SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II KUYRUK TEORİSİ - I DERS NOTLARI
KUYRUK TEORİSİ Her birimiz kuyruklarda bekleyerek vakit geçirmişizdir. Bu derste kuyruklarlarla ilgili matematisel model geliştireceğiz. Kuyrukları tarifte kullanılan terminolojiden bahsedeceğiz. Kuyrukları tarifte gereken bazı dağılımlara (Üstel ve Erlang gibi) değineceğiz. Doğum-ölüm proseslerinden bahsedeceğiz. Aşağıdaki soruları cevaplarken kullanılan bazı kuyruk modellerini göreceğiz. Kuyruk analizi yaparken aşağıdaki sorulara cevap arayabiliriz: 1. Her bir servisçi nin boş kalma yüzdesi nedir? 2. Kuyrukta bekleyen ortalama müşteri sayısı nedir? 3. Müşterinin kuyrukta ortalama geçirdiği süre nedir? 4. Kuyrukta aktif olarak var olan müşteri sayısının olasılık dağılımı nedir? 5. Müşterinin bekleme süresinin olasılık dağılımı nedir? 6. Eğer banka yöneticisi sadece %1 müşterinin 5 dakikadan fazla beklemesine razı olursa ne kadar servisçi çalıştırılmalıdır?
BAZI KUYRUK TERMİNOLOJİSİ Kuyruk sistemini tarif etmek için girdi ve çıktı süreçlerinin belirlenmesi gerekir. Bazı girdi ve çıktı prosesleri aşağıda tablo 1 de verilmiştir. DURUM GİRDİ PROSESİ ÇIKTI PROSESİ Banka Pizza Salonu Hastane Kan Bankası Bankaya Müşterilerin Gelmesi Alınan Pizza siparişleri Gelen ünite kan Servisçilerin müşterilere hizmeti Pizza salonu teslimat için servisçi gönderir Hastalar ünite kanları kullanır Bozulup tersaneye Donanma tersanesi gelen gemiler Tablo 1: Kuyruk Sitemi Örnekleri Gemiler onarılır ve denize döner
GİRDİ VEYA GELİŞ SÜRECİ Girdi Süreci genellikle geliş süreci olarak bilinir. Gelişler müşteri diye adlandırılır. Bütün modellerde verilen bir anda en fazla bir müşteri (tek olarak veya toplu olarak) gelebilmektedir. Eğer gelişte birden fazla müşteri varsa o zaman yine verilen anda yalnızca bir tane toplu müşteri gelir kabul etmekteyiz. Genellikle Müşterilerin Geliş Süreci sistemdeki müşteri sayısından etkilenmemektedir. Banka örneğinde sistemde 5 tane yada 500 tane müşteri olması geliş sürecini etkilemez. Bazı durumlarda müşteri geliş prosesi sistemdeki müşteri sayısından etkilenmektedir. Bazen müşteri popülasyonu küçüktür ve sistemdeki müşteri sayısı gelişi etkiler. Örneğin 4 gemiden oluşan bir donama varsa ve 4 gemi tamir ediliyorsa o zaman yeni bozulma olmaz. Yada 4 gemi denizde ve tersane de gemi yoksa o zaman bozulma oranı daha fazla olur. Eğer gelişler sınırlı bir popülasyondan oluşuyorsa bu modeller sınırlı kaynak modelleri olarak bilinir. Bazende müşteriler kalabalık sisteme daha az girmek isteyebilir böyle durumda da geliş süreci sistemdeki müşteri sayısından etkilenmektedir. Eğer geliş süreci sistemdeki mevcut müşteri sayısından etkilenmiyorsa, o zaman gelişler arası süreyi genellikle bir olasılık dağılımıyla ifade ederiz.
ÇIKTI VEYA SERVİS SÜRECİ (PROSESİ): Bir kuyruğun çıktı sürecini (çoğunlukla servis süreci olarak adlandırılır) tarif ederken bir olasılık dağılımı (Servis zamanı dağılımı) belirleriz. Bu dağılım müşteriye servis zamanını belirler. Pek çok durumda servis zamanı dağılımı mevcut müşteri adedinden bağımsızdır. Bu eğer fazla müşteri varsa servisçinin daha hızlı çalışmadığı anlamına gelir. Bu derste servisçilerin iki tip düzenini çalışacağız. Servisçiler paralel veya seri halde çalışabilirler. Servisçiler paralelse (Örneğin marketteki kasiyerler) aynı hizmeti vermektedirler ve müşteriler herhangi bir paralel servisçiden hizmet alabilir. Servisçiler seri çalışıyorsa o zaman gerekli hizmetler seri görülmesi gereken bir takım hizmetlerdir. Montaj hattı seri halinde servisçilerin olduğu kuyruk sistemidir.
KUYRUK DİSİPLİNİ Kuyruk sistemini tam anlamıyla tarif etmek için, kuyruk disiplinini ve müşterilerin kuyruğa dahil olma şeklini tarif etmemiz gerekmektedir. Kuyruk Disiplini müşterilerin servis görme sırasına karar vermede kullanılan metodu tarif eder. En yaygın kuyruk disiplini FCFS (İlk gelen ilk hizmet görür = First Come, First Served) disiplinidir. Diğer bir disiplin LCFS (Son gelen ilk hizmet görür = Last Come, First served) disiplinidir. Bankaya gelen müşteriler FCFS disiplinine göre hizmet verirken, yıkanmak için tezgahta yığılan tabaklar LCFS disiplinine göre hizmet görür. Diğer bir disiplin SIRO (Hizmet Rassal sırada görülür = Service in Random Order) disiplinidir. Diğer bir disiplin Önceliğe göre sıralama disiplinidir (Priority queuing disciplines). Öncelik disiplininde gelişler öncelik derecelerine göre sınıflara ayrılır ve her bir kategori FCFS disiplinini ayrıca kullanabilir. SPT (En kısa işlem zamanı= Shortest Processing time) Oldukça yaygın olarak kullanılan yöntemdir. Müşterilere başka yöntemlere görede öncelik verilir ve önceliği en yüksek olan müşteri ilk işlem görür. Hastanedeki hastalar acil olma durumuna göre sınıflara ayrılabilir ve en acil olanlar en yüksek önceliği alabilir. Kategori içerisinde FCFS disiplini kullanılabilir. Yazıcı ve bilgisayarın zamanpaylaştırma sistemi önceliğe göre sıralama yöntemi olabilir. Yada Atölye tipi üretimde işler makine önünde pek çok yöntemle hesaplanabilen yollardan biriyle öncelik değeri verilebilir ve önceliği en yüksek iş ilk işlem görür.
GELİŞLERDE KUYRUĞA DAHİL OLMADA KULLANILAN METODLAR Müşteriler kuyruğa geldiklerinde bazen sistemde tek bir kuyruk olabilir ve müşteriler bu kuyruğa dahil olmak zorundadır. Bazı sistemlerde birden fazla kuyruk olabilir ve müşteriler en kısa gördükleri kuyruğa girebilir ve hatta gerekli görürlerse kuyruk değiştirebilirler.
GELİŞ VE SERVİS SÜRECİNİ MODELLEME GELİŞ SÜRECİNİ MODELLEME Daha önce bahsettiğimiz gibi tek olarak (yada toplu olarak) verilen bir anda yalnızca bir müşteri (Toplu halde müşteriler = Kasalar halinde işlem görmeye gelen parçalar gibi) gelir. ti i inci müşterinin gelişi olsun t1=3 t2=8 t3=15 T1=8-3=5 T2=15-8=7 i>=1 için Ti =t(i+1) ti olsun. (Ti i inci gelişler arası süre olsun) Gelişler sürecini modellerken i Ti lerin bağımsız ve sürekli rassal değişken olduğunu kabul ederiz. Bağımsızdan maksat örneğin T2 nin, T3 ve T4 üzerine etkisi yoktur. Sürekli rassal değişkenden maksat Ti değerleri kesirli sayılar olabilir. Örneğin 1 inci gelişler arası süre 1,55 dakika olabilir.
Gelişler arası süre rassal değişkendi ve hepsi aynı rassal değişkendir. Bu gelişler arası dağılımın günün hangi zamanı veya haftann hangi günü olmasından bağımsızdır. Bu gelişlerarası süresin stasyoner (sabit) olması anlamına gelir. Gerçek hayatta stasyoner varsayımı bazen geçersiz olur. Örneğin trafikte iş saaatleri yoğunluk fazla olabilmektedir. Bu durumda zamanı parçalara bölüp her bir parçayı ayrı ayrı tanımlayıp yaklaşık olarak her bir parçanın stasyoner olduğunu varsayabiliriz. Gelişler arası süreyi A dağılımı ile ifade edersek : A nın olasılık yoğunluk fonksiyonu a(t) olsun. O zaman; P (A <= c) = 0 c a t dt ve P (A > c) = c a t dt olur 1/λ ortalama gelişler arası süre olsun. Eğer zaman saat olarak ölçülüyorsa o zaman 1/λ ortalama herbir gelişler arası sürenin saat miktarıdır. λ ise 1 saat içerisinde ortalama geliş miktarı olur. 1/λ = 0 ta t dt olur.
Eğer A üstel dağılımsa ki pek çok durumda gelişlerarası süreyi modellerken üstel dağılımı kullanırız. O zaman a(t)= λ e λt olur. E(A) = 1/ λ ve Var(A) = 1 λ 2 olur. Aşağıda üstel dağılımın grafiği verilmiştir. a(t)= λ e λt λ 6 5 Üstel Dağılım grafiği 4 3 2 1 0 λ e λt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 t
ÜSTEL DAĞILIMIN UNUTKANLIK (HAFIZASIZLIK) ÖZELLİĞİ Üstel dağılımın unutkanlık özelliği olduğundan dolayı çok sık kullanılan bir dağılımdır. 0 zamanında bir gelişler arası süre düşünelim. Bu sürenin h den büyük olma olasılığını düşünelim. Şimdi t kadar zaman geçtiğini ve geliş olmadığını düşünelim. İlk gelişin (t+h) den büyük olma olasılığını düşünelim. Yukarıdaki iki olasılıkta üstel dağılımın unutkanlık özelliğinden dolayı aynıdır. Bu durumu şu şekilde ifade edebiliriz. P(A > t + h / A >=t) = P (A > h) Bu durumun ispatı aşağıda verilmiştir.
LEMMA 1: P(A > t + h / A >=t) = P (A > h) (5) İSPAT: P (A >h) = h λ e λt dt = e λh (6) ise P(A > t + h / A >=t) = P(A > t + h A >=t) P (A >t) (6) yı kullanırsak P(A > t + h A >=t) = e λ(t+h) ve P (A >t)= e λt olur. Böylece P(A > t + h / A >=t) = e λ(t+h) e λt = e λh = P(A>h) ispat tamamlanmış olur. Örneğin P (A>9/A>=5) = P (A>7/A>=3) = P (A>6/A>=2) = P (A>4/A>=0) = P (A>4) = e 4λ
POISSON DAĞILIMI İLE ÜSTEL DAĞILIM ARASINDAKİ İLİŞKİ Eğer gelişlerarası süre üstel dağılıma uyuyorsa, t uzunluğundaki bir zaman diliminde gerçekleşen geliş sayısı poisson dağılıma uyar. TEOREM 1 : Eğer gelişler arası süre λ parametresiyle üstel dağılıma uyuyorsa, verilen bir zaman uzunluğunda (t kadar zamanda) geliş sayısı λt parametreli poisson dağılıma uyar. Kesikli rassal değişken N, aşağıdaki koşulu sağlıyorsa λ parametresiyle poisson dağılıma sahiptir. P(N=n) = λn e λ n! (n= 0, 1,2.) (7) Eğer N poisson dağılımı ise E(N) = Var N = λ olur. Eğer N t t uzunluğundaki bir sürede geliş sayısı ise Teorem 1 e göre P(N t =n) = (λt)n e λt n! (n= 0, 1,2.) olur. N t (λt) parametresi ile poisson dağılımına uyduğu için E(N t ) = Var N t = λt
Ortalama olarak t kadar zamanda λt geliş olduğundan dolayı birim zamanda λ kadar geliş olmaktadır. Böylece λ birim zamanda olan geliş adedi olarak yada geliş hızı olarak düşünülebilir. Gelişler arası sürenin üstel (eksponensiyel) dağılması için aşağıdaki iki varsayımın sağlanması gerekir 1) Kesişmeyen zaman dilimlerindeki gelişler bağımsızdır. Örneğin 1 ile 10 zamanındaki gelişlerle 30 ile 50 arası zamanındaki gelişler bağımsızdır. 2) Küçük bir zaman dilimi Δt (ve herhangi bir t değeri için) süresince a) 1 geliş olma ihtimali: λ Δt + o(δt) olur b) Geliş olmama ihtimali : 1- (λ Δt + o(δt) ) olur c) Birden fazla geliş olma ihtimali : o(δt) olur o(δt) aşağıdaki eşitliği sağlayan herhangi bir miktardır. lim o(δt)/δt = 0 dır. Yani pratik olarak 1 geliş olma ihtimali λ Δt, hiç geliş Δt 0 olmama ihtimali 1- λ Δt ve 1 den fazla geliş ihtimali 0 olur.
TEOREM 2: Eğer varsayım 1 ve 2 sağlanırsa o zaman N t, λt parametresiyle poisson dağılımına uyar ve gelişler arası süre λ parametresiyle üstel dağılıma uyar. a(t)= λ e λt ÖRNEK 1: Kahve Dünyasında bir saatte sipariş verilen kahve, ortalaması saatte 30 kahve olan poisson dağılımına uymaktadır. a) Saat 10:00 ile 12:00 arasında 60 tane kahve siparişi verilmesinin olasılığı nedir? b) Saat 10:00 ile 14:00 arasında sipariş verilen kahvelerin ortalaması ve standart sapması nedir? c) İki sipariş arasındaki sürenin 1 ile 3 dak. Arasında olması ihtimali nedir?
ÇÖZÜM 1: a) 10:00 ile 12:00 arasında sipariş verilen kahve miktarı λt =2*30 = 60, parametre= λt=60 ile poisson dağılıma uyar. Bu süre zarfında 60 kahve siparişi verilmesinin olasılığı P(N t =n) = (λt)n e λt P(N n! t =60) = (60)60 e 60 olur 60! b) λ =30 Kahve/saat t=4 saattir. Eğer N poisson dağılımı ise E(N) = Var N = λ olur. Eğer süre 1 birim süre (saat) den farklı ise; Sorumuzda süre 4 saattir o zaman Eğer N t poisson dağılımı ise E(N t ) = Var N t = λt olur. 10:00 ile 14:00 arası sipariş verilen kahve ortalaması E(N t ) = λt =4*30 = 120 10:00 ile 14:00 arası sipariş verilen kahvenin standart sapması Var N t = λt = 4*30 = 120 Standart Sapma = (Var N t ) 1/2 = (120) 1/2 =10.95
ÇÖZÜM 1: c) X ardışık iki sipariş arasındaki zamanı (dakika) ifade etsin. Dakika başına ortalama sipariş 30/60=0,5 kahve/dak parametresi ile poisson dağılımına uyar. İki geliş (sipariş) arasındaki süre ise X(t)= 0,5 e 0,5t üstel dağılımına uyar. P(1<= X <= 3) = 1 3 0,5 e 0,5t dt = e 0,5 - e 1,5 = 0.38
ERLANG DAĞILIMI : Gelişlerarası süre üstel gibi gözükmüyorsa sıklıkla Erlang dağılımıyla modellenebilir. Erlang dağılımı iki parametreden oluşan sürekli bir dağılımdır. Erlang dağılımını T ile ifade edersek, olasılık yoğunluk fonksiyonu f(t) oran(hız) parametresi R ve şekil parametresi k (k pozitif bir tamsayı olmalıdır) ile tarif edilir. R ve k değerleri verildiğinde Erlang olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olur f(t)= R(Rt)k 1 e Rt (t>=0) Bu fonksiyonun parçalı integralini alarak Erlang k 1! dağılımının beklenen değer ve varyansını aşağıdaki gibi bulabiliriz. E(T) = k R Var(T) = k R 2 Eğer şekil parametresini k ve oran parametresini kλ olarak düşünürsek Erlang dağılımının bağımsız ve aynı k tane üstel dağılımın toplamı olduğunu görürüz Eğer A i kλ parametresi ile tarif edilen bir üstel dağılımsa o zaman T = A 1 + A 2 + + A k erlang dağılımdır (A 1, A 2,,A k dağılımları tıpatıp aynı üstel dağılımlardır ve her birinin parametresi kλ dır)
Burada Erlang dağılımın seri olarak k fazdan oluşan bir durum olarak düşünebiliriz. Örneğin müşteri gelişi k fazdan oluşan bir geliş veya müşteriye hizmet k fazdan oluşan bir hizmet olarak düşünülebilir. Her bir faz unutkanlık özelliği olan bir üstel dağılımdır ve her bir faz tıpatıp aynı üstel dağılım olup parametreleri kλ dir. Aşağıda k fazlı bir servis gösterilmiştir. K fazlı geliş içinde benzer şekil düşünülebilir. Şekil 5: Erlang Servis zamanının Gösterimi (k fazlı) Not: k fazlı gelişte benzer şekilde gösterilebilir
Şekil 3: Erlang Dağılımları için olasılık yoğunluk fonksiyonları AÇIKLAMA: k=1 olduğunda(tek faz olduğunda) Erlang dağılımı üstel dağılım aynı olur. k=1 olduğunda Erlang dağılımı paremetresi R olan bir üstel dağılımdır. k arttıkça erlang dağılımı simetrik bir yapıya dönüşmeye başlar normal dağılımı andıran bir şekle dönüşmeye başlar. Çok büyük k değeri için varyansı 0 olan bir yapıya erişir (Gelişlerarası süre sabit olan bir durum gibi). Şekilde görüldüğü gibi Erlang dağılımı küçük k lar için çarpık ve büyük k lar için simetrik bir yapıya dönüşür.
SERVİS SÜRECİNİ MODELLEME Her bir müşterinin servis zamanlarının bağımsız rassal değişkenler olduğunu kabul edelim ve her bir müşterinin servisi süresini olasılık yoğunluk fonksiyonunun s(t) olan S rassal değişkeniyle belirlendiğini kabul edelim. Eğer 1/μ bir müşteri için ortalama servis zamanıysa o zaman; 1/μ = 0 ts t dt olur. 1/μ müşteri başına zaman birimi (saat) sayısı; μ ise birim zaman (saat) başına müşteri sayısını ifade eder. Gelişlerarası sürede olduğu gibi servis süreleri de üstel dağılımla modellenebilir. Eğer servis süreleri üstel dağılım fonksiyonu s(t)= μ e μt izlerse o zaman müşterilerin ortalama servis süresi 1/ μ olur. Şekil 4: Üstel Dağılım (Servis süreleri)
Şekil 5: Erlang Servis zamanının Gösterimi (k fazlı) Not: k fazlı gelişte benzer şekilde gösterilebilir Bazen servis süreleri unutkanlık (hafızasızlık) özelliği taşımaz. Bu nedenle sıklıkla Servis sürelerini Erlang dağılımıyla ifade ederiz. Yukarıda k fazlı servisi gösteren Erlang dağılımı verilmiştir. Pek çok durumda gelişlerarası süre ve servis süreleri varyansı 0 olacak şekilde modellenebilir. Bu durumda süreler deterministiktir. Gelişlerarası süre 1/λ ve servis süresi 1/μ olur
KUYRUK SİSTEMLERİNDE KENDALL-LEE NOTASYONU Şekil 6: Tek-kuyruk ve paralel servisçilerin olduğu sistem Kuyruk sistemini Kendall (1951) aşağıdaki notasyonla tarif etmiştir. Her bir kuyruk sistemi altı özellikle tarif edilir. 1/2/3/4/5/6 1/ Birinci özellik geliş sürecini ifade eder. Aşağıdaki standart kısaltmalar kullanılmaktadır. M = Gelişlerarası süre bağımsız, benzer dağılan (bbd = iid independent identically distributed) rassal değişken olup üstel dağılmaktadır. D = Gelişlerarası süre bbd olup deterministiktir E k = Gelişlerarası süre bbd Erlang dağılımı olup şekil parametresi k dır. GI = Gelişlerarası süre bbd olup bazı genel dağılıma uymaktadır.
Kuyruk sistemini Kendall (1951) aşağıdaki notasyonla tarif etmiştir. Her bir kuyruk sistemi altı özellikle tarif edilir. 1/2/3/4/5/6 /2/ İkinci özellik servis sürecini ifade eder. Aşağıdaki standart kısaltmalar kullanılmaktadır. M = Servis süresi bağımsız, benzer dağılan (bbd = iid independent identically distributed) rassal değişken olup üstel dağılmaktadır. D = Servis süresi bbd olup deterministiktir E k = Servis süresi bbd Erlang dağılımı olup şekil parametresi k dır. G = Servis süresi bbd olup bazı genel dağılıma uymaktadır.
Kuyruk sistemini Kendall (1951) aşağıdaki notasyonla tarif etmiştir. Her bir kuyruk sistemi altı özellikle tarif edilir. 1/2/3/4/5/6 /3/ Üçüncü özellik paralel servisçi sayısını göstermektedir. /4/ Dördüncü özellik kuyruk disiplinini tarif etmektedir. FCFS = İlk gelen ilk hizmet görür (First Come, First Served) LCFS = Son gelen ilk hizmet görür (Last Come, First Served) SIRO = Servis rassal sıraya göre yapılır (Service in Random Order) GD = Genel kuyruk disiplini (General Queue Discipline) /5/ İzin verilen maksimum müşteri sayısı ( Hem kuyrukta hem de hizmet gören) /6/ Müşterilerin geldiği popülasyonun büyüklüğü Pek çok modellerde 4/5/6 GD/ / olduğundan böyle durumlarda açıkça gösterilmeyebilirler.
BAZI KUYRUK SİSTEMİ MODELLERİ M/E 2 /8/FCFS/10/ bu model bir kliniği ifade ediyor olabilir. 1/ Gelişler arası süre üstel dağılmaktadır /2/ Servis süreci iki fazlı erlang dağılımına uymaktadır /3/ 8 tane doktoru temsil etmektedir /4/ Kuyruk disiplini FCFS dir /5/ Sistemin kapasitesi 10 hastadır /6/ Müşterilerin geldiği popülasyonun büyüklüğü sonsuz kabul edilir. M/M/3/FCFS/10/100 1/ Gelişler arası süre üstel dağılmaktadır /2/ servis süresi üstel dağılmaktadır /3/ 3 tane servisçiyi temsil etmektedir /4/ Kuyruk disiplini FCFS dir /5/ Sistemin kapasitesi 10 müşteridir /6/ Müşterilerin geldiği popülasyonun büyüklüğü 100 dür.