,4 49,8430 50,570,596 97,5063 43,5753 0,5 49,6890 50,30,506 95,8594 359,545 0,6 50,50 49,8480,84 98,0938 534,0 0,8 4 59,90 9,8594 00,5 8 8,495 00,0938 98, 0,860 6,450 3,738 5,6094 07,9,5 6,4800 3,0070 6,496,7656 997,485,8 4,9830 8,80 9,446 08,953 097,4 4,0000 4,670,06 3,83 05,3 Tablo 4. İki Tabaka Durumu N = 500, = 00, c ' = 500, t = 5 ve t = 35 α V ( x) 0, 49,9840 50,060,598 98,3750 3,048 0,4 49,8050 50,950,7 96,6094 86,9798 0,5 50,780 49,70,54 97,88 44,0659 0,6 49,9690 50,030,578 97,406 67,46 0,8 49,9660 50,0340,673 99,033 37 7,300 3,3600,664 97,5469 500,3, 5,8650 3,6870 4,643 0,9844 497,8,5 9,80 8,080 8,469 03,7344 494,3,8 6,3060 5,890,839 07,783 53,7 5,840 4,9390 4,336,99 55,6
Aadolu Uiversity Joural of Sciece ad Tecology, 0 () 405 Tablo 5. İki Tabaka Durumu N = 750, = 5, c ' = 3000, t = 5 ve t = 5 α V ( x) 0, 6,6600 6,3400 0,9688 83,50 45,788 0,4 6,7880 6,0 0,9677 8,85 04,4673 0,5 6,5950 6,4050 0,9595 8,5469 58,0538 0,6 6,7770 6,30 0,978 83,4688 38,7697 0,8 6,6570 6,3430 0,969 83,3438 546,35 6,600 6,3800 0,964 83,650 48,8, 6,880 6,90 0,966 84,7500 847,7,5 37,8650 4,600,659 93,99 997,4,8,80 4,90 4,050 9,500 989,9 5,670 0,960 5,469 9,6094 305,4 Tablo 6. İki Tabaka Durumu N = 000, = 50, c ' = 4000, t = 0 ve t = 5 α V ( x) 0, 75,60 74,8390 0,857 85,3438 59,809 0,4 75 75 0,86 84,533 40,5933 0,5 75,80 74,890 0,865 84,8750 6,4539 0,6 74,6790 75,30 0,886 7,783 333,579 0,8 74,8650 75,350 0,833 86,078 790,886 74,7950 75,050 0,809 75,7969 876,0, 76,0860 63,630 0,9067 96,783 3999,03,5 3,3500 7,4530,904 9,406 3997,6,8 8,800 5,770 4,586 87,3906 3999,7 3,660,9430 5,578 90,6406 4005,8
406 Aadolu Üiversitesi Bilim ve Tekoloji Dergisi, 0 () Tablo 7. İki Tabaka Durumu N = 50, = 00, c ' = 5000, t =.5 ve t = 5 α V ( x) 0, 99,5480 00,450 0,6096 87,4375 43,9409 0,4 99,8650 00,350 0,6094 87,50 0,390 0,5 00,6780 99,30 0,5939 86,9063 75,53 0,6 00,040 99,9860 0,6075 87,563 77,3663 0,8 00,3440 99,6560 0,67 86,79 697,5086 00,0090 99,990 0,66 87,88 750,, 99,6590 00,340 0,6080 87,3594 4388,,5 38,650 55,330,493 96,4688 4999,6,8 0,660 8,630,934 90,35 4998,6 5,00 0,6060 4,0480 9,6875 4980,7 Tablo 8. Üç Tabaka Durumu N = 3000, = 50, c ' = 3000, t = 0, t = 7.5 ve t 3 = 5 α 3 V ( x) 0, 55,8490 38,0880 56,0630 46,3735 79,788 49,0749 0,4 55,9470 38,850 55,8680 46,590 79,533 07,073 0,5 55,9790 38,0860 55,9350 46,007 78,8594 58,4993 0,6 55,8680 38,0990 56,0330 46,395 78,9063 34,364 0,8 55,90 38,0940 55,9840 46,05 8 53,777 56,0600 38,0780 55,860 46,340 79,500 5,5, 56,0070 38,50 55,8680 46,860 79,03 469,6,5 5,5800,0760 33,7460 90,04 9,5000 999,6,8 4,930,590 8,9660 57,0905 83,578 3006,9,60 9,70 4,50 09,605 83,875 980,9
Aadolu Uiversity Joural of Sciece ad Tecology, 0 () 407 Tablo 9. Üç Tabaka Durumu N = 5000, = 50, c ' = 4500, t = 5, t = 0 ve t 3 = 5 α 3 V ( x) 0, 93,740 63,4730 93,530 7,747 8,656 7,4773 0,4 93,840 63,370 93,3450 7,80 8,783 75,368 0,5 93,70 63,50 93,60 7,7007 8,3594 7,839 0,6 93,750 63,3950 93,4300 7,8450 8,38 44,7575 0,8 93,590 63,540 93,370 7,7367 8,500 030,0 93,80 63,570 93,470 7,756 83,3906 500,3, 00,7380 5,7430 6,770 34,3979 07,056 4499,7,5 4,490 3,090 6,660 8,0479 97,6094 4499,3,8,7460 3,400 5,30 44,989 84,0938 447,7 6,8300 0,340,7900 93,6840 8,3750 458,3 Tablo 0. Üç Tabaka Durumu N = 0000, = 500, c ' = 5000, t = 5, t = 75 ve t 3 = 50 α 3 V ( x) 0, 86,690 6,940 86,4450 3,905 0,406 38,547 0,4 86,600 6,7870 86,5850 3,9005 0,578 046,7 0,5 86,6980 7,030 86,950 3,8839 0,094 73,7 0,6 87,080 6,8370 86,330 3,93 99,033 867,5 0,8 06,8670 55,00 05,6990 4,4340 7,650 5000 76,690 3,3480 4,9550 57,090,679 4999,, 39,050 3,70,6580 06,0764 00,88 498,9,5 9,790 7,880,0090 97,443 96,85 5036,9,8,90 5,0000 8,0000 99,435 0,85 48, 9,9570 4,0360 6,590 368,604 5,8750 488,3
408 Aadolu Üiversitesi Bilim ve Tekoloji Dergisi, 0 () Tablo. Üç Tabaka Durumu N = 0000, = 500, c ' = 000, t = 5 t = ve t 3 = α 3 V ( x) 0, 86,530 6,990 86,5400 3,899 89,078 48,67 0,4 86,6050 6,800 86,5930 3,9 89,953 36,5035 0,5 86,6390 6,8000 86,560 3,8763 90,578 9,843 0,6 86,70 6,90 86,850 3,90 90,650 386,5847 0,8 86,4670 6,80 86,70 3,969 90,703 096,8 07 59,700 33,800 6,399 94,3750 998, 4,4440 03,40 44,7870 34,958 06,565 999,6,5 9,4630 4,380 57,5350 80,7036 0,6094 998,9,8,960 3,990 30,5360 40,9389 90,344 057, 9 7,0690,360 86,450 84,065 996,4 Tablo. Üç Tabaka Durumu N = 0000, = 500, c ' = 000, t =, t = 75 ve t 3 = α 3 V ( x) 0, 86,9770 6,900 86,0 3,906 88,3438 03,764 0,4 86,740 6,9930 86,930 3,897 74,8750 536,8748 0,5 86,0 6,830 86,9480 3,8897 9,078 87,9637 0,6 86,550 6,9370 86,5480 3,905 9,79 47,6 0,8,8060 54,960,680 7,006 90,969 999,7 39,890 0,590 39,8500 3,0836 96,6563 999,, 5,780,30 6,0580 58,060 9,969 979,5,5 50,730 6,9930 50,70,047 95,8438 09,5,8 8,3770 5 8,340 73,6306 86,3438 8,9,090 4,000 9,07 85,563 084,
Aadolu Uiversity Joural of Sciece ad Tecology, 0 () 409 Tablo 3. Üç Tabaka Durumu N = 0000, = 500, c ' = 000, t =, t = ve t 3 = 50 α 3 V ( x) 0, 86,490 6,9040 86,6040 3,9059 90,38 47,763 0,4 86,3540 6,800 86,8450 3,9 89,8906 40,30 0,5 86,6590 6,8040 86,5370 3,8973 89,650 707,857 0,6 86,7340 6,8480 86,480 3,975 9,9375 9,8 0,8 4,90 65,470 9,840 7,3643 00,679 000 9,000 54,9970 3,670 38,863 97,03 99,3, 04,3640 73,5030 7,8450 73,446 4,6563 05,8,5 46,0440 33,7970 9,9830 4,575 98,065 086,8 6,080 9,7890 6,0700,6737 85,35 853 9,4380 5,080 5 76,3573 84,88 853,7 Tablo 4. Üç Tabaka Durumu N = 0000, = 500, c ' = 550, t =, t = ve t 3 = α 3 V ( x) 0, 86,6570 6,9600 86,3600 3,909 0,5469 8,355 0,4 86,6550 6,780 86,5790 3,8988 0,453 3,339 0,5 86,860 6,9890 86,7600 3,8790 0,0469 38,5836 0,6 86,960 6,8870 86,900 9,8953 0,4688 64,3637 0,8 86,380 7,030 86,650 3,893 0,556 79,967 86,700 6,9830 86,3440 3,887 0,656 500, 85,0070 59,970 85,400 3,45 0,578 549,935,5 35,960 5,8940 35,450 75,4666 90,7969 549,8099,8 9,6050 4,9500 9,5590 35,7870 9,99 553,549 4,5990,0490 4,690 8,575 86,96 549,88
40 Aadolu Üiversitesi Bilim ve Tekoloji Dergisi, 0 () Tablo 5. Dört Tabaka Durumu N = 4000, = 00, c ' = 5000, t = 5, t = 7.5, t 3 = 0 ve t 4 =.5 α 3 4 V ( x) 0, 64,90 35,080 34,950 65,450,84 80,650 75,9639 0,4 65,770 34,9070 34,970 64,9440,70 80,3906 65,4544 0,5 64,8050 35,0550 35,0450 65,0950,006 80,49 44,7068 0,6 64,850 35,00 34,8980 65,560,567 80,88 36,0544 0,8 64,7780 34,9680 34,8790 65,3750,43 78,875 795,0738 65,0680 34,9330 34,890 65,080,50 78,969 750,, 64,7480 35,0570 34,9750 65,00,94 79,0938 3873,,5 4,390,9000 9,5640 9,3500 39,490,4063 4998,5,8 3,50,8980,6470 6,790 69,9304 97,344 5006,4 7,300 9,9550 8,9940,6690 93,36 94,783 505,7 Tablo 6. Dört Tabaka Durumu N = 8000, = 400, c ' = 7500, t = 5, t = 0, t 3 = 0 ve t 4 = 5 α 3 4 V ( x) 0, 9,9550 69,930 69,9760 30,370 0,559 89,35 76,0596 0,4 30,30 69,950 69,8460 9,980 0,5695 90,38 444,389 0,5 9,9670 70,050 69,9840 30,0340 0,5033 89,5938 707,09 0,6 30,0330 70,090 70,0060 9,930 0,579 89,4844 5,8 0,8 9,7960 69,9540 69,9350 30,350 0,577 9 863, 30,80 69,9070 69,9530 9,8580 0,549 90,703 798,35, 66,370 3,9870 45,300 5,5000,755 4,078 7499,,5 9,350 5,8800 0,90 3,8300 50,73 09,50 750,8,8 6,900 9,9460,540 4,040 86,80 97,078 759,,9000 7,9470 9,8800 0,980,358 84,8594 7749,9
Aadolu Uiversity Joural of Sciece ad Tecology, 0 () 4 Tablo 7. Dört Tabaka Durumu N = 0000, = 000, c ' = 0000, t = 75, t = 80, t 3 = 65 ve t 4 = 90 α 3 4 V ( x) 0, 79,6830 67,60 66,850 736,80,809 00,4688 060,6 0,4 730,9580 66,3950 66,990 736,3470,8004 03,0938 3664,5 0,5 730,9740 67,840 66,0630 735,490,7980 7,4688 6837,5 0,6 446,670 05,4630 35,7800 47,00,9008 0,065 0000 0,8 04,660 50,590 56,8550 94,0590 4,56 9,88 0000 4,540,060 4,4390 38,6600 34,88 08,4063 9999,, 3,0860,8330 3,9980,0 6,8693,8750 003,5,5360 7,90 8,000,7470 3,3536 76,5469 9998,7,8 8,0770 5,0000 5,880 7,9880 68,09 0,03 0039 6,9960 4,00 4,9930 6,0460 05,584 5,340 9875, Tablo 8. Dört Tabaka Durumu N = 0000, = 000, c ' = 8000, t = 75, t =, t 3 = ve t 4 = α 3 4 V ( x) 0, 730,9580 66,3950 66,990 736,3480,8004 93,078 90,956 0,4 733,4450 66,9660 66,480 733,440,800 93,7500 08,7 0,5 73,4930 67,0650 66,7760 734,6660,7995 9,656 088, 0,6 73,990 66,60 67,80 734,30,800 93,7344 4034,8 0,8 38 464,740 464,8480 75,4380,969,79 8005,8 85,9730 440,9640 44,3680 669,7060 6,358,6094 8000, 39,8790 6,090 6,0580 83,500 4,7694 49,6563 807,8,5 8,3330 63,50 63,350 03,6760 34,049 43,6406 7947,3,8 33,40 33,30 5,6990 59,754 9,7344 797,5 8,9500 3,9350 3,900 36,480 79,509 04,9688 8459,4
4 Aadolu Üiversitesi Bilim ve Tekoloji Dergisi, 0 () Tablo 9. Dört Tabaka Durumu N = 0000, = 000, c ' = 8000, t =, t = 80, t 3 = ve t 4 = α 3 4 V ( x) 0, 734,360 66,6700 66,30 73,700,8040 94,6875 55,044 0,4 734,530 66,30 65,6360 733,700,8044 93,344 784,0069 0,5 735,0850 65,4700 66,340 733,0,7948 93,565 373,9 0,6 734,750 66,930 67,540 73,640,7984 94,0469 48,5 0,8 73,900 66,7080 65,9300 734,4600,804 93,533 7460, 794,9380 76 38,5650 800,4970,8934 04,3438 8004, 390,340 30,500,4000 389,450 7,0655 54,8438 7990,,5 33,3440 4,000 80,950 33,0030 8,0806 5,7969 799,6,8 63,90 8,3480 40,530 6,9770 34,088 33,4375 7906, 4,980 6,9340 8,4330 43,0580 47,7,6563 8356,3 Tablo 0. Dört Tabaka Durumu N = 0000, = 000, c ' = 8000, t =, t =, t 3 = 65 ve t 4 = α 3 4 V ( x) 0, 733,9470 66,6630 66,5090 73,880,8073 87,453 09,746 0,4 734,7960 66,80 65,5570 733,4650,8067 93,078 643,4906 0,5 733,500 65,8700 65,970 734,9090,7994 9,9375 30,55 0,6 735,470 66,40 66,460 73,0950,8033 9,7344 987,9 0,8 734,4080 66,6640 66,0880 73,8400,8034 94,79 640,8 789,940 36,8070 94 789,790,569 05,875 806, 408,3670 3,60 34,7950 407,860 6,3353 57,6094 8006,,5 37,000 83,3690 5,8570 36,70 6,8009 56,406 8067,8,8 65,900 4,3000 9,070 64,90 3,3097 33,9063 7809,7 43,7630 8,8490 7 43,6560 45,4 4,4063 7838,3
Aadolu Uiversity Joural of Sciece ad Tecology, 0 () 43 Tablo. Dört Tabaka Durumu N = 0000, = 000, c ' = 8000, t =, t =, t 3 = ve t 4 = 90 α 3 4 V ( x) 0, 733,390 66,890 66,0370 734,4550,8058 94,406 346,7008 0,4 733,580 66,680 66,770 733,0630,8099 93,88 9,5 0,5 736,00 66,9640 65,7400 73,840,794 95,83 493,6 0,6 736,8490 65,8070 65,40 73,00,8086 90,500 489, 0,8 759,940 494,3640 494,340 5,540 3,8594 799,6 633,3890 40,60 40,30 7,960 7,408 0,35 8000,3, 68,6760 5,770 5,6600 34,780 6,7067 49,8594 803,4,5 00,3370 60,8700 60,8050 6,5960 37,4735 39,969 8038,9,8 50,50 3,380 3,4450 0 64,059 7,49 789,4 35,4930 3,4530 3,460 8 84,536 04,9375 80, Tablo. Dört Tabaka Durumu N = 0000, = 000, c ' = 000, t =, t =, t 3 = ve t 4 = α 3 4 V ( x) 0, 733,8060 66,0760 66,50 733,5850,803 0,4844 3,5948 0,4 73,7840 66,540 66,5630 735,060,8038 0,9844 46,6798 0,5 73,4390 66,3930 67,3550 734,850,800 0,094 86,853 0,6 79,6830 67,60 66,850 736,80,809 0,7500 6,8738 0,8 73,990 66,60 67,80 734,3090,800 0,35 566,496 36,40 74,940 74,980 33,8370 3,9604 0,8506 000, 5,8850 7,6550 7,7770 6,0640 0,8408 9,9375 999,5 48,630 9,6350 9,5750 48,5860 8,96 30 999,9700,8 5,6830 6,470 6,500 5,6880 5,935 88,5469 000, 8,7340,60,940 8,6870 7,4894 77,9688 996,7503
44 Aadolu Üiversitesi Bilim ve Tekoloji Dergisi, 0 () Tablo 3. Beş Tabaka Durumu N = 4000, = 00, c ' = 8000, t = 6, t = 8, t 3 = 5, t 4 = 4 ve t 5 = α 3 4 5 V ( x) 0, 5,0800 5,40 35,5630 47,0860 50,8490 3,4838 98,679 4,5759 0,4 5,330 5,530 35,500 46,8080 5,0440 3,553 96,8438 40,88 0,5 5,0030 5,500 35,4730 46,9660 5,0380 3,47 95,056 348,63 0,6 50,7970 5,5460 35,5830 47,70 50,9470 3,506 94,5000 505,555 0,8 5,840 5,5460 35,50 46,7690 50,9890 3,6053 94,8590 070,86 50,890 5,480 35,6600 47,090 5,000 3,4974 94,5000 7,, 5,0090 5,540 35,7360 46,9490 50,7640 3,547 94,7344 4844,7,5 8,960 4,70,830 47,0800 3,570 48,046 5,563 7998,39,8 6,5080 8,9890 3,000 5,4070 8,760 86,557 7,065 7995,08,40 7,00 9,9890 8,6890 3,660 5,305 0,6094 7996,87 Tablo 4. Beş Tabaka Durumu N = 8000, = 600, c ' = 8000, t = 0, t = 5, t 3 = 0, t 4 = 7.5 ve t 5 = 5 α 3 4 5 V ( x) cpu Kul.Bütçe 0, 54,360 46,5000 06,8630 39,6450 5,8560 0,553 36,788 50,30 0,4 53,500 46,5330 06,950 39,880 53,40 0,5004 35,9688 394,07 0,5 53,4850 46,4830 06,8380 39,6830 53,50 0,4955 40,4063 639,93 0,6 53,5980 46,330 06,7630 39,760 53,5470 0,504 38,35 037, 0,8 53,090 46,5730 06,90 39,860 53,5970 0,497 35,9844 739,90 53,330 46,5700 06,8450 39,6390 53,650 0,566 37,83 754,57, 56,830 6,840 87,480 58,000 35,840 0,7360 90,79 7998,5,5 58,4860 9,8400 33,40 6,3830 49,8880 9,873 7,094 7996,,8 9,9830 6,430 8,0670 3,3680 6,090 57,9640 9,0938 7984,6,5080,60 3,340,390 8,7850 80,8449 6,406 7943,
Aadolu Uiversity Joural of Sciece ad Tecology, 0 () 45 Tablo 5. Beş Tabaka Durumu N = 000, = 3000, c ' = 5000, t = 40, t = 50, t 3 = 30, t 4 = 45 ve t 5 = 60 α 3 4 5 V ( x) cpu Kul.Bütçe 0, 80,4740 37,8370 458,0980 700,840 800,7540,636 3,578 799,457 0,4 799,390 38,0600 458,7630 70,30 80,6050,6374 3,065 863,8 0,5 799,550 38,0970 460,450 70,9960 799,880,6339 3,788 5435,5 0,6 798,3360 37,7940 459,7900 70,3600 80,7030,6366 3,565 0337 0,8 505,4980 9,940 404,8550 435,3870 4,7380 3,0669 84,5469 500 50,5730 40,930,050 3,3670 3,0760,689 4,5469 4999, 66,5880 0,3390 54,4390 58,4370 55,3340 6,7940 60,96 4999,5 9,660 0,640 4,4630 6,080 4,8050 60,5490 40,078 4967,8 6,8570 6,800 4,300 5,0540 4,570 03,597,065 5033,8550 5,0580 0,9990,7030,090 35,4833 99,5938 4967 Tablo 6. Beş Tabaka Durumu N = 000, = 3000, c ' = 0000, t = 40, t =, t 3 =, t 4 = ve t 5 = α 3 4 5 V ( x) cpu Kul.Bütçe 0, 804,3730 37,600 458,8380 70,0330 798,540,6368 8,094 66,365 0,4 803,90 37,700 458,5760 70,6080 799,570,6373 9,453 69,490 0,5 799,7370 37,9840 459,090 70,700 800,5400,636 9,783,83 0,6 80,5740 37,680 458,060 70,4630 80,650,6367 0,065 38,55 0,8 80,530 38,760 458,9450 699,9500 80,970,6378 8,49 903,43 435,8980 458,30 547,0640 736,4090 8,4970,930,4375 0000, 4,440 4,60 475,7090 65,980 666,340 4,893 75,03 000,3,5 45,3330 76,3680 48,90 85,3750 98,300 5,64 88,0938 9997,4,8 3,670 37,080 66,9970 8,8030 86,7390 3,964 58,8594 9908,9 6,8590 5,7830 44,8550 54,0380 57,0700 47,7560 34,7500 0,8
46 Aadolu Üiversitesi Bilim ve Tekoloji Dergisi, 0 () Tablo 7. Beş Tabaka Durumu N = 000, = 3000, c ' = 0000, t =, t = 50, t 3 =, t 4 = ve t 5 = α 3 4 5 V ( x) cpu Kul.Bütçe 0, 80,390 37,9440 458,630 700,30 800,80,6366,056 64,07 0,4 8,830 37,6450 456,570 697,840 796,740,645 8,783 500,36 0,5 803,00 38,00 459,530 700,4850 799,380,636 0,578 875,887 0,6 80,3360 37,570 459,040 700,780 80,50,637,8906 53,68 0,8 80,70 37,840 458,9440 700,360 80,760,6383 8,783 475,54 800,830 37,9560 459,5050 704,4500 797,9060,643 8,99 4659,8, 84,070 76 566,8990 730,370 8,6590,8779 30,875 9994,6,5 6,5470,570 96,45 45,7060 63,0980 7,3748 00,3438 999,3,8 07,5760,400 83,80 0,430 07,5870 7,7049 6,9844 996,5 68,4990 8,0 53,7960 64,8340 68,400 7,359 45,6406 9849,5 Tablo 8. Beş Tabaka Durumu N = 000, = 3000, c ' = 0000, t =, t =, t 3 = 30, t 4 = ve t 5 = α 3 4 5 V ( x) cpu Kul.Bütçe 0, 803,0390 37,9740 458,700 70,7390 798,580,6375 0,7659 6,5076 0,4 798,3360 37,7940 459,7900 70,3600 80,700,6366 9,0469 400,78 0,5 799,9430 37,6850 458,50 70,8540 80,9960,636 8,578 740,906 0,6 800,90 37,800 459,50 70,7490 800,6800,6353 7,065 375,3 0,8 800,8590 38,30 458,4350 70,0570 800,480,6355 0,9063 477,3 804,450 37,9730 458,0730 700,3540 799,490,637 8,4688 684,, 89,360 8,60 6,670 748,070 88,30,7875 58,094 9998,5 3,980 89,350 44,4760 6,9730 3,730 0,303 83,9688 9999,4,8 97,900 4,700,350 9,070 97,9580 3,4706 59,7656 9955,5 63,060 8,570 5,9980 59,6930 63,950 35,36 43,4375 0030,5
Aadolu Uiversity Joural of Sciece ad Tecology, 0 () 47 Tablo 9. Beş Tabaka Durumu N = 000, = 3000, c ' = 0000, t =, t =, t 3 =, t 4 = 45 ve t 5 = α 3 4 5 V ( x) cpu Kul.Bütçe 0, 800,900 38,0970 459,090 700,6730 80,8490,6364,3438 80,8574 0,4 805,0900 37,9340 457,070 699,8840 799,8850,6409 0,7969 667,8743 0,5 795,5690 38,390 460,7530 70,930 80,660,639 8,5000 86,50 0,6 80,4980 37,700 458,3590 699,370 80,0690,6394 6,9844 467,78 0,8 804,780 38,890 458,0750 700,7040 798,40,6389 0,6094 939,44 836,890 399,670 538,0590 386 839,3790,8904,9063 9984, 674,4630 6,940 479,0490 0,630 675,800 4,7345 74,033 9996,5,5 0,3900 77,840 50,0430 40,990 00,630 5,0 09,703 9998,4,8 88,70 37,4300 67,7470,0680 87,7300 3,8835 6,88 987,9 57,7570 6,0740 45,900 5,060 57,730 46,880 37,7969 9667,4 Tablo 30. Beş Tabaka Durumu N = 000, = 3000, c ' = 0000, t =, t =, t 3 =, t 4 = ve t 5 = 60 α 3 4 5 V ( x) cpu Kul.Bütçe 0, 80,60 37,9580 457,9500 700,4690 80,5070,6389 4,3594 4,490 0,4 80,500 37,8730 459,480 700,8340 800,3640,6377 0,85 98,6835 0,5 80,000 38,0970 458,730 70,6940 799,9360,635,875 788,63 0,6 804,3730 37,6060 458,8380 70,0330 798,500,6368 39,783 3479,8 0,8 803,90 37,750 458,5760 70,6080 799,50,6373 6,7344 35, 838,706 55,7900 593,5430 763,960 88,3676 3,3594 999, 600,5560 0,3450 430,6740 553,7480 93,860 6,348 7,969 9999,,5 85,4840 7,3990 38,5640 7,7560 36,0050 8,647 90,533 9993,8,8 8,830 35,70 63,8400 77,840 9,0480 37,9045 63,3906 9830,6 54,9360 4,8050 43,00 5,9550 4 53,788 39,703 995
48 Aadolu Üiversitesi Bilim ve Tekoloji Dergisi, 0 () Tablo 3. Beş Tabaka Durumu N = 000, = 3000, c ' = 0000, t =, t =, t 3 =, t 4 = ve t 5 = α 3 4 5 V ( x) cpu Kul.Bütçe 0, 80,500 37,860 459,480 700,8340 800,3640,6377 3,6563 7,790 0,4 80,4750 37,8600 458,80 699,70 803,790,6393 3,556 63,830 0,5 80,50 37,9650 458,470 70,070 799,5770,6358 3,3750 9,98 0,6 80,40 37,8470 458,6550 70,6660 800,60,637 3,5938 7,6496 0,8 80,060 38,0080 458,4530 70,4570 800,070,636 3,88 84,0974 800,0780 37,7700 459,750 70,550 799,9050,6368 3,03 3000, 7,5900,970 495,80 64,3680 70,0050,895 87,500 9995,,5 9,680 73,380 4,7350 77,0750 90,750 8,3048 69,953 9998,8,8 800,560 34,90 6,8680 75,4000 80,0950 0,3579 4,7344 9998,5 5,8850 3,3880 40,7330 49,0580 5,900 3,6008 3,6406 9998,6 Simülasyo çalışmasıda elde edile souçlarda görüldüğü gibi α > 0 olmak üzere Tablo -7 de iki tabaka olması durumu içi yapıla geellemeler diğer Tablolar içi de geçerlidir. α değeri büyüdükçe elde edile mümkü çözümleri sayısı azalmaktadır. Araştırma içi ayrıla bütçe çok fazla değilke, α ı büyük durumları çözüm vermemektedir. α büyük ike mümkü çözüm elde etmek içi maliyet kısıtıı sağ taraf sabiti yai araştırma içi ayrıla bütçe arttırılmalıdır. Buula birlikte, maliyet kısıtıı sağ taraf sabitii arttırılması gerçek ayattaki uygulamalarda er zama olaaklı değildir. Baze araştırma içi ayrıla bütçe fazla olsa bile, tabakalara seyaat maliyetleri çok küçük değil ike yie mümkü çözümler elde edilememektedir. α büyüdükçe çoğulukla, tabakalarda seçile örek çapları toplamıı, toplam örek çapıa eşit olması kısıtı( = ) yada bütçe kısıtı = sağlamamaktadır. α > olduğu durumlarda mümkü çözümler elde edebilmek içi; tabakalara seyaat maliyetlerii düşük, araştırma içi ayrıla bütçeleri olabildiğice yüksek tutulması gerekmektedir. Bu ise, gerçek uygulamalarda çok adire olabilecek bir durumdur. Bu sebeple çalışmada, tabakalara seyaat maliyetlerii ve araştırma içi ayrıla bütçei makul olduğu durumlar göz öüe alımaya çalışılmıştır. Öreği, α > olduğu durumda mümkü çözümler elde edebilmek içi Tablo 4 de, tabakalara seyaat maliyetleri t lar küçük ike araştırma içi ayrıla bütçe c ' = 8000 YT. alımıştır. Bu ise, N = 8000 birimlik bir yığıda, = 600 tae örek seçmek içi ayrılmış uç bir bütçedir. α =.5,.8 ve durumlarıda da mümkü çözümler elde edilebilmesi içi, tabakalara seyaat maliyetlerii daa da küçük olması gerekir. Tablo 4 deki gibi, α =.5,.8 ve durumlarıda maliyet kısıtlarıı sağladığı, = = = 600 kısıtıı sağlamadığı pek çok örek vardır. Araştırmacı, maliyet kısıtıı el verdiği ölçüde tabakalarda öreğii seçip araştırmasıa devam etmek isteyebilir. Bu gibi bir durumda da, < olduğuda, bekleildiği gibi = örek çapı küçüldüğüde V( x ) değeride artış olacak dolayısıyla bu durum duyarlılığı azalmasıa ede olacaktır. Tablo, ve 3 de görüldüğü gibi karşılaşıla bir başka durum ise, mümkü çözümü sağlaya α değerleri içi, α değeri arttıkça kullaıla bütçei artmasıı yaıda V( x ) değeride de gözle görülür bir artışı söz kousu olmasıdır. Öreği, Tablo de α = 0.8 ike V( x ) = 7.006 değeri, α = ike 3.0836 olarak elde edilmiştir. Tablolarda görüldüğü
Aadolu Uiversity Joural of Sciece ad Tecology, 0 () 49 gibi mümkü çözümleri sağlaya α değerleri içide e etki olaı α = 0.5 dir. α = 0.5 ike, tabakalara seyaat maliyeti e olursa olsu, mümkü çözümler içide örek ortalaması istatistiğii varyası miimum olarak elde edilir. Ayrıca, mümkü çözümü vere α değerleri büyüdükçe araştırma içi ayrıla bütçei kullaıla kısmı da artmaktadır. 4. SONUÇ Tabakalı tesadüfi öreklemede, sabit bir bütçe ile ala çalışması yapmak gerektiğide kullaıla maliyet foksiyou = 0 + yada 0 = c c t α c c c α = + = α > 0 biçimide doğrusal olmaya yapıda olduğuda α ı farklı değerleri içi simülasyo deeyi yapılmıştır. Elde edile simülasyo deeyi souçlarıda, örek ortalaması istatistiğii varyasıı miimum yapa α değerii 0.5 olduğu görülmüştür. 0 c c t α = + yapısıda doğrusal olmaya = maliyet foksiyou kullaılıyor ike α = 0.5 değeri, örek ortalaması istatistiğii duyarlılığıı arttıracak biçimde e iyi paylaştırmayı yapmaktadır. Buula birlikte, α büyüdükçe araştırma içi ayrıla bütçei kullaıla kısmı arttığıda, maliyeti küçük tutmak araştırmacı içi daa fazla öem taşıyor ise, duyarlılıkta fedakarlık ederek α ı 0.5 de küçük olduğu durumlar da kullaılabilir. KAYNAKAR Bal, H. (995). Optimizasyo Tekikleri. Gazi Üiversitesi, Akara. Bosc, V. ve Wilder, R. (003). Optimum allocatio of stratified radom samples desiged for multiple mea estimates ad multiple observed variables. Commuicatios i Statistics, Vol. 3, No. 0, 897-909. Brettauer, K.M., Ross, A. ve Setty, B. (999). Noliear iteger programmig for optimal allocatio i stratified samplig. Europea Joural of Operatioal Researc 6, 667-680. Brettauer, K.M. ve Setty, B. (995). Te oliear resource allocatio problem. Operatios Researc 43(4), 670-683. Ceryak, A. (00). Optimal allocatio i stratified ad double radom samplig wit a oliear cost fuctio. Joural of Matematical Scieces 03(4), 55-58. Clark, R.G. ve Steel, D.G. (000). Optimum allocatio of sample to strata ad stages wit simple additioal costraits. Te Statisticia 49, Part, 97-07. Cocra, W.G. (977). Samplig Teciques. 3rd Ed., Jo Wiley ad Sos Ic., New York. Diaz-Garcia, J.A. ve Garay-Tapia, M.M. (005). Optimum allocatio i stratified surveys. I-05-4(PE), -6. Diaz-Garcia, J.A. (006). Optimum allocatio i multivariate stratified samplig:multiobjective programmig. I-06-07(PE), -. Hamdy, A.T. (98). Yöeylem Araştırması. 6. Basım, Baray, Ş. A. ve Esaf, Ş., iteratür Yayıcılık, İstabul. Hase, M.H., Hurwitz, W.N. ve Madow, W.G. (953). Sample Survey Metods ad Teory. Wiley, New York, Vol. I. Judez,., Caya, C., Miguel, J.M. ve Bru, R. (006). Stratificatio ad sample size of data sources for agricultural matematical programmig models. Matematical ad Computer Modellig 43, 530-535. Ka, M.G.M. ve Asa, M.J. (003). A ote o optimum allocatio i multivariate stratified samplig. S. Pac. J. Nat. Sci, 9-95. Ka, M.G.M., Ka, E.A. ad Asa, M.J. (003). A optimal multivariate stratified samplig desig usig dyamic programmig. Australia & New Zelad Joural of Statistics 45(), 07-3. Rao, S.S. (99). Optimizatio: Teory ad Applicatios. Wiley Easter, New Deli. Semiz, M. (004). Determiatio of compromise iteger strata sample sizes usig goal programmig. Hacettepe Joural of Matematics ad Statistics 33, 9-96. Valliat, R. ve Getle, J.E. (997). A applicatio of matematical programmig to
40 sample allocatio. Computatioal Statistics & Data Aalysis 5, 337-360. Aadolu Üiversitesi Bilim ve Tekoloji Dergisi, 0 () Yamae, T. (967). Elemetary Samplig Teory. Pretice Hall, USA, 64-48. Siem Tuğba ŞAHİN, 980 yılıda Akara da doğdu. 00 yılıda Gazi Üiversitesi Fe-Edebiyat Fakültesi İstatistik Bölümüde lisas öğreimii tamamladı. Yüksek lisas derecesii Gazi Üiversitesi Fe-Edebiyat Fakültesi İstatistik Bölümü de 004 yılıda aldı. Hale Gazi Üiversitesi İstatistik Bölümü de doktora çalışmasıa devam etmektedir.