FE VE MÜHEDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR. KİTAP REEL DEĞİŞKELİ FOKSİYOLAR F
İÇİDEKİLER I. SAYI SİSTEMLERİ II. FOKSİYOLAR III. EBİRSEL ÖZELLİKLER A) Kuvvet Fnksiynu B) Trignmetrik Fnksiynlr ) Ters Trignmetrik Fnksiynlr D) Üstel Fnksiyn E) Lgritm Fnksiynu F) Hiperblik Fnksiynlr G) Ters Hiperblik Fnksiynlr IV. SAYISAL ÖZELLİKLER A) Genel B) Trignmetrik Fnksiynlr ) Lgritm
3 V. DİFERASİYEL ÖZELLİKLER A) Genel Özellikler B) Kuvvet Fnksiynu ) Trignmetrik Fnksiynlr D) Lgritm Fnksiynu E) Kplı Türev F) Kısmi Türev G) Belirsiz İntegrl H) Belirli İntegrl I) Tekrr Belirsiz İntegrl J) Dirc Delt Fnksiynu K) Seri Açılımlrı EKLER VE OTLAR
4 I. SAYI SİSTEMLERİ Symk, ölçmek ve biçimleri incelemek lrk tnımlnn mtemtik, plelitik çğlrdn itibren insn hytın girmiştir. İnsnlığın yücelişinin hem sebebi, hem de snucu ln bu uğrş sdece bilimin değil kültürün de vzgeçilmez bir prçsıdır. Sym işlemi önceleri dğl lrk pzitif tmsyılrl bşlmış, snr ihtiyc göre dh kpsmlı syı sistemlerine geçilmiştir. Burd ihtiyç ile kstedilen, mtemtik diliyle Kplılık, yni bir ritmetik işlem snucunun işlemin girdileri ile ynı türde lmsı gereğidir. Pzitif tmsyılr sdece tplm ve dlyısıyl çrpım işlemlerinde kplıdırlr. Yni iki pzitif tmsyının ve ile birleştirilmesinin snucu d bir pzitif tmsyı lur. Anck işleminin tersi işlemi ltınd kplı klbilmek için sıfır ve negtif tmsyılrın d sisteme lınmsı gerekir. işleminin tersi işlemi ltınd kplılık ise 0 biçiminde rsynel syılrı gerektirir. Özel bir çrpım ln kre lmnın ters işlemi devreye girince rsynel syılr d yetersiz klcktır. M M lduğu klyc gösterilebilir. Bunun üstüne negtif syılrın krekökü için gerekli ln snl syılrı d sisteme dhil edince, ritmetiğin beş temel : b b, b b b c b c, b c b c b c b c kurlın uyck en genel sisteme, kmpleks syılr, erişmiş luruz. () Pzitif tmsyılrın küme 'si Bütün tmsyılrın küme 'si Rsynel syılrın küme 'si Reel syılrın küme 'si Kmpleks syılrın küme 'si Z Q R
5 ile gösterilir ve R Q Z lur. Bu syı sistemlerinin elemn syısı bkımındn ynı zenginlikte lmdıklrı, hepsinin elemn syılrı snsuz lduğu hlde bu snsuzlrın ynı mertebede lmdıklrı sezilir. Öte yndn her küme 'nin mertebesi yrı d değildir ve sdece iki mertebe snsuzluk yukrıdki tüm syı sistemlerinin tsnifinde yeterlidir. Q R geçişinde, syılbilir snsuz 'dn, syılmz snsuz ' e de geçilmiş lur. F snlu bir syı lmk üzere F, F htt lduğu hlde F işlemi, bir üst mertebe ln 'i verir. 0, rlığınd herhngi bir syı 0. 3 biçiminde yzılbildiğine ve syılbilir snsuz hnelerin her biri için 0 tercih ypılbildiğine göre 0, rlığınd tplm 0 yni syılmz snsuz syı vr demektir. PROBLEMLER P.I.) Q lduğunu gösterin. P.I.) Rsynel syılrın syılbilir snsuz det lduğunu gösterin. II. FOKSİYOLAR y F( ) ile gösterilen fnksiyn kvrmı, verilen bir reel syısı için bir ( ve sdece bir! ) y F( ) reel syısını, belli bir kurl göre elde etmek işlemidir. Dh bsit bir ifde ile : Fnksiynlr iki sütunlu tbllrdır. İlk sütundn değerini seçer, snr d
6 ikinci sütundn n krşılık gelen y F( ) değerini buluruz. Bunun tersi, yni önce ikinci sütundn bir değer seçip, snr d birinci sütundn nun krşılığını bulmk ise 'Ters Fnksiyn' işlemi lrk dlndırılır. Kısc y F F y ( ) ( ) lrk yzıln ters fnksiyn işleminin, sürekli rtn vey sürekli eksilen fnksiynlr dışınd, tnımlnm güçlükleri, nck bunlrın d şılm yllrı vrdır. Fnksiyn kurllrı gereği bzn bğımsız değişkenini, bzn d y F( ) bğımlı değişkenini sınırlmk gerekir. F ( ) 3 4 fnksiynu için ve 0 F ( ) 6 sınırlmlrı vrdır. Bğımsız değişken 'in lbileceği değerler fnksiynun 'Tnım Arlığı', bğımlı değişken y F( ) 'in lbileceği değerler ise 'Değer Arlığı' lrk dlndırılır. Fnksiynlr 'ebirsel', 'Syısl' ve 'Difernsiyel' lrk 3 yrı bşlık ltınd incelenir. Bu düzeyde incelenecek temel fnksiynlrın syısı 7 ile sınırlıdır. Bu syı birz brtılıdır, 7 syısın erişmek için trihi sebeplerle, mesel sin ve csc sin yrı yrı syılmktdır. Bir diğer ilginç nkt d her fnksiynun bir de ters fnksiynu lduğu hlde tplm syının çift lmmsıdır. Bunun gerekçesi kuvvet fnksiynunun ters fnksiynunun d kuvvet fnksiynu lmsıdır. İncelenecek 7 temel fnksiyn : ) Kuvvet fnksiynu : -7) Trignmetrik fnksiynlr : sin, cs, tn, csc, sec, ctn 8-3) Ters trignmetrik fnksiynlr : sin, cs, tn, csc, sec, ctn 4) Üstel fnksiyn : ep e 5) Lgritm fnksiynu : n
7 6-) Hiperblik fnksiynlr : sinh, csh, tnh, csch, sech, ctnh -7) Ters hiperblik fnksiynlr : sinh, csh, tnh, csch, sech, ctnh lcktır. Anck tüm özellikler incelendiğinde bu 7 syısı 3 e kdr iner. () PROBLEMLER P.II.) F için ters fnksiyn bulm güçlüğünü trtışın ve bir çıkış ylu bulun. III. EBİRSEL ÖZELLİKLER A) Kuvvet Fnksiynu Kuvvet fnksiynunun trihsel kökeni değişkeninin kere kendisiyle çrpılmsıdır :. Bu tnımdn hreketle : kere M M M M M M, 0,, y y özellikleri klyc elde edilir. M M eşitliğinin önce, snr d
8 M M lrk genelleşmesi snucu kuvvetler de tmsyılrdn rsynel syılr genelleşir. Tüm reel syılr, istenilen ykınlıkt bir rsynel syı bulunbileceği gerçeğinden yl çıkrk d, ve b reel syılr lmk üzere b b b b 0,, y y özelliklerine ulşılır. Özetle kuvvet fnksiynu değişken bir tbnın sbit kuvveti lmktdır. B) Trignmetrik Fnksiynlr Trignmetrik fnksiynlrının en önemli iki tnesi, krtezyen krdintlrd O merkezli bir dire yrdımıyl s y sin, cs y y 0 lrk tnımlnırlr. Difernsiyel özelliklerde klylık sğlmsı için çılr rdyn cinsinden ölçülecektir : cinsinden s. Diğer trignmetrik fnksiynlrının tnımlrı ise ilk ikisinin R sin tn, csc, sec, ctn cs sin cs tn lrk ypılır. Bu tnımlrdn öncelikle sin cs, snr d bu bğıntının sırsıyl sin ve cs ile bölünmesinden csc ctn ve sec tn özdeşlikleri elde edilir. Bir dik üçgen yrdımıyl elde edilen sin cs diğer iki yrrlı ilişki de ve cs sin
9 bğıntılrıdır. Trignmetrik fnksiynlrın en temel cebirsel özdeşliklerinden biri de sin frmülüdür. E α tn α - tn β / cs β α-β D tn β A β B Yukrıdki şekilde DE uzklığının iki yrı biçimde ifde edilmesinden sin sin cs cs sin frmülleri elde edilir. Bu frmüllerden sin cs ve bğıntılrının d yrdımıyl bulunur. cs sin cs cs cs sin sin frmülü özel hli kullnılrk sin sin cs, cs cs sin cs sin 'Çift Açı' frmüllerine, cs cs sin denklemlerine de de sin cs, cs yerleştirerek cs 'Yrım Açı' frmüllerine erişilir. Diğer trignmetrik fnksiynlr için bu temel özdeşliklerin yrdımıyl, mesel tn tn tn elde edilir., tn cs sin cs cs cs sin
0. Ters Trignmetrik Fnksiynlr trig fnksiynlrının trig lrk ters çevrilmesinden sin, cs, tn, csc, sec, ctn fnksiynlrı tnımlnır. Aşğıdki dik üçgen yrdımıyl sin cs, sec csc, tn ctn eşitlikleri elde edilir. Ters trignmetrik fnksiynlr rsındki dh girift özdeşlikleri elde etmek için tüm trignmetrik fnksiynlri teker teker diğer tüm trignmetrik fnksiynlr cinsinden yzbilmek gerekir. Örnek lrk lrk yzbilmek için bulunur. sin tn tn tn kullnılır ve fnksiynunu sin tn sin F D) Üstel Fnksiyn Değişken bir tbnın sbit kuvveti ln kuvvet fnksiynunun ksine, üstel fnksiyn: sbit bir tbnın değişken kuvvetidir. Difernsiyel özelliklerde klylık sğlmsı çısındn bu sbit tbn e t Lim.788... t lrk seçilir. Bunun gerekçesi t ileride nlşılcktır. ebirsel özellikler Sbit - Değişken yırımı ypmdığı için kuvvet fnksiynu ilişkilerinden esinlenerek dğrudn
y y y y ep ep ep ep ep ep 0, ep bğıntılrı yzılır. ep E) Lgritm Fnksiynu Tbii lgritm n 'in tnımı ep n lrk ypılırs ep n ep ep n ep luşu n ve ep fnksiynlrının birbirlerinin ters fnksiynlrı lduğunu gösterir. ep n y y ep n ep n y ep n n y denklemi yrdımıyl önce n y n n y 0 n, n n, snr d, 0 n n, n özellikleri elde edilir. F) Hiperblik Fnksiynlr Birçk fnksiyn 'Ynsım Dönüşümü' ltınd F( ) F vey F( ) F F dvrnışı gösterir. İlk grubun en bsit örneği grubun en bsit örneği de F lduğu için F( ) F gösteren fnksiynlr 'Çift', lrk dlndırılırlr. cs, sin, ikinci dvrnışı F( ) F dvrnışı gösterenler ise 'Tek' Fnksiyn Çift ; tn, sin fnksiynlr örnektir. egtif syılrın lgritmsı dh tnımlnmdığındn böyle bir özellik söz knusu bile lmz. Üstel fnksiyn ise Tek ep ep( ) lduğu için Tek vey Çift değildir. Anck herhngi bir fnksiyndn yl çıkıp n için
F F ve F F lrk Tek ve Çift fnksiynlr luşturmk mümkündür. Bu metdun üstel fnksiyn uygulnmsındn hiperblik fnksiynlr elde edilir. Önce sinh lrk tnımlnır, snr d ep ep ve csh tnh sinh, csch csh ep ep sinh, sech csh, ctnh tnh tnımlrı ypılır. Hiperblik fnksiynlr için neden bu kdr trignmetrik dlr ykın dlr seçildiği ileride nlşılcktır. ebirsel özellikler için önce tnımlrın krelerini lrk sinh ve csh sinh, bunun d csh ile bölünmesinden sech tnh bğıntılrı elde edilir. Gene ilk tnımlrdn yl çıkılrk erişilen y y y sinh sinh csh csh sinh y y y csh csh csh sinh sinh ctnh csch, özdeşliklerin özel hllerinden çift ve yrım değer frmülleri : sinh sinh csh csh csh + sinh + sinh csh sinh csh y, csh y y y csh çıkrtılır. Bu rd 7 temel fnksiynun brtılı bir syı lduğu, hiperblik fnksiynlr üstel fnksiyn bileşimleri lduğun göre şimdilik en zındn inilebileceği görülmektedir 7 6 = syısın
3 G) Ters Hiperblik Fnksiynlr hyp y fnksiynlrının y hyp ( ) lrk ters çevrilmesinden sinh, csh, tnh, csch, sech, ctnh fnksiynlrı elde edilir. Hiperblik fnksiynlrın üstel fnksiynl çk ykındn ilintili lmsı, ters hiperblik fnksiynlrın d lgritm ile ilintili lmsın işret etmektedir. Bir örnek lrk csh n F,? n F F F F prblemine eğilirsek csh ve snuçt F görülür. Bu özdeşliklerin tmmı : n, csh n sinh lduğu tnh n sech n, csch, ctnh n n lmktdır. Bundn dlyı ters hiperblik fnksiynlrın d listeden düşülebileceği ve listenin 6 = 5 fnksiyn indiği görülmektedir. Bu syıyı 3 'e indirmek için kmpleks syılr knusunu beklemek gerekecektir. PROBLEMLER P.III.) sin, cs, tn fnksiynlrı için tüm çift ve yrım çı frmüllerini elde edin.
4 P.III.) Tblyu tmmlyın : sin cs? tn? csc? sec? ctn? sin? cs? tn? csc? sec? ctn P.III.3) sinh, csh, tnh fnksiynlrı için tüm çift ve yrım değer frmüllerini elde edin. P.III.4) Tblyu tmmlyın : sinh csh? tnh? csch? sech? ctnh? sinh? csh? tnh? csch? sech? ctnh P.III.5) Tüm ters hiperblik fnksiynlrı lgritm lrk ifde edin. P.III.6) i) n tnh?, ii) n( ) iii) sin sin 0.8?, iv) n sinh 3? v) b F b F b tn tn tn,,? tn () P.III.7) cs(0 ) cs(40 ) cs(80 ) lduğunu gösterin. 8
5 P.III.8) Aşğıdki mntık htsını bulun : sin tn sin sin sin sin P.III.9) F ep fnksiynunun ynsım özelliğini bulun. IV. SAYISAL ÖZELLİKLER A ) Genel Verilen bir için F değerini, elektrnik destek lmksızın, yklşık lrk hesp edebilmek yrrlı bir beceridir. Kuvvet ve üstel fnksiynlr syısl düzeyde ynı lduklrı için sdece birini incelemek yeterlidir. Öte yndn bir fnksiynun syısl değerlendirilmesi ynı zmnd ters fnksiynun d değerlendirilmesi demektir. Bu yüzden sdece ve n fnksiynlrının syısl lrk incelenmesi yeterli lcktır. sin B ) Trignmetrik Fnksiynlr İleride nlşılck bir sebeple sin A sin A, 0 A 4 56 A yklşık lrk : ; A A sin, 5 A 35 60 frmülleriyle verilir. Bu frmüller, bzı önemli çılr için luşturuln
6 Açı sin A cs A ----- ----------------------- ------------------------ 0 0 = 0.000 4 =.000 30 = 0.500 45 = 0.707 60 3 = 0.866 90 4 =.000 4 =.000 = 0.707 = 0.500 0 = 0.000 tblsu ve bilinen cebirsel özellikler yrdımıyl tüm çılrın tüm trignmetrik fnksiynlrı yklşık lrk hesplnbilir. ) Lgritm Lgritm için ise 0 tbnın Briggs lgritmsı ile bşlmk dh uygundur. İlk şmd sdece lg = 0.30, lg 3 = 0.477 ve lg 7 = 0.845 değerlerinin bilinmesi yeterli lcktır. 0 3 = 04 0 lg 0.300 4 3 3 0 lg 3 0.475 7 50 lg 7 0.850 ilişkileri bu üç ypıtşının elde edilişine ışık tutmktdır. Bu nktd n fnksiynun geçmek için n 0.3, dlyısıyl n.3 lg eşitliği devreye girer ve şğıdki tbl elde edilir. (3)
7 lg n ------------------------------------------------------------------------------ 0.000 0.0 0.30 0.7 3 0.477. 4 0.60.4 5 0.699.6 6 0.778.8 7 0.845.95 8 0.903. 9 0.954. 0.000.3 Bunlrın yrdımıyl tüm kuvvet, lgritm, üstel, hiperblik, ters hiperblik fnksiynlr yklşık lrk hesplnbilirler. PROBLEMLER P.IV.) Hesp mkinesi kullnmdn yklşık syısl snuç bulun. i) cs 66? sin 0.5? ii) iii) csh n? iv) (63) 3? v) lg8 3? vi).00 0000? vii) n 0? viii) n 000? i) lg 75? ) lg 8? 3
8 i) 300 0.99? iii) sin 74? ii) sin 67? cs 83? iv) v) tnh.3? vi) vii) sin 0.4? sinh 00? viii) tn 0? i) tn 5? P.IV.) 8 56 syısının ilk ve sn hnelerini bulun. V. DİFERASİYEL ÖZELLİKLER A ) Genel Özellikler Bir fnksiynu gözümüzde cnlndırmnın fnksiyn tblsu ötesinde yllrı vrdır. Mesel önce bir reel syı dğrusu çizer, bunun üzerinde sıfır nktsı O 'yu belirler, pzitif yönü de geleneklere uygun lrk sğ dğru seçeriz. Artık bu dğru üzerinde her P nktsı, OP uzklığının byu ln değeri ile prmetrize edilebilir. Her değerine krşılık gelen F değerini ise nktsın dikili bir byrğın üzerine yzrk gösterebiliriz. F() 0 + Byrğ lterntif lrk F uzunluğund byrk direkleri de kullnılbilir. Bu gösterimde byutun ek lrk, bun dik ve gemetrik nlmı ln ikinci bir byut devreye girmektedir. Bu iki byutlu yklşım Krtezyen Krdint Sistemi lrk dlndırılır. Anck bğımsız ve bğımlı kmpleks değişkenler ikişerden dört byut
9 gerektireceği için krtezyen gösterimi kmpleks değişkenli fnksiynlr genellemek mümkün değildir. Bu yüzden, genelleşme klylığı çısındn byrk gösterimine bğlı klıncktır. Birbirine snsuz küçük uzklıkt ln ve d nktlrındki byrk değerlerinin frkı fnksiynun difernsiyeli lrk dlndırılır. F() F(+d) +d + df F d F Bu tnımd yer ln d slınd sıfır ln, nck değişik mertebe sıfırlrın muhsebesini tutbilmek çısındn ktlnmk zrund kldığımız snsuz küçük bir reel eksen prçsıdır. Dlyısıyl hesplrd d d m için 0 d kullnılcktır. Birz şiirsel bir nltıml d 'i sıfır byutlu bir dğru prçsı vey bir byutlu bir nkt lrk d düşünebiliriz. Türev ise d uzklığın rnı lrk tnımlnır : F df difernsiyelinin, iki byrk direği rsındki df F d F. Türev için dh kıs F ewtn ', d df d d ifdesini rn ifdesini ise Leibniz 'e brçluyuz. Hesplrd en geçerli yl, nlm çısındn dh zengin Leibniz ifdesini hep kıld tutmk şrtıyl, dh eknmik ewtn ifdesini kullnmktır. Anck mesel Zincir Kurlı 'nı elde ederken Leibniz gösteriminin kullnılmsı kçınılmzdır. Bu kurl göre F u gibi bir fnksiynun türevi df df du d du d 3 lmktdır. Mesel F sin için df d F 3 d sin d 3 3 3 3 cs lur. Türev tnımınd sğdn yklşım d d F d F yerine pekl sldn yklşım F d d benimsenebilirdi. Akl gelebilecek F F d d
0 F d F d 3 3 F benzeri tüm tnımlr bu iki temel yklşımın d bileşimidir. F kvrmının nktsınd tnımlı ve nlmlı lbilmesi için iki temel yklşımın ynı snucu vermesi gerekir. Türevin yklşım yönünden bğımsız lmsı şrtı ileride kmpleks değişkenli fnksiyn türevlerinin incelenmesinde lğnüstü bir önem kzncktır. Yukrıd verilen, ewtn, Leibniz ve Euler 'in sezgiye dylı yklşımlrı zmn içinde yeterli ölçüde mtemtik ktılığ ship bulunmdı. Weierstrss ın dh törensel yklşımı knuy egemen ldu. Anck, prtik önemi şüpheli birkç istisn dışınd, dğru snuçlrı en kıs yldn veren trihsel yklşım günümüzde 'nstndrd Anlysis' dıyl tekrr benimsenme eğilimi gösteriyr. (4) Türeve gemetrik bir nlm vermek istenirse krtezyen gösterime geçmek gerekir. Bu gösterimde, byrk direklerinin tepelerinden geçen fnksiyn eğrisinin ytyl yptığı çı lmk üzere, F tn lcktır. Özetle : türev, krtezyen gösterimde eğimin ölçüsüdür. Türev tnımını temel fnksiynlr uygulmdn önce bzı fnksiyn bileşimlerinin türevlerini elde etmek yerinde lur. Temel türev tnımı kullnılrk F G F G ; k F k F G F G FG F G ; G G elde edilir. Bu eşitlikler ve cebirsel özellikler yrdımıyl türev tnımını 7 fnksiyndn sdece 3 'ü için kullnmk yeterli lcktır. Ters fnksiyn türevlerinin genel bir frmülü d dy y F F y F y dy d F y F F F lrk elde edilir.
B ) Kuvvet Fnksiynu Kuvvet fnksiynunun türev ifdesi birkç şmd elde edilecektir. Önce pzitif tmsyı M için : M M M d tnımınd Pscl üçgeni yrdımıyl d M M M d M d ve M M M snucu elde edilir. y fnksiynunun türevini bulmk için ise ters fnksiyn kvrmındn yrrlnılrk d dy y y y bulunur. dy d Bu iki frmülden ve zincir kurlındn yrrlnrk d M M M frmülüne erişilir. egtif kuvvetler için ise G G G yrdımıyl gene ynı biçimde M M M lmktdır. Tüm reel syılr istenilen ykınlıkt bir rsynel syı bulunbileceği için de her R için = lur. ) Trignmetrik Fnksiynlr sin d sin sin tnımının çılımındn d d d cs sin sin + cs d d elde edilir. sin d d ifdesini eğerlendirmek için
D B OB = O = R O A OAB üçgeni, OB dire dilimi ve OD üçgeni lnlrının, eşitlik sdece 0 için geçerli lmk üzere, R sin cs R tn R lrk sırlndıklrı gözlenir. Bundn d 0 lurken iki tne rsınd kln Dlyısıyl çrpılrk sin cs sin d d bulunur. d d d cs sin cs eşitsizliği elde edilir. sin cs d d sin sin 0 0 d cs lmktdır. cs için ise d lmk zrunddır. ifdesi ise özdeşliğinin türevi lınrk, F F F yrdımıyl cs d cs d bulunmkt, böylece sin cs sin sin cs cs 0 cs sin bulunur. ile y sin fnksiynunun türevi için, tüm ters fnksiyn türevleri için geçerli lck ylumuz d dy y sin sin y cs y dy d cs y sin y sin lcktır.
3 D ) Lgritm Fnksiynu n d n n tnımını d d d d n n n d d d lrk yzıp t e Lim t tnımı htırlnrk n n e snucun t erişilir. Ters fnksiyn türevi metdu bir kere dh uygulnrk d dy y ep n y y ep yni dy y d ep ep bulunur. Bu nktdn snr tüm hiperblik ve ters hiperblik fnksiyn türevleri bsit bir şekilde elde edilir. Tüm snuçlrın özetlendiği Türev Tblsu şğıd verilmektedir. tnh ctnh eşitliğini nlmk için kmpleks değişkenli fnksiynlrın incelenmesini beklemek gerekecektir. TÜREV TABLOSU F F ------------------- ---------------------- F G F G kf kf FG F G F G G G G df du F u du d
4 F F F b b b sin cs cs sin tn cs cs csc sin sin sec cs ctn sin sin cs tn csc sec ctn n ep sinh ep csh
5 csh sinh tnh csh csh csc sinh sinh sech csh ctnh sinh sinh csh tnh csch sech ctnh E ) Kplı Türev Türevle ilgili bir knu d 'kplı türev' kvrmıdır. Bzen bşlngıç nktsı y y hline indirgenemez bir y, 0 denklemi lbilir. Bu durumd türev için biçiminden vzgeçer y y, y y y rzı luruz. Mesel, htt (, y, y ) 0 biçimine ep y y 0 durumund y bulmk için tüm
6 ep y ep y y y 0 denklemin türevini, zincir kurlı d kullnrk lrk bulur ve y ep y y ep snucun ulşırız. F ) Kısmi Türev Bir bğımlı değişkenin, yni fnksiynun, birden fzl bğımsız değişkene bğlı lduğu durumlrd difernsiyel özellikler dh krmşık lcktır. Bunun en bsit örneği ln F, y fnksiynunu, birbirinden bğımsız iki değişkenin luşturduğu - y düzlemine dikili byrklr yrdımıyl inceleyelim. y F(,y) (,y) Difernsiyel tnımı, gene ynı esslr bğlı lrk, birbirine snsuz ykın iki nktdki byrk değerlerinin frkı lrk ypılır : df, y F d, y dy F, y. Anck bu durumd türev tnımın geçebilmek için hngi pydy bölünmesi gerektiği belli değildir. Bu yüzden difernsiyel önce,,,,, df y F d y dy F y dy F y dy F y snr d terimler ikişerden gruplnrk :,,,, F d y dy F y dy F y dy F y df, y d dy d dy
7 lrk yzılır. Kre prntezler içindeki ifdeler türev tnımın çk ykın, nck değişik işlemlerdir. Bu yeni işlemde ess ln, türev lınn değişken dışındki değişkenin sbit klmsıdır. Bu yeni işlem 'Kısmi Türev' lrk dlndırılır ve yeni sembllerle,,, F y F d y F y d ;,,, F y F y dy F y y dy F lrk tnımlnır. Kısmi türev işlem lrk byğı türev ile ynıdır, nck mesel hesplnırken 'den bşk tüm değişkenlere snki sbitmiş gibi dvrnmk gerekir. F, y sin y için Bun göre 3 F sin y 3 ; F y cs y bulunur. Bu örnek için geçerli ln F F y y cs y ; F F y y cs y eşitliği rstlntı değildir. Kısmi türev tnımı gereği her durumd F F y y lcktır. (5) Kısmi türev işlemleri ile ilgili bir uyrı : Byğı türev, gerçek nlmd iki difernsiyelin rnı lduğu için df d d df lmsı dğldır. Kısmi türevde ise py gerçek bir difernsiyel lmdığı için F F denemez. İlginç bir örnek : y r y, tn plr krdintlrd r r cs lmktdır. G ) Belirsiz İntegrl Türevi bilinen bir fnksiynun kendisini bulm işlemine integrl denir. Stilize bir S hrfi ve integrl değişkeninin difernsiyeli ile gösterilen bu işlem
8 d F F + vey df F lrk tnımlnır. Sbitlerin türevi sıfır lduğu için her integrl işleminde böyle keyfi bir integrl sbiti yer lır ve işlem 'Belirsiz İntegrl' lrk dlndırılır. Anck mtemtiğin dğy uygulnmsınd keyfiliğe yer lmycğı için bu sbitler, verilen bzı 'Sınır Şrtlrı' vey 'İlk Şrtlr' yluyl değerlendirilir. Temel fnksiynlrl ilgili difernsiyel ve bunun tersi ln integrl işlemi hkkınd tüm bilgilerin dökümü şğıdki tbld verilmektedir. DİFERASİYEL VE İTEGRAL TABLOSU d F G df dg df dg F G d k F k df k df = k F + d F G df G F dg df G F dg F G dg d G G dg G = G b d b b d b d b b d sin cs d cs d sin d cs sin d sin d cs d tn d cs d tn cs d csc cs d sin cs d sin csc d sec sin d cs sin d cs sec d ctn d sin d ctn sin d sin d d sin d cs d d cs
9 d tn d d tn d csc d d csc d sec d d sec d ctn d d ctn d n d d n d e e d e d e d sinh csh d csh d sinh d csh sinh d sinh d csh d tnh d csh d tnh csh d csch csh d sinh csh d sinh csch d sech sinh d csh sinh d csh sech d ctnh d sinh d ctnh sinh d sinh d d sinh d csh d d csh d tnh d d tnh d csch d d csch d sech d d sech d ctnh d d ctnh
30 Bu temel frmüllerin dışındki integrlleri değerlendirmenin iki n ylu : 'Değişken Dönüşümü' ve 'Prçlı İntegrl' mettlrıdır. Değişken dönüşümü : çözülemeyen bir d f integrlinde u u kly lmk üzere d f du g u dönüşümü ypmk ve yeni integrl eskisinden dh elde etmeğe dylı bir yldur. Prçlı integrl metdunun temelinde ise d F G df G F dg özdeşliği ytr. Bundn elde edilen F dg F G G df eşitliğinde F dg zr ls bile G df kly bir integrl ise çözüm bulunmuş demektir. İki metdu d içeren tek bir örnek ln d sin integrlinde F sin, G seçimi ypılrk ve d df, dg d kullnılrk d d sin sin bulunur. Bu nktd ise u, du d yrdımıyl d sin sin snucun ulşılır. Anck birçk fnksiynun integrlinin temel fnksiynlr kullnrk ifde edilemeyeceği de bir gerçektir. Böyle durumlrd sn çre lrk kpsmlı bir integrl tblsun bşvurmk gerekir. İntegrl işlemi türevden dh zrdur; zir bileşenleri temel fnksiynlr ln bir fnksiynun türevi de temel fnksiynlrdn luşur. Bu bsit fnksiynlr kümesi 'nin türev işlemi ltınd kplı lmsı demektir. Anck bu kplılık integrl işlemi için geçerli değildir. H ) Belirli İntegrl Uygulmlı mtemtikte çk kullnıln bir işlemin prgrmı : i ) Belirsiz integrli bul, ii ) Snucu 'd değerlendir,
3 iii ) Snucu 'de değerlendir, iv ) (iii) 'den (ii) 'yi çıkrt; lmktdır. (iv) 'üncü işlem keyfi integrl sbitini yk ettiği için bu işlem 'Belirli İntegrl' b b lrk dlndırılır ve d F df F b F tnımlnır. Mesel lrk d sin lur. 0 Bu tnımdn hreketle, belirli integrller için : b c c d f d f d f b b b d f d f 0 d f d d f f d özellikleri klyc elde edilir. Ayrıc özel simetrik sınırlr için f f d f d f 0 f f d f bğıntılrını çıkrtmk d zr değildir. Bir belirli integrlin snucu integrl değişkeninden bğımsızdır ve sdece lt ve üst sınırlrın fnksiynudur. Bu işlemde hyti bir nkt fnksiynunun tüm, b rlığınd tnımlı lmsıdır. Bun dikkt edilmezse d = gibi sçm ve nlmsız snuçlrl krşılşılır. İntegrl işlemine gemetrik bir nlm vermek için, rlığınd f eğrisinin ltınd kln J lnını incelemek gerekir. 0 F
3 y y = f () dj() J() +d Görüldüğü gibi sn ince dikdörtgen şerit lnı dj f d vey J d f lmktdır. Dlyısıyl integrl işleminin gemetrik yrumu bir fnksiynun ltınd kln lnın bulunmsıdır. Bu gemetrik yrum b d f işlemine yeni bir yklşım getirmektedir., b rlığınd, f eğrisinin ltınd kln ln, snlu syıd ince şerit lnının tplmın yklşık lrk eşittir. Şerit enleri sıfır, dlyısıyl şerit syısı snsuz lurken yklşıklık d yerini kesinliğe bırkır. Bunun byrk gösterimindeki eşdeğeri :, b rlığını prçy bölmek, her i prçsı uzunluğunu, prçnın rt nktsındki byrk değeriyle çrpıp, tplm lmktır. b f i tplmının, 0 limiti i i i d f lcktır. Bu yklşım, ileride kmpleks değişkenli fnksiynlrd büyük önem kznck ln 'Yl İntegrli' kvrmının ilk dımıdır. (6) Sn bir nkt ise belirli integrl işlemlerinde, kdr zhmet snucu, sdece tek bir syı elde edilmesi bu işlemin eknmik bir işlem lmdığını göstermektedir. Belirsiz integrl şmsınd elde syılmz snsuz nktd değeri bilinen bir fnksiyn vrken bunu sdece iki uç nktd değerlendirip, frk lmk çk büyük bir bilgi kybıdır. Belirli integrllerin dh eknmik bir biçimde değerlendirilmeleri kmpleks değişkenli fnksiynlrın incelenmesi sırsınd sğlncktır. Bu mettl belirsiz
33 integrli bilinmeyen fnksiynlrın bile bzı özel belirli integrllerini değerlendirmek mümkün lcktır. I ) Tekrr Belirsiz İntegrl f b b F durumund dt f t d f F b F lduğu görülmüştü. Sınırlrdn biri değişken ypılırs, belirli integrl görünümünde bir belirsiz integrl elde edilir. Bu durumd dt f t d f F F lcktır. Bu nktd temel türev tnımı kullnılrk dt f t f dh genel d b( ) b( ) d d vey birz dh gyretle çk f t, db d dt f t, dt f b, f, d ( ) ( ) d d Leibniz frmülüne ulşılır. J) Dirc Delt Fnksiynu İleriki uygulmlrd önem kznck bir knuy bu nktd eğilmek uygun lcktır. Gerçek nlmd bir fnksiyn lmyn nck bzı çift fnksiynlrın limiti ln Dirc delt fnksiynu ile gösterilip, 0 0 0 0 ve d d lrk tnımlnır. Dirc delt 0 fnksiynunun 'eleme' özelliği : d F 0 0 d F d F d F 0 0
34 0 ile verilir. d F F 0 0 F 0 d 0 F 0 0 eşitliğinin dh genel hli d F F ve Dirc delt fnksiynunun türevlerini içeren d F F ve ( ) ( n) n ( n) d F F ifdeleri bir nlmd türev işleminin integrl temsilini luşturmktdır. K ) Seri Açılımlrı Fnksiynlrı tnımnın bir ylu d F 'i 'in pzitif tmsyı kuvvetleri cinsinden F lrk yzılıp, snr d üst çmktır. Önce 3 0 3 F 3, üste türev lrk 3 6 3, F 6 3 F Bu denklemlerin 0 0 F, elde edilir. 'd değerlendirilmeleri F0, F 3 0 göstermektedir. Böylece elde edilen F ve genelde 6 F n 0 n 0 0, 0 ( n) F lduğunu n! ( n) F n 'Mclurin Açılımı' n! denkleminin hngi fnksiynlr ve bu fnksiynlrın hngi tnım rlıklrınd geçerli lduklrını özenle incelemek gerekir. İncelenmesi en kly fnksiyn üstel fnksiyndur. F lduğu için ( n) ( n) ep için tüm F ep ve F 0 3 ep bulunur. Bu denklemde! 3! dönüşümü ypılrk 3 ep ve! 3!
35 sinh 3 5 7, 3! 5! 7! 4 6 csh elde edilir.! 4! 6! Mclurin frmülünün F sin fnksiynun uygulnmsı sin 3 5 7, bunun türevi de 3! 5! 7! 4 6 cs çılımlrını verir. (7) Trignmetrik ve! 4! 6! hiperblik fnksiynlrın seri çılımlrı rsındki benzerlik fnksiyn dlrı rsındki benzerliğe bir ölçüde ışık tutmktdır. csc gibi 0 'd tnımlı lmyn fnksiynlr bile negtif kuvvetlere de izin vererek çılbilir. Bunun için csc fnksiynunu çıp snucu 'e bölmek yeterli lur : csc 3 7 6 360 Böylece 0 nktsındki tnımsızlık tek bir terime hpis lmktdır. F n gibi fnksiynlrd bu d geçerli bir yl değildir. Bu durumd fnksiynu, tnımsız lduğu 0 yerine, nktsı etrfınd çmk gerekir, yni F yerine F fnksiynu çılır. Bun bir örnek lrk, Mclurin frmülü yluyl çılck sn fnksiyn F fnksiynudur. Binm kuvvet n n 0 ( n) ( ) F n F n dlyısıyl n 0 n n! n Binm Açılımı elde edilir. Tüm ters fnksiyn türevleri için geçerli yl : Ters fnksiynun türevini binm çılımı ile çıp, snucun integrlinin lmktır. Anck bu işlemde ters
36 fnksiyn ve çılımının özel bir nktd değerlendirilerek integrl sbitinin sptnmsı unutulmmlıdır. Bu yklşım örnekler lrk 3 4 3 n n + 3 4 vey 4 3 cs 8 3 5 3 cs verilebilir. (8) 6 40 Seri çılımlrın dh genel bir yklşıml F F F F + +! vey F F F F! 'Tylr Açılım' frmülleri elde edilir. Yukrıdki çılımd dönüşümü yprk elde edilen F F F F! d d denkleminin F ep F bir gözlemdir. lrk ifde edilebilmesi de ilginç Lim F G işleminin F G 0 lduğu için 0 0 belirsiz frmun dönüştüğü durumlrd
37 F F G G Tylr çılımlrıyl değerlendirilmesine L'Hspitl kurlı denir. (9) Genelde F G F G lrk 0 ise 0 F G değerine bkılır ve py ile pydnın yrı yrı türevini lm işlemine belirsiz durumdn kurtuln kdr devm edilir. Birz gyretle bu kurlın belirsiz durumu için de geçerli lduğunu göstermek mümkündür. PROBLEMLER P.V.) Türev tnımındn hreketle F frmüllerini elde edin. G, kf, FG, G F P.V.), sin, temel fnksiynun türevlerini bulun. n snuçlrını kullnrk, geri kln 4 P.V.3) Tüm 7 temel fnksiynun seri çılımlrını ypın. P.V.4) Tüm 7 temel fnksiynun integrllerini bulun. Lim P.V.5) i) csc 0 sin? ; ii)?
38? ; iv) Lim e? 0 3 3 iii) Lim P.V.6) d d 6 3 9 integrlini A A i) A 9 için değerlendirin, ii) A < 9 için değerlendirin, iii) A 9 için değerlendirin, (iv) i iii için nsıl bir limit gereklidir? (v) ii iii için nsıl bir limit gereklidir? P.V.7) Türev tnımındn hreketle bir integrlin türevi için Leibniz frmülünü elde edin. P.V.8) 0 lduğunu gösterin. P.V.9) d F F0 lduğunu isptlyın. İpucu : Kısmi integrl. P.V.0) Lim lduğunu gösterin. P.V.) L'Hspitl kurlı kullnrk Lim n 0 limitini değerlendirin.
39 P.V.) L'Hspitl kurlının durumlrı için de geçerli lduğunu gösterin. EKLER VE OTLAR () Dh üst düzeydeki syı sistemlerinde Kuternin lr için b b, Oktnin 'lr için ise yrıc b c b c kurllrını fed etmek gerekir. () Bu kitpt cs ile kly krışn ct vey 5 hrfli ctn yerine ctn tercih edilmiş, hiperblik fnksiynlrd d benzer bir tercih ypılmıştır. (3) Trihi bir lterntif metd için : "The Feynmn Lectures On Physics" ilt I, Bölüm. (4) R. urnt, H. Rbbins (Revised by I. Stewrt), "Wht is Mthemtics?, nd Editin", Ofrd University Press (996) 58 (5) F F y y eşitliğinin bzı ptljik F fnksiynlrı için istisnlrı d vrdır. (6) Riemnn brçlu lduğumuz bu yklşımın n felsefesi :, b rlığındki mertebesinde snsuz nktyı, etmektir. mertebesinde snsuz, m snsuz küçük rlık ile temsil
40 (7) Küçük çılr için sin luşu ve çı-rdyn ölçülerindeki 80 rdyn = 57.3 π ilişkisi gereği sin A A lmktdır. 57.3 3 4 n çılımın yerleştirilerek 3 4 (8) elde edilen n 0 3 4 'Hrmnik Seri' tplmının snsuzluğu hemen görülmektedir. eşitliğinden (9) Bu kurl Jen Bernulli trfındn bulunmuş lmkl berber buluşun isim hkkını stın ln Mrki L'Hspitl ın dıyl nılır.