FREKANS CEVABI YÖNEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI G(s (r(t ı Laplace döüşümü; A(s B(s A(s (s p (s p L(s p C(s G(sR(s R(s R s A(s B(s R(s A(s R a C(s L B(s s s j s j s p a b b s p c(t jt jt p t p ae ae b e L t b e b e p t G(j G(j e jφ
c(t R G(j si( t Φ c(t Csi( t Φ r R si t r C si(tφ R o C t φ
C(j R(j G(j G(j C(j R(j C(j G(j R(j çıkışı si geliği girişi si geliği çıkışı si eğrisi -girişi si BODE (LOGARİMİK DİYAGRAMLARIN ÇİZİMİ GH(j (j N ( K( j a [ ] (ζ / j (/ (j j ( j eğrisi Lm GH(j logk log j log j GH(j a log Arcta N9 Arcta a log j ζ j Arcta ζ/ Arcta / (j Nlog j
(i Kazaç K (ii İtegral veya türev çarpaı (j± N (iii Birici derecede gecikme çarpaı (j± r (iv İkici derecede gecikme çarpaı db İtegral ve ürev Çarpaları: (jw± Lm( j log j db ζ j log [ db] (j ± p 4 - Eğim - db/dek GH(j j 4 - GH(j j Eğim - db/dek - 4. - 4. φ φ 8-9 9.. (a (b
Birici Derecede Çarpalar: (jw± Lm( j log j log [ db] Alçak frekas bölgeside, w<< içi çok küçük w değerleride, Lm( j log [ db] w>> gibi w'ı çok büyük değerleri içi, Lm( j log log log [ db] db - - Asimptot Gerçek eğri Kırılma frekası Asimptot db 4 Asimptot Gerçek eğri Asimptot φ -45 φ 9 45-9 5 5 5 5
İkici Derecede Çarpalar ζ j (j ζ j (j Lm ζ j (j log ζ w<<w gibi çok düşük frekaslar içi log-modül deklemi; -log db halii alır / >> gibi çok yüksek frekaslarda, log-modül deklemi aşağıdaki biçimi alır. Lm ζ j (j log 4log db
Modul eğrileri Lm db - -4. ζ j (j Boyutsuz frekas değerleri log φ ξ. ξ. ξ.3 ξ.5 ξ.7 ξ ζ ζ / j (j / ζ Arcta ( mod ül log ζ Faz eğrileri φ -9-8. ξ ξ.7 Boyutsuz frekas değerleri ξ. ξ. ξ.3 ξ.5 / r M r ζ ζ ζ
Logaritmik (Bode Diyagramları Çizimide İzleecek Yol Logaritmik eğrileri çizimide aşağıda verile işlem sırası uygulaacak olursa sistematik bir şekilde çözüm kolayca elde edilir. (i İlköce, eğer trasfer foksiyou GH(s olarak verilmiş ise s yerie jw koarak frekas trasfer foksiyou GH(jw elde edilir. Daha sora GH(jw temel çarpalarıa ayrılarak yazılır. (ii Herbir çarpaı kırılma frekası ayrı ayrı buluur. Daha sora bu çarpalara ait asimptod deklemleri elde edilir. (iii Çarpalara ait asimptodlar çizilir ve eğer gerekli ise tam eğriler çizilir. E büyük hata kırılma frekasıda ortaya çıktığıa göre bu değer hesaplaır ve tam eğri çizimde e bde asimptodlara teğet çizilir. (iv Her bir log-modül eğrisi şekil üzeride toplaarak bileşke logmodül eğrisi elde edilir. Buu içi çeşitli kırılma frekasları arasıda toplamalar yapılarak iki oktada bir düz çizgi geçirmek suretiyle bileşke asimtodik eğri buluur. Uygu ilave düzeltmeleri yapılarak daha sora tam eğri elde edilir. (v GH(jw ı faz açısı eğrisi herbir çarpaa ait faz açısı eğrisii toplamak suretiyle elde edilir. (vi Elde edile tüm değerler bir tablo da toplaırsa çizimde kolaylık sağlar.
s j Bode Eğrisi Çizimie Örek Uygulama Açık dögü trasfer foksiyou ola sistemi Bode eğrisii çiziiz. ÇÖZÜM: 5(s GH(s s s(.5s 6 s ( 6 5(j GH(jH j j koyarsak j (.5j ( 6 6 elde edilir. Log-modül eğrilerii elde etmek içi yukarıdaki deklemi aşağıdaki şekilde çarpalara ayırabiliriz. LmGH(j Lm5 Lm(j Lm(j Lm(.5j Lm veya / log GH(j log5 log( log j 6 j ( 6 [ ] log (.5 / log (- ( 6 ( 6 /
GH(jH 5(j j j j (.5j ( ( 6 6 İfadesii Log-modül ve Faz Açısı Karakteristikleri Çarpa Kırılma frekası kr >> kr içi yaklaşık modül deklemi Log-modül özellikleri Faz açısı özellikleri ablo 9.3 5 Yok Yok Sabit ve -4dBlik yatay çızgi Sabit (j- Yok Yok -db/dek eğimde Sabit -9 (.5j-.4 -log.5 << de db >> de-db/dek ile 9 arasıda değişir (j log << de db >> de db/dek ile -9 arasıda değişir de -45 3 6-4log/6 << 3 de db >> 3 de-4db/dek ile -8 arasıda değişir 3 de -9
Modül [db] - -4 Bileşke modül eğrisi log5 -log((.5 / log( / / - log (- ( ( 6 6-6 -8. (a Log-Modül eğrileri 9 Φ [ ] -9 ((.5j (j 5 j j ( ( ( 6 6-8 Bileşke faz açısı eğrisi -7. (b Faz açısı eğrileri
KUUPSAL EĞRİLER GH(j frekas trasfer foksiyou kutupsal eğrisi, kutupsal ekse takımı üzeride, 'ı sıfırda sosuza kadar değişimie bağlı olarak G(j büyüklüğüü faz açısıa karşı çizile eğrisidir. Diğer bir deyişle kutupsal eğri 'ı değişimie bağlı olarak vektörü ucuu çizdiği eğridir [GH(j] GH(j GH(j 3 GH(j GH(j [GH(j]
GH(j j Birici Derecede Çarpa: (jw ± Arcta içi GH(j, / içi GH(j/ ve içi GH(j 9, - 45.5 45 GH(j.5 GH(j
GH(j İkici Derecede Çarpa: [z(jw/w(jw/w]±: (<z< ζ(j (j ( (ζ φ ζ Arcta lim GH(j ve lim GH(j -8 (ξ: büyük (ξ: küçük
GH(j lim w Kutupsal Eğrileri Geel Biçimleri K( j (j m a ( j ( j ( j GH(j (w ip 3 b L( j m u9 w L( j u - K ip ip ip
NYQUIS KARARLILIK ÖLÇÜÜ C(s R(s G(s G(sH(s GH Düzlemi GH Düzlemi - * G(jH(j G(jH(j G(jH(j (a (b G(jH(jı GH düzlemi ve GH düzlemideki kutupsal eğrileri
ZNP ZÖzyapısal deklemi, G(sH(s sağ yarı s-düzlemideki sıfırlarıı (dolayısıyla sistemi kutupları sayısı NNyquist eğrisii, G(jwH(jw -j oktası etrafıdaki çevreleme sayısı R - - (a (b
BAĞIL KARARLILIK: FAZ VE KAZANÇ PAYLARI Faz payı, g ve kazaç geçiş frekası, w: Faz payı g; w kazaç geçiş frekasıda, sistemi kararsızlık eşiğie getirmek içi gerekli ilave faz gecikmesidir. Kazaç geçiş frekası w, açık dögü trasfer foksiyou şiddetii G(jwH(jw birim değere eşit olduğu yerdeki frekas değeridir. Faz payı, g matematiksel olarak 8 artı kazaç geçiş frekasıdaki faz açısı, G(jwH(jwf olarak taımlaır ve aşağıdaki şekilde formülüze edilir. γ8 G(j wh(jw LmKP Kazaç payı, KP ve faz geçiş frekası, wp: KP kazaç payı, faz açısıı - 8 ye eşit olduğu yerdeki modül değerii tersie eşittir. Faz geçiş frekası, wp ise faz açısıı, G(jwH(jw, -8 'ye eşit olduğu yerdeki frekas değeridir. Bua göre kazaç payı aşağıdaki şekilde ifade edilir. logkp -log G(j π H(j π KP G(j π H(j π
Pozitif kazaç payı G düzlemi Negatif faz payı G düzlemi K p γ - Pozitif faz payı G(j γ φ G(j - K p φ Negatif kazaç payı Kararlı sistem (a Karasız sistem G(j (db Pozitif kazaç payı G(j (db Negatif kazaç payı log log - _ G(j G(j -9-9 -8-7 Pozitif faz payı log -8-7 Negatif faz payı log Kararlı sistem Kararsız sistem (b
Açık dögü frekas trasfer foksiyou UYGULAMA ÖRNEKLERİ GH(j j( j.( j.5 a GH(j ı modül ve faz açısı deklemlerii aşağıdaki şekilde gösterebiliriz. GH(j (. GH(j -9 - Arcta. Arcta.5 (.5 trigoometrik özdeşliğii kullaabiliriz. Sıır değerleri, içi modül sosuz ve faz açısı -9 ve sosuz içi modül faz açısı-7 olur.5 9 -Arcta -. GH(j (.. ArctaAArctaBArcta π A B AB π rad/s olarak buluur (.5..4
KP GH(j π KP.4.5 (. (.5 Bu örekte 6 rad/s olarak hesaplamıştır GH(j -9 - Arcta. Arcta.5 GH(j -9 - Arcta. 6 Arcta.5 6 56.9 GH(j (.. π (.5..4 - -.4 G(j π rad/s olarak buluur