OOLE ERİ 54 YILINDA GEORGE OOLE, LOJİĞİ SİSTEMATİK OLARARAK ELE ALIP OOLE ERİNİ GELİŞTİRDİ. 93 DE.E. SHANNON ANAHTARLAMA ERİNİ GELİŞTİREREK OOLE ERİNİN ELEKTRİKLİ ANAHTARLAMA DEVRELERİNİN ÖZELLİKLERİNİ TEMSİL ETMEDE KULLANILAİLEEĞİNİ GÖSTERDİ. OOLE cebri ={,} kümesi üzerinde tanımlı İkili işlemler: VEYA, VE { +,. } irli işlem: tümleme { } AKSİYOMLAR. Kapalılık a+b Є a.b Є. Değişme a+b = b+a a.b = b.a 3. irleşme a+(b+c) = (a+b)+c a.(b.c) = (a.b).c 4. Etkisiz eleman a+=a a.=a 5. Dağılma a+(b.c) = (a+b). (a+c) a.(b+c)=(a.b) + (a.c). Tümleme a + a = a.a = ÖZELLİKLER VE TEOREMLER. Yutma a+=. Dönüşme (Involution) (a ) =a a.= 3. Sabit kuvvet (Idempotency) a+a+.=a a.a.=a TEOREM:.Y +.Y = Dağılma:.Y +.Y =.(Y + Y ) Tümleme:.(Y + Y ) =. () Etkisiz:.() = 4. Soğurma (Absorption) a+a.b=a a.(a+b)=a 5. Demorgan Teoremi (a + b + ) = a. b.. (a. b. ) = a + b.. İşlemler arası öncelik Lojik ifadelerin değerlendirilmesinde. Parantez. Tümleme 3. VE 4. VEYA TEOREM: +.Y = Etkisiz +.Y =. +.Y Dağılma. +.Y =.(+Y) Yutma.(+Y) =.() Etkisiz.() = sırası işlem öncelik sırasını belirtmektedir.
Teoremler Lojik ifadelerinin sadeleştirilmesinde kullanılır. Sadeleştirmeden amaç fonksiyonu en basit biçimde ifade etmektir. Z = a.b.c + a.b.c + a.b.c + a.b.c = a.b.c + a.b.c + a.b.c + a.b.c + a.b.c = a.b.c + a.b.c + a.b.c + a.b.c + a.b.c = (a+a ).b.c + a.b.c + a.b.c + a.b.c = ().b.c + a.b.c + a.b.c + a.b.c = b.c + a.b.c + a.b.c + a.b.c + a.b.c = b.c + a.b.c + a.b.c +a.b.c + a.b.c = b.c + a.(b +b).c + a.b.c + a.b.c = b.c + a.().c + a.b.c + a.b.c = b.c + a.c + a.b.(c+c ) = b.c + a.c + a.b Soru: Elde edilen sonucu Lojik kapılar ile gerçekleyiniz (Kapı giriş sayısı dikkate alınmadan) Soru: Elde edilen sonucu iki girişli kapılar ile gerçekleyiniz. Soru: Elde edilen Sonucu iki girişli NAND kapıları ile gerçekleyiniz Z = bc + ac + ab = c(b+a) + ab = c.(b.a ) + ab = ((c.(b.a ) ). (ab) ) Soru: Elde edilen sonucu iki girişli NOR kapıları ile gerçekleyiniz. Z = bc + ac + ab = c(b+a) + ab = (c + (b+a) ) + (a +b ) = ( ( (c + (b+a) ) + (a +b ) ) ) Lojik fonksiyonlar n kümesi (n elemanlı ikili kodlar kümesi) üzerinde tanımlanır ve üçe ayrılır. YALIN FONKSİYON: Çok girişli bir çıkışlı fonksiyon GENEL FONKSİYON: Çok girişli çok çıkışlı fonksiyon a b c y f y a b c y y f y y
TÜMÜYLE TANIMLANMAMIŞ FONKSİYONLAR: azı giriş kombinasyonları için fonksiyonun alacağı değerler tanımlanmamış olabilir (fonksiyonun alacağı değerler belirsizdir). ÖRNEK: D sayıları arttıran fonksiyon: a b c d Q3 Q Q Q a b c d f Q Q Q Q3 u giriş değerleri için devrenin çıkışlarının alacağı değerler belirsizdir. elirsiz değerler için kullanılmıştır. YALIN FONKSİYONLAR: n GİRİŞLİ İR SAYISAL DEVRENİN n ADET YALIN FONKSİYONU VARDIR. ÖRNEK: GİRİŞLİ İR SAYISAL DEVRENİN ADET YALIN LOJİK FONKSİYON VARDIR. Y f Y F F F F3 F4 F5 F F7 F F9 F F F F3 F4 F5 3
KANONİK VE STANDART İÇİMLER (çarpım, monom) (toplam, monal) MİNTERİMLER MATERİMLER Y Z TERİM SEMOL TERİM SEMOL Y Z m + y + z M = m Y Z m + y + z M = m Y Z m + y + z M = m Y Z m 3 + y + z M 3 = m 3 Y Z m 4 +y + z M 4 = m 4 Y Z m 5 +y + z M 5 = m 5 Y Z m +y + z M = m Y Z m 7 +y + z M 7 = m 7 İR OOLE FONKSİYONU VERİLEN İR DOĞRULUK TALOSUNDAN, FONKSİYONUN OLDUĞU MİNTERMLERİNE (çarpım, monom) VEYA (OR) İŞLEMİ UYGULANARAK İFADE EDİLİR (. tip kanonik açılım). F(,y,z)=. F(,y,z) +.F(,y,z) =.y. F(,,z) +.y. F(,,z) +.y. F(,,z) +.y. F(,,z) =.y.z.f(,,) +.y.z.f(,,) +.y.z.f(,,) +.y.z.f(,,) +.y.z.f(,,) +.y.z.f(,,) +.y.z.f(,,) +.y.z.f(,,) F= y z + y z + yz = m + m4 + m7 F= yz + y z + yz + yz = m3 + m5 + m + m7 Aynı fonksiyonların farklı ifadesi F = Sm (, 4, 7) F=Σ (, 4, 7) F = Sm (3, 5,, 7) F=Σ (3, 5,, 7) Y Z F fonksiyonu F fonksiyonu 4
F= y z + y z + yz = m + m4 + m7 F = m + m + m3 + m5 + m (F ) = (m + m + m3 + m5 + m) F = (m + m + m3 + m5 + m) = (m. m. m3. m5. m ) = (M. M. M3. M5. M) = (+y+z).(+y +z).(+y +z ).( +y+z ).( +y +z) F(,y,z) = π (,, 3, 5, ) İR OOLE FONKSİYONU MAKSİMUM TERİMLERİNE (toplam, monal) VE (AND) İŞLEMİ UYGULANARAK İFADE EDİLİR (. tip kanonik açılım). SORU: ( + Y) ( + Z) =? = +.Z + Y. + Y.Z = ( +.Z) + ( + Y.) + Y.Z =. ( + Z) +. ( + Y) + Y.Z = (. ) + (. ) + Y.Z = + + Y.Z = + Y.Z F= (Y Z +Y Z + YZ + YZ) + ( + ) YZ = Y Z +Y Z+YZ +YZ+ YZ = m4 + m5 + m + m7 + m3 = Sm(4, 5,, 7, 3) = π (,, ) SORU: ( + Y) ( + Y ) =? =. +.Y + Y. + Y.Y = +.Y + Y. + =. ( + Y )+ Y. =. + Y. = + Y. =. ( + Y) = SORU:.Y +.Z + Y.Z =? =.Y +.Z + Y.Z.(+ ) =.Y +.Z + Y.Z. +Y.Z. =.Y.( + Z) +.Z. ( + Y) =.Y +.Z F (,Y,Z)= Sm =? = π =? SORU: +.Y =? = +.Y +.Y = + Y.( + ) = + Y F (,Y)= Sm =? = π =? 5
SORU: F(,Y,Z)= Y Z + YZ + YZ + YZ + YZ F(,Y,Z)= Y Z + YZ + YZ + YZ + YZ (m) (m) (m3) (m) (m7) F(,Y,Z)= YZ ( + ) + YZ ( + ) + Z (Y + Y ) (m,m) (m3,m7) (m,m) F(,Y,Z)= YZ + YZ + Z = Y(Z + Z) + Z = Y + Z z y SORU: F(,Y,Z)= Y + Z FONKSİYONUNU GİRİŞLİ NAND KAPILARINI KULLANARAK GERÇEKLEYİNİZ F(,Y,Z)= ((Y + Z ) ) = (Y. ( Z ) ) Z Y SORU: F(,Y,Z)= Y + Z + Z FONKSİYONU İKİ GİRİŞLİ NAND KAPILARI KULLANARAK GERÇEKLEYİNİZ. F(,Y,Z) =.(Y+Z) + Z =.(Y.Z ) + Z = ((.(Y.Z ) + Z ) ) = ((.(Y.Z ) ). ( Z ) ) Y Z Z
SORU: F(,Y,Z)= Y + Z + Z FONKSİYONU İKİ GİRİŞLİ NOR KAPILARI KULLANARAK GERÇEKLEYİNİZ. F(,Y,Z) =.(Y+Z) + Z = ( +(Y+Z) ) + (+Z) Y Z Z SORU: F(A,,,D,E)= A + ( + ).( +.E ) FONKSİYONU İKİ GİRİŞLİ NAND KAPILARI KULLANARAK GERÇEKLEYİNİZ. Y (.Y) Y + Y A E VERİLEN FONKSİYONUN VE, VEYA KAPILARI İLE GERÇEKLENMESİ A D E VE DEĞİL GRAFİK SEMOLU İLE VE KAPILARI DEĞİL VEYA GRAFİK SEMOLU İLE VEYA KAPILARI VE DEĞİL KAPILARINA DÖNÜŞTÜRÜLÜR A D E FONKSİYON VE DEĞİL KAPILARI GRAFİK SEMOLU KULLANILARAK İFADE EDİLİR 7
SORU: F(A,,,D,E)= A + ( + ).( +.E ) FONKSİYONU İKİ GİRİŞLİ NOR KAPILARI KULLANARAK GERÇEKLEYİNİZ. Y (+ Y) Y.Y A E VERİLEN FONKSİYONUN VE, VEYA KAPILARI İLE GERÇEKLENMESİ VEYA DEĞİL GRAFİK SEMOLU İLE VEYA KAPILARI DEĞİL VE GRAFİK SEMOLU İLE VE KAPILARI VEYA DEĞİL KAPILARINA DÖNÜŞTÜRÜLÜR FONKSİYON VEYA DEĞİL KAPILARI GRAFİK SEMOLU KULLANILARAK İFADE EDİLİR LOJİK FONKSİYONLARIN MİNİMUMLAŞTIRILMASI (ASİTLEŞTİRİLMESİ) ir lojik fonksiyon bir çok şekilde ifade edilebilir. Yalınlaştırmada amaç bazı maliyet kriterlerine göre lojik fonksiyonun cebirsel ifadelerinden en uygun olanını seçmektir. Maliyet kriteri uygulamaya göre değişir. Örneğin ifadenin az sayıda çarpımlar (monom) içermesi, terimlerin az sayıda değişken içermesi, devrenin aynı tip lojik kapılardan oluşması gibi. ASAL ÇARPIM (TEMEL İÇEREN) Prime implicant : irinci kanonik açılımda yer alan bazı çarpımlar birleştirilerek daha az değişken içeren, birden fazla terime karşılık düşen yeni çarpımlar (terimler) elde edilebilir. u terimler (asal çarpan) minimum fonksiyon içerisinde yer almaya aday terimlerdir. ir fonksiyonun birinci kanonik açılımını oluşturan çarpımlar bu fonksiyon tarafından örtülürler (içerilirler).
LOJİK FONKSİYONLARIN MİNİMUMLAŞTIRILMASI (ASİTLEŞTİRİLMESİ) KARNAUGH DİYAGRAMI DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR A () 3 A () A ) A () F(A,)=A+A = F(A,)=A+A +A = + A F(A,)=A +A 3 DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR A A 7 A 5 A 4 A A 3 A A F(A,,)=A + F(A,,)= + A + A F(A,,) = A + + = (A ) 9
4 DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR A A 4 A A AD 3 AD 5 A D A D 9 A D 5 A D 7 A D 3 A D A 4 A A A D D F(A,,,D) = D + D D F(A,,,D) = + + D F(A,,,D) = + + D SORU: F (A,,,D)= Σ (,,, 5,, 9, ) FONKSİYONUNU a. Çarpımların toplamı b. Toplamların çarpımı şeklinde basitleştiriniz. c. Fonksiyonu girişli NAND kapıları ile gerçekleyiniz. d. İki girişli nor kapıları ile gerçekleyiniz. D D F(A,,,D) = + + A D F = D + A + = (+)(A + )( +D)
UYGUN ASAL ÇARPIMLARIN SEÇİLMESİ: SORU: F(A,,,D)= Σ (,4,,,9,,,3,5) VERİLEN FONKSİYONUN TÜM ASAL ÇARPIMLAR KÜMESİNİ ULUNUZ. ASAL ÇARPANLARIN MALİYET HESAINDA HER DEĞİŞKEN, DEĞİLLER OLARAK ALINAAKTIR. D ASAL ÇARPANLAR KÜMESİ maliyet sembol A. 5 A..D A.. 3.. 4 A.. 5 A.... 7 azı fonksiyonda bazı noktalar sadece bir asal çarpım tarafından örtülür. u noktalara başlıca noktalar denir. u noktaları örten asal çarpımlara da gerekli asal çarpım denir. D ASAL ÇARPANLAR KÜMESİ maliyet sembol A. 5 A..D A.. 3.. 4 A.. 5 A.... 7
Fonksiyonun doğru noktaları 4 9 3 5 maliyet A S A L 5 Ç A R P I M L A R 3 4 5 7 SEÇENEKLER TALOSUNUN İNDİRGENMESİ. aşlıca noktalar belirlenir. u tabloda 9 ve 5 başlıca noktalardır. u nedenle ve çarpımları işaretlenir. 4 9 3 5 maliyet 5 3 4 5 7
SEÇENEKLER TALOSUNUN İNDİRGENMESİ. Tabloda 3 ün numaralı terimini 4 örtmekte, 7 nin 4 numaralı terimini örtmektedir. u nedenle 4 3 ü örter,, 7 örter. Maliyetlerde işin içerisine katılarak 3 ve 7 satırları tablodan kaldırılır. 4 maliyet 3 4 maliyet 4 5 7 4 5 SEÇENEKLER TALOSUNUN İNDİRGENMESİ. Tabloda 4 ve numaralı terimler başlıca noktalardır. u nedenle ve 4 terimlerini almak gerekir. u iki asal çarpım seçildiğinde tüm noktalar örtülmüş olur. 4 5 4 maliyet D Sonuç= + + 4 + 3
ETKİSİZ (DON T ARE) DURUMLAR EĞER İR FONKSİYON TÜM TERİMLERİ GİRİŞ OLARAK KAUL EDİYOR ŞARTI İLE MİNİMUMLAŞTIRMA İŞLEMİ GERÇEKLEŞTİRİLMİŞTİR. PRATİKTE AZI GİRİŞ KOMİNASYONLARI FONKSİYONUN ELİRLİ OLMADIĞI DURUMLAR VARDIR (önemsiz durumlar). UNLAR MÜMKÜN OLMAYAN GİRİŞLERDİR (Ya ilgili devrede fiziksel olarak oluşmazlar yada tasarımcı tarafından yasaklanmışlardır). ETKİSİZ KOMİNASYONLARI d(a,,,d)= Σ (,, 5) Şeklinde olan f(a,,,d)=σ (, 3, 7,, 5) D D D F= D + A D F= D + A F= D + A D F (a, b, c, d) = Σ (,4,,9,3,5) + Σ (,, ) verilen fonksiyonu en düşük maliyetle tasarlayınız (maliyet hesabında her değişken birim, her tümleme işlemi birim olarak kabul edilecektir. ASAL ÇARPANLAR KÜMESİ maliyet sembol A. 5.. A.. 3 A..D 4 A.. 5.. A.. 7 D 4
Fonksiyonun doğru noktaları 4 9 3 5 maliyet A S A L Ç A R P I M L A R 3 4 5 7 5 Tablo oluşturulurken ne olursa olsun durumu LOJİK olarak seçilir ve bu noktaların örtülmesine gerek olmadığından seçenekler tablosunda yer almazlar SEÇENEKLER TALOSUNUN İNDİRGENMESİ. aşlıca noktalar belirlenir. u tabloda 9 ve 5 başlıca noktalardır. u nedenle ve 4 çarpımları işaretlenir. u durumda 7 satırı da örtülmüş olacaktır. 4 9 3 5 maliyet 5 3 4 5 7 5
SEÇENEKLER TALOSUNUN İNDİRGENMESİ. Tabloda ve 3 aynı terimleri örtmektedir ve maliyetleri eşittir. u nedenle bunların arasından herhangi birisi seçilebilir. Aynı şekilde 5 ve içinde durum aynıdır. 4 maliyet 3 5 F=.4. ( + 3). (5 + ) =.4. (. 5 +. + 3.5 + 3.) =.4.. 5 +. 4.. +.4. 3.5 +.4.3.) F= +4++5 = A + AD + + A F= +4++ = A + AD + + F= +4+3+5 = A + AD + A + A F= +4+3+ = A + AD + A + TÜM TASARIMLARIN MALİYETİ EŞİTTİR (7) F(,Y,Z)= YZ + Y Z + YZ + YZ ZAMANLAMA HATALARI Y Z Z Z Z.Z.Z +Y.Z Y Z Y Y.Z F(,Y,Z) = Z + YZ YZ= Z Z YZ Z Z +YZ
KARNAUGH DİYAGRAMLARI SEVYELİ TOPLAMLAR ŞEKLİNDE YAZILAN FONKSİYONLARDAKİ STATİK ZAMANLAMA HATALARINI TESİT ETMEDE KULLANILAİLİR. Y Z Z Z Y Y Z F(,Y,Z) = Z + YZ + Y D D F=ac + a b + bc d F=ac + a b + bc d + b c + abd + a c d 7
TEK VE ÇİFT FONKSİYONLAR TANIMLAR: TEK FONKSİYON: İÇERİSİNDE TEK SAYIDA OLAN n- ADET MINTERMDEN OLUŞAN FONKSİYON TEK FONKSİYON OLARAK İSİMLENDİRİLİR. F(A,)=A +A = A + F(A,,) = A + + = (A + A ) + (A + A ) = (A + A ) + (A + A ) = A + A + A + A TEK VE ÇİFT FONKSİYONLAR ÇİFT FONKSİYON: İÇERİSİNDE ÇİFT SAYIDA OLAN n- ADET MINTERMDEN OLUŞAN FONKSİYON ÇİFT FONKSİYON OLARAK İSİMLENDİRİLİR. F(A,)=(A +A ) = (A + ) F(A,,) = (A + + )
3 İTLİK VERİ İÇİN PARITY İTİ ÜRETEİ A P (tek) P (çift) F(A,,) = (A + + ) F(A,,) = (A + + ) QUINE-McLUSKY METODU METODUN TEMEL DÜŞÜNESİ ab + a b = a (b + b ) = a İLİŞKİSİNİN SİSTEMLİ İR ŞEKİLDE UYGULAMAKTIR. ÖRNEK: F(a,b,c) = a b c + a bc + a bc + ab c + abc + abc = Sm (,,,,, ). İçerisinde bulunan lerin sayısına göre guruplama işlemi İçerisinde hiç bulunmayan terimler İçerisinde adet bulunan terimler İçerisinde adet bulunan terimler İçerisinde 3 adet bulunan terimler () (4) () (3) () (7). ab + a b ilişkisinin uygulanması (,) (,4) (,3) (,) (4,) (3,7) (,7) 9
3. ab + a b ilişkisinin uygulanması (,,4,) (,4,,) (,3,,7) (,,3,7) 4. İki defa oluşan kombine edilen terimlerden birisi iptal edilir. (,,4,) (,3,,7) SONUÇ=b+c 5. Kombine edilemeyen terimler ile Sonucun oluşturulması. Kombine edilemeyen terimler arasında luzumsuz terimler bulunabilir. Örnek: f(a,b,c,d) = a b c d + a bc d + a bc d + ab c d + abc d + abcd + abcd = Sm (,,,,,, FONKSİYONU ASİTLEŞTİRİNİZ () (4) (5) (9) (3) (4) (5) (,5) (,9) (4,5) (5,3) (9,3) (3,5) (4,5) (,5,9,3) (,9,5,3) (4,5) (3,5) (4,5) SONUÇ=c d + a bc + abd + abc 7. Kombine edilemeyen terimler tablosu hazırlanır (4,5) a bc (3,5) abd (4,5) abc (,5,9,3) c d 4 5 9 3 4 5 SONUÇ=c d + a bc + abc MALİYET FAKTÖRÜ FONKSİYONUN ELDE EDİLİŞİNDE KULLANILAAK ELEMAN SAYISINI ELİRTİR. KAPILARA UYGULANAAK OLAN GİRİŞ SAYISIDIR. c d, a bc 3, abc 3, c d + a bc + abc OLDUĞUNDAN FONKSİYONUN MALİYET FAKTÖRÜ= + 3 + 3 + 3 =
ÖRNEK: F(a,b,c)=a b c + a bc + a bc + ab c + ab c + abc fonksiyonu basitleştiriniz Kombine edilemeyen terimler (,3) a c (,3) a b (4,5) ab (,5) b c (,5) bc (4,) ac A (,3) a c (,5) b c (,3) a b D (,) bc E (4,5) ab F (4,) ac 3 4 5 u tablodan yola çıkılarak maliyet faktörü en küçük olan minimumlaştırılmış ifadeyi bulmak için PETRIK METODU uygulanır. u metod da kombine edilemeyen terimlere isimler atanır (A,,, ). u değişkenlerin tablodaki durumları göz önüne alınarak bir P fonksiyonu tanımlanır A (,3) a c (,5) b c (,3) a b D (,) bc E (4,5) ab F (4,) ac 3 4 5 P= (A + ).( + D).(A + ).(E + F).( + E).(D + F) (A+) (A+) = A + A + A + = A + (E+F) (E+) = = E + F (D+) (D+F) = = D + F P= (A +)(E+F)(D+F) = (AE+AF+E+F)(D+F) = AED + AFD + ED + FD + AEF + AF + EF + F U FONKSİYONUN HER İR TERİMİ FONKSİYONUN MİNİMUMLAŞTIRILMASI İÇİN ALINMASI GEREKEN TERİMLERİ GÖSTERMEKTEDİR. MALİYET FAKTÖRÜ EN DÜŞÜK OLAN TERİMLER AED VE F DİR. F(a,b,c) = a c + ab + bc F(a,b,c) = b c + a b + ac
A (,3) a c (,5) b c 3 4 5 (,3) a b D (,) bc E (4,5) ab F (4,) ac F(a,b,c) = a c + ab + bc 3 4 5 A (,3) a c (,5) b c (,3) a b D (,) bc E (4,5) ab F (4,) ac F(a,b,c) = b c + a b + ac SORULARINIZ