11. SINIF KONU ÖZETLİ SORU BANKASI

Transkript

1 . SINIF MATEMATİK KONU ÖZETLİ SORU BANKASI Mil li Eği tim Ba ka lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş ka lı ğı ı 4.8. ta rih ve sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi le ve - Öğ re tim Yı lı da iti ba re uy gu laa cak ola prog ra ma gö re ha zır la mıştır.

2 Geel Müdür Temel Ateş Geel Koordiatör Akı Ateş Eğitim Koordiatörü - Editör Nevzat Asma Eğitim Koordiatör Yardımcısı Halit Bıyık Dizgi, Grafik, Tasarım Ese Dizgi Servisi Görsel Tasarım Erol Faruk Yücel Bu ki ta bı ta ma mı ı ya da bir kıs mı ı elek tro ik, me ka ik, fo to ko pi ya da her ha gi bir ka yıt sis te miy le ço ğal tıl ma sı, ya yım la ma sı ve de po la ma sı ya sak tır. Bu ki ta bı tüm hak la rı ya za rları a ve Ese Ba sı Ya yı Da ğı tım Li mi tet Şir ke ti e ait tir. İsteme Adresi ESEN BASIN YAYIN DAĞITIM LTD.ŞTİ. Bayıdır. Sokak No.: 4/ Kızılay/ANKARA tel.: () faks: () ISBN : Baskı Bahçekapı Mah. 46. Sok. Nu.:7 67 Şaşmaz / ANKARA Tel: () (pbx) Baskı Tarihi VIII

3 KARMAŞIK SAYILAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Karmaşık Sayılar. Kazaım : Gerçek sayılar kümesii geişletme gereğii öreklerle açıklar.. Kazaım : Saal birimi (i sayısıı) belirtir ve bu sayıı kuvvetlerii hesaplar.. Kazaım : Karmaşık sayıyı, stadart biçimii, gerçek kısmıı, saal kısmıı açıklar ve iki karmaşık sayıı eşitliğii ifade eder. 4. Kazaım : Karmaşık düzlemi açıklar ve verile bir karmaşık sayıyı karmaşık düzlemde gösterir. 5. Kazaım : Bir karmaşık sayıı eşleiğii ve modülüü açıklar, karmaşık düzlemde gösterir. 6. Kazaım : Karmaşık sayılarda toplama ve çıkarma işlemlerii ve geometrik yorumlarıı yapar, toplama işlemii özelliklerii gösterir. 7. Kazaım : Karmaşık sayılarda çarpma ve bölme işlemlerii yapar, çarpma işlemii özelliklerii gösterir. 8. Kazaım : Eşleik ve modül ile ilgili özellikleri gösterir. 9. Kazaım : Karmaşık sayılarda ikici derecede bir bilimeyeli deklemleri çözer.. Kazaım : Karmaşık düzlemde iki karmaşık sayı arasıdaki uzaklığı açıklar ve karmaşık sayı ile çember ilişkisii belirtir. Karmaşık Sayıları Kutupsal Biçimi. Kazaım : Bir oktaı kartezye koordiatları ile kutupsal koordiatları arasıdaki bağıtıları bulur, stadart biçimde verile bir karmaşık sayıı kutupsal koordiatlarıı belirler ve karmaşık düzlemde gösterir.. Kazaım : Kutupsal biçimde verile iki karmaşık sayı arasıda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yapar.. Kazaım : Bir karmaşık sayıı oriji etrafıda pozitif yöde α açısı kadar dödürülmesi ile elde edile karmaşık sayıyı bulur. 4. Kazaım : De Moivre kuralıı ifade eder ve kutupsal koordiatlarda verile bir karmaşık sayıı kuvvetlerii belirler. 5. Kazaım : Verile bir karmaşık sayıı ( N). derecede köklerii belirler, karmaşık düzlemde gösterir ve geometrik olarak yorumlar.

4 KARMAŞIK SAYILAR a ve b gerçel sayılar ve i = olmak üzere, z = a + bi biçimideki sayılara karmaşık (kompleks) sayılar deir. a sayısıa z karmaşık sayısıı reel (gerçel) kısmı ve b sayısıa z karmaşık sayısıı saal (imajier) kısmı deir. Re(z) = a ve Im(z) = b şeklide gösterilir. Karmaşık Sayıı Eşleiği z = a + bi karmaşık sayısıı eşleiği, z = a bi dir. Karmaşık Sayıları Eşitliği z = a + bi ve z = c + di karmaşık sayıları içi, z = z ( a = c ve b = d ) dir. i Sayısıı Kuvvetleri N olmak üzere, i = i 4 = i 8 =... = i 4 = i = i 5 = i 9 =... = i 4+ = i i = i 6 = i =... = i 4+ = i = i 7 = i =... = i 4+ = i Karmaşık Sayılarda Dört İşlem z = a + bi ve w = c + di olsu. z + w = (a + c) + (b + d) i z w = (a c) + (b d) i z.w = (ac bd) + (ad + bc) i z w zw. ac + bd +^bc adhi = = ww. c+ d Karmaşık Sayıı Mutlak Değeri (Modülü) z = a + bi karmaşık sayısıa kompleks düzlemde bir A(a,b) oktası karşılık gelir. b Saal ekse A(a,b)= a + bi = z z a Reel ekse A(a, b) oktasıı orijie ola uzaklığıa z = a + bi sayısıı mutlak değeri ya da modülü deir. z = a+ b biçimide ifade edilir. z. z = z Reel kat sayılı ikici derecede bir deklemi kökleride biri x = a + bi ise diğeri x = a bi dir. z = z = z = z z = z z.z = z. z ( + i) = i ve ( i) = i dir. Eşleikle İlgili Özellikler ^zh = z z + z = z + z z z z = z z z z + z z + z z ve z oktaları arasıdaki uzaklık z z dir. z. z = z. z z c z z m = z z ( a + bi) = r ifadesi merkezi M(a,b) ve yarıçapı r ola çember gösterir. z = ^zh

5 KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ b r = z = a+ b cosθ = r a y θ r ve siθ = r b z = a + bi a olacağıda z = a + bi = r.cosθ + i.r.siθ = r.(cosθ + i.siθ) = r.cisθ θ < r olmak üzere, z i esas argümeti Arg(z) = θ dır. z = r.cisθ ve z = r.cis α olmak üzere, z.z = r.r.cis(θ + α) z z r = cis^i ah, (z r ) z = r cis(.θ) dır. ( R) Arg(z.z ) = Arg(z ) + Arg(z ) z Argc m = Arg(z z ) Arg(z ) Arg(z ) =.Arg(z) x KARMAŞIK SAYILARIN KÖKLERİ z C ve Z + olmak üzere, z = r.cisθ karmaşık sayısıı. kuvvette kökleri i+ kr wk = r. cisc m, ( k {,,,...,( ) } ) Özel olarak z i karekökleri i k = w = r. cis c m i k = w = r. cis c + rm w = w z karmaşık saysıı. kuvvette köklerii karmaşık düzlemdeki görütüleri, merkezi orijide ola r yarıçaplı çember üzeride eşit aralıklarla sıralaır. GEOMETRİK YER z = x + iy, z = a + bi ve z = c + di olmak üzere, z z = z z eşitliği karmaşık düzlemde bir doğru gösterir. z z = r eşitliği karmaşık düzlemde bir çember gösterir. z = a + bi karmaşık sayısıı düzlemdeki görütüsü A(a,b) olmak üzere, Arg(z z ) = α koşuluu sağlaya z karmaşık sayılarıı görütüsü AP yarı doğrusudur. Arg(z) = θ olmak üzere, y P Arg( z) = r θ, Arg( z) = r + θ Arg(z ) = r θ dır. z α A x z = r.cisα karmaşık sayısıı oriji etrafıda po- y y zitif yöde θ kadar dödürülmesiyle elde edile karmaşık sayı z = r.cis(α + θ) dır. Yai, z = z.cis θ dır. α k Arg(z k) = α x m α Arg(z mi) = α x

6 Karmaşık Sayılar Rehber Soru Aşağıdaki sayıları imajier sayı birimi ile yazıız. a. c 4 b. c 5 c. Rehber Soru Aşağıdaki sayıları imajier sayı birimi ile yazıız. a. i b. c. i i. c. c işlemii soucu edir?. + + işlemii soucu edir? i i i. c. c. c 6 işlemii soucu edir?. i 8 + i 8 işlemii soucu edir?. c 4 işlemii soucu edir?. P(x) = x 5 x 4 + x x ise P( i) edir? işlemii soucu edir? 5 4. i + i i i 4 5 işlemii soucu edir? 5. c. c 4. c 9. 6 işlemii soucu edir? 5. P(x) = x 4 4x + x x + ise P( i) edir?

7 Karmaşık Sayılar Rehber Soru N olmak üzere, i 4+ + i 8+ + i + değeri edir? Rehber Soru 4 i + i + i i 49 + i 5 ifadesii eşiti edir?. N olmak üzere, i 4+ + i 8+ + i + işlemii soucu edir?. i + i + i i 8 + i 9 ifadesii eşiti edir?. N olmak üzere, 6 + i i işlemii soucu edir?. i i 4 + i 6 i i 8 i 4 ifadesii eşiti edir?. N olmak üzere, 4 8 i i + i 4 işlemii soucu edir?. i.i.i.....i 9 ifadesii eşiti edir? 4. N olmak üzere, + 5+ i + i i 9 işlemii soucu edir? 4. i i 4 + i i 4 işlemii soucu edir? 5. N olmak üzere, i i. i 7 + işlemii soucu edir? 5. f(x, y) = x + y xy + ise f(i, i) edir?

8 Karmaşık Sayılar Rehber Soru 5 z = i + i 4 + i 7 ise Re(z) ve Im(z) değerlerii buluuz. Rehber Soru 6 z = a + + i, z = 5 + (b )i ve z = z a.b kaçtır? ise. z = + i ve w = i ise Re(z) + Im(w) kaçtır?. z = a + i, w = a + + (b )i ve z = w ise a + b kaçtır?. z = 4 c 4 ise Re(z) + Im(z) kaçtır?. z = x + i y, w = 4 xi ve z = w ise x.y kaçtır?. z = ise Im(z) kaçtır?. a + b + i = bi ise a + b kaçtır? 4. z = i ise Re(z) + Im(z) kaçtır? i 4. z = + i ve z = a b + bi karmaşık sayıları eşit ise a + b kaçtır? 5. z = i + i + i i 6 + i 6 ise Re(z) + Im(z) kaçtır? 5. z = x y + ve w = + yi karmaşık sayıları eşit ise x + y kaçtır? 4

9 Karmaşık Sayılar Rehber Soru 7 z = + i karmaşık sayısı ile eşleiğii kompleks düzlemde gösteriiz. Rehber Soru 8 x x + = deklemii çözüm kümesi edir?. z = + i ise z edir?. x + x + = deklemii çözüm kümesi edir?. z = i + ise z edir?. x + = deklemii çözüm kümesi edir? i. z = + ise z edir?. x + 4 = deklemii çözüm kümesi edir? 4. z = + v i ise z edir? 4. x 4x + = deklemii çözüm kümesi edir? 5. z = 5i ise z edir? 5. x 4 + x = 4 deklemii çözüm kümesi edir? 5

10 Karmaşık Sayılar Rehber Soru 9 Kökleride biri + i ola reel kat sayılı ikici derecede deklemi buluuz. Rehber Soru Toplamları ve çarpımları ola iki karmaşık sayıyı buluuz.. Kökleride biri i ola reel kat sayılı ikici derecede deklem edir?. Toplamları ve çarpımları 4 ola iki karmaşık sayıyı buluuz.. Kökleride biri i ola reel kat sayılı ikici derecede deklem edir?. Toplamları 4 ve çarpımları 5 ola iki karmaşık sayıyı buluuz.. Kökleride biri i + ola reel kat sayılı ikici derecede deklem edir?. x x + = deklemii kökleri x ve x olmak üzere, Re(x + x ) + Im(x.x ) kaçtır? 4. Kökleride biri + v ola rasyoel kat sayılı ikici derecede deklem edir? 4. x + x + c = deklemii reel kökü yoksa c i alabileceği e küçük tam sayı değeri kaçtır? 5. x = deklemii çözüm kümesi edir? 5. Karmaşık düzlemdeki görütüsü (, ) oktası ola karmaşık sayıı eşleiği edir? 6

11 Karmaşık Sayılar Rehber Soru z z = + i ve w = 4i ise edir? w Rehber Soru ( + i) 7 ifadesii soucu edir?. z = + i ve w = + i ise z.w edir?. ( i) 4 ifadesii soucu edir?. z = i ve w = + 4i ise z w edir?. ( i) 7 ifadesii soucu edir?. z = i ve z = + i ise z z edir?. ^ + ih 9 ^ ih ifadesii soucu edir? 4. z = + i ve z = i ise z z edir? 4. ( + i) 5.( i) 6 ifadesii soucu edir? 5. i i ^ + h^ + h işlemii soucu edir? i 5. + i i + ifadesii soucu edir? i + i 7

12 Karmaşık Sayılar Rehber Soru z +. z = 6 + i olduğua göre, Re(z) + Im(z) edir? Rehber Soru 4 z = + 4i karmaşık sayısıı mutlak değerii (modülüü) buluuz...z + z = + 6i ise z karmaşık sayısı edir?. z = 5 i ise z edir?. z = + i olmak üzere, z.( i) = + z eşitliğii sağlaya reel sayısı kaçtır?. z = 6 + 8i ise z edir?. z.( i) = + z ise z karmaşık sayısı edir?. z = 4 ve w = i ise z + w edir? z 4. i = ise Re(z) + Im( z) edir? z 4. z = v + i ise z edir? 5. z + = + i ise z karmaşık sayısı edir? z 5. z + = z i koşulua uya z karmaşık sayısı edir? 8

13 Karmaşık Sayılar Rehber Soru 5 ^+ ih^ 4ih z = 5+ i olduğua göre, z edir?. z = (v + vi).( + i) ise z edir? 6. ^+ 4ih. ^ + ih z = 4 ^ + ih karmaşık sayısıı modülü kaçtır? + 4i. z = 5 + i ise z edir? 7. z = + i ve w = + i ise z+ w+ ifadesii değeri kaçtır? z w. z = + i ise z 4 edir? 8. ^ ih^ + ih z = ^ + ih^ ih ise z değeri edir? 4. z = i ise z edir? 9. a b+ ^a+ bhi z = a + b ^a bhi ise z değeri edir? 5. a R olmak üzere, a+ i z = ise z edir? ai.. z = + cosθ i.siθ olduğua göre, z değeri edir? 9

14 Karmaşık Sayılar Rehber Soru 6 z = 5 i ve w = + i karmaşık sayıları arasıdaki uzaklık kaç birimdir? Rehber Soru 7 z + i = eşitliğii sağlaya z karmaşık sayılarıı kümesii karmaşık düzlemde gösteriiz.. z = + i ve z = 5 + i karmaşık sayıları arasıdaki uzaklık kaç birimdir? Aşağıdaki eşitlikleri sağlaya z karmaşık sayılarıı geometrik yerii deklemlerii buluuz.. z =. z = + i ve w = a + i karmaşık sayıları arasıdaki uzaklık 5 birim ise a ı alabileceği değerleri toplamı kaçtır?. z =. z + i =. Köşelerii koordiatları A( + i), B( i) ve C(5 + i) ola ABC üçgeii [BC] kearıa ait kearortay uzuluğu kaç birimdir? 4. z = z + + i 4. i z = karmaşık sayısıı orijie ola + i uzaklığı kaç birimdir? 5. z + = z

15 Karmaşık Sayılar Rehber Soru 8 z = x + iy olmak üzere, z i < ifadesie karmaşık düzlemde karşılık gele oktalar kümesii gösteriiz. Rehber Soru 9 z + i = eşitliğii sağlaya z karmaşık sayılarıda modülü e küçük olaıı modülü kaçtır? z = x + iy olmak üzere, aşağıdaki ifadelere karmaşık düzlemde karşılık gele oktalar kümesii gösteriiz.. z + i. z 4 + i = eşitliğii sağlaya z karmaşık sayılarıda modülü e büyük olaıı modülü kaçtır?. z + i. z olmak üzere, z + 4i ifadesii e büyük değeri kaçtır?. < z + i <. z olmak üzere, z 5 + i ifadesii e küçük değeri kaçtır? 4. z 5. z + + i < 4. z i = olmak üzere, z + + i ifadesii e küçük değeri kaçtır?

16 Karmaşık Sayılar Rehber Soru Im(z) 4 z Re(z) Grafikteki z karmaşık sayısıı kutupsal biçimde ve stadart biçimde yazılışlarıı buluuz.. Aşağıdaki karmaşık sayıları kutupsal biçimde ifade ediiz. Im(z) 5. 5 Im(z) Re(z) z z Re(z) 6. Im(z). Im(z) Re(z) z Re(z) 4 z 7. Im(z). z Im(z) 6 Re(z) 6 Re(z) z 8. Im(z) 4. Im(z) v z z 4 Re(z) Re(z)

17 Karmaşık Sayılar Rehber Soru z = + i karmaşık sayısıı kutupsal biçimde yazılışı edir? Aşağıdaki karmaşık sayıları kutupsal biçimde yazılışlarıı buluuz. 7. z = cos75 i.si75 karmaşık sayısıı esas argümeti kaç derecedir?. z = v + i. z = + i r 5r 8. z =.cis ve w = 4.cis 6 6 ise Re(z + w) kaçtır?. z = vi + i 9. z = + i ve Arg(z) = θ ise taθ edir? 4. z = i 5. z = 6i. z = si4 i.cos4 ise z i esas argümeti kaç derecedir? 6. Kutupsal koordiatları c, sayı edir? r m ola karmaşık. z = cos75 + i.si75 ve z = cos5 + i.si5 ise Arg(z + z ) kaç derecedir?

18 Karmaşık Sayılar Rehber Soru z = + cos + i.si ise z ve Arg(z) değerlerii buluuz. Rehber Soru z =.cis ve z =.cis4 ise z.z çarpımıı soucu edir?. z = + cos8 + i.si8 ise z kaçtır?. z = cis ve w =.cis5 ise z.w çarpımıı soucu edir?. z = + si5 + i.cos5 ise Arg(z) kaç derecedir?. z = cos4 + isi4 ise Arg(z) kaç derecedir?. z = + i ve w = v i ise Arg(z.w) kaç derecedir? z. z = v i ve w = + i ise Argb l kaç dere- w cedir? 4. z = + i.ta4 ise z kaça eşittir? z 4. z = 6.cis5 ve z =.cis ise karmaşık z sayısı edir? 5. z + 4 = koşuluu sağlaya z karmaşık sayılarıda esas argümeti e büyük olaıı esas argümeti edir? 5. Şekilde verile- lere göre, z w işlemii soucu edir? z 6 Im(z) w Re(z) 4

19 Karmaşık Sayılar Rehber Soru 4 cis8.cis ifadesii eşiti edir? Rehber Soru 5 z =.cis5 ise z 6 karmaşık sayısı edir?..cis7 cis4 ifadesii eşiti edir?. z = + v i ise z 6 karmaşık sayısı edir?. 4.cis.cis7 ifadesii eşiti edir?. z = i ise Im(z 8 ) kaçtır?. 4.cis +.cis ifadesii eşiti edir?. z = vi ise Re(z 4 ) kaçtır? 4. z =.cis75 ve w = cis karmaşık sayıları arasıdaki uzaklık kaç br dir? 4. z = v5.(cos6 + i.si6 ) ise z edir? 5. z = 7 + 7i ve w = 5i karmaşık sayıları arasıdaki uzaklık kaç br dir? 5. z =.cis ise z edir? 5

20 Karmaşık Sayılar Rehber Soru 6 z = cos5 + isi5 sayısıı oriji etrafıda pozitif yöde 7 dödürülmesiyle elde edile sayı edir? Rehber Soru 7 z = + vi karmaşık sayısıı kareköklerii buluuz.. z =.cis5 sayısıı oriji etrafıda pozitif yöde 4 dödürülmesiyle elde edile sayı edir?. z = 4.cis karmaşık sayısıı kareköklerii buluuz.. z = v i sayısıı oriji etrafıda pozitif yöde dödürülmesiyle elde edile sayı edir?. z = 8.cis6 karmaşık sayısıı küpköklerii buluuz.. z = 4.cis sayısıı oriji etrafıda egatif yöde 4 dödürülmesiyle elde edile sayı edir?. z = 4i karmaşık sayısıı kareköklerii buluuz. 4. z = + i sayısıı oriji etrafıda pozitif yöde dödürülmesiyle elde edile sayıı reel kısmı edir? 4. z = + 4i karmaşık sayısıı kareköklerii buluuz. 5. z = i sayısıı oriji etrafıda pozitif yöde 9 dödürülmesiyle elde edile sayı edir? 5. z = 8i eşitliğii sağlaya z karmaşık sayıları elerdir? 6

21 TEST. i = olmak üzere, i 99 + i 99 + i 996 toplamıı soucu kaçtır? = a+ bi ise a + b kaçtır? i + i A) i B) i C) D) + i E) i A) B) C) D) E). i z = + ise Re(z) aşağıdakilerde hagisie i eşittir? 6. i z = sayısıı çarpmaya göre tersi aşağıdakilerde i hagisidir? A) B) C) D) E) A) + i B) i C) + i D) i E) + i. ( i)a + ( + i)b = 4i ise b a kaçtır? A) B) C) D) E) 4 7. z = a + bi olmak üzere, z 5 = i ise a b kaçtır? A) 4 B) C) D) E) 4. + i i + işlemii soucu kaçtır? + i i A) B) C) i D) i E) + i 8. ( + i) + ( i) + i 5 toplamıı soucu kaçtır? A) i B) C) D) E) i 7

22 Karmaşık Sayılar 9. i i + i i i ifadesii eşiti aşağıdakilerde hagisidir? A) + i B) i C) i D) + i E) i. ( i) ( i ) ( i 5 ) ( i 7 ) ( i 9 ) ( i ) çarpımı aşağıdakilerde hagisie eşittir? A) 4 B) 8 C) + i D) i E) 8i. z = i olmak üzere z 8 aşağıdakilerde hagisie eşittir? 4. (i 9 ) (i 8 + ) işlemii soucu aşağıdakilerde hagisidir? A) 6 B) 8 C) 6 D) 6 E) 64 A) B) i C) i + D) E) i. z = + i ise z 6 z 6 ifadesii eşiti aşağıdakilerde hagisidir? A) 6i B) 8i C) D) 6i 8 E) 6i 65i ^ ih + ^+ ih 4 ^i h aşağıdakilerde hagisidir? ifadesii sadeleşmiş biçimi A) 6i B) i C) 6 D) E) 64. z = + i olmak üzere, z z 6 d ifadesii eşiti aşağıdakilerde hagisidir? z+ z 79 A) 64 D) 4 79 B) i 64 E) i 79 C) i z ve z birer karmaşık sayı olmak üzere, z + ( + i) 6 = (z ) 6 ve z = i ise Re(z ) + Im(z ) kaçtır? A) 6 B) 8 C) 8 D) 6 E) 64. A. A. B 4. B 5. C 6. A 7. A 8. E 9. C. C. C. A. B 4. D 5. D 6. D 8

23 TEST. (a ) + (b )i = ise a + b kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) E) ^ i h^ + i ^ ih^ + ih h işlemii soucu aşağıdakilerde hagisidir? A) i B) i C) D) E) i. z = + i karmaşık sayısıı çarpmaya göre tersii reel kısmı kaçtır? 6. ( + i) + ( + i) 4 işlemii soucu aşağıdakilerde hagisidir? A) B) C) D) E) A) i B) 6i C) i D) i 6 E) 4. 5 z = + i + i sayısıı reel kısmı aşağıdakilerde hagisidir? A) v B) v C) D) E) 4 7. z = ( + i) sayısıı eşleiğii saal (imajier) kısmı aşağıdakilerde hagisidir? A) B) C) D) E) z bir karmaşık sayı olmak üzere, 4. z i = + i ise Im(z) kaçtır? z.( i) = 4z 5i ise z aşağıdakilerde hagisidir? A) B) C) D) 5 E) 5 A) i B) i C) + i D) i E) i 9

24 Karmaşık Sayılar 9. z = i ise z kaçtır? z A) i B) i C) D) E). z + z = 9+ i eşitliğii sağlaya z karmaşık sayısı aşağıdakilerde hagisidir? A) 4 i B) 4 i C) + 4i D) 4 + i E) 4 i. z karmaşık sayısı z + = i koşuluu sağladığıa göre Re(z) + Im(z) kaçtır? A) B) C) D) E) 4. z + z = v i ise z 8 kaçtır? A) 8 B) C) 8 D) 8 i E) 8 i. i z = + i ise Im(z) aşağıdakilerde hagisidir? + i 5. Im(z) z Şekilde verilelere göre z Re(z) kaçtır? A) B) C) D) E) A) i B) i C) 6 D) 6i E) i 6. z = a + ai i, z = a + ve. x + mx + = deklemii bir kökü + i olduğua göre m kaçtır? z z + = 5 ise a kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 5 A) B) C) D) E) 8. B. B. E 4. B 5. D 6. D 7. D 8. C 9. C. B. D. D. D 4. C 5. B 6. A

25 TEST 6. z = + i ve Arg(z) = θ ise taθ edir? 5. Yadaki kompleks y A) 5 B) 5 C) D) E) düzlemde, m( AOz) a = m( BOw) a z = br w = br ise B A O z x z.w edir? w A) 6 B) 6i C) 6 D) 6i E) 6 6i. z =.cis ve w = 4.cis6 ise Re(z + w) kaçtır? A) + v B) + v C) + v D) 4 E) 4 + v 6. z = cosθ + i.siθ ve Arg(z) = 6 ise z karmaşık sayısı aşağıdakilerde hagisidir? A) + i. B) + i. C) i. D) i E) i. r r z = v. bcos + i si l ise z 6 ı eşiti aşağıdakilerde hagisidir? A) 8 B) 8 C) 8i D) 8i E) 8 + 8i 7. z = cos5 + i.si5 ve z = cos75 + i.si75 ise z + z kaçtır? A) v B) v C) D) + v E) + v 4. z = cos i.si ise z karmaşık sayısıı esas argümeti kaç derecedir? A) B) 7 C) 6 D) 9 E) 4 8. z =.(cos5 + i.si5 ) ve z.w = + v i ise w karmaşık sayısı aşağıdakilerde hagisidir? A) cis5 B) cis5 C).cis5 D).cis5 E) cis5 7

26 Karmaşık Sayılar 9. z = 4 + i ve w = i ise z w farkıı esas argümeti kaç derecedir?. z = + 4i karmaşık sayısıı karekökleride biri aşağıdakilerde hagisidir? A) B) 45 C) 6 D) 75 E) 9 A) + i B) + i C) i D) + i E) i. z = + i karmaşık sayısıı oriji etrafıda egatif yöde dödürülmesiyle elde edile yei sayı aşağıdakilerde hagisidir? A) v.cis5 B) cis5 C) v.i D) cis65 E) v.cis65 4. z = 8i karmaşık sayısıı küpkökleride biri aşağıdakilerde hagisidir? A) i B) v + i C) vi D) v i E) v + i. z + 6i = koşuluu sağlaya z karmaşık sayılarıda esas argümeti e küçük olaıı esas argümeti kaç derecedir? 5. z olmak üzere, z = z eşitliğii sağlaya z karmaşık sayısıı esas argümeti kaç derece olabilir? A) B) 6 C) D) 5 E) 4 A) 8 B) 6 C) 45 D) 6 E) 9. Kutupsal koordiatları (, 5 ) ve (, 5 ) ola karmaşık sayılar arasıdaki uzaklık kaç br dir? 6. z = a + bi olmak üzere, z.z çarpımıı esas argümeti kaç derecedir? A) B) v C) v D) E) v5 A) B) 45 C) 9 D) 8 E) 7. C. A. D 4. E 5. D 6. C 7. B 8. A 9. B. A. E. E. E 4. D 5. B 6. A 8

27 TEST 7. i 9 + i + i işlemii soucu edir? A) B) C) i D) i E) i 5. ^ z = + ih. ^ ih ^ + ih 4 8 ise z kaçtır? A) B) C) 4 D) 8 E) 6. z = i + i + i i 6 + i 6 ise z + z toplamı aşağıdakilerde hagisie eşittir? 6. z = 5 + i ve w = + 7i oktaları arasıdaki uzaklık kaç br dir? A) i B) i C) i D) i E) A) v B) C) 6v D) 8 E) 6. z + z = 6 ve z z = 4i ise z karmaşık sayısı eye eşittir? 7. z = i ve w = + i oktalarıa eşit uzaklıkta bulua oktaları geometrik yerii deklemi edir? A) + i B) i C) i D) + i E) i A) 4x + 6y = 5 B) 4x + 6y = 7 C) x + y = D) x + y = E) x + y = 5 4. z.( + i) = i ise z karmaşık sayısıı imajier kısmı edir? A) B) C) D) E) N olmak üzere, 5+ + i i. i 4 işlemii soucu edir? A) B) C) i D) E) i 9

28 Karmaşık Sayılar 9. + i c m sayısıı eşiti edir? i A) B) i C) D) i E) i. x + x + + = deklemii bir kökü + i ise aşağıdakilerde hagisidir? A) B) C) 4i D) + 4i E) 4i. a 4bi = + 4i olduğua göre a + b kaçtır? A) 4 B) C) D) E). z = cos + i.si ise Arg c m aşağıda- z kilerde hagisi olabilir? A) B) 4 C) 8 D) E) 6 4. z = 6.(cos7 + i.si7 ) sayısıı oriji etrafıda pozitif yöde 5 dödürülmesiyle elde edile yei sayı aşağıdakilerde hagisidir? A) vi B) + vi C) vi D) v i E) v + i r. Arg(z + i) = eşitliğii sağlaya z karmaşık sayısıı görütüsü aşağıdakilerde hagisi- dir? A) y 6 x B) 6 y x 5. z = 4.cis6 karmaşık sayısıı karekökleride biri aşağıdakilerde hagisidir? A) + vi B) vi C) v i D) v + i E) v i C) y D) y 6 x 6 x E) y 6 x 6. z = ise z + 4i ifadesii alabileceği e büyük değer kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7. B. E. C 4. D 5. D 6. B 7. A 8. B 9. C. D. C. A. C 4. B 5. E 6. D 4

29 TEST.. 7 i işlemii soucu edir? 5. z = v i karmaşık sayısıı modülü aşağıdakilerde hagisidir? A) 7 B) 9 C) D) E) 9 A) 5 B) 4 C) D) E). z = karmaşık sayısıa göre, i Im( z ) kaçtır? A) B) C) D) E) 6. z = + i ve w = + 4i karmaşık sayıları arasıdaki uzaklık kaç br dir? A) 4 B) v5 C) 5 D) E) 6. i c m işlemii soucu edir? + i 5 A) B) i C) D) E) i 7. z + z = + 4i ise z karmaşık sayısı aşağıdakilerde hagisi olabilir? A) + 4i B) + 4i C) + 4i D) + 4i E) 4 + 4i 8. z bir karmaşık sayı olmak üzere, i.z = 4 ise kaçtır? z 4. ( i) 4.( + i) 4 işlemii soucu edir? A) i B) C) 4 D) 8 E) 6 A) 8 B) 4 C) D) E) 4 47

30 Karmaşık Sayılar r 9. Kutupsal koordiatları z = ve θ = ola z karmaşık sayısı aşağıdakilerde hagisidir? A) + i B) v + i C) + vi D) + vi E) + vi. z + = koşuluu sağlaya z karmaşık sayılarıda esas argümeti e büyük olaıı esas argümeti kaç derecedir? A) 4 B) C) 8 D) 5 E). i z = olmak üzere, + z + z 4 + z z toplamıı soucu kaçtır? 4. z olmak üzere, z = z ise Arg(z) kaç derece olabilir? A) B) 4 C) D) 6 E) 45 A) B) i C) D) E) i r. z =.cis ise z 8 aşağıdakilerde hagisidir? 8 A) 8 B) 8.i C) D) 8 E) 8.i 5. z = 6 sayısıı karekökleride bir taesi aşağıdakilerde hagisidir? A) 4i B) 4 C) i D) i E) 6i. z olmak üzere, z 5 + i fiadesii alabileceği e büyük değer kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 r 6. z = v5 ve arg(z ) = olduğua göre, 4 z karmaşık sayısı aşağıdakilerde hagisidir? A) + i B) + i C) + i D) + i E) + i. B. A. A 4. E 5. D 6. C 7. D 8. B 9. C. B. A. D. B 4. D 5. A 6. E 48

31 TEST. P(x, y) = x 4 y 5 xy olmak üzere, P( i, + i) aşağıdakilerde hagisie eşittir? 5. z = 5 i karmaşık sayısıı karekökleri w ve w ise w.w aşağıdakilerde hagisie eşittir? A) 6 4i B) 4 6i C) 6 + 4i D) 6 + 6i E) 4 + 6i A) i 5 B) 5 i C) i + 5 D) i 5 E) i. z z + = deklemii kökleri a ve b ise (a + b + i) (a.b i) ifadesii eşiti edir? 6. z = cos isi6 ise z karmaşık sayısıı esas argümeti kaç derecedir? A) B) 4 C) D) 5 E) A) B) C) 4 D) 5 E) 6 7. z z + 5 ifadesii çarpalarıda biri aşağıdakilerde hagisidir?. z + i = koşuluu sağlaya z karmaşık sayılarıda x ekseie e yakı olaı aşağıdakilerde hagisidir? A) z + + i B) z + i C) z i D) z + i E) z i A) i B) i C) i D) i E) i 8. z = + cos4 + cos8 + i si8 karmaşık sayısıı kutupsal biçimde ifadesi aşağıdakilerde hagisidir? 4. z karmaşık sayı olmak üzere, i.z = 6 ise z kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 A) 4cos cos4 (cos + i si ) B) cos (cos + i si ) C) 4cos (cos4 + i si4 ) D) cos cos4 (cos + i si ) E) 4cos cos4 (cos4 + i si4 ) 49

32 Karmaşık Sayılar 9. z karmaşık sayısıı 9. derecede kökleride biri cis6 ise aşağıdakilerde hagisi 9. derecede kökleride biri değildir?. z = (cos5 + isi5 ) ise z kaçtır? A) 4 B) 6 C) 8 D) E) 6 A) cis B) cis8 C) cis4 D) cis E) cis8 r i 4. arg(z) = ise 8 z karmaşık sayısıı esas 4. z = + 7i ise z ifadesii eşiti edir? argümeti kaç radyadır? 4 A) B) v C) D) 4 E) 8 A) 5r B) r C) 7r D) 9r E) r i. z = karmaşık sayısıı esas argümeti kaç i derecedir? 5r 5. arg( z + zi) = 6 ise arg(z) kaç radyadır? A) 5 B) C) 45 D) 5 E) 5 A) r B) r C) r D) r E) r z = cos5 i si5 ise arg z4 c m ifadesii eşiti kaç radyadır? A) r B) r C) r D) r E) r 6 6. z i = ise z + i ifadesii alabileceği tam sayı değerleri toplamı kaçtır? A) B) C) 5 D) 7 E) 4. E. D. A 4. B 5. A 6. D 7. D 8. A 9. E. B. A. E. C 4. A 5. B 6. C 5

33 I. Sol sü tu da verile karmaşık sayıları eşleiğii sağ sü tu da bulup eş leş ti riiz. a. i. + i b. i. i c. + i. + i d. i e. i 4. i 5. + i II. Sol sü tu da verile karmaşık sayıları mutlak değerii sağ sü tu da bulup eş leş ti riiz. a. + vi. b. i. v5 c. 4i. v d. + vi e. i III. Sol sü tu da verile karmaşık sayıları kutupsal biçimii sağ sü tu da bulup eş leş ti riiz. a. + vi. cis b. vi. cis7 c. i. cis9 d. i e. 4. cis 5. cis6 57

34 SOLDAN SAĞA. Bir deklemi doğrulaya elemaları kümesi 6. Hagi yaı daha büyük olduğuu göstere bağıtı 8. Karmaşık. Bir karmaşık sayıı başlagıç oktasıa ola uzaklığı. Bir karmaşık sayıı reel eksee göre simetiriği. Geometrik şekilleri koumuu sıralı bir sayı takımıyla göstermeye yaraya sistem 4. Karmaşık sayıları aalitik düzlemi oktalarıyla bire bir eşlemesi ile oluşturula düzlem YUKARIDAN AŞAĞIYA. Değişkeler arasıdaki ilişkiyi göstermeye yaraya çizgisel alatım şekli. Bir doğal sayıı. kuvveti 4. Gerçekte yeri olmayıp zihide tasarlaa, tahmii 5. Ayı özellikleri ola oktaları oluşturduğu çizgi veya yüzey 7. Bir karmaşık sayıı trigoometrik yazılışı yüzyılı öde gele matematikçileride biri. Saal 58

35 Aşağıdaki soruları her biride oktalı yerleri uygu şekilde dolduruuz.. Karesi ola sayıya... sayı birimi deir.. Bir karmaşık sayıı mutlak değeri ile argümetii oluşturduğu sıralı ikiliye bu sayıı... deir.. Bir karmaşık sayıı eşleiğii eşleiği... eşittir. 4. Reel kat sayılı ikici derecede bir deklemi bir kökü z ise diğer kökü... dir. 5. z = a + bi yazılışıa karmaşık sayıı... yazılışı deir. 6. Bir karmaşık sayıı reel eksee göre simetriğie bu sayıı... deir. 7. a + bi karmaşık sayısıı... işlemie göre tersi a bi dir. 8. Bir karmaşık sayıya karşılık gele oktaı... oktasıa ola uzaklığıa karmaşık sayıı mutlak değeri deir. 9. z = z (cosα + i siα) yazılışıa karmaşık sayıı... yazılışı deir.. i i ardışık... kuvvetii toplamı sıfırdır. 59

36 Aşağıdaki ifadelerde doğru olalar içi kutucuklara D, yalış olalar içi Y yazıız... 4 = dir.. m, R + ise m. = m.. m, R ise m. = m. 4. z + z = z + z 5. Bir karmaşık sayı ile eşleiği reel eksee göre simetriktir. 6. zz. = z 7. z + z = z + z 8. z.z = z. z 9. z = z. arg(z ) =.arg(z) 6

37 ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI. 989 ÖYS ( + i) 5 + ( i) 5 toplamı kaçtır? (i = ) A) 8 B) 5 C) D) 5 E) ÖYS Karmaşık düzlemde A(4 + 6i), B( i), C(4 + 5i) oktaları veriliyor. A ı [BC] i or ta sı a ola uzak lı ğı kaç bi rimdir? A) 5 B) 4 C) D) v E) v. 989 ÖYS z = i karmaşık sayı sı ı ku tup sal biçi mi, aşa ğı da ki ler de ha gi si dir? r r A) 9bcos + i si l 6 6 r r B) 9ccos + i si m r r C) ccos + i si m 7r 7r D) ccos + i si m 6 6 r r E) bcos + i si l. 99 ÖYS z = + i, z = i olduğua göre, 4 z+ z d aşağıdakilerde hagisie eşittir? z z ÖYS i + i = olduğua göre, c m sa yı sı aşa ğı daki lerde ha gi si i dir? A) i B) i C) D) E) i ÖYS Karmaşık düzlemde, z = i olduğua göre, z kaçtır? A) 5 5 B) C) D) E) 5 8 A) 6 8 B) C) i D) i E) i ÖYS i = olduğua göre, ( + i) ( + i ) ( + i 5 ) ( + i 7 ) çar pı mı, aşa ğı da kiler de ha gi si e eşit tir? A) B) 4 C) + i D) i E) 4i ÖYS Karmaşık düzlemde, (cosx + isix) = cos x + isi x olduğua göre, aşağıdakilerde hagisi x i değerleride biridir? A) r B) r C) r D) r E) r 6 4 6

38 Karmaşık Sayılar ÖYS z + i = eşitliğii sağla ya z kar ma şık sa yı la rı ı ge omet rik ye ri i dek le mi, aşa ğı daki ler de ha gi si dir? A) (x ) + (y ) = 6 B) (x ) + (y ) = 64 C) (x + ) + (y ) = D) (x 4) + (y ) = 8 E) (x 4) + (y 4) =. 997 ÖYS z = + 4i ve u = i kar ma şık sa yı lar ol du ğu a zu. gö re, değeri aşağıdakilerde ha gi si dir? 6+ i A) B) C) + i D) E) i. 995 ÖYS i = c ve pozitif tam sayı olmak üzere, i i ifadesii kısal tıl mış bi çi mi, aşa ğı daki ler de ha gi si i4 dir? A) i B) i + C) i D) E) ÖYS i =, z = + i olduğua göre, z 9 aşağıdakilerde hagisidir? A) i B) C) + i D) i E) + i. 995 ÖYS z = x + iy ve z = z olduğua göre, z i karmaşık düzlemdeki ge omet rik ye ri, aşağı da ki ler de ha gi si dir? A) Gerçek eksee dik bir doğru B) Saal eksee dik bir doğru C) birim çaplı bir çember D) Bir elips E) Bir parabol. 996 ÖYS z 5 i = ko şu lu u sağ la ya z kar ma şık sayı sı ı ar gü me ti θ ol du ğu a gö re, taθ kaç tır? A) B) C) D) E) ÖSS z + z = i eşitliğii sağ la ya z kar ma şık sa yı sı aşa ğı da ki ler de hagisidir? 5 A) i B) i C) + i D) i E) + i ÖSS Karmaşık sayılar kümesi üzeride işlemi, z z = z + z + z z biçimide taımlaıyor. Bua göre ( i) ( + i) işlemii soucu edir? A) + 8i B) 8i C) 8 + i D) 8 i E) i 6

39 Karmaşık Sayılar 7. 8 ÖSS z ve z kar ma şık sa yı la rı z = i dek le mi i kök le ri dir. Kar ma şık düz lem de z ve z ok ta la rı ara sıda ki uzak lık kaç bi rim dir? A) 4 B) C) D) E) 4. LYS z ile z i eşleiği gösterildiğie göre, z = + i karmaşık sayısı içi, z z ifadesi aşağıdakilerde hagisie eşittir? A) + i B) i C) + i D) i E) + i 8. 9 ÖSS cos 75 + i si 75 z = cos 5 + i si 5 karmaşık sayısı aşağıdakilerde hagisidir? + i i A) B) C) i D) E) + i. LYS z = + iv karmaşık sa yı sı aşa ğı da ki ler de ha gi si e eşit tir? A) r r bcos + i si l 6 6 B) r r bcos i si l 6 6 C) r r bcos + i si l D) r r 4bcos + i si l r r E) 4bcos i si l 9. LYS Karmaşık sayılar düzlemide z = z + deklemi aşağıdakilerde hagisii belirtir? A) x = doğrusu B) x = doğrusu C) x = doğrusu D) (x ) + y = çemberi E) x + (y + ) = çemberi. LYS b ve c gerçel sayılar olmak üzere, P(x) = x + bx + c poliomuu bir kökü i karmaşık sayısıdır. Bua göre, P( ) kaçtır? A) 5 B) C) D) 5 E). LYS Baş katsayısı ola, i ve i karmaşık sayılarıı kök kabul ede dördücü derecede gerçel katsayılı P(x) poliomu içi P() kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 7 E) 8 64

40 Karmaşık Sayılar 4. LYS z = a + bi (b ) ve w = c + di kar ma şık sayı la rı içi z + w top la mı ve z.w çar pı mı bi rer ger çel sa yı ol du ğu a gö re, I. z ve w birbirii eşleiğidir. II. z w gerçeldir. III. z + w gerçeldir. ifadeleride hagileri doğrudur? 7. LYS ( z + z).( z z) = i deklemii sağlaya z karmaşık sayılarıı saal kısmı aşağıdakilerde hagisie eşittir? z A) B) C) D) E) z z z z A) Yalız I B) Yalız II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III 5. LYS z ile z i eşleiği gösterildiğie göre, z = z r eşitliğii sağlaya ve argümeti ile π ara- sı da ola sı fır da fark lı z kar ma şık sa yı sı edir? A) + ^ h i B) + d i 8. LYS sayısıa ola uzaklığı birim ve i sayısıa ola uzaklığı birim ola z = a + ib karmaşık sayıları içi a b farkı kaçtır? A) B) C) D) E) C) + c m i D) + d i E) + c mi 6. LYS Karmaşık sayılar kümesi üzeride, f(z) =.z 6 foksiyou taımlaıyor. z = cos r c r m + isic m içi f(z ) kaçtır? A) + i B) i C) i D) E) 65

41 Karmaşık Sayılar.A.D.A 4.B 5.A 6.D 7.A 8.E 9.C.B.A.D.A 4.A 5.B 6.D 7.D 8.E 9.B.A.C.C.B 4.C 5.B 6.E 7.D 8.B 66

42 LOGARİTMA ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Üstel Foksiyo ve Logaritma Foksiyou. Kazaım : Üstel foksiyou oluşturur, taım ve görütü kümesii açıklar.. Kazaım : Üstel foksiyoları birebir ve örte olduğuu gösterir.. Kazaım : Logaritma foksiyouu üstel foksiyouu tersi olarak kurar. 4. Kazaım : Oluk logaritma foksiyouu ve doğal logaritma foksiyouu açıklar. 5. Kazaım : Logaritma foksiyouu özelliklerii gösterir ve uygulamalar yapar. Üslü ve Logaritmik Deklemler ve Eşitsizlikler. Kazaım : Üslü ve logaritmik deklem ve eşitsizlikleri çözüm kümelerii bulur.

43 ÜSTEL FONKSİYON a R + ve a olmak üzere, f : R R +, f(x) = a x şeklideki foksiyolara üstel foksiyo deir. colog a b = log a c m = log b a b a log b c = c log b a a y y = a x a > x y=a x a x a y y = a x < a < x x y=a x + a LOGARİTMALI DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER a R +, a, f(x) > ve g(x) > olmak üzere; log a f(x) = log a g(x) f(x) = g(x) a > ise log a f(x) < log a g(x) f(x) < g(x) < a < ise log a f(x) < log a g(x) f(x) > g(x) LOGARİTMA FONKSİYONU a R + ve a olmak üzere, f : R R +, f(x) = a x foksiyouu ters foksiyoua, a tabaıa göre logaritma foksiyou deir. f : R + R, f(x) = log a x olarak gösterilir. y = a x x = log a y Tabaı ola logaritmaya bayağı logaritma deir ve y = log x = log x biçimide gösterilir. Tabaı e, ola logaritmaya doğal logaritma deir ve y = log e x = lx ile gösterilir. KARAKTERİSTİK VE MANTİS x R +, k Z ve m < olmak üzere, log x = k + m şeklide yazılabilir. Burada k sayısıa karakteristik, m sayısıa matis (odalık kısım) deir. x > ike karakteristik, x i tam kısmıdaki basamak sayısıı eksiğie eşittir. < x < ike karakteristik, x i odalık yazılışıda sıfırda farklı ilk rakamda öceki sıfırları sayısıı egatifie eşittir. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ log a = log a a = LOGARİTMA FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ f : R + R, f(x) = log a x şeklideki logaritma foksiyouda log a (b ) =.log a b log (a ) b =.loga b log a (b.c) = log a b + log a c b log a c m= log c a b log a c y a y=log a x (a > ) x y y=log a x ( < a < ) a x a log a b = b log b c log a b = log a c log a b = log b a log a b.log b c.log c d = log a d x a y=log a x x a y=log a x y = a x ve y = log a x foksiyoları birbirii ters foksiyoları olduklarıda, grafikleri, y = x doğrusua göre simetriktir. 68

44 Logaritma Rehber Soru log [log (x )] = ise x kaçtır? Rehber Soru x = 5 eşitliğii sağlaya x değerii buluuz.. Aşağıdakileri her biride x değerlerii buluuz.. x = eşitliğii sağlaya x değerii buluuz. a. log x = b. log x = c. logx = d. log x =. x = eşitliğii sağlaya x değerii buluuz.. log(log x) = ise x kaçtır?. 5 x+ = v eşitliğii sağlaya x değerii buluuz.. log [ + log x] = ise x kaçtır? 4. x = eşitliğii sağlaya x değerii buluuz. 4. log [ + log x] = ise x kaçtır? 5. log v [log (log x)] = ise x kaçtır? 5. +x = eşitliğii sağlaya x değerii buluuz. 69

45 Logaritma Rehber Soru f(x) = x+ olduğua göre, f (x) foksiyouu eşitii buluuz. Rehber Soru 4 f(x) = log (x ) ise f (x) foksiyouu eşitii buluuz.. f(x) = x ise f (x) foksiyouu eşitii buluuz.. f(x) = log x ise f (x) foksiyouu eşitii buluuz.. f(x) = x+ ise f (x) foksiyouu eşitii buluuz.. f(x) = log(x ) ise f (x) foksiyouu eşitii buluuz.. f(x) = x ise f (x) foksiyouu eşitii buluuz.. f(x) = log (x ) ise f (x) foksiyouu eşitii buluuz. 4. f(x) = c m x ise f (x) foksiyouu eşitii buluuz. 4. f(x) = log x+ ise f (x) foksiyouu eşitii buluuz. 5. f(x) = x+ ise f (x) foksiyouu eşitii buluuz. 5. f(x) = log x ^ h ise f (x) foksiyouu eşitii buluuz. 7

46 Logaritma Rehber Soru 5 f(x) = log x (x x 6) foksiyouu e geiş taım kümesii buluuz.. f(x) = log (x ) foksiyouu e geiş taım aralığıı buluuz. 5. f(x) = log x (x 9) foksiyouu e geiş taım aralığıı buluuz.. f(x) = log(4 x) foksiyouu e geiş taım aralığıı buluuz. 6. f(x) = log x (x + x 4) foksiyouu e geiş taım aralığıı buluuz.. f(x) = log x (x + ) foksiyouu e geiş taım aralığıı buluuz. 7. f(x) = log(x mx + ) foksiyou x R içi taımlı bir foksiyo ise m i değer aralığıı buluuz. 4. f(x) = log +x ( x ) foksiyouu e geiş taım aralığıı buluuz. 8. f(x) = log[ 4 + (m + )x x ] foksiyou x R içi taımsız ise m i değer aralığıı buluuz. 7

47 Logaritma Rehber Soru 6 Aşağıdaki ifadeleri eşitii buluuz. log 9, log, log 4 4, log Rehber Soru 7 + log 4 + log 4 ifadesii tek logaritma altıda yazıız.. log 6 log ifadesii eşitii buluuz.. log 6 + log + ifadesii eşitii buluuz.. log 4 + log ifadesii eşitii buluuz.. + log ifadesii eşitii buluuz.. log log,, ifadesii eşitii buluuz. 9. log 4 + log log 4 ifadesii eşitii buluuz. 4. le + lve l e ifadesii eşitii buluuz. 4. log xyz x + log xyz y + log xyz z ifadesii eşitii buluuz. e 5. I e I e 4 ifadesii eşitii buluuz l + l ifadesii eşitii buluuz. 7

48 Logaritma Rehber Soru 8 log = a ve log = b ise log4 ü a ve b ciside değerii buluuz. Rehber Soru 9 loga logb + logc logd ifadesii tek bir logaritma altıda yazıız.. log = a ve log = b ise log i a ve b ciside değerii buluuz.. log = x ise log5 i x ciside değerii buluuz.. log = a ve log = b ise log6 ifadesii a ve b ciside değerii buluuz.. log = a ve log = b ise log 9 8 ifadesii a ve b ciside değerii buluuz.. log = a ve log7 = b ise log,8 ifadesii a ve b ciside değerii buluuz.. log = a ve log = b ise log75 i a ve b ciside değerii buluuz. 4. loga =, logb = ve logc = 4 ise log^ ab ch ifadesii eşitii buluuz. 4. log + log ifadesii eşitii buluuz. 5. l = x ve l = y ise l6v6 ifadesii x ve y ciside değerii buluuz. 5. log + log 5 ifadesii eşitii buluuz. 7

49 Logaritma Rehber Soru log = x ise log 4 8 ifadesii x ciside değeri edir? Rehber Soru log log 5 + log 5 log 5 ifadesii eşitii buluuz.. log = x ise log 8 ifadesii x ciside değeri edir?. log log + ifadesii eşitii buluuz. log 6 log 6. log 5 = x ise log 5 ifadesii x ciside değeri edir?. I4 log ifadesii eşitii buluuz. I6 log 6 5. log 5 = x ise log4 ifadesii x ciside değeri edir?. log 7 4 log 4 ifadesii eşitii buluuz. 4. log 6 8 = a ise log ifadesii a ciside değeri edir? 4. log log 5 5 l 6 l ifadesii eşitii buluuz. 5. log5 = x ise log 5 ifadesii x ciside değeri edir? 5. log 5 log 5 log log ifadesii eşitii buluuz. 74

50 Logaritma Rehber Soru + + log 8 log 8 log ifadesii eşitii buluuz. Rehber Soru Aşağıdaki ifadeleri eşitii buluuz. log 6, log, log ifadesii eşitii buluuz. log 6 log 6. log 7 8 ifadesii eşiti kaçtır?. + ifadesii eşitii buluuz. log log 5. log 9 ifadesii eşiti kaçtır?. + ifadesii eşitii bu- log log log luuz.. log 8 ifadesii eşiti kaçtır? log ifadesii eşitii buluuz. 4. log 4 ifadesii eşiti kaçtır? 5. + log ifadesii eşitii buluuz. 5. log,4 5 ifadesii eşiti kaçtır? 75

51 Logaritma Rehber Soru 4 log 5.log 5.log ifadesii eşitii buluuz. Rehber Soru 5 log = x ve log 5 = y ise log4 ifadesii x ve y türüde değerii buluuz.. log 5.log 5 4 ifadesii eşitii buluuz.. log = x ve log 7 = y ise log 4 ifadesii eşitii buluuz.. log v5.log 5 7.log 7 9 ifadesii eşitii buluuz.. log = x ve log 5 = y ise log ifadesii eşitii buluuz.. log.log 4 e.l ifadesii eşitii buluuz.. log 4 = a ve log v = b ise log 7 ab ifadesii eşitii buluuz. 4. log 6. log 4. log ifadesii eşitii buluuz. 4. log = a, log 5 = b ve log 5 7 = c ise log 4 ifadesii eşiti edir? 5. log.log 4.log log 5 6 ifadesii eşitii buluuz. 5. log 5 = a, log 5 = b ve log 7 = c ise log 8 ifadesii eşiti edir? 76

52 Logaritma Rehber Soru 6 +log ifadesii eşitii buluuz. Rehber Soru 7 log 7! = a ise log 8! ifadesii a ciside değeri edir?. log 4 ifadesii eşitii buluuz.. log! = x ise log 4! ifadesii x ciside eşitii buluuz.. log 5 ifadesii eşitii buluuz.. log 6! = x ise log 5! ifadesii x ciside eşitii buluuz.. e +l ifadesii eşitii buluuz.. log9! = x ise log! ifadesii x ciside eşitii buluuz log 7 8 ifadesii eşitii buluuz. 4. log! = x ise log99! ifadesii x ciside eşitii buluuz I ifadesii eşitii buluuz. 5. log 7! = a, log 9! = b ise log 9 ifadesii a ve b ciside eşitii buluuz. 77

53 Logaritma Rehber Soru 8 x = y olduğua göre, log 8 9 ifadesii x ve y ciside değeri edir? Rehber Soru 9 Aşağıdaki ifadeleri hagi iki ardışık tam sayı arasıda olduğuu buluuz. a. log b. log c. log4 d. log,6. x = y ise log 7 6 ifadesii x ve y ciside değeri edir? Aşağıdaki tabloyu uygu bir şekilde dolduruuz. Oluk say logaritmas log Oluk logaritma tam k sm. x = 5 y ise log ifadesii x ve y ciside değeri edir? log4 log46, log48 y x. = ise log 6 9 ifadesii x ciside değeri edir? log74,6 log446 log, log,7 4. x = ise log 6 ifadesii x ciside değeri edir? log, log, 78

54 Logaritma Rehber Soru log =, ise log,8 ifadesii eşitii buluuz. Rehber Soru log =, olduğua göre, 4 sayısı kaç basamaklıdır?. log =, ise log4 ifadesii eşitii buluuz.. logx = 4,46 ise x kaç basamaklı bir sayıdır?. log =, ise log,4 ifadesii eşitii buluuz.. log =, ise 4 kaç basamaklı bir sayıdır?. log =, ise log5 ifadesii eşitii buluuz.. log =,477 ise kaç basamaklı bir sayıdır? 4. log,54 = a ise log,54 ifadesii a ciside değeri edir? 4. log =, ise 5 kaç basamaklı bir sayıdır? 5. logx =,456 ve logy =, ise log(vx.y ) ifadesii eşitii buluuz. 5. log =, ve log =,477 ise log kaç basamaklı bir sayıdır? 79

55 Logaritma Rehber Soru a = log, b = log 7, c = log ise a, b, c sayıları arasıdaki sıralamayı buluuz. Rehber Soru a = log 5 4, b = log 8 9, c = log sayıları arasıdaki sıralamayı buluuz.. x = log 5, y = log, z = log ise x, y, z arasıdaki sıralamayı buluuz.. x = log, y = log, z = log 4 7 ise x, y, z arasıdaki sıralamayı buluuz.. x = log, y = log arasıdaki sıralamayı buluuz., z = log 4 6 ise x, y, z. x = log 9, y = log9, z = log v 5 ise x, y, z arasıdaki sıralamayı buluuz.. x = log 5, y = log, z = log ise x, y, z arasıdaki sıralamayı buluuz.. x = log, y = log, z = log 4 ise x, y, z arasıdaki sıralamayı buluuz. 4. x = log, y = log 4, z = log 8 64 ise x, y, z arasıdaki sıralamayı buluuz. 4. < < log x log y log z sıralamayı buluuz. ise x, y, z arasıdaki 5. x = log 6, y = log 5, z = log ise x, y, z arasıdaki sıralamayı buluuz. 5. log x < log y < log z ise x, y, z arasıdaki sıralamayı buluuz. 8

56 Logaritma Rehber Soru 4 f(x) = x+ foksiyouu grafiğii çiziiz. Rehber Soru 5 f(x) = log (x ) foksiyouu grafiğii çiziiz.. y = x foksiyouu grafiğii çiziiz.. f(x) = log x foksiyouu grafiğii çiziiz.. y = x foksiyouu grafiğii çiziiz.. f(x) = log x foksiyouu grafiğii çiziiz.. y = c m x foksiyouu grafiğii çiziiz.. f(x) = log (x ) foksiyouu grafiğii çiziiz. 4. y = x + foksiyouu grafiğii çiziiz. 4. f(x) = log (x + 4) foksiyouu grafiğii çiziiz. 5. y = c m x foksiyouu grafiğii çiziiz. 5. f(x) = + log (x 4) foksiyouu grafiğii çiziiz. 8

57 Logaritma Rehber Soru 6 y 4 x f(x)=a+log b (x c) f(x) = a + log b (x c) foksiyouu grafiği yukarıdaki gibidir. Bua göre f(6) kaçtır?. y. y y=log a x y=log b x x x f(x) = log a (x b) foksiyouu grafiği yukarıda verilmiştir. Bua göre a + b kaçtır? y=log c x Şekilde grafiği çizile foksiyolara göre a, b, c arasıdaki sıralamayı buluuz. 4. y. y f(x)=log a x 4 x x y=log a (x+b) f(x) = log a x foksiyouu grafiği yukarıdaki gibidir. Bua göre f () kaçtır? f(x) = log a (x + b) foksiyouu grafiği yukarıdaki gibidir. Bua göre a + b kaçtır? 8

58 Logaritma Rehber Soru 7 4 x. x + = deklemii çözüm kümesii buluuz.. x = 4 deklemii çözüm kümesii buluuz. 6. e x e x 6 = deklemii çözüm kümesii buluuz.. x + x+ + x+ = 4 deklemii çözüm kümesii buluuz. 7. x + x = deklemii çözüm kümesii buluuz.. x = deklemii çözüm kümesii buluuz. 8. x +. x = deklemii çözüm kümesii buluuz. 4. e x = deklemii çözüm kümesii buluuz. 9. e x + e = 4 deklemii çözüm kümesii buluuz. x. x x = deklemii çözüm kümesii 5. 4 x x = deklemii kökler toplamı kaçtır? buluuz. 8

59 Logaritma Rehber Soru 8 log x + log (x + 6) = 4 deklemii çözüm kümesii buluuz.. log (x ) = deklemii çözüm kümesii buluuz. 6. log (x ) + log (x + 6) = deklemii çözüm kümesii buluuz.. l(x ) = deklemii çözüm kümesii buluuz. 7. log x.log.log 4... log 5 6 = 4 deklemii çözüm kümesii buluuz.. log x (x + ) = deklemii çözüm kümesii buluuz. 8. logx log(x ) = log(x ) log(x ) deklemii çözüm kümesii buluuz. 4. log(x + 5) log(x 4) = deklemii çözüm kümesii buluuz. 9. log(x ) + log(x + ) = log(x 4) deklemii çözüm kümesii buluuz. 5. log (x + ) log 4 (x ) = deklemii çözüm kümesii buluuz.. log x + log x = deklemii çözüm kümesii buluuz. 84

60 Logaritma Rehber Soru 9 Aşağıdaki deklemleri çözüm kümelerii buluuz. a. log x + log x = b. logx + x log = 8 c. (lx) lx = 8. log x + log x = 5 deklemii çözüm kümesii buluuz. 5. (logx) logx = 4 deklemii çözüm kümesii buluuz.. log x + logx = deklemii çözüm kümesii buluuz.. logx + x log = 6 deklemii çözüm kümesii buluuz. 6. (log x) log x 4 log = deklemii çözüm kümesii buluuz lx + x l5 = deklemii çözüm kümesii buluuz. 7. lx + lx = 5 deklemii çözüm kümesii buluuz. 85

61 Logaritma Rehber Soru Aşağıdaki deklemleri çözüm kümelerii buluuz.. x logx = x deklemii çözüm kümesii buluuz. a. x logx = 6 x b. x log x = 9x. log x = x deklemii çözüm kümesii buluuz.. log x = 4x deklemii çözüm kümesii buluuz. 4. log x = log x deklemii çözüm kümesii buluuz. 5. lx log x e = deklemii çözüm kümesii buluuz. 6. log ( x 6) + x = deklemii çözüm kümesii buluuz. 7. x lx e +lx = deklemii çözüm kümesii buluuz. 86

62 Logaritma Rehber Soru c m 5 x x 5 > c m eşitsizliğii çözüm kümesii buluuz. Rehber Soru Aşağıdaki eşitsizlikleri çözüm kümelerii buluuz. a. log (x ) b. log (x ) > log. x x+ eşitsizliğii çözüm kümesii buluuz.. log (x ) eşitsizliğii çözüm kümesii buluuz.. x+ x c m > c m eşitsizliğii çözüm kümesii buluuz.. log (x + ) > log 5 eşitsizliğii çözüm kümesii buluuz. x x+ 4. c m c m eşitsizliğii çözüm kümesii 4 buluuz.. log(x + ) < eşitsizliğii çözüm kümesii buluuz. 4. x+ x 4 7 c m < c m eşitsizliğii çözüm kümesii 9 8 buluuz. 4. lx > eşitsizliğii çözüm kümesii buluuz. 87

63 Logaritma Rehber Soru log (x ) > eşitsizliğii çözüm kümesii buluuz. Rehber Soru 4 < log (x ) < eşitsizliğii çözüm kümesii buluuz.. log x > eşitsizliğii çözüm kümesii buluuz.. < log (x ) < eşitsizliğii çözüm kümesii buluuz.. log (x ) eşitsizliğii çözüm kümesii buluuz.. < log x < eşitsizliğii çözüm kümesii buluuz.. < l(x ) < eşitsizliğii çözüm kümesii buluuz.. log (x ) eşitsizliğii çözüm kümesii buluuz. 4. log (x ) < eşitsizliğii çözüm kümesii buluuz. 4. log (x ) < log (x + ) eşitsizliğii çözüm kümesii buluuz. 5. < log(x + ) < eşitsizliğii çözüm kümesii buluuz. 88

64 TEST. log(a + b) = loga + logb ise b i a ciside değeri aşağıdakilerde hagisidir? 5. log a b = k olduğua göre, log b a b i değeri aşağıdakilerde hagisidir? A) a a D) a+ a B) a a E) a + a C) a a + A) k D) k+ k B) k+ k E) k + k C) k k +. x = olduğua göre x kaçtır? A) log 4 B) log C) log 4 6 D) log 6 E) log log =, 4 ise log44 aşağıdakilerde hagisie eşittir? log =, 4 A),86 B), C) D),7 E) 4. log = a, log = b, log5 = c ve log6 = ise log7 i a, b, c ve ciside değeri edir? 7. log 5 = k olduğua göre, log 5 45 i k ciside değeri edir? A) a b + c B) a + b + c C) a b c D) a b c E) a b c A) k+ k D) k+ k B) k + k k E) k + C) k + 4. log x = a ise log x aşağıdakilerde hagisidir? A) a B) C) D) E) a a a a 8. log 8.log v 4 5.log 5 9 ifadesii eşiti aşağıdakilerde hagisidir? A) 8 B) 6 C) 9 D) 8 E) 5 89

65 Logaritma 9. + log 9 4 ifadesii eşiti aşağıdakilerde hagisidir? A) B) 6 C) 9 D) E) 48. log (x ) > eşitsizliğii e geiş çözüm aralığı (a, b) ise a + b kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5. log a 5 = x ise y i x ciside değeri aşa- log 5 a = y } ğıdakilerde hagisie eşittir? A) x B) x C) x D) x E) x 4. log [log x (log 8)] = deklemii sağlaya x değeri aşağıdakilerde hagisidir? A) v B) v C) D) v E). log x+ log y = ise x y 4 + kaçtır? x y = A) 5 B) 7 C) 49 D) 8 E) x log x = 9x deklemii çözüm kümesi aşağıdakilerde hagisidir? A) {, } B) ', C) {, 9 } D) ',9 E) ',9 9. f(x) = log (5x ) ise f () edir? A) B) C) D) 4 E) 5 6. log 6 (x + ) + log 6 x eşitsizliğii sağlaya x i değer aralığı aşağıdakilerde hagisidir? A) (, ] B) (, ) C) (, ] D) [, ) E) [, ].A.D.C 4.E 5.D 6.C 7.D 8.A 9.B.D.E.B.A 4.B 5.E 6.A 9

66 TEST. log(a b) = loga logb olduğua göre a ı b ciside değeri edir? b A) B) b b D) b b b E) b C) b b b 5. log = a ise log 9 8 i değeri edir? A) a B) a C) a D) a E) 6a. log =, log =,477 } ise log6 ifadesii değeri aşağıdakilerde hagisie eşittir? A),4 B),64 C),4 D),4 E),94 6. log e (lx) = x ise l(log e x) ifadesii eşiti aşağıdakilerde hagisidir? A) e x B) e C) e D) x E) x log 4 log 4. 9 ^, 5h ifadesii eşiti aşağıdakilerde hagisidir? A) 6 B) C) 8 D) 4 E) 7. logx + log4 = ise x edir? A) B) 5 C) D) 4 E) 5 4. log = a, log = b ise log44 ü a ve b ciside değeri aşağıdakilerde hagisidir? A) 4a + b B) 8ab C) a + b D) a 4 + b E) a + 4b 8. log [log (log 4 x)] = ise x aşağıdakilerde hagisidir? A) B) C) D) 48 E) 64 9

67 Logaritma 9. log a b = ise log (a b ) (a 4 b 5 ) ifadesii eşiti aşağıdakilerde hagisidir? A) 7 B) 9 C) D) E) 5. log (x ) + log x = eşitliğii sağlaya x değeri aşağıdakilerde hagisidir? A) B) C) D) E) 4 4. log (x ) + log kümesi edir? = deklemii çözüm. log 5 (log 4) = x ise x kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 A) {4 } B) {v } C) {v + } D) 5 ' E) ' ifadesii eşiti aşağıdaki-. log = a ise log, lerde hagisidir? log 5. x x = 6 deklemii kökler çarpımı kaçtır? A) B) C) D) E) 4 A) a B) a C) + a D) a E) a 6. e x + e 4 x = 4 deklemii çözüm kümesi aşağıdakilerde hagisidir? log 6 log ifadesii eşiti aşağıdakilerde hagisidir? I A) {l } B) ' C), I ' 4 A) B) 4 C) D) E) D), I ' E),, I '. B. A. B 4. A 5. B 6. D 7. B 8. E 9. B. A. B. C. E 4. C 5. C 6. B 9

68 TEST 6 log b log c. b.c = a ise + ifadesii eşiti aşağıdakilerde hagisidir? log a log a A) B) C) D) E) 4 5. log(a ) + log(b + ) logab = log ise log 9 (a b) kaçtır? A) B) C) D) E) 4 4. log a b = c ise log a b b a ifadesii eşiti edir? 6. log b log c + = log c log a log b b ise log a b.log c b kaçtır? A) + c + c B) + c + c C) + c + c A) 4 B) C) D) E) D) c + c E) + c + c. a.b olmak üzere, log a b log b a = ise a ile b arasıdaki bağıtı aşağıdakilerde hagisidir? 7. log 4. log 6. log 8 log log 4. log 6. log 8 log ifadesii eşiti edir? A) b = a B) b = a C) b = a D) b = a E) b = a A) B) C) D) 4 E) 5 4. ^Ixh. ^Ix h Ix. Ix = deklemii çözüm kümesi aşağıdakilerde hagisidir? log a hagisidir? b ifadesii eşiti aşağıdakilerde A) {e, e } B) {e, e } C) {, e } D) {, e } E) {e, e } A) log a b b B) log b a C) log b a D) log a b ab E) log a b 99

69 Logaritma 9. f(log x ) = x ise f () kaçtır?. log x + log (x + ) = deklemii kökü edir? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E). log _ log 5^log x hi = ise x aşağıdakilerde hagisie eşittir? A) B) C) 5 D) 47 E) log a b = ve 5a b = 8log b a ise a.b çarpımıı e büyük değeri kaçtır? A) 6 B) 48 C) 64 D) 8 E) 6. log =, ise log =,477 } log6 ifadesii eşiti edir? 5. a = b = 5 ise log 5 6 ifadesii a ve b ciside değeri aşağıdakilerde hagisidir? A) + B) + C) a b a b a+ b ab A),556 B),556 C),556 D),54 E),55 D) a b ab E) a b 6. x = log 6, y = log 4, z = log 6 5 olmak üzere, 5r 5r. log csi m ve log ccos m sayılarıı arit- metik ortalaması kaçtır? A) B) C) D) E) x, y, z arasıdaki sıralama aşağıdakilerde hagisidir? A) x < y < z B) y < x < z C) z < x < y D) x < z < y E) z < y < x. B. C. D 4. A 5. C 6. D 7. C 8. D 9. C. C. A. B. A 4. C 5. C 6. E

70 TEST 7. log 6 + log 8 7 log v 9 ifadesii eşiti edir? 5. log a b = x ise log a b a b 4 ifadesii eşiti edir? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 A) 4x x + B) 4x + x + C) 4x + x + 4x + D) x + E) 4x + x +. loga logb + logc = logx ise x aşağıdakilerde hagisie eşittir? A) a c c a B) b D) a c a C) b 5 c ac c E) b b c b 6. log = a, log = b ise log4 ifadesii a ve b türüde değeri edir? A) a + b B) a + b C) a + b D) a + b E) a + b. log ^. 4 h ifadesii eşiti edir? A) B) C) 8 D) E) 5 7. x = log, y = log 5, z = log 4 olmak üzere, x, y, z arasıdaki sıralama aşağıdakilerde hagisidir? A) x < z < y B) y < z < x C) y < x < z D) z < x < y E) x < y < z 4. x = y ise log x y ifadesii eşiti aşağıdakilerde hagisidir? A) B) C) D) E) 8. log = a ve log 5 = b ise log 45 ifadesii eşiti edir? A) a + b + B) a + b + C) a + b + D) a + b + E) a + b +

71 Logaritma 4 9. log 6. log 79. logx x edir? ifadesii eşiti. log x = log x 4 eşitliğii sağlaya x değerlerii çarpımı aşağıdakilerde hagisidir? A) B) 9 C) 7 D) 5 E) A) 4 B) C) v D) E) v 4. log ifadesii eşiti edir? A) B) C) 5 D) E) log (x ) log (x + 5) = log 9 deklemii 9 çözüm kümesi edir? A) { } B) { } C) {, } D) {4 } E) {, }. + + log 5 log 5 log ifadesii eşiti edir? 5. log x + log x 4 = deklemii çözüm kümesi edir? A) B) C) D) 5 E) A) {, } B) {, 4 } C) { } D) {4 } E) {, 4 }. f(x) = + log (x ) ise f (x) aşağıdakilerde hagisie eşittir? 6. log = a ve log 5 = b ise log 5 4 ifadesii a ve b türüde değeri aşağıdakilerde hagisidir? A) x D) x x B) x E) + x C) + A) a a+ b D) a+ ab a B) a + b E) a+ ab C) a+ ab. D. A. A 4. A 5. B 6. C 7. A 8. A 9. E. B. A. E. A 4. D 5. E 6. E

72 TEST. log 4 7 = a ise log i a türüde değeri edir? 5. x = log 6, y = log 8 ve z = log 4 5 ise aşağıdaki sıralamalarda hagisi doğrudur? A) a D) a B) a E) a C) + a A) z < y < x B) z < x < y C) x < y < z D) y < x < z E) y < z < x. f(x) = log ( x) (x + 6) foksiyouu taım kümeside kaç farklı x tam sayısı vardır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 6. a ve b olmak üzere, a log b a = va ise log a b + log b a toplamı kaçtır? 5 7 A) B) C) D) E). x (, ) olmak üzere, f(x) = log x foksiyouu alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 7. x+ = 5 x eşitliğii sağlaya x değeri aşağıdakilerde hagisidir? A) log 5 B) log 5 C) log 5 5 D) log 5 E) log a = ve 5 b = ise log 5 ü a ve b türüde değeri edir? A) a + b B) a.b C) b a 8. a = log ise işlemii soucu kaçtır? a a a a D) a b E) a b A) B) C) 4 D) E) 7 9

73 Logaritma 9. log(a b) = loga logb ise a ı b türüde eşiti edir? A) b b D) b b B) b b + E) b b b C) b +. log (x ) < log (x + ) eşitsizliğii çözüm kümesi aşağıdakilerde hagisidir? A) (, ) B), c m C) (, ) D) (, ) E) (, ). loga =,4 ise log a kaçtır? 4. x lx e 6+lx = deklemii çözüm kümesi aşağıdakilerde hagisidir? A),4 B),468 C),5 D),468 E),5 A) {e, e } B) {e, e } C) {e, e } D) {e, e } E) {e, e }. (logx) = log(x ) deklemii kökleri toplamı kaçtır? A) B) C) D) E) 5. log =, ise 6 kaç basamaklı bir sayıdır? A) 7 B) 8 C) 9 D) E). log [log (x 4)] < eşitsizliğii çözüm kümeside kaç farklı x tam sayısı vardır? A) B) C) D) 4 E) 5 6. I ifadesii eşiti edir? A) e B) e C) D) e E) e. E. C. B 4. B 5. A 6. C 7. D 8. E 9. D. C. E. A. D 4. E 5. C 6. A

74 TEST. f(x) = log x (x 7x 8) foksiyouu e geiş taım kümesi aşağıdakilerde hagisidir? A) (, 8) B) (, ) C) (, ) D) ( 8, ) E) (8, ) 5. log v 5.log 5.log 4 ifadesii eşiti edir? A) B) C) D) E). log = x ise log 5 ifadesii eşiti edir? A) x D) x B) x x E) x x C) x 6. f( log x) = 4 x + 9 x ise f() kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7. log 8 = x ise log ifadesii x ciside değeri edir? x + x A) B) C) x + x x D) E) x + x x x + x 7. log x + x log + 4 log vx = eşitliğii sağlaya x değeri kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) log 5 log 5 ifadesii eşiti aşağıda- 8. f(x) = log (x ) ise f (x) aşağıdakilerde hagisidir? kilerde hagisidir? x A) x + B) x C) + A) log 5 6 B) log 6 5 C) D) E) log 5 x x D) + E)

75 Logaritma 9. log 7! = x ise log 8! i x ciside değeri edir? A) x + B) x + C) x + D) x E) x. log =, ise 5 kaç basamaklıdır? A) B) C) D) 4 E) log + log + log log 4 5 ifadesii eşiti edir? 4. e x e x = deklemii sağlaya x değeri edir? A) B) e C) l D) l4 E) 4 A) B) C) D) E). 4 log 6 (x ) = ise x kaçtır? 5. log x + log x = deklemii sağlaya x değeri içi log x 9 kaçtır? A) 7 B) 7 C) 4 D) 9 E) 5 A) B) C) D) 5 E). a = 5 b ise log 5 8 ifadesii eşiti aşağıdakilerde hagisidir? 6. lx + lx = 4 deklemii çözüm kümesi aşağıdakilerde hagisidir? A) b a B) b a C) a b D) a b E) b a A) { } B) {e } C) { } D) {, } E) {, e }. E. A. B 4. C 5. A 6. C 7. E 8. C 9. C. B. A. B. D 4. C 5. C 6. E

76 I. Sol sü tu da ki foksiyoları e geiş taım kümelerii sağ sütuda bulup eşleştiriiz. a. f(x) = log (x ) b. f(x) = log(4 x ) c. x 4 f(x) = lc m x d. f(x) = log (x ) (5 x) e. f(x) = log (x + ) (x + ). (, ). (, 5) {}. (, ) 4. R {} 5. (, 4) II. Sol sü tu daki logaritmalı ifadeleri hagi aralıkta buluduğuu sağ sütuda bulup eşleştirelim. a. log7. (, ) b. log45. (, ) c. log. (, 4) d. log 5 65 e. log 4 4. (5, 6) 5. (4, 5) III. Sol sütudaki foksiyoları tersii sağ sütuda bulup eşleştiriiz. a. f(x) = log (x ). f (x) = (x ) b. f(x) = l(x ). f (x) = x c. f(x) = log( + x). f x (x) = e + d. f(x) = log x 4. f (x) = x + e. f(x) = l(x ) 5. f (x) = ex + 9

77 SOLDAN SAĞA. Bir veya bir çok değeri değişebile iceliklere bağlı olarak değişe icelik 6. f : A B foksiyou içi A kümesie verile ad 8. Hiç elemaı olmaya küme 9. Bir üslü eşitlikte taba ve souç belliyke üssü buluması yolu. Üslü sayılarda kuvveti alıa sayı. Tabaı e ola logaritma YUKARIDAN AŞAĞIYA. Bir kuvvete yükseltilmiş bir sayıı üzerie yazıla ve kaçıcı kuvvete yükseltildiğii göstere sayı. Tabaı ola logaritma 4. İçide yer ala bazı iceliklere acak uygu bir değer verildiğide sağlaabile eşitlik 5. Logaritma foksiyouu tersi 7. Logaritmaya ilişki. Pozitif veya sıfır olmaya

78 Aşağıdaki soruları her biride oktalı yerleri uygu şekilde dolduruuz.. f : R R +, f(x) = a x foksiyou a > içi... foksiyodur.. f : R + R, f(x) = log a x foksiyou < a < içi... foksiyodur.. de büyük bir sayıı oluk logaritması...tir. 4. de büyük bir sayıı oluk logaritmasıı tam kısmı, sayıı tam kısmıı... eşittir. 5. ile arasıdaki bir sayıı oluk logaritması...tir. 6. f : R + R, f(x) = log a x foksiyou a > içi... foksiyodur. 7. f(x) = a x ile f (x) = log a x foksiyolarıı grafikleri... doğrusua göre simetriktir. 8. logx = 4,76 ise x sayısı... basamaklıdır. 9. logx = 7,6 ise x sayısı... basamaklıdır.. Tabaı e ola logaritma foksiyoua... logaritma foksiyou deir.

79 Aşağıdaki ifadelerde doğru olalar içi kutucuklara D, yalış olalar içi Y yazıız.. f : R R +, f(x) = x foksiyou arta bir foksiyodur.. f : R R +, f(x) = c m x foksiyou azala bir foksiyodur.. f : R R +, f(x) = c m x foksiyou bire bir foksiyodur. 4. f : R R +, f(x) = x foksiyou örte bir foksiyo değildir. 5. log(a + B) = loga.logb 6. log(a.b) = loga + logb 7. log A = loga logb log B 8. log B A = loga logb 9. logxy =.logxy. log 4 sayısı 5 ile 6 arasıda bir sayıdır.

80 ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI. 98 ÖYS y = log 7 ve x = 7 5 ise y i değeri edir? x A) 5 B) C) 5 5 D) 5 E) ÖYS log 5 = a olduğua göre log 5 5 ifadesii değeri edir? A) a D) a a + B) a a E) a+ a C) a a. 98 ÖYS ( log ) + clog m ifadesii değeri edir? A) B) logv C) v logc m D) log c m E) v log ÖYS log656 = a, log = b, log = c olduğua göre log ü değeri edir? A) a b c B) a b c C) a b c D) a b c E) a b c. 98 ÖYS log a c = x, log b c = y olduğua göre x i a, b, y türüde değeri aşağıdakilerde hagisidir? A) log ab y B) log b a y D) y.log b a E) y.log a b C) log a b y ÖSS log(a + b) = loga + logb olduğua göre b i a türüde değeri edir? A) a a + D) a a B) a+ a a + E) a C) a a ÖYS log (log x) = eşitliğii sağlaya x değeri aşağıdakilerde hagisidir? A) B) C) 6 D) 8 E) ÖYS x l(xy) = a, lc m = b olduğua göre y x i değeri edir? A) e a+b B) e b a C) e a b D) e (a+b) E) e ab 4

81 Logaritma ÖSS logx + log = log8 logx deklemii çözümü edir? x A) B) 8 C) 6 D) 4 E). 988 ÖYS log =,, log =,477 olduğua göre, log6 ı değeri kaç olur? A),7 B),556 C),4 D),987 E), ÖYS la = p olarak verildiğie göre, loga aşağıdakilerde hagisie eşittir? A) ploge B) ploge C) ploge D) plog e E) p loge. 989 ÖSS a 5 = b olduğua göre, log b a kaçtır? A) B) 8 C) 5 D) 5 E) ÖYS y = log x i grafiği hagisi olabilir? A) y B) y x x ÖYS logx + log(x + ) = deklemii sağlaya değer edir? C) y D) y A) B) C) D) E) x x E) y x ÖYS log 7 (x 7) log 7 (x ) = olduğua göre, log 5 x i değeri edir? A) B) C) D) E) 4 5

82 Logaritma ÖYS log 5 = a olduğua göre, log 9 5 i değeri edir?. 994 ÖYS f(x) = log x, (gof)(x) = x + olduğua göre, g(x) aşağıdakilerde hagisidir? A) a B) a C) a D) a E) va A) x B) x C) x + D) x + E) x ÖYS log 5 + log 5 a = olduğua göre, a kaçtır? A) B) C) D) 5 E) ÖYS 4 log x = log 7 log 9 deklemii sağlaya x değe- x ri kaçtır? A) B) C) D) 6 E) ÖYS log a 9 = 4, log a = b olduğua göre, a.b çarpımı kaçtır? A) v B) v C) v D) E). 996 ÖYS log = a, log = b olduğua göre, log 7 i a ve b türüde değeri aşağıdakilerde hagisidir? A) b a B) a b C) a b D) a + b E) a + b ÖYS log (9. x+ ) = x + deklemii çözüm kümesi aşağıdakilerde hagisidir? A) {, } B) {, } C) {} D) {} E) {}. 997 ÖYS log (log (log 4 (x + ) ) ) = olduğua göre x kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) E) 6

83 Logaritma ÖYS log 4 log 4 log4 4 4 işlemii soucu kaçtır? A) B) C) 6 D) 8 E) 8. 9 ÖSS y f(x)=log a x x Yukarıda log a x foksiyouu grafiği verilmiştir ÖSS f: c, m R foksiyou f(x) = log (x + ) ile taımlaıyor. Bua göre, ters foksiyou belirte f (x) aşağıdakilerde hagisidir? A) f (x) = x B) f (x) = x + C) f (x) = log(x + ) D) f (x) = E) f (x) = x + x Bua göre, fcfc mm değeri kaçtır? 7 A) B) C) D) E) 9. LYS log 5 = a olduğua göre, log 5 5 i değeri kaçtır? A) a a + D) a+ a B) a+ a E) 4a C) a a ÖSS log (log (5x + 6)) = olduğua göre x kaçtır?. LYS + log 6 log 6 ifadesi aşağıdakilerde hagisie eşittir? A) 6 B) 8 C) 9 D) 5 E) 8 A) B) C) D) log 6 E) log ÖSS log log (a ) < 4 eşitsizliğii sağlaya kaç tae a tam sayısı vardır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7. LYS log (x 5) eşitsizliklerii sağlaya kaç tae x tam sayısı vardır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 7

84 Logaritma. LYS de farklı a, b, c pozitif gerçel sayıları içi, log a b = log a c = olduğua göre, kaçtır? 5 A) B) log b b d ifadesii değeri c a 5 C) D) 6 E) 5 4. LYS log x + log 4 x = deklemii sağlaya x değeri kaçtır? A) D) B) E) C) 5. LYS log 9 (x + x + ) = t, (x > ) olduğua göre, x i t tü rü de eşi ti aşa ğı da kiler de ha gi si dir? A) t B) t C) t D). t E) t 5. LYS x = 5 y = 4 olduğua göre, x.y çarpımıı değeri kaçtır? l l 5 l 5 A) B) C) l l l 4 l 5 D) l l 5 E) l 6.A.E.E 4.D 5.E 6. B 7.C 8.A 9. B. B.A.B. D 4. B 5. B 6.A 7.D 8.D 9.E.D.C.D.E 4. B 5.D 6.D 7.C 8. B 9. B. B.C.E.A 4.E 5.D 8

85 PERMÜTASYON KOMBİNASYON BİNOM OLASILIK ve İSTATİSTİK ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Permütasyo. Kazaım : Eşleme, toplama ve çarpma yoluyla sayma yötemlerii açıklar.. Kazaım : elemalı bir kümei r li permütasyolarıı belirleyerek, r N ve r olmak üzere, elemalı bir kümei r li permütasyolarıı sayısıı! P(, r) = ( )( ) ( r + ) = ( r )! olduğuu gösterir.. Kazaım : Döel (dairesel) permütasyo ile ilgili uygulamalar yapar. 4. Kazaım : Tekrarlı permütasyo ile ilgili uygulamalar yapar. Kombiasyo. Kazaım : elemalı bir kümei r li kombiasyolarıı belirleyerek, r N ve r olmak üzere, P (, r)! elemalı bir kümei r li kombiasyolarıı sayısıı C(, r) = = r! r!( r)! olduğuu ve kombiasyou özelliklerii gösterir. Biom Açılımı. Kazaım : Biom açılımıı yapar. Olasılık. Kazaım : Deey, çıktı, öreklem uzay, öreklem okta, olay, kesi olay, imkâsız olay, ayrık olaylar kavramlarıı açıklar.. Kazaım : Olasılık foksiyouu belirterek bir olayı olma olasılığıı hesaplar ve olasılık foksiyouu temel özelliklerii gösterir.. Kazaım : sa ( ) Eş olasılı (olumlu) öreklem uzayı açıklar ve bu uzayda verile bir A olayı içi, P(A) = se ( ) olduğuu belirtir. 4. Kazaım : Koşullu olasılığı açıklar. 5. Kazaım : Bağımsız ve bağımlı olayları öreklerle açıklar, A ve B bağımsız olayları içi P(A B) = P(A).P(B) olduğuu gösterir. İstatistik. Kazaım : Verile bir gerçek yaşam durumua uygu serpilme grafiği ve kutu grafiği çizer ve bu grafikler üzeride çıkarımlarda buluur.. Kazaım : Verile bir gerçek yaşam durumuu yasıtabilecek e uygu grafik türüü hagisi olduğua karar verir, grafiği oluşturur ve verile bir grafiği yorumlar.. Kazaım : Merkezi eğilim ve yayılma ölçüleri kullaılarak gerçek yaşam durumları içi hagi eğilim veya yayılım ölçüsüü kullaması gerektiğie karar verir. 4. Kazaım : Verile iki değişke arasıdaki korelasyo kat sayısıı hesaplar ve yorumlar.

86 Toplama Yoluyla Sayma Bir olayı oluşumu içi birde fazla seçeek varsa ve bu olayı oluşumu içi bu seçeeklerde bir ve yalız biri ayı ada kullaılabiliyorsa, olay bu seçeekleri toplamı kadar değişik şekilde oluşur. Çarpma Yoluyla Sayma Bir olaylar diziside birici olay değişik biçimde, buu izleye ikici olay değişik şekilde ve bu şekilde işleme devam edildiğide r. olay r değişik şekilde oluşuyorsa, olayı tamamı..... r çarpımı kadar değişik şekilde oluşur. DÖNEL PERMÜTASYON elemalı bir kümei elemalarıı bir daire üzeride birbirie göre farklı dizilişlerii her birie bu elemaı bir döel (dairesel) permütasyou deir. Solu elemaı farklı dairesel permütasyolarıı sayısı ( )! taedir. TEKRARLI PERMÜTASYON elemalı bir kümei; taesi ayı tür, taesi ayı tür,..., r taesi ayı tür ve r = ise bu tae elemaı permütasyolarıı sayısı! P ( ;, r) = kadardır. ( )!.( )! ( )! r KOMBİNASYON (SEÇME) FAKTÖRİYEL KAVRAMI de ye kadar ola ardışık doğal sayıları çarpımıa faktöriyel deir ve! ile gösterilir.! =..... ( ).! =! = olarak taımlaır. elemalı bir kümei r elemalı alt kümeleri sayısıa i r li kombiasyoları deir. i r li kombiasyolarıı sayısı! c m = Cr (, ) = biçimide buluur. r r!.( r)! c m= c m r r + c m+ c m= d r r r PERMÜTASYON (SIRALAMA) elemalı bir kümei birbiride farklı r tae elemaıda oluşmuş sıralı r lileri herbirie i r li bir permütasyou deir. i r li permütasyolarıı sayısı P(, r) ile gösterilir.! Pr (, ) = ( r)! P(,) =! P(,) = P(,) = c m= c m= c m= c m= P(,r) = C(,r).r! c m + c m + c m + + c m =.( ).( ) c m =.. Kombiasyoda sıraı öemi yoktur. elemaı r li seçimleri söz kousudur. Permütasyoda ise sıralı diziliş vardır.

87 OLASILIK Örek Uzay: Bir deeyde elde edilebilecek tüm souçları kümesie örek uzay deir ve E ile gösterilir. Olay: Örek uzayı herbir alt kümesie bir olay deir. E örek uzayıa kesi olay, boş kümeye ise olaaksız (imkasız) olay deir. Bir örek uzaya ait iki olayı arakesitleri (kesişimleri) boş küme ise bu iki olaya ayrık (bağımsız) olaylar deir. Olasılık Foksiyou E örek uzayıı tüm alt kümelerii oluşturduğu küme (kuvvet kümesi) K olsu. P : K [,] foksiyou aşağıdaki aksiyomları sağlarsa P foksiyoua olasılık foksiyou, P(A) görütüsüe de A olayıı olasılığı deir. i. A E P(A) ii. P(E) = iii. A,B E ve A B = ise P(A B) = P(A) + P(B) Teorem: A, B E ve P bir olasılık foksiyou ise a. P( ) = b. A B ise P(A) P(B) c. A = E A ise P(E) = P(A) + P(A ) = d. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) olur. Eş Olumlu Örek Uzay E = {a, a,..., a } bir solu örek uzay olsu. P(a ) = P(a ) =... = P(a ) ise E örek uzayıa eş olumlu örek uzay adı verilir. Eş olumlu bir uzayda, aksi belirtilmedikçe, olasılık sa ( ) foksiyou PA ( ) = olarak alıır. se ( ) İki olayda birii gerçekleşmesi veya gerçekleşmemesi diğerii gerçekleşme olasılığıı değiştirmiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar deir. P(A B) = P(A).P(B) Eğer iki olay bağımsız değilse bu olaylara bağımlı olaylar deir. KOŞULLU OLASILIK E örek uzay ve A ile B herhagi iki olay olsu. B olayıı gerçekleşmiş olması halide A olayıı gerçekleşmesi olasılığıa A olayıı B ye bağlı koşullu olasılığı deir ve P( A / B) biçimide gösterilir. PA ( + B) PA ( / B) = dir. PB ( ) E eş olumlu örek uzay ise, sa ( + B) PA ( / B) = dir. sb ( ) A ı B koşullu olasılığı hesaplaırke B kümesi örek uzay olarak düşüülüp işlem yapılabilir. BİNOM AÇILIMI ( x! ) açılımıa biom açılımı deir. y ( x+ y) = c m x + c m x y + c m x y + + c m y (x ± y) açılımıda; Her terimdeki x ve y çarpalarıı üsleri toplamı dir. + tae terim vardır. x r li terim c m. x. y dir. r Başta (r + ). terim, c m. r x r y r dir. Soda (r + ). terim, c mx r.y r dir. r Kat sayıları toplamı x = y = alıarak buluur. Ortaca terim içi r = dir.

88 Paskal Üçgei Biom açılımıdaki kat sayıları bulmak içi kullaılır. (x + y) İSTATİSTİK (x+y) (x+ y) (x+ y) (x+ y) (x + y) 5 İstatistik; örek verilerde hareket ederek popülasyo (aa kitle yığı) hakkıda yorumlama, geelleme ve tahmi yapma bilimidir. Ölçülmeye veya sayılmaya elverişli tüm calı ve casız varlıklar ve olaylara; okul, isa, bia, araba, doğum, ölüm, evleme, kâr zarar gibi kavramlara istatistiki birim deir. Birimleri sahip olduğu özelliklere değişke, değişkeleri aldığı değerlere de şık deir. Belirlee amaçlar içi gözleecek ola birimleri ölçülmesi, sayılması ve aldıkları değerleri belirlemesi ve kaydedilmesie veri derleme deir. İstatistik; Yei bilgilere ulaşmak ve buları geliştirmek içi yapıla araştırmalarda elde edile verileri düzelemek, Problem çözümleri içi çalışma tekikleri oluşturmak, Değişkeleri ürüleri ve üretim süreçlerii asıl etkileyeceğii tahmi etmek, Yapıla gözlem ve deeylerde elde edile souçları doğru yorumlamak ve alaşılır bir biçimde sumak, Souçları güveilirliğii test etmek gibi birçok amaç içi çoğu bilim dalıa yardımcı olmaktadır. İstatistiksel çalışmalar yapılırke, Grafikler Frekas Tabloları Merkezi Eğilim Ölçüleri Merkezi Yayılma (Dağılım) Ölçüleri (Değişkelik Ölçüleri) gibi yötemlerde yararlaılır. Frekas Gruplama soucuda oluşa ve belirli bir özelliği temsil ede birey sayısıa frekas deir. Frekas, bir özelliği bir olayda kaç kez tekrarladığıı gösterir. GRAFİKLER Verileri veya karşılaştırılması yapılacak değişkeleri çizgi, tablo, okta veya şekillerle ifade edilmesie grafik deir. Grafikler verileri suumua görsellik katararak daha kolay yorumlamasıı sağlar. Veri türlerie ve istee amaca göre çizilebilecek çeşitli grafik türleri vardır. Çizgi Grafiği Verileri yatay ve dikey eksedeki değerleri işaretleerek bulua oktaları çizgilerle birleştirilmesi soucuda elde edile grafikler çizgi grafikleridir. Özellikle bir değişkei zama içerisideki değişimii (artma, azalma) icelemek içi kullaıla e uygu grafiktir. Sütu Grafiği Bu grafik türüde toplaa bilgiler sütu şeklideki grafiklerle gösterilir. Sütu grafiğide iki ekse vardır. Yatay ve düşey eksede ölçüle değerleri birbirie göre durumları sütularla (çubuklarla) belirtilir. Çiftli sütular halide çizildiğide farklı iki veri kümesii karşılaştırılmasıı da sağlarlar. İsimsel veriler içi zorulu bir sıralama koşulu yoktur. Süreksiz (aralıklı) veriler içi çubuk grafiği, sürekli veriler içi de histogram olarak çizilir. Histogramda sütular birbirie bitişik ve veriler sıralıdır. Çubuk Grafiği Bazı çubuk grafiklerii çizimide aşağıdaki yollar takip edilir. Veriler küçükte büyüğe doğru sıralaır. Grup geişliği (aralık) buluur. Bu aralık e büyük veri ile e küçük verii farkıdır. Verileri kaç alt grupta toplaacağıa karar verilir. Tespit edile sayı grup geişliğie bölüerek alt grup geişliği buluur. Bu sayı odalık bir sayı ise yuvarlaarak tam sayı tespit edilir. Baze işlemi kolaylaştırmak içi alt grup sayısıı bulduğumuz sayıı yakııdaki başka sayı ile değiştirebiliriz.

89 Histrogram Alaı, ilgili sııfı frekasıa, tabaı da ilgili sııfı aralığıa eşit ola ve birbirie bitişik dikdörtgelerde oluşa bir grafik çeşitidir. Sürekli verileri göstermek içi çizilirler. Tek bir değişkei dağılımıı göstermek içi oldukça kullaışlı bir grafik suumudur. Daire Grafiği Eldeki verileri daire dilimleri biçimide suulmasıdır. Değişkeleri bir bütü içerisideki oraları, yüzde veya merkez açı ölçüleri gösterilerek hazırlaır. Her bir dilimi içie veya dilimi yakııdaki bir yere, o değişkei adı ve yüzdelik dilimi yazılır. Eğer merkez açılar kullaılacaksa her bir değişkee düşe merkez açılar ve buları toplamları 6 olacak şekilde daire dilimlere ayrılır. Bu grafik türüe pasta grafiği de deilmektedir. Kesikli veriler içi uygudur. Serpilme Grafiği İki değişkei bir arada icelemesi içi çizile grafiklerdir. Değişkelerde birii değerleri yatay, diğer değişkei değerleri de düşey eksede gösterilir. MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlee verileri düzeleerek, tablolarla, grafiklerle suulması çoğu durumda yeterli olmaz. Geel durumu yasıtacak bir takım ölçülere gereksiim vardır. Bu ölçüler merkezi eğilim ölçüleri olup e çok kullaılaları; ortalama (aritmetik ortalama), ortaca (medya), mod (tepe değeri) olmak üzere üç grupta toplaabilir. Ayrıca geometrik ortalama ve harmoik ortalama da merkezi eğilim ölçüleridir. Ortalama Merkezi eğilim ölçülerii e sık kullaılaıdır. Aritmetik ortalamayı ifade eder. Eldeki veriler toplamıı veri sayısıa bölümüdür. x ile gösterilir. Veri değerleri x, x,..., x ola tae veri içi, x + x x x = dir. Ağırlıklı Ortalama: Aritmetik ortalamada, her bir veri değerii öemii eşit olduğu varsayılmaktadır. Fakat bazı değerleri öemi diğerleride farklı olabilir. Bu durumlarda ağırlıklı ortalama kullaılır. Medya (Ortaca) Bir sayı dizisii medyaıı bulmak içi, sayılar küçükte büyüğe doğru sıralaır. Dizii terim sayısı tek ise ortadaki terim medyadır. Dizii terim sayısı çift ise ortadaki iki terimi aritmetik ortalaması medyadır. Mod (Tepe Değeri) Bir veri grubudaki e çok (e sık) tekrarlaa değere mod (tepe değeri) deir. Bir veri grubuda birde fazla tekrar ede değer yoksa, bu veri grubuu modu yoktur. Bir veri grubuda ayı sayıda tekrar ede birde fazla değer varsa, mod değeri de birde fazla olabilir. MERKEZİ YAYILMA (DAĞILIM) ÖLÇÜLERİ Verileri ortalamaya göre veya kedi aralarıda asıl bir dağılım gösterdiklerii icelemek içi merkezi dağılım ölçüleri kullaılır. Bular, Açıklık Çeyrekler açıklığı Varyas (değişim) Stadart Sapma olarak ifade edilirler. Açıklık (Aralık Raj) Bir veri kümeside bulua e büyük ve e küçük değer arasıdaki farktır ve geellikle R ile gösterilir. R = E Büyük Değer E Küçük Değer Çeyrekler Açıklığı (Q) Bir veri grubudaki terimler küçükte büyüğe doğru sıraladığıda ilk terime alt uç, so terime üst uç, buları ortasıdaki terime de ortaca deir. Ortacada küçük terimleri ortacasıa alt çeyrek (Q ) deir. Ortacada büyük terimleri ortacasıa üst çeyrek (Q ) deir. Bir başka ifade ile veri kümesii ilk % 5 lik kısmıı ortacasıa Q, soraki % 5 lik kısmıı ortacasıa da Q deir. Çeyrekler açıklığı = Üst çeyrek Alt çeyrek Q = Q Q Çeyrekler açıklı % % 5 % 5 % 75 %

90 Kutu Grafiği Bir değişkei sıklık dağılımıı göstermek içi kullaıla kutu grafikleri, dağılımı şekli, merkezi eğilimi ve değişkeleri yayılım düzeyii göstermesi açısıda kullaışlıdır. Kutu grafikleri veri içi çeyreklere dayalı grafiksel gösterimlerdir. Kutu grafiğii çizimi içi, e küçük değer (alt uç değer) alt çeyrek (Q ), ortaca, üst çeyrek (Q ) ve e büyük değer (üst uç değer) buluur. E Küçük De er Alt Çeyrek Ortaca Üst Çeyrek E Büyük De er VARYANS Gözlemlee değerleri (verileri) ortalama etrafıda asıl yayıldıklarıı (dağıldıklarıı) ölçüsüe varyas deir. (mü) : Yığı aritmetik ortalaması N : Yığıı oluştura birimleri sayısı v : Yığı varyası olmak üzere, v = N / i = ( x ) i N dir. x (x bar) : Örek aritmetik ortalaması : Öreği oluştura birimleri sayısı s : Örek varyası / ( x ) olmak üzere, s i x i = = dir. ve v popülasyou özelliklerii taımlaya parametrelerdir. İstatistikler, parametreleri birer tahmii değerleridir. Yai; x, ü, s ise v i tahmii değerleridir. Y N ( μ, σ ) Parametreler Örekleme Yorumlama Örek ( x, s ) statistikler İstatistik bilimi, örek verilerde hareket ederek popülasyo (aa kitle yığı) hakkıda yorumlama ve geelleme yapar. Verileri ortalama etrafıda daha uzak (geiş) bir dağılım göstermeleri durumuda varyas büyük, ortalamaya daha yakı değerler alması durumuda varyas küçük olur. Varyası küçük olması daha homoje ve birbirie yakı bir veri grubu olduğuu gösterir. Başka bir deyişle küçük varyas daha istikrarlı bir durum, büyük varyas ise daha riskli bir durum olduğuu göstergesi olarak yorumlaabilir. STANDART SAPMA Varyası karekök değerie stadart sapma deir. E yaygı merkezi yayılım ölçüsüdür. Varyasa bezer şekilde verileri ortalama etrafıda asıl bir yayılma gösterdiğii ölçüsüdür. Düşük stadart sapma değeri, bir araya toplamış ve ortalamaya daha yakı verileri çok olduğuu ölçüsüdür. STANDART PUANLAR Stadart pua gözlee puaları ortalamada ola farklarıı stadart sapma ciside belirtilmesidir. Stadart pualar, yapıla ölçümlerde elde edile puaları aritmetik ortalamasıı sıfır (), stadart sapmasıı bir () kabul edildiği pualardır. z puaı z puaı bir verii ortalamada kaç stadart sapma kadar uzakta olduğuu gösterir ve Ham pua Aritmetik ortalama z puaı = Stadart sapma X x z = s formülü ile hesaplaır. T puaı z puaı asıl ki verile puaları ortalaması, stadart sapması ola pualara döüşüyorsa, T puaı da verile puaları ortalaması 5, stadart sapması ola pualara döüştürür. z pualarıda T pularıa geçiş T = 5 +.z formülü ile elde edilir. 4

91 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru a. mektup 5 posta kutusua kaç değişik şekilde atılabilir? b. Her kutuya e çok bir mektup atmak koşuluyla mektup 5 posta kutusua kaç değişik şekilde atılabilir? Rehber Soru {,,, 4, 5 } kümesii elemalarıı kullaarak üç basamaklı a. Kaç sayı yazılabilir? b. Rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? c. E az iki rakamı ayı ola kaç sayı yazılabilir?. mektup 4 posta kutusua kaç değişik şekilde atılabilir?. {,,, 4, 5 } kümesii elemalarıı kullaarak üç basamaklı sadece rakamı ayı ola kaç sayı yazılabilir?. mektup 4 posta kutusua, her kutuya e çok bir mektup atılmak koşuluyla kaç türlü atılabilir?. {,,, 4, 5 } kümesii elemalarıı kullaarak üç basamaklı, rakamları farklı, 5 ile bölüebile kaç sayı yazılabilir?. kişilik bir sııfta bir başka, bir başka yardımcısı kaç türlü seçilebilir?. {,,, 4, 5, 6 } kümesii elemalarıı kullaarak 4 basamaklı, rakamları farklı 4 de büyük kaç sayı yazılabilir? 4. A ketide B ketie, B ketide C ketie 4 farklı yol vardır. Bir araç hem giderke hem de döerke B ye uğramak koşuluyla A da C ye kaç türlü gidip gelebilir? 4. {,,, 4, 5 } kümesii elemalarıı kullaarak üç basamaklı rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir? 5

92 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru A = {,,,, 4 } kümesii elemalarıı kullaarak üç basamaklı a. Kaç sayı yazılabilir? b. Rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? c. Rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir? Rehber Soru 4 Herkesi birbirie fotoğraf verdiği bir grupta toplam 56 fotoğraf el değiştirdiğie göre bu grupta kaç kişi vardır?. {,,, } kümesii elemalarıı kullaarak üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?. kişilik bir grupta herkes birbirie fotoğraf vermiştir. Toplam kaç fotoğraf dağıtılmıştır?. {,,,, 4, 5 } kümesii elemalarıı kullaarak üç basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir?. kişilik bir arkadaş grubuda herkes birbiri ile tokalaşmıştır. Toplam kaç tokalaşma olmuştur?. {,,,, 4 } kümesii elemaları ile rakamları farklı, üç basamaklı kaç tek sayı yazılabilir?. Herkesi birbiri ile tokalaştığı bir grupta toplam 78 tokalaşma olmuşsa bu grupta kaç kişi vardır? 4. {,,,, 4, 5 } kümesii elemaları ile rakamları farklı dört basamaklı de büyük kaç sayı yazılabilir? 4. Herkesi birbirie fotoğraf verdiği bir grupta, 7 fotoğraf el değiştirmişse bu grupta kaç kişi vardır? 5. {,,, 5, 7 } kümesii elemaları ile 4 basamaklı kaç çift sayı yazılabilir? 5. 6 takımlı bir futbol ligide her takım birbiriyle maç yapacaktır. Sezo soua kadar kaç maç yapılmış olur? 6

93 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 5 Aşağıdaki işlemleri souçladırıız.! a. b.! 6! + 7! c. 8! ( + )!! Rehber Soru 6 A =! +! +! ! olmak üzere, a. A sayısıı birler basamağıdaki rakam kaçtır? b. A sayısıı ile bölümüde kala kaçtır?. 7! 5! ifadesii eşitii buluuz..! +! + 4! ! sayısıı birler basamağıdaki rakam kaçtır?. 5! + 6! 6! + 7! ifadesii eşitii buluuz..! +! + 4! + 5! ! toplamıı ile bölümüde kala kaçtır?. (!)!. 7 ifadesii eşitii buluuz. 8!.! +! + 4! ! toplamıı ile bölümüde kala kaçtır? 4.! + ( + )! ( + )! ifadesii eşitii buluuz. 4.! +! + 5! ! toplamıı birler basamağıdaki sayı kaçtır? 5. 7! + 8! 7! 6! ifadesii eşitii buluuz. 5. 6! + 8! +! ! toplamıda elde edilecek sayıı olar basamağıdaki rakam kaçtır? 7

94 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 7 x ve y doğal sayılar olmak üzere, 8! = x.y eşitliğii sağlaya e büyük x değeri kaçtır? Rehber Soru 8 P(, ) = P(, ) eşitliğii sağlaya değerii buluuz.. 4! = x.y eşitliğide x ve y birer doğal sayı ise x e çok kaçtır?. P(+, 5) = 5P(, ) eşitliğii sağlaya kaçtır?. 9! = 4 x.y eşitliğide x ve y birer doğal sayı ise x e çok kaçtır?. 5P(4, ) = P(5, ) eşitliğii sağlaya kaçtır?.! = 6 x.y eşitliğide x ve y birer doğal sayı ise x i alabileceği değerler toplamı kaçtır?. P(, ) + P(, ) + P(, ) = 9 eşitliğii sağlaya kaçtır? 4. 48! sayısıı soda kaç basamağı sıfırdır? 4. P(, ) + P(, ) = 5 eşitliğii sağlaya kaçtır? 5. 5! sayısıı soda kaç basamağı 9 dur? 5. P(, 4) = P(, ) eşitliğii sağlaya kaçtır? 8

95 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 9 A = {a, b, c, d, e } kümesii lü permütasyolarıı kaç taeside a buluur? Rehber Soru 4 kız ve erkek ya yaa a. Kaç farklı şekilde sıralaabilir? b. Erkekler bir arada olmak koşuluyla kaç türlü sıralaabilir? c. Bir kız - bir erkek düzeide kaç türlü sıralaabilirler?. A = {,,, 4 } kümesii lü permütasyolarıı sayısıı buluuz.. 5 matematik, 4 kimya kitabı bir kütüphaei rafıa a. Kaç türlü sıralaabilir?. 6 tae ikili permütasyou ola küme kaç elemalıdır? b. Matematikler bir arada olmak koşuluyla kaç türlü sıralaabilir?. A = {a, b, c, d, e, f } kümesii üçlü permütasyolarıı kaç taeside a buluur? c. Ayı tür kitaplar bir arada olmak koşuluyla kaç türlü sıralaabilir? 4. A = {,,, 4, 5 } kümesii üçlü permütasyolarıı kaç taeside veya buluur? d. Bir matematik - bir kimya kitabı olacak şekilde kaç türlü sıralaabilir? 5. A = {a, b, c, d, e } kümesii üçlü permütasyolarıı kaç taeside a ve b buluur? e. Matematikler bir arada ve hep ortada olmak koşuluyla kaç türlü sıralaabilir? 9

96 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru sayısıı rakamlarıı yer değiştirerek, 7 basamaklı a. Kaç sayı yazılabilir? b. ile başlaya ile bite kaç sayı yazılabilir? Rehber Soru 4 kız ve erkekte oluşa bir grup yuvarlak masa etrafıda oturacaktır. a. Kaç türlü oturabilirler? b. Erkekler bir arada olmak üzere kaç türlü oturabilirler?. P A P A T Y A sözcüğüdeki harfleri yer değiştirerek alamlı ya da alamsız 7 harfli a. Kaç sözcük üretilebilir? b. Bu sözcüklerde kaç taesi P ile başlar, Y ile biter?. Ae, baba ve çocukta oluşa bir aile yuvarlak masa etrafıda a. Kaç türlü oturabilirler? b. Çocuklar bir arada olmak üzere kaç türlü oturabilirler? c. Ae ve baba bir arada olmak üzere kaç türlü oturabilirler?. sayısıı rakamlarıı yer değiştirerek 6 basamaklı kaç sayı yazılabilir?. sayısıı rakamlarıı yer değiştirerek 7 basamaklı kaç çift sayı yazılabilir?. 4 kız ve 4 erkekte oluşa bir grup yuvarlak masa etrafıda a. Kaç türlü oturabilirler? b. Kızlar bir arada olmak üzere kaç türlü oturabilirler? c. Ayı cisiyette ola iki kişi ya yaa gelmeyecek şekilde kaç türlü oturabilirler? 4

97 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 6 kişii katıldığı bir yarışmada ilk üç sıra kaç değişik biçimde oluşabilir? Rehber Soru 4 C(, ) + C(, ) + C(, ) + C(, ) = eşitliğii sağlaya kaçtır?. 7 kişii katıldığı bir yarışmada ilk üç sıra kaç değişik biçimde oluşabilir?. C(7, ) + C(7, 7) + C(7, ) + C(8, ) toplamıı eşiti kaçtır?. {a, b, c, d, e } kümesideki harfleri kullaarak alamlı ya da alamsız üç harfli kaç sözcük oluşturulabilir? d + d + d + + d toplamıı eşiti kaçtır? 7. {,,, 4, 5, 6 } kümesii elemaları ile rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?. C(, ) + C(, ) = 8 eşitliğii sağlaya kaçtır? 4. 5 farklı oyucak, çocuğa her birie oyucak vermek koşuluyla kaç farklı şekilde dağıtılabilir? 4. C(+, ) + C(, ) = 8 eşitliğii sağlaya kaçtır? 5. 6 kişide kişi ya yaa dura sadalyeye kaç değişik şekilde oturabilir? 5. P(, ) + C(, ) = eşitliğii sağlaya kaçtır? 4

98 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 5 A = {,,, 4, 5, 6 } kümesii 4 elemalı alt kümelerii kaç taeside buluur? Rehber Soru 6 6 kız, erkekte oluşa bir arkadaş grubu içide ü kız, si erkek ola 5 kişilik kaç ekip oluşturulabilir?. A = {,,, 4, 5 } kümesii elemalı alt kümelerii kaç taeside buluur?. 5 kız, 4 erkekte oluşa bir grupta si kız ü erkek ola 5 kişilik kaç ekip oluşturulabilir?. A = {a, b, c, d, e, f } kümesii 4 elemalı alt kümelerii kaç taeside a buluur, b bulumaz?. 6 kız, 4 erkekte oluşa bir grupta e az ü erkek ola 4 kişilik ekip kaç türlü oluşturulabilir?. A = {a, b, c, d, e, f } kümesii elemalı alt kümelerii kaç taeside a ve b buluur?. 6 Türkçe, 5 Matematik öğretmeii buluduğu bir grupta e az biri matematikçi ola 5 kişilik kaç ekip oluşturulabilir? 4. A = {,,, 4, 5, 6 } kümesii 4 elemalı alt kümelerii kaç taeside veya buluur? 4. Hepsi birbiride farklı ola 4 Türkçe, 5 Matematik, 6 Kimya kitabı arasıda Türkçe, Matematik ve Kimya kitabı kaç türlü seçilebilir? 5. A = {,,, 4, 5 } kümesii elemalı alt kümelerii kaç taeside veya buluur bulumaz? 5. soruluk bir sıavda, soruları 6 taesii yaıtlayacak ola bir öğreci ilk 4 soruda e az üü yaıtlamak koşuluyla kaç değişik seçim yapabilir? 4

99 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 7 Herhagi üçü doğrusal olmaya 8 okta e fazla a. Kaç doğru oluşturur? b. Kaç üçge oluşturur? c. Kaç çokge oluşturur? Rehber Soru 8 A B C D p t E F K L M Şekildeki iki doğru üzerideki 9 okta ile, köşeleri bu oktalar ola kaç üçge oluşturulabilir?. Herhagi üçü doğrusal olmaya 7 okta ile e fazla kaç üçge oluşturulabilir?. A B C. Herhagi üçü doğrusal olmaya 6 okta ile e fazla kaç dörtge oluşturulabilir? D E F K Şekildeki 7 okta ile kaç üçge oluşturulabilir?. Bir çember üzerideki 9 oktada bir taesi A dır. Bu oktalarla bir köşesi A ola kaç üçge oluşturulabilir?. 4 taesi doğrusal ola 9 oktada e fazla kaç üçge oluşturulabilir?. 4. Bir çember üzerideki oktada iki taesi A ve B dir. Bu oktalarla iki köşesi A ve B ola kaç üçge oluşturulabilir? A E B F K C D k k ve doğruları üzerideki 7 okta ile; a. Kaç doğru oluşturulabilir? 5. Bir çember üzerideki 7 okta ile kaç çokge oluşturulabilir? b. Kaç üçge oluşturulabilir? c. Bir köşesi A ola kaç üçge oluşturulabilir? 4

100 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 9 Şekildeki yatay ve düşey doğrular kedi aralarıda paraleldirler. Bu doğrularla kaç paralelkear oluşmuştur? Rehber Soru 5 farklı çemberi kesişmesi ile e çok kaç tae kesim oktası oluşur?. paralel yatay doğru ile 4 paralel düşey doğru kaç paralelkear oluşturur?. Herhagi 6 farklı çember e çok kaç oktada kesişir?. Şekildeki yatay ve düşey doğrular kedi aralarıda paraleldir. Bu doğrularla kaç paralelkear oluşmuştur?. Herhagi 4 üçgei herhagi iki kearı veya kearlarıı bir parçası çakışık değildir. Bu üçgeler e çok kaç oktada kesişir?. Şekildeki yatay doğrular düşey doğrulara diktir. Şekilde kaç dikdörtge vardır?. Herhagi 4 dörtgei herhagi iki kearı veya kearlarıı bir parçası çakışık değildir. Bu dörtgeler e çok kaç oktada kesişir? 4. Şekilde bir kearı br ola kare yatay ve düşey doğrularla bölümüştür. Şekildeki dikdörtgelerde kaç taesi kare değildir? 4. Kearları veya kearlarıı parçaları çakışık olmaya 5 kare e çok kaç oktada kesişir? 44

101 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru (x y) ifadesii açılımıı yapalım. Rehber Soru (x 4y) açılımıda 5 terim buluduğua göre, bu terimleri kat sayıları toplamı kaçtır?. (x 4y) ifadesii açılımıı yapıız.. (x 4y) 5 açılımıda kat sayılar toplamı kaçtır?. (x + y) ifadesii açılımıı yapıız.. (a b + c) 6 açılımıda kat sayılar toplamı kaçtır?. (x y) 4 ifadesii açılımıı yapıız.. (x y) açılımıda 6 terim buluduğua göre, bu terimleri kat sayıları toplamı kaçtır? 4 b 4. ca m ifadesii açılımıı yapıız. 4. (x x + 4) açılımıda sabit terim kaçtır? 5. (a b) 5 ifadesii açılımıı yapıız. 5. (x ay) 6 açılımıda kat sayılar toplamı 64 ise a ı pozitif değeri kaçtır? 45

102 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru (x y) 5 açılımıda başta. terim edir? Rehber Soru 4 (x y) 6 açılımıda ortadaki terim edir?. (x y) 4 açılımıda başta. terim edir?. (x y) 4 açılımıda ortadaki terim edir?. (x + ) 5 açılımıda başta. terimi kat sayısı kaçtır?. (a + b) 6 açılımıda ortadaki terim edir?. cx 6 m açılımıda başta 4. terim edir? x. (x vx) 8 açılımıda ortadaki terimi kat sayısı kaçtır? 4. (vx x) 6 açılımıda başta. terim edir? 4. ( x ) 6 açılımıda ortadaki terimi kat sayısı kaçtır? 5. (x + y) 9 açılımıda başta 5. terimi kat sayısı kaçtır? 4 5. cx m açılımıda ortadaki terim edir? x 46

103 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 5 6 c + x m açılımıdaki terimlerde biri Ax 6 ise x A kaçtır? Rehber Soru 6 (x y) 5 açılımıda soda. terim edir?. (x ) 6 açılımıda x 8 li terimi kat sayısı kaçtır?. cx m açılımıda soda 4. terim edir? x. cx x 8 m açılımıda x 5 li terimi kat sayısı kaçtır?. (x ) 6 açılımıda soda 5. terim edir?. c x kaçtır? 8 x m açılımıda x li terimi kat sayısı. cx 8 m açılımıda soda. terim edir? x 4. (x x) 6 açılımıdaki terimlerde biri Ax 9 ise A kaçtır? 4. (x y ) 7 açılımıda soda 4. terimi kat sayısı kaçtır? 5. (x y) açılımıdaki terimlerde biri Ax 6 y 9 ise A kaçtır? 6 5. da + açılımıda soda. terimi kat sayısı a kaçtır? 47

104 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 7 8 cx + m x açılımıdaki sabit terim kaçtır? Rehber Soru 8 (x + y z) 6 açılımıdaki terimlerde biri Ax y z ise A kaçtır? 6. cx m açılımıdaki sabit terim kaçtır? x. (x y z) 6 açılımıda terimlerde biri Ax y z ise A kaçtır? 9. x c m açılımıdaki sabit terim kaçtır? x. (x y + z) 6 açılımıdaki terimlerde biri Ax y z ise A kaçtır?. cx a 8 + x m açılımıdaki sabit terim 7 ise a ı pozitif değeri kaçtır?. (x y + z) 5 açılımıdaki terimlerde biri Ax yz ise A kaçtır? 4. c x x m açılımıda başta 7. terim sabit olduğua göre kaçtır? 4. (x y + z ) 8 açılımıdaki terimlerde biri Ax y z 6 ise A kaçtır? 48

105 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 9 Bir çift zar atılıyor. Zarları üzerideki sayıları a. Ayı olması olasılığı kaçtır? b. Toplamlarıı 9 olma olasılığı kaçtır? c. Toplamlarıı e az olma olasılığı kaçtır?. Bir çift zar atıldığıda gele sayıları toplamıı olma olasılığı edir? 5. Bir çift zar atıldığıda gele sayıları toplamıı e az olma olasılığı edir?. Bir zar atıldığıda gele sayıı asal sayı olma olasılığı kaçtır? 6. Bir çift zar atıldığıda gele sayıları toplamıı olma olasılığı edir?. Bir çift zar atıldığıda gele sayıları farklı olma olasılığı kaçtır? 7. Bir çift zar atıldığıda gele sayıları toplamıı e çok 4 olma olasılığı kaçtır? 4. Bir çift zar atıldığıda gele sayıları ikisii de asal sayı olma olasılığı edir? 8. Bir zar art arda iki kez atıldığıda ilk atışta gele sayıı, ikici atışta gele sayıda büyük olma olasılığı kaçtır? 49

106 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 4 madei para atıldığıda, üçüü yazı, birii tura gelme olasılığı edir?. madei para atıldığıda ikisii de yazı gelme olasılığı kaçtır? 6. Bir para üç kez art arda atıldığıda e çok birii yazı gelme olasılığı kaçtır?. Bir madei para kez art arda atıldığıda birii yazı diğerii tura gelme olasılığı kaçtır? 7. 5 madei para atıldığıda ikisii yazı, üçüü tura gelme olasılığı kaçtır?. Bir madei para kez art arda atıldığıda biriciside yazı, ikiciside tura gelme olasılığı kaçtır? 8. 5 madei para atıldığıda e az ikisii yazı gelme olasılığı kaçtır? 4. Bir madei para kez üst üste atıldığıda e az biride yazı gelme olasılığı kaçtır? 9. 6 madei para atıldığıda dördüü tura, ikisii yazı gelme olasılığı kaçtır? 5. Bir para üç kez art arda atıldığıda (veya üç para ayı ada atıldığıda) ikisii yazı birii tura gelme olasılığı kaçtır?. 6 madei para atıldığıda e çok ikisii tura gelme olasılığı kaçtır? 5

107 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 4 kız, erkek ya yaa fotoğraf çektireceklerdir. Kızları bir araya gelme olasılığı kaçtır?. kız, 5 erkek ya yaa sıraladığıda erkekleri bir araya gelme olasılığı kaçtır? 5. Aralarıda Mert ve Pıar ı da buluduğu 7 kişilik bir grup ve 4 kişilik iki ekibe ayrılacaktır. Mert ile Pıar ı ayı ekipte olma olasılığı kaçtır?. 4 kız, 4 erkek yuvarlak masa etrafıda yemek yiyeceklerdir. Ayı cisiyette olaları ya yaa gelmeme olasılığı kaçtır? 6. Aralarıda Meriç ve Sele i de buluduğu 8 kişi ve 5 kişilik iki gruba ayrılacaktır. Meriç ile Sele i ayı grupta bulumama olasılığı kaçtır?. kız (K), erkek (E) ya yaa sıraladığıda KEKEK sıralamasıı elde edilme olasılığı kaçtır? 7. ECEM sözcüğüdeki harfleri yer değiştirerek elde edilebilecek alamlı veya alamsız sözcüklerde biri alıdığıda buu C ile başlayıp M ile bitme olasılığı kaçtır? 4. Ae, baba ve 4 çocukta oluşa bir aile yuvarlak masa etrafıda oturduğuda ae ile babaı ya yaa gelme olasılığı kaçtır? 8. sayısıı rakamları yer değiştirilerek elde edilebilecek 7 basamaklı sayılarda bir taesi alıdığıda buu ile başlama olasılığı kaçtır? 5

108 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 4 sarı, lacivert bilyei buluduğu bir torbada üç bilye rastgele alııyor. a. Üçüü de sarı olma olasılığı kaçtır? b. Üçüü de ayı rek olma olasılığı kaçtır? c. İkisii sarı, birii lacivert olma olasılığı kaçtır?. 4 kırmızı, 5 beyaz bilyei buluduğu bir torbada rastgele bilye alııyor. Buu kırmızı olma olasılığı kaçtır? 6. Bir torbada kırmızı, 5 beyaz, 4 mavi bilye vardır. Bu torbada geri atılmamak koşuluyla art arda bilye çekiliyor. İlk ikisii mavi, üçücüsüü beyaz olma olasılığı kaçtır?. kırmızı, beyaz ve 4 mavi bilyei buluduğu bir torbada rastgele bir bilye alıdığıda buu kırmızı veya beyaz olma olasılığı kaçtır?. sarı, 5 kırmızı bilyei buluduğu bir torbada rastgele bilye alıdığıda, bilyeleri farklı rekte olma olasılığı kaçtır? 7. Bir kutudaki 8 lambada taesi bozuktur. Bu kutuda alıa lambada e az birii bozuk olma olasılığı kaçtır? 4. mavi, 4 kırmızı bilyei buluduğu bir torbada rastgele bilye alıdığıda ikisii de kırmızı olma olasılığı kaçtır? 8. Bir torbada sarı, mavi, 4 beyaz bilye vardır. Torbada rastgele bilye alıdığıda e çok taesii beyaz olma olasılığı kaçtır? 5. Bir torbada kırmızı, 5 beyaz, 4 mavi bilye vardır. Bu torbada geri atılmamak koşuluyla art arda bilye çekiliyor. İkisii mavi, birii beyaz olma olasılığı kaçtır? 9. 4 kız ve 5 erkekte oluşa bir grupta rastgele üç kişi seçiliyor. E az birii kız olma olasılığı kaçtır? 5

109 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru Herhagi üçü doğrusal olmaya 7 oktada biri A dır. Bu oktaları köşe kabul ede üçgelerde biri seçildiğide buu bir köşesii A olma olasılığı kaçtır?. Herhagi üçü doğrusal olmaya 8 oktada biri A dır. Bu oktaları köşe kabul ede üçgelerde biri seçildiğide buu bir köşesii A olma olasılığı kaçtır? 5. Çember üzerideki 6 okta ile oluşturulabilecek çokgelerde biri seçiliyor. Buu üçge olma olasılığı kaçtır? F A B C E D. Herhagi üçü doğrusal olmaya 6 oktada ikisi A ve B dir. Bu oktaları köşe kabul ede üçgelerde biri seçildiğide buu bir kearıı [AB]. olma olasılığı kaçtır? A B C k 6. Şekildeki yatay doğrular düşey doğrulara diktir. Oluşa dikdörtgelerde biri seçildiğide buu birim kare olma olasılığı kaçtır? D E F M k ve doğruları üzerideki 7 okta ile oluşturulacak üçgelerde biri seçildiğide tabaıı k üzeride olma olasılığı kaçtır? 7. A 4. A B C D N E F K Şekildeki 8 oktada taesi rastgele seçilirse sadece birii çembere ait olma olasılığı kaçtır? B C Şekildeki çizgiler bir keti dik kese sokaklarıı göstermektedir. A da hareket edip C ye e kısa yolda gidecek ola birii B de geçme olasılığı kaçtır? 5

110 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 4 E örek uzayıda iki olay A ve B dir. P(A) =, P(B) =, P(A B) = 4 6 a. P(A B) b. P(A B ) ifadelerii eşitii buluuz. ise Rehber Soru 5 6 kız ve 4 erkekte oluşa bir grupta kızları ü, erkekleri si gözlüklüdür. Bu grupta rastgele seçile birii kız veya gözlüklü olma olasılığı edir?. E örek uzayıda iki olay A ve B dir. P(A) =, P(B ) = ve P(A B) = 5 5 P(A B) kaçtır? ise. kız ve 8 erkekte oluşa bir grupta kızları 4 ü, erkekleri 5 i esmerdir. Bu grupta seçile birii erkek veya esmer olma olasılığı edir?. E örek uzayıda iki olay A ve B dir. P(A) =, P(B ) = ve P(A B) = ise 4 4 P(A B) kaçtır?. Bir zar ve madei bir para atılıyor. Zarı 4 te büyük ve paraı yazı gelme olasılığı kaçtır?. E örek uzayıda iki olay A ve B dir. P(A) = 4, P(B ) = ve P(A B) = ise 5 5 P(A B ) kaçtır?. Bir zar ve madei iki para atılıyor. Zarı asal sayı ve paraları ikisii de tura gelme olasılığı kaçtır? 4. E örek uzayıda iki olay A ve B dir. 4 P(A B ) =, P(B) = ise P(A B) kaçtır? Bir zar ve madei bir para atılıyor. Zarı çift sayı veya paraı yazı olma olasılığı kaçtır? 54

111 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 6 İki torbada biriciside beyaz, 4 kırmızı, ikiciside 4 beyaz, 5 kırmızı bilye vardır. Torbalarda biri rastgele seçilip içide bir bilye alıırsa bu bilyei beyaz olma olasılığı edir? Rehber Soru 7 İki torbada biriciside beyaz, 4 kırmızı; ikiciside beyaz, kırmızı bilye vardır. Birici torbada bir bilye alııp ikici torbaya atılıyor ve ikici torbada bir bilye alııyor. Buu beyaz olma olasılığı kaçtır?. I. torbada 4 sarı, beyaz, II. torbada sarı, beyaz bilye vardır. Torbalarda biri rastgele seçilip içide bir bilye alııyor. Bu bilyei sarı olma olasılığı kaçtır?. İki torbada biriciside 4 sarı, mavi bilye, ikiciside 5 sarı, mavi bilye vardır.. torbada bir bilye alııp. torbaya atılıyor ve. torbada bir bilye alııyor. Buu mavi olma olasılığı kaçtır?. I II III 4 mavi mavi 5 mavi beyaz 4 beyaz beyaz Kutulardaki bilye sayısı ve rekleri ifade edilmiştir. Bu kutularda biri rastgele alııp içide bir bilye seçilirse bu bilyei mavi olma olasılığı kaç olur?. İki torbada biriciside beyaz, siyah, 4 yeşil bilye, ikiciside beyaz, siyah, 5 yeşil bilye vardır.. torbada bir bilye alııp. torbaya atılıyor ve. torbada bir bilye alııyor. Buu siyah olma olasılığı kaçtır?. İki torbada biriciside kırmızı, yeşil, ikiciside kırmızı, bir miktar yeşil bilye vardır. Torbalarda biri rastgele alııp içide bir bilye çekiliyor. Bu bilyei yeşil olma olasılığı 9 ise ikici torbada kaç tae yeşil bilye vardır?. A torbasıda beyaz, kırmızı, B torbasıda beyaz, 4 kırmızı bilye vardır. Ayı ada her iki torbada birer bilye alııp diğer torbaya atılıyor. Torbalardaki beyaz ve kırmızı bilye sayılarıı başlagıçtaki ile ayı olma olasılığı kaçtır? 55

112 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 8 İki zar atıldığıda gele sayıları toplamıı olduğu biliiyorsa, sayıları ikisii de tek olma olasılığı kaçtır? Rehber Soru 9 Bir avcıı hedefi vurma olasılığı tür. Bu avcıı hedefi üçücü atışta vurma olasılığı kaçtır?. İki zar atıldığıda gele sayıları toplamıı 8 olduğu biliiyorsa sayıları ikisii de çift olma olasılığı kaçtır?. Bir avcıı hedefi vurma olasılığı 5 tir. Bu avcıı hedefi. atışta vurma olasılığı kaçtır?. Bir madei para ile bir zar birlikte atılıyor. Zarı üstüdeki sayıı te küçük olduğu biliiyorsa, paraı tura gelme olasılığı kaçtır?. Bir avcıı hedefi vurma olasılığı tür. atış 4 yapa bu avcıı bu atışları herhagi biride hedefi vurma (diğerleride vurmama) olasılığı kaçtır?. Bir madei para 4 kez art arda atılıyor. İlk ikiside yazı geldiği biliiyorsa, diğer ikiside tura gelme olasılığı kaçtır?. Bir yarışı A ı kazama olasılığı, B i kazama olasılığı 4 tür. A ve B de sadece birii kazama olasılığı kaçtır? 4. A torbasıda sarı, 5 mavi; B torbasıda sarı, 6 mavi bilye vardır. Torbalarda biri rastgele alııp içide bir bilye çekiliyor. Bilyei mavi olduğu biliiyorsa, B torbasıda çekilme olasılığı kaçtır? 4. Bir yarışı A ı kazama olasılığı 5, B i kazama olasılığı, C i kazama olasılığı 8 dir. Bu üçüde e az birii yarışı kazama olasılığı kaçtır? 56

113 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 4 Güler Sıcaklık ( C) Güdüz Sıcaklık ( C) Gece Pazartesi 8 Salı 5 Çarşamba 9 5 Perşembe Cuma 6 Yukarıdaki tabloda bir ilimizdeki 5 gülük gece ve güdüz hava sıcaklıkları verilmiştir. Hava sıcaklık değişimii çizgi grafiğii çiziiz. 5 Çözüle soru sayısı 4. Ö reci sayısı P.tesi Sal Çarfl. Perfl. Cuma C.tesi Pazar Güler Matematik otları Yukarıdaki grafik, Eisca ı bir hafta boyuca çözdüğü matematik soru sayılarıı gülük değişimii göstermektedir..,. ve. soruları bu grafiğe göre cevaplayıız.. Eisca bu hafta toplam kaç matematik sorusu çözmüştür? Çizgi grafiğie göre aşağıdaki ifadelerde hagileri doğrudur? I. Sııf mevcudu kişidir. II. 6 ala öğreciler sııf ortalamasıı altıdadır. III. 8 ala öğreci sayısı 4 ala öğreci sayısıda 7 fazladır. 5. Boy (cm) 6 A B. Eisca hafta içide gülük ortalama kaç matematik sorusu çözmüştür? Zama (Yıl). Eisca ı bir öceki güe göre çözdüğü matematik soru sayısıdaki artış e çok hagi gü olmuştur? Yukarıdaki grafikte A ve B bitkilerii dikildikleri adaki boyları ve zamaa karşı uzama miktarları verilmiştir. Dikildikte kaç yıl sora A bitkisii boyu B bitkisii boyuda 6 cm fazla olur? 57

114 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 4 Yıllar Portakal Üretim (To) Madalia Yukarıdaki tablo, Alaya daki bir üreticii bazı yıllarda ürettiği portakal ve madalia miktarlarıı göstermektedir. Tabloya göre, verile bilgileri sütu grafiğide gösteriiz. Soru sayısı 5 5 Güler P.tesi Salı Çarfl. Perfl. Cuma Yukarıdaki sütu grafiğide, Öykü ü hafta içideki gülerde çözdüğü soru sayılarıı gülük değişimi gösterilmiştir..,. ve. soruları bu grafiğe göre cevaplayıız Ö reci sayısı 4 5 Kimya otlar Yukarıdaki sütu grafiği bir sııftaki tüm öğrecileri kimya dersi yıl sou otlarıı göstermektedir. ü altıda ot alalar başarısız kabul edildiğie göre, bu sııfta kimya derside başarılı olalar sııfı yüzde (%) kaçıdır?. Bu beş gü içide Öykü toplam kaç soru çözmüştür?. Öykü bu beş gü içide, gülük ortalama kaç soru çözmüştür? Not ortalamas (pua)... Kızlar Erkekler Tarih yaz l sıavlar. Öykü çözdüğü soru sayısıı, bir öceki güe göre % olarak e çok hagi gü artırmıştır? Yukarıdaki sütu grafiğide, bir sııftaki kız ve erkek öğrecileri tarih dersii ilk üç sıavıdaki ot ortalamaları gösterilmiştir. Grafikteki verilere göre, kızları tarih dersi ot ortalaması, erkekleri ot ortalamasıda kaç pua fazladır? 58

115 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 4 Bir okulu -A sııfıdaki 5 öğrecii ağırlıkları aşağıda kg olarak verilmiştir. 6, 48, 54, 5, 74, 8, 6, 5, 9, 66, 64, 76, 84, 7, 86 Bu verileri histogram grafiği ile gösteriiz. 8 6 Ö reci say s 4. 5 yaşıda ola veya 5 yaşıda büyük ola öğreci sayısıı, 5 yaşıda küçük ola öğreci sayısıa oraı kaçtır? Yafl Yukarıdaki histogram bir üiversitede okuya öğrecileri yaşlarıı göstermektedir..,.,. ve 4. soruları bu grafiğe göre cevaplayıız.. Bu üiversitedeki toplam öğreci sayısı kaçtır? 5. 4 Çözüle soru say s. E çok öğreci hagi yaş aralığıdadır?. 9- yaş aralığıda ola öğreciler tüm öğrecileri yüzde kaçıdır? Saat Yukarıdaki verile histogram Duygu u bir gü içide çözdüğü soru sayılarıı zamaa göre dağılımıı göstermektedir. Grafiğe göre, Duygu bir gü içide çözdüğü toplam soruu % sii hagi zama aralığıda çözmüştür? 59

116 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 4 Bir okulu. sııfıda okuya 55 kişi içide seçilecek öğreci temsilciliği içi aday ola 5 öğrecii aldıkları oylar tablo şeklide aşağıda verilmiştir. (Adaylar oy kullamamaktadır.) 6 5 Giyecek Yakıt Kira Gıda Aday Aldığı Oy Sayısı Alta 5 Tufa Feridu Ali Ömer 5 Tablodaki oyları veriler kabul ederek daire grafiğii çiziiz. Yukarıdaki daire grafiği bir ailei aylık harcamalarıı göstermektedir..,.,. ve 4. soruları bu grafiğe göre cevaplayıız.. Bu ailei kira gideri, yakıt giderii kaç katıdır?. Ailei aylık toplam harcaması TL ise gıda harcaması kaç TL dir?. Giyecekler içi harcadığı para, tüm harcamalarıı yüzde kaçıdır? 4. Diğer harcamaları sabit kalmak üzere, toplam harcamaları 5 TL ye ve yakıt gideri 5 TL ye çıksaydı, kira giderii göstere merkez açıı ölçüsü kaç derece olurdu? 5. Okullar Öğreci Sayısı A 6 B 75 C 9 D 45 Yukarıdaki tabloda bir semtte bulua 4 okul ve bu okullardaki öğreci sayıları verilmiştir. Bu bilgiler dairesel grafikte gösterilirse, elde edile merkez açıları e büyüğü ile e küçüğüü farkı kaç derece olur? 6

117 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 44 Aşağıda Ahmet i derslerde aldığı otlar ve bu dersleri haftalık ders saatleri tablo halide verilmiştir. Dersler Kredi Not Matematik 4 8 Fizik 6 Kimya 7 Biyoloji 56 Türkçe 4 64 Tarih 7 Coğrafya 9 Ahmet i otlarıı aritmetik ortalamasıı ve kredi ağırlıklı aritmetik ortalamasıı buluuz..,. ve. sorular içi veriler aşağıda verilmiştir. 4. Ortalama s cakl k,, 5,, 9, 6, 8, x. Sayıları aritmetik ortalaması 8 olduğua göre, x kaçtır? gü. gü. gü 4. gü A B C D E 5. gü Güler. İlk 7 veride her biri azaltılırsa, ortalamaı değişmemesi içi x kaç arttırılmalıdır? Yukarıdaki grafikte, bir ilimizdeki 5 gülük sıcaklık ortalamaları verilmiştir. Bu 5 gü içi ortalama sıcaklığı C olacağı tahmi edilmiştir. Bua göre, grafiği 5. gü hagi oktada ya da oktalar arasıda geçmesi bekleir? 5. Not Kredi Matematik 6 4 Edebiyat 7 Müzik 9 İgilizce. Veri grubua (x hariç) 7 ve sayıları ekleirse, yei aritmetik ortalamaı değişimi içi e söyleebilir? Bir öğrecii bazı derslerde aldığı otlar ve bu dersleri kredileri yukarıdaki tabloda verilmiştir. Bua göre, bu öğrecii ağırlıklı ders otu ortalaması kaçtır? 6

118 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 45 a.,, 4, 5, 6,, 4,, 6, 7, 8, x verilerii aritmetik ortalaması 7 olduğua göre, modu (tepe değeri) kaçtır? b.,,, 7, 6, 5, 9 veri grubuu modu kaçtır?.,, 5, 4,, 7, 9 veri grubuu modu kaçtır? 5., 6. ve 7. soruları aşağıda verile tabloya göre cevaplayıız. Bir sııftaki öğrecide Soer, matematik I. yazılı sıavıa girmemiştir. Diğer öğrecileri otları aşağıda tablo şeklide verilmiştir. Ö r e c i l e r Soer. 7, 5, 4, 5, 6, 9, 8,, 9 Notlar veri grubuu modu kaçtır? 5. Notlarda oluşa veri grubuu modu kaçtır?. I. 8,,,, 5, 9,, 4 II., 5,, 5, 4, 5, 7, 5, 6. Soer de sıava girmiş ve 8 almış olsaydı, otları yei modu kaç olurdu? Yukarıda verile I ve II olu sayı dizilerii modlarıı toplamı kaçtır? 4. 6, 4,, 4, 9, 7,, 6, x veri grubuu ortalaması 5 olduğua göre, modu kaçtır? 7. Soer sıava girmiş ve 74 almış olsaydı, aşağıdaki ifadelerde hagisi ya da hagileri doğru olurdu? I. E çok tekrarlaa değer sayısı de fazla olduğu içi, mod olmazdı II. Mod =, 7. olurdu. III. Modu; 54, 74 ve 8 ola, modlu bir veri grubu olurdu. 6

119 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 46 Aşağıdaki tabloda bir sııftaki öğrecileri matematik ve fizik dersie ait otlar verilmiştir. Matematik : 7, 4, 5, 9, 5, 6, 45, 85, 55 Fizik : 8,, 5, 4, 9, 7, 6, 45, 85, 55 Matematik ve fizik derslerie ait ortaca (medya) değerlerii buluuz.., 4, 4, 8, 7, 5, 9 verilerii ortacası (medya) kaçtır? 5., 6. ve 7. sorular içi aşağıdaki veriler kullaılacaktır. 8,,,,,, x 5. Veri grubuu ortaca değeri olduğua göre, x kaçtır?. 5, 7, 9, 9, 8,,, 8 verilerii ortacası (medya) kaçtır?. 5, 8,, 9, 6, 4, 8, 6, 5, 5, 6. Veri grubuu ortaca değeri olduğua göre, x i alabileceği e büyük tam sayı değeri kaçtır? Yukarıda verile sayı diziside mod ve medyaıı toplamı kaçtır? 4., 5, 7, 5,,, 8,, sayılarıda oluşa veri grubu içi mod, medya ve ortalama arasıdaki sıralama edir? 7. x = içi veri grubua yei bir y değeri eklediğide, yei ortaca değer,5 oluyorsa, y i alabileceği e küçük tam sayı değeri kaçtır? 6

120 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 47 Bir hastaei acil servisie gü içide gele hastaları yaşları aşağıda verilmiştir., 6, 48, 8, 4, 74, 56, 4, 4 Bu veriler içi; Açıklık Alt çeyrek (Q ) Üst çeyrek (Q ) Ortaca Çeyrekler açıklığı (Q) değerlerii hesaplayıız..,. ve. sorular içi aşağıda verile bilgiler kullaılacaktır. 4. Soru Say s Aylar Sıcaklık ( C) Tablo : Bir ilimizdeki aylık sıcaklık ortalamaları ( C) 6 4. Ortalama sıcaklıkları veriler olarak icelediğimizde verileri açıklığı kaçtır?. Verileri çeyrekler açıklığı kaçtır?. Verileri alt uç değeri ile üst uç değeri toplamı kaçtır? Pazartesi Salı Çarflamba Perflembe Cuma Cumartesi Pazar Güler Yukarıdaki grafikte Öykü ü hafta içide çözdüğü soruları gülere göre dağılımı gösterilmiştir. Grafiğe göre, I. Veri grubuu açıklığı 7 tir. II. İlk çeyrek değeri (Q ) dur. III. Üst uç değeri 9 dır. IV. Çeyrekler açıklığı 5 dir. V. Ortacası 4 tır. Yukarıdaki bilgilerde kaç taesi doğrudur? 64

121 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 48 kişilik bir sııftaki öğrecileri biyoloji dersi. yazılı sıavıda aldığı otlar aşağıda verilmiştir. 64, 8, 4, 8, 5, 6, 96, 8, 7, 9 Bu otları veriler olarak kabul ederek kutu grafiği çiziiz. 4. Medyada büyük ola veri sayısı, küçük ola veri sayısıda az mıdır, çok mudur? Zama Yukarıdaki kutu grafik bir grup öğrecii bir gü içide matematik çalışma sürelerii dağılımıı dakika olarak göstermektedir..,.,. ve 4. soruları bu grafiğe göre cevaplayıız. 5. 5,,,, 7,, 9,, 4,,,, 6 verilerii kutu grafiği çizildiğide, kutuu uzuluğu (çeyrekler açıklığı) kaç birimdir?. Bu verileri geişliği (aralığı) kaçtır? 6.. Bu verilere ait çeyrekler açıklığı ola Q Q değeri kaçtır? B A Da t la broflür say s. Bu verileri medyaı kaçtır? A ve B firmalarıda çalışa taıtım elemalarıı bir güde dağıttıkları broşür sayıları yukarıda kutu grafiği olarak verilmiştir. Hagi firmada çalışa elemaları başarısı daha yüksektir? 65

122 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 49 A ve B sııflarıdaki bazı öğrecileri matematik otları aşağıda verilmiştir. Sııf Matematik Notları A B Bu iki sııftaki matematik otlarıı varyasıı buluuz ve yorumlayıız..,. ve. sorular içi aşağıdaki veriler kullaılacaktır. İki futbol takımıı 8 er maçlık devrede oluşa 6 maçlık bir sezoda attıkları goller aşağıda tablo halide verilmiştir. M a ç l a r. Devre. Devre Tak m A B Tablo : Takımları attıkları gol sayıları. I. Bu sezo içi attıkları gol ortalamaları eşittir. II. Attıkları gol sayılarıı ortaca değerleri eşittir. III. Bu sezoda, A takımı daha istikrarlıdır. ifadeleride hagisi ya da hagileri doğrudur?. Sezou ilk devresi (ilk 8 maç) değerledirildiğide, aşağıdakilerde hagisi ya da hagileri doğru olurdu? I. A takımıı attığı gol sayılarıı varyası daha büyüktür. II. A takımıı attığı golleri ortalaması, B takımıı attığı golleri ortalamasıı katıdır. III. B takımıı attığı golleri ortaca değeri, A takımııkii katıdır.. Değerledirme bu sezou ikici devresi (so 8 maç) içi yapılmış olsaydı, aşağıdakilerde hagisi ya da hagileri doğru olurdu? 6 I. A takımıı attığı golleri ortalaması, 5 B takımıı attığı golleri ortalaması tir. 5 II. A takımıı attığı golleri ortacası, B takımıı attığı golleri ortacasıa eşittir. III. A takımıı attığı golleri varyası, B takımıı attığı golleri varyasıda küçüktür. 66

123 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 5 A, B ve C adlı ampul üreticisi firmaı ürettikleri ampuller arasıda farklı zamalarda seçilmiş er adetlik umue grubuda ampuller test edilmiş ve arızalı çıkaları sayısı aşağıda tablo halide verilmiştir. Arızalı Ampul Sayıları Firma. Grup. Grup. Grup A B C 4 Arızalı ampul sayılarıı veriler olarak kabul ediiz ve ortalama arızalı ampul sayıları ve bulara ait stadart sapma değerlerii buluuz. Bu bilgilerde yararlaarak hagi firmaı ampullerii daha güveli olduğuu açıklayıız ,. ve. sorular aşağıda verile bilgilere göre çözülecektir. Sia, Oğuz, Arda, Kaa ve Burak adlı hetbolcuları so 5 maçta attıkları gol sayıları ve bazı istatistiksel ölçüler aşağıda verilmiştir. Sia O uz Arda Kaa Burak E yüksek say E düflük say Aritmetik ortalama Ortaca Mod Aral k Stadart Sapma (~) 6 6 4, ,7 X X 7 7, ,7. So maça takımıı çıkaracak takım koçu, bu maçı farklı bir skorla kazamak istiyorsa, hagi oyucuyu seçer?. So hafta takımı lider durumda, ama so maçı kaybetmemek zoruda ise hagi oyucuyu seçer?. Yei bir sezoa başlarke, istikrarlı ve güveilir bir takım oluşturmak isteye koç, öcelikle hagi üç oyucuyu seçer? 67

124 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik Rehber Soru 5 Bir öğrecii İgilizce ve Türkçe dersleride aldığı pualar ile bu testlere ait pua dağılımlarıı aritmetik ortalama ve stadart sapma değerleri aşağıda verilmiştir. İgilizce Türkçe Öğreci Puaı (X) 8 9 Puaları Ortalaması ( x ) 7 8 Puaları Stadart Sapması (s) Bu öğrecii İgilizce ve Türkçe testleri içi z ve T pualarıı hesaplayıız..,. ve. sorular aşağıdaki bilgilere göre cevaplaacaktır. Aşağıdaki tabloda 4 öğrecii matematik sıavıda aldığı otlar verilmiştir. 4. Ahmet i girdiği bir sıavdaki testi ortalama puaı 5, stadart sapması 5 tir. Ahmet i bu sıavdaki T puaı 7 olduğua göre, aldığı ot kaçtır? Öğreci Pua Ezgi 4 Öykü 7 Casu 5 Serasu 6. Öykü ü bu pualar içi z puaı yaklaşık kaçtır? 5. z puaı ile T puaıı stadart sapmaları toplamı kaçtır?. Casu u T puaı yaklaşık kaçtır?. Bu dört öğrecii z puaları toplamı kaçtır? 6. Stadart sapmaları eşit ola I. testi ortalaması, II. testte büyüktür. Bu iki testte ayı ham puaı ola bir öğrecii hagi testteki T puaı daha büyüktür? 68

125 TEST Permütasyo. ( x+ )! + x! x + ifadesii eşiti aşağıdakilerde x! + ( x )! x + hagisidir? 5. A = {,,, 4 } kümesii elemaları kullaılarak rakamları farklı, üç basamaklı kaç tek sayı yazılabilir? A) x B) x C) D) x + E) x + A) 8 B) C) 8 D) 4 E). P(, ) = 56 ise kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 6. A = {,, 5, 6, 8 } kümesii elemaları ile 6 de büyük, rakamları farklı ve 5 ile tam bölüebile kaç sayı yazılabilir? A) 66 B) 64 C) 56 D) 48 E) 6. kişilik bir kurulda başka, başka yardımcısı ve sekreter seçilecektir. Bu seçim kaç değişik biçimde yapılabilir? A) B) C) 5 D) E) 7. {a, b, c, d, e } kümesii üçlü permütasyolarıı kaç taeside a buluur, b bulumaz? A) 4 B) C) 8 D) 6 E) 4. A keti ile B keti arasıda 4 değişik yol, B keti ile C keti arasıda değişik yol vardır. A ketide C ye gidip tekrar A ya dömek isteye biri giderke ve döerke B de geçmek koşulu ile kaç değişik yol izleyebilir? 8. {,,,, 4, 5, 6 } kümesii elemaları kullaılarak rakamları farklı, üç basamaklı 4 de küçük kaç sayı yazılabilir? A) B) 4 C) 6 D) 48 E) 44 A) 6 B) 9 C) D) 5 E) 8 69

126 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik 9. 4 kişi arkada, 5 kişi öde olmak üzere 9 kişi kaç farklı şekilde resim çektirebilir? A) 9 B) 4! C) 5! D) 4!.5! E) 9!. 4 kız, erkek arkadaş yuvarlak bir masa etrafıda kızlar bir arada olmak koşuluyla kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 7 B) 4 C) 44 D) 7 E) 4. Birbirii ayı ola 4 beyaz, siyah ve mavi bocuk bir ipe kaç değişik biçimde dizilir? 4. ÜÇGEN sözcüğüdeki harfleri yerleri değiştirilerek alamlı ya da alamsız, 5 harfli kaç sözcük türetilebilir? A) 6 B) 4 C) 7 D) 464 E) 5 A) 6 B) C) 4 D) E) 5. Aralarıda Ayşe ve Ali i buluduğu 5 kişi bir sıraya Ayşe ve Ali daima ya yaa oturmak koşuluyla kaç değişik biçimde oturabilir? 5. SIRALAMA sözcüğüdeki harfleri yerleri değiştirilerek alamlı ya da alamsız, 8 harfli ve R ile başlayıp S ile bite kaç sözcük yazılabilir? A) 96 B) C) D) 8 E) A) B) 8 C) 4 D) 6 E) D C. 7 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etrafıda ae ile baba ya yaa oturmak koşulu ile kaç değişik şekilde oturabilir? A) 44 B) 7 C) 6 D) 4 E) A B A da C ye e kısa yolda kaç farklı şekilde gidilebilir? A) 5 B) 6 C) D) E) 4. B. D. A 4. E 5. A 6. A 7. C 8. B 9. E. A. E. D. C 4. B 5. E 6. D 7

127 TEST 4 Kombiasyo. C(, ) + C(, ) = eşitliğii sağlaya doğal sayısı aşağıdakilerde hagisidir? A) B) C) D) 4 E) 5 5. kişilik bir grup içide öce bir başka, sora da başka yardımcısı seçilecektir. Bu 4 kişilik ekip kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 4 B) 48 C) 6 D) 84 E). C(, ) C(, ) = 6 ise kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) baya, 4 erkek arasıda ikisi baya, ikisi erkek olmak üzere bir temsilci grubu oluşturulacaktır. Kaç değişik grup oluşturulabilir? A) B) 45 C) 6 D) 75 E) 9. c m= c m ise c m kaçtır? 6 4 A) 4 B) 5 C) 48 D) 64 E) 7 7. elemalı bir kümei ( ) elemalı alt kümelerii sayısı olduğua göre kümei elema sayısı edir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) P(, ) = P(, ) ise C(, 4) aşağıdakilerde hagisie eşittir? A) 4 B) 4 C) 5 D) E) 5 8. {a, b, c, d, e, f } kümesii 4 elemalı alt kümelerii kaç taeside a buluur, b bulumaz? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 75

128 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik 9. 9 soruluk sıava gire bir öğreci 5 soru yaıtlayacaktır. İlk soruu e az ikisii yaıtlamak zoruda olduğua göre 5 soruyu kaç değişik biçimde yaıtlayabilir?. Düzlemdeki 8 doğruda taesi paraleldir. Bu 8 doğru e çok kaç oktada kesişir? A) B) C) D) 4 E) 5 A) 6 B) 45 C) 6 D) 75 E) 5. Bir sııfta ayrı iki yarışmaya göderilmek üzere seçilebilecek 8 kişilik ve 4 kişilik grupları sayısı birbirie eşittir. Bu sııfta kaç öğreci vardır? 4. Murat 6 arkadaşıda ikisii tiyatroya davet edecektir. Belli iki arkadaşı ayı ortamda olmak istemiyorlar. Bua göre Murat arkadaşıı kaç değişik biçimde seçer? A) B) C) D) E) 4 A) 6 B) C) 4 D) 5 E). Düzlemdeki 7 doğru e çok kaç farklı oktada kesişir? 5. Herhagi üçü doğrusal olmaya okta verilmiştir. Köşeleri bu oktalarda üçü ola kaç üçge oluşturulur? A) B) C) D) E) 4 A) B) C) 4 D) 6 E). kız, 4 erkek öğreci içide e az birisi kız öğreci olmak koşuluyla kişilik bir ekip kaç değişik biçimde seçilebilir? 6. Birbirie paralel 5 düşey ve birbirie paralel 4 yatay doğruu kesiştiği oktalarda kaç üçge çizilebilir? A) B) 8 C) 8 D) 5 E) A) 8 B) C) D) 4 E) 48. D. D. E 4. C 5. D 6. E 7. B 8. D 9. D. C. B. A. E 4. C 5. B 6. A 76

129 TEST 6 Biom. (5a 4b) ifadesii açılımıda kat sayılar toplamı kaçtır? 5. (a b) 6 ifadesii açılımıda b içere terimi kat sayısı kaçtır? A) 6 B) 5 C) D) E) A) 9 B) 8 C) 6 D) 6 E) 8. (x y) 6 açılımıda başta. terim edir? A) 6x 4 y B) 45x 4 y C) x 4 y D) x y 4 E) 6x y 4 6. (x + y) 8 ifadesii açılımıda x 6 y li terimi kat sayısı edir? A) 8. 4 B). 6 C). 4 D) 8. 6 E) (x ) 8 açılımıda ortadaki terim edir? A) 5x 8 B) 6x 8 C) 7x 8 D) 75x 8 E) 9x 8 7. (x + vx) 8 ifadesii açılımıda terimlerde biri 7ax 7 dir. Bua göre a kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 4 E) 4. (x y) 8 açılımıda soda. terimi kat sayısı kaçtır? 8. x5. x5 K. x9 c = x m eşitliğide K kaçtır? A) 8 B) 79 C) 7 D) 68 E) 6 A) 4 B) 6 C) 96 D) 7 E) 5 79

130 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik 9. (x + y ) biom açılımı yapıldığıda bir terim p.x 6.y 8 olduğua göre p değeri aşağıdakilerde hagisidir? A) 8. d B) 9 d C) d a x + x k ifadesii açılımıda x li terimi kat sayısı kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 D) 6. d E) 8 4 d 4. ^ + h açılımıda rasyoel terim kaçtır? 5. cx 9 + m açılımıda sabit terim kaçtır? x A) 94 B) 884 C) 744 D) 67 E) 596 A) 8. d B) 4. d C). d D) 8. d E) 4. d 4 4. x c x m ifadesii açılımıda sabit terim kaçtır? 5. ^ x xh açılımıda oluşa rasyoel kat 6 8 sayılı terimleri kat sayıları toplamı kaçtır? A) 4 B) C) D) E) 4 A) 5 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57. (x y) açılımıda 8 terim buluduğua göre bu terimleri kat sayıları toplamı kaçtır? 6. (x y + z) 6 ifadesii açılımıda terimlerde biri Axy z ise A kaçtır? A) B) C) D) E) A) B) 9 C) 6 D) E) 5. E. A. C 4. B 5. C 6. D 7. D 8. A 9. A. D. D. B. E 4. A 5. E 6. C 8

131 TEST 8 Olasılık. İçide 6 beyaz, siyah ve 7 mavi top bulua bir torbada arka arkaya top çekiliyor. Çekile topları üçüü de beyaz olma olasılığı kaçtır? 6. 7 evli çift arasıda rastgele seçile iki kişii evli olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) A) 7 B) 7 C) 8 D) 6 E) 8. Bir torbada 4 taesi çürümüş 7 tae elma vardır. Torbada ayı ada alıa iki elmada birii sağlam, diğerii çürük olma olasılığı edir? A) B) 4 C) D) E) Farklı m çift eldive arasıda herhagi iki taesi çekiliyor. Çekile eldiveleri birbirii eşi olmama olasılığı 4 ise m kaçtır? 5 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9. 4 kırmızı, sarı, lacivert bilye bulua bir torbada ayı ada bilye çekiliyor. Çekile bilyeleri içide e az bir kırmızı bilye olma olasılığı kaçtır? A) 7 4 B) 7 4 C) 6 4 D) 4 49 E) madei para ve zar ayı ada atılıyor. Paraları ikisii de tura veya zarları üstüdeki sayıları toplamıı olma olasılığı kaçtır? 4. Bir torbada 6 mavi, 5 siyah, 4 sarı bilye vardır. A) 48 B) C) 4 D) 6 5 E) 8 Rastgele alıa bir bilyei mavi veya sarı olma olasılığı kaçtır? A) 4 B) 5 C) D) E) 5. Bir torbada altısı beyaz, sekizi siyah olmak üzere 4 top vardır. Çekile top yerie komamak koşulu ile torbada rastgele top çekiliyor. İki topu da siyah olma olasılığı kaçtır? 9. A ve B olayları içi P(A B) =, 5 P(A ı B ı ) = ve P(A) = ise 6 B olayıı olasılığı aşağıdakilerde hagisidir? A) 4 B) 6 C) 4 5 D) 9 E) 7 A) 7 B) C) D) 9 E) 5 8

132 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik. de e kadar ola ( ve dahil) doğal sayılar içeriside rastgele seçile bir sayıı 6 veya 8 ile tam bölüebile bir sayı olma olasılığı kaçtır? 4. C A A) 9 8 B) 8 C) 9 D) 7 7 E) B. 6 kişilik bir sporcu grubuda 5 kişi futbol veya basketbol oyuyor. kişi futbol, 4 kişi ise iki oyuu da oyamaktadır. Rastgele seçile bir sporcuu basketbol oyuyor olması olasılığı kaçtır? Şekildeki A oktasıda B oktasıa gitmek isteye bir kişii kullaacağı e kısa yolları C de geçme olasılığı kaçtır? A) 5 B) C) D) 5 E) A) B) C) D) E) 5 4. İçide bilye bulua iki torbada biriciside 5 beyaz, 5 siyah; ikiciside beyaz, 7 siyah bilye vardır. Birici torbada bir bilye çekilip regie bakılmada ikici torbaya atılıyor. Daha sora ikici torbada rastgele bir bilye çekiliyor. Bu bilyei siyah olma olasılığı kaçtır? 5. Bir torbada ayı büyüklük ve yapıda 5 siyah, kırmızı, beyaz bilye vardır. Torbada art arda geri komamak üzere bilye çekildiğide birici ve ikicii beyaz, üçücüü kırmızı gelmesi olasılığı a, rastgele bilye çekildiğide ikisii beyaz, diğerii kırmızı olma olasılığı b olduğua göre a oraı aşağıdakilerde hagisidir? b A) B) C) D) E) A) 7 B) C) 5 D) 5 E) 5 6. A B C D E K. İki torbada biriciside 4 mavi, sarı; ikiciside mavi, 5 sarı top vardır. Torbaları biride bir top çekiliyor. Çekile topu mavi olduğu bilidiğie göre. torbada çekilmiş olma olasılığı kaçtır? L N M Şekildeki yarım çember ve çapı üzeride 9 okta işaretleiyor. Bu oktalarda rastgele seçile oktaı bir üçgei köşeleri olma olasılığı kaçtır? A) 9 B) 5 C) 4 D) 7 E) 5 9 A) 7 84 B) 7 4 C) D) 7 5 E). C. B. A 4. C 5. A 6. A 7. D 8. D 9. A. A. B. D. B 4. C 5. B 6. B 84

133 TEST 9 Olasılık. İçide kırmızı, 4 mavi top bulua bir kutuda rastgele alıa topu ikisii de mavi olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) A = {,,, } kümesii elemaları kullaılarak oluşturulabilecek rakamları farklı, üç basamaklı sayılarda biri bir karta yazılıyor. Karttaki sayıı 5 e bölüe bir sayı olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) kız ve 4 erkek öğreci arasıda rastgele seçile öğrecide birii kız, diğerii erkek olma olasılığı kaçtır? A) B) 4 C) 7 D) 8 E) Farklı 7 çift ayakkabı arasıda seçile iki ayakkabıı bir çift oluşturmama olasılığı kaçtır? A) 45 B) 6 C) 8 D) E) 4 5. Bir torbada 4 beyaz, 4 siyah bilye vardır. Rastgele seçile bilyede e az sii beyaz olma olasılığı kaçtır? 7. Bir torbada ayı büyüklükte 4 kırmızı, 5 mavi top vardır. Torbada top rastgele çekiliyor. Çekile toplar ayı rekte ise ikisii de mavi olma olasılığı edir? A) 7 B) 7 C) 6 D) E) A) 8 5 B) 6 C) 8 D) 8 5 E) 6 4. Bir raftaki 9 vazoda dördü kristaldir. Bu rafta rastgele alıa vazou üçüü de kristal olmama olasılığı kaçtır? 8. zar ve madei para birlikte atılıyor. Zarlarda birii, diğerii çift ve paraı tura gelme olasılığı kaçtır? A) B) C) 9 D) 7 9 E) 5 A) 4 B) C) 8 D) 6 E)

134 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik 9. Bir atıcı hedefe arka arkaya atış yapacaktır. I. atışıda hedefi vurma olasılığı % 5 II. atışıda hedefi vurma olasılığı % 4 III. atışıda hedefi vurma olasılığı % x tir. Bu atıcıı hedefi üç atışta da vuramama olasılığı 9 olduğua göre x kaçtır? 5. Beyaz bir torbada beyaz, 4 siyah bilye; siyah bir torbada beyaz, siyah bilye vardır. Torbalarda biri rastgele seçilip içide rastgele bir bilye çekiliyor. Bu bilyei beyaz olduğu bilidiğie göre beyaz torbada çekilmiş olma olasılığı kaçtır? A) B) C) 4 D) 6 E) 8 A) 4 5 B) 5 C) 4 5 D) 4 E). Kartlara yazılmış ola ile arasıdaki 4. km doğal sayılar ( ve hariç) makasla ayrı ayrı kesilip rakamlara döüştürülerek bir torbaya kouyor. Torbada rastgele seçile bir kartı 5 olma olasılığı kaçtır? A B 8 km A) 99 B) 99 C) 99 D) 89 E) 89. Bir torbada 6 siyah, 4 beyaz bilye vardır. Torbadaki bilyeleri % 6 ı, siyahları % 5 si büyük diğerleri küçüktür. Torbada rastgele alıa bilyei büyük veya beyaz bilye olma olasılığı kaçtır? Boyutları 8 km ve km ola şekildeki arsaı A oktasıda B oktasıa AB doğrultusuda hareket ede bir kişii dürbüüyle beraber görüş mesafesi km dir. Bu kişii arsaı içideki belli bir oktayı görme olasılığı kaçtır? A) B) C) D) 4 E) A) B) 4 C) 9 D). A B C D E F E) 7 5. I. torbada kırmızı, 4 mavi ve II. torbada 4 kırmızı mavi top vardır. I. torbada bir top alııp regie bakılmada II. torbaya atılıyor ve II. torbada top alııyor. II. torbada çekile iki topu ayı rekte olma olasılığı edir? A) B) 4 98 C) D) 49 E) G L H Şekildeki yarım çemberi çapı AF dir. Bu oktalarda rastgele seçile üç oktaı bir üçgei köşeleri olma olasılığı kaçtır? 6. (x + ) 8 i açılımıda rastgele seçile iki terimi kat sayıları toplamıı 8 de küçük olma olasılığı kaçtır? A) 4 4 B) 4 C) 7 D) E) 6 A) 9 6 B) 4 C) 7 D) 7 E) 4. B. D. D 4. B 5. A 6. D 7. D 8. A 9. B. E. B. E. C 4. A 5. C 6. B 86

135 TEST İstatistik. Kimya Matematik Biyoloji. Aşağıdaki seçeeklerde verile veri gruplarıı hagiside medya, ortalama ve modda daha büyüktür? Fizik A),,, 4, 5 Yukarıdaki dairesel grafik, bir öğrecii bir gü B) 5, 6, 7, 8, 9, 9, içide çalıştığı derslere ayırdığı zamaları göstermektedir. I. Matematik ve fizik içi ayırdığı süreler eşittir. II. Kimya ve biyoloji içi ayırdığı süreler eşittir. C),,, 4, 7,, D),,, 8,,,, E), 6, 8,, 4, 4, 6 III. Matematik içi ayırdığı süre, kimya içi ayırdığı sürei iki katıdır. bilgileri veriliyor. Bu öğrecii kimya dersi içi ayırdığı sürei merkez açısıı ölçüsü kaç derecedir? A) 5 B) C) 45 D) 5 E) 6 4. Ö reci say s 8. Notlar Ö reci say s Ö reci say s Ö reci say s Notlar Yukarıdaki grafikte bir sııftaki öğrecileri kimya otları ve bu otları ala öğreci sayıları verilmiştir. Bua göre, otları medya değeri kaçtır? A) B) C) D) 4 E) Pua Yafllar Yukarıda farklı öğreci grupları içi tablo ve grafiklerde verile bilgilere göre, aşağıdakilerde hagisi yalıştır? A) Notları, tepe değeri 4 tür. B) Puaları, tepe değeri 9 dır. C) Yaşları, tepe değeri 9- dir. D) Notları ortalaması, otları moduda küçüktür. E) Puaları ortalaması, puaları tepe değerlerii ortalamasıda küçüktür. 5. Aşağıda bir futbol takımıdaki oyucuu boyları cm olarak verilmiştir. 76, 7, 68, 8, 78, 69, 7, 84, 8, 76, x Boylara ait verileri açıklığı 6 olduğua göre,. futbolcuu boyu (x) aşağıdakilerde hagisi olamaz? A) 68 B) 7 C) 76 D) 84 E) 88 9

136 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik 6. Oyucu Gol Sayısı Haka Şükür 5 Tucay Şalı Lefter Küçükadoyadis Meti Oktay 9 Cemil Tura 9 Nihat Kahveci 9 Zeki Rıza Sporel 5 Arda Tura Arif Erdem Ertuğrul Sağlam Yukarıdaki tabloda verile gol sayıları içi; ortalama (O), medya (M) ve tepe değeri (T.D) arasıdaki sıralama aşağıdakilerde hagisidir? A) O < M = T.D B) O > M = T.D C) O = M = T.D D) M > O = T.D E) O > M > T.D 8. Ortalamaları ( x ) farklı veri gruplarıı karşılaştırmak içi stadart sapmaya ( s) bakarak karar vermek yaıltıcı olabilir. Bu durumda varyasyo s kat sayısıa b. l bakmak daha uygu olmaktadır. Daha küçük varyasyo kat sayısı, daha x az riskli ve ortalamaya yakı bir veri grubuu ifade etmektedir. Aşağıda, üç basketbolcuu so sezoda attıkları sayıları ortalaması ve bu sayıları stadart sapma değerleri her bir basketbolcu içi tablo halide verilmiştir. ortalama stadart sapma Hidayet 8,6 Orku 6, İbrahim 6,5 Takımdaki 4 kişii belli olduğu bir durumda, 5. oyucuyu yukarıdaki oyucuları istikrar durumua bakarak seçecek ola takım koçu, sırası ile hagi oyucuları seçer? A) Orku Hidayet İbrahim 7. Nüfus yo ulu u (kifli/ km ) Nüfus (milyo kifli) B) Orku İbrahim Hidayet C) İbrahim Orku Hidayet D) Hidayet Orku İbrahim E) Hidayet İbrahim Orku I II III Nüfus yo ulu u Nüfus Yukarıdaki tabloda üç bölgei toplam üfusları ile üfus yoğulukları yaklaşık olarak verilmiştir. Bua göre, yüzölçümü açısıda bu bölgeleri sıralaması aşağıdakilerde hagisidir? A) I < II < III B) II < I < III C) III < II < I D) II < III < I E) III < I < II Para (x TL) lkbahar Yaz Sobahar K fl Kâr Zarar Mevsimler Yukarıdaki grafikte, odu ve kömür satışı yapa bir depou yılıda mevsimlik kâr-zarar durumları gösterilmiştir. Bua göre, bu firmaı yılı aylık ortalama kâr-zarar durumu edir? A) bi TL kâr B) 5 bi TL kâr C) bi TL kâr D) bi TL zarar E) bi TL zarar.e. B.D 4. B 5.E 6. B 7.E 8.A 9.A 9

137 I. Sol sü tu daki ifadelere karşılık gele sayıları sağ sütuda bulup eşleştiriiz. a. b. 7 7 d + d + + d d + d + + d c. P(5, ).C(6, ). 8 d 4 d d + d + d + d 4 4. II. Sol sütudaki şekillerde bulua üçge sayılarıı sağ sütuda bulup eşleştiriiz. a.. 8 b.. c.. 4 d

138 SOLDAN SAĞA YUKARIDAN AŞAĞIYA. Bilimeye içermeye terim 6. Bir terimde bilimeyei öüde bulua sayı 7. Bir ese grubu içide sıra gözetmede yapıla seçim 9. Bir deeyi mümkü ola her soucua verile ad. (x + y) ifadesii açılımıda kat sayıları alt alta dizilmesi ile oluşa üçgee verile ad. Çarpasal. Öreklem uzayı her bir alt kümesi. Ortaca. Herhagi bir kouyu icelemek içi gerekli verileri toplamasıı, toplaa verileri değerledirilmesii ve karara varılmasıı sağlaya bilim dalı 4. Sıralama 5. İhtimal 8. Yei bilgiler edimek ve olayları gelişimii icelemek içi yapıla deeme ve testlere verile ad

139 Aşağıdaki soruları her biride oktalı yerleri uygu şekilde dolduruuz.. A solu bir küme olmak üzere, A da A ya taımlaa bire bir ve örte her foksiyoa A ı bir deir.. Bir örek uzaya ait iki olayı... boş küme ise bu iki olaya ayrık (bağımsız) olay deir..! +! +! + +! toplamıı ile bölümüde kala... dur. 4. Bir olayı olabilirlik derecesii ile arasıdaki bir gerçek sayıyla gösterilmiş biçimie deir. 5. elamalı A kümesii, r elemalı bir alt kümesii belirli bir sırada yazılış biçimie, A kümesii bir r li... deir. 6. (x + y) açılımıda başta ve soda eşit uzaklıktaki terimleri... eşittir. 7. Bir deeyde elde edilebilecek tüm souçları kümesie... deir. 8. Bir çember üzerideki 6 farklı oktada... tae çokge oluşturulabilir. 9. Verileri veya karşılaştırılması yapılacak değişkeleri çizgi, tablo, okta veya şekillerle ifade edilmesie... deir.. Ortacada küçük terimleri ortacasıa... ve ortacada büyük terimleri ortacasıa... deir.

140 Aşağıdaki ifadelerde doğru olalar içi kutucuklara D, yalış olalar içi Y yazıız..! =! dir..! sayısı 9! sayısıda fazladır..! sayısı 9! sayısıı katıa eşittir. 4. P(, ) =! 5. P(, ) = 6. C(, r) + C(, r+) = C( +, r + ) 7. P(, r) = r!.c(, r) 8. (x y + ) 5 açılımıda kat sayılar toplamı dir. 9. A ve B bağımsız olaylar ise P(A B) = P(A).P(B) dir.. z puaı = Ham pua Aritmetik ortalama Stadart sapma

141 ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI. 99 ÖYS Sıfırda ve birbiride farklı A, B, C, D rakamlarıı yerleri değiştirilerek elde edile dört basamaklı 4 sayı toplaıyor. Bu toplam içi aşağıdakilerde hagisi kesilikle doğrudur? A) 6 ile bölüebilir. B) 9 ile bölüebilir. C) 4 ile bölüebilir. D) Tek sayıdır. E) Beş basamaklı bir sayıdır ÖYS elemalı bir kümei r li bütü kombiasyolarıı (kombiezolarıı) sayısı C(, r) ile gösterildiğie göre, C(, ) + C(, ) = 4C(, ) eşitliğide kaç olmalıdır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) ÖYS x c m 7 i açılımıda x 8 li terimi kat sayısı x kaçtır? A) 84 B) 48 C) 8 D) 48 E) ÖYS Bir torbada beyaz, 4 siyah ve 6 mavi bilye vardır. Ayı ada çekile bilyede birii beyaz öbürüü siyah olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) 4 E) ÖYS A B C D E ÖYS 8 kişilik bir grupta 5 kişilik kaç değişik takım kurulabilir? A) 6 B) 4 C) 68 D) E) 56 Şekildeki A, B, C, D, E oktaları bir doğru ve ayrıca C, D oktaları bir çember üzeridedir. Bu oktalarda seçilecek ola herhagi iki oktada yalız birii çembere ait olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) 5 E) ÖYS Bir torbada 6 beyaz, 4 siyah bilye vardır. Bu torbada rasgele çekile bilyede birii beyaz, diğer ikisii siyah olma olasılığı kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E)

142 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik ÖSS A, B, C d D, E, F, G, H d A B C D E F G H d d Yukarıdaki şekilde d // d olduğua göre, köşeleri bu 8 oktada (A, B, C, D, E, F, G, H) herhagi üçü ola kaç üçge çizilebilir? A) 45 B) 48 C) 5 D) 56 E) ÖYS (x + y) ü açılımıda başta. terimii kat sayısı kaçtır? A). C(, ) B). C(, ) C). C(, ) D). C(, ) E). C(, ) ÖYS cx + m ifadesii açılımıdaki sabit terim kaçtır? x 6 A) 5 B) 6 C) 8 D) E). 998 ÖYS Bir torbada tae mavi, 5 tae yeşil medil vardır. Bu torbada, geri atılmamak koşulu ile iki kez birer medil çekiliyor. Bu iki çekilişi biriciside mavi, ikiciside de yeşil medil çekme olasılığı kaçtır? A) 7 B) C) D) E) ÖYS (x y ) açılımıda x 4 y 4 lü terimi kat sayısı kaçtır? A) 48 B) 4 C) D) 4 E) ÖYS A torbasıda beyaz, 4 kırmızı; B torbasıda 5 beyaz, kırmızı top vardır. Ayı ada her iki torbada birer top alııyor ve öteki torbaya (A torbasıda alıa B ye, B torbasıda alıa A ya) atılıyor. Bu işlemi soucuda torbalardaki kırmızı ve beyaz top sayılarıı başlagıçtakiyle ayı olma olasılığı kaçtır? A) 8 B) 9 C) D) E) ÖSS Bir düzgü dörtyüzlüü (bütü yüzleri eşkear üçge ola üçge piramit) iki yüzüde A, iki yüzüde de T harfleri yazılıdır. Bu düzgü dörtyüzlü bir kez atıldığıda ya yüzleride, sırasıa ve yöüe bakılmaksızı A, T, A harflerii görülme olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) ÖSS 5, 6, 7, 8, 9 rakamları kullaılarak rakamları birbiride farklı ola, üç basamaklı ve 78 de küçük kaç değişik sayı yazılabilir? A) 46 B) 4 C) 6 D) E) 4 5

143 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik 6. ÖSS 9. 4 ÖSS A l. fiekil li. fiekil 6 küçük karede oluşa l. şekli her satır ve her sütuuda bir ve yalız bir küçük kare karalaarak ll. şekildeki gibi deseler elde edilmektedir. Bu kurala göre, e çok kaç farklı dese elde edilebilir? B Yukarıdaki ABC üçgeii kearları üzeride 9 okta verilmiştir. Köşeleri bu 9 oktada üçü ola kaç üçge oluşturulabilir? A) 64 B) 69 C) 74 D) 79 E) 84 C A) 6 B) C) 4 D) E) 6. 5 ÖSS tae madei TL, kumbaralara istee sayıda atılmak suretiyle değişik bakalarda alımış 5 7. ÖSS farklı kumbaraya kaç değişik şekilde atılabilir? A C A) B) C) 4 D) 5 E) 45 B Şekildeki çizgiler bir keti dik kese sokaklarıı göstermektedir. A da hareket edip C ye uğrayarak B oktasıa e kısa yolda gidecek ola kimse kaç değişik yol izleyebilir? A) 4 B) 8 C) 6 D) E) 9. 6 ÖSS A = {,,, 4} kümesii elemalarıyla, e az iki basamağıdaki rakamı ayı ola üç basamaklı kaç sayı yazılabilir? A) 5 B) 4 C) 8 D) E) 4 8. ÖSS Yükseköğreim içi A ve B ülkelerie göderilmek üzere 5 öğreci seçilmiştir. Her iki ülkeye e az birer öğreci gideceğie göre, bu 5 öğreci kaç farklı gruplama ile göderilebilir? A) B) C) 5 D) E) 4. 7 ÖSS A = {,,, } B = {,,,,, 4} kümeleri veriliyor. A x B kartezye çarpımıda alıa bir elemaı (a, a) biçimide olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E)

144 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik. 8 ÖSS K = {,,,,, } kümesii üç elemalı alt kümeleride kaç taesii elemaları çarpımı bir egatif tam sayıya eşittir? 6. 9 ÖSS Ayı düzlemde alıa 4 farklı çember e fazla kaç oktada kesişir? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 4. 8 ÖSS Aşağıdaki yedi okta, eş kareleri köşeleri üzeride bulumaktadır. Bu yedi oktada rastgele seçile üç oktaı bir üçge oluşturma olasılığı aşağıdakilerde hagisidir? (Ayı doğru üzerideki üç oktaı bir üçge oluşturmadığı kabul edilecektir.) 7. YGS Bir torbada kırmızı, beyaz ve sarı bilye vardır. Torbada rastgele 4 bilye alıdığıda torbada kala bilyei kırmızı rekte olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) A) B) 7 C) 4 D) 5 E) ÖSS Bir mağazada belirli miktarı üzeride alışveriş yapa müşteriler, 4 eş parçaya ayrılmış birici çarkı iki defa çevirmektedir. Bu iki çevirişte gele iki sayıı toplamı 6 ya da 6 da büyükse 6 eş parçaya ayrılmış ikici çarkı çevirerek çıka hediyeyi almaktadır. 8. LYS A = {,,, 4} ve B = {,, } olmak üzere A x B kartezye çarpım kümeside alıa herhagi bir (a, b) elemaı içi a + b toplamıı sıfır olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) I. çark çamafl r makiesi ütü ütü ütü tost makiesi II. çark kahve makiesi Bua göre, birici çarkı çevirmeyi hak ede bir müşterii çamaşır makiesi kazama olasılığı kaçtır? A) 4 B) 6 C) 4 5 D) 8 E) 5 9. YGS Meriç i elide kırmızı ve beyaz reklerde toplam top vardır. Meriç bu topları iki torbaya her bir torbada e az bir kırmızı ve bir beyaz top olacak şekilde dağıttıkta sora şuları söylüyor: Birici torbada kırmızı top vardır. Torbalarda rastgele birer top çekildiğide topları ikisii de kırmızı olma olasılığı dir. Bua göre, ikici torbada kaç beyaz top vardır? A) B) 5 C) D) E) 4 7

145 Permütasyo Kombiasyo Biom Olasılık ve İstatistik. LYS 6 kız ve 7 erkek öğrecii buluduğu bir grupta temsilci seçiliyor. Seçile bu iki temsilcide birii kız, diğerii erkek olma olasılığı kaçtır? 7 9 A) B) C) D) E) 4 8. LYS Bir çiçekçide 5 farklı rekte çok sayıda gül ve çeşit vazo vardır. Bir müşteri, farklı rekte toplam gül ve vazo satı almak istiyor. Bu müşteri alışverişii kaç farklı şekilde yapabilir? A) 5 B) C) 5 D) 4 E) 5. YGS Boyları farklı dört öğreci bir çizgi boyuca rastgele sıraya giriyor. Bua göre, e kısa ve e uzu boylu öğrecileri uçlarda olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) 4 6. LYS Bir torbada 5 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Bu torbada ayı ada rastgele bilye çekildiğide her bir rekte e fazla bilye olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) A.E.C 4.C 5.D 6.E 7.A 8.A 9.A.D.E.A.E 4.A 5.D 6.C 7.A 8.D 9.D.D.B.C.A 4.A 5.B 6.A 7.D 8.C 9.D.D.D.D.C 8

146 TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT Tüme varım TÜME VARIM. Kazaım : Tüme varım yötemii açıklar ve uygulamalar yapar. Toplam ve Çarpım Sembolü. Kazaım : Toplam sembolüü ve çarpım sembolüü açıklar, kullaışları ile ilgili özellikleri açıklar ve temel toplam formüllerii modelleyerek işa eder.

147 TOPLAM SEMBOLÜ ( ) = / k =. ^+ h k = () = ^kh=. ^+ h / k = ( ) = / ^k h= = / k = k k =. ^+ h. ^+ h = 6 / a = a + a k = p / k k k k = p+ + p / p / / / ak = a^ h= a^ m a / m+ p k a a + = a / / k =. a k = k p k+ ph m p k = / k = + r +r r = r / k = k k =. ^+ h = = G r r ÇARPIM SEMBOLÜ ( ) % k =... =! k = = =... ^+ h k. ^k+ h + / k %! k = = a ^a h!.! +.! +.! ! = kk.! = ^+ h! / k = k % c= ccc.. c= c = 44 tae SEMBOLÜNÜN ÖZELLİKLERİ % c c m = m + / a =. a k = % k % k = k = ^ca. h= c. a k / a = ^ m+ h. a m ^ca. h= c. a / / k k = k = / / / ^a! b h= a! b k k k k = k = k = k k % ^ + h rk = r. r. r r = r k = % % % ^a. b h= a. b k k k k = k = k = + p ak = a^k ph= a^ m m+ p k p % % % m p k+ ph

148 Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü Rehber Soru N + içi P() : ( ) = varım yötemi ile ispatlayıız. olduğuu tüme Aşağıdaki öermeleri doğruluğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. ( N + ) = ^ + h 7. + r + r + r r = r r 8. i = olmak üzere, (cosθ + i.siθ) = cos(θ) + i.si(θ) = ( + ) ( + ) = ^ + h^ + h = ^ + h^ + h = ^ + h = G ^ h^ + h = =.. 4. ^ + h =!! 4!!! 6..! +.! +.! ! = ( + )! ^ h ^4 h =

149 Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü Rehber Soru a. 4 ve N içi P() :! > öermesii doğru olduğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. b. Her N + içi P() : 5 sayısı ile tam bölüür öermesii doğruluğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. Aşağıdaki öermeleri doğruluğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. ( N + ).!. 4 > > içi ^h! 4 > ^! h < sayısı 5 ile tam bölüür ( + ) + ( + ) ifadesi 9 ile tam bölüür. 8. ( + )( + ) ifadesi ile tam bölüür. 9. ifadesi ile tam bölüür.. 7 ifadesi 5 ile tam bölüür.

150 Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü Rehber Soru a ifadesii sembolü kullaarak yazıız. b ifadesii sembolü kullaarak yazıız. Aşağıdaki ifadeleri sembolü kullaarak yazıız tae

151 Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü Rehber Soru 4 f(x) = x +, x = ve x = ise / x k.f(x k ) ifadesii eşiti kaçtır? Rehber Soru 5 / / = ^k+ + h ifadesii eşiti kaçtır?. f(x) = x + 5 ise / fk ^ h ifadesii eşiti kaçtır?. / ^k + h ifadesii eşiti kaçtır?. f(x) = x + ise / fk ^ h kaçtır?. / / ^k. h ifadesii eşiti kaçtır? =. / / ^k+ h ifadesii eşiti kaçtır? = k =. f(x) = x +, x = ve x = ise / (x k + )f(x k ) ifadesii eşiti kaçtır? 4. k / / ifadesii eşiti kaçtır? = 4. f(x) = x +, x =, x =, x = 4 ise / x k.f(x k ) ifadesii eşiti kaçtır? 5. / / ^k + h ifadesii eşiti kaçtır? = k = 4

152 Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü Rehber Soru 6 Aşağıdaki ifadeleri eşitlerii buluuz. 5. / ^ k+ kh ifadesii eşitii buluuz. 6 a. / ^ k+ kh 9 / k+ b. logc m k 8 / c. cos k 6. / ^ k k+ h ifadesii eşitii buluuz. k = 99 k+. / logc m ifadesii eşitii buluuz. k 5 k 4. / log c m ifadesii eşitii buluuz. k + k = / cos k ifadesii eşitii buluuz / cos k ifadesii eşitii buluuz. 4 5

153 Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü Rehber Soru 7 / a = + ise a 5 kaçtır? k = k Rehber Soru 8 k / ^ h ^k+ h ifadesii eşitii buluuz. k =. / a k = ise a 4 kaçtır? k = k. / ^ h.k ifadesii eşiti kaçtır? k =. / a k =. ise a 5 kaçtır? k = k. / ^ h.k ifadesii eşiti kaçtır? k =. / a k = + ise a 4 kaçtır? k = k. / ^ h. ^k+ h ifadesii eşiti kaçtır? k = 4. 6 / a = A ve = 4 6 / a = B ise a 6 a 4 kaçtır? = 5 4 k 4. / ^ h. ^4kh ifadesii eşiti kaçtır? k = 5. 4 / f(k) = A, f(6) kaçtır? 6 / f(k) = B ve 4 / f(k) = C ise 6 k 5. / ^ h. ^k h ifadesii eşiti kaçtır? k = 6

154 Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü Rehber Soru 9 Aşağıdaki ifadeleri eşitii buluuz. 6 / a. k 6 6 / b. k 5 9 / c. k k = 9 / d. k k = 9 8. / k ifadesii eşiti kaçtır? / ^k + kh ifadesii eşiti kaçtır? k = 5. / k ifadesii eşiti kaçtır? 5 6. / ^k + kh ifadesii eşiti kaçtır? k = 4 4. / k ifadesii eşiti kaçtır? / ^k kh ifadesii eşiti kaçtır? k = 6 4. / k ifadesii eşiti kaçtır? 8 8. / ^k+ k+ k5h ifadesii eşiti kaçtır? k = 9 7

155 Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü Rehber Soru Aşağıdaki ifadeleri eşitii buluuz. 6 a. / k b. / k 5 8 c. / k d. / k k = 8 k = e. / f. / ^k h 5 5 g. / ^k + k h h. / kk ^ h k = 6 Aşağıdaki ifadeleri eşitii buluuz. 5 /. k /. 7. / ^k + h 5 / 4. ^k h^k+ h 5 / 5. k ^k h k = 6 6. / ^k+ h 6 7. / ^k h 7 / 8. k 8

156 Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü Rehber Soru Aşağıdaki ifadeleri eşitii buluuz. 4. / k ifadesii eşiti kaçtır? / a. ^k + h 8 / b. k k =. / 4k ifadesii eşiti kaçtır? 5 / c / k ifadesii eşiti kaçtır? k = 5 4. / ^k+ 4h^k+ h ifadesii eşiti kaçtır? 7 5. / ^k + k h ifadesii eşiti kaçtır? k = 7 6. / ^k+ h ifadesii eşiti kaçtır? 8 7. / kk ^ h ifadesii eşiti kaçtır? a / k ifadesii eşiti kaçtır? a 9

157 Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü Rehber Soru Aşağıdaki ifadeleri eşitii buluuz. Rehber Soru Aşağıdaki ifadeleri eşitii buluuz. 8 / a. k k = / b. k a. b. / = kk ^ + h k 4 / = kk ^ + h k 5. 5 / k ifadesii eşiti kaçtır?. 6 / kk ^ + h ifadesii eşitii buluuz.. 6 / k ifadesii eşiti kaçtır?. / 7 kk ^ + h ifadesii eşitii buluuz.. / k ifadesii eşiti kaçtır?. 9 / ifadesii eşitii buluuz. kk ^ h 8 4. / k ifadesii eşiti kaçtır? 4. 9 / = kk ^ + h ifadesii eşitii buluuz. k

158 Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü Rehber Soru 4 Aşağıdaki ifadeleri eşitii buluuz. 6 / a. k k = 6 5 / b. ^k+ kh k = 5 4 / c. ^k+ k+ h k = 4 4. / k ifadesii eşitii buluuz. k = / ^k+ kh ifadesii eşitii buluuz. k = 5 7. / ifadesii eşitii buluuz / ^ + k+ kh ifadesii eşitii buluuz. k = 5 4. / k ifadesii eşitii buluuz. k = 6 7. / ^k+ k kh ifadesii eşitii buluuz. k = / ^k+ kh ifadesii eşitii buluuz. k = 6 8. / ^k4 + kh ifadesii eşitii buluuz. k =

159 Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü Rehber Soru 5 Aşağıdaki ifadeleri eşitii buluuz. a b c Aşağıdaki toplamları souçladırıız

160 Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü Rehber Soru 6 9 / kk ^ + h ifadesii eşitii buluuz. Rehber Soru 7 + / ^ k h = a + b + c ise k = a + b c kaçtır?. 6 / kk ^ + h ifadesii eşitii buluuz.. / 4k a ^ h= + b+ c ise k = a + b + c kaçtır? +. / ^ k+ 4 h = a + b+ c ise k = a + b + c kaçtır?. 7 / ^k+ h^k+ h ifadesii eşitii buluuz. +. / ^ k 7 h = a + b+ c ise a + b + c kaçtır?. 6 / = kk ^ + h ifadesii eşitii buluuz. k 4. / ^k kh= a+ b+ c ise k = a + b + c kaçtır?

161 Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü Rehber Soru 8 Aşağıdaki çarpımlar sembolü ile ifade edilmiştir. İceleyiiz. Rehber Soru 9 Aşağıdaki ifadeleri eşitii buluuz. 6 a. % k b. % k 5 k = c. % k d. % k 5 4 Aşağıdaki ifadeleri sembolü ile gösteriiz Aşağıdaki ifadeleri eşitii buluuz. %. k %. k k = 8 %. k k = % % 5. k k = 5 4

162 Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü Rehber Soru Aşağıdaki ifadeleri eşitii buluuz. 9 a. % ^k 5h b. % cos k 8 Rehber Soru % k+ k ifadesii eşitii buluuz. 8. % k ifadesii eşitii buluuz. k = 6. % k k + ifadesii eşiti kaçtır?. % ^k h ifadesii eşitii buluuz. 8. % c m ifadesii eşiti kaçtır? k 4. % log k ifadesii eşitii buluuz. k =. 8 % c + + k k m ifadesii eşiti kaçtır? k = 4. 5 % (k + k ) ifadesii eşitii buluuz. 4. k+ % c m ifadesii eşiti kaçtır? k 5. % si k ifadesii eşitii buluuz. k = % k k + ifadesii eşiti kaçtır? 5

163 Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü Rehber Soru 4 a. % % k. ifadesii eşitii buluuz. b. = k = 6 % / ifadesii eşitii buluuz. = k = k Rehber Soru % k ifadesii eşitii buluuz.. % % k. ifadesii eşitii buluuz. = k = 8. % k ifadesii eşitii buluuz.. ^k+ h % / ifadesii eşitii buluuz. =. % ifadesii eşitii buluuz. k x. % 4k = 8 eşitliğii sağlaya x kaçtır? k =. k / % ifadesii eşitii buluuz. = 6 4. % k ifadesii eşitii buluuz. k = 4. k % % ifadesii eşitii buluuz. = k = x = k = 5. % % = 55 eşitliğii sağlaya x değeri kaçtır? 6

164 Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü Rehber Soru 4 7 a. % log ^k + h ifadesii eşitii buluuz. 89 k b. % ta k ifadesii eşitii buluuz. Rehber Soru 5 6 a. % ^ k.kh ifadesii eşitii buluuz. 6 b. % ^k+ kh ifadesii eşitii buluuz. k = 6. % log ^k + h ifadesii eşiti kaçtır? k. 8 % ( k.k) ifadesii eşitii buluuz. x. % log ^k + h= 6 ise x kaçtır? k = k. % (k. k ) ifadesii eşitii buluuz. 48. % ta k ifadesii eşiti kaçtır? 4. 6 % (k k) ifadesii eşitii buluuz % si k ifadesii eşiti kaçtır? % (k + k) ifadesii eşitii buluuz. 7

165 Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü Rehber Soru 6 a. x 8x + = deklemii kökleri x ve x ise / x + x kaçtır? % k k = k b. x 6x + x = deklemii kökleri x, x ve x ise / x + x kaçtır? % k k = k. x x 4 = deklemii kökleri x ve x ise x k / kaçtır? 4. x 5x + x = deklemii kökleri x, x ve x ise / x k kaçtır?. x 4x + = deklemii kökleri x ve x dir. % xk = 4 ise kaçtır? 5. x x 4x + = deklemii kökleri x, x ve x ise % x k kaçtır?. x mx = deklemii kökleri x ve x dir. / x = ise m kaçtır? k 6. x mx x + m = deklemii kökleri x, x ve x tür. / x + % x = 4 ise m kaçtır? k k = k 8

166 TEST Toplam Sembolü 5. / ^k h ifadesii eşiti kaçtır? A) 8 B) 9 C) 4 D) 4 E) / ^k + h ifadesii eşiti kaçtır? k = 6 A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 8. / k ifadesii eşiti kaçtır? A) 66 B) 67 C) 68 D) 69 E) 7 6. / / k ifadesii eşiti kaçtır? = A) B) C) 4 D) 6 E) 9 5. / k ifadesii eşiti kaçtır? 5 A) 5 B) C) 5 D) E) 5 99 k 7. / logc m ifadesii eşiti aşağıdakilerde k + hagisidir? A) B) C) D) E) 4. / ifadesii eşiti kaçtır? 8. 5 / ( ) k.(k + ) ifadesii eşiti aşağıdakilerde hagisidir? A) 68 B) 67 C) 66 D) 65 E) 64 A) 8 B) 9 C) D) E) 9

167 Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü 9. f(x) = x / (k + ) ve g(x) = k = x / (k ) k = olmak üzere (fog)() kaçtır? A) 66 B) 68 C) 7 D) 7 E) 77. / k+ k ^ h / ifadesii eşiti edir? k = k = A) ( ) B) C) ( + ) D) ( + ) E) ( + ). 4 / k(k + ) ifadesii eşiti kaçtır? A) 48 B) 49 C) 5 D) 5 E) 5 4. cos k r / ifadesii eşiti edir? A) B) C) D) E). / kk ^ + h ifadesii eşiti kaçtır? 5. / k 8 / k = eşitliğii sağlaya k = k = değeri kaçtır? 7 A) B) C) D) E) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8. 9 / ifadesii eşiti kaçtır? k k k = A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) = / fk ^ h ise f() kaçtır? A) B) C) 8 D) E) 8. C. E. D 4. A 5. B 6. D 7. A 8. C 9. E. B. E. C. C 4. C 5. A 6. E

168 TEST Toplam Sembolü. / (k 5) ifadesii eşiti kaçtır? A) 5 B) C) 5 D) 65 E) / ( ).log 8 ifadesii eşiti aşağıdakilerde = hagisidir? A) B) C) 4 D) 6 E) / / (i + + 8) ifadesii eşiti kaçtır? i= = A) 85 B) 7 C) 75 D) 6 E) / (4k ) = a + b c ise a + b c kaçtır? k = A) 65 B) 4 C) D) 8 E) 6 x k =. f : N + N +, f(x) = / k foksiyou taımlaıyor. Bua göre, (fof)(5) değeri kaçtır? toplamıı soucu kaçtır? A) 65 B) 5 C) 4 D) E) 4 A) 4 B) 75 C) 75 D) 57 E) 5 4. f(x) = 5x + olmak üzere, x =, x = ve x = 4 ise / [x k f(x k )] ifadesii eşiti aşağıdakilerde hagisidir? A) 45 B) 44 C) 4 D) 4 E) 4 8. f(x) = x + ise 8 / [f()] ifadesii eşiti kaçtır? = A) 8 B) C) D) 4 E)

169 Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü 9. / (k 4) = ise k kaçtır? =. x / (4 ) = 8 ise x kaçtır? = 4 4 A) B) C) D) E) A) 4 B) C) D) 8 E) 6. a / k k = a / (4m + ) = 95 ise a kaçtır? m = A) B) C) D) E) 4 4. i = olmak üzere, / + ik ifadesii eşiti aşağıdakilerde hagisidir? A) 6 B) C) 5 D) 64 E) 6. k / = 6 ise k kaçtır? = k+ A) B) C) 4 D) 5 E) 6 5. / + / + + / = 8 ise kaçtır? k = k = A) 9 B) C) 4 D) 5 E) 6. 8 / f(k) = eşitliğii sağlaya f(k) değeri aşağıdakilerde hagisidir? A) (k + )(k + 6) B) 4k(k + ) C) 5k + 6 D) k(k + ) E) (k + )(k + 6) 6. 8 / = = ^k + h. ^k + h ise kaçtır? k A) B) C) D) 4 E) 5. B. B. D 4. A 5. D 6. B 7. C 8. E 9. E. D. C. E. C 4. D 5. D 6. D

170 TEST 5 Çarpım Sembolü. / (k ) = 44 ise % c m ifadesii k k = k = % (8k k ) ifadesii eşiti edir? eşiti kaçtır? A) (7!) B) 6!.7! C) 7!.8! A) B) C) D) E) D) (8!) E) 8!.9!. % 4k = 6 ise kaçtır? k = A) B) C) 4 D) 5 E) A = % k olmak üzere, A ı soda kaç basamağı sıfırdır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7. % (k + ) ifadesii eşiti aşağıdakilerde hagisidir? A) 9! B)! C)! D)! E)! 7. x x = deklemii kökleri x ve x ise % (x k ) ifadesii eşiti kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 4 4. % % ifadesii eşiti edir? = k = A) 85 B) 9 C) 95 D) E) % c k+ + m ifadesii eşiti kaçtır? A) 8 B) 9 C) D) E) 7

171 Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü 9. 4 % (k. k ) ifadesii eşiti kaçtır?. f(x) = x k f6 ^ h % ise 4 f ^5h k = kaçtır? A) B) C). D) 4 E). A) B) C) D) 5 E). / (k + + ) ifadesii eşiti kaçtır? % = k = 4. 8 % ( 4) ifadesii eşiti kaçtır? = A) 6 B) 68 C) 7 D) 8 E) 84 A) 8! B) 6! C) 4! D)! E). 6 % 5 log 5 ifadesii eşiti kaçtır? A) 8 B) 9 C) D) E) 5. x 6x + = deklemii kökleri x ve x dir. % (x k ) ifadesii eşiti kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 6. % ck + + m ifadesii eşiti aşağıdakilerde k hagisidir? A) 6!.7 B) (6!) C) 7!.7 D) 7!.6 E) (7!) 6. % log k (k + ) = 5 ise kaçtır? k = A) 5 B) 6 C) 4 D) E). A. B. D 4. E 5. A 6. A 7. E 8. C 9. E. A. E. C. B 4. E 5. B 6. E 8

172 TEST 6 Çarpım Sembolü % c m ifadesii eşiti aşağıdakilerde = hagisidir? 4 5. % log ^k+ h. % log x çarpımıı soucu k = x 4 k = k + aşağıdakilerde hagisidir? A) B) C) D) 5 E) A) B) 8 C) 6 D) 4 E) m +. % işlemii soucu 8 olduğua = göre m kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 7 6. f : N + N +, f(x) = x % k = g : N + N +, g(x) = / ^k h k = olduğua göre (gof)(4) edir? A) 4 B) C) 96 D) 9 E) 84 x 8. % c m ifadesii eşiti aşağıdakilerde k k hagisidir? 7. 5 % log ( + ) ifadesii eşiti kaçtır? = 6 A) 8!9! B) 9! C) 9!. 8 A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 D) 9! E) 78!! 4. p 5 % = ise kaçtır? p = 8. / (k + ) = ise k = edir? % c + m ifadesii eşiti p p = A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 A) B) C) D) 4 E) 5 9

173 Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü 9. i = olmak üzere, 5 % ^i h ifadesi aşağıdakilerde hagisie = eşittir?. 5 x 4 5 % c m = c m ise x kaçtır? 5 4 = A) 7 B) C) 5 D) 5 E) 4 A) i 5 B) 6 C) D) i E) 5i. k % / = ise R kaçtır? p = pp ^ + h A) 4 B) C) D) E) 4 4. A = % f / kk+ h p ise 44.A aşağıdakiler- = k = ^ de hagisie eşittir? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) k. % f!. % p ifadesii eşiti edir? k + = 8 k = A) 8 B) 8! C) 9 D) 9! E)! cos k % ifadesii eşiti edir? si k A) B) C) D) E). a = a.b = %, b = k = % olmak üzere, 4 k = ise kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 6. % fk ^ h= 56 ise / fk ^ + h ifadesii eşiti k = k = edir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E). B. C. E 4. D 5. D 6. A 7. A 8. E 9. C. D. B. A. D 4. B 5. E 6. C 4

174 TEST. / toplamıı eşiti kaçtır? A) B) C) D) E) / k = + 76 ise kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5. / (k + ) ifadesii eşiti kaçtır? A) 8 B) 9 C) D) E) 4 6. / / k işlemii soucu edir? = k = A) 8 B) 9 C) D) E) 99. / logc + m ifadesii eşiti edir? = A) B) C) D) 4 E) 5 7. f(x) f(x + ) = 6 ve f() = ise / f(k) ifadesii eşiti kaçtır? A) 9 B) 6 C) D) E) / (k + 4k + ) ifadesii eşiti edir? 4 8. m / ( ) = 64 ise = m % c + m ifadesii = eşiti aşağıdakilerde hagisidir? A) 4 B) 5 C) 55 D) 6 E) 65 A) B) C) 4 D) 5 E) 6 49

175 Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü 4 9. / % işlemii soucu kaçtır? =. 5 k / % c m ifadesii eşiti kaçtır? = k = A) 8 B) 6 C) 4 D) E) 4 A) 7 B) 5 C) 8 D) 7 E) 9 4 % / işlemii soucu kaçtır?. = k = A) B) 6 C) 9 D) E) 5 4. % c + m ifadesii eşiti kaçtır? k A) 4 B) 6 C) 8 D) E). / f(k) = + ise k = f() + f(4) + f(5) toplamı kaçtır? 5. % c + + k k m ifadesii soucu kaçtır? k = A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 A) B) C) 44 D) 88 E). % f(k) = ( + ). ise k = f().f(4).f(5) çarpımı kaçtır? 6. x x = deklemii kökleri x ve x olduğua göre, kaçtır? % (x k ) ifadesii değeri A) B) 4 C) 8 D) 6 E) A) 4 B) C) D) E). C. D. B 4. E 5. E 6. D 7. A 8. B 9. D. C. B. D. A 4. E 5. E 6. A 5

176 TEST. / ifadesii eşiti kaçtır? A) B) C) 4 D) E) 5 5. / kf(k) = ( + ) ise f(8) kaçtır? k = A) B) C) D) 4 E) 5. 4 / / (k + ) ifadesii eşiti edir? = A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 6. 5 / = ^k+ h^k+ 4h ifadesii eşiti kaçtır? k A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) / (log (k + ) log k) ifadesii eşiti edir? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) toplamıı eşiti kaçtır? A) 57 B) 56 C) 55 D) 5 E) 5 4. / ( + ) = 4 eşitliğii sağlaya kaçtır? k = 8. 8 / k ifadesii eşiti edir? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) 5 B) 55 C) D) 7 E) 5

177 Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü 9. % log k (k ) ifadesii eşiti kaçtır?. % (k + k) ifadesii eşiti edir? A) B) C) D) 4 E) 5 A) (!) B) (!) C)!.! D)!.! E)!.!. % c m= ise kaçtır? k 5 k = A) 5 B) 7 C) 8 D) E) 4. % ( k 9k) ifadesii eşiti edir? A) 9 B) 9 C) D) 7 E) 5 5. % % m ifadesii eşiti edir? m= = A) (5!) 5 B) (5!) C) (!) 5 D) (!) E) (!) 5 5. % f(k) = + ve k = k = % g(k) ifadesii eşiti edir? k = % f(k).g(k) = 8 ise A) B) C) 9 D) 8 E) 7. % ( + 4k) ifadesii eşiti edir? A) 4! B) 4! C)!! 6. / % ifadesii eşiti edir? k = k = D)! 9! E)!! A) B) 5 C) D) 7 E) 4. B. E. B 4. C 5. B 6. C 7. A 8. B 9. E. D. A. C. C 4. E 5. B 6. D 5

178 I. Sol sü tu daki ifadelere karşılık gele formülleri sağ sütuda bulup eşleştiriiz. a b ( + ) ; E ( + ) c ( ) d e f. + r + r + + r g ( + ). r r 4. ( + ) ( + )! h..! +.! +.! + +.! 8. ( + )( + ) 6 II. Sol sü tu da verile ifadeleri değerii sağ sü tu da bulup eş leş ti riiz. a. a / k =. b. k / +..a c. k % k =. c d. c % k = 4.! e. k % a 5.! ( a )! 59

179 SOLDAN SAĞA YUKARIDAN AŞAĞIYA 4. Simge 6. Bir veya birçok iceliğe bağlı bulua bir iceliği hesaplamasıa yaraya matematiksel alatım 9. Biçim, sayı ve çoklukları yapılarıı, özelliklerii ve aralarıdaki ilişkileri matık yoluyla iceleye ve aritmetik, cebir, geometri gibi dallara ayrıla bilim. Kimi soruları çözümüde izlee solu sayıda ardışık işlemler dizisi. leme. Özel souçlarda geel souç çıkarma. Bir matematiksel ifadede, belirli koşullar altıda değişmez varsayıla terim 5. Toplam sembolüü adı 7. E büyük 8. Doğru ya da yalış bir hüküm öe süre bildirim. Çarpım sembolüü adı. Bir açık öermeyi doğru yapa değerleri kümesi 6

180 Aşağıdaki boşlukları veya simgelerii kullaarak dolduruuz = = = = = = = = = =... 6

181 Aşağıdaki ifadelerde doğru olalar içi kutucuklara D, yalış olalar içi Y yazıız = ( 4k ) /. k+ = 7 5 / 5 /. ( k+ ) = 5 7 / / 4. ( k+ ) = ( k ) k = 7 / 8 / 8 / 5. a + a = a k k k k = 7 k = / 6. k = 85 = 5 % 7. cos k = % 8. ( k 64) = k = % % 9. a = a k k = k %. ( a + b ) = a + b k = % k k k k k = k = % 6

182 ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü. 98 ÖYS / ^y + h= + ve / ^x ahy =, (α R) i = i / xy i değeri aşağıdakiler- olduğua göre, de hagisidir? i = i i = i i i ÖYS 4 = m = / m > / ^ 6hH toplamıı sayısal değeri kaçtır? A) B) C) D) E) A) a B) α C) α D) α E) ( )α. 98 ÖYS f ve g, N N aşağıdaki biçimde taımlı iki foksiyodur. f: x x /, g: x / = x = verildiğie göre (fog)() i değeri edir? ÖYS / ^+ ah= 7 olduğua göre, a kaçtır? = A) B) C) D) E) A) B) C) 4 D) 5 E) ÖYS f(x) = x +, x =, x = 4 olduğua göre / ^x hf^xh toplamı kaçtır? i= i i A) B) C) D) E) ÖYS 4 / / ^4s k+ h ifadesii değeri kaçtır? s = A) B) 8 C) D) 6 E) ÖYS de ye kadar ola tae doğal sayıı kareleri toplamı, T = dir. Bu tae sayıda herbiri kadar artırıldığıda, T e kadar artar? A) ( + ) B) ( ) C) ( + ) D) E) ÖYS 8 / % ^m h ifadesii değeri kaçtır? = m = A) 76 B) 6 C) D) 6 E) 76 64

183 Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü ÖYS ile 5 arasıda bulua ve 5 ile kalasız bölüebile sayıları toplamı kaçtır? A) 9875 B) C) 5 D) 5 E) 75. LYS Karmaşık sayılar kümesi üzeride f foksiyou f(z) = z k / biçimide veriliyor. Bua göre, f( i) değeri edir? A) + i B) i C) i D) i E). 7 ÖSS içi a a 99 k = / = kk ^ + h olduğua göre A) 5 49 aşağıdakilerde hagisidir? B) 49 5 C) D) 99 E) LYS 7 % = ( + ) sayısı m ile tam bö lü e bil di ği e gö re, m i ala bi le ce ği e büyük tam sayı değeri kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6. 8 ÖSS pozitif tam sayı olduğua göre, 8 /! + ^+ kh!. ^+ kh toplamı aşağıdakilerde hagisie eşittir? 5. LYS 9 k+ / f% p = 4 k = k işlemii soucu kaçtır? A) 45 B) 48 C) 5 D) 5 E) 54 A) ( + 7)! B) ( + 8)! C) ( + 9)! D) ( + 8)! E) ( + )!. LYS / = toplamıı 5 ile bölümüde kala kaçtır? A) B) C) D) E) 4 65

184 Tüme Varım, Toplam ve Çarpım Sembolü.B.D.E 4.A 5.C 6.C 7.D 8.C 9.E.E.C.B.A 4.A 5.A 66

185 TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT DİZİLER Diziler. Kazaım : Dizi, solu dizi ve sabit diziyi açıklar, dizileri eşitliğii ifade eder ve verile bir dizii grafiğii çizer.. Kazaım : Verile (a ), (b ) gerçek sayı dizileri ve c R içi (a ) + (b ), (a ) (b ), c. (a ), (a ).(b ) ve N + içi b olmak üzere (a ) : (b ) dizilerii bulur.. Kazaım : Arta, azala, azalmaya ve artmaya dizileri açıklar. Aritmetik ve Geometrik Diziler. Kazaım : Aritmetik diziyi açıklar, özelliklerii gösterir ve aritmetik dizii ilk terimii toplamıı bulur.. Kazaım : Geometrik diziyi açıklar, özelliklerii gösterir ve geometrik dizii ilk terimii toplamıı bulur.

186 DİZİLER Taım kümesi sayma sayıları ola her foksiyoa dizi deir. f : N + R taımlı bir foksiyo f() = a ile gösterilir. Burada a ye (a ) dizisii geel terimi deir. (a ) = (a, a, a,..., a,...) f() = a dizii birici terimi f() = a dizii ikici terimi... f() = a dizii. terimi dir. a (a ) : (b ) = c m, (b b ) k R olmak üzere k.(a ) = (k.a ) dir. ARİTMETİK DİZİ Ardışık terimleri farkı sabit ola diziye aritmetik dizi, bu sabit farka da ortak fark deir. Bir aritmetik dizide ortak fark r ile ve ilk terim toplamı S ile gösterilir. a = a + ( )r Dizilerde Eşitlik N + içi a = b oluyorsa, (a ) ve (b ) dizilerie eşit diziler deir ve (a ) = (b ) şeklide gösterilir. S = ^ a + a h veya S = 6 a r + ^ ap a r = p Sabit Dizi N + içi a = f() = c R ise (a ) dizisie sabit dizi deir. Solu Dizi A p = {,,,...,p } N + olmak üzere, A p R ye taımlaa her diziye, p terimli solu dizi a, b, c bir aritmetik dizii ardışık üç terimi ise a+ c b = dir. (a, a, a,..., a, a, a ) solu bir aritmetik dizii ardışık terimleri iseler, a + a = a + a = a + a =... dir. p < olmak üzere, a = a p + ( p).r dir. deir. Solu dizi olduğu belirtilmediği sürece her dizii sosuz dizi olduğu alaşılır. Dizilerde İşlemler Dizilerde dört işlem, dizileri geel tarimleri arasıda yapılır. (a ) ve (b ) birer dizi olmak üzere, (a ) + (b ) = (a + b ) (a ) (b ) = (a b ) (a ).(b ) = (a.b ) GEOMETRİK DİZİ Ardışık terimler oraı sabit ola dizilere geometrik dizi deir. Bu sabit oraa geometrik dizii ortak çarpaı deir. Bir geometrik dizide ortak çarpa r ile ve ilk terim toplamı S ile gösterilir. a = a.r r S = a. r a r = = a p a a p 68

187 a, b, c bir geometrik dizii ardışık üç terimi ise, b = a.c dir. Yai, (a ) = (a ).(a ) dir. (a, a, a,... a, a,a ) solu bir geometrik dizii ardışık terimleri iseler, a.a = a.a =... dir. ALT DİZİ Bir (a ) dizisi verildiğide, (k ) arta bir sayma sayı dizisi olmak üzere elde edile (a k ) dizisie (a ) dizisii bir alt dizisi deir. Burada (k ) arta bir dizi ve N + içi k N + olmalıdır. p < olmak üzere, a = a p.r p dir. MONOTON DİZİLER Bir (a ) diziside her terim bir sorakide hep küçük kalıyorsa bu dizilere mooto arta dizi deir. Bir (a ) diziside her terim bir sorakide hep büyük kalıyorsa bu dizilere mooto azala dizi deir. SINIRLI DİZİLER Bir dizii her terimi sabit bir sayıya eşit oluyor veya hep bu sayıda büyük kalıyorsa bu sayıya alt sıır deir. Bu koşula uya sosuz tae sayı vardır. Buları e büyüğüe EBAS deir. Bir dizii her terimi sabit bir sayıya eşit oluyor veya bu sayıda küçük kalıyorsa bu sayıya üst sıır, buları e küçüğüe EKÜS deir. N + içi Sıırlı her dizii bir EKÜS ü ve bir de EBAS ı I. a < a + ise (a ) mooto artadır. vardır. II. a > a + ise (a ) mooto azaladır. (a ) sıırlı bir dizi ve k R olmak üzere (k.a ) de III. a = a + ise (a ) sabit dizisidir. sıırlı bir dizidir. a. + b (a ) = c m dizisi içi c. + d I. c d < ise dizi mootodur. ad bc > ise dizi artadır. ad bc < ise dizi azaladır. II. ad bc = ise sabit dizidir. III. c d > ise dizi mooto değildir. ^a h I. = a. + b c m c. + d d a+ b a < ise ve sayılarıda c c + d c büyük ola eküs, küçük ola ebas dır. d d II. > ise ye e yakı ola iki doğal c c sayı k ve k + ise a k ve a k+ terimlerii büyüğü eküs, küçüğü ebas dır. 69

188 Diziler Rehber Soru Z +, / ^mod h Geel terimi a = ] [ +, / ^mod h 5 ], / ^mod h \ ola (a ) diziside, a 4 + a 5 + a 6 kaçtır? Rehber Soru Bir (a ) diziside N + içi a + a = + ve a = ise a kaçtır? ^ h.. Geel terimi a = + terimii toplamı kaçtır? ola dizii ilk iki. (a ) diziside N + içi a + a + = + ve a = 4 ise a 5 kaçtır?. Geel terimi a ola dizide, a + a kaçtır?, = ^mod h = * +, = ^mod h. (a ) diziside N + içi a a + = + ve a = ise a 7 kaçtır?. Geel terimi a Z + ] + = [ + ] \ ola dizide, a + a 4 kaçtır?,, tekise çiftise. (a ) diziside N + içi a a + = ve a = 4 ise a kaçtır? 4. (a ) diziside N + içi a =.a + ve a = ise a 5 kaçtır? Z, / ^mod h ] 4. Geel terimi a = [ +, / ^mod h ], / ^mod h \ ola dizide a + a + a 4 kaçtır? 5. (a ) diziside N + içi a = a + + ve a = ise a kaçtır? 7

189 Diziler Rehber Soru Geel terimi a = / k = kk ^ + h ola dizii dokuzucu terimi kaçtır? Rehber Soru 4 ^a h = + c m dizisii ola terimide dört so- + raki terimi kaçtır?. Geel terimi a terimi kaçtır? = / = kk ^ + h ola dizii 6. k +. (a ) = c m dizisii 6. terimi kaçtır? 5 4. Geel terimi a terimi kaçtır?. ^a h = kaçtır? k = / c m ola dizii 4. k = + c m dizisii ilk terimii çarpımı + 7. (a ) = c m dizisii kaçıcı terimi tür? +. (a ) = ( + ) dizisii ardışık iki terimi (, x) ikilisi olduğua göre, x i alabileceği değerleri buluuz. 4. (a ) = (log + ( + )) dizisii ilk 4 terimii çarpımı kaçtır? 4. (a, b) ikilisi (a ) = ( + ) dizisii ardışık iki terimi olduğua göre a b kaçtır? 5. a = ve a + a = olmak üzere, 4 a k / kaçtır? 5. (a ) = d +.! a diziside 4 kaçtır? a 7

190 Diziler Rehber Soru 5 ^a h = c 7+ m dizisii kaç terimi egatiftir? + Rehber Soru 6 (a ) = c m dizisii kaç terimi tam sayıdır? +. (a ) = c m dizisii kaç terimi egatiftir? + 4. (a ) = c m dizisii kaç terimi tam sayıdır? 7. (a ) = c m dizisii kaç terimi pozitiftir? + +. (a ) = c m dizisii kaç terimi tam sayıdır? + 5. (a ) = c m dizisii kaç terimi pozitiftir? +. (a ) = c m dizisii kaç terimi tam sa- + yıdır? 4 4. (a ) = c m dizisii kaç terimi egatif değildir? (a ) = c m dizisii kaç terimi tam sayıdır? + 5. (a ) = c değildir? 5 m dizisii kaç terimi pozitif 5. (a ) = sayıdır? d dizisii kaç terimi tam 7

191 Diziler Rehber Soru 7 4 (a ) = c m dizisii kaç terimi (, ) aralığıdadır? + 6 Rehber Soru 8 (a ) = ( 6 ) dizisii e küçük terimi kaçtır?. (a ) = c m dizisii kaç terimi c, m aralığıdadır? 4. (a ) = ( ) dizisii e küçük terimi kaçtır? + 6. (a ) = c m dizisii kaç terimi de büyüktür?. (a ) = ( 4 + ) dizisii e küçük terimi kaçtır? + 8. (a ) = c m dizisii kaç terimi te büyüktür? +. (a ) = ( ) dizisii e küçük terimi kaçtır? 4. (a ) = c m dizisii kaç terimi c, + m aralığıdadır? 4. (a ) = ( + ) dizisii e küçük terimi kaçtır? 5. (a ) = c m dizisii kaç terimi de küçük- + 6 tür? 5. (a ) = ( 8 ) dizisii e küçük terimi kaçtır? 7

192 Diziler Rehber Soru 9 (a ) = ( + 5 ) dizisii e büyük terimi kaçtır? Rehber Soru (a ) = c m dizisii bir sabit dizi olması içi + m m e olmalıdır?. (a ) = ( ) dizisii e büyük terimi kaçtır?. (a ) = ( + 6 ) dizisii e büyük terimi kaçtır?. (a ) = ((m ) + ) dizisii sabit dizi olması içi m kaç olmalıdır?. (a ) = ((a ) + (b + ) + a.b) dizisi bir sabit dizi ise a 4 kaçtır?. (a ) = ( + ) dizisii e büyük terimi kaçtır? 4 + k. (a ) = c m dizisi bir sabit dizi ise k kaçtır? 4. (a ) = ( + 7 ) dizisii e büyük terimi kaçtır? 4+ m 4. (a ) = d dizisi bir sabit dizi ise + k+ 4 k + m kaçtır? 5. (a ) = ( + 5) dizisii e büyük terimi kaçtır? 5. Aşağıdakilerde hagileri bir sabit dizidir? a. (a ) = (( ) ) b. (b ) = (cos(π)) c. (c ) = (( ) + ) d. (d ) = (si(π)) 74

193 Diziler Rehber Soru Z, +, < ] ^ah= ) ^bh= [, < <, ], \ dizileri içi (a + b ) dizisii buluuz. Rehber Soru (a ) = (5 ) ve (b ) = (4 ) dizilerii mootoluğuu iceleyiiz.. (a ) = ( + ) ve (b ) = ( ) ise (a b ) dizisii buluuz.. Aşağıdaki dizileri mootoluğuu iceleyiiz. a. (a ) = (7 + ) b. (b ) = (5 ). (a ) = ( + ) ve (b ) = ( ) ise b c m dizisii buluuz. a c. (c ) = ( 8) 4+, tek. (a ) = *, çift / +, ^mod h (b ) = *, / ^mod h ise (a + b ) dizisii buluuz. d. (d ) = ( + 4) e. (e ) = ( + 4) 75

194 Diziler Rehber Soru (a ) = c m ve (b + ) = c m dizilerii mootoluğuu iceleyiiz (a ) = c m dizisii mootoluğuu iceleyiiz. + + k 5. (a ) = c m dizisi mooto arta ise k ı + 6 değer aralığıı buluuz. 6. (a ) = c m dizisii mootoluğuu iceleyiiz. 5 k + 6. (a ) = c m dizisi mooto azala bir dizi ise 4 + k ı alabileceği e büyük tam sayı değeri kaçtır? +. (a ) = c m dizisii mootoluğuu iceleyiiz a + 4. (a ) = c m dizisi mooto azala ise a ı + 5 değer aralığıı buluuz. 6+ k 7. (a ) = c m dizisi mooto arta bir dizi ise + k ı alabileceği e büyük tam sayı değeri kaçtır? 76

195 Diziler Rehber Soru (a ) = c m dizisii (b + ) = c m dizisii + bir alt dizisi olduğuu gösteriiz. Rehber Soru 5 (a + ) = ( + ) ise (a ) dizisii geel terimii buluuz (a ) = c m dizisii (b + ) = c m dizisii bir alt dizisi olduğuu + gösteriiz.. (a + ) = ( + 4) ise (a ) dizisii geel terimii buluuz.. Aşağıdaki dizileri hagileri 5 (a ) = c m dizisii bir alt dizisidir. +. (a + ) = (4 ) ise (a ) dizisii geel terimii buluuz. 5 + a. (b ) = c m +. (a + ) = ( + ) ise (a + ) dizisii geel terimii buluuz. 5 + b. (c ) = c m (a ) = ( + ) ise (a ) dizisii ikici terimi c. (d ) = 5 + c m + 7 kaçtır? 8 d. (e ) = c m 4 5. (a + ) = (4 + ) ise (a + ) dizisii. terimi kaçtır? 77

196 Diziler Rehber Soru 6 Bir aritmetik dizii ardışık 5 terimi, a, b, 5, c, d ise a + b + c + d kaçtır? Rehber Soru 7 İlk terimi, ortak farkı 5 ola bir (a ) aritmetik dizisii geel terimii buluuz.. a, 4, b aritmetik bir dizii ardışık üç terimi ise a + b kaçtır?. İlk terimi, ortak farkı 6 ola bir aritmetik dizii geel terimii buluuz.. a, b, 6, c, d aritmetik bir dizii ardışık 5 terimi ise a + b + c + d kaçtır?. Geel terimi a = ola aritmetik dizii ortak farkı kaçtır?. Bir aritmetik dizii ardışık üç terimi x, x +, x ise x kaçtır?. İlk terimi 5, ortak farkı ola bir aritmetik dizii. terimi kaçtır? 4., a, b, c, 4 bir aritmetik dizii ardışık 5 terimi ise a + b + c kaçtır? 4. Geel terimi a = 4 + ola aritmetik dizide ardışık iki terimi farkı kaçtır? 5., x, y, z, k, p, 4 bir aritmetik dizii ardışık 7 terimi ise x + y + z + k + p kaçtır? 5. İlk terimi, ortak farkı ola bir aritmetik dizii kaçıcı terimi 4 tır? 78

197 Diziler Rehber Soru 8 Dördücü terimi, yedici terimi 9 ola bir aritmetik dizii oucu terimi kaçtır? Rehber Soru 9 ile arasıa aritmetik dizi oluşturacak şekilde 5 terim yerleştiriliyor. Bu dizii ortak farkı kaçtır?. İkici terimi, oüçücü terimi ola bir aritmetik dizii ortak farkı kaçtır?. ile 5 arasıa aritmetik dizi oluşturacak şekilde 6 terim yerleştiriliyor. Bu dizii ortak farkı kaçtır?. Üçücü terimi, sekizici terimi ola bir aritmetik dizii beşici terimi kaçtır?. 4 ile 7 arasıa aritmetik dizi oluşturacak şekilde 6 terim yerleştiriliyor. Bu dizii ortak farkı kaçtır?. Bir (a ) aritmetik diziside a 4 = ve a 7 = ise a kaçtır? 4. İlk terimi 5 ola bir (a ) aritmetik diziside, a 6 a 5 = ise a 8 kaçtır?. ile arasıa ilk terimi so terimi olacak şekilde 5 terim yerleştiriliyor. Bu dizii dördürcü terimi kaçtır? 5. Beşici terimi 7, oikici terimi 45 ola bir aritmetik dizii birici terimi kaçtır? 4. ile arasıa aritmetik dizi oluşturacak şekilde 5 terim yerleştiriliyor. Oluşa dizii ortadaki terimi kaçtır? 79

198 Diziler Rehber Soru x x + ax + = deklemii kökleri bir aritmetik dizii ardışık üç terimi ise a kaçtır? Rehber Soru Bir dörtgei iç açılarıı ölçüleri bir aritmetik dizii ardışık dört terimidir. E küçük iç açıı ölçüsü ise e büyük iç açıı ölçüsü kaç derecedir?. x + x + mx + m 4 = deklemii kökleri bir aritmetik dizi oluşturduğua göre m kaçtır?. Bir dörtgei iç açılarıı ölçüleri bir aritmetik dizii ardışık dört terimidir. E küçük iç açıı ölçüsü ise e büyük iç açıı ölçüsü kaç derecedir?. x + 6x + mx + m 4 = deklemii kökleri bir aritmetik dizi oluşturuyorsa m kaçtır?. Bir beşgei iç açılarıı ölçüleri bir aritmetik dizii ardışık beş terimidir. Ortaca açıı ölçüsü kaç derecedir?. x mx + m = deklemii kökleri bir aritmetik dizi oluşturuyorsa m kaçtır?. Bir altıgei iç açılarıı ölçüleri bir aritmetik dizii ardışık altı terimidir. E büyük açıı ölçüsü 45 ise e küçük açıı ölçüsü kaç derecedir? 8

199 Diziler Rehber Soru a. Üçücü terimi, yedici terimi 9 ola bir aritmetik dizii ilk terimii toplamı kaçtır? b. Geel terimi a = ola bir aritmetik dizii ilk terimii toplamı kaçtır? c. 4 ile 8 arasıda bulua sayılarda 5 ile bölüebileleri toplamı kaçtır?. Dördücü terimi, dokuzucu terimi 5 ola bir aritmetik dizii ilk 8 terimii toplamı kaçtır? 5. 4 ile arasıa aritmetik dizi oluşturacak şekilde 8 terim yerleştiriliyor. Oluşa aritmetik dizii terimleri toplamı kaçtır?. İkici terimi 6, oikici terimi 56 ola bir aritmetik dizii ilk terimii toplamı kaçtır?. Geel terimi a = 4 ola bir aritmetik dizii ilk terimii toplamıı buluuz. 6. ile arasıdaki sayılarda 6 ile bölüebileleri toplamı kaçtır? 4. Geel terimi a = 4 + ola bir aritmetik dizii ilk terimii toplamıı buluuz ile arasıdaki sayılarda 5 ile bölüebileleri toplamı kaçtır? 8

200 Diziler Rehber Soru a. İlk terimii toplamı S = ola ola bir aritmetik dizii 6. terimi kaçtır? b. İlk terimii toplamı S = + ola ola bir (a ) aritmetik diziside a 4 + a 5 + a 6 + a 7 kaçtır? c. İlk terimii toplamı S ola ola bir aritmetik dizide S = S + + ise bu dizii dördücü terimi kaçtır?. İlk terimii toplamı S = ola bir aritmetik dizii 5. terimi kaçtır? 5. İlk terimii toplamı S = + 6 ola bir (a ) aritmetik diziside a 4 + a 5 + a 6 kaçtır?. İlk terimii toplamı S = + 4 ola bir (a ) aritmetik dizisii 4. terimi kaçtır? 6. İlk terimii toplamı S ola bir aritmetik dizide S = S ise bu dizii beşici terimi kaçtır?. İlk terimii toplamı S = + ola bir (a ) aritmetik diziside a + a kaçtır? 7. İlk terimii toplamı S ola bir aritmetik dizide S S = 4 ise bu dizii altıcı terimi kaçtır? 4. İlk terimii toplamı S = + 4 ola bir (a ) aritmetik diziside a + a 4 + a 5 kaçtır? 8. İlk terimi ola bir aritmetik dizii ilk 6 terimii toplamı, ilk 4 terimii toplamıda fazladır. Bu dizii 4. terimi kaçtır? 8

201 Diziler Rehber Soru 4 Bir geometrik dizii ardışık 5 terimi x, y, 4, z, t ise x.y.z.t kaçtır? Rehber Soru 5 İlk terimi, ortak çarpaı ola bir geometrik dizii geel terimii buluuz.. x,, y geometrik bir dizii ardışık üç terimi ise x.y kaçtır?. İlk terimi, ortak çarpaı 4 ola bir geometrik dizii geel terimii buluuz.. a, b,, c, d geometrik bir dizii ardışık beş terimi ise a.b.c.d kaçtır?. Geel terimi, a =. ola geometrik dizii ortak çarpaı kaçtır?., x, y, z, 4 geometrik bir dizii ardışık 5 terimi ise x.y.z kaçtır?. İlk terimi 9, ortak çarpaı ola geometrik dizii 5. terimi kaçtır? 4., x, y, z, t, k, 8 geometrik bir dizii ardışık 7 terimi ise x.y.z.t.k kaçtır? 4. Geel terimi a =. ola bir geometrik dizide ardışık iki terimi oraı kaçtır? 5. Bir geometrik dizii ardışık üç terimi; x, x, x + 4 ise x i alabileceği değerleri buluuz. 5. İlk terimi, ortak çarpaı v ola bir geometrik dizii kaçıcı terimi 6 dır? 8

202 Diziler Rehber Soru 6 Üçücü terimi 4, altıcı terimi ola bir geometrik dizii obirici terimi kaçtır? Rehber Soru 7 ile 64 arasıa geometrik dizi oluşturacak şekilde 4 terim yerleştiriliyor. Bu dizii ortak çarpaı 6 kaçtır?. İkici terimi, beşici terimi 8 ola geometrik dizii ortak çarpaı kaçtır?. ile arasıa geometrik dizi oluşturacak şekilde terim yerleştiriliyor. Pozitif terimli bu dizii ortak çarpaı kaçtır?. Üçücü terimi, altıcı terimi 8 ola bir geometrik dizii birici terimi kaçtır?. ile arasıa pozitif terimli bir geometrik dizi oluşturacak şekilde 5 terim yerleştiriliyor. Bua göre, de soraki terim kaçtır?. (a ) geometrik diziside a 4 =, a = ise ise a 8 kaçtır? 4. (a ) geometrik diziside a.a.a 4 = 64 ise. ile 4 arasıa geometrik dizi oluşturacak 9 şekilde 6 terim yerleştiriliyor. 4 te öceki terim kaçtır? a kaçtır? 5. (a ) geometrik diziside, a.a 4.a 5.a 6.a 7 = 4 ise a 5 kaçtır? 4. ile 8 arasıa geometrik dizi oluşturacak şekilde 5 terim yerleştiriliyor. Bu dizii ortadaki terimi kaç olur? 84

203 Diziler Rehber Soru 8 x mx + 4x 8 = deklemii kökleri bir geometrik dizii ardışık üç terimi ise m kaçtır? Rehber Soru 9 (a ) = (.5 ) dizisii ilk terimii çarpımı kaçtır?. x (m + 4)x + (5m )x 8 = deklemii kökleri bir geometrik dizii ardışık üç terimi ise m kaçtır?. (a ) = (. ) geometrik dizisii ilk terimii çarpımı kaçtır?. (a ) = (4 ) dizisii ilk terimii çarpımı kaçtır?. x x + mx 7 = deklemii kökleri bir geometrik dizii ardışık üç terimi ise m kaçtır?. (a ) = (. ) geometrik dizisii ilk terimii çarpımı kaçtır?. x 4x + mx 64 = deklemii kökleri bir geometrik dizii ardışık üç terimi ise m kaçtır? 4. Birici terimi, beşici terimi 4 ola bir geometrik dizii ilk terimii çarpımı kaçtır? 85

204 Diziler Rehber Soru a. Birici terimi, ikici terimi 4 ola bir geometrik dizii ilk terimii toplamı kaçtır? b. İlk terimii toplamı S = ^ h ola bir geometrik dizii dördücü terimi kaçtır? c. İlk terimii toplamı S = ola bir (a ) geometrik diziside a + a 4 + a 5 kaçtır?. İlk iki terimi sırasıyla ve ola bir geometrik dizii ilk 6 terimii toplamı kaçtır? 5. İlk terimii toplamı S = ola bir (a ) geometrik diziside a + a 4 kaçtır?. Üçücü terimi, yedici terimi ola geometrik dizii ilk terimii toplamı kaçtır? 6. İlk terimii toplamı S = + ola bir (a ) geometrik diziside a + a 4 + a 5 kaçtır? 7. İlk terimi x,. terimi y ve ortak çarpaı ola. İlk terimii toplamı S = 4 ola bir geometrik dizii beşici terimi kaçtır? geometrik dizii ilk terim toplamıı x ve y türüde değeri edir? 4. İlk terimii toplamı S = (5 ) ola bir geometrik dizii dördücü terimi kaçtır? 8. Arta bir geometrik dizide ilk 6 terimi toplamıı ilk terimi toplamıa oraı 65 tir. Bua göre, dizii ortak çarpaı kaçtır? 86

205 TEST Geel Terim + 5. (a ) = c m dizisii kaçıcı terimi tür? + 4 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 5. (a ) =! c m dizisii 6. terimi 5. terimii kaç katıdır? A) B) C) 4 D) 5 E) (a ) = c m dizisii ya eşit ola terimide iki soraki terimi + 6 kaçtır? 6. (a ) = + 8 c m dizisii kaç terimi tam sayıdır? A) B) C) D) E) A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7. (a, b) ikilisi (a ) = ( 7) dizisii ardışık iki terimi ise a b kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) (a ) = c m dizisii kaç terimi tam sayıdır? + A) 6 B) 5 C) 4 D) E) (a ) = c m dizisii kaç terimi 4 te büyüktür? + A) 8 B) 9 C) D) E) 6 8. (a ) = c m dizisii kaç terimi pozitiftir? + A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 87

206 Diziler 6 9. (a ) = c m dizisii kaç terimi pozitif değil- + dir? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7. (a ) = ( 8 + ) dizisii terimleride e küçük olaı kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5. (a ) dizisi içi, a = a ve a = ise a 8 kaçtır? 4. (a ) = ( + 7 ) dizisii terimleride e büyük olaı kaçtır? A) 8 B) 9 C) D) E) A) B) C) 5 D) 6 E) 7. (a ) dizisi içi, a a + = ve a = 4 ise a kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 5. (m, ) ikilisi (a ) = ( + ) dizisii ardışık iki terimi olduğua göre m aşağıdakilerde hagisidir? A) 9 B) C) D) E) 4 + ^ h 6. (a ) = d 4 + dizisi içi a 5 a 8 kaçtır?. (a ) dizisi içi, a + =.a ve a = ise a edir? 4 A) B) C) A) 8! B) 9! C)! D)! E)! D) 4 E). D. A. B 4. E 5. B 6. B 7. C 8. A 9. D. E. C. C. E 4. C 5. A 6. E 88

207 TEST Mooto Diziler. Aşağıda geel terimleri verile dizilerde hagisi mooto değildir? A) + B) C) + D) 6 E) 4 + k 5. (a ) = c m dizisii mooto azala olması + 5 içi k hagi aralıkta değer almalıdır? A) c, m B) c, m C) c, m D) c, m E) c, m. Aşağıdaki ifadelerde hagileri doğrudur? I. II. + c m dizisi mooto artadır. + + c m dizisi mootodur. k 6. (a ) = c m dizisii sabit bir dizi olması içi 4 + k e olmalıdır? + III. c m dizisi mooto değildir. A) B) C) D) E) A) I ve II B) I C) II D) I ve III E) II ve III 5 +. (a ) = c m dizisi mooto bir dizi olduğua a göre, a ı değer aralığı edir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) 7. Aşağıdaki dizilerde hagisi (a ) = c m dizisii bir alt dizisi değildir? A) c m B) c m C) c m D) c m E) c m (a ) = c m dizisi mooto arta bir dizi olduğua göre k ı alabileceği e büyük tam sayı k + değeri kaçtır? + 8. (a + ) = c m ise (a + ) dizisi aşağıdakilerde hagisidir? A) B) + C) + + A) 4 B) C) D) E) D) 5 + E) 4 + 9

208 Diziler + 9. (a ) = c m ise (a + + ) dizisi aşağıdakilerde hagisidir?. (a ) = ( k) dizisii e büyük terimi ise k kaçtır? A) B) C) A) B) C) D) E) D) E) (a ) = ( ) ve (b ) = (a + b) dizileri eşit ise a + b kaçtır? 4. a + 5 c m dizisi mooto azala bir dizi ise a + a ı alabileceği kaç tam sayı değeri vardır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 A) B) C) D) 4 E) 5. a + b c m dizisi + c m dizisii bir alt dizisi + 5. ( + a + ) dizisi mooto arta bir dizi ise a ı değer aralığı aşağıdakilerde hagisidir? olduğua göre, a + b kaçtır? A) (, ) B) (, ) C) (, ) A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 D) (, ) E) (, ). Geel terimi a = 4 ola dizii e küçük terimi kaçtır? + 6. (a + ) = c m ise (a + + ) dizisii. terimi kaçtır? A) B) C) D) E) A) B) 7 C) D) 5 E) 4. D. E. A 4. B 5. C 6. E 7. E 8. D 9. D. B. C. D. D 4. A 5. A 6. E 9

209 TEST 4 Aritmetik Dizi. Bir aritmetik dizide a = 7, a = 7 ise a 7 kaçtır? A) 5 B) C) 5 D) E) 5 5. Bir aritmetik dizide a + a + + a + = (4 ) ise dizii 4. terimi kaçtır? A) 9 B) C) 5 D) 9 E). Bir aritmetik dizide a 5 = 5 ve a = 7 ise a kaçtır? A) B) C) D) E) Bir aritmetik dizii ilk terimii toplamı 56 dır. Bu dizii 7. terimi kaçtır? A) 9 B) C) D) E) 4. Bir aritmetik dizii 7. terimi 7, 9. terimi 49 ise. terimi kaçtır? 7. (a ) aritmetik diziside a = ve 7 / a / k = 5 ise dizii ortak farkı kaçtır? k k = A) B) C) 56 D) 64 E) 66 A) B) C) D) E) 4. ile 8 arasıa 9 sayı yerleştirilerek aritmetik dizi oluşturuluyor. Bu dizii dördücü terimi kaçtır? 5 9 A) B) C) D) 5 E) 6 8. Solu bir aritmetik dizide ilk dört terimi toplamı 6, so dört terimi toplamı dir. Bu dizii tüm terimleri toplamı 56 olduğua göre terim sayısı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) E) 9

210 Diziler 9. x > olmak üzere, ilk terimi ve ortak farkı x ola bir aritmetik dizii x. terimi 4 ise 6. terimi kaçtır? A) 6 B) 8 C) D) E) 4. Bir dörtgei iç açılarıı ölçüleri bir aritmetik dizii ardışık dört terimidir. Bu dörtgei e büyük iç açısıı ölçüsü 6 ise e küçük iç açısıı ölçüsü kaç derecedir? A) B) 5 C) D) 5 E). İlk üç terimi 6a + b, 4a + b, 5a b ola bir aritmetik dizii 5. terimi dir. Bu dizii geel terimi aşağıdakilerde hagisidir? A) ( ) B) 8( + ) C) ( 5) D) ( + ) E) ( 6) 4. İlk terimi ola bir (a ) aritmetik diziside a 6 a 5 = 4 ise ilk terimii toplamı kaçtır? A) 44 B) 5 C) 9 D) 4 E) 88. ( 9, 6,,...) aritmetik dizisii başta kaç terimii toplamı 45 tir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5. Geel terimi, a = + ola bir aritmetik dizii ilk terimii toplamı kaçtır? A) 75 B) 8 C) 85 D) 9 E) 95. İlk üç terimi a + b, a b, a + 5b ola aritmetik dizii 4. terimi 4 ise geel terimi aşağıdakilerde hagisidir? A) 4(8 + ) B) 4( + ) C) 4( + ) D) 8(4 + ) E) 8( + ) 6. İlk terimii toplamı S = + 4 ola bir (a ) aritmetik diziside, a 4 + a 5 + a 6 kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 4. B. E. B 4. C 5. B 6. D 7. A 8. D 9. D. E. E. B. C 4. E 5. A 6. D 94

211 TEST 6 Geometrik Dizi. Bir geometrik dizii ilk terimi, üçücü terimi olduğua göre 7. terimi kaçtır? A) 7 B) 8 C) 4 D) 79 E) x + x px + = deklemii kökleri bir geometrik dizii ardışık üç terimi olduğua göre p kaçtır? A) B) C) D) E). Bir geometrik dizii. terimi, 7. terimi 8 olduğua göre 4. terimi kaçtır? 6. 9 ile 79 sayıları arasıa pozitif terimli bir geometrik dizi oluşturacak biçimde tae terim yerleştirilirse dizii ortak çarpaı kaç olur? A) B) C) D) E) 4 A) 9 B) C) D) E) 9. Bir geometrik dizii ilk terimi, 5. terimi 8 olduğua göre 9. terimi kaçtır? A) B) 6 C) D) 64 E) Bir geometrik dizii ardışık üç terimi a, a + ve a + 4 tür. Bu dizii ortak çarpaı edir? A) B) C) 4 D) E) 4 4. Bir geometrik dizii ardışık üç terimi x, x y, x 4y ise bu dizii ortak çarpaı kaçtır? 8. 6 ile 54 arasıa kaç terim yerleştirilmelidirki ortak çarpaı elde edilsi? ola solu bir geometrik dizi A) B) C) D) E) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 97

212 Diziler 9. (a ) ilk terimi a, ortak çarpaı k ola bir geometrik dizidir. _.a ^ h i de bir geometrik dizi ise bu dizii ortak çarpaı edir?. Dördücü terimi ola bir geometrik dizii ilk 7 terimii çarpımı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 A) B) k C) 4k D) k E) k. (x 4a + d)(x 4ad)(x ad ) = üçücü derecede deklemii kökleri hem aritmetik hem de geometrik bir dizi oluşturuyorsa a kaçtır? 4. Geel terimi a =. + ola (a ) geometrik dizisii ortak çarpaı kaçtır? A) B) C) 6 D) 9 E) A) B) C) D) E) 4. va, b, vc bir geometrik dizii; 4a, b, c bir aritmetik dizii ardışık üç terimidir. c a olmak üzere c, a ı kaç katıdır? 5. İlk terimii toplamı S = ola bir geometrik dizii ortak çarpaı kaçtır? A) B) C) D) E) 4 4 A) B) C) 4 D) 5 E) 6. x, 4, y bir geometrik dizii ilk üç terimi; x,, (y 4) bir aritmetik dizii ilk üç terimi ise x + y kaçtır? A) 84 B) 8 C) 7 D) 68 E) (a ) = (.5 ) geometrik dizisii ilk terimii çarpımı aşağıdakilerde hagisidir? A). 5 D). 5 B) E) 5. 5 C) C. A. C 4. A 5. C 6. D 7. D 8. B 9. E. A. C. D. C 4. B 5. B 6. A 98

213 TEST. Bir (a ) diziside, a = a +4 + ve a = 6 ise a kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) 4 E) 5 5. (a ) = c m dizisii egatif ola terimlerii 5 toplamı kaçtır? A) B) 9 C) 8 D) 7 E) 6. Geel terimi a = / k.k! ola (a ) dizisii 4. k = terimii soda kaç basamağı 9 dur? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 x (a ) = c m dizisi mooto azala bir dizi + x ise x i alabileceği kaç tam sayı değeri vardır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) (a ) = c m dizisii ardışık üç terimi (a,, b) + olduğua göre, a + b kaçtır? A) 4 5 D) 7 9 B) 4 5 E) C) 5 7. (a ) = ( ) dizisii kaç terimi de küçüktür? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 4. (a ) = + + c m dizisii kaç terimi tam + sayıdır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 8. Aşağıdakilerde hagisi mooto azala bir dizidir? + + A) c m B) b l C) c m + + D) c m E) + 4 c m + 5

214 Diziler 9. Bir geometrik dizii ardışık üç terimii toplamı, çarpımı 7 ise bu terimlerde e büyük olaı kaçtır? A) B) 6 C) 9 D) E) 8 9. İlk terim toplamı S = ola bir geometrik dizii ortak çarpaı kaçtır? 6 A) B) C) D) E) 9. Bir aritmetik dizii ardışık üç terimii toplamı 5, çarpımı 8 ise bu terimlerde e küçük olaı kaçtır?. İlk terimi ve ortak çarpaı ola (a ) geometrik diziside a k = ise k kaçtır? A) 9 B) C) D) E) A) B) C) D) 4 E) 5. Bir geometrik dizii ilk 5 terimii çarpımı, ilk terimii çarpımıı 7 katı ise bu geometrik dizii 4. terimi kaçtır?. Yaşları toplamı 5 ola sekiz kişilik bir grubu yaşları bir aritmetik dizii ardışık sekiz terimidir. Bu grubu e yaşlısı, e gecide 4 yaş büyük olduğua göre, e geç ola kaç yaşıdadır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 A) B) C) D) 4 E) 5. x +, 4, y sayıları hem aritmetik, hem de geometrik dizii ardışık üç terimi ise x.y kaçtır?. İlk terimi 5, so terimi 4 ve ortak farkı 4 ola bir aritmetik dizi kaç terimlidir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) 6 B) 5 C) 4 D) E). B. C. A 4. D 5. B 6. C 7. B 8. E 9. C. B. B. C. D 4. C 5. B 6. B 6

215 I. Sol sü tu da bazı elemaları verile aritmetik dizileri geel terimlerii sağ sütuda bulup eşleştiriiz. a. a =, r = b. a = 5, a 5 = c. a =, r =. d. a =, a = II. Sol sütuda bazı elemaları verile geometrik dizileri geel terimlerii sağ sütuda bulup eşleştiriiz. a. a =, r =. b. a =, a5 = 6. ^ 5h c. a 8 = 7, a =. d. a = 5, a 6 = 5 4. III. Sol sü tu da geel terimleri verilmiş ola dizileri e küçük veya e büyük elemalarıı sağ sütuda bulup eşleştiriiz. a. ( 8). 6 b. ( + 6). 6 c. ( + 4). 7 d. ( + 5) 4. 4

216 SOLDAN SAĞA 5. Taım kümesi sayma sayılar ola bir foksiyoa verile ad 7. Birbiri ardıda gele 8. Bir deklemde = işaretii iki yaıdaki alatımlarda her biri. Bir aritmetik dizide ardışık iki terim arasıdaki fark. Göze e güzel görüe dikdörtgei uzu kearıı uzuluğuu, kısa kearıı uzuluğua oraı. İçide değişkeler bulua ve bu değişkelere özel değerler verildiğide bir özel terime idirgee terim YUKARIDAN AŞAĞIYA. Bir solu diziyi oluştura terimleri toplamıı o dizide yer ala terim sayısıa bölümesi ile elde edile souç. Ardışık iki terimii oraı ayı sabit sayısıya eşit ola dizi. Ardışık terimleri arasıdaki fark ayı sabit sayıya eşit ola dizi 4. Bir geometrik dizii ardışık iki terimii oraı 6. Kediside ve de başka bölei olmaya sayma sayısı 9. Bütü terimleri birbirie eşit ola dizi 4

217 Aşağıdaki soruları her biride oktalı yerleri uygu şekilde dolduruuz.. Bir aritmetik dizide başta ve soda eşit uzaklıktaki terimleri... birbirie eşittir.. Bir geometrik dizide başta ve soda eşit uzaklıktaki terimleri... birbirie eşittir.. (a ) = (a + b + c) diziside a > ise dizii e... terimi yoktur. 4. (a ) = (a + b + c) diziside a < ise dizii e... terimi yoktur dizisii sabit dizi olması içi c a b = bağıtısı sağlamalıdır. d 6. Her bir terimi bir öcekide r kadar büyük ola diziye... dizi deir. 7. Her bir terimi bir öcekii r katı ola diziye... dizi deir. 8. Bir aritmetik dizide her terim kedide öceki ve soraki terimleri...dır. 9. Bir geometrik dizide her terim kediside öceki ve soraki terimleri...dır.. Bir dizii hem aritmetik hem de geometrik dizi olması içi tüm terimleri... olmalıdır. 5

218 Aşağıdaki ifadelerde doğru olalar içi kutucuklara D, yalış olalar içi Y yazıız ifadesi bir dizii geel terimi olabilir.. 4 ifadesi bir dizii geel terimi olabilir.. a + > a ise (a ) arta dizidir. 4. a + a ise (a ) azala dizidir. 5. a + a ise (a ) azalmaya dizidir. 6. a + b c m diziside ad bc > ise dizi mooto artadır. c + d 7. a + b c m diziside ad bc = ise dizi sabit dizidir. c + d 8. a + b c m diziside c + d d > ise dizi mootodur. c c m ifadesi bir aritmetik dizii geel terimi olabilir.. ( ) ifadesi bir geometrik dizii geel terimi olabilir. 6

219 ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI. 98 ÖYS Dördücü terimi, yedici terimi 8 ola bir geometrik dizii, yirmici terimi kaç olur? A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) ÖYS a =, a =.a olduğua göre a 6 A) 6! ve N kaçtır? B) 5! D) 5! E) 6! C) 5!.6!. 98 ÖYS Bir geometrik dizii ilk terimi a, ortak çarpaı, ici terimi b dir. Bu dizii, ilk terim toplamıı a ve b ye bağlı olarak ifadesi aşağıdakilerde hagisidir? A) b a B) b + a C) b a + D) b a E) b a ÖYS Dışbükey bir dörtgede, açılar bir aritmetik dizii ardışık dört terimidir. E küçük açı olduğua göre, e büyüğü kaç derecedir? A) 6 B) 55 C) 5 D) 45 E) ÖYS N + da taımlı, geel terimi a = 5.(!) ola bir dizide a, a i kaç katıdır? + A) + 5 B) 5 C) 5 D) 5 E) 5( ) ÖYS Bir dizii geel terimi, 8 a =.a dir. a = olduğua göre, a 6 kaçtır? A) B) 6 C) D) 5 E) 5! 5! 6 6! ÖYS x + ax + bx + c = deklemii kökleri bir aritmetik dizi olduğua göre ortaca kökü değeri aşağıdakilerde hagisidir? A) a b D) a + b B) a b C) E) a + b + c ÖYS Bir aritmetik dizii 8. terimi a olduğua göre,. ve 4. terimleri toplamı edir? A) a B) a C) a D) a E) a 8

220 Diziler ÖYS Bir geometrik dizii ilk terimi, ikici terimi olduğua göre, altıcı terimi kaçtır? A) 8 B) C) D) 9 E) ÖYS Yaşları toplamı 48 ola 6 kardeşi yaşları bir aritmetik dizi oluşturmaktadır. E küçük kardeş yaşıda olduğua göre, e büyük kardeşi yaşı kaçtır? A) 9 B) C) 4 D) 5 E) ÖYS Bir geometrik dizii ardışık üç terimi sırasıyla x, x +, x + 5 olduğua göre, x kaçtır? A) B) C) D) E) ÖYS =,,,... olmak üzere ilk terimii toplamı S = + ola bir dizii 7. terimi kaçtır? A) B) 4 C) D) 6 E). 99 ÖYS Bir geometrik dizii ilk altı terimii toplamıı, ilk üç terimii toplamıa oraı Bu dizii r ortak oraı kaçtır? A). D) dir. B) v C) v E) ÖYS Bir geometrik dizii ilk üç terimi (a ), (a ) ve (4a + ) tür. Bua göre, bu dizii beşici terimi kaçtır? A) 45 B) 54 C) 6 D) 8 E) ÖYS Geel terimi a = ^+ h. ^+ h, N+ ola dizii ilk 7 terimii toplamı kaçtır? A) 8 45 B) 8 C) 4 D) 6 5 E) 6. 9 ÖSS ve 6 arasıa uygu ola tam sayı yerleştirilerek 5 sayıda oluşa bir geometrik dizi oluşturuluyor. Bu üç sayıı toplamı kaçtır? A) 78 B) 8 C) 8 D) 86 E) 9 9

221 Diziler 7. LYS {a } ve {b } dizileri aşağıdaki biçimde taımlaıyor. Z, / ( mod ) ise ] a = [, / ( mod ) ise ], / ( mod ) ise \ b = / a k k = Bua göre, b 4 kaçtır? A) B) C) D) E) 9. LYS (a ) dizisi +, / ( mod ) a = *, / ( mod ) biçimide taımlaıyor. a9 a7 Bua göre, ifadesii değeri kaçtır? a8 4. a6 A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 8. LYS (a k ) dizisi a = 4 a k+ = a k k (k =,,,...) biçimide taımlaıyor. Bua göre, a 8 terimi edir? A) 4 B) 7 C) D) 5 E) 9.B.E.D 4.B 5.A 6.C 7.E 8.B 9.E.E.E.A.B 4.E 5.E 6.A 7.E 8.C 9.B

222 MATRİS DETERMİNANT ve DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT Matrisler. Kazaım : Matrisi öreklerle açıklar, verile bir matrisi türüü belirtir ve isteile satırı, sütuu ve elemaı gösterir.. Kazaım : Kare matrisi, sıfır matrisii, birim matrisi, köşege matrisi, alt üçge matrisi ve üst üçge matrisi açıklar, iki matrisi eşitliğii ifade eder.. Kazaım : Matrislerde toplama işlemii yapar, bir matrisi toplama işlemie göre tersii belirtir, toplama işlemii özelliklerii gösterir ve iki matrisi farkıı bulur. 4. Kazaım : Bir matrisi bir gerçek sayı ile çarpma işlemii yapar ve özelliklerii gösterir. 5. Kazaım : Matrislerde çarpma işlemii yapar ve çarpma işlemii özelliklerii gösterir. 6. Kazaım : Bir matrisi çarpma işlemie göre tersii bulur ve matrisleri tersii bulma işlemii özelliklerii gösterir. 7. Kazaım : Bir matrisi devriğii (traspozuu) bulur ve özelliklerii gösterir. Doğrusal Deklem Sistemleri. Kazaım : Doğrusal (lieer) deklem sistemii açıklar ve doğrusal deklem sistemii çözümüü temel (elemeter) satır işlemleri yaparak bulur.. Kazaım : Doğrusal deklem sistemlerii matrislerle gösterir ve matris gösterimi A.X = B ola doğrusal deklem sistemii çözümüü (A B) geişletilmiş matrisi üzeride temel satır işlemleri uygulayarak bulur. Determiatlar. Kazaım : Miör ve kofaktör kavramıı açıklar x, x ve x türüdeki matrisleri determiatıı hesaplar ve determiatı özelliklerii belirtir.. Kazaım : Sarrus yötemii kullaarak x türüdeki matrisleri determiatıı hesaplar.. Kazaım : Ek (adjoit) matrisi açıklar, x ve x türüdeki matrisleri tersii ek matris yardımıyla bulur. Doğrusal Deklem Sistemleri. Kazaım : Matris gösterimi A.X = B ola doğrusal deklem sistemii çözümüü X = A.B yötemi ile bulur.. Kazaım : Doğrusal deklem sistemii çözümüü Cramer kuralıı kullaarak bulur.

223 MATRİS VE DETERMİNANTLAR i =,,.., ve j =,,,..., m olmak üzere, a ij sayılarıda oluşa Ra a a V S mw Sa a amw S W A = S W S W Sa a a W m T X biçimideki tabloya, satır ve m sütuda oluşa bir matris deir. A = [ a ij ] xm ya da A = [ a ij ] biçimide gösterilir. A = a... a a a... a a a a... a II. köflege matrisi bir kare matristir. I. köflege a, a,..., a elemalarıı oluşturduğu köşegee. köşege (asal köşege) a, a ( ),..., a m elemalarıı oluşturduğu köşegee. köşege (yedek köşege) deir. Bu matris x m türüde bir matristir. [ a a... a m ], [ a, a...a m ],... SIFIR MATRİS Bütü elemaları sıfır ola matrislere sıfır matris deir. matrislerii herbiri birer satır matris R a S S a S S h S a T V R a V W S W W S a W W, S W, W S h W W S a W X T X matrislerii herbiri birer sütu matristir. MATRİSLERİN EŞİTLİĞİ BİRİM MATRİS. köşege üzerideki elemaları (bir), diğer elemaları (sıfır) ola kare matrislere birim matris deir. R V S W Ι = = G, Ι = S W S W T X matrisleri birer birim matristir. A = [ a ij ] xm ve B = [ b ij ] xm matrisleri içi a ij = b ij ise bu iki matris eşittir. Türleri farklı iki matrisi eşitliğide söz edilemez. KARE MATRİS Satır sayısı sütu sayısıa eşit ola matrislerdir. x türüdeki [ a ij ] x matrisie. sırada (. basamakta) kare matris deir. İKİ MATRİSİN TOPLAMI mx türüde iki matris A = [ a ij ] ve B = [ b ij ] olmak üzere A + B = [ a ij ] + [ b ij ] = [ a ij + b ij ] dir. Öreği a b 4 5 a + 4 b + 5 = G+ > H= > H dir. x y + x + y

224 TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ A + B = B + A A B B A A, B, C; çarpımları taımlı birer matris ve k R olmak üzere, A + = + A = A A.B B.A A + (B + C) = (A + B) + C A + ( A) = ( A) + A = (k.a).b = A.(k.B) = k.(a.b) A.C + B.C = (A + B).C C.A + C. B = C.(A + B) BİR MATRİSİN SKALERLE ÇARPIMI A = [ a ij ] mx ve k R içi k.a = [ k.a ij ] mx dir. Öreği a b a b A = = G & A = = G dir. c d c d A.(B.C) = (A.B).C A.B = ise A ı veya B i sıfır matris olması gerekmez. A.B = A.C ise B = C olmak zoruda değildir. MATRİSLERİN ÇARPIMI A ve B matrislerii çarpımıı taımlı olabilmesi içi A matrisii sütu sayısı, B matrisii satır sayısıa eşit olmalıdır. A.Ι = Ι. A = A Ι = Ι A = A. A, A = A. A,..., A k = A.A k dir. x 6 abc@. > y H = 6 ax. + by. + z BİR MATRİSİN DEVRİĞİ (TRANSPOZU) A = 4 5 6, B = 7 8 A = [ a ij ] mx matrisi ayı idisli satırlarıyla sütularıı yer değiştirilmesiyle oluşturula [ a ji ] xm matrisie A matrisii devriği deir ve A d veya A t ile gösterilir AB. = = G= = G a a b c A = AT Ad > H& = = > b x y z c x y z H dir.

225 TRANSPOZUN ÖZELLİKLERİ DETERMİNANTIN ÖZELLİKLERİ (A T ) T = A (k.a) T = k.a T (A + B) T = A T + B T (A.B) T = B T. A T B = A + A T B T = B C = A A T C T = C. Bir determiatı bir satırıdaki veya bir sütudaki terimleri tümü sıfır ise determiatı değeri sıfırdır.. Bir determiatı iki satır veya iki sütudaki terimler oratılı ise determiatı değeri sıfırdır.. Bir determiatı iki satır (veya iki sütuudaki) elemalar yer değiştirirse determiatı işareti değişir. 4. A T = A DETERMİNANTLAR Bir A kare matrisii determiatı deta veya A biçimide gösterilir. x Türüde Bir Matrisi Determiatı a b A = = G matrisi içi c d a b A = deta = = ad. bc. dir. c d 5. A.B = A. B 6. x türüde A matrisi içi k R olmak üzere k.a = k A dır. 7. A = A 8. A matrisii herhagi bir satır veya sütuu tüm elemaları k R ile çarpılırsa determiat k ile çarpılmış olur. ka. kb. kc. a b c x y z = k. x y z d e f d e f x Türüde Bir Matrisi Determiatı (Sarrus Kuralı) 9. x+ y x+ y x+ y x x x y y y a b c = a b c + a b c d e f d e f d e f. Yol : a b c d e f x y z = a b c d e f x y z a b c d e f = a.e.z + d.y.c + x.b.f (x.e.c + a.y.f + d.b.z). Bir determiatı bir satırıdaki (veya sütuudaki) elemalar k R ile çarpılıp başka bir satır (veya sütua) ekleirse determiatı değeri değişmez. BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ. Yol : a b c d e f x y z = a b c d e f x y z a b d e x y = a.e.z + b.f.x + c.d.y (x.e.c + y.f.a + z.d.b) x türüde bir A matrisi içi A.A = A.A = Ι eşitliğii sağlaya x türüdeki A matrisie, A matrisii tersi deir. Bir A matrisii tersii taımlı olabilmesi içi A olmalıdır. 4

226 ÖZELLİKLERİ (A ) = A (A T ) = (A ) T (A.B) = B.A ^ka. h = k A (A ) = (A ) MİNÖR R a a... a V S W S a a... a W A = S W S... W S a a... a W T X A kare matriside i. satır ile j. sütu çıkarılarak elde edile alt matrisi determiatıa a ij elemaı miörü deir. A = 5 4 A = A matriside a elemaı miörü a b A = = G & A = c d A d c b a 5 = 5.. = tür. Birici köşegedeki elemaları yerii,. köşegedeki elemaları işaretii değiştirildiğie dikkat ediiz. R V R x V S W S W S x W A = S y W & A = S W dir. y S S W z W S T X W S z W T X İŞARETLİ MİNÖR (KOFAKTÖR) a ij elemaıa ait miörü ( ) i+j ile çarpımıa bu elemaı işaretli miörü (kofaktörü) deir. Yukarıdaki A matrisie göre a elemaı kofaktörü.( ) + = tür. BİR MATRİSİN RANKI Bir matrisi kare alt matrisleride determiatı sıfırda farklı ola ve e büyük basamaklısıı basamak değerie bu matrisi rakı deir. A matrisii rakı raka biçimide gösterilir. x türüde bir A matrisi içi A ise rak A = dir. EK MATRİS Bir A matrisii kofaktörler matrisii traspozua A matrisii ek matrisi deir ve Ek(A) veya A ile gösterilir. A = ka ( ) dr. A E 5

227 Matris, Determiat ve Doğrusal Deklem Sistemleri Rehber Soru R 7 V S W A = S 4 8 W matrisi içi S 5 6 W T X a + a + a + a toplamı kaçtır?. A = = G matrisi içi a + a + a + a toplamı kaçtır? 5. i = olmak üzere, + i i A = ; E ise a i i.a.a.a ifadesii değeri edir? R 4 5 V S W. A = S W matrisi içi S 6 W mx T X a + a 4 + m + toplamı kaçtır? i+ j, i j 6. A = [a ij ] x, a ij = * matrisie göre, ij., i< j a + a + a toplamı kaçtır?. log log9 A = > H matrisi içi 4 5 a.a çarpımı kaçtır? i j, i> j 7. A = [a ij ] x, a ij = *, i= j matrisie göre, i + j, i< j a + a + a toplamı kaçtır? R 4 5 V S W 4. A = S W matrisi içi S 6 W T X / (a + a ) ifadesii eşiti edir? = R V S W 8. A = S 4 W matrisi içi S W T X / % a ij ifadesii eşiti edir? i = j = 6

228 Matris, Determiat ve Doğrusal Deklem Sistemleri Rehber Soru a d A = ; E ve B = ; b c a + b + c + d + e toplamı kaçtır? E matrisleri eşit ise e 4 Rehber Soru A = ; E ve B = ; 4 A + B matrisii buluuz. E ise 4. log x A = > H ve B = > y z 4 H olmak üzere, 8 5. A = ; 6 4 E ise A + ( A) matrisii buluuz. A = B ise x + y + z kaçtır?. A = ; E, B = ; E ve C = ; E ise 4 A + B + C matrisii buluuz.. x + = G= ; y 4 4 E ise x + y + z kaçtır? z+. a 4 7 = G+ = G= = G 4 I b c 4 5 x. A = > H ve B = > y 4 z H matrisleri eşit ise 4 ise a + b + c toplamı kaçtır? ise x.y.z çarpımı kaçtır? 4. A = ; 4 E ise A + matrisii buluuz. 4. i = olmak üzere, i + a b A = = ve B i G = ; E matrisleri eşit ise + i i c d a + b + c + d toplamı edir? 7 5. a. ; E+ b. ; E= ; E ise a + b kaçtır? 4 7

229 Matris, Determiat ve Doğrusal Deklem Sistemleri Rehber Soru 4 A = ; E ve B = ; E ise 4 A + B matrisii buluuz.. A = ; 4 E ise A matrisi edir? 6. A = ; E ve B = ; E ise A + B matrisii buluuz.. A = > H ise A matrisi edir?. A = [ 4 ] ise A matrisi edir? 7. A + ; E= ; E ise A matrisii elemalarıı toplamı 4 kaçtır? 4 4. A 6 ise A = > H matrisi edir? 8. A + B = ; E ve A B = 5 ; E ise A matrisii elemaları toplamı kaçtır? 4 5. A = ; E ve B = ; E ise A B matrisii buluuz. 9. A = ; 4 E ve B = a b ; c E matrisleri ve d f(x) = x foksiyoua göre, f(a) = B ise a + b + c + d toplamı kaçtır? 8

230 Matris, Determiat ve Doğrusal Deklem Sistemleri Rehber Soru 5 A = 4 ; E ve B = ; E ise 5 6 A.B matrisii buluuz.. A = [ 6 8 ] ve B = 9 4 ; E ise A.B matrisii 6 4 buluuz. 5. A = = G, B = = G ve C = = G a. A.(B + C) matrisii buluuz. b. (A.B).C matrisii buluuz. c. (A + B).C matrisii buluuz.. A = > H ve B = > 4 5 H ise A.B matrisii buluuz. a 6. A = ; b c d E matriside a + b = c + d = ise A matrisii. satırıdaki elemalarıı toplamı kaçtır?. A = [ ] ve B = buluuz. > H ise A.B matrisii 7. A = ; E ve f(x) = x x + ise f(a) matrisii buluuz. 4. A = > H ve B = [ 4 ] ise A.B matrisii buluuz. a + b 8 8. ; E. ; E= ; E ise a + b kaçtır? a 7 9

231 Matris, Determiat ve Doğrusal Deklem Sistemleri Rehber Soru 6 4 A = ; E ise A matrisii buluuz.. A = ; E ise A matrisii buluuz. 6. A = > H ise A matrisii buluuz.. A = ; E ise A matrisii buluuz. 7. A = ; E ve f(x) = x 8 x 9 + ise 4 f(a) matrisii buluuz.. A = ; E ise A matrisii buluuz. 8. A = ; E ise A 88 matrisii buluuz. 4. A = ; E ise A9 matrisii buluuz. 9. A = ; E ise A matrisii buluuz. 5. A = ; E ise A matrisii buluuz.. A = 8 ; E ise A 9 matrisii buluuz. 4 8

232 Matris, Determiat ve Doğrusal Deklem Sistemleri Rehber Soru 7 A = ; 4 E matrisii tersii buluuz.. A = ; E ise A matrisii buluuz. 6. A = ; E ise (A) matrisii buluuz. x. A = ; E matrisii çarpma işlemie göre tersii olmaması içi x kaç 6 olmalıdır? 4 7. A = ; E, B = ; E ve A.C = B ise C matrisii buluuz.. A = a ; E matrisii tersi kedisie eşit ise a b ı pozitif değeri kaçtır? 8. A = ; E, B = ; E ve A.C = B + C ise C matrisii buluuz. si x cos x 4. A = ; E ise A matrisi edir? cos x si x 5. ; E.A = ; E ise A matrisii buluuz. 9. A = ; 4 5 E ise A matrisii buluuz.

233 Matris, Determiat ve Doğrusal Deklem Sistemleri Rehber Soru 8 A = ; E ve B = ; E ise (A.B) T matrisii buluuz. 4. A = ; E ise A.A T matrisii buluuz. 5. A matrisi m x tipide bir matris ise A.A T matrisi hagi tipte bir matristir?. A.B = 4 > H ise B T.A T matrisii buluuz. 6. A = ; E ve B = ; E ise aşağıdaki matrisleri buluuz. a. (A + B) T b..a T c. (.B) T d. (A T ). A = ; E ve B = ; E ise (A T.B) T mat- 4 risii buluuz. 4. A = ; 4 E ve AT = A.B ise B matrisii buluuz. 7. A = ; E ise A A T + matrisii buluuz.

234 Matris, Determiat ve Doğrusal Deklem Sistemleri Rehber Soru 9 a + b c = 6 a + 5b c = a b + 5c = deklem sistemii çözümüü Gauss yok etme yötemi ile buluuz.. a b + c = a + b + c = 6 a + b + c = 5 deklem sistemii çözümüü Gauss yok etme yötemi ile buluuz. 4. x + y + z = 8 x y + z = x + y + z = 7 deklem sistemii çözüm kümesii Gauss- Jorda yok etme yötemi ile buluuz.. x y = x + y = deklem sistemii çözümüü ters matris yardımı ile buluuz. 5. A = ; E matrisii tersii A 5 ( ) geişletilmiş matrisi üzeride temel satır işlemleri uygulayarak buluuz.. x y + z = x y + z = x + y + z = 6 deklem sistemii çözüm kümesii temel satır işlemleri ile buluuz. 6. A = 5 ; E matrisii tersii 4 A geişletilmiş matrisi üzeride temel sütu işlemleri uygulayarak buluuz.

235 Matris, Determiat ve Doğrusal Deklem Sistemleri Rehber Soru Aşağıdaki matrisleri determiatlarıı buluuz. a. A = [ 7 ] b. A = [ 5 ] c. A = ; E d. A = 4 ; 4 E. A = v5 determiatıı değeri kaçtır? 6. x+ a a+ x reel sayısı kaçtır? = deklemii bir kökü ise a. A = 5 determiatıı değeri kaçtır? 7. log x log 8 x 6 log 6 x = ise x kaçtır? determiatıı değeri kaç-. A = cos x si x tır? si x cos x 8. A = ; E ve B = ; E olmak üzere, A.B matrisii determiatı kaçtır? 4. A = x + x ; E ise deta değeri kaçtır? x + x + 5. i = olmak üzere, + i determiatıı değeri edir? i x 9. A = ; E matrisii tersii bulumaması içi 4 8 x kaç olmalıdır? 4

236 Matris, Determiat ve Doğrusal Deklem Sistemleri Rehber Soru determiatıı değeri kaçtır? Rehber Soru A = determiatıı değeri kaçtır? 6. A = ; E ise A kaçtır?. determiatıı değeri kaçtır?. A = determiatıı değeri kaçtır? 4. + x + x 98 + x 99 + x determiatıı değeri kaçtır?. A = determiatıı değeri kaçtır? a = ise a kaçtır? 4. x y 4 = doğrusuu eğimi kaçtır? 5

237 Matris, Determiat ve Doğrusal Deklem Sistemleri Rehber Soru 5 A = ; 6 E olduğua göre, A 6 determiatıı değeri kaçtır?. A = ; E ise A 7 determiatı kaçtır? 4 ise A T determiatıı de- R S 6. A = S S T ğeri kaçtır? V W W W X olmak üzere, A determi- R V S W. A = S W S 4 W T X atıı buluuz. 7. A = kaçtır? ise A determiatıı değeri. A = ; 4 E ve B = ; E olmak üzere, A.B determiatıı buluuz. 8. A = cos x si x > H olmak üzere, A.A T determiatıı değeri kaçtır? 4. A.B = 4 ve B = ise A determiatıı değeri kaçtır? 5. A = ; E olmak üzere, 5.A determiatıı 4 değeri kaçtır? 9. A = > H ve B = içi A = B ise a kaçtır? ; a E matrisleri 6

238 Matris, Determiat ve Doğrusal Deklem Sistemleri Rehber Soru 4 A = > H olduğua göre, Rehber Soru 5 A = > H olduğua göre, A matrisii a elemaıı miörü edir? A matrisii a = 4 elemaıı kofaktörü edir?. A = ; E matrisii a 4 5 elemaıı miörü edir?. A = ; E matrisii a 4 = elemaıı ko faktörü edir? R V S W. A = S W olduğua göre, S 4 5 W T X A matrisii a elemaıı miörü edir?. A = 4 5 > H matrisii. satır. sütuudaki elemaı kofaktörü edir? R S S. A = S S S 4 T 5 4 V W W W olduğua göre, W W X A matrisii a 4 elemaıı miörü edir? R V S W. A = S W matrisi içi a S elemaıı W T X miörü ve eş çarpaı sırasıyla edir? 7

239 Matris, Determiat ve Doğrusal Deklem Sistemleri Rehber Soru 6 A = ; E matrisii ek matrisii buluuz. 4. A = ; E matrisii ek matrisii buluuz A = Ek(A) özelliğii kullaarak aşağıdaki det A matrisleri çarpmaya göre terslerii buluuz. a. A = ; E. A = matrisii ek matrisii buluuz. b. A = 5 ; E c. A = ; E. A d. A = > H e. A = > H 8

240 TEST Matris 4 5. A = ; E matrisi içi mx a + a + a + m toplamı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) a 5.. b = c 4 6 > H > H > H ise a b + c kaçtır? A) 4 B) C) D) E) 4. a b 4 ; E b + ; E a = ; E ise a.b kaçtır? A = ; E ise A 6 matrisi aşağıdakilerde hagisidir? A) B) 5 C) D) 5 E) A) ; 6 E B) ; E C) ; E 6 D) ; 6 E E) ; E. A = ; E ve B = ; 4 E olmak üzere, A + B matrisii. sütu elemaları toplamı kaçtır? 7. A = ; E olduğua göre, A 7 4 matrisi aşağıdakilerde hagisidir? A) B) C) D) 4 E) 5 A) A B).A C).A D) 7.A E) 7.Ι 4. A = ; E olduğua göre, (A ) T matrisi aşağıdakilerde hagisidir? 8. f(x) = x + x ve A = ; E ise f(a) aşağıdakilerde hagisidir? A) ; E B) ; E C) ; E A) 4 4 ; E B) ; E C) ; E D) ; E E) ; E D) ; E E) ; E 9

241 Matris, Determiat ve Doğrusal Deklem Sistemleri x 9. A = ; E ve A = x 5 ; E ise x kaçtır? 5 A) B) C) D) E) 6. A = ; E ve (A + B T ) T = ; E olduğua göre, B matrisi aşağıdakilerde hagisidir? A) ; E B) ; E C) ; E 4 4 D) ; E E) ; 4 E. A = x y : D matriside x + y = z + t = 6 ise A z t matrisii terimleri toplamı kaçtır? A) 4 B) 6 C) 48 D) 6 E) 7 4. A = ; a b c d E olmak üzere, 4 5 A. ; E= ; E ve A. ; E= ; E olduğua göre, a + b + c + d toplamı kaçtır? A) B) C) D) E) 4. A = ; E ise A A matrisi aşağıdakiler- de hagisidir? A) ; E B) ; E C) ; E D) ; E E) ; E 5. x 4x + = deklemii kökleri x ve x dir. Bua göre, x x x : D = G çarpımı aşağıdakilerde x hagisidir? 8 A) ; 6 E B) ; E C) 8 8 ; E D) ; E E) ; E A = ; E matrisi veriliyor. 6. A.B = ; E olduğua göre, B T.A T matrisi aşağıdakilerde hagisidir? A + A T matrisi aşağıdakilerde hagisidir? A) ; E B) 6 ; E C) ; E 4 6 D) ; 4 E E) ; E A) > H B) D) ; E C) > H E) > H ; E. C. B. A 4. E 5. C 6. B 7. A 8. D 9. D. E. A. B. C 4. B 5. E 6. A 4

242 TEST Determiat. A 4 5 kaçtır? A) 7 B) 8 C) 5 D) E) 7 5. A matrisi x tipide bir matris olmak üzere deta = 6 ise det4a değeri kaçtır? A) 96 B) 7 C) 6 D) 48 E) 4. A = ; E ise deta değeri kaçtır? determiatıı değeri kaçtır? A) B) 4 C) 9 D) 6 E) 5 A) 8 B) 7 C) 6 D) E). a a 4 = 6 olduğua göre, a kaçtır? 7. log ^x h = olduğua göre, x kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 A) 5 B) C) 6 D) 8 E) 7 4. a c b d c d = 6 ise determiatı kaçtır? a b A) 6 B) 6 C) 6 D) 8 E) 6 8. A = ; E ve B = ; E matrisleri veriliyor. 4 Bua göre A.B matrisii determiatı kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 4

243 Matris, Determiat ve Doğrusal Deklem Sistemleri 9. A 4 5 = > H olduğua göre, deta değeri. A x y z a b c d e f = > H matrisi içi deta = 6 dır. kaçtır? A) B) 7 C) 9 D) 4 E) 5 Bua göre, ifadesii değeri kaçtır? x a d y b e z c f A) 48 B) 6 C) 4 D) E) 6. A 4 = > H olduğua göre, deta değeri kaçtır? A) B) 5 C) D) 5 E) 4. A = > H olduğua göre, A matrisii a = 4 elemaıı kofaktörü edir? A) B) 8 C) 8 D) 8 E). f(x) = x x olduğua göre, f () kaçtır? 5. A = 5 ; E matrisii ek matrisi aşağıdakilerde 4 hagisidir? A) 5 B) 4 C) D) E) A) ; E B) ; E C) ; E D) ; E E) 5 ; 5 E x y z. A = a b c d e f > H matrisi içi deta = 4 tür. Bua göre, > H determiatıı değeri kaçtır? x y z d e f a b c A) 6 B) 8 C) D) 8 E) 6 6. A = a > H matrisii tersii olmaması içi a kaç olmalıdır? A) B) C) D) E) 4. D. A. C 4. E 5. A 6. D 7. C 8. B 9. A. C. A. B. A 4. E 5. D 6. C 44

244 TEST 9. A = ; E ve B = ; E ise 4 (A + B)(A B) matrisii eşiti aşağıdakilerde hagisidir? 5. A = 5 ; E olmak üzere, A.B = Ι x ise B matrisi aşağıdakilerde hagisidir? A) ; E B) ; E C) ; E A) 5 ; E B) ; E C) 5 ; 5 E 9 D) ; 6 4 E E) ; E 5 D) ; E E) ; 5 E. A = ; E olmak üzere, 4 A Ι x = x + B ise B matrisi aşağıdakilerde hagisidir? A) ; E B) ; E C) ; E D) ; E E) ; E 9 9. A = ; E ve B = ; E olmak üzere, 4 A.C = C + B eşitliğii sağlaya C matrisi aşağıdakilerde hagisidir? A) ; E B) ; E C) ; E 6. A = ; E ise A 8 matrisi aşağıdakilerde hagisidir? A) 9 ; E B) ; E C) ; E 7. A = D) 5 ; E E) 8 ; E a b c b+ c a+ c a+ b > H ise A determiatıı eşiti kaçtır? A) a + b + c B) abc C) D) E) D) ; E E) ; E 4. A = ; E ve B = 4 4 üzere, A.B = [a ij ] ise a + a 4 + a kaçtır? > H olmak A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 8. x + x x = 6 x + x + x = x x + x = deklem sistemii çözüm kümesi aşağıdakilerde hagisidir? A) {(,, ) } B) {(,, ) } C) {(,, ) } D) {(,, ) } E) {(,, ) } 55

245 Matris, Determiat ve Doğrusal Deklem Sistemleri 9. A = A.A T A) si x cos x cos x si x > H olmak üzere, matrisi aşağıdakilerde hagisidir? > H B) > H C) > H D) > H E) > H R S. A = S S S T V W W W W X ise A kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 4. A = > H ve B = > 4 H ise 5 A.B matrisi aşağıdakilerde hagisidir?. x < 5 eşitsizliğii çözüm kümeside A) > H B) > 4 H C) > 5 4 H 5 8 bulua tam sayıları toplamı kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 D) > H E) > H 5. A = 4 ; E matrisii ek matrisii elemaları 5 toplam kaçtır? a a 5. A = : D matrisi içi A = ise a.b kaçtır? b b A) B) 8 C) 6 D) E) A) B) C) D) E). A = 4 > H matriside a elemaıı kofaktörü kaçtır? 6. x = deklemii sağlaya x de- x ğeri kaçtır? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E). E. D. A 4. C 5. D 6. E 7. D 8. E 9. C. D. A. A. D 4. E 5. A 6. B 56

246 TEST i, i j. a ij = * olmak üzere, j, i> j A = [a ij ] x matrisi aşağıdakilerde hagisidir? 5. A = > H ve B = > 4 H ise A.B matrisi aşağıdakilerde hagisie eşittir? A) ; E B) ; E C) ; E D) ; E E) ; E A) 6 4 > H B) > H C) > H D) 4 6 > H E) > 4 H 6. a 8 ; E+ ; E: D = ; E ise a + b kaçtır? b 5 A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 6. A = : x y D matrisii toplama işlemie göre tersi, çarpma işlemie göre tersie eşit ise x.y kaçtır? A) B) 8 C) 5 D) 8 E). A = ; E ve B = ; E olmak üzere, A.C = B eşitliğii sağlaya C matrisii terimleri toplamı kaçtır? 7. A = x 4 5 x + > H matriside a elemaıı A) B) C) D) E) kofaktörü (eş çarpaı) ise x kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 9 E) 6 cos 4. A = ; x si x si x cos x E, B = cos x : D olmak üzere, si x A.B matrisi aşağıdakilerde hagisidir? A) ; E B) ; E C) ; E D) ; E E) ; E 8. k. = 4 6 eşitliğii sağlaya k 4 kaçtır? A) 4 B) 6 C) 8 D) E) 8 57

247 Matris, Determiat ve Doğrusal Deklem Sistemleri 9. x 5 x + 4 = deklemii çözüm kümesi x edir? A) { 5,, } B) { 5,, } C) {, } D) { 5, } E) { 5, }. A = ; E ise A matrisi aşağıdakilerde hagisie eşittir? A) 9 ; E B) ; E C) ; E D) 6 ; E E) 8 ; E. ; x E matrisii tersi kedisie eş ise x kaçtır? 4 4. Bir aritmetik dizii 6. terimi ; 6 6 E ve ortak farkı ; E ise 9. terimi edir? A) B) C) D) E) A) ; 7 7 E B) 7 7 ; E C) 7 ; 7 7 E. A = 4 x > H olmak üzere, A T = 4 ise x kaçtır? 5. A = 7 D) ; 7 E E) ; 7 9 E > H olmak üzere, A) 7 B) 8 C) 9 D) E) A.A T determiatıı eşiti kaçtır? A) B) C) D) E). A = ; E olmak üzere, A matrisi aşağıdakilerde hagisidir? 6. A = ; E matrisi veriliyor. (A + Ι).(A A + Ι) matrisi aşağıdakilerde hagisidir? A) ; E B) ; 4 E C) ; 4 E D) ; 4 E E) 4 ; E A) ; E B) ; E C) ; E 4 D) ; E E) ; E. B. C. B 4. A 5. A 6. E 7. B 8. D 9. A. B. D. E. D 4. E 5. D 6. A 58

248 TEST. A = ; E olduğua göre, A A T matrisi aşağıdakilerde hagisidir? A) ; E B) ; E C) ; E D) ; E E) ; E determiatıı değeri kaçtır? A) 7 B) C) D) 7 E). A = ; E ve B = 4 > H ise A.B matrisi aşağıdakilerde hagisidir? A) ; 7 E B) ; 7 E C) ; E 7 D) ; E E) ; E A = ; E. ; E ise A 4 aşağıdakilerde hagisie eşittir? A). ; E B). ; E C).; E D). ; E E). ; E. a ; E matrisii tersi kedisie eşit olduğua b göre a + b kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 7. x = G ; E= ; E olduğua göre, x.y kaçtır? 6 y 8 A) B) C) D) 4 E) 5 4. A = ; E matrisi içi A aşağıdakilerde hagisidir? A) ; E B) ; E C) ; 4 E D) ; E E) ; E log8 log5e 8. A = > H olduğua göre, deta I5 log 8 kaçtır? A) 9 B) C) 5 D) 8 E) 59

249 Matris, Determiat ve Doğrusal Deklem Sistemleri 9. A = x y z ise x+ y+ z determiatıı değeri kaçtır? x 44 + x x 44 + x determiatıı değeri kaçtır? A) A + B) A + 4 C) A + 6 D) A E) A 4 A) x + B) x + C) D) E). A = a b ; E içi a + b + c + d = 6 dır. c d A + A T = x y : D ise x + y + z + t kaçtır? z t determiatıı değeri kaçtır? A) 6 B) C) 8 D) 4 E) 6 A) 8 B) 7 C) D) 7 E) 8. A = ; E ve (A.B) T 5 = ; E ise 4 B matrisi aşağıdakilerde hagisidir? A) ; E B) ; E C) ; E 5. x y = deklemii belirttiği doğruu eğimi kaçtır? D) ; E E) ; E A) B) C) D) E) A = ; E olduğua göre, A 8 matrisi 4 aşağıdakilerde hagisidir? 8 A) ; 8 E B) ; E C) ; E 6. x = x deklemii kökler x x çarpımı kaçtır? D) ; E E) ; E 4 A) B) C) D) 4 E) 5. A. E. D 4. C 5. B 6. D 7. C 8. A 9. A. B. D. C. E 4. C 5. B 6. D 6

250 TEST. A = ; E ve B = > H ise A.B matrisi aşağıdakilerde hagisidir? A) [ 5 4 ] B) [ 4 5 ] C) ; 5 4 E 5. A = x ; E olmak üzere, x A =.Ι ise x kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 5 D) ; E E) ; E. A = ; E ve B T = 4 ; E ise (A T + B) T matrisi aşağıdakilerde hagisidir? 5 A) ; E B) 5 5 ; E C) ; 5 E D) ; 5 E E) ; 5 E 6. A = ; E ise A matrisi aşağıdakilerde ha- gisidir? A) ; E B) ; E C) ; 5 E D) ; E E) ; E. A, B, C birbirleri ile çarpımları taımlı matrisler olmak üzere, aşağıdakilerde kaç taesi doğrudur? I. (k.a).b = k(a.b) II. (A + B).C = A.C + B.C III. A.B = B.A IV. C(A + B) = C.A + C.B V. A.(B.C) = (A.B).C 7. 4 A = ; E ise A 4 determiatıı değeri kaçtır? A) 8 B) C) D) 4 E) 6 A) B) C) D) 4 E) 5 4. A = ; E ise A + matrisi aşağıdakilerde hagisidir? A) ; E B) ; E C) ; E D) ; E E) ; E 8. A = > H ise A matrisi aşağıdakilerde hagisidir? A) 6 9 > H B) > H C) > 8 H D) > H E) > 8 H 7 7 6

251 Matris, Determiat ve Doğrusal Deklem Sistemleri 9. A = ; E ve B = ; E ise B.A çarpımıı eşiti edir?. 4 x y = doğrusuu eğimi kaçtır? A) ; E B) 4 ; 4 E C) ; E 4 D) ; E E) ; E 4 4 A) 4 B) C) D) 4 E) A = ; E ve B = ; E ise (B T.A T ) matrisi aşağıdakilerde hagisidir? A) ; E B) ; E 6 4. A = olmak üzere, A kaçtır? 4 A) B) C) D) E) 4 C) ; 6 E D) ; E E) ; E 6. A = > H ve B = ; 7 E ise A.B ifadesii eşiti aşağıdakilerde hagisidir? 5. A = ; E ve B = x = G olmak üzere, y A.B = B.A ise x y kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 A) 7 B) 9 C) D) 4 E). A = x 4 > H olmak üzere, a elemaıı kofaktörü (eş çarpaı) 4 ise x kaçtır? A) 7 B) 4 C) D) E) 4 6. f(x) = A) x x B) 4 ise f ( ) ifadesii eşiti edir? C) D) E). C. E. D 4. A 5. C 6. B 7. E 8. C 9. C. A. A. A. E 4. C 5. B 6. D 6

252 I. Sol sü tu daki determiatları eşitii sağ sütuda bulup eşleştiriiz. a. x x + x x + +. b.. c d. 4. II. Sol sü tu daki matrisleri çarpma işlemie göre tersii sağ sütuda bulup eşleştiriiz. a. = G 4. > H b. = G 4. 4 ; E c. ; 4 6 E. > H d. ; 4 E 4. Taımsız 69

253 SOLDAN SAĞA. Bir tablo veya grafikte düşey durumdaki yüzey 4. Traspoz 8. a ij determiatıı p ici satır ve q ücü sütuu çizildikte sora geriye kala karesel matrisi determiatı a b c. = x G biçimideki tablolara verile ad. Archimet ve Newto ile birlikte tüm zamaları e dahi üç matematikçiside biri. Doğrusal YUKARIDAN AŞAĞIYA. Asal köşegei altıda kala bütü elemaları sıfır ola matris. A = a b = G matrisi içi a.d b.c sayısı c d 5. Gerçek 6. Bir çokgede ardışık olmaya iki köşeyi birleştire çizgi 7. Satır sayısı sütu sayısıa eşit ola matris 9. Bir souç elde etmeye yaraya yötemler düzei 7

254 Aşağıdaki soruları her biride oktalı yerleri uygu şekilde dolduruuz.. Asal köşegei üstüde kala bütü elemaları... ola kare matrislere alt üçge matris deir.. Bütü elemaları sıfır ola matrise... deir.. Bir A matrisi içi A = A T ise A matrisie... deir. 4. x türüdeki bir matrisi ek matrisi buluurke. köşegedeki elemaları yeri,. köşegedeki elemaları... değiştirilir. 5. Bir determiatı bir satırıdaki tüm elemalar... ise determiatı değeri sıfırdır. 6. Bir A kare matrisii her elemaıı yerie o elemaı... yazılması ile oluşa matrisi devriğie A matrisii ek matrisi deir. 7. Asal köşegeideki elemaları... diğer elemaları sıfır ola kare matrislere birim matris deir. 8. İki matrisi toplamıı taımlı olabilmesi içi... eşit olmalıdır. 9. A = = G ise A matrisii eşiti... dir. x. A = = G ise A matrisii eşiti... dir. 7

255 Aşağıdaki ifadelerde doğru olalar içi kutucuklara D, yalış olalar içi Y yazıız.. A ve B ayı türde matrisler olmak üzere A + B = B + A dır.. A, B ve C ayı türde matrisler olmak üzere A + (B + C) = (A + B) + C dir.. A ve B matrisleri içi A.B çarpımıı taımlı olabilmesi içi A matrisii sütu sayısı, B matrisii satır sayısıa eşit olmalıdır. 4. A, B ve C matrisleri içi A.(B.C) = (A.B).C dir. 5. A ve B matrisleri içi (A.B) = A.B dir. 6. A ve B matrisleri içi (A + B) T = B T + A T dir. 7. Bir determiatı iki satırıdaki terimler oratılı ise determiatı değeri sıfırdır. 8. Bir determiatı iki satırıdaki elemaları yerleri değişirse determiatı değeri değişmez. 9. Bir determiatı herhagi bir satırıdaki elemalar k ile çarpıldığıda determiatı değeri k ile çarpılmış olur.. Bir determiatı bir satırıdaki elemaları k R katı başka bir satıra eklediğide determiatı değeri değişmez. 7

256 ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI. 98 ÖYS Yadaki şekilde A [DE] // [BC] dir. p b ABC üçgeii c D E kearları a, b, c m ve ADE üçgeii kearları B a m,, p olduğua göre, m p determiatıı değeri edir? a b c A) 6 B) C) D) E) C ÖYS a b T = = G matrisi A(, ) oktasıı (, ) c d oktasıa döüştürüyorsa B(, 4) oktasıı hagi oktaya döüştürür? A) ( 4, 6) B) c, m C) (, ) D) (4, 6) E) (, ) ÖYS a b A = = G biçimide bir matrisi tersi c d A d b = = G dır. det A c a A = = G, B = = G olduğua göre,. 98 ÖYS M a b = = G matriside her satırı terimleri toplamı olduğua göre, M matrisii. satır c d terimleri toplamı edir? A) 6 B) 9 C) D) 5 E) 8 AX = B eşitliğii sağlaya X matrisii tüm elemalarıı toplamı kaçtır? A) B) C) D) E) ÖYS R V S a W S W S W matrisii tersi kedisie eşit olduğua S b W T X göre, a aşağıdakilerde hagisidir? A) B) C) D) 7 E) ÖYS A = = G ise A 5 matrisi aşağıdakilerde hagisidir? A) ( ) 5 = G B) ( ) 5 = G C) 4 5 = G D) 45 = G E) 5 = G ÖYS 986 = G matrisii eşiti aşağıdakilerde hagisidir? A) B) > H C) > H D) 986 = G 99 E) 9 99 = G 74

257 Matris, Determiat ve Doğrusal Deklem Sistemleri ÖYS A = = G ve A = a b = G olduğua göre, 5 c d c kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E). 989 ÖYS a b = G matrisii elemaları k (k ) kadar c x artırıldığıda, determiatı değişmediğie göre, x i değeri aşağıdakilerde hagisidir? A) a + b c B) b + c a C) c + a b D) a + b + c E) a b c ÖYS x x 4 = 6 deklemii kökü kaçtır? x 5 x A) B) C) D) E) ÖYS K, x türüde bir matris olmak üzere, K. = G= = G ve K. = G= = G ise K. = G aşağıdakilerde hagisidir?. 988 ÖYS determiatıı değeri kaçtır? A) (9987) B) 9987 C) 9988 D) 4 E) 9 7 A) = G B) = G C) = G 7 4 D) = G E) = G ÖYS Ra V S W S W [ a 5 ]. S W = [ ] olduğua göre, a kaçtır? S T 4 W X A) 6 B) 4 C) D) 4 E) ÖYS A mxm matrisi ve B = A T + A verildiğie göre, B T aşağıdakilerde hagisie eşittir? (A T, A matrisii traspozesidir (devriğidir).) A) B B) B C) A D) A T E) A ÖYS R V S W a 4 S W. = G= > b S 5 W c T X ise a + b + c toplamı kaçtır? A) B) C) D) E) H 75

258 Matris, Determiat ve Doğrusal Deklem Sistemleri ÖYS determiatıı değeri kaçtır? A) 75 B) 5 C) 75 D) 75 E). 995 ÖYS A = = G ve B = x y ; z E olmak üzere, t A.B = A B olduğua göre, B matrisi aşağıdakilerde hagisidir? 5 A) = G B) = G C) = G D) = G E) = G ÖYS = G = G+ = G 4 4 toplamı aşağıdakilerde hagisie eşittir? A) = G B) = G C) = G D) = G E) = G ÖYS A = x > H matrisi içi, A.A = A olduğua y göre, x.y çarpımı kaçtır? ÖYS i = olduğua göre, i i + i i i determiatıı değeri aşağıdakilerde hagisie eşittir? A) i B) i + C) i D) E) A) 5 B) 4 C) D) E). 996 ÖYS R 5 V S W S 7 W matrisii, ters matrisii olma- S a 9 W T X ması içi, a kaç olmalıdır? A) 5 B) 4 C) D) 6 E) ÖYS Ι, x türüde bir matris ve A = = G olduğua göre, A 4A + 4Ι işlemii soucu aşa- 4 ğıdaki matrislerde hagisidir? A) = G B) = G C) = G D) = G E) = G ÖYS a = G. = G= = G a+ x olduğua göre, a kaçtır? A) B) C) D) E) 76

259 Matris, Determiat ve Doğrusal Deklem Sistemleri ÖYS 4 4 determiatıı değeri kaçtır? A) B) 8 C) 47 D) 9 E) 8. 7 ÖSS A = = G ve B = = G matrisleri içi A.X = B deklemii sağlaya X matrisi aşağıdakilerde hagisidir? A) = G B) = G C) = G D) = G E) = G ÖYS 4 4 A = = G ve B = = G 5 olduğua göre (A.B) t aşağıdakilerde hagisidir? (A t : A matrisii devriği (traspozesi)) R V R S W V S W A) S 9 W B) S 5 9 W S 8 8 W S 8 8 W T X T X R V S W 5 C) S 5 9 W D) = G S 7 8 W 7 T X 8 5 E) = G ÖSS R V x R 5 V S W S W S W> y H= S W S W z S W T X T X Yukarıda matris gösterimi verile doğrusal deklem sistemii çözümüde x kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8. LYS determiatıı değeri kaçtır? ÖYS determiatıı değeri kaçtır? A) 8 B) 6 C) D) 64 E) ÖSS log log log 4 5 log 7 determiatıı değeri kaçtır? A) B) 9 C) 8 D) 6 E) 5 A) B) C) D) 4 E) 6. LYS 4 A = = G matrisii devriği A t ve ters matrisi A olduğua göre, A t.a çarpımı aşağıdakilerde hagisidir? R 5 V R S W V R 9 V S A) S W W S W S 9 W B) S W C) S W S 5 W S S 5 W W S T X T X W T X R 9 V R S W V S W D) S W S 5 W E) S W 5 S W S W T X T X 77

260 Matris, Determiat ve Doğrusal Deklem Sistemleri. LYS x + y z = x + y + z = y z = Yu ka rı da ki dek lem sis te mi i çö zü mü de x kaç tır? A) B) C) D) E) 6. LYS Bir A matrisii çarpma işlemie göre tersi A olmak üzere, = G. = G = 6a@ 4 matris eşitliğide a kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5. LYS A = = G B = = G matrisleri veriliyor. Bua göre, det(a B ) kaçtır? A) 4 B) C) D) E) 4 4. LYS x = G. = G= = G olduğua göre, y 9 x + y toplamı kaçtır? 7. LYS A = = G B = = G 5 olmak üzere, matris gösterimi x (A B). = G= = G y ola doğrusal deklem sistemi aşağıdakilerde hagisidir? A) x 4y = B) x + y = x y = x y = A) B) C) D) E) 5. LYS a, b ve c birer pozitif gerçel sayı olmak üzere, a b a b = G. = G= = G c c 4 matris eşitliği veriliyor. Bua göre, a + b + c toplamı kaçtır? C) x + y = D) x y = x y = x + y = E) x + 4y = x y = A) B) 4 7 C) 4 D) 5 E) 6.E.B.A 4.A 5.C 6.E 7.E 8.D 9.C.E.B.B.B 4.A 5.B 6.C 7.C 8.B 9.D.C.C.B.C 4.E 5.B 6.D 7.C 8.C 9.A.B.A.C.E 4.B 5.A 6.C 7.E 78

261 ESEN ÜÇRENK MATEMATİK ve GEOMETRİ KİTAPLARIMIZ ESEN ÜÇRENK

262 MATEMATİK ve GEOMETRİ KİTAPLARIMIZ 9. SINIF. SINIF. SINIF. SINIF YGS - LYS &