DERS K TABI YAZARLAR. Komisyon DEVLET K TAPLARI B R NC BASKI..., 2011

6 DERS K TABI YAZARLAR Komisyon DEVLET K TAPLARI B R NC BASKI..., 0

M LLÎ E T M BAKANLI I YAYINLARI...: 509 DERS K TAPLARI D Z S...: 5.?.Y.000.446 Her hakk sakl d r ve Millî E itim Bakanl na aittir. Kitab n metin, etkinlik, soru ve flekilleri k smen de olsa hiçbir surette al n p yay mlanamaz. ED TÖR Doç. Dr. Renan SEZER D L UZMANI Murat CEYLAN GÖRSEL TASARIM UZMANI Nuran BOZTAfi Osman YILDIRIM ÖLÇME-DE ERLEND RME UZMANI Dr. Nurcan ATEfiOK DEVEC PROGRAM GEL fit RME UZMANI Melek AY DUMLUPINAR REHBERL K UZMANI Banu ÖZDEM R ISBN 978-975--544-5 Millî E itim Bakanl, Talim ve Terbiye Kurulunun 7..00 gün ve 4 say l karar ile ders kitab olarak kabul edilmifl, Yay mlar Dairesi Baflkanl n n 08.0.0 gün ve 886 say l yaz s ile birinci defa 5.666 adet bas lm flt r.

MUSTAFA KEMAL ATATURK

Kümeler

GRUPLAR OLUfiTURALIM Kümeler Farklı türlerdeki hayvanlar, yaflamlar n gruplar hâlinde sürdürürler. Bu hayvanların gruplar hâlinde yaflamalarının nedeni sizce ne olabilir? Gruplar hâlinde yaflayan hayvanlara örnekler veriniz. Etkinlik Kalemli imdeki Eflyalar Araç-Gereç: Kalemlik ) Kalemli inizdeki eflyalar n adlar n söyleyiniz. Bu eflyalar bir grup oluflturur mu? Neden? S n f n zda bu flekilde baflka gruplar var m d r? Örnekler veriniz. ) Grubu farkl bir flekilde ifade etmek isteseydiniz hangi kelimeyi kullan rd n z? Bir ö rencinin çantas ndaki eflyalar n oluflturdu u grubu listeleyelim. Bir ö rencinin çantas nda olabilecek eflyalar n listesi: -defter -kitap -kalemlik -sözlük Çeflitli nesnelerin bir araya gelmesiyle oluflan gruplar küme olarak adland r l r. Etkinlik Çember Oyunu Araç-Gereç: fler metrelik ipler ) S n f n zdaki ö rencilerden 9-0 kiflilik gruplar oluflturunuz. Her gruba fler metrelik bir ip veriniz. pin uçlar n ba layarak çember oluflturacak flekilde yere yay n z. Her bir grup, kendi oluflturdu u çemberin merkezine do ru yürüsün. Gruptaki herkes çemberin içinde yer alabildi mi? ) Çember içindeki arkadafllar n z bir küme oluflturur mu? Bu kümeye ait olan arkadafllar n z n isimlerini söyleyiniz. Bu kümeye ait olmayan arkadafllar n z n isimlerini söyleyiniz.

Yandaki kutuda verilen toplar n üzerindeki tek do al say larla bir küme olufltural m. 9 7 5 8 0 4 6 Toplar n üzerindeki tek do al say lar n kümesi;,, 5, 7, 9 dan oluflur. Etkinlik ) Yandaki listede isimleri verilen hayvanlardan memeli olanları örnekteki gibi flemaya yazınız. Hayvanlar Alemi - I Do adaki hayvanları farklı özelliklerine göre sınıflandırabiliriz: (memeli olanlar, memeli olmayanlar, karada yaflayanlar, suda yaflayanlar gibi) Buna göre; Fil Kanguru Yunus Kertenkele Hamsi Ördek Balina Zürafa Fil Tavuk ) Listedeki hayvanlardan memeli olmayanları yandaki flemaya yazınız. ) Listedeki hayvanlardan karada yaflayanları yandaki flemaya yazınız. 4) Listedeki hayvanlardan suda yaflayanları yandaki flemaya yazınız. 5) lk dört aflamada flemaya yazd n z hayvan isimlerini s ras yla afla daki noktal yerlere yazarak gruplay n z. {...,...,...,...,... } {...,...,...,... } {...,...,...,...,...,...} {...,...,... } 6) Listedeki hayvanlar göz önüne alarak oluflturdu unuz her bir kümedeki hayvanlar n ortak özelliklerini birer cümle ile ifade ederek aç klay n z. 7) fade etti iniz kümelerin her birini bir harf kullanarak isimlendiriniz. 8) Oluflturdu unuz her bir hayvan grubunu kaç farkl yöntemle gösterdi inizi aç klay n z.

K fl mevsiminde yer alan aylar n kümesini farkl flekillerde gösterelim. Kümeler genellikle büyük harflerle isimlendirilirken elemanlar ise küçük harflerle gösterilir. Verilen kümeyi K harfi ile isimlendirelim. K = {Aral k, Ocak, fiubat} K = {K fl mevsiminin aylar } K Aral k Ocak fiubat Bir kümeye ait olan nesnelerin her biri ait oldu u kümenin bir elemanıdır. Küme içinde bir eleman yaln z bir kez yaz l r. Kümeler üç farklı biçimde gösterilir: Kümenin elemanlarının kapalı bir e ri içinde, önlerine nokta koyarak yaz lmas na Venn flemas yöntemiyle gösterim denir. Liste yöntemiyle gösterimde kümenin elemanları t rnakl ayraç içinde, virgül ile ay rarak {...,...,...} fleklinde sıralan r. Kümeyi oluflturan elemanların ortak özelli ini küme parantezi içine yazarak kümenin tan mlanmas na ortak özellik yöntemiyle gösterim denir. 5 ten küçük do al say lar n oluflturdu u kümeyi üç farkl flekilde gösterelim. Venn flemas yöntemi Liste yöntemi Ortak özellik yöntemi A A = {0,,,, 4} A = {5 ten küçük do al say lar} 0 4 Marmara kelimesindeki harflerin kümesini yazarak eleman say s n belirleyelim. Marmara kelimesindeki harflerin kümesini B ile gösterelim. Bir kümede bir eleman yaln z bir kez yaz labilece inden B = {m, a, r} olur. B kümesinin elemanlar n m B, a B, r B fleklinde gösteririz. m, a, r harfleri d fl ndaki harfler B kümesinin eleman de ildir. Örne in; p B, e B fleklinde gösterebiliriz. B kümesinin üç tane eleman oldu undan bu durumu sembolle s(b) = fleklinde gösteririz. sembolü kümeye ait olma, sembolü ise kümeye ait olmama anlamına gelir. Bir A kümesi verildi inde bu kümenin eleman sayısını sembolle s(a) biçiminde gösteririz. Etkinlik Hayvanlar Alemi - II ) Yanda verilen hayvanlar n listesindeki memeli olan, memeli olmayan, karada yaflayan, suda yaflayan hayvanların kümelerinin her birini liste yöntemi ile gösteriniz. ) Bu kümelerin elemanlarının tamamını içeren yeni bir küme yazınız. Kanguru Kertenkele Ördek Zürafa Tavuk Yunus Hamsi Balina Fil Yeni kümenin elemanları ile listede verilen hayvan isimlerini karfl laflt rarak aç klay n z. Yeni kümeyi isimlendiriniz. ) Listedeki hayvanlardan omurgasız olanların kümesini yazınız. Bu küme kaç elemanlıdır? 4

4, 8,, 6,... örüntüsündeki say lar n oluflturdu u kümenin elemanlar n içeren en genifl kümeyi yazal m. Belirli bir alandaki nesnelerin tümünü içeren kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme E ile gösterilir. Örüntüyü oluflturan say lar n her biri çift do al say d r. Ç = {Çift do al say lar} kümesi örüntüdeki her bir say y içerir. Fakat Ç kümesi en genifl küme de ildir. E = {Do al say lar} kümesi, hem çift say lar kümesinin hem de 4, 8,, 6,... örüntüsündeki say lar n her birini içerir. Bu nedenle yaz labilecek en genifl küme Do al Say lar kümesidir. E kümesi 4, 8,, 6,... örüntüsündeki say lar n kümesi için bir evrensel kümedir. B = {Karesi kendisinden küçük olan do al say lar} kümesinin elemanlarını liste yöntemi ile yazalım. Elemanı olmayan kümeye bofl küme denir. Bofl küme Ø veya { } sembolü ile gösterilir. Bir say n n karesi kendisiyle çarp m na eflit oldu undan bir do al say n n karesi her zaman kendisinden büyüktür. Bu nedenle B kümesinin elemanı yoktur. s(b) = 0 d r. O hâlde B kümesi bofl küme dir. B kümesini B = veya B = { } fleklinde gösteririz. Afla da verilen kümeleri liste yöntemiyle gösteriniz. a) A = { 5 ten büyük, 7 den küçük olan do al say lar} b) B = {Trafik kodu 90 dan büyük olan iller} c) C = {Haftan n z harfiyle bafllayan günleri} Afla da verilen kümeleri ortak özellik yöntemiyle gösteriniz. a) K = {5, 0, 5, 0} b) Sal Pazartesi Çarflamba Cuma Perflembe A = {, m,, 7, k} B = { Leblebi kelimesinin harfleri} kümelerine göre; a) Verilen boflluklara, sembollerinden uygun olanlar yaz n z. L... A b... B... B e... A b) Verilen boflluklara uygun ifadeleri yaz n z. s(b) =... s(a) =... 4 M = {Mardin, Manisa, Mu la, Mufl, Malatya} kümesine ait evrensel kümeyi ortak özellik yöntemiyle yaz n z. - 5

Kümelerle ifllemler Üniversite ö rencisi olan F rat ve Cengiz ayn evde kal yorlar. Evin plan yandaki gibidir. ki arkadafltan her biri flekildeki gibi birer oday kendilerine alarak yerleflmifllerdir. Buna göre evde ortak kullan lan bölümler hangileridir? Sadece F rat a ait olan bölümleri ve sadece Cengiz e ait olan bölümleri söyleyiniz. Evde F rat n yada Cengiz in kulland tüm bölümleri söyleyiniz. Mutfak Tuvalet Banyo Hol Cengiz in Odas F rat n Odas Salon Etkinlik Mutfakta bulunan malzemeler patl can, fasulye, so an, domates, biber, sar msak, mantar, salatal k, ya Yemek Yap yoruz mam bayıldı için gerekli malzemeler patlıcan, domates, so an, biber, sar msak, ya Zeytinya lı taze fasulye için gerekli malzemeler fasulye, domates, so an, biber, ya Yukar da verilen malzemeler ile imambay ld ve zeytinya l taze fasulye yemekleri yap lmak isteniyor. ) Her iki yemek için kullan lan ortak malzemeleri liste yöntemi ile yaz n z. ) Her iki yemek için gerekli olan tüm malzemeleri liste yöntemi ile yaz n z. ) Mutfakta bulunan malzemelerin kümesini evrensel küme olarak kabul edelim. Her iki yemek için gerekli olan tüm malzemelerin kümesi ile evrensel kümeyi karfl laflt r n z. 4) mam bay ld da kullan p zeytinya l taze fasulye yeme inde kullan lmayan malzemelerin kümesini yaz n z. 5) Zeytinya l taze fasulye yeme inde kullan l p imam bay ld yeme inde kullan lmayan malzemelerin kümesini yaz n z. 6) Mutfaktaki malzemelerden imam bay ld yeme inde kullan lmayan malzemelerin kümesini yaz n z. 7) Mutfaktaki malzemelerden zeytinya l taze fasulye yeme inde kullan lmayan malzemelerin kümesini yaz n z. E Mutfakta bulunan malzemelerin kümesi E ile, imam A B bay ld yeme i için gerekli malzemelerin kümesi Domates A ile ve zeytinya l taze fasulye yeme i için gerekli malzemelerin kümesi B ile gösteriniz. Bu kümelerin Biber elemanlar n yandaki flemada uygun yerlere yaz n z. 6

Altıncı sınıfların düzenledi i okul kermesine 6A ve 6B sınıflarının getirdi i ürünler küme fleklinde afla ıdaki gibi veriliyor. 6A sınıfının getirdi i ürünler kümesi: A = {dolma, patates salatası, börek, kek, içecek} 6B sınıfının getirdi i ürünler kümesi: B = {börek, kurabiye, kek, po aça, içecek, kuru yemifl, meyve} a) Her iki sınıfın getirdi i ortak ürünlerin kümesini Venn fleması ve liste yöntemi ile gösterelim. b) Her iki sınıfın getirdi i tüm ürünlerin kümesini Venn fleması ve liste yöntemi ile gösterelim. a) A patates salatası dolma meyve B börek kuru yemifl içecek kurabiye kek po aça ki kümenin ortak elemanlarının oluflturdu u kümeye kesiflim kümesi denir. Kesiflim ifllemi sembolüyle gösterilir. A ve B iki küme olmak üzere bu kümelerin kesiflimi A B fleklinde gösterilir. Her iki s n f n getirdi i ortak ürünlerin kümesi {börek, kek, içecek} b) A patates salatası dolma B meyve börek kuru yemifl içecek kurabiye kek po aça ki kümedeki elemanlar n tümünden oluflan kümeye birleflim kümesi denir. Birleflim ifllemi sembolüyle gösterilir. A ve B iki küme olmak üzere bu kümelerin birleflimi A B fleklinde gösterilir. Her iki s n f n getirdi i tüm ürünlerin kümesi {patates salatası, dolma, börek, kek, içecek, meyve, kuru yemifl, kurabiye, po aça} Yanda verilen flemaya göre istenilen kümeleri liste yöntemi ile yazıp eleman sayılarını bulalım. a) Y kümesi b) N kümesi c) Y N kümesi ç) Y N kümesi Y N a) Y = {,,,, }, s(y) = 5 b) N = {,,, }, s(n) = 4 c) Y N = {, }, s(y N) = ç) Y N = {,,,,,, }, s(y N) = 7 7

A = {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} ve B = {7, 8, 9, 0,,, } kümeleri veriliyor. a) A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanlar n kümesini yazal m. b) B kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanlar n kümesini yazal m. a) A 4 5 6 7 8 9 0 B A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların kümesi, {,,, 4, 5, 6} d r. Bu durumda A kümesinin B kümesinden fark, A B = {,,, 4, 5, 6} olur. A B b) A ve B herhangi iki 7 küme olmak üzere 4 8 A da olup B de 9 olmayan elemanlardan 6 oluflan kümeye A 0 kümesinin B 5 kümesinden fark denir. A kümesinin B B kümesinde olup kümesinden fark A kümesinde olmayan A-B veya A B elemanların kümesi, fleklinde gösterilir. {,, } tür. Bu durumda B kümesinin A kümesinden fark, B A = {,, } olur. E evrensel küme olmak üzere E ve S kümeleri yanda verilmifltir. E = {Aylar} S = {Sonbahar mevsiminin ayları} Buna göre S kümesinde olmay p E kümesinde olan elemanlar n oluflturdu u kümeyi yazal m. E Mart Ocak fiubat Nisan Mayıs Ekim S Kasım Eylül Haziran Aralık Temmuz A ustos stenen küme E S kümesidir. Verilen bir kümede olmayan ancak evrensel kümede olan elemanların oluflturdu u kümeye bu kümenin tümleyeni denir. A kümesinin tümleyeni A ile gösterilir. E S = {aralık, ocak, flubat, mart, nisan, mayıs, haziran, temmuz, a ustos} E S kümesi S kümesinin tümleyenidir. S = {aralık, ocak, flubat, mart, nisan, mayıs, haziran, temmuz, a ustos} fleklinde gösteririz. S kümesini Venn flemas ile yandaki gibi gösterebiliriz. E Ocak S Haziran fiubat Eylül Temmuz Mart Ekim Nisan Mayıs Kasım A ustos Aralık S 8

Etkinlik Ö rencilerimizin Kümesi S n fınızdaki tüm ö rencilerin kümesi ile erkek ö rencilerin kümesini Venn flemas ile modelleyiniz. ) Erkek ö rencilerden oluflturdu unuz kümenin her eleman ayn zamanda s n fınızdaki tüm ö rencilerin kümesinin de eleman m d r? Tart fl n z. ) S n fınızdaki tüm ö rencilerin kümesi erkek ö rencilerin kümesini içerir mi? ) Oluflan iki kümenin kesiflimi hakk nda ne söyleyebilirsiniz? 4) Sınıfınızdaki kız ö rencilerden bir küme oluflturdu unuzda bu kümenin elemanlar sınıfınızdaki tüm ö rencilerin kümesinin de elemanı mıdır? K z ve erkek ö rencilerinin kümesini Venn flemas ile modelleyiniz. A = {,, 5, 7}, B = {,, 4, 5, 7, 8, 9} ve C = {,,, 4} kümeleri veriliyor. Buna göre a) Verilen kümelerden A kümesinin bütün elemanlar n içeren kümeyi bulal m. b) C kümesinin hangi elemanlar n n B kümesinin eleman olmad n bulal m. C ile B kümeleri aras ndaki iliflkiyi aç klayal m. a) A kümesinin bütün elemanları aynı zamanda B kümesinin de elemanı oldu undan A kümesinin bütün elemanlar n içeren küme B kümesidir. B 4 8 A 9 5 7 B 7 8 9 5 C 4 b) C olmas na ra men B dir. C kümesinin elemanlar n n tamam B kümesinde olmad ndan B kümesi C kümesini içermez. A ve B iki küme olmak üzere, A n n her eleman B nin de eleman oluyorsa A kümesine B nin alt kümesi denir. A kümesi B kümesinin alt kümesi olma durumu A B fleklinde gösterilir. Aynı zamanda B kümesi A kümesini kapsadı ından B A fleklinde de gösterilir. A kümesi B kümesinin alt kümesi de ilse bu durum A B fleklinde gösterilir. Ayn zamanda B kümesi A kümesini kapsamaması durumu B A fleklinde gösterilir. A = {,, 5,, a}, B = {, a, } ve C = {, 4} kümeleri veriliyor. Liste yöntemi ile verilen bu kümeleri Venn flemas çizerek gösterelim. Kümeler aras ndaki iliflkiyi alt küme ve kapsama sembollerini kullanarak yazal m. 9

A 5 B a 4 C B A, A B C B, B C B C, C B T = {a, b, c} kümesinin bütün alt kümelerini yazalım. {a} T {b} T T kümesinin bir elemanlı alt kümeleri {c} T {a, b} T {a, c} T T kümesinin iki elemanlı alt kümeleri {b, c} T {a, b, c} T Her küme kendisinin alt kümesidir. { } T Bofl küme her kümenin alt kümesidir. Her küme kendisinin alt kümesidir. Örne in A A d r. Bofl küme bütün kümelerin alt kümesidir. Örne in A d r. A = {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} B = {, 4, 6, 8, 0} C = {,, 5, 7, 9} kümeleri veriliyor. Bu kümelerden eleman say lar eflit olanlar bulal m. Eleman sayıları eflit olan kümelere denk kümeler Kümelerin eleman sayılarını yazalım. denir. A ve B kümeleri denk kümeler ise bunu s(a) = 0 s(b) = 5 s(c) = 5 A B fleklinde gösteririz. s(b) = s(c) oldu undan B ve C kümeleri denk kümelerdir. Yani B C dir. K = {a, d, e, g} ve L = {c, f, k, l, m} kümelerinin kesiflim kümesini bulal m. K e a d g c k m f l L Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir. Ayrık kümelerin kesiflimleri bofl kümedir. K L 0

K ve L kümelerinin ortak elemanı olmadı ından K L = { } dir. Dolay s yla K ve L kümeleri ayrık kümelerdir. K a d e g c m f k l L G = {Gökkufla ının renkleri} R = {kırmızı, turuncu, sarı, yeflil, mavi, mor} kümelerinin elemanlarını karflılafltıralım. Gökkufla ının renkleri; sarı, yeflil, mavi, mor, turuncu ve kırmızı oldu undan G = {mor, turuncu, sarı, yeflil, kırmızı, mavi} dir. G ve R kümeleri aynı elemanlardan olufltu undan G ve R kümeleri eflit kümelerdir yani G = R dir. Ayn elemanlardan oluflan kümelere eflit kümeler denir. A ve B kümeleri eflit ise bunu A = B fleklinde gösteririz. Sınıfımızdaki ö renci basketbol, ö renci voleybol kursuna katılıyor. Kursa kat lan ö rencilerden 5 i ise hem basketbol hem de voleybol kursuna katılıyor. Buna göre yaln z bir kursa kat lan ö renci say s n bulal m. I. Yöntem: Basketbol ve voleybol kurslar na kat lan ö rencilerden 5 i hem basketbol hem de voleybol kursuna katılıyor. S n f m zda kursa kat lan ö rencileri afla daki gibi modelleyebiliriz. ö renci Yaln z basketbola katılan ö renciler Yaln z voleybola katılan ö renciler Her iki kursa katılan ö renciler ö renci Her iki kursa katılan 5 ö renci iki kere sayılmayaca ından kurslara katılan ö renci sayısını afla daki flekilde modelleyebiliriz. Basketbol kursuna katılan ö renciler Voleybol kursuna katılan ö renciler Yaln z basketbol kursuna kat lan ö renci say s 8 dir. Yaln z voleybol kursuna kat lan ö renci say s 7 dir. Buna göre yaln z bir kursa kat lan ö renci say s : 8 + 7 = 5 tir. II. Yöntem: Yaln z basketbol kursuna katılan ö renciler Her iki kursa da katılan ö renciler Yaln z voleybol kursuna katılan ö renciler Basketbol kursuna katılanların kümesini B ile gösterelim. Bu durumda s(b) = olur. Voleybol kursuna katılanların kümesini V ile gösterelim. Bu durumda s(v) = olur. B V 5 ö renci her iki kursa katıldı ından B ve V kümelerinin kesiflimi olan B V kümesi 5 elemanlıdır. 5

B kümesinin eleman sayısı oldu undan B \ V kümesi - 5 = 8 elemanlıd r. O hâlde yaln z basketbol kursuna kat lan ö renci say s 8 dir. B 8 5 V V kümesinin eleman sayısı oldu undan V \ B kümesi - 5 = 7 elemanlıd r. O hâlde yaln z voleybol kursuna kat lan ö renci say s 7 dir. Buna göre yaln z bir kursa kat lan ö renci say s 8 + 7 = 5 tir. B 8 5 7 V F Bir s nftaki ö rencilerden Frans zca kursuna gidenlerin J kümesi F, spanyolca kursuna gidenlerin kümesi ve Japonca kursuna gidenlerin kümesi J ile gösterilmifltir. Yandaki Venn flemas n kullanarak afla daki sorular cevaplayal m. a) Fransızca kursuna gidip spanyolca kursuna gitmeyenlerin kümesini pembe renge boyayarak sembolle gösterelim. b) F kümesini yeflil renge boyayarak kümeyi oluflturan ö renci grubunun özelli ini yazalım. c) Yalnız Japonca kursuna giden ö renci kümesini mavi renge boyayarak sembolle gösterelim. a) Fransızca kursuna gidip spanyolca kursuna gitmeyenlerin kümesi F dir. b) F kümesi hem Frans zca hem de ngilizce kursunu giden ö rencilerin kümesidir. c) Yalnız Japonca kursuna giden ö renci kümesi J dir. F F J F J kiflilik bir grupta farkl saatlerde düzenlenen tiyatro ve konser etkinliklerine 0 kifli bilet al yor. Bilet alan kiflilerin 4 ü tiyatro, i ise konser etkinliklerine kat l yor. a) Hem konsere hem de tiyatro etkinli ine kat lan kifli say s n bulal m. b) Tiyatro etkinli ine kat lmayan kifli say s n bulal m. Hiçbir etkinli e kat lmayan kifli say s n - 0 = olarak buluruz. E s(e)= T K a) Tiyatro bileti alan kifli say s s(t) = 4 Konser bileti alan kifli say s s(k) = s(t) + s(k) = 4 + = 5 olur. Etkinli e kat lan kifli say s s(t K) = 0 oldu undan 5-0 = 5 kifli her iki etkinlik için bilet alm flt r. s(t K) = 5 bulunur. E T s(t K) = 0 5 s(t K) = 5 K

b) Tiyatroya gitmeyen kifli say s n, gruptaki kifli say s ndan tiyatroya giden kifli say s n ç kararak buluruz. - 4 = 9 dur. Tiyatroya gitmeyen kifli say s s( T ) = 9 olarak gösterilir. s(t)=4 E T K Yanda verilen Venn flemas na göre A B C kümesini boyayarak gösterelim. A C B Önce A B kümesini mavi renkle gösterelim. A B kümesinin C kümesi ile kesiflti i bölgeyi yeflili renkle gösterelim. Yeflil renkli bölge A B C kümesidir. A A C C B B Yanda verilen Venn flemas na göre A B, A B, A B, B A, A ve B kümelerini liste yöntemi ile gösteriniz. Yanda verilen Venn flemas nda, a) S P kümesini pembe renge boyay n z. b) A P kümesini yeflil renge boyay n z. c) A (P S) kümesini mavi renge boyay n z. ç) P ve S aras ndaki iliflkiyi sembolle gösteriniz. P A 8 9 E 5 4 7 0 A B S 6 Bir s n fta 8 kifli resim yar flmas na, 4 kifli fliir yar flmas na kat lm flt r. kifli ise her iki yar flmaya da kat lm flt r. S n ftaki her ö renci en az bir yar flmaya kat ld na göre s n f mevcudu kaçt r? 4 50 dairelik bir sitenin yönetimi atık kâ ıt ve flifle toplama etkinli i düzenlemifltir. Yalnız flifle toplayan 8 daire ve yalnız kâ ıt toplayan 0 daire vardır. daire ise bu etkinli e kat lmam flt r. Buna göre, a) Kâ ıt toplayan kaç daire vardır? b) fiifle toplamayan kaç daire vardır? 4-6

ÜN TE DE ERLEND RME Afla ıda verilen taral alanlar sembol kullanarak ifade ediniz. a) b) c) ç) A B C D E F K L............ E evrensel küme ve A kümesi E nin alt kümesi olmak üzere afla ıdaki verilen ifadeden do ru olanlar n yan na D, yanl fl olanlar n yan na Y yaz n z. a) E = Ø... ç) E \ A = A... b) E \ A = A... d) A \ E = A... c) AUA = E... e) Ø = E... E A k 8 7 5 C 9 4 B Yanda verilen Venn flemas na göre afla daki kümeleri liste yöntemiyle yazınız. a) A B c) A d) A C b) A B ç) B e) C B 0 a b 4 A U B = {d, e, f,, 5, 7} ve B = {e, f, } kümeleri veriliyor. a) A kümesi en az kaç eleman vard r? b) A kümesi en çok kaç elemanl olabilir? 5 A = {gül, gelincik} B = {g harfi ile bafllayan çiçekler} C A, B ve C kümelerine göre afla da verilen ifadelerin do ru veya yanl fl olduklar n yanlar na D veya Y yazarak belirtiniz. a) C = A... b) A B... c) B A... ç) A C... d) B = C... 6 7 Bir tarım bölgesindeki 0 çiftçiden 78 i tarlasına bu day, 6 çiftçi arpa ekmifltir. 9 çiftçi ise ekim yapmayıp tarlasını nadasa bırakmıfltır. Kaç çiftçi hem bu day hem de arpa ekmifltir? Bahar flenli ine katılan 9 ö renciden 9 u vanilyalı dondurma, 4 ü kakaolu dondurma, si ise hem vanilyalı hem kakaolu dondurma yemifltir. Bir grup ö renci ise dondurma almayarak sadece meyve suyu içmifltir. fienli e katılan ö rencilerden kaç tanesi meyve suyu içmifltir? 7-8 4

Bölünebilme Kurallar ve Kesirler

ORTAK BÖLENLER VE KATLAR Kalansız Bölünebilme Kuralları 5 tane ceviz bir grup arkadafl aras nda hiç artmayacak flekilde paylaflt r l yor. Herkese eflit say da ceviz düflmesi için bu gruptaki kifli say s hangi say lar olabilir? Etkinlik Tablodaki Örüntü - I ) Siz ve bir arkadaflınız belli sayıdaki bilyenin tamamını paylaflmak istiyorsunuz. Kifli baflına düflen bilyenin eflit sayıda olması için toplam bilye sayısının hangi sayılar olabilece ini birinci yüzlük tabloda örnekteki gibi boyayarak gösteriniz. Boyadı ımız sayıların birler basama ında yer alan rakamların oluflturdu u örüntüyü açıklayınız. Buldu unuz örüntüye göre ile bölünebilen sayılar için ne söyleyebilirsiniz? 89 ve 74 say lar n n ile kalans z bölünüp bölünmeyece ini ifllem yapmadan söyleyebilir misiniz? Aç klay n z. ) Paylaflma ifllemini kifli arasında yapsaydınız her bir kiflinin eflit sayıda bilye alması için olabilecek toplam bilye sayılar n ikinci yüzlük tabloda boyayarak gösteriniz. Boyadı ınız her bir say n n rakamlarını toplay n z. Buldu unuz toplamlar n oluflturdu u say örüntüsünün kural n söyleyiniz. Buldu unuz örüntüye göre ile bölünebilen say lar için ne söyleyebilirsiniz? Aç klay n z. 76 sayısı ile kalansız bölünüp bölünmedi ini ifllem yapmadan nas l söylersiniz? ) Her bir kiflinin eflit sayıda bilye alması kofluluyla paylafl m ifllemini 5 kifli aras nda yapsayd n z, kifli bafl na düflen toplam bilye sayısı hangi sayılar olabilirdi? Bu say lar üçüncü yüzlük tabloda boyayarak gösteriniz. Boyadı ınız sayıların oluflturdu u örüntüyü aç klay n z. Buldu unuz örüntüyü kullanarak 5 ile kalansız bölünebilme kural hakk nda ne söyleyebilirsiniz? Yüzlük Tablo I 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 40 4 4 4 44 45 46 47 48 49 50 5 5 5 54 55 56 57 58 59 60 6 6 6 64 65 66 67 68 69 70 7 7 7 74 75 76 77 78 79 80 8 8 8 84 85 86 87 88 89 90 9 9 9 94 95 96 97 98 99 00 Yüzlük Tablo II 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 40 4 4 4 44 45 46 47 48 49 50 5 5 5 54 55 56 57 58 59 60 6 6 6 64 65 66 67 68 69 70 7 7 7 74 75 76 77 78 79 80 8 8 8 84 85 86 87 88 89 90 9 9 9 94 95 96 97 98 99 00 Yüzlük Tablo III 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 40 4 4 4 44 45 46 47 48 49 50 5 5 5 54 55 56 57 58 59 60 6 6 6 64 65 66 67 68 69 70 7 7 7 74 75 76 77 78 79 80 8 8 8 84 85 86 87 88 89 90 9 9 9 94 95 96 97 98 99 00 6

5 say s n n, ve 5 say lar n n herbirine kalans z bölünüp bölünmedi ini bulal m. 5 6 05 5 say s ye 4 bölündü ünde kalan olur. 5 4 05 5 say s e bölündü ünde kalan olur. 5 5 0 5 5 5 00 5 say s 5 e kalans z bölünür. ile bölünebilme kural : Birler basama ndaki rakamı 0,, 4, 6 ve 8 olan say lar (çift sayılar), ile kalans z bölünür. ile bölünebilme kural : Rakamlar toplam ve 'ün kat olan say lar, ile kalans z bölünür. 5 ile bölünebilme kural : Birler basama 0 ve 5 olan tüm say lar, 5 ile kalans z bölünür. 5 ve 40 say lar n n,, ve 5 ile kalans z bölünüp bölünmedi ini bölme ifllemi yapmadan bulal m. 5 sayısının birler basama ındaki rakam 5 oldu undan 5 ile kalansız bölünür. 5 sayısının birler basama ı tek sayı oldu undan sayı ile kalansız bölünemez. 5 sayısının rakamları toplamı + 5 = 7 dir. Sayının rakamları toplamı ün katı olmadı ından sayı ile kalansız bölünemez. 40 sayısının birler basama ı çift sayı oldu undan sayı ile kalansız bölünür. 40 sayısının rakamları toplamı + 4 + 0 = 6 dır. Sayının rakamları toplamı ün katı oldu undan sayı ile kalans z bölünebilir. 40 sayısının birler basama ındaki rakam 0 oldu undan sayı 5 ile kalansız bölünür. Etkinlik Tablodaki Örüntü - II ) Yüzlük Tablo I de nin katlarını sarı ile ün katlarını mavi ile boyayarak tabloyu tamamlayal m. Tabloda aynı anda hem sarı hem de mavi ile boyalı (yeflil bölgelerdeki) sayıların oluflturdu u örüntüyü bulunuz. Bu örüntüyü kullanarak 6 ile kalansız bölünebilme kuralının ve e bölünebilme kurallar ile iliflkisini açıklayınız. 004 sayısı 6 ile kalansız bölünebilir mi? Aç klay n z? ) Yüzlük Tablo II deki sayılardan nin katlarını sarı ile 5 in katlarını kırmızı ile boyayarak tabloyu tamamlay n z. Tabloda aynı anda hem sarı hem de kırmızı ile boyalı (turuncu bölgelerdeki) sayıların oluflturdu u örüntüyü bulunuz. Bu örüntüyü kullanarak 0 ile bölünebilme kuralının ve 5 ile bölünebilme kurallar ile iliflkisini açıklayınız. 940 sayısı 0 ile kalansız bölünebilir mi? Aç klay n z? Yüzlük Tablo I 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 40 4 4 4 44 45 46 47 48 49 50 5 5 5 54 55 56 57 58 59 60 6 6 6 64 65 66 67 68 69 70 7 7 7 74 75 76 77 78 79 80 8 8 8 84 85 86 87 88 89 90 9 9 9 94 95 96 97 98 99 00 Yüzlük Tablo II 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 40 4 4 4 44 45 46 47 48 49 50 5 5 5 54 55 56 57 58 59 60 6 6 6 64 65 66 67 68 69 70 7 7 7 74 75 76 77 78 79 80 8 8 8 84 85 86 87 88 89 90 9 9 9 94 95 96 97 98 99 00 7

54 ve 9875 sayıların n 6 ile kalansız bölünüp bölünemedi ini bölme ifllemi yapmadan bulalım. 6 ile bölünebilme kural : Hem hem de ile kalansız 54 sayısının birler basama ı çift sayı oldu undan bölünebilen sayılar, 6 ile sayı ile kalansız bölünür. kalansız bölünür. 54 sayısının rakamları toplamı + 5 + + 4 = dir. Sayının rakamları toplamı ün katı oldu undan sayı ile bölünebilir. Bu sayı hem hem de ile kalansız bölündü ünden 6 ile de kalansız bölünür. 9875 sayısı ile kalansız bölünüp ile kalansız bölünemedi inden 6 ile kalansız bölünemez. 490 ve 85 sayıların n 0 ile kalansız bölünüp bölünmedi ini bölme ifllemi yapmadan bulalım. 490 sayısının birler basama ı çift sayı oldu undan sayı 0 ile bölünebilme kural : ile kalansız bölünür. 490 sayısının birler basama ındaki Birler basama ı 0 olan sayılar, 0 ile kalansız bölünebilir. rakam 0 oldu undan sayı 5 ile kalansız bölünür. Bu sayı hem hem de 5 ile kalansız bölündü ünden 0 ile de kalansız bölünür. 85 sayısı 5 ile kalansız bölünüp ile kalansız bölünmedi inden 0 ile kalansız bölünemez. Etkinlik 9 ile Bölünebilme Araç-Gereç: Hesap makinesi 9 un katı olan ilk yirmi sayıyı tabloda birinci sat ra listeleyiniz. 9 un katları 9 6 Basamaklardaki rakamların toplamı ) Her bir sayının basamaklarındaki rakamların toplamını tablonun ikinci sat r na listeleyiniz. kinci sat rdaki say lar n ortak özelli i nedir? Aç klay n z. Rakamlarının toplamı 7, 6 ve 45 olan üç tane sayı yazarak bu sayıların 9 a kalansız bölünüp bölünmedi ini hesap makinesi ile kontrol ediniz. ) Bir say n n hangi durumlarda 9 ile kalansız bölünebilece ini aç klay n z. ) 9 ile kalansız bölünen sayılar ile de kalansız bölünür mü? Tartıflınız. 8 97 ve 745 sayıların n 9 ile bölünebilmesi için ve yerine gelebilecek say lar bulal m. 8

8 97 sayısının 9 ile tam bölünebilmesi için rakamlar n toplam 9 ve 9 un kat olmal d r. O hâlde + 8 + + 9 + 7 = 5 + iflleminde yerine gelmelidir. 4 ile Bölünebilme ) Yüzlük tabloda 4 ün katları olan sayıları belirleyiniz. ) 5, 64, 45, 04, 500, 044, 806, 50040, 908 sayılarının 4 ile kalansız bölünüp bölünmedi ini hesap makinesi kullanarak bulunuz. Bu sayılardan 4 ile bölünebilenlerin son iki basama ının oluflturdu u sayılarla tabloda iflaretlenen sayıların iliflkisini söyleyiniz. 4 ile bölünebilme kural hakk nda ne söyleyebilirsiniz? 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 4 5 6 7 8 9 9 ile bölünebilme kural : Rakamlar toplam 9 ve 9 un kat olan say lar, 9 ile kalans z bölünür. 745 sayısının 9 ile tam bölünebilmesi için 7 + + 4 + 5 + = 8 + iflleminde yerine 0 veya 9 gelmelidir. Etkinlik Araç-Gereç: Hesap makinesi ) ile bölünebilen her sayı 4 ile de bölünüp bölünmedi ini tart fl n z. 4 4 4 4 44 54 64 74 84 94 5 5 5 5 45 55 65 75 85 95 6 6 6 6 46 56 66 76 86 96 7 8 7 8 7 8 7 8 47 48 57 58 67 68 77 78 87 88 97 98 9 0 9 0 9 0 9 40 49 50 59 60 69 70 79 80 89 90 99 00 Bir çiçekçi elindeki 7 tane gül ve 58 tane karanfilden çiçek demetleri yapmak istiyor. Her bir demet 4 tane ayn tür çiçekten oluflaca na göre artan çiçek türünü ve say s n bulal m. 4 ile bölünebilme kural : Son iki basama 00 ya da 4'ün kat olan say lar, 4 ile kalans z bölünebilir. 7 sayısının 4 ile kalans z bölünüp bölünmedi ini bulal m. Bunun için 7 say s n n son iki basama ındaki 7 sayısına bakal m. 7 say s 4 ün kat d r. O hâlde 7 sayı 4 ile kalansız bölünür. Hiç artmadan 4 lü gül demetleri oluflturulabilir. 58 sayısın n son iki basama 58 oldu undan 4 ile kalans z bölünemez. 58 say s n n 4 e bölümünden kalan, artan karanfil say s n verir. O halde artan karanfil say s olur. 5, 4, 4 say lar n n her biri ile kalans z bölünebilir mi? Neden? Afla daki say lardan hangileri, 5 ve 6 say lar n n üçüne de kalans z bölünebilir? 55, 0, 05, 45, 80, 0, 75, 50, 6, 600, 70 Alt basamakl 78 4 say s n n 4 ile kalans z bölünebilmesi için yerine gelebilecek rakamlar n kümesini yaz n z. 4 Afla daki say lardan hangisi 9 a tam bölünmez? A) 666 B) 4085 C) 9960 D) 67 0-9

Çarpanlar ve Asal Sayılar Eni ve boyu 5 m olan oturma odası için halı almak isteyen bir kifli halı ma azasına giderek 5 m lik dikdörtgensel bölge fleklinde bir halı istiyor. Ma aza sahibi ellerinde bu ölçüde bir halı olmadı ını fakat siparifl vererek adresine gönderebileceklerini söylüyor. Birkaç gün sonra müflterinin evine eni m, boyu 5 m olan bir halı gönderiliyor.gönderilen halı eni ve boyu 5 m olan oda için uygun olup olmad n tart fl n z. 5 m lik halının eni ve boyu kaç farklı flekilde olabilir? Tart fl n z. Etkinlik Yanda alan birimkare olan farkl dörtgensel bölgelerin çizimleri verilmifltir. ) Siz de benzer flekilde kareli kâ da alan 9, 6,, birimkare olan farkl dörtgensel bölgeler çiziniz. Bu say lardan her birini örnekteki gibi iki do al say n n çarp m olarak ifade ediniz. ) Verilen say lardan hangileri için tek dörtgensel bölge çizebildiniz? Neden? ) Yapt n z çizimleri dikkate alarak her bir say n n çarpanlar n n kümesini yaz n z. 4), 9, 6, ve sayılar n n hangilerinin sadece iki çarpan vard r. Bu say lar n çarpanlar n n ortak özelli ini tart fl n z. 5), 9, 6, ve sayılar n n çarpanlar n n her biri ayn zamanda bu say lar tam bölüp bölmedi ini tart fl n z. Alanı Aynı, fiekli Farklı Dikdörtgensel Bölgenin Alan (br ) 9 6 Alanın Çizimi ( x ) ( x 6) ( x 4) 0 4 sayısının hangi do al sayıların çarpımı olarak yazılabilece ini bulalım... 4... 6.. 4. 4. 6 8. 4 sayısı iki do al sayının çarpımı olarak. 4,., 4. 6, 8. fleklinde yazılabilir. Her do al sayı iki do al sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu iki sayıdan her birine o sayının çarpanı denir. Bir sayının çarpanı aynı zamanda o sayının kalansız bölenidir. 4 ün çarpanları 4,, 8, 6, 4,,, olur. Bu sayılar aynı zamanda 4 sayısını kalansız böler.

Etkinlik Yüzlük Tabloda Katlar ) Yüzlük tablo üzerinde 8 in katlar n yuvarlak içine al n z. ) 8 say s n n katlar n n bir listesini olufltururuz. 8 in bütün çarpanlar ile katlar n n aras ndaki iliflkiyi aç klay n z. ) 5 say s için de ayn ifllemleri tekrar ediniz. Bir say n n çarpanlar ile katlar aras nda nas l bir iliflki vard r? Aç klay n z. 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 40 4 44 45 46 47 48 49 50 5 54 55 56 57 58 59 60 6 64 65 66 67 68 69 70 7 74 75 76 77 78 79 80 8 84 85 86 87 88 89 90 9 94 95 96 97 98 99 00 5 say s n n 80 den küçük olan tüm katlar n yazal m.. 5 = 5. 5 = 0. 5 = 45 4. 5 = 60 5. 5 = 75 5 say s n n 80 den küçük olan katlar 5, 0, 45, 60, 75 tir. 90, ve 7 sayılarını çarpanlar na ay ral m. 90 (. 90) 90 sayısı. 90,. 45, 6. 5,. 0,... 45.. 5. 5 (. 45) (6. 5), (. 0) (8. 5), (9. 0) 8. 5, 9. 0 gibi altı farklı flekilde iki do al say n n çarp m olarak yaz labilir. 90 sayısının çarpanları, 90, 45, 0, 8, 5, 0, 9, 6, 5,,, dir. =. tür. sayısı iki do al say n n çarp m olarak yalnız bir flekilde yazılabilir. sayısının çarpanları ve sayılarıdır. 7 =. 7 dir.7 sayısı iki say n n çarp m olarak yalnız bir flekilde yazılabilir. 7 sayısının çarpanları 7 ve sayılarıdır. Bu nedenle 7 ve sayıları asal sayılardır. den büyük, ve kendisinden baflka hiçbir böleni olmayan do al sayıya asal sayı denir. {,, 5, 7,...} kümesine asal say lar kümesi denir. Asal say lar kümesinde den baflka çift do al say yoktur. ile 0 aras ndaki asal say lar n kümesini bulal m. den 0 a kadar olan asal say lar n kümesi: {,, 5, 7,,, 7, 9,, 9} fleklindedir.

0 sayısını asal sayıların çarpımı fleklinde yazalım. I. yöntem: Çarpan a ac kullanarak 0 say s n n asal çarpanlar n bulal m. 0. 55 0 =. 5. dir.. 5. II. yöntem: fllemi, asal çarpanlar algaritmas kullanarak yapal m. Sayı 0 55 5 Asal Bölen (0 : = 55) (55 : 5 = ) ( : = ) 0 say s n en küçük asal say dan bafllayarak s ras yla 5 ve e böleriz. 0 =. 5. fleklinde asal çarpanlar na ay rabiliriz. 7 sayısını asal çarpanlarına ayıralım. Asal sayıların nerelerde kullanıldı ı ile ilgili bir arafltırma yapınız ve arafltırma sonuçlarını sınıfa sununuz. I. yöntem: Çarpan a ac 7... 6.. 8..... 9 7 =.... =. II. yöntem: Asal çarpanlar algoritmas 7 6 8 9 7 =.... =. 6 say s n asal çarpanlar na ay r n z. 65 ve 7 say lar n n çarpanlar n bulunuz. 8, 6, say lar n n her birinin asal çarpanlar n n kümesini yazarak bu üç kümenin kesiflimini bulunuz. 4 5, 7, 5 say lar n n 00 den küçük olan katlar n n kümesini yaz n z. 5 4 iki basamakl bir do al say d r. yerine hangi rakamlar yaz l rsa say asal olur? -

En Küçük Ortak Kat ve En Büyük Ortak Bölen 8 tane fliir kitab ve 4 tane roman, bir kitapl n raflar na her rafta eflit say da ve ayn türden kitaplar olacak flekilde yerlefltirilmek isteniyor. Bir rafta en fazla kaç tane kitap olabilir? Etkinlik Açılıfla Hofl Geldiniz 00 kiflinin kat ld bir kitabevinin açılıflında açılıfl gününe özel olarak her 4. müflteriye bir kitap ve her 0. müflteriye de bir CD hediye edilecektir. ) Kitap hediyesi alabilecek müflterilerin s ra numaralar n tabloda daire içine alarak gösteriniz. Daire içine aldı ınız sayıları yazınız. ) CD hediyesi alabilecek müflterilerin s ra numaralaran tabloda (x) ile iflaretleyiniz. flaretledi iniz sayıları yazınız. ) Hem kitap hem de CD hediyesi alabilecek müflteri s ra numaralar n n neler olabilece ini tart fl n z. 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 40 4 4 4 44 45 46 47 48 49 50 5 5 5 54 55 56 57 58 59 60 6 6 6 64 65 66 67 68 69 70 7 7 7 74 75 76 77 78 79 80 8 8 8 84 85 86 87 88 89 90 9 9 9 94 95 96 97 98 99 00 Her iki hediyeyi kazanan numaralarla 4 ve 0 sayıları arasında nasıl bir iliflki vardır? Her iki hediyeyi kazanan ilk müflteri olmanız için sıra numaranızın kaç olması gerekirdi? Eni 6 cm, boyu 8 cm olan dikdörtgensel bölgelerden en az say da kullan larak bir karesel bölge oluflturulacakt r. Bu karesel bölgenin bir kenar uzunlu unu bulal m. Kenar uzunluklar 6 ve 8 cm olan dikdörtgensel bölgeler kullan larak oluflturulacak karesel bölgenin bir kenar uzunlu u hem 6 n n hem de 8 in tam kat olmak zorundad r. 6 ve 8 in katlar n yazal m; 6 n n katlar : 6,, 8, 4, 0, 6,... 8 in katlar : 8, 6, 4,, 40,... Hem 6 n n hem de 8 in kat olan en küçük do al say 4 tür. Karenin bir kenar 4 cm olarak bulunur. 6 cm 8 cm 4 cm 4 cm

0 ve 9 sayılarının en küçük ortak katını bulalım. Bir sayının hem 0 un hem de 9 un en küçük ortak katı olması için: ki ya da daha fazla do al sayının ortak katlarının en küçü üne bu sayıların en küçük ortak katı denir. a ve b do al say lar n n en küçük ortak kat EKOK (a, b) veya (a, b) ekok fleklinde gösterilir. I. Yöntem: 0 ve 9 sayılarının katlarını yazarak ortak olan say ları yuvarlak içine alalım. 0 un katların n kümesi: {0, 60, 90, 0, 50, 80, 0, 40, 70, 00, 0, 60, 90,40,...} 9 un katların n kümesi: {9, 8, 7, 6, 45, 54, 6, 7, 8, 90, 99, 08, 7, 6, 5, 44, 5, 6, 7, 80, 89, 98, 07, 6, 5, 4, 4, 5, 6, 70, 79, 88, 97, 06, 5, 4,, 4, 5, 60, 69, 78,...} 0 ve 9 sayılarının ortak katların n kümesi: {90, 80, 70, 60,... } dir. Ortak katların en küçü ü 90 d r. O hâlde EKOK (0, 9) = 90 d r. II. Yöntem: 0 ve 9 sayılarının EKOK u bu iki sayıya ayn anda asal çarpanlar algoritmas uygulanarak da bulunabilir. 0 9 5 9 5 5 5... 5 = 90 0 ve 9 un en küçük ortak katı, EKOK (0, 9) =... 5 = 90 d r. 5 ve 6 ya bölündü ünde kalanını veren en küçük sayının kaç oldu unu bulalım. 5 ve 6 ya bölünen en küçük sayı 5 ve 6 nın EKOK udur. 5 6 5 5 5 EKOK (5,6) =.. 5 = 0 olur. Bölündü ünde kalanını vermesi için 0 sayısına ekleriz. Yani 0 + = olur. 4

68, 90 ve 50 sayılarının EKOK unu bulalım. I. Yöntem: Sayıların EKOK unu her bir sayının katlarını tek tek yazarak bulabiliriz. Fakat bu yöntem bu örnek için uzun ve kullanıflsız oldu u için tercih edilmez. II. Yöntem: Verilen sayıları asal çarpanlar na ay ral m. 68 84 4 7 7 68 =.. 7 90 45 5 5 5 90 =.. 5 50 75 5 5 5 5 50 =.. 5 Asal çarpanlar ndan üssü en büyük olan say lar n çarp m bize EKOK u verir. 68 =.. 7, 90 =.. 5, 50 =.. 5 EKOK (68, 90,50) =.. 5. 7 = 600 ki sayının EKOK u asal çarpanlardan ortak olanların en büyük üslü çarpan ile ortak olmayan çarpanlar n çarp m yla bulunur. III. Yöntem: 68, 90 ve 50 sayılarının EKOK unu bu sayılara asal çarpanlar algoritmas uygulayarak bulal m. 68 90 50 84 45 75 4 45 75 45 75 7 5 5 7 5 5 5 7 5 5 7 7 EKOK (68, 90, 50) =.. 5. 7 = 600 olur. Aynı hastanede çalıflan iki doktordan biri 6 günde bir, di eri ise 8 günde bir nöbet tutmaktadır. Bu iki doktor aynı gün nöbet tuttuktan kaç gün sonra tekrar birlikte nöbet tutacaklardır? Bulalım. 5

I. Yöntem: Doktorlardan biri 6 günde bir, di eri ise 8 günde bir nöbet tutmaktadır. Say do rusu modeli kullanarak problemimizi çözelim. Uzunluklar 6 ve 8 birim olan parçalar olufltural m. Bu parçalar n toplam boy uzunluklar n n en küçük hangi say da eflitlenece ini say do rusu üzerinde bulal m. 8 8 8 0 4 6 8 0 4 6 8 0 4 6 6 6 6 6 Bu iki doktor birlikte nöbet tuttukları günden itibaren 6 ve 8 in en küçük ortak katı kadar gün sonra tekrar birlikte nöbet tutacaklar na göre doktorlar 4 gün sonra tekrar nöbet tutarlar. II. Yöntem: Bu say y EKOK tan yararlanarak da bulabiliriz. 6 8 4... =. = 8. = 4 EKOK (6,8) = 4 olur. Doktorlar 4 gün sonra tekrar birlikte nöbet tutarlar. Bir oyuncak fabrikasında üretilen yarıfl arabaları, boyutları 0 cm, cm ve 5 cm olan dikdörtgenler prizması fleklindeki kutulara konuyor. Bu kutular küp fleklindeki bir koliye boflluk kalmayacak flekilde yerlefltirilmek isteniyor. a) Kolinin bir kenarının uzunlu u en az kaç santimetre olmalıdır? b) Koli içine kaç tane yar fl arabas kutusu yerlefltirilebilir? 0 cm cm 5 cm a) Yar fl arabas kutular, küp fleklindeki kolinin içine aralarında boflluk bırakılmadan yan yana, üst üste ve arka arkaya dizildi inde bir yı ın oluflturulmaktadır. Bu yı ının yüksekli i, eni ve boyu aynı uzunlukta olmalıdır. O hâlde, küp fleklindeki kolinin kenar uzunlu u bir yar fl arabas kutusunun boyutları olan 0, ve 5 sayılarının en küçük ortak katı olmalıdır. 0 5 5 6 5 5 5 5 5 5 EKOK (0,, 5) =.. 5 = 60 olur. Küp fleklindeki kolinin bir ayr t n n uzunlu u en az 60 cm olmalıdır. 6

b) Kolinin bir kenarının uzunlu u 60 cm oldu undan kolinin içine boyutları 0 cm, cm ve 5 cm olan kutulardan kaç tane yerlefltirebilece imizi bulalım. Bu kutuları küpün taban ayrıtları boyunca yan yana yerlefltirirsek 60 : 5 = 4 kutu, arka arkaya yerlefltirirsek 60 : = 5 kutu, üst üste yerlefltirirsek 60 : 0 = 6 kutu olur. Koliye yerlefltirilen yar fl arabas kutu sayısı 6. 5. 4 = 0 tanedir. cm 5 cm 0 cm S = 60 ve 75 sayılarının ortak katlarından oluflan do al sayılar kümesi verilsin. Afla ıdakilerden hangisi veya hangileri S kümesinin her elemanını tam bölmez? Bulalım. a) 4 b) 6 c) 9 ç) 0 60 ve 75 in ortak katlarını oluflturan kümeyi bulabilmek için önce 60 ve 75 in en küçük ortak katını bulalım. 60 75 0 75 5 75 5 5 5 5 5 EKOK (60,75) =.. 5 = 4.. 5 = 00 S kümesi 60 ve 75 in ortak katlarından olufltu una göre kümenin elemanları EKOK un (00 ün) katları olmalıdır. S = 00, 600, 900, 00, 500,... dır. S kümesindeki her elemanı kalansız bölen say lar bulmak için 00 ü kalansız bölen say lar bulmam z gerekir. Çünkü 00 ü kalansız bölen her sayı 00 ün katlarını da kalansız böler. 00 =.. 5 oldu una göre seçeneklerde verilen say lar n S kümesinin her eleman tam bölüp bölmedi ine bakal m. a) 4 sayısını asal çarpanlarına ayırarak 00 ün çarpanlar ile karfl laflt ral m. 4 4 = ve 00 =.. 5 4 sayısı 00 ün bir bölenidir. O hâlde, 4 sayısı 00 ü ve S nin bütün elemanlarını tam böler. b) 6 sayısını asal çarpanlarına ayırarak 00 ün çarpanlar ile karfl laflt ral m. 6 6 =. ve 00 =... 5 6 sayısı 00 ün bir bölenidir. O hâlde 6 sayısı 00 ü ve S nin bütün elemanlarını tam böler. 7

c) 9 sayısını asal çarpanlarına ayırarak 00 ün çarpanlar ile karfl laflt ral m. 9 9 = ve 00 =.. 5 9 sayısı 00 ün bir böleni de ildir. O hâlde, 9 sayısı 00 ü ve S nin her elemanını tam bölmez. ç) 0 sayısını asal çarpanlarına ayırarak 00 ün çarpanlar ile karfl laflt ral m. 0 5 5 0 =. 5 ve 00 =... 5. 5 0 sayısı 00 ün bir bölenidir. O hâlde, 0 sayısı 00 ü ve S nin bütün elemanlarını tam böler. Sorunun cevabı c seçene i yani 9 dur. Etkinlik Tüm Dünya Çocuklar n n Bayram Nisan Ulusal Egemenlik ve Çocuk Bayramı Atatürk ün sadece ülkemiz çocuklarına de il tüm dünya çocuklarına arma an etti i uluslararası bir bayramdır. Her yıl bayram kutlamaları için ülkemize çeflitli ülkelerden ö renci grupları gelmektedir. Bu yıl ülkemize aynı ülkeden gelen 8 erkek, 4 kız ö renci bir otele yerlefltirilecektir. Kız ve erkek ö renciler ayrı olmak üzere; ) Her odada eflit sayıda erkek ö renci kalması flartıyla odalar kaçar kiflilik olabilir? 8 in bölenleri ile her odada eflit say da kalmas gereken erkek ö renci say s aras ndaki iliflki nedir? Aç klay n z. ) Her odada eflit sayıda kız ö renci kalması flartıyla odalar kaçar kiflilik olabilir? 4 ün bölenleri ile her odada eflit say da kalmas gereken k z ö renci say s aras ndaki iliflki nedir? Aç klay n z. ) Kızların ve erkeklerin kaldı ı odalarda eflit sayıda ö renci olaca ına göre odalar kaçar kiflilik olabilir? Aç klay n z. 8 ve 4 say lar n n ortak bölenleri hangi say lard r? Odalar en fazla kaç kiflilik olabilir? Buna göre en az kaç oda gerekir? Bir grup ö renciye 0 fleker ve 8 çikolata paylaflt r lmak isteniyor. Her birinin eflit say da ve hiç artmayacak flekilde çikolata ve fleker almas durumunda ö renci say s en fazla kaç olabilir? Bulal m. 8 Ö renci say s n n en fazla olabilmesi için bu say n n 0 ve 8 i bölen say lar aras ndaki en büyük say olmas gerekir. 0 ve 8 in bölenlerini bulal m. 0 un bölenleri:,,, 5, 6, 0, 5, 0 dur. 8 in bölenleri:,,, 6, 9, 8 dir.

ki say n n bölenleri aras nda ortak olan say lar,, ve 6 d r. Bu say lar n en büyü ü 6 oldu undan ö renci say s en fazla 6 olur. 40 ile 60 say lar n bölen en büyük say y bulal m. Sayıların ortak bölenlerinin en büyü ünü dört farklı yöntemle bulmaya çal flal m. I. Yöntem: 40 ve 60 sayılarının bölenlerini yazalım. ki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyü üne bu say lar n en büyük ortak böleni denir. a ve b do al say lar n n en büyük ortak böleni EBOB (a, b) veya (a, b) ebob fleklinde gösterilir. 40 ın bölenleri:,, 4, 5, 8, 0, 0, 40 60 ın bölenleri:,,, 4, 5, 6, 0,, 5, 0, 0, 60 40 ve 60 n ortak olan bölenleri,, 4, 5, 0, 0 olup ortak bölenlerin en büyü ü 0 dir. II. Yöntem: 40 ve 60 sayılarının en büyük ortak bölenini bulmak için çarpanlar a ac kullanarak asal çarpanlar na ay ral m. Ortak olan çarpanları yuvarlak içine alalım. 40 60. 0. 0.. 0.. 5... 5... 5 Ortak çarpanlar çarpılarak ortak bölenlerin en büyü ü hesaplanır. 40 ve 60 ın ortak bölenlerinin en büyü ü.. 5 = 0 dir. O halde EBOB (40, 60) = 0 dir. III. Yöntem: 40 ve 60 say lar n n EBOB n bu iki say ya ayr ayr asal çarpanlar algaritmas uygulanarak da bulunabilir. 40 0 0 5 5 40 =. 5 40 =. 5 =... 5 60 =.. 5 =... 5 60 0 5 5 5 60 =.. 5 40 ve 60 say lar n n ortak olan çarpanlar n n en büyü ünü afla daki gibi belirleyebiliriz.. 5. 5 Bir sayın n çarpanı aynı zamanda o sayının böleni oldu undan 40 ve 60 sayılarının çarpanlar olan say lar ayn zamanda en büyük bölen olan EBOB u verir... 5 =. 5 = 0 dir. Sayılar asal çarpanlarına ayrıldıktan sonra ortak olan asal çarpanların en küçük üslü çarpanlarının çarpımı EBOB u verir. 9

IV. Yöntem: 40 ve 60 sayılarının en büyük ortak böleni afla ıdaki gibi asal çarpanlar algaritmas kullanarak da bulunabilir. Bu yöntemde sayılar en küçük asal sayıdan bafllanarak bölünür, her iki sayıyı birlikte bölen asal sayılar iflaretlenir. Daha sonra iflaretlenen sayılar çarpılır. 40 60 0 0 0 5 5 5 5 5 5.. 5 = 0 40 ve 60 sayılarının EBOB u; EBOB (40,60) = 0 olur. Dikdörtgensel bölge fleklindeki bir balkonun taban n n kenar uzunlukları,5 m ve,5 m dir. Bu balkonun tabanı karesel bölge fleklindeki karolarla kaplanmak isteniyor. a) En az sayıda karo kullanmak için karonun bir kenar uzunlu u kaç santimetre olmalıdır? b) Kaç tane karo kullanılır? a) En az sayıda karo kullanmak için bir karonun kenar uzunlu u mümkün olan en büyük sayı seçilmelidir. Bu sayıyı, verilen uzunlukların ortak bölenlerinin en büyü ünü (EBOB) bularak elde ederiz.,5 m = 50 cm ve,5 m = 50 cm 50 50 5 75 5 5 5 5 5 5 5 5 b) Kullanılan karo sayısını bulmak için dikdörtgensel bölgenin alanını bir karonun alanına bölmemiz gerekir. 50. 50 = 7500 cm (Balkonun taban n n alanı) 50. 50 = 500 cm (Bir karonun alanı) 7500 : 500 = 5 tane karo kullan lmaktad r. 50 ve 50 say lar n n her birini ayn anda bölen say lar, 5 ve 5 tir. Bu say lar n çarp m bize EBOB u verir.. 5. 5 = 50 EBOB (50,50) = 50 dir. O hâlde karonun bir kenarının uzunlu u 50 cm olmalıdır. Bir toptancı. üreticiden 840 kg,. üreticiden 560 kg ve. üreticiden 700 kg elma almıfltır. Aldı ı elmaları ayn nitelikteki kasalara yerlefltirerek satmak istemektedir. a) Her bir üreticiden aldı ı elmaları birbirine karıfltırmaması ve hiç elma artmaması için kasalar en fazla kaçar kilogramlık olmalıdır? b) Toptancın n kaç kasaya ihtiyac vard r? 0

a) Kullanılacak kasaların en fazla elmayı alması için verilen sayıların EBOB unu buluruz. 840 560 700 40 80 50 0 40 75 05 70 75 05 5 75 5 5 75 5 7 7 5 5 7 7 7 7 EBOB (840, 560, 700) =.. 5. 7 = 40 Her kasa 40 kg l k olmalıdır. b) 840 : 40 = 6 (. üreticiden alınan elmalar için gereken kasa sayısı) 560 : 40 = 4 (. üreticiden alınan elmalar için gereken kasa sayısı) 700 : 40 = 5 (. üreticiden alınan elmalar için gereken kasa sayısı) Bu toptanc ya 6 + 4 + 5 = 5 tane kasa gereklidir. 5 ve sayılarının EKOK ve EBOB unu bulalım. ki ya da daha fazla do al sayının den baflka ortak böleni yoksa bu sayılara aralarında asal sayılar denir. 5 5 5 5 EKOK(5, ) = 5 = 0 5 ve sayıları aralarında asal oldu undan bu say lar n EKOK (5, ) = 5. = 0 dur. Bu say lar n den baflka ortak bölenleri olmad ndan EBOB (5, ) = dir. Aralarında asal olan sayıların EKOK u bu sayıların çarpımına eflittir. EBOB u ise dir. 4 5 6 7 Afla daki say lar n EKOK ve EBOB lar n bulunuz. a) 75, 0 b) 8, 4, 4, 7,, say lar n aralar nda asal olacak flekilde gruplara ay r n z. ve 5 say lar na bölündü ünde kalan n veren en küçük üç basamakl do al say kaçt r? Kütleleri ve 8 kg olan iki çuval un torbalara paylaflt r lmak isteniyor. Torbalardaki un miktar n n eflit olacak ve hiç artmayacak flekilde olabilmesi için en az kaç torbaya ihtiyaç vard r? 9, 5, 69 kg sepetlerde bulunan portakallar en büyük kütleli kasalara yerlefltirilmek isteniyor. Bu ifllem için kaç kasa gereklidir? Bir grup izci 0 arl, 5 erli ve 0 flerli s ra oldu unda her seferinde izci s ran n d fl nda kal yor. Bu gruptaki izci say s en az kaç olabilir? Kenar uzunluklar cm ve 9 cm olan dikdörtgensel bölge fleklindeki fayanslarla oluflturulabilecek en küçük karesel bölgenin alan n hesaplay n z. 4

KES RLER HER YERDE Kesirleri Karflılafltıralım, Toplayalım ve Çıkaralım Türk mutfa dünyan n en ünlü befl mutfa ndan biridir. Afla da Türk mutfa na ait kalburabast tatl s n n haz rlanmas için gerekli malzeme listesi verilmifltir: Kalburabastı tatl s için gerekli malzemeler su barda ı su, çorba kaflı ı ceviz içi, 4 su barda ı fleker, çay barda ı sıvı ya, su barda ı maden suyu, tatlı kaflı ı limon suyu, su barda ı un. 4 Kalburabast tatl s yap m nda en az ve en fazla kullan lan malzeme hangisidir? Kalburabast yap m nda kullan lan su ve maden suyu toplam kaç bardakt r? Etkinlik Arkadafl Toplantısı Evinize arkadafllarınızı davet ettiniz. Arkadafllarınıza ikram etmek için üç tane peynirli pizza yapmaya karar verdiniz. Pizzalardan birine domates, di erine biber öbürüne de zeytin eklediniz. Pizzalar afla daki gibi böldünüz. Zeytinli Domatesli Biberli ) ki arkadafltan biri zeytinli pizzadan dilim, di eri 4 dilim yedi ine göre hangisinin daha fazla pizza yedi ini bulal m. ki arkadaflınızın yedi i dilimleri kesir olarak ifade ediniz.... Bu kesirleri >, < sembollerini kullanarak sıralayınız.... Bu kesirleri afla ıdaki sayı do rusu üzerinde gösteriniz. 0

) Arkadafllarınızından biri pizzalar n her birinden birer dilim yedi ine göre en fazla hangisinden yemifl oldu unu bulal m. Pizza çeflitlerinin her birinden yedi i miktarı kesir olarak ifade ediniz. Bu kesirlerin her birini sayı do rular üzerinde gösterip >, < sembollerini kullanarak sıralayınız. 0 0 0 Hangi kesir yarıma ( e) daha yakındır? ) Domatesli pizzadan dilim, biberli pizzadan dilim, zeytinli pizzadan 7 dilim alan üç arkadafltan hangisinin daha fazla pizza yedi ini bulal m. Bu üç arkadaflınızın yedi i pizza miktarlarını kesir olarak ifade ediniz. Bu kesirlerin her birini sayı do rusu üzerinde gösterip >, < sembollerini kullanarak sıralayınız. 0 0 0 Hangi kesir bütüne daha yak nd r? Bu kesirleri ayn say do rusu üzerinde göstermek isteseydiniz kesirlerde nas l bir de ifliklik yapman z gerekirdi? Tart fl n z. >, < veya = sembollerini kullanarak afla ıdaki kesirleri karflılafltıralım. a) 4, 5, b) 4 7, 7, 7 c) 6, 4, 9 ç), 7 0, 6 5