Bölüm : Bir Boyua Hareke Kavrama Soruları 1- Harekeli bir cimin yer değişirmei ile aldığı yol aynımıdır? - Hız ile üra araındaki fark nedir? 3- Oralama ve ani hız araındaki fark nedir? 4- Ne zaman oralama hız (ivme) ani hıza (ivmeye) eşi olur? 5- Hızı m/ olan bir ineğin mi, yoka hızı 5 m/ olan bir kamyonunmu ivmei daha büyükür? Konu İçeriği Sunuş -1 Yer değişirme, Hız ve Süra - Ani Hız ve Süra -3 İvme Oralama İvme Ani İvme -4 Bir Boyua Sabi İvmeli Hareke -5 Serbe Düşme Sunuş Hareke, bir cimin konumundaki ürekli değişimi emil eder. Mekanike bir cimin harekeini incelerken yapmak iediğimiz şey harekeli cimin konumunu zamanın fonkiyonu olarak bulmakır. Bir doğru boyunca hareke eden cimin konumunu belirlemek için bir, düzlemde hareke eden bir ciim için iki ve uzayda hareke eden bir ciim için ie üç ane uzunluk boyuuna ihiyaç duyarız. Boyu Sayıı Uzunluk Boyuu Koordinalar Örnek Bir Boyu [L] x Trenin harekei İki Boyu [L]x[L] x,y Arazi üzerindeki hareke Üç Boyu [L]x[L]x[L] x,y,z Uçağın harekei Bir Boyua Hareke başlığını kullanmamızın ebebi, bu bölümde harekein adece bir doğru boyunca yani bir boyua olduğunu varayacağız. Dolayıı ile harekeli cimi anımlamak için adece bir ane uzunluk boyuuna ihiyacımız olacakır. Harekei bir boyua anımladıkan onra bu anımlamalarımızı ileriki bölümlerde inceleyeceğimiz iki ve üç boyuaki harekee kolaylıkla uyarlayabiliriz. Kinemaike öelenme harekeini incelerken, hareke eden cimin büyüklüğüne bakılmakızın cimi bir parçacık olarak ele alacağız. Genel olarak parçacık ile çok küçük, nokaal bir küleyi anlayacağız. İnceleyeceğimiz ciimlerin nokaal olduğunu varayacağız. Bu bölümde harekeli cimin bir doğru boyunca hareke eiğini varayıp ıraı ile yer değişirme, hız ve ivme kavramlarını anımlayacağız. Daha onra abi ivmeli harekei ayrınılı olarak inceleyeceğiz. Son bölümde ie abi ivmeli harekein bir uygulamaı olan erbe düşme problemini inceleyeceğiz. Bölüm : Bir Boyua Hareke, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 1/11 Güncel: 7 Ekim 3
-1 Yer değişirme, Hız ve Süra Bir parçacığın harekei, uzaydaki konumu her an biliniyora amamen bellidir. Konumun zamana göre naıl değişiğini biliyorak buradan cimin hızını, bu hız değerinin de yine zaman içinde naıl değişiğinden cimin ivmeini bulabiliriz. Bu ebepen dolayı harekeli ciimleri incelerken ilk yapacağımız şey cimin konumunu, uygun koordina iemi kullanarak belirlemekir. Hareke, doğru boyunca oluyora, yani bir boyua gerçekleşiyor ie, vekörel göerimi kullanmadan harekei am olarak anımlayabiliriz. Doğru üzerinde bir referan nokaı eçerek, harekeli cimin konumunu bu referan nokaına göre anımlayabiliriz. Ciim x ekeni yönünde hareke ediyora yer değişirmei negaif, +x ekeni yönünde hareke ediyora poziif olacakır. Dolayıı ile harekeli cimin doğrulu ve yönüne ilişkin iediğimiz büün bilgileri edinebiliriz. - x + x Yer değişirme, hareke eden bir cimin ilk (x i ) ve on (x ) konumu araındaki fark olarak anımlanır. Yani x=x -x i i x=x -x i Yerdeğişirme: x=x -x i x i x Eğer x i =x ie yerdeğişirme x= olur.. Parçacığın aldığı yol ile parçacığın yer değişirmei aynı şeyler değildir ve birbirine karışırılmamalıdır. Örneğin bir ciim A nokaından harekee başlaın ve B nokaına ulaşıkan onra geri dönüp ekrar A nokaına geri dönün. Burada cimin aldığı yol AB dir ama yer değişirmei ıfırdır. - Ani Hız ve Süra Fizike yönü ve büyüklüğü olan ciimleri vekörlerle, adece büyüklüğü olan nicelikleri ie kaler ayılarla göeririz. Örneğin küle kaler bir nicelikir ve adece büyüklüğünün verilmei yeerlidir. Bunun yanında harekeli bir cimin hızından bahederken hızın adece büyüklüğünü vermek yeerli değildir, çünkü büyüklüğü kadar hızın yönü de önemlidir. Hızın büyüklüğüne Süra denir ve kaler bir nicelikir. Bunun yanında Hız vekörel bir nicelikir büyüklüğünün yanında yönününde belirilmei gerekmekedir. Bölüm : Bir Boyua Hareke, Hazırlayan: Dr. H.Sarı /11 Güncel: 7 Ekim 3
a) Oralama Hız Oralama Hızı, bir ciim zaman aralığında x kadarlık bir yer değişiriyor ie oralama hızı x in ye oranı olarak anımlanır. Diyelim ki harekeli bir ciim = - i zaman diliminde x i konumundan (A) x konumuna (B) yerdeğişirin. i x i x=x -x i x x i : ilk konum x : on konum i : ilk ölçülen zaman : on ölçülen zaman x=x -x i iki konum farkı = - i iki konum araında geçen zaman yer değişirme, x x B x i A zaman, i = - i Bu cimin oralama hızı Oralama hız = v x x x i = = şeklinde anımlanır.. i Oralama hızı grafikel olarak aşağıdaki şekilde göerebiliriz. Bu grafiken görüldüğü gibi oralama hız heabı yapılırken cimin D zaman aralığındaki x ve xi konumları dikkae alınır ve cimin bu zaman aralığı içindeki konumlarının deayı göz ardı edilir. x yer değişirme, x B x i A = - i x=x -x i zaman, i [ uzunluk ] Hız, [ zaman] birimlendirilir. boyuundadır ve SI birim ieminde mere/aniye veya kıaca m/ olarak Bölüm : Bir Boyua Hareke, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 3/11 Güncel: 7 Ekim 3
Örnek.1 Çözüm: Oralama Hız Heabı: x ekeni boyunca hareke eden bir parçacığın konumu i = 1 de x i =1 m ve =3 de x = 4 m dir. Bu zaman aralığında parçacığın yer değişirmeini ve oralama hızını bulunuz. x = x xi = 4m 1m = 8m x x xi 4m 1m 8m v = = = = = 4m / 3 1 i Önemli No! Dikka edilecek olura oralama hız, harekeli parçacığın i ve zaman aralığındaki hızının ayrınılarını vermemeke, adece oralama değerini vermekedir. Bu zaman aralığı içerinde ciim kıa bir üreliğine durmuş da olabilir, ama oralama hız bu bilgiyi bize vermez! Oralama hız anımının bu ekikliğinden dolayı ani hız anımı yapılır. Ani hızda harekeli parçacığın oralama hız değerinden ziyade herhangi bir anındaki hızı bulunabilir. b) Ani Hız Bir parçacığın hızını, adece ınırlı bir zaman aralığından ziyade, herhangi bir anında anımlamak iediğimizde ani hız anımını kullanırız. Bunun için maemaike kullanılan diferaniyel heap kavramını (örneğin ürev, inegral gibi) kullanmamız gerekecekir. Ani hız, yukarıdaki hız ifadeinde zaman,, ıfıra yaklaşırken x/ oranının limi değeri ile ifade edilir. yer değişirme, x x v lim Herhangi bir anında cimin hızını veren ifade x P B = - i x i A zaman, i Maemaik göerimde bu limie x in ye göre ürevi denir ve dx/d olarak yazılır. Ani hızı heaplayabilmek için yer değişirmeyi (x) zamanın fonkiyonu x() olarak bilmemiz gerekmekedir. Türev ile ilgili birkaç haırlama: Eğer elimizde y()=a n +C şeklinde çok genel bir fonkiyon var ie (Burada A ve C birer abi, n ie amayı) bu fonkiyonun (y) değişkene () göre ürevi Bölüm : Bir Boyua Hareke, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 4/11 Güncel: 7 Ekim 3
dy d = na n 1 şeklinde anımlanır. Örneğin y()=6 3-5 gibi bir fonkiyonumuz vara bu fonkiyonun zamana göre ürevi dy d = 3 1 3.6 18 = bulunur. Örnek olmaı açıından eğer yukardaki y() fonkiyonu harekeli bir cimin konumunu (mere cininden) zamanın (aniye) fonkiyonu olarak ifade ediyor ie ve biz cimin = aniyedeki hızının ne olduğunu bulmak iiyorak yapacağımız şey konum fonkiyonunun zamana göre ürevini almak ve ienilen zamanını fonkiyonda yerine koyup o andaki ani hızı bulmak olacakır. dy 3 1 Hız ifadei v ( ) = = 3.6 = 18 m /. Bu, cimin hızını zamanın d fonkiyonu olarak vermekedir. Herhangi bir andaki hızı bulmak ierek v() ifadeinde yerine hızı bulmak iediğimiz anı yerleşirip cimin ani hızını bulabiliriz. Cimin = aniyedeki ani hızı (m/ birimiyle) dy v() = = = 18() m / = 7m / bulunur.. d No: Eğer cimin hızı abi ie oralama hız ile ani hız değerleri birbirine eşi olur. Bundan böyle hız erimini, ani hız anlamında kullanacağız. 3-3 İvme Bir parçacığın hızı zamanla değişiğinde, parçacığın ivmelenmeke olduğu öylenir. Harekeli cimin hızının büyüklüğünün ivme ile ilgii yokur, önemli olan hızdaki değişim mikarıdır. v 1 v v 3 v 4 v 5 = v 1 > v > v 3 > v 4 > v 5 Yukardaki cimin hızı zaman icerinde değişiğinden ivmelenmeke olduğu öylenir. Bölüm : Bir Boyua Hareke, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 5/11 Güncel: 7 Ekim 3
a) Oralama İvme: Bir cimin oralama ivmei, = - i zaman aralığındaki zaman aralığında cimin hızındaki değişime, v=v -v i, oranı olarak anımlanır. v v vi Oralama ivme= a = = v= 5 m/ v= 5 m/ v= 5 m/ v= m/ v=1 m/ i a= a v hız, v B v i A = - i v=v -v i zaman, İvme, [ ] [ hıı ] [ zaman] [ uzunluk] [ zaman] [ zaman] ivme = = = boyuunda olup SI birim iemindeki boyuu mere/(aniye) veya m/ dir. i [ uzunluk] [ zaman] b) Ani İvme: Ani ivme de, ani hızda olduğu gibi, zaman aralığının ıfıra yaklaşığı durumdaki oralama ivme olarak anımlanır. v dv a lim = d Hız ile zaman araındaki ilişkiye bir örnek verelim. Aşağıdaki grafiğin harekeli bir cimin hız-zaman eğriini verdiğini düşünelim. Hızdaki değişimleri dikkae alarak cimin ivmezaman grafiğini aşağıdaki şekilde elde edebiliriz. v a 3 1 Bölüm : Bir Boyua Hareke, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 6/11 Güncel: 7 Ekim 3
İvmenin ıfır olduğu ve ıfırdan farklı olduğu durumları özelerek: a= ie a=abi ie a=(v -v i )/= dan v =v i a=(v -v i )/ ifadeinden v =v i +a, hızdaki arış a kadar veya birim zamanda a kadardır No: Eğer cimin ivmei abi ie oralama ivme ile ani ivme değerleri birbirine eşi olur. Bundan onra ivme erimini, ani ivme anlamında kullanacağız. -4 Bir Boyua Sabi İvmeli Hareke Bir boyulu harekein bai bir ipi, ivmenin abi olduğu durumdur. İvme abi olduğundan oralama ivme ani ivmeye eşiir. Bu ür harekee hız harekein başından onuna kadar aynı oranda arar (veya azalır). Sabi ivmeli hareke İvmeiz hareke v x v x a x v xi v x v xi v xi v x Bir boyua abi ivmeli hareke yapan bir cimin harekeinine ilişkin a, v,, x niceliklerini veren ifadeleri üreirek: v vi a = i v i =v o =ilk hız i = alırak (zamanın başlanğıcını iediğimiz gibi eçme özgürlüğüne ahibiz, bu heaplamaları değişirmez!) Dolayıı ile ivme bu hali ile İvme ifadei bu hali ile düzenlenire v vi a = şeklinde ade bir biçimde ifade edilebilir. v = v + a...1 Oralama hız anımın İlk ve on hızlar biliniyor ie oralama hız x xi v = v + v v = şeklinde de ifade edebiliriz. x -x i i çekip yukardaki oralama hız ifadeini kullanırak, Bölüm : Bir Boyua Hareke, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 7/11 Güncel: 7 Ekim 3
1 x xi = ( v + v)... 1. eşiliği. eşilike yerine koyarak 1 x xi = ( v + v + a)...3 Zaman içermeyen eşilik elde emek için 1. denklemden zamanı bulup v vi = a. denklemde yerine koyarak x x 1 v v v v = ( v + v)( ) = a a v = v + a( x x )...4 i 1-4 denklemleri, abi ivmeli, bir boyulu harekele ilgili herhangi bir problemi çözmek için kullanılabilen kinemaik ifadelerdir. Örnek. Uçak gemiine iniş: Bir je, uçak gemiine 14 mil/aa (63 m/) hızla iniyor ve aniye içinde duruyor. a) uçağın ivmei nedir? b) Bu üre içinde uçağın yer değişirmei nedir? Çözüm: a) b) v vi a = 63m / = = 31,5m / 1 1 x x = ( v + v ) = (63m / + ). = 63m Sabi ivmeli harekee hız değerinde ürekli bir arış öz konuudur. Bu arış mikarı da birim zamanda ivmenin büyüklüğü kadardır -5 Serbe Düşme Bir boyua gerçekleşen abi ivmeli harekee en güzel örnek erbe düşmedir. Yeryüzü üzerinde büün ciimler erbe bırakıldıkları zaman hemen hemen abi bir ivme ile yere doğru düşerler. Bölüm : Bir Boyua Hareke, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 8/11 Güncel: 7 Ekim 3
Yerin küle çekiminden kaynaklanan bu ivmeye yerçekimi ivmei denir ve g embolü ile göerilir. Yerin yüzeyinde g nin büyüklüğü yaklaşık olarak 9,8 m/ dir ve her zaman aşağıya, yerin merkezine doğrudur. g=9,8 m/ g nin değeri yükekliğin armaı ile azalır. Ayrıca g enlem ile de hafif değişmeler göerir. Ama bu derin kapamında bu farklılıkları dikkae almayacağız. Örnek.3 Durgun halden erbe düşmeye bırakılan bir cimin 1 aniye onraki hızı a) Dünyada b) Ayda nedir? (Aydaki küle çekim ivmei yerin 1/6 ı kadardır) Çözüm: h Dünya a=-g Ay a=-g/6 v vi v m / a) ad = g = 9,8m / = v 1 = 9,8m / bulunur.. g v vi v m / b) aa = = 1,6m / = v 6 1 = 1,6m / bulunur.. Ciimler erbe düşme halinde iken, yerçekiminden ileri ivmeye eşi, aşağı doğru bir ivmeye ahip olacaklardır. Aynı şekilde yukarı veya aşağı doğru fırlaılan bir ciim, durgun halden erbe düşmeye bırakılan bir ciim ile aynı ivmenin ekii alında kalır. Serbe düşen ciimleri incelediğimizde yapacağımız kabuller: Hava direnci ihmal edilir Yerçekimi ivmeinin yükeklikle değişmediği Ayrıca düşey doğruluyu y ekeni olarak alacağız ve yukarı yöne poziif y ekeni diyeceğiz. Poziif y ekeni yukarı doğru olduğundan, yerçekimi ivmeinin işarei negaifir (yani aşağı doğru). Koordinaları bu şekliyle eçiğimizde ek boyua abi ivmeli hareke için üreiğimiz kinemaik denklemleri aşağıdaki şekilde yazabiliriz. x=y, x =y, x i =y a= -g v=v -g Bölüm : Bir Boyua Hareke, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 9/11 Güncel: 7 Ekim 3
1 y y = ( v + v) 1 y y = v g v = v g( y y ) Yukarı doğru bir v hızı ile, düşey olarak fırlaılan bir parçacığın harekeini inceleyelim. v= m/ y v v h y=y max =h 1 v y = 1 -v Makimum yükekliğe çıkma zamanı Tepede hız ıfır (v=) olacağından v v g = 1 v g = Buradan 1 = v 1 g bulunur.. Çıkış ve iniş üreleri eşi olacağından oplam uçuş ürei ( ), = 1 ye eşi olacakır. Dolayıı ile v = g bulunur... Makimum yükeklik, v = v g( y y ) ifadeinden y = ve epede v= olacağından v v = v gymax ymax = bulunur... g Örnek.4 Bir aş bir binanın epeinden düşey ve yukarı yönde m/ lik ilk hızla fırlaılmışır. Bina 5 m yükekliğindedir. a) Taşın makimum yükekliğe ulaşmaı için geçen zamanı, b) Makimum yükekliği, c) Taşın aıldığı eviyeye geri gelmei için geçen zamanı, d) Taşın bu andaki hızını, e) =5 aniyede aşın hızını ve konumunu bulunuz. Bölüm : Bir Boyua Hareke, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 1/11 Güncel: 7 Ekim 3
Çözüm: a) v=v -g= => ( m/)-(9,8 m/ ). 1 = Buradan 1 =,4 aniye bulunur. b) y=v -1/)g => y max =(m/).(,4)-(1/)(9,8 m/ ).(,4) => y max =,4 m. c) = 1 =.(,4)=4,8 d) v=v -g => v=(m/)-(9,8m/ ).(4,8) => v=-m/ e) v=v -g => v=(m/)-(9,8m/ ).(5) => v=-9m/ y=v -(1/)g => y=(m/).(5)-(.,5).(9,8m/ ).(4) => y=-,5m Bölüm : Bir Boyua Hareke, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 11/11 Güncel: 7 Ekim 3