PROJE ADI: ÖZDEŞ NESNELERİN FARKLI KUTULARA DAĞILIMINDA POLİNOM KULLANIMI PROJENİN AMACI: Polinom fonksiyon yardımıyla özdeş nesnelerin farklı kutulara istenilen koşullardaki dağılım sayısının hesaplanması amaçlanmaktadır. GİRİŞ: Özdeş nesnelerin farklı kutulara dağılımını tekrarlı permütasyonu kodlamaya uygulayarak yapılabildiği bilinmektedir. Örneğin 10 özdeş bilyeyi 4 farklı kutuya dağılımı aşağıdaki gibi yapılır. Bu bilyelerin dağılımından ikisi yukarıdaki gibidir. Bu dağılım sayısı da 10 tane 0 ile 3 tane nın diziliş sayısıdır. Bir başka örnek problem, 10 özdeş bilyeyi 2 farklı kutuya I. Kutuda en az 2 en fazla7, II. Kutuda en fazla 5 gibi koşulları altındaki dağılım sayısını hesaplamada dahil-etme, hariç-tutma yöntemi uygulanır. Bu çalışmada ise örneğin 20 özdeş bilyeyi 4 farklı kutuya, koşullarımız tamamen keyfi (örneğin I. Kutuda 1, 4, 5, 7, 8 tane, II. Kutuda en az 3 tane, en fazla 10 tane, III. Kutu boş kalacak, IV. Kutuda 0, 2, 3, 6, 9 tane) olacak şekilde dağılım sayısını polinom fonksiyonlar yardımıyla hesaplanacaktır. 1
ANA BÖLÜM: bu iki polinomun çarpımı aşağıdaki gibi açıkça yazılabilir. polinomları ele alındığında Burada görülüyor ki çarpımda elde edilen her x in kuvvetindeki sayıların birincisi polinomunun terimlerinin kuvvetinden, ikincisi de polinomunun terimlerinin kuvvetinden gelmektedir. Yukarıdaki çarpımı aşağıdaki gibi düzenlenebilir. Peki burada x değişkenlerinin katsayısı ve kuvveti ne ifade eder? Örneğin terimi ele alındığında buradaki x in kuvveti 5, katsayısı da 3 tür. Bu terimin kuvvet ve katsayısı ile aşağıdaki problemin çözümü arasında nasıl bağlantı vardır? sorusuna yanıt aranır. 2
Problem 1. 5 özdeş bilye 2 farklı kutuya, I. kutuda ya 6, ya 4, ya 3, ya 1 yada hiç, II. kutuda ya 1, ya 2, yada 4 tane bilye olması koşuluyla kaç farklı şekilde dağıtılır? Bu problemin çözümü için öncelikle aşağıdaki tablo oluşturulur. I.Kutu (0, 1, 3, 4, 6 tane) II.Kutu (1, 2, 4 tane) 1. Dağılım 1 4 2. Dağılım 3 2 3. Dağılım 4 1 Demek ki verilen koşullar altında bu dağılım 3 farklı şekilde yapılır. Bu dağılım sayısı polinomları kullanarak nasıl elde edilir? I. kutuya 0, 1, 3, 4 veya 6 tane özdeş top konulabileceğinden I. Kutu için polinomu tanımlanır. Benzer şekilde II. Kutuya 1, 2 veya 4 tane özdeş bilye konulabileceğinden II. Kutu için de polinomu tanımlanır. çarpımında li terimlere bakalır. Çünkü terimi bulunurken, ten kuvvetler toplamı 5 olan terimler alınır. Yani bu terimler olup bu terimleri oluşturan derecelerindeki sayılar (örneğin terimindeki ilk kuvvet olan 1 sayısı, I. kutudaki koşula uyarken ikinci kuvvet olan 4 sayısı da II. Kutudaki koşula uymaktadır), sorunun tablodaki çözüm verileri ile bire-bir örtüşmektedir. Buna göre dağılım sayısı, teriminin kat sayısı olan 3 tür. 3
Problem 2. 12 özdeş bilye 3 farklı kutuya, I. kutuda en fazla 6, II. Kutuda ya hiç, ya 3, yada 6, III. Kutuda ya 3, ya 6, ya da 9 bilye olacak şekilde kaç farklı şekilde dağıtılır? Bu problemin çözümü için öncelikle aşağıdaki tablo oluşturulur. I.Kutu (En fazla 6 tane) II.Kutu (0, 3, 6 tane) III.Kutu (3, 6, 9 tane) 1. Dağılım 6 6 0 2. Dağılım 6 3 3 3. Dağılım 3 6 3 4. Dağılım 3 3 6 5. Dağılım 3 0 9 6. Dağılım 0 6 6 7. Dağılım 0 3 9 Demek ki verilen koşullar altında bu dağılım 7 farklı şekilde yapılır. I. Kutu için, II. Kutu için III. Kutu için de polinomları tanımlanır. çarpımında teriminin katsayısı bu problemin çözümüdür. Çünkü terimini bulurken,, ve ten kuvvetler toplamı 12 olan terimler alınır. Yani bu terimler terimleri olup sayısı da 7 dir. 4
Problem 3. 6 özdeş bilye 3 farklı kutuya, her bir kutuda en fazla 4 bilye olacak şekilde kaç farklı şekilde dağıtılır? I.Kutu (En fazla 4 tane) II.Kutu (En fazla 4 tane) III.Kutu (En fazla 4 tane) 1. Dağılım 4 2 0 2. Dağılım 4 1 1 3. Dağılım 4 0 2 4. Dağılım 3 3 0 5. Dağılım 3 0 3 6. Dağılım 3 2 1 7. Dağılım 3 1 2 8. Dağılım 2 4 0 9. Dağılım 2 3 1 10. Dağılım 2 2 2 11. Dağılım 2 1 3 12. Dağılım 2 0 4 13. Dağılım 1 4 1 14. Dağılım 1 3 2 15. Dağılım 1 2 3 16. Dağılım 1 1 4 17. Dağılım 0 4 2 18. Dağılım 0 3 3 19. Dağılım 0 2 4 Her kutu için koşul (her bir kutuda en fazla 4) aynı olduğundan tüm kutular için alınacak olan polinom fonksiyon aynı olacaktır. Yani polinomları tanımlanır. çarpımında teriminin katsayısı bu problemin çözümüdür. Çünkü terimini bulurken, ten kuvvetler toplamı 6 olan terimler alınır. Yani bu terimler terimleri olup sayısı da 19 dur. 5
Problem 4. A, B, C, D adlı kişiler 1 TL veya 2 şer TL, E, F adlı kişiler 0 TL, 5 TL veya 10 ar TL vermesi koşuluyla 16 Lirayı bu 6 kişi arasında kaç farklı şekilde toplanır? A 1 TL 2 TL B 1 TL 2 TL C 1 TL 2 TL D 1 TL 2 TL E 0 TL 5 TL 10 TL F 0 TL 5 TL 10 L 1.Toplama 2 2 1 1 10 0 2.Toplama 2 2 1 1 0 10 3.Toplama 2 2 1 1 5 5 4.Toplama 2 1 2 1 10 0 5.Toplama 2 1 2 1 0 10 6.Toplama 2 1 2 1 5 5 7.Toplama 2 1 1 2 10 0 8.Toplama 2 1 1 2 0 10 9.Toplama 2 1 1 2 5 5 10.Toplama 1 2 1 2 10 0 11.Toplama 1 2 1 2 0 10 12.Toplama 1 2 1 2 5 5 13.Toplama 1 1 2 2 10 0 14.Toplama 1 1 2 2 0 10 15.Toplama 1 1 2 2 5 5 16.Toplama 1 2 2 1 10 0 17.Toplama 1 2 2 1 0 10 18.Toplama 1 2 2 1 5 5 A, B, C ve D adlı kişiler için koşul (her biri 1TL veya 2 TL) aynı olduğundan bu 4 kişi için alınacak olan polinom fonksiyon aynı olacağından, E ve F kişileri için koşul (her biri 0 TL, 5 TL veya 10 TL) aynı olduğundan bu 2 kişi için alınacak olan polinom fonksiyon aynı olacaktır. Yani dur., çarpımında teriminin katsayısı bu problemin çözümüdür. 6
Çarpımdaki terimin katsayısı: 3.6=18. Bilgi: olduğu bilinmektedir. olması durumunda olduğundan tir. açılımında li terimin katsayısı dir. [1] Problem 5. 10 özdeş bilye 3 farklı kutuya, I. kutuda en az 3, en fazla 5, II. kutuda en az 1, en fazla 4, III. kutuda en az 2, en fazla 6 bilye olacak şekilde kaç farklı şekilde dağıtılır? Çözüm. I. Kutu için, II. Kutu için III. Kutu için de polinomları tanımlanır. çarpımında teriminin katsayısı bu problemin çözümüdür. O halde teriminin katsayısı bulunur. olduğundan çarpımında lü teriminin katsayısının bulunması yeterlidir. 7
Son eşitlikte, ilk üç terimden lü terim gelir. Çünkü diğer terimlerin dereceleri sırasıyla en az 5, 7, 8, 9, 12 den başlamaktadır. O halde aşağıdaki şekilde gelir., ilk üç terimden yukarıdaki Bilgi kullanılarak Dolayısıyla Dağılım sayısı: olarak bulunur. Problem 6. 20 özdeş bilye 9 farklı kutuya kaç farklı şekilde dağıtılır? Çözüm. Bu problemde herhangi bir koşul olmadığından, her bir kutu için aynı fonksiyonu tanımlanacaktır. açılımında O halde teriminin katsayısı bu problemin çözümüdür. teriminin katsayısı: Dolayısıyla dağılım sayısı: dir. 8
SONUÇLAR VE TARTIŞMA : Polinom fonksiyon yardımıyla m- tane özdeş bilye n-farklı kutuya istenilen koşullardaki dağılım sayısının hesaplanabilmesi için n-farklı kutu için istenilen koşullara uygun n- tane polinom tanımlandı. Bu polinomların çarpımından elde edilen m ninci dereceli terimin katsayısı, m-tane özdeş topun n-farklı kutuya kaç değişik biçimde yapılır? sorusunun cevabı olduğu sonucuna varıldı. Kutulara konulacak bilyelerin istenilen sayılarda olması (örneğin I. Kutuda en fazla 5 tane, II. Kutuda en az 3 tane, en fazla 6 tane, III. Kutu boş kalacak, IV. Kutuda 0, 2, 4, 6, 9 tane, vs. vs.) koşullarına uygun x e bağlı polinom fonksiyonlar oluşturup ve bu polinomları çarpıldığında elde edilen polinomun x değişkenlerinin katsayısı ve kuvveti bu tür problemlerin sonucu ile ilgisi tespit edildi. Bu çalışmada, I. kutuda tane II. kutuda tane.. n. kutuda tane bilye olması koşulları verildiğinde I. kutu için II. kutu için n. kutu için polinomları tanımlanır. Bu polinomların çarpımından elde edilen terimindeki m sayısı her bir polinomun birer teriminin kuvvetlerinin toplamından geldiği görüldü. Yani, burada,, dir. teriminin katsayısı sorunun çözümü olan dağılım sayısı olduğu sonucuna varıldı. Matematik olimpiyatlarında sorulan bazı sonlu matematik problemleri bu yöntemle çözülebilir. Aşağıdaki sorular buna örnek olarak verilebilir. 9
Örnek 1. olmak üzere, koşulu altında denklemini sağlayan kaç doğal sayı üçlüsü vardır? Örnek 2. 1 den 100.000 e dek rakamlar toplamı 16 olan kaç doğal sayı vardır? Bu koşulu sağlayan sayılar en fazla 5 basamaklıdır. Dolayısıyla bu problem, olmak üzere, koşulu altında denklemini sağlayan kaç doğal sayı beşlisi vardır? problemi ile aynıdır. Aynı zamanda bu problem, 16 özdeş bilye, 5 farklı kutuya ve her bir kutuda en fazla 9 bilye olacak şekilde dağılım sayısı nedir? problemi ile de aynıdır. Çözüm. Bu problemde her bir kutu için koşul aynı (en fazla 9) olduğundan, her bir kutu için aynı fonksiyonu tanımlanacaktır. açılımında O halde teriminin katsayısı bu problemin çözümüdür. teriminin katsayısı: Dolayısıyla problemin çözümü: dir. 10
KAYNAKLAR: [1] Applied Combinatorics;Alan Tucker,Third Edition,John Wiley & Sons,Inc.1995 [2] Orta Öğretim Matematik Ders Kitabı ; MEB [3] Kombinatorik (Sayma Problemleri);Doç.Dr.Fahri Öztürk,Ankara1995(sayfa6-12) [4] Combinatorics ; N.Ya. Vilenkin, Akademic Press, New York and London, 1971. [5] Introduction To Combinatorics ; G. Berman, K.D. Fryer, Akademic Press, New York and London, 1970. 11